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Ejercicio 4: Junio de 2025

En una casa con trastero viven tres personas y cada una tiene un llavero con las llaves de la casa. El primer llavero contiene 7 llaves, el segundo 8 y el tercero 5. En cada uno de los llaveros hay una única llave que abre el trastero. Otra persona necesita abrir el trastero y, para ello, selecciona un llavero al azar y, de este, elige una llave aleatoriamente e intenta abrirlo. Calcule la probabilidad de que:

  1. No haya acertado con la llave seleccionada.
  2. El llavero sea el tercero y la llave abra el trastero.
  3. Sabiendo que la llave elegida abre el trastero, esta pertenezca al primer o al tercer llavero.
  4. Si la llave no abre el trastero, esta no pertenezca al primer llavero.

Resolución

Llamamos 𝐿1 a seleccionar el llavero 1, 𝐿2 a seleccionar el llavero 2, 𝐿3 a seleccionar el llavero 3 y 𝐴 a abrir el trastero. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝐴
1/7←←←←←←←←←←←→
𝐿1
1/3←←←←←←←←←←←→ 6/7←←←←←←←←←←←→
𝐴𝑐
𝐴
1/8←←←←←←←←←←←→
1/3←←←←←←←←←←←→ 𝐿2
7/8←←←←←←←←←←←→
𝐴𝑐
𝐴
1/3←←←←←←←←←←←→ 1/5←←←←←←←←←←←→
𝐿3
4/5←←←←←←←←←←←→
𝐴𝑐
  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que no haya acertado con la llave seleccionada es: 𝑃(𝐴𝑐)=𝑃(𝐴𝑐∩𝐿1)+𝑃(𝐴𝑐∩𝐿2)+𝑃(𝐴𝑐∩𝐿3)==𝑃(𝐿1)⋅𝑃(𝐴𝑐|𝐿1)+𝑃(𝐿2)⋅𝑃(𝐴𝑐|𝐿2)+𝑃(𝐿3)⋅𝑃(𝐴𝑐|𝐿3)=13⋅67+13⋅78+13⋅45≈0,8440.
  2. La probabilidad de que el llavero sea el tercero y la llave abra el trastero es: 𝑃(𝐿3∩𝐴)=𝑃(𝐿3)⋅𝑃(𝐴|𝐿3)=13⋅15=115≈0,0667.
  3. La probabilidad de que la llave pertenezca al primer o al tercer llavero sabiendo que abre el trastero es: 𝑃((𝐿1∪𝐿3)|𝐴)=𝑃((𝐿1∪𝐿3)∩𝐴)𝑃(𝐴)=𝑃(𝐿1∩𝐴)+𝑃(𝐿3∩𝐴)1−𝑃(𝐴𝑐)=𝑃(𝐿1)⋅𝑃(𝐴|𝐿1)+𝑃(𝐿3)⋅𝑃(𝐴|𝐿3)1−𝑃(𝐴𝑐)==13⋅17+13⋅151−0,8440≈0,7328.
  4. La probabilidad de que la llave no pertenezca al primer llavero sabiendo que no abre el trastero es: 𝑃(𝐿𝑐1|𝐴𝑐)=𝑃(𝐿𝑐1∩𝐴𝑐)𝑃(𝐴𝑐)=𝑃(𝐿2∩𝐴𝑐)+𝑃(𝐿3∩𝐴𝑐)𝑃(𝐴𝑐)=𝑃(𝐿2)⋅𝑃(𝐴𝑐|𝐿2)+𝑃(𝐿3)⋅𝑃(𝐴𝑐|𝐿3)𝑃(𝐴𝑐)==13⋅78+13⋅450,8440≈0,6615.

Ejercicio 5: Junio de 2025

Una empresa de marketing ha lanzado una campaña publicitaria para promocionar un nuevo servicio de energía solar para hogares. Según estudios previos, se estima que el 20% de las personas que ven el anuncio terminan contratando el servicio. Para analizar más en profundidad la efectividad de la campaña, se seleccionan aleatoriamente a 20 personas que han visto el anuncio.

  1. Calcule la probabilidad de que exactamente 10 personas contraten el servicio.
  2. Determine la probabilidad de que al menos 2 personas contraten el servicio.
  3. Determine el valor esperado del número de personas que contratarán el servicio de entre las seleccionadas.
  4. ¿Cuántas personas, de entre las que han visto el anuncio, se deberían seleccionar para que el número esperado de personas que contraten el servicio sea mayor o igual a 13?

Resolución

Llamamos 𝑋 al número de personas que contratan el servicio, con 𝑋 ∼Bi⁡(𝑛 =20, 𝑝 =0,2).

  1. La probabilidad de que 10 personas contraten el servicio es: 𝑃(𝑋=10)=(2010)0,210⋅0,810≈0,0020.
  2. En primer lugar, hallamos la probabilidad de que contraten el servicio menos de 2 personas. 𝑃(𝑋=0)=(200)0,20⋅0,820≈0,0115,𝑃(𝑋=1)=(201)0,21⋅0,819≈0,0576. Así que: 𝑃(𝑋≤1)=𝑃(𝑋=0)+𝑃(𝑋=1)=0,0115+0,0576=0,0691. Por tanto, la probabilidad de que contraten el servicio al menos 2 personas es: 𝑃(𝑋≥2)=1−𝑃(𝑋≤1)=1−0,0691=0,9309.
  3. El valor esperado viene dado por: 𝐸(𝑋)=𝑛𝑝=20⋅0,2=4.
  4. Para que el valor esperado sea 13, ha de verificarse: 𝐸(𝑋)=13⇔𝑛𝑝=13⇔0,2𝑛=13⇔𝑛=65. Por tanto, se deberían seleccionar al menos 65 personas.

Ejercicio 5: Reserva 1 de 2025

Un nuevo servicio de streaming utiliza un algoritmo para recomendar películas a sus usuarios en función de las películas vistas anteriormente. Como la plataforma es de reciente creación, solo tiene disponibles tres géneros: ciencia ficción, terror y musicales. El 62% de las películas disponibles son de ciencia ficción, la cuarta parte son de terror y el resto musicales. De las películas de ciencia ficción, el algoritmo hace una recomendación correcta en el 70% de las ocasiones, de las de terror, el 75% de las veces y de los musicales, el 15%. Un usuario selecciona al azar una película de su lista de recomendaciones.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que el algoritmo haya hecho una recomendación correcta?
  2. Si no ha sido recomendada correctamente, ¿qué probabilidad hay de que la película sea de terror?
  3. De las recomendaciones correctas del género de ciencia ficción, el usuario queda satisfecho con la elección de la película en el 55% de las ocasiones. ¿Qué probabilidad hay de que la película sea de ciencia ficción, esté recomendada correctamente y el usuario haya quedado satisfecho?

Ejercicio 5: Reserva 2 de 2025

Una encuesta realizada a personas que utilizan productos de cosmética arroja los siguientes datos: el 66% de las personas encuestadas son mujeres y, de estas, el 71% utilizan cosmética natural. Además, se sabe que el 17,86% son hombres que no utilizan cosmética natural. Se selecciona una de estas personas al azar.

  1. Calcule la probabilidad de que sea mujer o use cosmética natural.
  2. Calcule la probabilidad de que sea hombre y utilice cosmética natural.
  3. Sabiendo que no usa cosmética natural, calcule la probabilidad de que sea hombre.
  4. ¿Son sucesos incompatibles "utilizar cosmética natural" y "ser mujer"? ¿Son independientes?

Ejercicio 6: Reserva 2 de 2025

Un tratamiento experimental para tratar una determinada intolerancia alimentaria mejora al 60% de los pacientes a los que se les suministra. Cinco pacientes deciden someterse a dicho tratamiento.

  1. Indique la distribución que sigue la variable "número de pacientes de entre los 5 que mejoran con este tratamiento". ¿Cuál es la probabilidad de que mejoren cuatro pacientes gracias al tratamiento?
  2. Calcule la probabilidad de que al menos dos pacientes experimenten mejoría tras someterse al tratamiento.
  3. ¿Cuántos pacientes se espera que mejoren al someterse a ese tratamiento?
  4. ¿Cuántos pacientes deberían someterse al tratamiento para que el número esperado de pacientes que mejoren sea mayor o igual a 12?

Ejercicio 5: Reserva 3 de 2025

En un estudio sobre la presencia de mujeres en las empresas tecnológicas se observa que el 20% de los operarios, el 40% de los ingenieros y el 30% de los directivos son mujeres. Se sabe que en estas empresas el 20% de las plantillas son directivos, el 35% son ingenieros y el resto son operarios. Se elige un trabajador al azar de una de estas empresas.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea un operario y sea mujer?
  2. Si el trabajador elegido no es un operario, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?
  3. Si el trabajador elegido es hombre, ¿a qué colectivo es más probable que pertenezca?

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2025

Una empresa de tecnología fabrica tres modelos de teléfonos móviles: Básico, Intermedio y Premium. Cada modelo puede estar fabricado con uno de los siguientes tipos de pantalla: A o B. El 35% de los móviles fabricados por esta empresa son del modelo Básico, el 45% son del Intermedio y el resto son Premium. Se sabe que el 80% de los móviles fabricados del modelo Básico tienen una pantalla del tipo A, mientras que en el modelo Premium solo un 5% dispone de esta pantalla. Finalmente, el 53% de los teléfonos producidos tienen pantalla del tipo A. Se selecciona un teléfono al azar de la línea de producción. Determine la probabilidad de que:

  1. Tenga una pantalla del tipo A sabiendo que es del modelo Intermedio.
  2. Sea del modelo Intermedio sabiendo que tiene pantalla del tipo A.

Ejercicio 5: Reserva 4 de 2025

El 20% de los estudiantes de danza de una localidad andaluza están matriculados en la escuela A y el resto en la B. En estas escuelas se practica danza clásica y moderna y cada estudiante solo se puede matricular en una de estas dos especialidades. De los matriculados en A, el 70% practica danza clásica y el resto danza moderna. Se sabe también que el 32% de los estudiantes de danza son de la escuela B y practican danza clásica. Elegido al azar un estudiante de danza de la localidad, calcule la probabilidad de que:

  1. Practique danza clásica.
  2. Practique danza moderna si es de la escuela B.
  3. Estudie en la escuela B si resulta ser un estudiante de danza moderna.
  4. Sea de la escuela A, practique danza clásica y realice un Máster, sabiendo que el 80% de los estudiantes de danza clásica de la escuela A realiza un Máster.

Ejercicio 4: Julio de 2025

En un determinado centro educativo, el 50% del alumnado aprueba Historia, el 70% aprueba Matemáticas y el 30% aprueba ambas asignaturas. Si se elige un alumno al azar:

  1. Halle la probabilidad de que apruebe solo una de las dos asignaturas.
  2. Halle la probabilidad de que no apruebe más de una asignatura.
  3. Halle la probabilidad de que apruebe Historia si ha suspendido Matemáticas.
  4. Determine si los sucesos "Aprobar Matemáticas" y "Aprobar Historia" son independientes. ¿Son incompatibles?

Resolución

Llamamos 𝐻 a aprobar Historia y 𝑀 a aprobar Matemáticas. Sabemos que: 𝑃(𝐻)=0,5,𝑃(𝑀)=0,7y𝑃(𝐻∩𝑀)=0,3.

  1. La probabilidad de que apruebe solo una de las dos asignaturas es: 𝑃(𝐻−𝑀)+𝑃(𝑀−𝐻)=𝑃(𝐻)−𝑃(𝐻∩𝑀)+𝑃(𝑀)−𝑃(𝐻∩𝑀)=0,5−0,3+0,7−0,3=0,6.
  2. La probabilidad de que no apruebe más de una asignatura es: 𝑃((𝐻∩𝑀)𝑐)=1−𝑃(𝐻∩𝑀)=1−0,3=0,7.
  3. La probabilidad de que apruebe Historia sabiendo que ha suspendido Matemáticas es: 𝑃(𝐻|𝑀𝑐)=𝑃(𝐻∩𝑀𝑐)𝑃(𝑀𝑐)=𝑃(𝐻)−𝑃(𝐻∩𝑀)1−𝑃(𝑀)=0,5−0,31−0,7=23.
  4. Como 𝑃(𝐻) ≠𝑃(𝐻|𝑀𝑐), los sucesos 𝐻 y 𝑀 no son independientes. Por otro lado, como 𝑃(𝐻 ∩𝑀) >0, los sucesos no son incompatibles.

Ejercicio 5: Julio de 2025

Los alumnos de un colegio de una localidad andaluza van a realizar una excursión a la estación de esquí de Sierra Nevada desplazándose en tres autobuses A, B y C. En el autobús A se desplazan cuatro novenos de los alumnos de la excursión, en el B se desplaza la tercera parte y el resto van en el autobús C. Se sabe que el 65% de los alumnos que viajan en el autobús A y el 40% de los del autobús B no sabe esquiar y todos los del autobús C sí que saben esquiar. Se escoge al azar a uno de los alumnos de la excursión. Calcule la probabilidad de que:

  1. Sepa esquiar.
  2. Viaje en el autobús C, si sabe esquiar.
  3. Sepa esquiar y no viaje en el autobús B.

Resolución

Llamamos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 a viajar en los autobuses A, B y C, respectivamente, y 𝐸 a saber esquiar. Podemos organizar los datos en un diagrama de árbol.

𝐸
0,35←←←←←←←←←←←→
𝐴
4/9←←←←←←←←←←←→ 0,65←←←←←←←←←←←→
𝐸𝑐
𝐸
0,6←←←←←←←←←←→
1/3←←←←←←←←←←←→ 𝐵
0,4←←←←←←←←←←→
𝐸𝑐
2/9←←←←←←←←←←←→
𝐶 1←←←←←←←←←→ 𝐸
  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que un alumno sepa esquiar es: 𝑃(𝐸)=𝑃(𝐸∩𝐴)+𝑃(𝐸∩𝐵)+𝑃(𝐸∩𝐶)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐸|𝐴)+𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐸|𝐵)+𝑃(𝐶)==49⋅0,35+13⋅0,6+29≈0,5778.
  2. La probabilidad de que un alumno viaje en el autobús C sabiendo que es capaz de esquiar es: 𝑃(𝐶|𝐸)=𝑃(𝐶∩𝐸)𝑃(𝐸)=𝑃(𝐶)𝑃(𝐸)=290,5778≈0,3846.
  3. La probabilidad de que un alumno sepa esquiar y no viaje en el autobús B es: 𝑃(𝐸∩𝐵𝑐)=𝑃(𝐸)−𝑃(𝐸∩𝐵)=𝑃(𝐸)−𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐸|𝐵)=0,5778−13⋅0,6=0,3778.

Ejercicio 5: Junio de 2024

Una agencia ha realizado un estudio acerca de la siniestralidad de los vehículos de una región. Se ha dividido a los conductores en dos grupos: jóvenes los menores de 30 años y sénior el resto de conductores. Asimismo, también se ha dividido a los vehículos en dos grupos: nuevos los que tienen menos de 5 años de antigüedad y viejos el resto de vehículos. De los 54 siniestros registrados, en 19 de ellos el vehículo implicado era nuevo y en 29 los conductores eran jóvenes. Finalmente, 21 de los siniestros se dieron con vehículos viejos y conductores jóvenes. Se escoge uno de estos siniestros al azar.

  1. Calcule la probabilidad de que el conductor sea sénior y el vehículo viejo.
  2. Calcule la probabilidad de que el conductor sea joven sabiendo que el vehículo es viejo.
  3. Determine razonadamente si la siguiente afirmación es cierta: "Los siniestros de este estudio menos probables son aquellos en los que el conductor es sénior y el vehículo es nuevo".

Resolución
  1. Llamamos 𝐽 a ser joven, 𝑆 a ser sénior, 𝑁 a tener un coche nuevo y 𝑉 a tener un coche viejo. Podemos organizar los datos en una tabla de contingencia.
    Jóvenes Sénior
    Nuevos 8 11 19
    Viejos 21 14 35
    29 25 54
    La probabilidad de que el conductor sea sénior y el vehículo sea viejo es 𝑃(𝑆∩𝑉)=1454=727.
  2. La probabilidad de que el conductor sea joven sabiendo que el vehículo es viejo es 𝑃(𝐽|𝑉)=2135=35.
  3. De las cuatro combinaciones, los siniestros en los que el conductor es joven y el vehículo es nuevo representan el menor número de casos. Por tanto, su probabilidad es la menor de las cuatro. Así que los siniestros en los que el conductor es sénior y el vehículo es nuevo no son los menos probables.

Ejercicio 6: Junio de 2024

Un grupo de turistas programa una visita a la Geoda de Pulpí. El 42% de los turistas del grupo proceden de Andalucía, el 32% de otras comunidades autónomas y el resto del extranjero. Son mayores de edad el 65% de los visitantes que proceden de Andalucía y el 75% de los que proceden de otras comunidades autónomas. Son menores de edad el 20% de los visitantes extranjeros. Elegido un turista de este grupo al azar, halle la probabilidad de que:

  1. Sea mayor de edad.
  2. Proceda de Andalucía y sea menor de edad.
  3. Sea extranjero sabiendo que es menor de edad.

Resolución

Llamamos 𝐴 a proceder de Andalucía, 𝑂 de otras comunidades, 𝐸 del extranjero y 𝑀 a ser mayor de edad. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝑀
0,65←←←←←←←←←←←→
𝐴
0,42←←←←←←←←←←←→ 0,35←←←←←←←←←←←→
𝑀𝑐
𝑀
0,75←←←←←←←←←←←→
0,32←←←←←←←←←←←→ 𝑂
0,25←←←←←←←←←←←→
𝑀𝑐
𝑀
0,26←←←←←←←←←←←→ 0,8←←←←←←←←←←→
𝐸
0,2←←←←←←←←←←→
𝑀𝑐
  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que sea mayor de edad es: 𝑃(𝑀)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝑀|𝐴)+𝑃(𝑂)⋅𝑃(𝑀|𝑂)+𝑃(𝐸)⋅𝑃(𝑀|𝐸)=0,42⋅0,65+0,32⋅0,75+0,26⋅0,8=0,721.
  2. La probabilidad de que proceda de Andalucía y sea menor de edad es: 𝑃(𝐴∩𝑀𝑐)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝑀𝑐|𝐴)=0,42⋅0,35=0,147.
  3. La probabilidad de que sea extranjero sabiendo que es menor de edad es: 𝑃(𝐸|𝑀𝑐)=𝑃(𝐸∩𝑀𝑐)𝑃(𝑀𝑐)=𝑃(𝐸)⋅𝑃(𝑀𝑐|𝐸)1−𝑃(𝑀)=0,26⋅0,21−0,721≈0,1864.

Ejercicio 5: Reserva 1 de 2024

En una encuesta realizada en una librería se ha determinado que el 45% de sus clientes compran novelas históricas, mientras que el 40% no compra novelas de fantasía. Además, de los clientes que compran novelas de fantasía, solo el 30% compran también novelas históricas. Elegido un cliente al azar, calcule la probabilidad de que:

  1. Compre novelas históricas y de fantasía.
  2. No compre novelas históricas y tampoco de fantasía.
  3. Compre una novela de fantasía, sabiendo que no ha comprado ninguna novela histórica.

Resolución

Llamamos 𝐻 a comprar novelas históricas y 𝐹 a comprar novelas de fantasía. Sabemos que: 𝑃(𝐻)=0,45,𝑃(𝐹𝑐)=0,4⇒𝑃(𝐹)=0,6y𝑃(𝐻|𝐹)=0,3.

  1. La probabilidad de que un cliente compre novelas históricas y de fantasía es: 𝑃(𝐻∩𝐹)=𝑃(𝐹)⋅𝑃(𝐻|𝐹)=0,6⋅0,3=0,18.
  2. La probabilidad de que no compre novelas ni históricas ni de fantasía es: 𝑃(𝐻𝑐∩𝐹𝑐)=𝑃((𝐻∪𝐹)𝑐)=1−𝑃(𝐻∪𝐹)==1−(𝑃(𝐻)+𝑃(𝐹)−𝑃(𝐻∩𝐹))=1−(0,45+0,6−0,18)=0,13.
  3. La probabilidad de que compre una novela de fantasía sabiendo que no ha comprado ninguna novela histórica es: 𝑃(𝐹|𝐻𝑐)=𝑃(𝐹∩𝐻𝑐)𝑃(𝐻𝑐)=𝑃(𝐹)−𝑃(𝐻∩𝐹)1−𝑃(𝐻)=0,6−0,181−0,45≈0,7636.

Ejercicio 6: Reserva 1 de 2024

Una fábrica dispone de 3 máquinas A, B y C para la fabricación de una cierta pieza. El 25% de las piezas son fabricadas por la máquina A, el 35% por B y el resto por C. Tras un estudio se determina que el 2,05% del total de las piezas fabricadas son defectuosas y que el 1% de las piezas fabricadas por B son defectuosas.

  1. Se selecciona una pieza al azar y resulta no ser defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que fuera fabricada por la máquina B?
  2. Si A y C tienen la misma probabilidad de fabricar una pieza defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que una pieza sea fabricada por A sabiendo que es defectuosa?

Resolución

Llamamos 𝐴 a fabricar una pieza con la máquina A, 𝐵 con la máquina B, 𝐶 con la máquina C y 𝐷 a fabricar una pieza defectuosa. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝐷
𝑝←←←←←←←←←→
𝐴
0,25←←←←←←←←←←←→ 1−𝑝←←←←←←←←←←←→
𝐷𝑐
𝐷
0,01←←←←←←←←←←←→
0,35←←←←←←←←←←←→ 𝐵
0,99←←←←←←←←←←←→
𝐷𝑐
𝐷
0,4←←←←←←←←←←→ 𝑝←←←←←←←←←→
𝐶
1−𝑝←←←←←←←←←←←→
𝐷𝑐

También sabemos que 𝑃(𝐷) =0,0205.

  1. La probabilidad de que una pieza sea fabricada por la máquina B sabiendo que no es defectuosa es: 𝑃(𝐵|𝐷𝑐)=𝑃(𝐵∩𝐷𝑐)𝑃(𝐷𝑐)=𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐷𝑐|𝐵)1−𝑃(𝐷)=0,35⋅0,991−0,0205≈0,3538.
  2. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que una pieza sea defectuosa viene dada por: 𝑃(𝐷)=𝑃(𝐷∩𝐴)+𝑃(𝐷∩𝐵)+𝑃(𝐷∩𝐶)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐷|𝐴)+𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐷|𝐵)+𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝐷|𝐶)==0,25𝑝+0,35⋅0,01+0,4𝑝=0,65𝑝+0,0035. Como 𝑃(𝐷) =0,0205, 0,0205=0,65𝑝+0,0035⇔0,65𝑝=0,0205−0,0035⇔𝑝=0,0205−0,00350,65≈0,0262. Por tanto, la probabilidad de que una pieza sea fabricada por la máquina A sabiendo que es defectuosa es: 𝑃(𝐴|𝐷)=𝐴∩𝐷𝑃(𝐷)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐷|𝐴)𝑃(𝐷)=0,25⋅0,02620,0205≈0,3195.

