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Ejercicio 5: Junio de 2025

Una empresa de marketing ha lanzado una campaña publicitaria para promocionar un nuevo servicio de energía solar para hogares. Según estudios previos, se estima que el 20% de las personas que ven el anuncio terminan contratando el servicio. Para analizar más en profundidad la efectividad de la campaña, se seleccionan aleatoriamente a 20 personas que han visto el anuncio.

  1. Calcule la probabilidad de que exactamente 10 personas contraten el servicio.
  2. Determine la probabilidad de que al menos 2 personas contraten el servicio.
  3. Determine el valor esperado del número de personas que contratarán el servicio de entre las seleccionadas.
  4. ¿Cuántas personas, de entre las que han visto el anuncio, se deberían seleccionar para que el número esperado de personas que contraten el servicio sea mayor o igual a 13?

Resolución

Llamamos 𝑋 al número de personas que contratan el servicio, con 𝑋 ∼Bi⁡(𝑛 =20, 𝑝 =0,2).

  1. La probabilidad de que 10 personas contraten el servicio es: 𝑃(𝑋=10)=(2010)0,210⋅0,810≈0,0020.
  2. En primer lugar, hallamos la probabilidad de que contraten el servicio menos de 2 personas. 𝑃(𝑋=0)=(200)0,20⋅0,820≈0,0115,𝑃(𝑋=1)=(201)0,21⋅0,819≈0,0576. Así que: 𝑃(𝑋≤1)=𝑃(𝑋=0)+𝑃(𝑋=1)=0,0115+0,0576=0,0691. Por tanto, la probabilidad de que contraten el servicio al menos 2 personas es: 𝑃(𝑋≥2)=1−𝑃(𝑋≤1)=1−0,0691=0,9309.
  3. El valor esperado viene dado por: 𝐸(𝑋)=𝑛𝑝=20⋅0,2=4.
  4. Para que el valor esperado sea 13, ha de verificarse: 𝐸(𝑋)=13⇔𝑛𝑝=13⇔0,2𝑛=13⇔𝑛=65. Por tanto, se deberían seleccionar al menos 65 personas.

Ejercicio 6: Reserva 2 de 2025

Un tratamiento experimental para tratar una determinada intolerancia alimentaria mejora al 60% de los pacientes a los que se les suministra. Cinco pacientes deciden someterse a dicho tratamiento.

  1. Indique la distribución que sigue la variable "número de pacientes de entre los 5 que mejoran con este tratamiento". ¿Cuál es la probabilidad de que mejoren cuatro pacientes gracias al tratamiento?
  2. Calcule la probabilidad de que al menos dos pacientes experimenten mejoría tras someterse al tratamiento.
  3. ¿Cuántos pacientes se espera que mejoren al someterse a ese tratamiento?
  4. ¿Cuántos pacientes deberían someterse al tratamiento para que el número esperado de pacientes que mejoren sea mayor o igual a 12?