Icono Matemáticas de Selectividad

Buscar GitHub

Ejercicio 5: Junio de 2026

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos del espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Se sabe que 𝑃(𝐴) es el doble de 𝑃(𝐵), 𝑃(𝐵𝑐|𝐴) =0,75 y 𝑃(𝐴 ∩𝐵) =0,2.

  1. Calcule la probabilidad de que ocurra 𝐵.
  2. Calcule la probabilidad de que no ocurra ni 𝐴 ni 𝐵. ¿Son los sucesos 𝐴 y 𝐵 incompatibles?
  3. Si el experimento se realiza 1.350 veces de forma independiente:
    1. Determine la distribución de la variable aleatoria 𝑋: "Número de veces que ocurre 𝐵".
    2. Calcule la probabilidad de que 𝐵 ocurra a lo sumo 580 veces, pero más de 499 veces.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos la probabilidad de 𝐵 sabiendo que ha ocurrido 𝐴. 𝑃(𝐵|𝐴)=1−𝑃(𝐵𝑐|𝐴)=1−0,75=0,25. Despejando en la expresión de la probabilidad condicionada, obtenemos que: 𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴∩𝐵)𝑃(𝐴)⇒𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴∩𝐵)𝑃(𝐵|𝐴)=0,20,25=0,8. Por tanto, la probabilidad de que ocurra 𝐵 es: 𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴)2=0,82=0,4.
  2. La probabilidad de que no ocurra ni 𝐴 ni 𝐵 viene dada por: 𝑃(𝐴𝑐∩𝐵𝑐)=𝑃((𝐴∪𝐵)𝑐)=1−𝑃(𝐴∪𝐵). Calculamos la probabilidad de la unión. 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)=0,8+0,4−0,2=1. Por tanto, la probabilidad de que no ocurra ni 𝐴 ni 𝐵 es: 𝑃(𝐴𝑐∩𝐵𝑐)=1−𝑃(𝐴∪𝐵)=1−1=0. Así que los sucesos 𝐴 y 𝐵 son incompatibles.
    1. 𝑋 sigue una distribución Bi⁡(𝑛 =1.350, 𝑝 =0,4).
    2. La probabilidad de que 𝐵 ocurra a lo sumo 580 veces y más de 499 veces viene dada por 𝑃(500 ≤𝑋 ≤580). Observamos que: 𝑛𝑝=1350⋅0,4=540≥5,𝑛𝑞=1350⋅0,6=810≥5. Así que podemos aproximar 𝑋 por una distribución normal con: 𝜇=𝑛𝑝=540,𝜎=√𝑛𝑝𝑞=√1350⋅0,4⋅0,6=18. Es decir, podemos aproximar 𝑋 por una variable ˜𝑋 ∼𝑁(540,18). Por tanto, la probabilidad de que 𝐵 ocurra entre 500 y 580 veces es: 𝑃(500≤𝑋≤580)≈𝑃(499,5≤˜𝑋≤580,5)=(499,5−54018≤𝑍≤580,5−54018)==𝑃(−2,25≤𝑍≤2,25)=𝑃(𝑍≤2,25)−𝑃(𝑍≤−2,25)=𝑃(𝑍≤2,25)−[1−𝑃(𝑍≤2,25)]==2𝑃(𝑍≤2,25)−1=2⋅0,9878−1=0,9756.

Ejercicio 6: Julio de 2026

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos asociados a un mismo experimento aleatorio de los que se sabe que 𝑃(𝐴∩𝐵𝑐)=0,3,𝑃(𝐴𝑐)=0,35,𝑃(𝐵)=0,55.

  1. Calcule la probabilidad de que:
    1. Suceda al menos uno de ellos.
    2. Ocurra 𝐵, sabiendo que no ha ocurrido 𝐴.
  2. Se realiza este experimento aleatorio 11 veces, calcule:
    1. La probabilidad de que el suceso 𝐵 ocurra exactamente 8 veces.
    2. El número esperado de veces que ocurre el suceso 𝐵.

Ejercicio 5: Junio de 2025

Una empresa de marketing ha lanzado una campaña publicitaria para promocionar un nuevo servicio de energía solar para hogares. Según estudios previos, se estima que el 20% de las personas que ven el anuncio terminan contratando el servicio. Para analizar más en profundidad la efectividad de la campaña, se seleccionan aleatoriamente a 20 personas que han visto el anuncio.

  1. Calcule la probabilidad de que exactamente 10 personas contraten el servicio.
  2. Determine la probabilidad de que al menos 2 personas contraten el servicio.
  3. Determine el valor esperado del número de personas que contratarán el servicio de entre las seleccionadas.
  4. ¿Cuántas personas, de entre las que han visto el anuncio, se deberían seleccionar para que el número esperado de personas que contraten el servicio sea mayor o igual a 13?

Resolución

Llamamos 𝑋 al número de personas que contratan el servicio, con 𝑋 ∼Bi⁡(𝑛 =20, 𝑝 =0,2).

  1. La probabilidad de que 10 personas contraten el servicio es: 𝑃(𝑋=10)=(2010)0,210⋅0,810≈0,0020.
  2. En primer lugar, hallamos la probabilidad de que contraten el servicio menos de 2 personas. 𝑃(𝑋=0)=(200)0,20⋅0,820≈0,0115,𝑃(𝑋=1)=(201)0,21⋅0,819≈0,0576. Así que: 𝑃(𝑋≤1)=𝑃(𝑋=0)+𝑃(𝑋=1)=0,0115+0,0576=0,0691. Por tanto, la probabilidad de que contraten el servicio al menos 2 personas es: 𝑃(𝑋≥2)=1−𝑃(𝑋≤1)=1−0,0691=0,9309.
  3. El valor esperado viene dado por: 𝐸(𝑋)=𝑛𝑝=20⋅0,2=4.
  4. Para que el valor esperado sea 13, ha de verificarse: 𝐸(𝑋)=13⇔𝑛𝑝=13⇔0,2𝑛=13⇔𝑛=65. Por tanto, se deberían seleccionar al menos 65 personas.

Ejercicio 6: Reserva 2 de 2025

Un tratamiento experimental para tratar una determinada intolerancia alimentaria mejora al 60% de los pacientes a los que se les suministra. Cinco pacientes deciden someterse a dicho tratamiento.

  1. Indique la distribución que sigue la variable "número de pacientes de entre los 5 que mejoran con este tratamiento". ¿Cuál es la probabilidad de que mejoren cuatro pacientes gracias al tratamiento?
  2. Calcule la probabilidad de que al menos dos pacientes experimenten mejoría tras someterse al tratamiento.
  3. ¿Cuántos pacientes se espera que mejoren al someterse a ese tratamiento?
  4. ¿Cuántos pacientes deberían someterse al tratamiento para que el número esperado de pacientes que mejoren sea mayor o igual a 12?