Ejercicio 5: Reserva 2 de 2024

Un grupo de 15 amigas se van a pasar un fin de semana a una casa rural. Al llegar reparten las tareas: 3 irán al mercado, 2 a comprar leña y el resto se quedarán en la casa. Para realizar el reparto de las tareas se introducen 15 papeletas en una urna de las que 3 tienen la palabra "mercado", 2 la palabra "leña" y el resto la palabra "casa". Cada una coge una papeleta de forma ordenada y sin reposición. Calcule la probabilidad de los siguientes sucesos:

  1. Las dos primeras papeletas extraídas tienen escrita la palabra "mercado".
  2. Las dos primeras papeletas extraídas no tienen escrita la palabra "casa".
  3. Si la segunda papeleta extraída tiene escrita "leña", ¿cuál es la probabilidad de que la primera también tenga escrita "leña"?

Resolución

Llamamos 𝑀 a tener escrita la palabra "mercado", 𝐿 la palabra "leña" y 𝐶 la palabra casa. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝑀2
2/14←←←←←←←←←←←←→
𝑀1 2/14←←←←←←←←←←←←→ 𝐿2
3/15←←←←←←←←←←←←→ 10/14←←←←←←←←←←←←←→
𝐶2
𝑀2
3/14←←←←←←←←←←←←→
2/15←←←←←←←←←←←←→ 𝐿1 1/14←←←←←←←←←←←←→ 𝐿2
10/14←←←←←←←←←←←←←→
𝐶2
𝑀2
10/15←←←←←←←←←←←←←→ 3/14←←←←←←←←←←←←→
𝐶1 2/14←←←←←←←←←←←←→ 𝐿2
9/14←←←←←←←←←←←←→
𝐶2
  1. La probabilidad de que las dos primeras papeletas tengan escrita la palabra "mercado" es: 𝑃(𝑀1∩𝑀2)=𝑃(𝑀1)⋅𝑃(𝑀2|𝑀1)=315⋅214=135.
  2. La probabilidad de que ninguna de las dos primeras papeletas tenga escrita la palabra "casa" es: 𝑃(𝐶𝑐1∩𝐶𝑐2)=𝑃(𝑀1)⋅𝑃(𝑀2|𝑀1)+𝑃(𝑀1)⋅𝑃(𝐿1|𝑀1)+𝑃(𝐿1)⋅𝑃(𝑀2|𝐿1)+𝑃(𝐿1)⋅𝑃(𝐿2|𝐿1)==315⋅214+315⋅214+215⋅314+215⋅114=221.
  3. La probabilidad de que la primera papaleta tenga escrita la palabra "leña" sabiendo que la segunda la tiene es: 𝑃(𝐿1|𝐿2)=𝑃(𝐿1∩𝐿2)𝑃(𝐿2)=𝑃(𝐿1)⋅𝑃(𝐿2|𝐿1)𝑃(𝐿2)=215⋅114315⋅214+215⋅114+1015⋅214=114.

Ejercicio 6: Reserva 2 de 2024

Una empresa ha instalado 50 alarmas de las que 30 son de tipo básico y el resto de tipo superior. Se sabe que el 80% de todas las alarmas no presentan incidencias y que de las de tipo básico un 30% presentan alguna incidencia. Se elige al azar una de estas alarmas. Calcule la probabilidad de que:

  1. Sea de tipo básico y no presente incidencias.
  2. No presente incidencias siendo de tipo superior.
  3. Teniendo incidencias sea de tipo básico.
  4. Sea de "tipo básico y tenga incidencias" o sea de "tipo superior y no tenga incidencias".

Resolución

Llamamos 𝐵 a ser de tipo básico, 𝑆 a ser de tipo superior e 𝐼 a presentar alguna incidencia. Sabemos que: 𝑃(𝐵)=3050=0,6y𝑃(𝑆)=2050=0,4. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝐼
0,3←←←←←←←←←←→
𝐵
0,6←←←←←←←←←←→ 0,7←←←←←←←←←←→
𝐼𝑐
𝐼
0,4←←←←←←←←←←→ 𝑝←←←←←←←←←→
𝑆
1−𝑝←←←←←←←←←←←→
𝐼𝑐

También sabemos que: 𝑃(𝐼𝑐)=0,8⇒𝑃(𝐼)=0,2.

  1. La probabilidad de que sea de tipo básico y no presente incidencias es: 𝑃(𝐵∩𝐼𝑐)=𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐼𝑐|𝐵)=0,6⋅0,7=0,42.
  2. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que presente alguna incidencia viene dada por: 𝑃(𝐼)=𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐼|𝐵)+𝑃(𝑆)⋅𝑃(𝐼|𝑆)=0,6⋅0,3+0,4⋅𝑝=0,18+0,4𝑝. Como 𝑃(𝐼) =0,2, 0,18+0,4𝑝=0,2⇔0,4𝑝=0,02⇔𝑝=0,05. Por tanto, la probabilidad de que no presente incidencias siendo de tipo superior es: 𝑃(𝐼𝑐|𝑆)=1−𝑃(𝐼|𝑆)=1−0,05=0,95.
  3. La probabilidad de que teniendo incidencias sea de tipo básico es: 𝑃(𝐵|𝐼)=𝑃(𝐵∩𝐼)𝑃(𝐼)=𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐼|𝐵)𝑃(𝐼)=0,6⋅0,30,2=0,9.
  4. La probabilidad de que sea de "tipo básico y tenga incidencias" o sea de "tipo superior y no tenga incidencias" es: 𝑃((𝐵∩𝐼)∪(𝑆∩𝐼𝑐))=𝑃(𝐵∩𝐼)+𝑃(𝑆∩𝐼𝑐)=𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐼|𝐵)+𝑃(𝑆)⋅𝑃(𝐼𝑐|𝑆)==0,6⋅0,3+0,4⋅0,95=0,56.

Ejercicio 5: Reserva 3 de 2024

Una tienda vende ropa de tallas M, L y XL. Se sabe que el 65% de sus clientes son mujeres. El 50% de las mujeres que compran ropa en esa tienda usan la talla M y el 10% la talla XL. De los hombres, el 40% usan la talla L y el 45% la XL.

  1. ¿Qué porcentaje de mujeres que compran ropa en esa tienda no usan la talla XL?
  2. Halle el porcentaje de clientes que no usan la talla L.
  3. De los clientes que usan la talla M, ¿qué porcentaje son mujeres?

Resolución

Llamamos 𝑊 a ser mujer, 𝐻 a ser hombre, 𝑀 a usar la talla M, 𝐿 a usar la talla L y 𝑋 a usar la talla XL. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝑀
0,5←←←←←←←←←←→
𝑊 0,4←←←←←←←←←←→ 𝐿
0,65←←←←←←←←←←←→ 0,1←←←←←←←←←←→
𝑋
𝑀
0,35←←←←←←←←←←←→ 0,15←←←←←←←←←←←→
𝐻 0,4←←←←←←←←←←→ 𝐿
0,45←←←←←←←←←←←→
𝑋
  1. La probabilidad de que un cliente no use la talla XL sabiendo que es mujer es: 𝑃(𝑋𝑐|𝑊)=1−𝑃(𝑋|𝑊)=1−0,1=0,9. Por tanto, el 90% de las mujeres que compran ropa en esa tienda no usan la talla XL.
  2. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que un cliente use la talla L es: 𝑃(𝐿)=𝑃(𝐿∩𝑊)+𝑃(𝐿∩𝐻)=𝑃(𝑊)⋅𝑃(𝐿|𝑊)+𝑃(𝐻)⋅𝑃(𝐿|𝐻)=0,65⋅0,4+0,35⋅0,4=0,4. Así que la probabilidad de que un cliente no use la talla L es: 𝑃(𝐿𝑐)=1−𝑃(𝐿)=1−0,4=0,6. Por tanto, el 60% de los clientes no usan la talla L.
  3. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que un cliente use la talla M es: 𝑃(𝑀)=𝑃(𝑀∩𝑊)+𝑃(𝑀∩𝐻)=𝑃(𝑊)⋅𝑃(𝑀|𝑊)+𝑃(𝐻)⋅𝑃(𝑀|𝐻)=0,65⋅0,5+0,35⋅0,15=0,3775. La probabilidad de que un cliente sea mujer sabiendo que usa la talla M es: 𝑃(𝑊|𝑀)=𝑃(𝑊∩𝑀)𝑃(𝑀)=𝑃(𝑊)⋅𝑃(𝑀|𝑊)𝑃(𝑀)=0,65⋅0,50,3775≈0,8609. Por tanto, el 86,09% de los clientes que usan la talla M son mujeres.

Ejercicio 6: Reserva 3 de 2024

El 75% de los estudiantes de un centro aprueba la asignatura A y un 55% aprueba la asignatura B. Además, un 35% del total de estudiantes aprueba ambas. Elegido un estudiante al azar de este centro, calcule las siguientes probabilidades:

  1. No apruebe B sabiendo que ha aprobado A.
  2. Aprueba alguna de estas asignaturas.
  3. No apruebe ni A ni B.
  4. Haya aprobado A si se sabe que ha aprobado alguna de estas dos asignaturas.
  5. Estudie si los sucesos "aprobar A" y "aprobar B" son independientes.

Resolución

Llamamos 𝐴 a aprobar la asignatura A y 𝐵 a aprobar la asignatura B. Sabemos que: 𝑃(𝐴)=0,75,𝑃(𝐵)=0,55y𝑃(𝐴∩𝐵)=0,35.

  1. La probabilidad de que no apruebe B sabiendo que ha aprobado A es: 𝑃(𝐵𝑐|𝐴)=1−𝑃(𝐵|𝐴)=1−𝑃(𝐵∩𝐴)𝑃(𝐴)=1−0,350,75≈0,5333.
  2. La probabilidad de que apruebe alguna de estas asignaturas es: 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)=0,75+0,55−0,35=0,95.
  3. La probabilidad de que no apruebe ni A ni B es: 𝑃(𝐴𝑐∩𝐵𝑐)=𝑃((𝐴∪𝐵)𝑐)=1−𝑃(𝐴∪𝐵)=1−0,95=0,05.
  4. La probabilidad de que haya aprobado A sabiendo que ha aprobado alguna de estas asignaturas es: 𝑃(𝐴|𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐴∪𝐵)=0,750,95≈0,7895.
  5. Como 𝑃(𝐵𝑐|𝐴) ≠𝑃(𝐵𝑐), los sucesos 𝐴 y 𝐵 no son independientes.

Ejercicio 5: Reserva 4 de 2024

En cierta localidad el 30% de los habitantes profesan la religión A y el 50% profesan otras religiones diferentes de A. De los que profesan la religión A el 40% son mujeres. De las mujeres el 25% profesa la religión A. Se elige un habitante al azar de esa localidad. Calcule la probabilidad de que:

  1. No profese ninguna religión.
  2. Sea hombre.
  3. Solo verifique uno de los siguientes sucesos: "profesa la religión A"; "es mujer".

Resolución

Llamamos 𝐴 a profesar la religión A, 𝐵 a profesar otras religiones diferentes a A, 𝑀 a ser mujer y 𝐻 a ser hombre. Sabemos que: 𝑃(𝐴)=0,3,𝑃(𝐵)=0,5,𝑃(𝑀|𝐴)=0,4y𝑃(𝐴|𝑀)=0,25.

  1. La probabilidad de que no profese ninguna religión es: 𝑃(𝐴𝑐∩𝐵𝑐)=𝑃((𝐴∪𝐵)𝑐)=1−𝑃(𝐴∪𝐵)=1−𝑃(𝐴)−𝑃(𝐵)=1−0,3−0,5=0,2.
  2. La probabilidad de que profese la religión A y sea mujer viene dada por: 𝑃(𝐴∩𝑀)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝑀|𝐴)=0,3⋅0,4=0,12. Por otro lado, la probabilidad de que profese la religión A sabiendo que es mujer viene dada por: 𝑃(𝐴|𝑀)=𝑃(𝐴∩𝑀)𝑃(𝑀)⇒𝑃(𝑀)=𝑃(𝐴∩𝑀)𝑃(𝐴|𝑀)=0,120,25=0,48. Por tanto, la probabilidad de que sea hombre es: 𝑃(𝐻)=1−𝑃(𝑀)=1−0,48=0,52.
  3. La probabilidad de que o bien profese la religión A o bien sea mujer es: 𝑃(𝐴−𝑀)+𝑃(𝑀−𝐴)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴∩𝑀)+𝑃(𝑀)−𝑃(𝐴∩𝑀)=0,3−0,12+0,48−0,12=0,54.

Ejercicio 6: Reserva 4 de 2024

En una empresa, el 30% de los empleados ejercen de economistas y el 25% ejercen de abogados. El 75% de los economistas y el 60% de los abogados ocupan puestos directivos, mientras que, de los empleados que no ejercen ni de economistas ni de abogados, el 15% ocupa un puesto directivo. Seleccionado un empleado al azar de esta empresa, calcule la probabilidad de que:

  1. No ocupe un puesto directivo.
  2. Ejerza de economista sabiendo que ocupa un puesto directivo.

Resolución

Llamamos 𝐸 a ejercer de economista, 𝐴 a ejercer de abogado, 𝑂 a tener otro empleo y 𝐷 a ocupar un puesto directivo. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝐷
0,75←←←←←←←←←←←→
𝐸
0,3←←←←←←←←←←→ 0,25←←←←←←←←←←←→
𝐷𝑐
𝐷
0,6←←←←←←←←←←→
0,25←←←←←←←←←←←→ 𝐴
0,4←←←←←←←←←←→
𝐷𝑐
𝐷
0,45←←←←←←←←←←←→ 0,15←←←←←←←←←←←→
𝑂
0,85←←←←←←←←←←←→
𝐷𝑐
  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que no ocupe un puesto directivo es: 𝑃(𝐷𝑐)=𝑃(𝐷𝑐∩𝐸)+𝑃(𝐷𝑐∩𝐴)+𝑃(𝐷𝑐∩𝑂)=𝑃(𝐸)⋅𝑃(𝐷𝑐|𝐸)+𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐷𝑐|𝐴)+𝑃(𝑂)⋅𝑃(𝐷𝑐|𝑂)==0,3⋅0,25+0,25⋅0,4+0,45⋅0,85=0,5575.
  2. La probabilidad de que ejerza de economista sabiendo que ocupa un puesto directivo: 𝑃(𝐸|𝐷)=𝑃(𝐸∩𝐷)𝑃(𝐷)=𝑃(𝐸)⋅𝑃(𝐷|𝐸)1−𝑃(𝐷𝑐)=0,3⋅0,751−0,5575≈0,5085.

Ejercicio 5: Julio de 2024

El 7% de los habitantes de una ciudad no tienen ni coche ni moto. De entre los que tienen coche el 36% tienen moto y de entre los que no tienen coche el 28% no tienen moto. Se elige al azar un habitante de esa ciudad.

  1. Calcule la probabilidad de que solo tenga uno de los dos vehículos.
  2. Calcule la probabilidad de que al menos tenga uno de los dos vehículos.
  3. Si tiene coche, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga moto?
  4. ¿Son independientes los sucesos "tener coche" y "no tener moto"? ¿Son incompatibles?

Resolución

Llamamos 𝐶 a tener coche y 𝑀 a tener moto. Sabemos que 𝑃(𝑀𝑐∩𝐶𝑐)=0,07,𝑃(𝑀|𝐶)=0,36y𝑃(𝑀𝑐|𝐶𝑐)=0,28. En primer lugar, podemos hallar algunas probabilidades a partir de los datos. Calculamos la probabilidad de la unión. 𝑃(𝑀∪𝐶)=1−𝑃((𝑀∪𝐶)𝑐)=1−𝑃(𝑀𝑐∩𝐶𝑐)=1−0,07=0,93. Hallamos también la probabilidad de tener coche. 𝑃(𝑀𝑐|𝐶𝑐)=𝑃(𝑀𝑐∩𝐶𝑐)𝑃(𝐶𝑐)=𝑃(𝑀𝑐∩𝐶𝑐)1−𝑃(𝐶)⇒⇒𝑃(𝐶)=1−𝑃(𝑀𝑐∩𝐶𝑐)𝑃(𝑀𝑐|𝐶𝑐)=1−0,070,28=0,75. Por último, calculamos la probabilidad de la intersección. 𝑃(𝑀∩𝐶)=𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝑀|𝐶)=0,75⋅0,36=0,27.

  1. La probabilidad de que solo tenga uno de los dos vehículos es 𝑃(𝑀∪𝐶)−𝑃(𝑀∩𝐶)=0,93−0,27=0,66.
  2. La probabilidad de que al menos tenga uno de los dos vehículos es 𝑃(𝑀∪𝐶)=0,93.
  3. La probabilidad de que no tenga moto sabiendo que tiene coche es 𝑃(𝑀𝑐|𝐶)=1−𝑃(𝑀|𝐶)=1−0,36=0,64.
  4. En primer lugar, calculamos la probabilidad de que tenga moto usando la probabilidad de la unión. 𝑃(𝑀∪𝐶)=𝑃(𝑀)+𝑃(𝐶)−𝑃(𝑀∩𝐶)⇒⇒𝑃(𝑀)=𝑃(𝑀∪𝐶)+𝑃(𝑀∩𝐶)−𝑃(𝐶)=0,93+0,27−0,75=0,45. Como 𝑃(𝑀) ≠𝑃(𝑀|𝐶), los sucesos 𝑀 y 𝐶 no son independientes. Por otro lado, como 𝑃(𝑀 ∩𝐶) >0, los sucesos no son incompatibles.

Ejercicio 6: Julio de 2024

Se ha realizado un estudio a personas que están teletrabajando actualmente. De estos, el 72% trabajan por cuenta ajena con contrato indefinido, el 11% lo hacen por cuenta ajena con contrato temporal y el resto trabajan por cuenta propia. El 87% de los que tienen contrato indefinido y el 86% de los que trabajan por cuenta propia piensan que el teletrabajo mejora la conciliación familiar. Además, este estudio ha revelado que el 12,51% de los trabajadores opinan que el teletrabajo no mejora la conciliación familiar. Seleccionado un teletrabajador al azar, determine la probabilidad de que:

  1. Opine que el teletrabajo sí mejora la conciliación familiar sabiendo que tiene un contrato temporal.
  2. No esté trabajando por cuenta propia sabiendo que opina que el teletrabajo mejora la conciliación familiar.

Resolución

Llamamos 𝐼 a trabajar con contrato indefinido, 𝑇 con contrato temporal, 𝐴 por cuenta propia y 𝐹 a pensar que el teletrabajo mejora la conciliación familiar. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝐹
0,87←←←←←←←←←←←→
𝐼
0,72←←←←←←←←←←←→ 0,13←←←←←←←←←←←→
𝐹𝑐
𝐹
𝑝←←←←←←←←←→
0,11←←←←←←←←←←←→ 𝑇
1−𝑝←←←←←←←←←←←→
𝐹𝑐
𝐹
0,17←←←←←←←←←←←→ 0,86←←←←←←←←←←←→
𝐴
0,14←←←←←←←←←←←→
𝐹𝑐

También sabemos que: 𝑃(𝐹𝑐)=0,1251⇒𝑃(𝐹)=0,8749.

  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que opine que el teletrabajo mejora la conciliación familiar viene dada por: 𝑃(𝐹)=𝑃(𝐼)⋅𝑃(𝐹|𝐼)+𝑃(𝑇)⋅𝑃(𝐹|𝑇)+𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐹|𝐴)==0,72⋅0,87+0,11⋅𝑝+0,17⋅0,86=0,11𝑝+0,7726. Como 𝑃(𝐹) =0,8749, 0,11𝑝+0,7726=0,8749⇔0,11𝑝=0,1023⇔𝑝=0,93. Por tanto, la probabilidad de que opine que el teletrabajo mejora la conciliación familiar sabiendo que tiene un contrato temporal es 𝑃(𝐹|𝑇) =0,93.
  2. La probabilidad de que no esté trabajando por cuenta propia sabiendo que opina que el teletrabajo mejora la conciliación familiar es: 𝑃(𝐴𝑐|𝐹)=1−𝑃(𝐴|𝐹)=1−𝑃(𝐴∩𝐹)𝑃(𝐹)=1−0,17⋅0,860,8749≈0,8329.

Ejercicio 5: Junio de 2023

Disponemos de una moneda trucada en la que la probabilidad de obtener cara, al lanzarla, es el doble de la de obtener cruz.

  1. Halle la probabilidad de que, al lanzar la moneda, se obtenga cara.
  2. Halle la probabilidad de que, al lanzar dos veces la moneda, se obtenga una cara y una cruz sin importar el orden.
  3. Halle la probabilidad de que, al lanzar dos veces la moneda, se obtenga al menos una cara.
  4. Si al lanzar la moneda dos veces observamos que ha salido al menos una cara, halle la probabilidad de que se obtengan dos caras.

Resolución
  1. Llamamos 𝐶 a obtener cara y 𝑋 a obtener cruz. Como son sucesos complementarios y la probabilidad de obtener cara es el doble de la probabilidad de obtener cruz, entonces: {𝑃(𝐶)+𝑃(𝑋)=1,𝑃(𝐶)=2𝑃(𝑋) Podemos resolver este sistema por reducción. Si restamos las dos ecuaciones, obtenemos que: 𝑃(𝑋)=1−2𝑃(𝑋)⇔3𝑃(𝑋)=1⇔𝑃(𝑋)=13. Sustituyendo, 𝑃(𝐶)=2𝑃(𝑋)𝑃(𝑋)=1/3←←←←←←←←←←←←→𝑃(𝐶)=23. Por tanto, 𝑃(𝐶) =23 y 𝑃(𝑋) =13.
  2. Podemos hacer un diagrama de árbol.
    𝐶2
    2/3←←←←←←←←←←←→
    𝐶1
    2/3←←←←←←←←←←←→ 1/3←←←←←←←←←←←→
    𝑋2
    𝐶2
    1/3←←←←←←←←←←←→ 2/3←←←←←←←←←←←→
    𝑋1
    1/3←←←←←←←←←←←→
    𝑋2
    La probabilidad de obtener una cara y una cruz es: 𝑃(𝐶1∩𝑋2)+𝑃(𝑋1∩𝐶2)=𝑃(𝐶1)⋅𝑃(𝑋2|𝐶1)+𝑃(𝑋1)⋅𝑃(𝐶2|𝑋1)=23⋅13+13⋅23=49.
  3. La probabilidad de obtener al menos una cara es: 𝑃(𝐶1∪𝐶2)=𝑃(𝐶1∩𝐶2)+𝑃(𝐶1∩𝑋2)+𝑃(𝑋1∩𝐶2)==𝑃(𝐶1)⋅𝑃(𝐶2|𝐶1)+𝑃(𝐶1)⋅𝑃(𝑋1|𝐶1)+𝑃(𝑋1)⋅𝑃(𝐶2|𝑋1)=23⋅23+23⋅13+13⋅23=89.
  4. La probabilidad de obtener dos caras sabiendo que ha salido una cara es: 𝑃(𝐶1∩𝐶2|𝐶1∪𝐶2)=𝑃(𝐶1∩𝐶2)𝑃(𝐶1∪𝐶2)=𝑃(𝐶1)⋅𝑃(𝐶2|𝐶1)𝑃(𝐶1∪𝐶2)=23⋅2389=12.

