Matemáticas de Selectividad

1. Si 𝐴 es una matriz de dimensión 𝑚 ×𝑛, indique la dimensión de una matriz 𝑋 si se verifica que (𝐴𝑡𝐴)𝑋 =𝐼𝑛.
2. Calcule dicha matriz 𝑋 en el caso en que 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝111−111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
3. Calcule, si es posible, el producto 𝐴(𝐴𝑡𝐴).

Sea la función 𝑓(𝑥)={1𝑎𝑥2+1,si 𝑥≤2,−𝑥+𝑎,si 𝑥>2, con 𝑎 >0.

1. Calcule el valor del parámetro 𝑎 para que la función sea continua en su dominio. En este caso, ¿sería derivable en su dominio?
2. Para el valor 𝑎 =4, represente gráficamente la función y halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 𝑥 = −1.

Disponemos de tres monedas: 1 dólar, 1 libra y 1 euro. La moneda de 1 dólar está trucada y la probabilidad de que salga cara es el doble de la probabilidad de que salga cruz. La moneda de 1 libra también está trucada y tiene dos caras y la de 1 euro es correcta. Se escoge una de las tres monedas al azar y se lanza.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara?
2. Sabiendo que salió cruz, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda lanzada fuera la de 1 dólar?

Para estudiar el número de personas que van al cine mensualmente en una ciudad, se ha seleccionado una muestra aleatoria de 10 meses y se ha registrado el número de entradas al cine vendidas en cada mes. Los datos son los siguientes: 682553555666657649522568700552.

1. Suponiendo que el número de entradas vendidas mensualmente sigue una distribución Normal con desviación típica 50 entradas, calcule un intervalo de confianza, con un nivel del 95%, para el número medio de personas que van al cine mensualmente en esa ciudad.
2. ¿Cuál es el error máximo que se comete al estimar esta media con este intervalo?

Sean las matrices 𝐴=(3012),𝐵=(−23)y𝐶=(−1−1).

1. Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y en dichos casos calcule el resultado: 𝐴𝐵,𝐵𝐴,𝐵𝐶,𝐶𝑡𝐵𝑡.
2. Calcule la matriz 𝑋 en la ecuación 𝐴𝑋 +𝐵𝑡 =4𝐶.

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩4𝑥,si 𝑥≤2,𝑥2−2𝑥+2,si 𝑥>2.

1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de esta función.
2. Estudie su monotonía y su curvatura para 𝑥 >0.

De los alumnos que se presentaron a las pruebas de selectividad de una provincia, 1.150 se examinaron de Geografía; de estos, 598 eligieron la opción A. Se sabe que aprobaron esa asignatura el 78% de los que eligieron la opción A y el 74% de los que eligieron la opción B. Se ha escogido al azar uno de los alumnos que se examinaron de Geografía.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que este alumno haya aprobado esta asignatura?
2. Si se sabe que este alumno ha aprobado Geografía, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido la opción A?

La proporción de nacimientos que ocurren con luna llena en los hospitales de una ciudad se consideraba no inferior a 0,45, pero un estudio afirma que en la actualidad esta proporción ha descendido. Para contrastar esta hipótesis se han elegido al azar, en estos hospitales, a 200 recién nacidos, de los cuales 70 nacieron con luna llena. Decida mediante un contraste de hipótesis, con 𝐻0 :𝑝 ≥0,45, si la afirmación del estudio es correcta con un nivel de significación del 1%, indicando la región de rechazo.