Ejercicio 6: Junio de 2023

En una base de datos de correos electrónicos se ha observado que el 20% de los correos recibidos son spam. Además, se ha observado que la palabra "lottery" ha aparecido en el 40% de los correos que son spam y en el 0,6% de los correos que no lo son.

  1. Halle la probabilidad de que en un correo elegido al azar en el que aparezca la palabra "lottery" sea spam.
  2. Halle la probabilidad de que un correo elegido al azar en el que no aparezca la palabra "lottery" no sea spam.
  3. Si un correo se etiqueta como spam si aparece la palabra "lottery" y como no spam si esta palabra no aparece, calcule la probabilidad de que un correo se etiquete incorrectamente.

Resolución

Llamamos 𝑆 a recibir un correo de spam y 𝐿 a recibir un correo con la palabra "lottery". Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝐿
0,4←←←←←←←←←←→
𝑆
0,2←←←←←←←←←←→ 0,6←←←←←←←←←←→
𝐿𝑐
𝐿
0,8←←←←←←←←←←→ 0,006←←←←←←←←←←←←→
𝑆𝑐
0,994←←←←←←←←←←←←→
𝐿𝑐
  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de recibir un correo con la palabra "lottery" es: 𝑃(𝐿)=𝑃(𝐿∩𝑆)+𝑃(𝐿∩𝑆𝑐)=𝑃(𝑆)⋅𝑃(𝐿|𝑆)+𝑃(𝑆𝑐)⋅𝑃(𝐿|𝑆𝑐)=0,2⋅0,4+0,8⋅0,006=0,0848. Por tanto, la probabilidad de que un correo con la palabra "lotery" sea de spam es: 𝑃(𝑆|𝐿)=𝑃(𝑆∩𝐿)𝑃(𝐿)=𝑃(𝑆)⋅𝑃(𝐿|𝑆)𝑃(𝐿)=0,2⋅0,40,0848≈0,9434.
  2. La probabilidad de que un correo sin la palabra "lotery" no sea de spam es: 𝑃(𝑆𝑐|𝐿𝑐)=𝑃(𝑆𝑐∩𝐿𝑐)𝑃(𝐿𝑐)=𝑃(𝑆𝑐)⋅𝑃(𝐿𝑐|𝑆𝑐)1−𝑃(𝐿)=0,8⋅0,9941−0,0848≈0,8689.
  3. La probabilidad de que un correo se etiquete incorrectamente es: 𝑃(𝑆∩𝐿𝑐)+𝑃(𝑆𝑐∩𝐿)=𝑃(𝑆)⋅𝑃(𝐿𝑐|𝑆)+𝑃(𝑆𝑐)⋅𝑃(𝐿|𝑆𝑐)=0,2⋅0,6+0,8⋅0,006=0,1248.

Ejercicio 5: Reserva 1 de 2023

Una empresa de transporte dispone de tres tipos de camiones, A, B y C. El 30% de los transportes son realizados por camiones de tipo A, el 20% por camiones de tipo B y el resto por camiones de tipo C. Se sabe que los transportes tienen una probabilidad de 0,02 de sufrir algún tipo de incidencia si son realizados en camiones de tipo A, de 0,01 si son realizados en camiones de tipo B y de 0,05 si son realizados en camiones de tipo C. Se elige un transporte de esta empresa al azar.

  1. Calcule la probabilidad de que no haya sufrido ningún tipo de incidencia.
  2. Calcule la probabilidad de que lo haya realizado un camión de tipo C si se sabe que sufrió algún tipo de incidencia.
  3. Si además se conoce que el 40% de las incidencias sufridas por los camiones de tipo A fueron debidas a la lluvia, calcule la probabilidad de que el transporte haya sido realizado por un camión de tipo A, haya sufrido una incidencia y también esta sea debida a la lluvia.

Resolución

Llamamos 𝐴 a que un camión de tipo A realice el transporte, 𝐵 a que lo realice uno de tipo B y 𝐶 a que lo realice uno de tipo C. También llamamos 𝐼 a que el transporte sufra una incidencia y 𝐿 a que la incidencia sea debida a la lluvia. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝐼
0,02←←←←←←←←←←←→
𝐴
0,3←←←←←←←←←←→ 0,98←←←←←←←←←←←→
𝐼𝑐
𝐼
0,01←←←←←←←←←←←→
0,2←←←←←←←←←←→ 𝐵
0,99←←←←←←←←←←←→
𝐼𝑐
𝐼
0,5←←←←←←←←←←→ 0,05←←←←←←←←←←←→
𝐶
0,95←←←←←←←←←←←→
𝐼𝑐
  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que el transporte sufra alguna incidencia es: 𝑃(𝐼)=𝑃(𝐼∩𝐴)+𝑃(𝐼∩𝐵)+𝑃(𝐼∩𝐶)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐼|𝐴)+𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐼|𝐵)+𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝐼|𝐶)==0,3⋅0,02+0,2⋅0,01+0,5⋅0,05=0,033. Por tanto, la probabilidad de que el transporte no sufra ninguna incidencia es: 𝑃(𝐼𝑐)=1−𝑃(𝐼)=1−0,033=0,967.
  2. La probabilidad de que el transporte sea realizado por un camión de tipo C sabiendo que ha sufrido una incidencia es: 𝑃(𝐶|𝐼)=𝑃(𝐶∩𝐼)𝑃(𝐼)=𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝐼|𝐶)𝑃(𝐼)=0,5⋅0,050,033≈0,7576.
  3. Sabemos que: 𝑃(𝐿|𝐴∩𝐼)=0,4. La probabilidad de que el transporte haya sido realizado por un camión de tipo A, haya sufrido una incidencia y también sea debida a la lluvia es: 𝑃(𝐿∩𝐼∩𝐴)=𝑃(𝐴∩𝐼)⋅𝑃(𝐿|𝐴∩𝐼)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐼|𝐴)⋅𝑃(𝐿|𝐴∩𝐼)=0,3⋅0,02⋅0,4=0,0024.

Ejercicio 6: Reserva 1 de 2023

Una tienda vende caramelos con sabor a frutas (naranja o limón) y a menta. El 60% son azucarados y de estos el 25% son de limón. De los no azucarados, el 40% son de naranja, el 30% son de limón y el resto de menta. Además, el 40% de todos los caramelos son de naranja. Se escoge un caramelo al azar de esa tienda.

  1. Calcule la probabilidad de que sea de naranja sabiendo que es azucarado.
  2. Razone si es más probable que sea de sabor a frutas o a menta.

Resolución

Llamamos 𝑁 a escoger un caramelo de naranja, 𝐿 a escoger un caramelo de limón, 𝑀 a escoger un caramelo de menta y 𝐴 a escoger un caramelo azucarado. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝑁
𝑝←←←←←←←←←→
𝐴 0,25←←←←←←←←←←←→ 𝐿
0,6←←←←←←←←←←→ 0,75−𝑝←←←←←←←←←←←←←←→
𝑀
𝑁
0,4←←←←←←←←←←→ 0,4←←←←←←←←←←→
𝐴𝑐 0,3←←←←←←←←←←→ 𝐿
0,3←←←←←←←←←←→
𝑀

También sabemos que 𝑃(𝑁) =0,4.

  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad es escoger un caramelo de naranja viene dada por: 𝑃(𝑁)=𝑃(𝑁∩𝐴)+𝑃(𝑁∩𝐴𝑐)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝑁|𝐴)+𝑃(𝐴𝑐)⋅𝑃(𝑁|𝐴𝑐)=0,6⋅𝑝+0,4⋅0,4=0,6𝑝+0,16. Como 𝑃(𝑁) =0,4, 0,4=0,6𝑝+0,16⇔0,6𝑝=0,24⇔𝑝=0,4. Por tanto, la probabilidad de escoger un caramelo de naranja sabiendo que es azucarado es: 𝑃(𝑁|𝐴)=0,4.
  2. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de escoger un caramelo de limón es: 𝑃(𝐿)=𝑃(𝐿∩𝐴)+𝑃(𝐿∩𝐴𝑐)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐿|𝐴)+𝑃(𝐴𝑐)⋅𝑃(𝐿|𝐴𝑐)=0,6⋅0,25+0,4⋅0,3=0,27. Así que la probabilidad de escoger un caramelo de sabor a frutas es: 𝑃(𝑁∪𝐿)=𝑃(𝑁)+𝑃(𝐿)=0,4+0,27=0,67. Por otro lado, como los sucesos 𝑁, 𝐿 y 𝑀 son complementarios, la probabilidad de escoger un caramelo de menta es: 𝑃(𝑀)=1−𝑃(𝑁)−𝑃(𝐿)=1−0,4−0,27=0,33. Por tanto, es más probable escoger un caramelo con sabor a frutas.

Ejercicio 5: Reserva 2 de 2023

En una encuesta realizada en un instituto sobre los hábitos de los estudiantes en su tiempo libre, el 80% de los encuestados dedica el tiempo libre a enviar mensajes con el móvil o a jugar a videojuegos, el 45% realiza ambas cosas y el 40% no juega a videojuegos. Si se elige un estudiante de ese instituto al azar, calcule la probabilidad de que dedique su tiempo libre a:

  1. Enviar mensajes con el móvil y no jugar a videojuegos.
  2. Jugar a videojuegos sabiendo que no envía mensajes con el móvil.
  3. Hacer solamente una de las dos cosas.
  4. No hacer ninguna de las dos cosas.

Resolución

Llamamos 𝑀 a enviar mensajes con el móvil y 𝑉 a jugar a videojuegos. Sabemos que: 𝑃(𝑀∪𝑉)=0,8,𝑃(𝑀∩𝑉)=0,45y𝑃(𝑉𝑐)=0,4⇒𝑃(𝑉)=0,6.

  1. Sabemos que la probabilidad de enviar mensajes o jugar a videojuegos viene dada por: 𝑃(𝑀∪𝑉)=𝑃(𝑀)+𝑃(𝑉)−𝑃(𝑀∩𝑉). Así que, despejando en la expresión anterior, la probabilidad de enviar mensajes es: 𝑃(𝑀)=𝑃(𝑀∪𝑉)−𝑃(𝑉)+𝑃(𝑀∩𝑉)=0,8−0,6+0,45=0,65. Por tanto, la probabilidad de enviar mensajes y no jugar a videojuegos es: 𝑃(𝑀−𝑉)=𝑃(𝑀)−𝑃(𝑀∩𝑉)=0,65−0,45=0,2.
  2. La probabilidad de que juegue a videojuegos sabiendo que no envía mensajes es: 𝑃(𝑉|𝑀𝑐)=𝑃(𝑉∩𝑀𝑐)𝑃(𝑀𝑐)=𝑃(𝑉)−𝑃(𝑀∩𝑉)1−𝑃(𝑀)=0,6−0,451−0,65≈0,4286.
  3. La probabilidad de que haga solo una de las dos cosas es: 𝑃(𝑀−𝑉)+𝑃(𝑉−𝑀)=𝑃(𝑀∪𝑉)−𝑃(𝑀∩𝑉)=0,8−0,45=0,35.
  4. La probabilidad de que no haga ninguna de las dos cosas es: 𝑃(𝑀𝑐∩𝑉𝑐)=1−𝑃(𝑀∪𝑉)=1−0,8=0,2.

Ejercicio 6: Reserva 2 de 2023

Un componente electrónico se produce en dos fábricas, A y B. Se exporta el 40% de los componentes producidos en A y la cuarta parte de los producidos en B, mientras que el resto es para consumo nacional. Además, el 37% de todos los componentes producidos es exportado. Si se elige un componente electrónico al azar, halle la probabilidad de que:

  1. Se haya producido en la fábrica A.
  2. Se haya producido en la fábrica A sabiendo que no es exportado.

Resolución

Llamamos 𝐴 a producir un componente en la fábrica A, 𝐵 a producir un componente en la fábrica B y 𝐸 a exportar un componente. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝐸
0,4←←←←←←←←←←→
𝐴
𝑝←←←←←←←←←→ 0,6←←←←←←←←←←→
𝐸𝑐
𝐸
1−𝑝←←←←←←←←←←←→ 0,25←←←←←←←←←←←→
𝐵
0,75←←←←←←←←←←←→
𝐸𝑐

También sabemos que 𝑃(𝐸) =0,37.

  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de exportar un componente viene dada por: 𝑃(𝐸)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐸|𝐴)+𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐸|𝐵)=𝑝⋅0,4+(1−𝑝)⋅0,25=0,15𝑝+0,25. Como 𝑃(𝐸) =0,37, 0,15𝑝+0,25=0,37⇔0,15𝑝=0,12⇔𝑝=0,8. Por tanto, la probabilidad de producir un componente en la fábrica A es 𝑃(𝐴) =0,8.
  2. La probabilidad de producir un componente en la fábrica A sabiendo que no es exportado es: 𝑃(𝐴|𝐸𝑐)=𝑃(𝐴∩𝐸𝑐)𝑃(𝐸𝑐)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐸𝑐|𝐴)1−𝑃(𝐸)=0,8⋅0,61−0,37≈0,7619.

Ejercicio 5: Reserva 3 de 2023

Durante la pasada temporada, una tenista ganó el 90% de los partidos que jugó sobre tierra y la mitad cuando lo hizo sobre otro tipo de superficie. De los 40 partidos que jugó la temporada pasada, 25 lo hizo sobre tierra. Elegido al azar un partido de la temporada pasada de esta tenista, halle la probabilidad de que:

  1. Ganase el partido.
  2. No ganase sabiendo que jugó sobre tierra.
  3. Jugase sobre tierra sabiendo que ganó.

Resolución

Llamamos 𝑇 a jugar sobre tierra y 𝐺 a ganar. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝐺
0,9←←←←←←←←←←→
𝑇
0,625←←←←←←←←←←←←→ 0,1←←←←←←←←←←→
𝐺𝑐
𝐺
0,375←←←←←←←←←←←←→ 0,5←←←←←←←←←←→
𝑇𝑐
0,5←←←←←←←←←←→
𝐺𝑐
  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que ganase el partido es: 𝑃(𝐺)=𝑃(𝐺∩𝑇)+𝑃(𝐺∩𝑇𝑐)=𝑃(𝑇)⋅𝑃(𝐺|𝑇)+𝑃(𝑇𝑐)⋅𝑃(𝐺|𝑇𝑐)=0,625⋅0,9+0,375⋅0,5=0,75.
  2. La probabilidad de que no ganase sabiendo que jugó sobre tierra es 𝑃(𝐺𝑐|𝑇) =0,1.
  3. La probabilidad de que jugase sobre tierra sabiendo que ganó es: 𝑃(𝑇|𝐺)=𝑃(𝑇∩𝐺)𝑃(𝐺)=𝑃(𝑇)⋅𝑃(𝐺|𝑇)𝑃(𝐺)=0,625⋅0,90,75=0,75.

Ejercicio 6: Reserva 3 de 2023

El 32% de las microempresas tiene página web y el 64,6% ni tiene página web ni realiza ventas por comercio electrónico. De las microempresas que tienen página web, el 30% realiza ventas por comercio electrónico. Se selecciona al azar una microempresa.

  1. Calcule la probabilidad de que tenga página web o realice ventas por comercio electrónico.
  2. Calcule la probabilidad de que realice ventas por comercio electrónico.
  3. Calcule la probabilidad de que no tenga página web y realice ventas por comercio electrónico.
  4. Razone si son independientes los sucesos "Tener página web" y "Realizar ventas por comercio electrónico". ¿Son incompatibles?

Resolución

Llamamos 𝑊 a tener página web y 𝑉 a realizar ventas por comercio electrónico. Sabemos que: 𝑃(𝑊)=0,32,𝑃(𝑊𝑐∩𝑉𝑐)=0,646y𝑃(𝑉|𝑊)=0,3.

  1. La probabilidad de tener página web o realizar ventas por comercio electrónico es: 𝑃(𝑊∪𝑉)=1−𝑃(𝑊𝑐∩𝑉𝑐)=1−0,646=0,354.
  2. Sabemos que la probabilidad de tener página web o realizar ventas por comercio electrónico viene dada por: 𝑃(𝑊∪𝑉)=𝑃(𝑊)+𝑃(𝑉)−𝑃(𝑊∩𝑉). Además, sabemos que: 𝑃(𝑊∩𝑉)=𝑃(𝑊)⋅𝑃(𝑉|𝑊)=0,32⋅0,3=0,096. Así que, despejando en la expresión anterior, la probabilidad de realizar ventas por comercio electrónico es: 𝑃(𝑉)=𝑃(𝑊∪𝑉)−𝑃(𝑊)+𝑃(𝑊∩𝑉)=0,354−0,32+0,096=0,13.
  3. La probabilidad de no tener página web y realizar ventas por comercio electrónico es: 𝑃(𝑊𝑐∩𝑉)=𝑃(𝑉)−𝑃(𝑊∩𝑉)=0,13−0,096=0,034.
  4. Como 𝑃(𝑉) ≠𝑃(𝑉|𝑊), los sucesos 𝑊 y 𝑉 no son independientes. Por otro lado, como 𝑃(𝑊 ∩𝑉) >0, los sucesos no son incompatibles.

Ejercicio 5: Reserva 4 de 2023

Una fábrica produce procesadores que se clasifican en un primer control en tres tipos, A, B y C, según la frecuencia a la que pueden trabajar. El 60% de los procesadores fabricados se clasifican de tipo A, el 30% de tipo B y el resto de tipo C. En un segundo control, se desechan el 20% de los procesadores de tipo A, el 50% de los de tipo B y el 60% de los de tipo C, por problemas al trabajar a ciertas temperaturas. Si se elige un procesador de esta fábrica al azar, calcule la probabilidad de que:

  1. Sea descartado y sea de tipo A o de tipo B.
  2. Sea descartado.
  3. Sea de tipo C sabiendo que no ha sido descartado.

Resolución

Llamamos 𝐴 a ser de tipo A, 𝐵 a ser de tipo B, 𝐶 a ser de tipo C y 𝐷 a descartar el procesador. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝐷
0,2←←←←←←←←←←→
𝐴
0,6←←←←←←←←←←→ 0,8←←←←←←←←←←→
𝐷𝑐
𝐷
0,5←←←←←←←←←←→
0,3←←←←←←←←←←→ 𝐵
0,5←←←←←←←←←←→
𝐷𝑐
𝐷
0,1←←←←←←←←←←→ 0,6←←←←←←←←←←→
𝐶
0,4←←←←←←←←←←→
𝐷𝑐
  1. La probabilidad de que un procesador sea descartado y sea de tipo A o B es: 𝑃(𝐷∩(𝐴∪𝐵))=𝑃((𝐷∩𝐴)∪(𝐷∩𝐵))=𝑃(𝐷∩𝐴)+𝑃(𝐷∩𝐵)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐷|𝐴)+𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐷|𝐵)==0,6⋅0,2+0,3⋅0,5=0,27.
  2. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que un procesador sea descartado es: 𝑃(𝐷)=𝑃(𝐷∩𝐴)+𝑃(𝐷∩𝐵)+𝑃(𝐷∩𝐶)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐷|𝐴)+𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐷|𝐵)+𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝐷|𝐶)==0,27+0,1⋅0,6=0,33.
  3. La probabilidad de que un procesador sea de tipo C sabiendo que no ha sido descartado es: 𝑃(𝐶|𝐷𝑐)=𝑃(𝐶∩𝐷𝑐)𝑃(𝐷𝑐)=𝑃(𝐶)−𝑃(𝐶∩𝐷)1−𝑃(𝐷)=𝑃(𝐶)−𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝐷|𝐶)1−𝑃(𝐷)=0,1−0,1⋅0,61−0,33≈0,0597.

Ejercicio 6: Reserva 4 de 2023

El 75% del alumnado de un instituto utiliza la plataforma del centro como medio para comunicarse con sus profesores y el 40% lo hace a través del correo electrónico. Además, hay un 15% que no usa ninguno de estos medios. Se elige un estudiante de este instituto al azar.

  1. Calcule la probabilidad de que utilice ambos medios de comunicación.
  2. Calcule la probabilidad de que utilice solamente uno de estos medios de comunicación.
  3. Calcule la probabilidad de que utilice la plataforma del centro sabiendo que no usa el correo electrónico como medio de comunicación.
  4. Razone si los sucesos "Utilizar la plataforma del centro" y "Utilizar el correo electrónico" son independientes.

Resolución

Llamamos 𝐴 a usar la plataforma del centro y 𝐵 a usar el correo electrónico. Sabemos que: 𝑃(𝐴)=0,75,𝑃(𝐵)=0,4y𝑃((𝐴∪𝐵)𝑐)=0,15⇒𝑃(𝐴∪𝐵)=0,85.

  1. La probabilidad de que un estudiante utilice ambos medios de comunicación es: 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∪𝐵)=0,75+0,4−0,85=0,3.
  2. La probabilidad de que un estudiante utilice solo uno de los dos medios de comunicación es: 𝑃(𝐴−𝐵)+𝑃(𝐵−𝐴)=𝑃(𝐴∪𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)=0,85−0,3=0,55.
  3. La probabilidad de que un estudiante utilice la plataforma del centro sabiendo que no usa el correo electrónico es: 𝑃(𝐴|𝐵𝑐)=𝑃(𝐴∩𝐵𝑐)𝑃(𝐵𝑐)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴∩𝐵)1−𝑃(𝐵)=0,75−0,31−0,4=0,75.
  4. Como 𝑃(𝐴) =𝑃(𝐴|𝐵𝑐), los sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes.

Ejercicio 5: Julio de 2023

Una caja contiene 3 fichas verdes, 2 fichas azules y 4 fichas rojas. Un juego consiste en realizar dos extracciones, sin reemplazamiento, de tal manera que el jugador que saque dos fichas azules gana el primer premio, el jugador que saque dos fichas verdes gana el segundo premio y el jugador que, de las dos fichas, una sea azul y otra de un color diferente gana el tercer premio.

  1. Calcule la probabilidad de que un jugador consiga el primer o el segundo premio.
  2. Calcule la probabilidad de que un jugador gane el tercer premio.
  3. Sabiendo que un jugador ha obtenido premio, ¿cuál es la probabilidad de que haya ganado el tercer premio?

Resolución

Llamamos 𝑉 a extraer una ficha verde, 𝐴 a extraer una ficha azul y 𝑅 a extraer una ficha roja. También llamamos 𝐸1 a obtener el primer premio, 𝐸2 a obtener el segundo y 𝐸3 a obtener el tercero. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝑉2
2/8←←←←←←←←←←←→
𝑉1 2/8←←←←←←←←←←←→ 𝐴2
3/9←←←←←←←←←←←→ 4/8←←←←←←←←←←←→
𝑅2
𝑉2
3/8←←←←←←←←←←←→
2/9←←←←←←←←←←←→ 𝐴1 1/8←←←←←←←←←←←→ 𝐴2
4/8←←←←←←←←←←←→
𝑅2
𝑉2
4/9←←←←←←←←←←←→ 3/8←←←←←←←←←←←→
𝑅1 2/8←←←←←←←←←←←→ 𝐴2
3/8←←←←←←←←←←←→
𝑅2
  1. La probabilidad de que un jugador consiga el primer premio es: 𝑃(𝐸1)=𝑃(𝐴1∩𝐴2)=𝑃(𝐴1)⋅𝑃(𝐴2|𝐴1)=29⋅18=136. Por otro lado, la probabilidad de que un jugador consiga el segundo premio es: 𝑃(𝐸2)=𝑃(𝑉1∩𝑉2)=𝑃(𝑉1)⋅𝑃(𝑉2|𝑉1)=39⋅28=112. Por tanto, la probabilidad de conseguir el primer o segundo premio es: 𝑃(𝐸1∪𝐸2)=𝑃(𝐸1)+𝑃(𝐸2)=136+112=19.
  2. La probabilidad de que un jugador consiga el tercer premio es: 𝑃(𝐸3)=𝑃(𝑉1∩𝐴1)+𝑃(𝐴1∩𝑉2)+𝑃(𝐴1∩𝑅2)+𝑃(𝑅1∩𝐴2)==𝑃(𝑉1)⋅𝑃(𝐴1|𝑉1)+𝑃(𝐴1)⋅𝑃(𝑉2|𝐴1)+𝑃(𝐴1)⋅𝑃(𝑅2|𝐴1)+𝑃(𝑅1)⋅𝑃(𝐴2|𝑅1)==39⋅28+29⋅38+29⋅48+49⋅28=718.
  3. La probabilidad de haber conseguido el tercer premio sabiendo que ha obtenido un premio es: 𝑃(𝐸3|𝐸1∪𝐸2∪𝐸3)=𝑃(𝐸3)𝑃(𝐸1∪𝐸2∪𝐸3)=𝑃(𝐸3)𝑃(𝐸1)+𝑃(𝐸2)+𝑃(𝐸3)=718136+112+718=79.

Ejercicio 6: Julio de 2023

Dados dos sucesos 𝐴 y 𝐵 de un experimento aleatorio, se sabe que 𝑃(𝐴) =0,6, 𝑃(𝐵) =0,3 y 𝑃(𝐴|𝐵) =0,6. Se pide:

  1. 𝑃(𝐴 ∪𝐵).
  2. 𝑃(𝐴 −𝐵) +𝑃(𝐵 −𝐴).
  3. 𝑃(𝐵|𝐴𝑐).
  4. Razone si los sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes. ¿Son incompatibles?

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos la probabilidad de la intersección. 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴|𝐵)⋅𝑃(𝐵)=0,6⋅0,3=0,18. Por tanto, 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)=0,6+0,3−0,18=0,72.
  2. Observamos que 𝑃(𝐴−𝐵)+𝑃(𝐵−𝐴)+𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴∪𝐵). Por tanto, 𝑃(𝐴−𝐵)+𝑃(𝐵−𝐴)=𝑃(𝐴∪𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)=0,72−0,18=0,54.
  3. Para hallar la probabilidad condicionada, en primer lugar calculamos 𝑃(𝐵∩𝐴𝑐)=𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)=0,3−0,18=0,12. Por tanto, 𝑃(𝐵|𝐴𝑐)=𝑃(𝐵∩𝐴𝑐)𝑃(𝐴𝑐)=0,121−0,6=0,3.
  4. Como 𝑃(𝐴) =𝑃(𝐴|𝐵), los sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes. Por otro lado, como 𝑃(𝐴 ∩𝐵) >0, los sucesos no son incompatibles.

Ejercicio 5: Junio de 2022

En un estudio realizado en una sucursal bancaria se ha determinado que el 70% de los créditos concedidos son hipotecarios y el 25% de los créditos superan los 200.000€. El 20% de los créditos son hipotecarios y de más de 200.000€. Se elige al azar un cliente al que le han concedido un crédito. Calcule la probabilidad de que:

  1. El crédito no sea hipotecario y no supere los 200.000€.
  2. Si su crédito no es hipotecario, este no supere los 200.000€.
  3. Si su crédito supera los 200.000€, que este no sea hipotecario.

Resolución

Llamamos 𝐻 a conceder un crédito hipotecario y 𝑆 a conceder un crédito superior a 200.000€. Sabemos que: 𝑃(𝐻)=0,7,𝑃(𝑆)=0,25y𝑃(𝐻∩𝑆)=0,2.

  1. La probabilidad de que el crédito sea hipotecario o superior a 200.000€ es: 𝑃(𝐻∪𝑆)=𝑃(𝐻)+𝑃(𝑆)−𝑃(𝐻∩𝑆)=0,7+0,25−0,2=0,75. Por tanto, la probabilidad de que el crédito no sea hipotecario y no supere los 200.000€ es: 𝑃(𝐻𝑐∩𝑆𝑐)=𝑃((𝐻∪𝑆)𝑐)=1−𝑃(𝐻∪𝑆)=1−0,75=0,25.
  2. La probabilidad de que el crédito no supere los 200.000€ sabiendo que es hipotecario es: 𝑃(𝑆𝑐|𝐻𝑐)=𝑃(𝑆𝑐∩𝐻𝑐)𝑃(𝐻𝑐)=𝑃((𝑆∪𝐻)𝑐)1−𝑃(𝐻)=1−𝑃(𝑆∪𝐻)1−𝑃(𝐻)=1−0,751−0,7≈0,8333.
  3. La probabilidad de que el crédito no sea hipotecario sabiendo que supera los 200.000€ es: 𝑃(𝐻𝑐|𝑆)=1−𝑃(𝐻|𝑆)=1−𝑃(𝐻∩𝑆)𝑃(𝑆)=1−0,20,25=0,2.

Ejercicio 6: Junio de 2022

En su tiempo libre, el 65% de los estudiantes de un centro educativo juega con videojuegos, el 45% lee libros y el 15% no hace ninguna de las dos cosas. Elegido al azar un estudiante de dicho centro, calcule la probabilidad de que:

  1. Juegue con videojuegos o lea libros.
  2. Juegue con videojuegos y no lea libros.
  3. Lea libros sabiendo que no juega con videojuegos.

Resolución

Llamamos 𝑉 a jugar con videojuegos y 𝐿 a leer libros. Sabemos que: 𝑃(𝑉)=0,65,𝑃(𝐿)=0,45y𝑃(𝑉𝑐∩𝐿𝑐)=0,15.

  1. Observamos que: 𝑃(𝑉𝑐∩𝐿𝑐)=𝑃((𝑉∪𝐿)𝑐). Por tanto, la probabilidad de que juegue con videojuegos o lea libros es: 𝑃(𝑉∪𝐿)=1−𝑃(𝑉𝑐∩𝐿𝑐)=1−0,15=0,85.
  2. Sabemos que la probabilidad de jugar a videojuegos o leer libros viene dada por: 𝑃(𝑉∪𝐿)=𝑃(𝑉)+𝑃(𝐿)−𝑃(𝑉∩𝐿). Así que, despejando en la expresión anterior, la probabilidad de jugar a videojuegos y leer libros es: 𝑃(𝑉∩𝐿)=𝑃(𝑉)+𝑃(𝐿)−𝑃(𝑉∪𝐿)=0,65+0,45−0,85=0,25. Por tanto, la probabilidad de que juegue con videojuegos y no lea libros es: 𝑃(𝑉∩𝐿𝑐)=𝑃(𝑉)−𝑃(𝑉∩𝐿)=0,65−0,25=0,4.
  3. La probabilidad de que lea libros sabiendo que no juega con videojuegos es: 𝑃(𝐿|𝑉𝑐)=1−𝑃(𝐿𝑐|𝑉𝑐)=1−𝑃(𝐿𝑐∩𝑉𝑐)𝑃(𝑉𝑐)=1−𝑃(𝐿𝑐∩𝑉𝑐)1−𝑃(𝑉)=1−0,151−0,65≈0,5714.

Ejercicio 5: Reserva 1 de 2022

El 80% de los restaurantes de una localidad admite el pago con tarjeta de crédito, el 50% admite pagar mediante el móvil y el 10% no admite el pago con ninguno de estos métodos. Escogido al azar un restaurante de dicha localidad.

  1. Calcule la probabilidad de que el restaurante admita:
    1. Alguno de estos dos medios de pago.
    2. Pagar con móvil sabiendo que admite pagar con tarjeta de crédito.
  2. ¿Son independientes los sucesos "Pagar con tarjeta" y "Pagar con móvil"?

Resolución

Llamamos 𝑇 a admitir el pago con tarjeta de crédito y 𝑀 a admitir el pago mediante el móvil. Sabemos que: 𝑃(𝑇)=0,8,𝑃(𝑀)=0,5y𝑃(𝑇𝑐∩𝑀𝑐)=0,1.

    1. La probabilidad de que el restaurante admita uno de los dos medios de pago es: 𝑃(𝑇∪𝑀)=1−𝑃((𝑇∪𝑀)𝑐)=1−𝑃(𝑇𝑐∩𝑀𝑐)=1−0,1=0,9.
    2. La probabilidad de admitir uno de los dos medios de pago viene dada por: 𝑃(𝑇∪𝑀)=𝑃(𝑇)+𝑃(𝑀)−𝑃(𝑇∩𝑀). Así que, despejando en la expresión anterior, la probabilidad de admitir los dos medios de pago es: 𝑃(𝑇∩𝑀)=𝑃(𝑇)+𝑃(𝑀)−𝑃(𝑇∪𝑀)=0,8+0,5−0,9=0,4. Por tanto, la probabilidad de que admita pagar con móvil sabiendo que admite pagar con tarjeta es: 𝑃(𝑀|𝑇)=𝑃(𝑀∩𝑇)𝑃(𝑇)=0,40,8=0,5.
  2. Como 𝑃(𝑀) =𝑃(𝑀|𝑇), los sucesos 𝑇 y 𝑀 son independientes.

Ejercicio 6: Reserva 1 de 2022

En una localidad se han vendido 1.335 boletos de lotería en tres establecimientos A, B y C. En el establecimiento A se han vendido 1.054 boletos, 99 en B y el resto en C. De los boletos premiados, 5 han sido vendidos en B y 13 en C. Sabemos que 95 de cada 100 boletos vendidos no han obtenido premio. Elegido un boleto al azar, se pide:

  1. ¿Cuál es el establecimiento que tiene una mayor probabilidad de haber vendido un boleto no premiado?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que un boleto no premiado haya sido vendido en el establecimiento A?

Resolución

Llamamos 𝐴 a ser vendido en el establecimiento A, 𝐵 en el establecimiento B, 𝐶 en el establecimiento C y 𝐺 a obtener un premio. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝐺
𝑝←←←←←←←←←→
𝐴
1054/1335←←←←←←←←←←←←←←←←←→ 1−𝑝←←←←←←←←←←←→
𝐺𝑐
𝐺
5/99←←←←←←←←←←←←→
99/1335←←←←←←←←←←←←←←←→ 𝐵
94/99←←←←←←←←←←←←←→
𝐺𝑐
𝐺
182/1335←←←←←←←←←←←←←←←←→ 13/182←←←←←←←←←←←←←←→
𝐶
169/182←←←←←←←←←←←←←←←→
𝐺𝑐

También sabemos que: 𝑃(𝐺𝑐)=0,95⇒𝑃(𝐺)=0,05.

  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de obtener un boleto premiado viene dada por: 𝑃(𝐺)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐺|𝐴)+𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐺|𝐵)+𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝐺|𝐶)=10541335⋅𝑝+991335⋅599+1821335⋅13182==10541335𝑝+51335+131335=1054𝑝+181335. Como 𝑃(𝐺) =0,05, 1054𝑝+181335=0,05⇔1054𝑝+18=66,75⇔1054𝑝=48,75⇔𝑝=48,751054≈0,0463. Así que la probabilidad de vender un boleto no premiado en 𝐴 es: 𝑃(𝐺𝑐|𝐴)=1−𝑃(𝐺|𝐴)=1−0,0463=0,9537. Observamos que: 𝑃(𝐺𝑐|𝐴)=0,9537,𝑃(𝐺𝑐|𝐵)=9499≈0,9495y𝑃(𝐺𝑐|𝐶)=169182≈0,9286. Por tanto, el establecimiento A es el que tiene una mayor probabilidad de haber vendido un boleto no premiado.
  2. La probabilidad de que un boleto no premiado haya sido vendido en el establecimiento A es: 𝑃(𝐴|𝐺𝑐)=𝑃(𝐴∩𝐺𝑐)𝑃(𝐺𝑐)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐺𝑐|𝐴)𝑃(𝐺𝑐)=10541335⋅0,95370,95≈0,7926.

Ejercicio 5: Reserva 2 de 2022

Se ha llevado a cabo una encuesta en un centro educativo para saber qué actividades extraescolares se realizan por la tarde. El 80% de los encuestados practican deporte o estudian idiomas, el 35% realizan ambas actividades y el 60% no estudian idiomas.

  1. Elegido un estudiante de ese centro al azar, calcule la probabilidad de que:
    1. Practique deporte y no estudie idiomas.
    2. Estudie idiomas y no practique deporte.
    3. Haga solamente una de las dos actividades.
    4. No haga ninguna de las dos actividades.
  2. ¿Son independientes los sucesos "Practicar deporte" y "Estudiar idiomas"?

Resolución

Llamamos 𝐷 a practicar deporte e 𝐼 a estudiar idiomas. Sabemos que: 𝑃(𝐷∪𝐼)=0,8,𝑃(𝐷∩𝐼)=0,35y𝑃(𝐼𝑐)=0,6⇒𝑃(𝐼)=0,4.

    1. Sabemos que la probabilidad de practicar deporte o estudiar idiomas viene dada por: 𝑃(𝐷∪𝐼)=𝑃(𝐷)+𝑃(𝐼)−𝑃(𝐷∩𝐼). Así que, despejando en la expresión anterior, la probabilidad de practicar deporte es: 𝑃(𝐷)=𝑃(𝐷∪𝐼)+𝑃(𝐷∩𝐼)−𝑃(𝐼)=0,8+0,35−0,4=0,75. Por tanto, la probabilidad de practicar deporte y no estudiar idiomas es: 𝑃(𝐷∩𝐼𝑐)=𝑃(𝐷)−𝑃(𝐷∩𝐼)=0,75−0,35=0,4.
    2. La probabilidad de estudiar idiomas y no practicar deporte es: 𝑃(𝐼∩𝐷𝑐)=𝑃(𝐼)−𝑃(𝐷∩𝐼)=0,4−0,35=0,05.
    3. La probabilidad de hacer solo una de las dos actividades es: 𝑃((𝐷∩𝐼𝑐)∪(𝐷𝑐∩𝐼))=𝑃(𝐷∩𝐼𝑐)+𝑃(𝐷𝑐∩𝐼)=0,4+0,05=0,45.
    4. La probabilidad de no hacer ninguna de las dos actividades es: 𝑃(𝐷𝑐∩𝐼𝑐)=𝑃((𝐷∪𝐼)𝑐)=1−𝑃(𝐷∪𝐼)=1−0,8=0,2.
  2. Observamos que: 𝑃(𝐷)⋅𝑃(𝐼)=0,75⋅0,4=0,3,𝑃(𝐷∩𝐼)=0,35. Como 𝑃(𝐷) ⋅𝑃(𝐼) ≠𝑃(𝐷 ∩𝐼), los sucesos no son independientes.

Ejercicio 6: Reserva 2 de 2022

Del total de personas vacunadas en un país para prevenir una enfermedad, el 48% recibió la vacuna A, el 35% la vacuna B y el resto la vacuna C. La efectividad de la vacuna A se sitúa en el 70%, la de B en el 95% y la de C en el 94%. Elegida al azar una persona vacunada,

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido vacunada con A y no le sea efectiva?
  2. ¿Qué probabilidad hay de que la vacuna le sea efectiva?
  3. Sabiendo que la vacuna no le ha sido efectiva, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido vacunada con C?

Resolución

Llamamos 𝐴 a recibir la vacuna A, 𝐵 a recibir la vacuna B, 𝐶 a recibir la vacuna C y 𝐸 a que la vacuna sea efectiva. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝐸
0,7←←←←←←←←←←→
𝐴
0,48←←←←←←←←←←←→ 0,3←←←←←←←←←←→
𝐸𝑐
𝐸
0,95←←←←←←←←←←←→
0,35←←←←←←←←←←←→ 𝐵
0,05←←←←←←←←←←←→
𝐸𝑐
𝐸
0,17←←←←←←←←←←←→ 0,94←←←←←←←←←←←→
𝐶
0,06←←←←←←←←←←←→
𝐸𝑐
  1. La probabilidad de que haya sido vacunada con A y no le sea efectiva es: 𝑃(𝐴∩𝐸𝑐)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐸𝑐|𝐴)=0,48⋅0,3=0,144.
  2. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que la vacuna le sea efectiva es: 𝑃(𝐸)=𝑃(𝐴∩𝐸)+𝑃(𝐵∩𝐸)+𝑃(𝐶∩𝐸)=𝑃(𝐴)∩𝑃(𝐸|𝐴)+𝑃(𝐵)∩𝑃(𝐸|𝐵)+𝑃(𝐶)∩𝑃(𝐸|𝐶)==0,48⋅0,7+0,35⋅0,95+0,17⋅0,94=0,8283.
  3. La probabilidad de que haya sido vacunada con C sabiendo que la vacuna no le ha sido efectiva es: 𝑃(𝐶|𝐸𝑐)=𝑃(𝐶∩𝐸𝑐)𝑃(𝐸𝑐)=𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝐸𝑐|𝐶)1−𝑃(𝐸)=0,17⋅0,061−0,8283≈0,0594.

Ejercicio 5: Reserva 3 de 2022

De los sucesos 𝐴 y 𝐵 de un mismo experimento aleatorio se conocen las siguientes probabilidades: 𝑃(𝐴)=0,7,𝑃(𝐵)=0,6y𝑃(𝐴∪𝐵)=0,8. Calcule la probabilidad de que:

  1. Ocurra 𝐴 y 𝐵.
  2. No ocurra ni 𝐴 ni 𝐵.
  3. Ocurra 𝐴 pero no 𝐵.
  4. Ocurra 𝐴 sabiendo que no ha ocurrido 𝐵.

Resolución
  1. La probabilidad de que ocurra 𝐴 y 𝐵 es 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∪𝐵)=0,7+0,6−0,8=0,5.
  2. La probabilidad de que no ocurra ni 𝐴 ni 𝐵 es 𝑃(𝐴𝑐∩𝐵𝑐)=𝑃((𝐴∪𝐵)𝑐)=1−𝑃(𝐴∪𝐵)=1−0,8=0,2.
  3. La probabilidad de que ocurra 𝐴 pero no 𝐵 es 𝑃(𝐴∩𝐵𝑐)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴∩𝐵)=0,7−0,5=0,2.
  4. La probabilidad de que ocurra 𝐴 sabiendo que no ha ocurrido 𝐵 es 𝑃(𝐴|𝐵𝑐)=𝑃(𝐴∩𝐵𝑐)𝑃(𝐵𝑐)=0,21−0,6=0,5.

Ejercicio 6: Reserva 3 de 2022

El porcentaje de conductores que consumen alcohol durante la madrugada del sábado es del 5%. La policía realiza controles de alcoholemia mediante un test del que se sabe que da positivo en un 96% si la persona ha bebido alcohol y en un 10% si la persona no ha bebido alcohol. Elegido al azar un conductor en la madrugada del sábado y realizado este test de alcoholemia, halle la probabilidad de que:

  1. Si el test da positivo, el conductor haya consumido alcohol.
  2. El test dé negativo y el conductor no haya consumido alcohol.
  3. Si el test ha dado negativo, el conductor no haya consumido alcohol.

Resolución

Llamamos 𝐴 a consumir alcohol y 𝑇 a dar positivo en el test. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝑇
0,96←←←←←←←←←←←→
𝐴
0,05←←←←←←←←←←←→ 0,04←←←←←←←←←←←→
𝑇𝑐
𝑇
0,95←←←←←←←←←←←→ 0,1←←←←←←←←←←→
𝐴𝑐
0,9←←←←←←←←←←→
𝑇𝑐
  1. Por el teorema de la probabilidad, la probabilidad de que el test dé positivo es: 𝑃(𝑇)=𝑃(𝑇∩𝐴)+𝑃(𝑇∩𝐴𝑐)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝑇|𝐴)+𝑃(𝐴𝑐)⋅𝑃(𝑇|𝐴𝑐)=0,05⋅0,96+0,95⋅0,1=0,143. Por tanto, la probabilidad de que el conductor haya consumido alcohol sabiendo que el test da positivo es: 𝑃(𝐴|𝑇)=𝑃(𝐴∩𝑇)𝑃(𝑇)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝑇|𝐴)𝑃(𝑇)=0,05⋅0,960,143≈0,3357.
  2. La probabilidad de que el test dé negativo y el conductor no haya consumido alcohol es: 𝑃(𝑇𝑐∩𝐴𝑐)=𝑃(𝐴𝑐)⋅𝑃(𝑇𝑐|𝐴𝑐)=0,95⋅0,9=0,855.
  3. La probabilidad de que el conductor no haya consumido alcohol sabiendo que el test ha dado negativo es: 𝑃(𝐴𝑐|𝑇𝑐)=𝑃(𝐴𝑐∩𝑇𝑐)𝑃(𝑇𝑐)=0,8551−0,143≈0,9977.

Ejercicio 5: Reserva 4 de 2022

Juan realiza el siguiente juego: lanza dos dados simultáneamente y si la suma es 2 o mayor que 7, gana y termina el juego. En caso contrario, tiene una segunda y última oportunidad lanzando de nuevo los dos dados y ganaría si la suma es mayor que 9.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan gane lanzando una sola vez los dados?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan gane en la segunda oportunidad?
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan gane?

Resolución

Llamamos 𝐺1 a ganar en la primera oportunidad y 𝐺2 a ganar en la segunda. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝐺1
←←←←←←←←→
𝐺2
←←←←←←←←→ ←←←←←←←←→
𝐺𝑐1
←←←←←←←←→
𝐺𝑐2
Para hallar las probabilidades, podemos hacer una tabla con todas las posibilidades al lanzar dos dados.
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12

  1. La probabilidad de que Juan gane lanzando una sola vez los dados es 𝑃(𝐺1)=1636=49.
  2. La probabilidad de que Juan gane en la segunda oportunidad sabiendo que no ganó en la primera es 𝑃(𝐺2|𝐺𝑐1)=636=16. Por tanto, la probabilidad de que Juan gane en la segunda oportunidad es 𝑃(𝐺2)=𝑃(𝐺𝑐1)⋅𝑃(𝐺2|𝐺𝑐1)=59⋅16=554.
  3. La probabilidad de que Juan gane es 𝑃(𝐺1)+𝑃(𝐺2)=49+554=2954.

Ejercicio 6: Reserva 4 de 2022

Una encuesta realizada a los clientes de un banco muestra que el 60% de sus clientes tiene un ordenador, el 50% tiene una tablet y el 20% posee un ordenador y una tablet. Se elige al azar un cliente de ese banco.

  1. Calcule la probabilidad de que:
    1. Tenga un ordenador o una tablet.
    2. No tenga tablet si no tiene ordenador.
    3. Tenga ordenador y no tenga tablet.
  2. ¿Son los sucesos "Tener un ordenador" y "Tener una tablet" incompatibles? ¿Son sucesos independientes?

Resolución

Llamamos 𝑂 a tener un ordenador y 𝑇 a tener una tablet. Sabemos que 𝑃(𝑂)=0,6,𝑃(𝑇)=0,5y𝑃(𝑂∩𝑇)=0,2.

    1. La probabilidad de que tenga un ordenador o una tablet es 𝑃(𝑂∪𝑇)=𝑃(𝑂)+𝑃(𝑇)−𝑃(𝑂∩𝑇)=0,6+0,5−0,2=0,9.
    2. La probabilidad de que no tenga tablet sabiendo que no tiene ordenador es 𝑃(𝑇𝑐|𝑂𝑐)=𝑃(𝑇𝑐∩𝑂𝑐)𝑃(𝑂𝑐)=𝑃((𝑇∪𝑂)𝑐)1−𝑃(𝑂)=1−𝑃(𝑇∪𝑂)1−𝑃(𝑂)=1−0,91−0,6=0,25.
    3. La probabilidad de que tenga ordenador y no tenga tablet es 𝑃(𝑂∩𝑇𝑐)=𝑃(𝑂)−𝑃(𝑂∩𝑇)=0,6−0,2=0,4.
  2. Como 𝑃(𝑂 ∩𝑇) >0, los sucesos no son incompatibles. Por otro lado, como 𝑃(𝑇𝑐|𝑂𝑐) ≠𝑃(𝑇𝑐), los sucesos no son independientes.

Ejercicio 5: Julio de 2022

En una determinada región hay tres universidades A, B y C. De los estudiantes que terminaron sus estudios el año pasado, el 60% procedían de la universidad A, el 30% de la universidad B y el resto de C. Además, se conoce que la probabilidad de que un estudiante de la universidad A no encuentre trabajo en su región es 0,4 y para un estudiante de B es 0,5.

  1. Si la probabilidad de que un estudiante no encuentre trabajo en su región es 0,395, determine la probabilidad de que un estudiante de la universidad C encuentre trabajo en su región.
  2. Calcule la probabilidad de que un estudiante que no haya encontrado trabajo en su región proceda de la universidad A o de la B.

Resolución

Ejercicio 6: Julio de 2022

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos del mismo espacio muestral tales que: 𝑃(𝐴∪𝐵)=37,𝑃(𝐴𝑐)=57y𝑃(𝐵𝑐)=23.

  1. ¿Son 𝐴 y 𝐵 independientes? ¿Son 𝐴 y 𝐵 incompatibles?
  2. Calcule 𝑃(𝐴𝑐 ∩𝐵𝑐).
  3. Calcule 𝑃(𝐵|𝐴𝑐).

Resolución

Sabemos que: 𝑃(𝐴𝑐)=57⇒𝑃(𝐴)=27y𝑃(𝐵𝑐)=23⇒𝑃(𝐵)=13.

  1. En primer lugar, calculamos la probabilidad de la intersección. Sabemos que la probabilidad de la unión viene dada por: 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵). Así que, despejando en la expresión anterior, la probabilidad de la intersección es: 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∪𝐵)=27+13−37=421. Como 𝑃(𝐴 ∩𝐵) >0, los sucesos no son incompatibles. Por otro lado, observamos que: 𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐵)=27⋅13=221,𝑃(𝐴∩𝐵)=421. Como 𝑃(𝐴) ⋅𝑃(𝐵) ≠𝑃(𝐴 ∩𝐵), los sucesos no son independientes.
  2. Calculamos: 𝑃(𝐴𝑐∩𝐵𝑐)=𝑃((𝐴∪𝐵)𝑐)=1−𝑃(𝐴∪𝐵)=1−37=47.
  3. Calculamos: 𝑃(𝐵|𝐴𝑐)=𝑃(𝐵∩𝐴𝑐)𝑃(𝐴𝑐)=𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)𝑃(𝐴𝑐)=13−42157=15.

Ejercicio 5: Junio de 2021

Se desea probar la eficacia de dos tipos de vacunas, A y B, contra un virus determinado. Para ello, se seleccionan 5.000 voluntarios sin anticuerpos para este virus, a los que se les administra una de las vacunas o un placebo, resultando que 3.000 reciben la vacuna A, 1.500 la B y el resto el placebo. Se comprueba que el 90% de los vacunados con la A y el 95% de los vacunados con la B, generan anticuerpos, no generando anticuerpos los que han recibido el placebo. Se selecciona uno de esos voluntarios al azar.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que haya generado anticuerpos?
  2. Si dicho voluntario no ha generado anticuerpos, ¿qué probabilidad hay de que se le haya administrado placebo?

Resolución

Llamamos 𝐴 a administrar la vacuna A, 𝐵 a administrar la vacuna B, 𝐶 a administrar el placebo y 𝐷 a generar anticuerpos. Sabemos que: 𝑃(𝐴)=3.0005.000=0,6y𝑃(𝐵)=1.5005.000=0,3. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝐷
0,9←←←←←←←←←←→
𝐴
0,6←←←←←←←←←←→ 0,1←←←←←←←←←←→
𝐷𝑐
𝐷
0,95←←←←←←←←←←←→
0,3←←←←←←←←←←→ 𝐵
0,05←←←←←←←←←←←→
𝐷𝑐
0,1←←←←←←←←←←→
𝐶 1←←←←←←←←←→ 𝐷𝑐
  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que haya generado anticuerpos es: 𝑃(𝐷)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐷|𝐴)+𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐷|𝐵)=0,6⋅0,9+0,3⋅0,95=0,825.
  2. La probabilidad de que se le haya administrado placebo sabiendo que no ha generado anticuerpos es: 𝑃(𝐶|𝐷𝑐)=𝑃(𝐶∩𝐷𝑐)𝑃(𝐷𝑐)=𝑃(𝐶)1−𝑃(𝐷)=0,11−0,825≈0,5714.

Ejercicio 6: Junio de 2021

De las compras realizadas en el último período de rebajas del pasado año, el 55% se dedicaron a productos electrónicos, el 72% se hicieron a través de Internet y, de las compras que se hicieron por Internet, el 64% fueron de productos electrónicos. Se elige una compra al azar.

  1. Calcule la probabilidad de que haya sido de productos electrónicos y se haya realizado por Internet.
  2. Calcule la probabilidad de que la compra se haya realizado por Internet o que se hayan comprado productos electrónicos.
  3. Calcule la probabilidad de que sabiendo que no se compraron productos electrónicos, la compra no se hiciera a través de Internet.

Resolución

Llamamos 𝐸 a comprar productos electrónicos e 𝐼 a comprar productos por Internet. Sabemos que 𝑃(𝐸)=0,55,𝑃(𝐼)=0,72y𝑃(𝐸|𝐼)=0,64.

  1. La probabilidad de que la compra haya sido de productos electrónicos y se haya realizado por Internet es 𝑃(𝐸∩𝐼)=𝑃(𝐼)⋅𝑃(𝐸|𝐼)=0,72⋅0,64=0,4608.
  2. La probabilidad de que la compra se haya realizado por Internet o que se hayan comprado productos electrónicos es 𝑃(𝐸∪𝐼)=𝑃(𝐸)+𝑃(𝐼)−𝑃(𝐸∩𝐼)=0,55+0,72−0,4608=0,8092.
  3. La probabilidad de que la compra no se haya realizado por Internet sabiendo que no se han comprado productos electrónicos es 𝑃(𝐼𝑐|𝐸𝑐)=𝑃(𝐼𝑐∩𝐸𝑐)𝑃(𝐸𝑐)=𝑃((𝐼∪𝐸)𝑐)1−𝑃(𝐸)=1−𝑃(𝐼∪𝐸)1−𝑃(𝐸)=1−0,80921−0,55=0,424.

Ejercicio 5: Reserva 1 de 2021

Una empresa dedicada a la fabricación de coches lanza al mercado un nuevo modelo que fabrica en tres plantas diferentes, A, B y C. La planta A produce el 45% de los vehículos, la planta B el 21% y el resto los produce la planta C. Se ha detectado un defecto en la colocación del airbag, que afecta al 1% de los coches procedentes de la planta A, al 3% de los procedentes de la planta B y al 2% de los de la planta C. Se selecciona un coche al azar de este nuevo modelo.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso y proceda de la planta C?
  2. Si el coche elegido no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la planta A?

Resolución

Llamamos 𝐴 a proceder de la planta A, 𝐵 a proceder de la planta B, 𝐶 a proceder de la planta C y 𝐷 a ser defectuoso. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝐷
0,01←←←←←←←←←←←→
𝐴
0,45←←←←←←←←←←←→ 0,99←←←←←←←←←←←→
𝐷𝑐
𝐷
0,03←←←←←←←←←←←→
0,21←←←←←←←←←←←→ 𝐵
0,97←←←←←←←←←←←→
𝐷𝑐
𝐷
0,34←←←←←←←←←←←→ 0,02←←←←←←←←←←←→
𝐶
0,98←←←←←←←←←←←→
𝐷𝑐
  1. La probabilidad de que no sea defectuoso y proceda de la planta C es: 𝑃(𝐷𝑐∩𝐶)=𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝐷𝑐|𝐶)=0,34⋅0,98=0,3332.
  2. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que el coche elegido no sea defectuoso es: 𝑃(𝐷𝑐)=𝑃(𝐷𝑐∩𝐴)+𝑃(𝐷𝑐∩𝐵)+𝑃(𝐷𝑐∩𝐶)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐷𝑐|𝐴)+𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐷𝑐|𝐵)+𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝐷𝑐|𝐶)==0,45⋅0,99+0,21⋅0,97+0,34⋅0,98=0,9824. Por tanto, la probabilidad de que el coche elegido proceda de la planta A sabiendo que no es defectuoso es: 𝑃(𝐴|𝐷𝑐)=𝑃(𝐴∩𝐷𝑐)𝑃(𝐷𝑐)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐷𝑐|𝐴)𝑃(𝐷𝑐)=0,45⋅0,990,9824≈0,4535.

Ejercicio 6: Reserva 1 de 2021

La probabilidad de que una persona sana se contagie de otra enferma por un virus es del 80% si coinciden en una reunión.

  1. Si una persona enferma se reúne con dos personas sanas, teniendo en cuenta que contagiar a distintas personas son sucesos independientes entre sí, ¿cuál es la probabilidad de que se contagien las dos personas a la vez? ¿Cuál es la probabilidad de que se contagie alguna de ellas?
  2. Una prueba para detectar la enfermedad da el resultado correcto en el 90% de los casos cuando se le aplica a personas contagiadas y da falsos positivos en el 5% de los casos cuando se aplica a personas sanas. Si una persona sana se reúne con una enferma y resulta positivo en una prueba posterior, ¿qué probabilidad hay de que se haya contagiado en la reunión?

Resolución

Llamamos 𝐶 a ser contagiado y 𝐴 a resultar positivo en la prueba. Sabemos que 𝑃(𝐶) =0,8.

  1. Como son sucesos independientes, la probabilidad de que se contagien las dos personas a la vez es: 𝑃(𝐶1∩𝐶2)=𝑃(𝐶1)⋅𝑃(𝐶2)=0,8⋅0,8=0,64. La probabilidad de que se contagie alguna de ellas viene dada por: 𝑃(𝐶1∪𝐶2)=𝑃(𝐶1)+𝑃(𝐶2)−𝑃(𝐶1∩𝐶2)=0,8+0,8−0,64=0,96.
  2. Podemos hacer un diagrama de árbol.
    𝐴
    0,9←←←←←←←←←←→
    𝐶
    0,8←←←←←←←←←←→ 0,1←←←←←←←←←←→
    𝐴𝑐
    𝐴
    0,2←←←←←←←←←←→ 0,05←←←←←←←←←←←→
    𝐶𝑐
    0,95←←←←←←←←←←←→
    𝐴𝑐
    Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que una persona resulte positivo en la prueba es: 𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴∩𝐶)+𝑃(𝐴∩𝐶𝑐)=𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝐴|𝐶)+𝑃(𝐶𝑐)⋅𝑃(𝐴|𝐶𝑐)=0,8⋅0,9+0,2⋅0,05=0,73. Por tanto, la probabilidad de que una persona se haya contagiado en la reunión sabiendo que ha resultado positivo es: 𝑃(𝐶|𝐴)=𝑃(𝐶∩𝐴)𝑃(𝐴)=𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝐴|𝐶)𝑃(𝐴)=0,8⋅0,90,73≈0,9863.

Ejercicio 5: Reserva 2 de 2021

Un equipo andaluz de baloncesto jugó en una temporada un 40% de los partidos en casa y el resto fuera. De los partidos que jugó en casa, obtuvo un 60% de victorias y el resto fueron derrotas, mientras que de los que jugó fuera, obtuvo un 30% de victorias y el resto derrotas. Se elige un partido de este equipo al azar.

  1. Calcule la probabilidad de que el partido acabase en victoria.
  2. Calcule la probabilidad de que el partido haya sido jugado en casa, sabiendo que el resultado final fue una derrota.
  3. Si además se sabe que el 10% de las victorias obtenidas en casa y el 20% de las obtenidas fuera se produjeron tras una prórroga, calcule la probabilidad de que el partido acabase en victoria y que además esa victoria haya sido tras una prórroga.

Resolución

Llamamos 𝐶 a jugar en casa, 𝐹 a jugar fuera, 𝑉 a obtener una victoria y 𝐷 a obtener una derrota. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝑉
0,6←←←←←←←←←←→
𝐶
0,4←←←←←←←←←←→ 0,4←←←←←←←←←←→
𝐷
𝑉
0,6←←←←←←←←←←→ 0,3←←←←←←←←←←→
𝐹
0,7←←←←←←←←←←→
𝐷
  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que el partido acabase en victoria es: 𝑃(𝑉)=𝑃(𝑉∩𝐶)+𝑃(𝑉∩𝐹)=𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝑉|𝐶)+𝑃(𝐹)⋅𝑃(𝑉|𝐹)=0,4⋅0,6+0,6⋅0,3=0,42.
  2. La probabilidad de que el partido haya sido jugado en casa sabiendo que el resultado final fue una derrota es: 𝑃(𝐶|𝐷)=𝑃(𝐶∩𝐷)𝑃(𝐷)=𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝐷|𝐶)1−𝑃(𝑉)=0,4⋅0,41−0,42≈0,2759.
  3. Llamamos 𝐸 a tener una prórroga. Podemos expandir el diagrama de árbol.
    𝑉 0,2←←←←←←←←←←→ 𝐸
    0,6←←←←←←←←←←→
    𝐶
    0,4←←←←←←←←←←→ 0,4←←←←←←←←←←→
    𝐷
    𝑉 0,1←←←←←←←←←←→ 𝐸
    0,6←←←←←←←←←←→ 0,3←←←←←←←←←←→
    𝐹
    0,7←←←←←←←←←←→
    𝐷
    Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que el partido acabase en victoria y que además haya sido tras una prórroga es: 𝑃(𝑉∩𝐸)=𝑃(𝐶∩𝑉∩𝐸)+𝑃(𝐹∩𝑉∩𝐸)=𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝑉|𝐶)⋅𝑃(𝐸|𝑉∩𝐶)+𝑃(𝐹)⋅𝑃(𝑉|𝐹)⋅𝑃(𝐸|𝑉∩𝐹)==0,4⋅0,6⋅0,1+0,6⋅0,3⋅0,2=0,06.

Ejercicio 6: Reserva 2 de 2021

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos asociados a un mismo espacio muestral con 𝑃(𝐴𝑐) =0,4 y 𝑃(𝐴 ∩𝐵𝑐) =0,12.

  1. Calcule 𝑃(𝐴) y 𝑃(𝐴 ∩𝐵).
  2. Determina 𝑃(𝐵) para que 𝐴 y 𝐵 sean independientes.
  3. Si 𝑃(𝐵𝑐) =0,2, calcule 𝑃(𝐴 ∪𝐵), 𝑃(𝐴𝑐 ∪𝐵𝑐) y 𝑃(𝐴|𝐵𝑐).

Resolución
  1. Calculamos: 𝑃(𝐴)=1−𝑃(𝐴𝑐)=1−0,4=0,6,𝑃(𝐴∩𝐵𝑐)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴∩𝐵)⇒𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴∩𝐵𝑐)=0,6−0,12=0,48.
  2. Para que 𝐴 y 𝐵 sean independientes, ha de verificarse que: 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐵)⇔𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴∩𝐵)𝑃(𝐴)=0,480,6=0,8.
  3. Como 𝑃(𝐵𝑐) =0,2 ⇔𝑃(𝐵) =0,8, por el apartado anterior sabemos que 𝐴 y 𝐵 son independientes. Calculamos: 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)=0,6+0,8−0,48=0,92,𝑃(𝐴𝑐∪𝐵𝑐)=𝑃((𝐴∩𝐵)𝑐)=1−𝑃(𝐴∩𝐵)=1−0,48=0,52,𝑃(𝐴|𝐵𝑐)=𝑃(𝐴)=0,6.

Ejercicio 5: Reserva 3 de 2021

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos de un mismo experimento aleatorio de los que se sabe que: 𝑃(𝐴−𝐵)=0,3,𝑃(𝐴𝑐)=0,35y𝑃(𝐵)=0,55.

  1. Calcule la probabilidad de que suceda al menos uno de ellos.
  2. Calcule la probabilidad de que ocurra 𝐵, sabiendo que no ha ocurrido 𝐴.
  3. Calcule la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos.
  4. Razone si los sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes.

Resolución

En primer lugar, calculamos algunas probabilidades. 𝑃(𝐴)=1−𝑃(𝐴𝑐)=1−0,35=0,65,𝑃(𝐴−𝐵)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴∩𝐵)⇒𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴−𝐵)=0,65−0,3=0,35.

  1. La probabilidad de que suceda al menos uno de ellos es: 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)=0,65+0,55−0,35=0,85.
  2. La probabilidad de que ocurra 𝐵 sabiendo que no ha ocurrido 𝐴 es: 𝑃(𝐵|𝐴𝑐)=𝑃(𝐵∩𝐴𝑐)𝑃(𝐴𝑐)=𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)𝑃(𝐴𝑐)=0,55−0,350,35≈0,5714.
  3. La probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos es: 𝑃(𝐴𝑐∩𝐵𝑐)=𝑃((𝐴∪𝐵)𝑐)=1−𝑃(𝐴∪𝐵)=1−0,85=0,15.
  4. Como 𝑃(𝐵) ≠𝑃(𝐵|𝐴𝑐), los sucesos no son independientes.

Ejercicio 6: Reserva 3 de 2021

En una determinada muestra de suelo se han aislado dos tipos de bacterias, A y B, de las cuales el 70% son de A y el 30% de B. La probabilidad de que una bacteria de tipo A reaccione a la prueba del nitrato es 0,15 y para la bacteria B es 0,8. De las bacterias aisladas se selecciona una al azar.

  1. Calcule la probabilidad de que reaccione a la prueba del nitrato.
  2. Si la bacteria ha reaccionado a la prueba del nitrato, calcule la probabilidad de que sea del tipo B.
  3. Calcule la probabilidad de que la bacteria sea del tipo A y no reaccione a la prueba del nitrato.

Resolución

Llamamos 𝐴 a ser del tipo A, 𝐵 a ser del tipo B y 𝑁 a reaccionar con la prueba del nitrato. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝑁
0,15←←←←←←←←←←←→
𝐴
0,7←←←←←←←←←←→ 0,85←←←←←←←←←←←→
𝑁𝑐
𝑁
0,3←←←←←←←←←←→ 0,8←←←←←←←←←←→
𝐵
0,2←←←←←←←←←←→
𝑁𝑐
  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que reaccione a la prueba del nitrato es: 𝑃(𝑁)=𝑃(𝑁∩𝐴)+𝑃(𝑁∩𝐵)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝑁|𝐴)+𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝑁|𝐵)=0,7⋅0,15+0,3⋅0,8=0,345.
  2. La probabilidad de que la bacteria sea del tipo B sabiendo que ha reaccionado a la prueba del nitrato es: 𝑃(𝐵|𝑁)=𝑃(𝐵∩𝑁)𝑃(𝑁)=𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝑁|𝐵)𝑃(𝑁)=0,3⋅0,80,345≈0,6957.
  3. La probabilidad de que la bateria sea del tipo A y no reaccione a la prueba del nitrato es: 𝑃(𝐴∩𝑁𝑐)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝑁𝑐|𝐴)=0,7⋅0,85=0,595.

Ejercicio 5: Reserva 4 de 2021

Una determinada ciudad tiene en la plantilla del ayuntamiento 1.000 agentes de la policía local, 600 bomberos y 400 funcionarios de protección civil. En esta plantilla, el 42% de policías, el 20% de bomberos y el 50% de funcionarios de protección civil son mujeres. Se elige una persona al azar de la plantilla.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?
  2. Si la persona elegida es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que sea bombero?

Resolución

Llamamos 𝐿 a ser agente de la policía local, 𝐵 a ser bombero, 𝐶 a ser funcionario de protección civil, 𝑀 a ser mujer y 𝐻 a ser hombre. Sabemos que: 𝑃(𝐿)=1.0002.000=0,5,𝑃(𝐵)=6002.000=0,3y𝑃(𝐶)=4002.000=0,2.

𝑀
0,42←←←←←←←←←←←→
𝐿
0,5←←←←←←←←←←→ 0,58←←←←←←←←←←←→
𝐻
𝑀
0,2←←←←←←←←←←→
0,3←←←←←←←←←←→ 𝐵
0,8←←←←←←←←←←→
𝐻
𝑀
0,2←←←←←←←←←←→ 0,5←←←←←←←←←←→
𝐶
0,5←←←←←←←←←←→
𝐻
  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que sea mujer es: 𝑃(𝑀)=𝑃(𝑀∩𝐿)+𝑃(𝑀∩𝐵)+𝑃(𝑀∩𝐶)=𝑃(𝐿)⋅𝑃(𝑀|𝐿)+𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝑀|𝐵)+𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝑀|𝐶)==0,5⋅0,42+0,3⋅0,2+0,2⋅0,5=0,37.
  2. La probabilidad de que sea bombero sabiendo que es hombre es: 𝑃(𝐵|𝐻)=𝑃(𝐵∩𝐻)𝑃(𝐻)=𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐻|𝐵)1−𝑃(𝑀)=0,3⋅0,81−0,37≈0,3810.

Ejercicio 6: Reserva 4 de 2021

Una urna A contiene 4 bolas rojas y 5 verdes y otra urna B contiene 6 bolas rojas y 3 verdes. Lanzamos dos dados y si la suma es mayor o igual a 9, extraemos una bola de la urna A y en caso contrario, la extraemos de la urna B.

  1. Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea verde y de la urna B.
  2. Halle la probabilidad de que la bola extraída sea roja.

Ejercicio 5: Julio de 2021

En una población, se sabe que el 15% de las personas padece una determinada enfermedad. Si la persona está enferma, un test da positivo en el 92% de los casos, mientras que si la persona está sana, el test da positivo en el 4% de los casos (falso positivo). Se elige una persona al azar de esa población.

  1. Calcule la probabilidad de que, habiendo dado positivo el test, la persona esté enferma.
  2. Calcule la probabilidad de que la persona esté enferma y el test salga negativo.
  3. Calcule la probabilidad de que saliendo el test negativo, la persona esté enferma.

Resolución

Llamamos 𝐸 a estar enfermo y 𝑇 a dar positivo en el test. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝑇
0,92←←←←←←←←←←←→
𝐸
0,15←←←←←←←←←←←→ 0,08←←←←←←←←←←←→
𝑇𝑐
𝑇
0,85←←←←←←←←←←←→ 0,04←←←←←←←←←←←→
𝐸𝑐
0,96←←←←←←←←←←←→
𝑇𝑐
  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de dar positivo en el test es: 𝑃(𝑇)=𝑃(𝑇∩𝐸)+𝑃(𝑇∩𝐸𝑐)=𝑃(𝐸)⋅𝑃(𝑇|𝐸)+𝑃(𝐸𝑐)⋅𝑃(𝑇|𝐸𝑐)=0,15⋅0,92+0,85⋅0,04=0,172. Por tanto, la probabilidad de que la persona esté enferma sabiendo que ha dado positivo el test es: 𝑃(𝐸|𝑇)=𝑃(𝐸∩𝑇)𝑃(𝑇)=𝑃(𝐸)⋅𝑃(𝑇|𝐸)𝑃(𝑇)=0,15⋅0,920,172≈0,8023.
  2. La probabilidad de que la persona esté enferma y el test salga negativo es: 𝑃(𝐸∩𝑇𝑐)=𝑃(𝐸)⋅𝑃(𝑇𝑐|𝐸)=0,15⋅0,08=0,012.
  3. La probabilidad de que la persona esté enferma sabiendo que ha salido negativo el test es: 𝑃(𝐸|𝑇𝑐)=𝑃(𝐸∩𝑇𝑐)𝑃(𝑇𝑐)=0,0121−0,172=0,0145.

Ejercicio 6: Julio de 2021

En una comunidad de vecinos, el 90% de sus miembros tiene vehículo propio, el 40% hace uso del transporte público y un 3% ni tiene vehículo propio ni usa el transporte público. Se elige al azar un miembro de esa comunidad.

  1. Calcule la probabilidad de que tenga vehículo propio o use el transporte público.
  2. Calcule la probabilidad de que use el transporte público y no tenga vehículo propio.
  3. Calcule la probabilidad de que use el transporte público, sabiendo que no tiene vehículo propio.

Resolución

Llamamos 𝑉 a tener vehículo propio y 𝑇 a usar transporte público. Sabemos que: 𝑃(𝑉)=0,9,𝑃(𝑇)=0,4y𝑃(𝑉𝑐∩𝑇𝑐)=0,03. Observamos que: 𝑃(𝑉𝑐∩𝑇𝑐)=𝑃((𝑉∪𝑇)𝑐)=1−𝑃(𝑉∪𝑇)⇒𝑃(𝑉∪𝑇)=1−𝑃(𝑉𝑐∩𝑇𝑐)=1−0,03=0,97.

  1. La probabilidad de que tenga vehículo propio o use el transporte público es: 𝑃(𝑉∪𝑇)=0,97.
  2. La probabilidad de la intersección es: 𝑃(𝑉∩𝑇)=𝑃(𝑉)+𝑃(𝑇)−𝑃(𝑉∪𝑇)=0,9+0,4−0,97=0,33. Por tanto, la probabilidad de que use el transporte público y no tenga vehículo propio es: 𝑃(𝑇∩𝑉𝑐)=𝑃(𝑇)−𝑃(𝑇∩𝑉)=0,4−0,33=0,07.
  3. La probabilidad de que use el transporte público sabiendo que no tiene vehículo propio es: 𝑃(𝑇|𝑉𝑐)=𝑃(𝑇∩𝑉𝑐)𝑃(𝑉𝑐)=0,071−0,9=0,7.

Ejercicio 5: Julio de 2020

A 120 estudiantes se les ha recomendado la lectura de dos libros. Se sabe que 46 de ellos han leído el primer libro recomendado, 34 el segundo y 16 estudiantes han leído ambos libros. Se elige un estudiante al azar.

  1. Calcule la probabilidad de que haya leído alguno de los dos libros.
  2. Calcule la probabilidad de que no haya leído ninguno de los dos libros.
  3. Calcule la probabilidad de que solamente haya leído el primer libro.
  4. Calcule la probabilidad de que haya leído el primer libro, si se sabe que no ha leído el segundo.

Ejercicio 6: Julio de 2020

Las bicicletas de alquiler de una ciudad se clasifican por su calidad: buena, media y mala. El 30% de dichas bicicletas son gestionadas por una empresa 𝐸1 y el resto por una empresa 𝐸2. De las bicicletas de la empresa 𝐸1, el 80% son de buena calidad, el 5% de calidad media y el resto de mala calidad. De las bicicletas de la empresa 𝐸2 se sabe que el 60% son de buena calidad, pero se desconocen los porcentajes de bicicletas de calidad media y calidad mala. Se elige al azar una bicicleta de alquiler de esa ciudad.

  1. Calcule la probabilidad de que sea de buena calidad.
  2. Calcule la probabilidad de que sea de la empresa 𝐸1 y de mala calidad.
  3. Si se sabe que el porcentaje de bicicletas de alquiler de calidad media en toda la ciudad es del 19%, ¿cuál es la probabilidad de que sea de calidad media, sabiendo que la bicicleta elegida es de la empresa 𝐸2?

Ejercicio 5: Reserva 1 de 2020

Se han mezclado 90 llaves electrónicas de apertura de un determinado garaje, con apariencia idéntica, de las cuales 60 funcionan correctamente y 30 no funcionan. Se eligen al azar 2 de las 90 llaves.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos llaves elegidas abran la puerta del garaje?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de poder abrir el garaje con alguna de ellas?
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que una de las llaves elegidas funcione correctamente y la otra no?

Ejercicio 6: Reserva 1 de 2020

Una empresa almacena el mismo número de latas de refresco de cola, naranja y limón. De las 30.000 latas de refresco almacenadas, se sabe que 1.800 latas de cola, 2.400 de naranja y 3.000 de limón caducan en 2021.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que una lata elegida al azar caduque en 2021?
  2. Si se ha elegido al azar una lata que no caduca en 2021, ¿cuál es la probabilidad de que sea de cola?

Ejercicio 5: Reserva 2 de 2020

Tres personas se encargan de los cobros de la caja de un supermercado. El mes pasado, la primera de ellas realizó el 30% de los cobros, la segunda el 45% y la tercera el resto. La dirección del supermercado ha comprobado que de los cobros realizados por la primera persona, el 1% son erróneos, que la segunda cometió errores en el 3% de los cobros y la tercera en el 2%.

  1. Calcule la probabilidad de que un cobro elegido al azar haya sido erróneo.
  2. Se elige al azar un cobro correcto. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido realizado por la segunda persona?

Ejercicio 6: Reserva 2 de 2020

En un centro de enseñanza secundaria, el 11% de los profesores ocupan cargos directivos y el 13% pertenecen a alguna comisión. Además, el 6% ocupan un cargo directivo y pertenecen a alguna comisión.

  1. ¿Cuál es el porcentaje de profesores que pertenecen a alguna comisión y no ocupan ningún cargo directivo?
  2. Calcule el porcentaje de profesores que no ocupan cargos directivos ni pertenecen a ninguna comisión.
  3. De los profesores que ocupan un cargo directivo, ¿qué porcentaje pertenece a alguna comisión?

Ejercicio 5: Reserva 3 de 2020

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos de un mismo experimento aleatorio.

  1. Si 𝑃(𝐴) ≠0 y 𝑃(𝐵) ≠0, ¿pueden ser los sucesos 𝐴 y 𝐵 independientes e incompatibles a la vez? Justifique la respuesta.
  2. Sabiendo que 𝑃(𝐴) =0,3, 𝑃(𝐵) =0,5 y 𝑃(𝐴|𝐵) =0,2, calcule las siguientes probabilidades: 𝑃(𝐴∩𝐵),𝑃(𝐴∪𝐵),𝑃(𝐴𝑐∪𝐵𝑐)y𝑃(𝐴−𝐵).

Ejercicio 6: Reserva 3 de 2020

El censo de una población andaluza está compuesto en total por 15.000 personas, de las cuales 8.500 son mujeres. Se sabe que el 15% de las mujeres y el 20% de los hombres censados en dicha población han viajado alguna vez a un país extranjero. Se elige al azar una persona censada en dicha población.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que haya viajado al extranjero?
  2. Si se sabe que esta persona no ha viajado al extranjero, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?

Ejercicio 5: Reserva 4 de 2020

Se sabe que el 65% de los estudiantes de bachillerato de Andalucía ha participado en programas Erasmus+ y que de ellos, el 80% ha mejorado su calificación en lengua extranjera. De los estudiantes que no han participado en programas Erasmus+, mejoran su calificación en lengua extranjera el 30%. Se elige al azar un estudiante de bachillerato de Andalucía.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que haya mejorado su calificación en lengua extranjera?
  2. Si se sabe que ha mejorado su calificación en lengua extranjera, ¿cuál es la probabilidad de que haya participado en un programa Erasmus+?

Ejercicio 6: Reserva 4 de 2020

El 47% de los jóvenes andaluces tienen una vida sedentaria. De ellos, el 72% presentan obesidad, mientras que solamente la presentan el 22% de los jóvenes no sedentarios. Se elige al azar un joven andaluz.

  1. Calcule la probabilidad de que sea sedentario y no presente obesidad.
  2. Calcule la probabilidad de que presente obesidad.
  3. Calcule la probabilidad de que sea sedentario, sabiendo que presenta obesidad.

Ejercicio 5: Septiembre de 2020

Una urna contiene 6 bolas rojas y 4 azules. Se extrae una bola al azar y se reemplaza por seis bolas del otro color. A continuación, se vuelve a extraer una segunda bola de la urna.

  1. Calcule la probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja.
  2. Si sabemos que la segunda bola extraída es azul, ¿cuál es la probabilidad de que también lo haya sido la primera?

Ejercicio 6: Septiembre de 2020

Una empresa fabrica dos tipos de bombillas: una LED y otra halógena. Se sabe que un 5% de las LED y un 2% de las halógenas salen defectuosas. Se elige al azar una bombilla de una caja que contiene 40 bombillas LED y 10 halógenas.

  1. Calcule la probabilidad de que la bombilla elegida no sea defectuosa.
  2. Calcule la probabilidad de que la bombilla elegida sea LED, sabiendo que es defectuosa.

Ejercicio A3: Junio de 2019

El 65% de los turistas que visitan una provincia elige alojamientos en la capital y el resto en zonas rurales. Además, el 75% de los turistas que se hospedan en la capital y el 15% de los que se hospedan en zonas rurales, lo hacen en hoteles, mientras que el resto lo hace en apartamentos turísticos. Se elige al azar un turista de los que se han alojado en esa provincia.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en un hotel?
  2. Si se sabe que se ha hospedado en un apartamento turístico, ¿cuál es la probabilidad de que el apartamento esté en zonas rurales?

Ejercicio B3: Junio de 2019

El 69% de los habitantes de una determinada ciudad ven series, el 35% películas y el 18% no ven ni series ni películas. Se elige al azar un habitante de la ciudad.

  1. Calcule la probabilidad de que vea series o películas.
  2. Sabiendo que ve series, calcule la probabilidad de que vea películas.
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que vea series y no vea películas?

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2019

El 17% de la población adulta de una ciudad sigue una dieta de adelgazamiento y practica algún deporte regularmente. El 58% ni sigue una dieta de adelgazamiento ni hace deporte regularmente. Además, se sabe que de los que hacen deporte regularmente, el 50% hace dieta de adelgazamiento. Se elige al azar un adulto de esa población.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que siga una dieta de adelgazamiento o que practique deporte regularmente?
  2. Si el individuo elegido sigue una dieta de adelgazamiento, ¿cuál es la probabilidad de que practique deporte con regularidad?
  3. ¿Son independientes los sucesos "Seguir una dieta de adelgazamiento" y "Practicar algún deporte regularmente"?

Ejercicio B3: Reserva 1 de 2019

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos de un experimento aleatorio dado. Se sabe que 𝑃(𝐴) =0,5, 𝑃(𝐴 ∪𝐵) =0,75 y 𝑃(𝐴 −𝐵) =0,3.

  1. Calcule 𝑃(𝐴 ∩𝐵).
  2. Calcule 𝑃(𝐴|𝐵𝑐).
  3. ¿Son independientes los sucesos 𝐴 y 𝐵? ¿Son los sucesos 𝐴 y 𝐵 incompatibles?

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2019

En una localidad andaluza hay tres institutos de ESO. De los 500 estudiantes que cursan 1° de ESO en dicha localidad, 250 estan matriculados en el instituto A, 150 en el B y el resto están matriculados en el instituto C. Se sabe que han superado la materia de Matemáticas el 70% del alumnado de 1° de ESO matriculado en el instituto A, el 68% de B y el 73% de C. Se elige al azar un estudiante de 1° de ESO de la citada localidad.

  1. Calcule la probabilidad de que no haya superado Matemáticas.
  2. Calcule la probabilidad de que esté matriculado en el instituto A, sabiendo que ha superado Matemáticas.
  3. Calcule la probabilidad de que esté matriculado en el instituto C y no haya superado Matemáticas.

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2019

El 70% de los taxistas de una ciudad tiene 40 años o más y de estos, el 60% es propietario de la licencia del vehículo. Sin embargo, en el caso de los menores de 40 años, son propietarios de la licencia el 23%. Se escoge al azar un taxista de esa ciudad.

  1. Calcule la probabilidad de que sea propietario de la licencia del vehículo.
  2. Sabiendo que no es propietario de la licencia, calcule la probabilidad de que tenga 40 años o más.
  3. Calcule la probabilidad de que sea propietario de la licencia o tenga menos de 40 años.

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2019

Una cooperativa envasa zumos de naranja, zumos de piña y zumos de melocotón en botellas de 1 litro y de 2 litros. Se sabe que el 60% de las botellas son de zumo de naranja y el 30% de piña. Además, el 80% de las botellas de zumo de naranja y el 70% de las de zumo de piña son de 2 litros, mientras que el 60% de las de melocotón son botellas de 1 litro. Se elige al azar una botella envasada por la cooperativa.

  1. Calcule la probabilidad de que la botella sea de 2 litros.
  2. Calcule la probabilidad de que el zumo sea de naranja, sabiendo que la botella es de 2 litros.
  3. Calcule la probabilidad de que el zumo sea de melocotón, sabiendo que la botella es de 1 litro.

Ejercicio B3: Reserva 3 de 2019

Una determinada enfermedad puede estar provocada por una sola de las causas, A, B o C. En el 35% de los casos esta provocada por A, en el 40% por B y en el 25% por C. Se sabe que el tratamiento de esta enfermedad requiere hospitalización en el 15% de los casos si está provocada por A, en el 45% si está provocada por B y en un 20% si está provocada por C. Se elige al azar una persona afectada por esa enfermedad.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que necesite hospitalización?
  2. Si no necesita hospitalización, ¿cuál es la probabilidad de que la causa de la enfermedad sea C?

Ejercicio A3: Reserva 4 de 2019

Para tratar cierta enfermedad, en un hospital se utilizan tres fármacos distintos, A, B y C, administrándose a cada enfermo un solo fármaco. El 30% de los pacientes es tratado con el fármaco A, el 50% es tratado con el B y el resto con el fármaco C. La probabilidad de que la enfermedad se cure con el farmaco A es de 0,6, de que se cure con el farmaco B es de 0,8 y de que se cure con el farmaco C es de 0,7. Se elige al azar un paciente de ese hospital con esa enfermedad.

  1. Calcule la probabilidad de que el paciente se cure.
  2. Sabiendo que el paciente se ha curado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido tratado con el fármaco A?

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2019

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos asociados a un experimento aleatorio tales que 𝑃(𝐵) =0,4, 𝑃(𝐴|𝐵) =0,25 y 𝑃(𝐴 −𝐵) =0,4.

  1. Calcule 𝑃(𝐴 ∩𝐵).
  2. Calcule 𝑃(𝐴) y 𝑃(𝐴 ∪𝐵).
  3. ¿Son 𝐴 y 𝐵 independientes? ¿Son incompatibles?

Ejercicio A3: Septiembre de 2019

Una marca de patinetes eléctricos fabrica tres modelos distintos A, B y C. El modelo A supone el 25% de su producción, el B el 40% y el resto de la producción corresponde al modelo C. Transcurridos tres meses desde su venta, se comprobó que el 15% de patinetes del modelo A, el 10% del B y el 12% del C había presentado alguna avería. Se elige al azar un patinete de esta marca.

  1. Calcule la probabilidad de que dicho patinete haya presentado alguna avería.
  2. Si sabemos que el patinete elegido es del modelo A, ¿cuál es la probabilidad de que no haya presentado avería?
  3. Calcule la probabilidad de que haya presentado avería o sea del modelo C.

Ejercicio B3: Septiembre de 2019

De dos sucesos 𝐴 y 𝐵 de un mismo espacio muestral se sabe que: 𝑃(𝐴∩𝐵)=0,2,𝑃(𝐴∪𝐵)=0,4y𝑃(𝐴|𝐵)=0,8.

  1. Calcule 𝑃(𝐵) y 𝑃(𝐴).
  2. ¿Son los sucesos 𝐴 y 𝐵 independientes? Razone la respuesta.
  3. Calcule 𝑃(𝐴𝑐 ∪𝐵𝑐).

Ejercicio A3: Junio de 2018

En una determinada población residen 5.000 personas en el centro y 10.000 en la periferia. Se sabe que el 95% de los residentes en el centro y que el 20% de los que viven en la periferia opina que el Ayuntamiento debería restringir el acceso de vehículos privados al centro urbano. Se elige al azar un residente de la población.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que esté a favor de restringir el acceso de vehículos privados al centro de la ciudad?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que resida en el centro y esté a favor de la restricción de acceso?
  3. Si la persona elegida opina que se debería restringir el acceso, ¿cuál es la probabilidad de que resida en el centro de la ciudad?

Ejercicio B3: Junio de 2018

Un campus universitario dispone de 3.000 plazas numeradas de aparcamiento para vehículos, distribuidas en tres zonas A, B y C. La zona A está constituida por las plazas del 1 al 1.500, estando 1.350 de ellas protegidas del sol. La zona B la conforman las plazas numeradas desde 1.501 a 2.500, estando el 80% protegidas del sol. La zona C contiene las plazas numeradas desde 2.501 hasta 3.000, estando solamente 250 protegidas del sol. Aleatoriamente se elige una de las plazas de aparcamiento del campus.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que esté en la zona A o en la B?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que no esté protegida del sol?
  3. Si se ha elegido una plaza protegida del sol, ¿cuál es la probabilidad de que esté ubicada en la zona B?

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2018

El 80% del alumnado de una determinada universidad accede a los estudios que marca como primera opción. De ellos, el 75% termina el Grado, mientras que solo el 40% de los que acceden a estudios que no han marcado como primera opción termina el Grado. Se elige un alumno al azar de esa universidad.

  1. Calcule la probabilidad de que no haya terminado el Grado.
  2. Calcule la probabilidad de que no accediera a los estudios marcados como primera opción, sabiendo que no ha terminado el Grado.

Ejercicio B3: Reserva 1 de 2018

Una caja contiene 3 bolas negras, 2 blancas y 1 roja. Se realiza el siguiente experimento aleatorio: "Extraer de esa caja dos bolas al azar, una a continuación de otra sin reposición y anotar el color de las bolas en el orden en que han sido extraídas".

  1. Describa el espacio muestral asociado a este experimento aleatorio.
  2. Indique la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales del espacio muestral.

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2018

En un centro de enseñanza secundaria el 48% de los estudiantes son chicos. El 85% de los chicos del centro y el 82% de las chicas supera todas las asignaturas. Se elige al azar un estudiante del centro.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que supere todas las asignaturas?
  2. Si ha superado todas las asignaturas, ¿cuál es la probabilidad de que sea una chica?

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2018

Sean 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 y 𝐹 sucesos de un experimento aleatorio.

  1. Se sabe que 𝑃(𝐴) =0,5, 𝑃(𝐴 ∪𝐵) =0,7 y 𝑃(𝐴 ∩𝐵) =0,4. Halle la probabilidad de que ocurra 𝐵.
  2. Se sabe que 𝑃(𝐶) =0,4, 𝑃(𝐷) =0,3 y 𝑃(𝐶 ∪𝐷) =0,5. Halle la probabilidad de que ocurra 𝐶 sabiendo que no ocurre 𝐷.
  3. Se sabe que los sucesos 𝐸 y 𝐹 son independientes, que 𝑃(𝐸) =0,6 y que 𝑃(𝐹) =0,8. Calcule la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos.

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2018

En un polideportivo municipal hay inscritos 520 usuarios de los que 220 son niños, 208 son adultos menores de 60 años y el resto adultos mayores de 60 años. De los inscritos, 15 de los niños, el 75% de los adultos menores de 60 años y 23 adultos mayores de 60 años utilizan las duchas normalmente. Se elige un usuario al azar.

  1. Calcule la probabilidad de que se duche en las instalaciones del polideportivo.
  2. Calcule la probabilidad de que sea adulto menor de 60 años y utilice las duchas.
  3. Sabiendo que utiliza las duchas, halle la probabilidad de que sea un niño.

Ejercicio B3: Reserva 3 de 2018

Una almazara recibe cajas de aceitunas de dos productoras, A y B, que cultivan dos variedades, picual y arbequina. El 40% proviene de la productora A, de las cuales el 60% es de la variedad picual. De las que provienen de la productora B, el 30% es de la variedad arbequina. Se elige una caja de aceitunas al azar.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la variedad picual?
  2. Si se sabe que es de la variedad picual, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la productora A?
  3. Calcule la probabilidad de que sea de la productora A o de la variedad picual.

Ejercicio A3: Reserva 4 de 2018

Se ha realizado un referéndum en el que se ha convocado a la ciudadanía a expresar con "SÍ" o con "NO" su opinión sobre cierta cuestión. En una determinada mesa electoral hay tres urnas que contienen las siguientes papeletas: la urna A tiene 200 papeletas con "SÍ" y 300 con "NO", la urna B, 500 "SÍ" y 400 "NO" y la urna C contiene 200 "SÍ" y 100 "NO". Se elige una urna al azar y de ella se extrae aleatoriamente una papeleta.

  1. Calcule la probabilidad de que sea un "SÍ".
  2. Si la papeleta extraída es "NO", calcule la probabilidad de que haya sido extraída de la urna A.

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2018

En una concentración de 250 deportistas hay 120 que juegan al fútbol, 60 que juegan al tenis y 70 que juegan al baloncesto. El 75% de los que juegan al fútbol, el 65% de los que juegan al tenis y el 60% de los que juegan al baloncesto son además aficionados al ciclismo. Se selecciona al azar uno de los deportistas.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que sea aficionado al ciclismo?
  2. Si es aficionado al ciclismo, ¿cuál es la probabilidad de que juegue al tenis?

Ejercicio A3: Septiembre de 2018

En una localidad, el 25% de los habitantes asiste periódicamente a la consulta del dentista, el 10% se hace una analítica y el 8% hace ambas cosas.

  1. Razone si los sucesos "Asistir a la consulta del dentista" y "Hacerse una analítica" son independientes.
  2. ¿Qué porcentaje de habitantes ni se hace una analítica ni va al dentista?
  3. Si elegimos un habitante al azar de esa localidad de entre los que no van al dentista, ¿cuál es la probabilidad de que se haga una analítica?

Ejercicio B3: Septiembre de 2018

Un hotel dispone de tres lavadoras industriales 𝐿1, 𝐿2 y 𝐿3 para el servicio de lavandería. El 50% e los lavados los realiza 𝐿1, el 30% los hace 𝐿2 y el resto 𝐿3. La lavadora 𝐿1 produce un 5% de lavados defectuosos, 𝐿2 produce un 15% y 𝐿3 un 20%. Se elige al azar un lavado del hotel.

  1. Calcule la probabilidad de que no sea defectuoso.
  2. Calcule la probabilidad de que el lavado haya sido realizado por 𝐿1, sabiendo que ha sido defectuoso.

Ejercicio A3: Junio de 2017

Se sabe que el 90% de los alumnos de un centro docente está interesado por las redes sociales, el 60% está interesado por sus notas y el 55% por ambas cuestiones. Se elige al azar un alumno de ese centro.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que dicho alumno esté interesado por alguna de las dos cuestiones?
  2. Calcule la probabilidad de que esté interesado por sus notas, sabiendo que no está interesado por las redes sociales.
  3. Calcule la probabilidad de que no esté interesado por ninguna de estas dos cuestiones.

Ejercicio B3: Junio de 2017

En una ciudad hay dos fábricas de pasta, 𝐹1 y 𝐹2, que producen dos tipos de productos, A y B, que venden a un distribuidor en paquetes de 1 kg. En un mes, la fábrica 𝐹1 produce 20.000 kg de pasta, de los que 12.000 son del tipo A, y la fábrica 𝐹2 produce 25.000 kg de pasta de los que 15.000 kg son del tipo A. Se escoge al azar un paquete del distribuidor.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que sea del tipo B?
  2. Si el paquete elegido resulta ser del tipo A, ¿qué es más probable, que proceda de la fábrica 𝐹1 o que proceda de la 𝐹2?

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2017

En un departamento de una Universidad hay 8 profesores y 14 profesoras. Se quiere constituir una comisión formada por 2 miembros del departamento, elegidos al azar.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que sean profesoras?
  2. Calcule la probabilidad de que la comisión esté constituida por un profesor y una profesora.
  3. Halle la probabilidad de que en la comisión no haya ninguna profesora.

Ejercicio B3: Reserva 1 de 2017

Los alumnos que cursan una asignatura deben realizar dos exámenes: uno teórico y otro práctico. El 50% de los alumnos aprueba los dos exámenes, el 6% no aprueba ninguno y el 20% solo aprueba el teórico. Se elige un alumno al azar.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe al menos uno de los dos exámenes?
  2. Si ha aprobado el teórico, ¿cuál es la probabilidad de que no apruebe el examen práctico?

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2017

De los sucesos 𝐴 y 𝐵 se sabe que 𝑃(𝐴) =0,6, 𝑃(𝐴|𝐵) =0,8 y 𝑃(𝐵|𝐴𝑐) =0,1.

  1. Calcule las probabilidades 𝑃(𝐵), 𝑃(𝐴 ∩𝐵) y 𝑃(𝐴 ∪𝐵).
  2. ¿Son los sucesos 𝐴 y 𝐵 independientes?

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2017

E1 10% de las personas que acuden a un servicio de urgencias lo hace por problemas respiratorios, de estos el 80% son fumadores, mientras que de los que acuden por otros problemas solo el 5% son fumadores. Se elige, al azar, una persona de las que acuden al servicio de urgencias.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que haya acudido por problemas respiratorios y no sea fumador?
  2. Si la persona elegida es fumadora, ¿cuál es la probabilidad de que haya acudido por problemas que no son respiratorios?

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2017

Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 tres sucesos de los que se sabe que 𝐴 y 𝐵 son independientes, 𝐴 y 𝐶 son incompatibles, 𝑃(𝐴) =0,4, 𝑃(𝐴 ∩𝐵) =0,1 y 𝑃(𝐶) =0,2. Calcule las probabilidades de los siguientes sucesos:

  1. Que suceda 𝐴 si no sucede 𝐵.
  2. Que no suceda ni 𝐴 ni 𝐶.
  3. Que si no sucede 𝐵 tampoco suceda 𝐴.

Ejercicio B3: Reserva 3 de 2017

Para superar una asignatura un estudiante hace un examen teórico y otro práctico. La probabilidad de que apruebe el examen teórico es 0,8, la de que apruebe el examen práctico es 0,6 y la de que apruebe ambos es 0,5.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe al menos uno de los dos exámenes?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe el examen práctico en caso de no haber aprobado el examen teórico?
  3. ¿Son independientes los sucesos "aprobar el examen teórico" y "aprobar el examen práctico"?

Ejercicio A3: Reserva 4 de 2017

En un estudio sobre los niveles de audiencia de dos cadenas de radio, se obtuvo que el 50% de la población escucha la cadena A, el 40% escucha la cadena B y el 20% oye ambas.

  1. Halle el porcentaje de la población que escucha alguna de las dos cadenas.
  2. Calcule el porcentaje de la población que escucha solo la cadena B.
  3. Halle el porcentaje de la población que escucha solo una de las dos cadenas.

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2017

A una asamblea en la Universidad asisten 420 alumnos de los cuales 180 son de Empresariales, 72 de Relaciones Laborales y el resto de Derecho. Un tercio de los alumnos de Empresariales, dos tercios de los de Derecho y 16 alumnos de Relaciones Laborales votan NO a la huelga. El resto ha votado SÍ.

  1. Calcule la probabilidad de que elegido un alumno al azar, sea de Empresariales y haya votado SÍ a la huelga.
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que elegido un alumno al azar haya votado SÍ a la huelga?
  3. Si elegido un alumno al azar, resulta que ha votado NO a la huelga, ¿cuál es la probabilidad de que sea de Relaciones Laborales?

Ejercicio A3: Septiembre de 2017

Supongamos que el 20% de los votantes de Trump apoya la construcción del muro en la frontera con México y que solo el 5% de los que no lo votaron la apoya. En un grupo formado por 5.000 votantes de Trump y 10.000 estadounidenses que no lo votaron se elige una persona al azar.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que ésta apoye la construcción del muro?
  2. Si la persona elegida apoya la construcción del muro, ¿cuál es la probabilidad de que no haya votado a Trump?
  3. Calcule la probabilidad de que sea votante de Trump o apoye la construcción del muro.

Ejercicio B3: Septiembre de 2017

Una urna contiene 5 bolas rojas y 3 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por 2 bolas del otro color. A continuación se extrae una segunda bola.

  1. Calcule la probabilidad de que la segunda bola extraída sea verde.
  2. Halle la probabilidad de que la primera haya sido roja, sabiendo que la segunda también ha sido roja.

Ejercicio A3: Junio de 2016

Marta tiene dos trajes rojos, un traje azul y uno blanco. Además, tiene un par de zapatos de color rojo, otro de color azul y dos pares blancos. Si decide aleatoriamente qué ponerse, determine las probabilidades de los siguientes sucesos:

  1. Llevar un traje rojo y unos zapatos blancos.
  2. No ir toda vestida de blanco.
  3. Calzar zapatos azules o blancos.

Ejercicio B3: Junio de 2016

En una encuesta sobre la nacionalidad de los veraneantes en un municipio de la costa andaluza, se ha observado que el 40% de los encuestados son españoles y el 60% extranjeros, que el 30% de los españoles y el 80% de los extranjeros residen en un hotel y el resto en otro tipo de residencia. Se elige al azar un veraneante del municipio.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que no resida en un hotel?
  2. Si no reside en un hotel, ¿cuál es la probabilidad de que sea español?
  3. ¿Son independientes los sucesos "ser extranjero" y "residir en un hotel"?

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2016

El 55% de los asistentes a un concierto son menores de 20 años. El 30% de los menores de 20 años y el 25% de los mayores de esa edad son chicas. Se elige uno de los asistentes al azar.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que sea chica?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor de 20 años, sabiendo que es una chica?
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que sea menor de 20 años, sabiendo que es un chico?

Ejercicio B3: Reserva 1 de 2016

Disponemos de tres dados. Dos de ellos tienen sus caras numeradas del 1 al 6 y el tercero tiene cinco caras marcadas con el 3 y la otra con el 1. Se elige al azar uno de los tres dados y se realiza el lanzamiento.

  1. Determine la probabilidad de que se obtenga un 3.
  2. Determine la probabilidad de que se obtenga un número par.
  3. Si se ha obtenido un 3, ¿cuál es la probabilidad de que hayamos elegido el tercer dado?

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2016

El 60% de los jóvenes de una ciudad usa Facebook, el 80% usa WhatsApp y el 4% usa Facebook pero no WhatsApp.

  1. Halle el porcentaje de jóvenes de esa ciudad que usa ambas aplicaciones.
  2. Calcule el porcentaje de esos jóvenes que usa WhatsApp pero no Facebook.
  3. Entre los jóvenes que usan WhatsApp, ¿qué porcentaje usa también Facebook?
  4. Los sucesos "usar Facebook" y "usar WhatsApp", ¿son independientes?

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2016

De los sucesos 𝐴 y 𝐵 de un experimento aleatorio se conocen las siguientes probabilidades: 𝑃(𝐴)=0,4,𝑃(𝐵)=0,5y𝑃((𝐴∪𝐵)𝑐)=0,1.

  1. Razone si 𝐴 y 𝐵 son sucesos compatibles.
  2. Razone si 𝐴 y 𝐵 son sucesos independientes.
  3. Calcule 𝑃(𝐴 ∩𝐵𝑐).
  4. Calcule 𝑃(𝐴|𝐵𝑐).

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2016

En un centro de estudios que tiene 250 estudiantes, hay 50 que tienen problemas visuales y 20 que tienen problemas auditivos. Los sucesos "tener problemas visuales" y "tener problemas auditivos" son independientes. Se elige un estudiante al azar, calcule las probabilidades de los sucesos siguientes:

  1. Tener problemas visuales y auditivos.
  2. No tener problemas visuales ni auditivos.
  3. Tener algún problema auditivo si no tiene problemas visuales.

Ejercicio B3: Reserva 3 de 2016

En un aeropuerto internacional operaron 300.000 vuelos en un determinado año, distribuidos de la siguiente forma: 150.000 en la terminal A, 100.000 en la B y 50.000 en la C. En ese año se sabe que sufrieron retrasos el 10% de los vuelos de la terminal A, el 8% de la B y el 5% de la C. Determine, para un vuelo elegido al azar, las probabilidades de los siguientes sucesos:

  1. Que no sufriera retraso.
  2. Que operase en la terminal A, sabiendo que tuvo retraso.

Ejercicio A3: Reserva 4 de 2016

Disponemos de tres monedas: 1 dólar, 1 libra y 1 euro. La moneda de 1 dólar está trucada y la probabilidad de que salga cara es el doble de la probabilidad de que salga cruz. La moneda de 1 libra también está trucada y tiene dos caras y la de 1 euro es correcta. Se escoge una de las tres monedas al azar y se lanza.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara?
  2. Sabiendo que salió cruz, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda lanzada fuera la de 1 dólar?

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2016

De los alumnos que se presentaron a las pruebas de selectividad de una provincia, 1.150 se examinaron de Geografía; de estos, 598 eligieron la opción A. Se sabe que aprobaron esa asignatura el 78% de los que eligieron la opción A y el 74% de los que eligieron la opción B. Se ha escogido al azar uno de los alumnos que se examinaron de Geografía.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que este alumno haya aprobado esta asignatura?
  2. Si se sabe que este alumno ha aprobado Geografía, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido la opción A?

Ejercicio A3: Septiembre de 2016

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos aleatorios tales que 𝑃(𝐴)=0,3,𝑃(𝐵)=0,6y𝑃(𝐴𝑐∩𝐵𝑐)=0,28.

  1. Halle la probabilidad de que ocurran ambos sucesos a la vez.
  2. Calcule la probabilidad de que ocurra 𝐴 sabiendo que no ha ocurrido 𝐵.
  3. ¿Son 𝐴 y 𝐵 independientes?

Ejercicio B3: Septiembre de 2016

El aparcamiento de una sala de conciertos está completo el 85% de los días. El 90% de los días que el aparcamiento está completo, la sala de conciertos está llena, y el 22% de los días que el aparcamiento no está completo, la sala de conciertos no está llena. Se elige un día al azar.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que la sala de conciertos esté llena?
  2. Si se sabe que la sala de conciertos está llena, ¿cuál es la probabilidad de que el aparcamiento esté completo?

Ejercicio A3: Junio de 2015

De los 700 alumnos matriculados en una asignatura, 210 son hombres y 490 mujeres. Se sabe que el 60% de los hombres y el 70% de las mujeres aprueban dicha asignatura. Se elige una persona al azar.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe la asignatura?
  2. Sabiendo que ha aprobado la asignatura, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?

Ejercicio B3: Junio de 2015

La proporción de personas de una población que tiene una determinada enfermedad es de 1 por cada 500 personas. Se dispone de una prueba para detectar dicha enfermedad. La prueba detecta la enfermedad en el 90% de los casos en que la persona está enferma, pero también da como enfermas al 5% de las personas sanas.

  1. Se elige al azar una persona y se le hace la prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido diagnosticada correctamente?
  2. Si la prueba ha diagnosticado que la persona está enferma, ¿cuál es la probabilidad de que realmente lo esté? ¿Y de que esté sana?

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2015

  1. Un ilusionista tiene seis cartas: cuatro ases y dos reyes. Saca una carta, la enseña al público y, sin verla, la vuelve a mezclar con las demás. A continuación saca una segunda carta que resulta ser un as. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta haya sido también un as?
  2. Si el ilusionista no devolviera la primera carta a la baraja y la segunda carta extraída fuera un as, ¿cuál es la probabilidad de que la primera carta haya sido también un as?

Ejercicio B3: Reserva 1 de 2015

El 30% de los habitantes de una ciudad lee el diario A, el 13% el diario B y el 6% ambos diarios.

  1. ¿Qué porcentaje de habitantes de esta ciudad no lee ninguno de los diarios?
  2. Si se elige al azar un habitante de esta ciudad de entre los no lectores del diario B, ¿cuál es la probabilidad de que lea el diario A?

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2015

El 70% de los clientes de un supermercado realizan las compras en el local y el resto de los clientes las realizan por internet. De las compras realizadas en el local, sólo el 30% supera los 100€, mientras que de las realizadas por internet el 80% supera esa cantidad.

  1. Elegida una compra al azar, ¿cuál es la probabilidad de que supere los 100€?
  2. Si se sabe que una compra supera los 100€, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hecho en el local?

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2015

Sean dos sucesos 𝐴 y 𝐵 tales que 𝑃(𝐴) =0,25, 𝑃(𝐵) =0,6 y 𝑃(𝐴 ∩𝐵𝑐) =0,1.

  1. Calcule la probabilidad de que ocurra 𝐴 y ocurra 𝐵.
  2. Calcule la probabilidad de que no ocurra 𝐴 pero sí ocurra 𝐵.
  3. Calcule la probabilidad de que ocurra 𝐴 sabiendo que ha ocurrido 𝐵.
  4. ¿Son independientes 𝐴 y 𝐵?

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2015

  1. Calcule la probabilidad de que al lanzar dos dados, la suma de sus puntuaciones sea un múltiplo de 4.
  2. De un experimento aleatorio se conocen las siguientes probabilidades: 𝑃(𝐴𝑐)=0,8,𝑃(𝐵𝑐)=0,7y𝑃(𝐴∪𝐵)=0,5. ¿Son A y B incompatibles?

Ejercicio B3: Reserva 3 de 2015

Una empresa dedicada a la producción de jamones ibéricos dispone de dos secaderos, A y B, con distintas condiciones ambientales y de almacenamiento. En el secadero B se curan la tercera parte de los jamones. El 25% de los jamones curados en el secadero A son catalogados como Reserva, mientras que en el B este porcentaje asciende al 80%. Elegido un jamón al azar de uno de los secaderos, calcule la probabilidad de los siguientes sucesos:

  1. El jamón no es de Reserva.
  2. Si el jamón es de Reserva, que proceda del secadero A.

Ejercicio A3: Reserva 4 de 2015

Un estudio estadístico determina que la noche del 31 de diciembre conduce el 5% de la población, el 20% consume alcohol esa noche y el 2% conduce y consume alcohol.

  1. ¿Son independientes los sucesos "conducir" y "consumir alcohol"?
  2. ¿Qué porcentaje de la población no conduce ni consume alcohol esa noche?
  3. De las personas que consumen alcohol, ¿qué porcentaje conduce esa noche?

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2015

Una enfermedad puede estar provocada por solo una de estas tres causas: A, B o C. La probabilidad de que la causa sea A es 0,3, la de que sea B es 0,2 y la de que sea C es 0,5. El tratamiento de esta enfermedad requiere hospitalización en el 20% de los casos si está provocada por A, en el 55% si la causa es B y en el 10% si la causa es C.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un enfermo con la citada enfermedad no necesite hospitalización?
  2. Si un enfermo está hospitalizado debido a esta enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que la causa haya sido A?

Ejercicio A3: Septiembre de 2015

Lucía quiere ir de vacaciones a la costa. En su guía de viajes lee que en esa época del año llueve dos días a la semana y que hace viento el 25% de los días que llueve y el 40% de los días que no llueve. Ha elegido un día de esa época.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que haga viento?
  2. Si hace viento, ¿cuál es la probabilidad de que esté lloviendo?
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva y no haga viento?

Ejercicio B3: Septiembre de 2015

En una urna A hay 8 bolas verdes y 6 rojas. En otra urna B hay 4 bolas verdes, 5 rojas y 1 negra. Se lanza un dado, si sale un número menor que 3 se saca una bola de la urna A, y si sale mayor o igual que 3 se saca una bola de la urna B.

  1. Calcule la probabilidad de que la bola sea verde si ha salido un 4.
  2. Calcule la probabilidad de que la bola elegida sea roja.
  3. Sabiendo que ha salido una bola verde, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la urna A?

Ejercicio A3: Junio de 2014

Una urna, A, contiene siete bolas numeradas del 1 al 7. Otra urna, B, contiene cinco bolas numeradas del 1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que si sale cara, extraeremos una bola de la urna A, y si sale cruz, la extraemos de la urna B. Calcule las probabilidades de los siguientes sucesos:

  1. "La bola haya sido extraída de la urna A y el número sea par".
  2. "El número de la bola extraída sea par".
  3. "La bola sea de la urna A, si ha salido un número par".

Ejercicio B3: Junio de 2014

Antonio va a la compra dos días de cada cinco. A lo largo del tiempo, ha observado que la fruta está de oferta la tercera parte de los días que va a la compra y la mitad de los días que no va. Elegido un día al azar:

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que la fruta esté de oferta ese día?
  2. Calcule la probabilidad de que ese día Antonio vaya a la compra o la fruta esté de oferta.

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2014

El 65% de la población española adulta no fuma, el 15% fuma ocasionalmente y el resto fuma habitualmente. Elegidos al azar dos adultos españoles, calcule las probabilidades de los siguientes sucesos:

  1. Los dos sean no fumadores.
  2. Uno de ellos sea no fumador y el otro sea fumador ocasional.

Ejercicio B3: Reserva 1 de 2014

Se sabe que el 80% de los visitantes de un determinado museo son andaluces y que el 55% son andaluces y adultos. Además, el 17% de los visitantes son no andaluces y adultos. Se elige, al azar, un visitante del museo:

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea adulto?
  2. Si es adulto, ¿cuál es la probabilidad de que sea andaluz?

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2014

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos aleatorios independientes de los que se conoce que 𝑃(𝐴) =0,5 y 𝑃(𝐵) =0,3.

  1. Diga, razonadamente, si 𝐴 y 𝐵 son sucesos incompatibles.
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que suceda 𝐴 y no suceda 𝐵?
  3. Calcule 𝑃(𝐴|𝐵𝑐).

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2014

Un estudio estadístico de la producción de una fábrica de batidoras determina que el 4,5% de las batidoras presenta defectos eléctricos, el 3,5% presenta defectos mecánicos y el 1% presenta ambos defectos. Se escoge al azar una batidora.

  1. Calcule la probabilidad de que no tenga ninguno de los dos defectos.
  2. Calcule la probabilidad de que tenga un defecto mecánico sabiendo que tiene un defecto eléctrico.
  3. Justifique si los sucesos "tener un defecto eléctrico" y "tener un defecto mecánico" son independientes. ¿Son incompatibles?

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2014

En un servicio técnico especializado en cámaras fotográficas, el 70% de las cámaras que se reciben son del modelo A y el resto del modelo B. El 95% de las cámaras del modelo A son reparadas, mientras que del modelo B solo se reparan el 80%. Se elige una cámara al azar.

  1. Calcule la probabilidad de que no se haya podido reparar.
  2. Si se observa que no ha sido reparada, ¿cuál es la probabilidad de que sea del modelo B?

Ejercicio B3: Reserva 3 de 2014

Se elige un número, al azar, entre el siguiente conjunto: {225,201,162,210,180,172,156,193,218,167,176,222,215,120,190,171}.

  1. Calcule la probabilidad de que el número elegido sea impar.
  2. Si el número elegido es múltiplo de 5, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor que 200?
  3. Determine si son independientes los sucesos 𝑆: "el número elegido es mayor que 200" y 𝑇: "el número elegido es par".
  4. Halle la probabilidad del suceso 𝑆 ∪𝑇.

Ejercicio A3: Reserva 4 de 2014

En un Instituto de Educación Secundaria el 40% de los alumnos juegan al fútbol, el 30% juegan al baloncesto y el 20% practican ambos deportes.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno, elegido al azar, no practique ninguno de los dos deportes?
  2. Si un alumno, elegido al azar, juega al fútbol, ¿cuál es la probabilidad de que no juegue al baloncesto?
  3. ¿Son independientes los sucesos "jugar al fútbol" y "jugar al baloncesto"?

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2014

El 25% de los estudiantes de una Universidad lee las noticias en prensa escrita en papel, el 70% en prensa digital y el 10% en ambos formatos. Se elige, al azar, un estudiante de esa Universidad.

  1. Calcule la probabilidad de que lea las noticias en formato papel o digital.
  2. Sabiendo que lee las noticias en prensa digital, calcule la probabilidad de que también las lea en prensa escrita en papel.
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que lea las noticias exclusivamente en uno de los dos formatos?

Ejercicio A3: Septiembre de 2014

Se sabe que dos alumnos de la asignatura de Matemáticas asisten a clase, de forma independiente, el primero a un 85% de las clases y el segundo a un 35%. Tomado al azar un día de clase, calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:

  1. Que los dos hayan asistido a clase ese día.
  2. Que alguno de ellos haya asistido a clase ese día.
  3. Que ninguno haya asistido a clase ese día.
  4. Que haya asistido a clase el segundo, sabiendo que el primero no ha asistido.

Ejercicio B3: Septiembre de 2014

En una tienda de complementos disponen de 100 bolsos, de los cuales 80 son de una conocida marca y 20 son imitaciones casi perfectas de dicha marca. Una inspección encarga a un experto el peritaje de los bolsos de la tienda. Se sabe que este experto acierta en el 95% de sus peritajes cuando el bolso es auténtico y que detecta el 98% de las imitaciones. Se elige, al azar, un bolso para su examen:

  1. Calcule la probabilidad de que el experto acierte en su dictamen sobre ese bolso.
  2. Si el experto no ha acertado en su peritaje, calcule la probabilidad de que el bolso sea auténtico.

Ejercicio A3: Junio de 2013

El 55% de los alumnos de un centro docente utiliza en su desplazamiento transporte público, el 30% usa vehículo propio y el resto va andando. El 65% de los que utilizan transporte público son mujeres, el 70% de los que usan vehículo propio son hombres y el 52% de los que van andando son mujeres.

  1. Elegido al azar un alumno de ese centro, calcule la probabilidad de que sea hombre.
  2. Elegido al azar un hombre, alumno de ese centro, ¿cuál es la probabilidad de que vaya andando?

Ejercicio B3: Junio de 2013

De los sucesos aleatorios independientes 𝐴 y 𝐵 se sabe que 𝑃(𝐴) =0,3 y que 𝑃(𝐵) =0,25. Calcule las siguientes probabilidades:

  1. 𝑃(𝐴 ∪𝐵).
  2. 𝑃(𝐴𝑐 ∩𝐵𝑐).
  3. 𝑃(𝐴|𝐵𝑐).

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2013

Una granja avícola dedicada a la produccion de huevos posee un sistema automático de clasificación en tres calibres según su peso: grande, mediano y pequeño. Se conoce que el 40% de la producción es clasificada como huevos grandes, el 35% como medianos y el 25% restante como pequeños. Además, se sabe que este sistema de clasificación produce defectos por rotura en el cascarón que dependen del peso. Así, la probabilidad de que un huevo grande sea defectuoso por esta razón es del 5%, la de uno mediano del 3% y de un 2% la de uno pequeno. Se elige aleatoriamente un huevo.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?
  2. Si el huevo es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que sea grande?

Ejercicio B3: Reserva 1 de 2013

A la Junta General de Accionistas de una empresa asisten 105 accionistas de los cuales 45 tienen menos de 40 años y 18 más de 60 años. Sometida a votación una propuesta, es rechazada por la tercera parte de los menores de 40 años, por la tercera parte de los que están entre 40 y 60 años y por 4 personas mayores de 60 anos; los demás la aceptan.

  1. Calcule la probabilidad de que, elegida una persona al azar, tenga menos de 40 años y haya aceptado la propuesta.
  2. La prensa afirmó que la propuesta había sido aceptada por el 80% de los asistentes, ¿es correcta la afirmación?
  3. Si una persona escogida al azar ha rechazado la propuesta, ¿qué probabilidad hay de que tenga más de 60 años?

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2013

En un experimento aleatorio, la probabilidad de que ocurra un suceso 𝐴 es 0,68, la de que ocurra otro suceso 𝐵 es 0,2, y la de que no ocurra ninguno de los dos es 0,27. Halle la probabilidad de que:

  1. Ocurran los dos a la vez.
  2. Ocurra 𝐵 pero no 𝐴.
  3. Ocurra 𝐵, sabiendo que no ha ocurrido 𝐴.

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2013

Una encuesta realizada en un banco indica que el 60% de sus clientes tiene un préstamo hipotecario, el 50% tiene un préstamo personal y un 20% tiene un préstamo de cada tipo. Se elige, al azar, un cliente de ese banco.

  1. Calcule la probabilidad de que no tenga ninguno de los dos préstamos.
  2. Calcule la probabilidad de que tenga un préstamo hipotecario sabiendo que no tiene préstamo personal.

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2013

En una urna A hay 10 bolas verdes y 10 rojas, y en otra urna B hay 15 verdes y 5 rojas. Se lanza un dado, de forma que si sale múltiplo de 3 se extrae una bola de la urna A y en el resto de casos se extrae una bola de la urna B.

  1. Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea roja.
  2. Si la bola extraída resulta ser de color verde, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B?

Ejercicio B3: Reserva 3 de 2013

En una empresa, el 65% de sus empleados habla inglés, y de éstos, el 40% habla también alemán. De los que no hablan inglés, el 25% habla alemán. Se escoge un empleado al azar.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que hable ambos idiomas?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que hable alemán?
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que, sabiendo que habla alemán, hable también inglés?

Ejercicio A3: Reserva 4 de 2013

Un Centro de Salud propone dos terapias, A y B, para dejar de fumar. De las personas que acuden al Centro para dejar de fumar, el 45% elige la terapia A, y el resto la B. Después de un año el 70% de los que siguieron la terapia A y el 80% de los que siguieron la B no han vuelto a fumar. Se elige al azar un usuario del Centro que siguió una de las dos terapias.

  1. Calcule la probabilidad de que después de un año no haya vuelto a fumar.
  2. Si transcurrido un año esa persona sigue sin fumar, calcule la probabilidad de que hubiera seguido la terapia A.
  3. Si transcurrido un año esa persona ha vuelto a fumar, calcule la probabilidad de que hubiera seguido la terapia A.

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2013

De los sucesos independientes 𝐴 y 𝐵 se sabe que 𝑃(𝐴𝑐) =0,4 y 𝑃(𝐴 ∪𝐵) =0,8.

  1. Halle la probabilidad de 𝐵.
  2. Halle la probabilidad de que no se verifique 𝐵 si se ha verificado 𝐴.
  3. ¿Son incompatibles los sucesos 𝐴 y 𝐵?

Ejercicio A3: Septiembre de 2013

Se cree que hay una vuelta hacia estilos de baile más populares, por lo que se realiza una encuesta a estudiantes de bachillerato, resultando que al 40% les gusta la salsa, al 30% les gusta el merengue y al 10% les gusta tanto la salsa como el merengue.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que a un estudiante le guste el merengue si le gusta la salsa?
  2. ¿Y la de que a un estudiante le guste el merengue si no le gusta la salsa?
  3. ¿Son independientes los sucesos "gustar la salsa" y "gustar el merengue"? ¿Son compatibles?

Ejercicio B3: Septiembre de 2013

El 50% de los préstamos que concede un banco son para vivienda, el 30% para industria y el 20% para consumo. No se pagan el 20% de los préstamos para vivienda, el 15% de los prestamos para industria y el 70% de los prestamos para consumo.

  1. Si se elige al azar un préstamo, calcule la probabilidad de que se pague.
  2. Se elige un préstamo al azar que resulta impagado, ¿cuál es la probabilidad de que sea un préstamo para consumo?
  3. Ante un préstamo impagado el director del banco afirma que es más probable que sea para vivienda que para consumo, ¿lleva razón el director?

Ejercicio A3: Junio de 2012

Una compañía de seguros ha hecho un seguimiento durante un año a 50.000 coches de la marca A, a 20.000 de la marca B y a 30.000 de la C, que tenía asegurados, obteniendo que, de ellos, habían tenido accidente 650 coches de la marca A, 200 de la B y 150 de la C. A la vista de estos datos:

  1. ¿Cuál de las tres marcas de coches tiene menos proporción de accidentes?
  2. Si, elegido al azar uno de los coches observados, ha tenido un accidente, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la marca C?

Ejercicio B3: Junio de 2012

En una localidad hay solamente dos supermercados A y B. El 58% de los habitantes compra en el A, el 35% en el B y el 12% compra en ambos. Si se elige un ciudadano al azar, calcule la probabilidad de que:

  1. Compre en algún supermercado.
  2. No compre en ningún supermercado.
  3. Compre solamente en un supermercado.
  4. Compre en el supermercado A, sabiendo que no compra en B.

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2012

En un congreso de 200 jóvenes profesionales se pasa una encuesta para conocer los hábitos en cuanto a contratar los viajes por internet. Se observa que 120 son hombres y que, de estos, 84 contratan los viajes por internet, mientras que 24 de las mujeres no emplean esa vía. Elegido un congresista al azar, calcule la probabilidad de que:

  1. No contrate sus viajes por internet.
  2. Use internet para contratar los viajes, si la persona elegida es una mujer.
  3. Sea hombre, sabiendo que contrata sus viajes por internet.

Ejercicio B3: Reserva 1 de 2012

Lanzamos un dado, si sale 5 o 6 extraemos una bola de una urna A, que contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Si sale otro resultado se extrae una bola de la urna B, que contiene 3 bolas blancas y 7 negras. Calcule:

  1. La probabilidad de que la bola extraída sea negra.
  2. La probabilidad de que la bola sea negra y de la urna B.
  3. La probabilidad de que haya salido menos de 5 si la bola extraída ha sido blanca.

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2012

Una empresa dispone de tres máquinas A, B y C, que fabrican, respectivamente, el 60%, 30% y 10% de los artículos que comercializa. El 5% de los artículos que fabrica A, el 4% de los de B y el 3% de los de C son defectuosos. Elegido, al azar, un artículo de los que se fabrican en la empresa:

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso y esté fabricado por la máquina C?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso?
  3. Si sabemos que no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la máquina A?

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2012

Se sabe que el 90% de los estudiantes del último curso de una Universidad está preocupado por sus posibilidades de encontrar trabajo, el 30% está preocupado por sus notas y el 25% por ambas cosas.

  1. Si hay 400 alumnos matriculados en el último curso de dicha Universidad, ¿cuántos de ellos no están preocupados por ninguna de las dos cosas?
  2. Si un alumno del último curso, elegido al azar, no está preocupado por encontrar trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que esté preocupado por sus notas?

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2012

Se ha impartido un curso de conducción eficiente a 200 personas. De los asistentes al curso, 60 son profesores de autoescuela y, de ellos, el 95% han mejorado su conducción. Este porcentaje baja al 80% en el resto de los asistentes. Halle la probabilidad de que, elegido un asistente al azar:

  1. No haya mejorado su conducción.
  2. No sea profesor de autoescuela, sabiendo que ha mejorado su conducción.

Ejercicio B3: Reserva 3 de 2012

Se sabe que el 44% de la población activa de cierta provincia está formada por mujeres. También se sabe que, de ellas, el 25% está en paro y que el 20% de los hombres de la población activa también están en paro.

  1. Elegida, al azar, una persona de la población activa de esa provincia, calcule la probabilidad de que esté en paro.
  2. Si hemos elegido, al azar, una persona que trabaja, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?

Ejercicio A3: Reserva 4 de 2012

Una urna contiene 25 bolas blancas sin marcar, 75 bolas blancas marcadas, 125 bolas negras sin marcar y 175 bolas negras marcadas. Se extrae una bola al azar.

  1. Calcule la probabilidad de que sea blanca.
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca sabiendo que está marcada?
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que sea negra y esté marcada?
  4. ¿Son independientes los sucesos "sacar bola marcada" y "sacar bola blanca"?

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2012

Se consideran dos sucesos 𝐴 y 𝐵 asociados a un experimento aleatorio. Se sabe que 𝑃(𝐴) =0,8, 𝑃(𝐵) =0,7 y 𝑃(𝐴 ∪𝐵) =0,94.

  1. ¿Son 𝐴 y 𝐵 sucesos independientes?
  2. Calcule 𝑃(𝐴|𝐵).
  3. Calcule 𝑃(𝐴|𝐵𝑐).

Ejercicio A3: Septiembre de 2012

Un pescador tiene tres tipos de carnada de las que solo una es adecuada para pescar salmón. Si utiliza la carnada correcta la probabilidad de que pesque un salmón es 13, mientras que si usa una de las inadecuadas esa probabilidad se reduce a 15.

  1. Si elige aleatoriamente la carnada, ¿cuál es la probabilidad de que pesque un salmón?
  2. Si ha pescado un salmón, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya hecho con la carnada adecuada?

Ejercicio B3: Septiembre de 2012

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos de un espacio muestral, de los que se conocen las probabilidades 𝑃(𝐴) =0,60 y 𝑃(𝐵) =0,25. Determine las probabilidades que deben asignarse a los sucesos 𝐴 ∪𝐵 y 𝐴 ∩𝐵 en cada uno de los siguientes supuestos:

  1. Si 𝐴 y 𝐵 fuesen incompatibles.
  2. Si 𝐴 y 𝐵 fueran independientes.
  3. Si 𝑃(𝐴|𝐵) =0,40.

Ejercicio A3: Junio de 2011

En una primera bolsa se han colocado 4 bolas blancas y 3 negras, y en una segunda bolsa 3 blancas y 5 negras. Se saca una bola de la primera y, sin verla, se introduce en la segunda. A continuación, se saca una bola de la segunda. Halle la probabilidad de que:

  1. La bola extraída de la segunda bolsa sea negra.
  2. La bola extraída de la primera bolsa sea negra, si sabemos que la bola extraída de la segunda ha sido blanca.

Ejercicio B3: Junio de 2011

Un libro tiene cuatro capítulos. El primer capítulo tiene 140 páginas, el segundo 100, el tercero 150 y el cuarto 50. El 5% de las páginas del primer capítulo, el 4% del segundo y el 2% del tercero tienen algún error. Las páginas del cuarto capítulo no tienen errores.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir una página al azar, tenga algún error?
  2. Supongamos que elegimos una página al azar y observamos que no tiene ningún error, ¿cuál es la probabilidad de que sea del segundo capítulo?

Ejercicio A3: Reserva 1 de 2011

Un examen consta de una parte teórica y una parte práctica. La probabilidad de que se apruebe la parte teórica es 0,7 y la de que se apruebe la parte práctica 0,75. Se sabe que el 50% de los alumnos ha aprobado ambas.

  1. Calcule la probabilidad de aprobar alguna de las dos partes.
  2. Calcule la probabilidad de aprobar la parte práctica sabiendo que no se ha aprobado la parte teórica.
  3. ¿Son independientes los sucesos “aprobar parte teórica” y “aprobar parte práctica”?

Ejercicio B3: Reserva 1 de 2011

Pedro vive en una ciudad donde el 40% de los días del año hay riesgo de lluvia y el resto no lo hay. Cuando hay riesgo de lluvia, Pedro coge el paraguas un 98% de las veces y cuando no lo hay, un 5% de las veces. Si se selecciona un día del año al azar:

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que Pedro no haya cogido el paraguas ese día?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que exista riesgo de lluvia, si sabemos que ese día Pedro ha cogido el paraguas?

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2011

Sean dos sucesos, 𝐴 y 𝐵, tales que 𝑃(𝐴) =0,5, 𝑃(𝐵) =0,4 y 𝑃(𝐴|𝐵) =0,5.

  1. Halle la probabilidad de que se verifique alguno de los dos sucesos.
  2. Calcule la probabilidad de que no se verifique 𝐵 si se ha verificado 𝐴.
  3. ¿Son independientes los sucesos 𝐴 y 𝐵? Razone la respuesta.

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2011

Una compañía aseguradora realiza operaciones de seguros médicos y de seguros de vida. El 20% de las operaciones corresponde a seguros médicos y el resto a seguros de vida. El porcentaje de operaciones en las que no se producen retrasos en los pagos es del 10% en los seguros médicos y del 15% en seguros de vida.

  1. Halle el porcentaje de operaciones en las que no se producen retrasos en los pagos.
  2. De las operaciones que han sufrido retrasos en los pagos, ¿qué porcentaje corresponde a los seguros de vida?

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2011

Un jugador lanza a la vez un dado y una moneda.

  1. Construya el espacio muestral de este experimento aleatorio.
  2. Determine la probabilidad del suceso 𝐴: "El jugador obtiene un número par en el dado y cruz en la moneda".
  3. Si sabemos que en la moneda ha salido cara, ¿cuál es la probabilidad de que en el dado haya salido más de 3 puntos?

Ejercicio B3: Reserva 3 de 2011

Una bolsa contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 4 negras. Ana y Manolo practican el siguiente juego: Ana saca una bola, anota su color y la devuelve a la bolsa, a continuación Manolo extrae una bola y anota su color. Si las dos bolas extraídas tienen el mismo color, gana Ana; si sólo hay una bola blanca, gana Manolo, y en otro caso hay empate.

  1. Calcule la probabilidad de que gane Ana.
  2. Calcule la probabilidad de que gane Manolo.
  3. Calcule la probabilidad de que haya empate.

Ejercicio A3: Reserva 4 de 2011

En una ciudad, el 55% de la población consume aceite de oliva, el 30% consume aceite de girasol y el 20% consume ambos tipos de aceite. Se escoge una persona al azar:

  1. Si consume aceite de oliva, ¿cuál es la probabilidad de que consuma también aceite de girasol?
  2. Si consume aceite de girasol, ¿cuál es la probabilidad de que no consuma aceite de oliva?
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que no consuma ninguno de los dos tipos de aceite?

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2011

El 30% de los aparatos que llegan a un servicio técnico para ser reparados están en garantía. De los que no están en garantía, el 20% ya fueron reparados en otra ocasión y de los que sí lo están, solamente un 5% fueron reparados anteriormente. Se elige un aparato al azar en el servicio técnico:

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido reparado en otra ocasión?
  2. Si es la primera vez que ha llegado al servicio técnico, ¿cuál es la probabilidad de que esté en garantía?

Ejercicio A3: Septiembre de 2011

En un sistema de alarma, la probabilidad de que haya un incidente es 0,1. Si este se produce, la probabilidad de que la alarma suene es 0,95. La probabilidad de que suene la alarma sin que haya incidente es de 0,03.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que suene la alarma?
  2. Si ha sonado la alarma, calcule la probabilidad de que no haya habido incidente.

Ejercicio B3: Septiembre de 2011

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos aleatorios tales que: 𝑃(𝐴)=0,4,𝑃(𝐵)=0,5,𝑃(𝐴∩𝐵)=0,2.

  1. Calcule las siguientes probabilidades: 𝑃(𝐴 ∪𝐵), 𝑃(𝐴|𝐵) y 𝑃(𝐵|𝐴𝐶).
  2. Razone si 𝐴 y 𝐵 son sucesos incompatibles.
  3. Razone si 𝐴 y 𝐵 son independientes.

Ejercicio A3: Junio de 2010

Un alumno va a la Facultad en autobús el 80% de los días y el resto en su coche. Cuando va en autobús llega tarde el 20% de las veces y cuando va en coche llega a tiempo sólo el 10% de las veces. Elegido un día cualquiera al azar, determine:

  1. La probabilidad de que llegue a tiempo a clase y haya ido en autobús.
  2. La probabilidad de que llegue tarde a clase.
  3. Si ha llegado a tiempo a clase, ¿cuál es la probabilidad de que no haya ido en autobús?

Ejercicio B3: Junio de 2010

De las 180 personas que asisten a un congreso médico, 100 son mujeres. Observando las especialidades de los congresistas, vemos que de las 60 personas que son pediatras 20 son mujeres. Se elige al azar una persona asistente al congreso.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y pediatra?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea hombre ni sea pediatra?
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que sea pediatra?

Ejercicio A3: Septiembre de 2010

En una capital se editan dos periódicos, CIUDAD y LA MAÑANA. Se sabe que el 85% de la población lee alguno de ellos, que el 18% lee los dos y que el 70% lee CIUDAD. Si elegimos al azar un habitante de esa capital, halle la probabilidad de que:

  1. No lea ninguno de los dos.
  2. Lea sólo LA MAÑANA.
  3. Lea CIUDAD, sabiendo que no lee LA MAÑANA.

Ejercicio B3: Septiembre de 2010

Un dado tiene seis caras, tres de ellas marcadas con un 1, dos marcadas con una X y la otra marcada con un 2. Se lanza tres veces ese dado.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres veces el 1?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos X y un 2 en cualquier orden?
  3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres resultados diferentes?