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Ejercicio 4: Reserva 1 de 2025

El nivel de concentración de un alumno universitario durante un examen viene dado por la siguiente función: 𝑓(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩−𝑡2+2𝑡+10,si 0≤𝑡≤2,5,𝑡2+𝑎𝑡+𝑏𝑡2+𝑎𝑡+𝑏,si 2,5<𝑡≤5, donde 𝑡 es el tiempo en horas y 𝑎 y 𝑏 números reales.

  1. ¿Con qué nivel de concentración el alumno comienza el examen? Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓 sea continua y derivable en 𝑡 =2,5.
  2. Para 𝑎 = −8 y 𝑏 =22,5, esboce la gráfica de la función 𝑓, estudiando previamente la monotonía y calculando en qué momentos se alcanzan los niveles máximo y mínimo de concentración.

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2025

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩10+5𝑥2,si 𝑥≤−2,𝑥2+1,si −2<𝑥<2,10−5𝑥2,si 𝑥≥2.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 = −2.
  2. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓 con pendiente -1.
  3. Represente la región del plano acotada superiormente por la gráfica de 𝑓 e inferiormente por el eje de abscisas. Calcule el área de dicha región.

Ejercicio 3: Julio de 2025

Trinidad, una persona ahorradora, deposita 5.000€ en un fondo de inversión y el capital final que obtiene cuando transcurren 𝑡 años viene dado por la siguiente función: 𝑓(𝑡)={5.000⋅(1+0,05𝑡),si 0≤𝑡≤1,5.000⋅1,05𝑡,si 𝑡>1.

  1. ¿Cuánto tiempo debe mantener invertido el dinero si el capital final que se obtiene es de 5.931,10€?
  2. Calcule los intereses que obtiene Trinidad entre el año 2 y el año 4, si se conoce que los intereses que genera esta inversión entre el año 𝑡1 y el año 𝑡2 vienen dados por 𝐼 =𝑓(𝑡2) −𝑓(𝑡1).
  3. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓.
  4. Estudie la monotonía de la función 𝑓 y esboce su gráfica.

Resolución
    • Si 0 ≤𝑡 ≤1, 𝑓(𝑡)=5.931,10⇔5.000⋅(1+0,05𝑡)=5.931,10⇔1+0,05𝑡=1,1862⇔0,05𝑡=0,1862⇔⇔𝑡=3,724∉[0,1].
    • Si 𝑡 >1, 𝑓(𝑡)=5.931,10⇔5.000⋅1,05𝑡=5.931,10⇔1,05𝑡=1,1862⇔𝑡=log1,05⁡(1,1862)≈3,5.
    Por tanto, debe mantener invertido el dinero alrededor de 3 años y medio.
  2. Calculamos los intereses. 𝐼=𝑓(4)−𝑓(2)=5.000⋅1,054−5.000⋅1,052≈565,0313€.
  3. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
    • Si 𝑡 ∈[0, +∞) con 𝑡 ≠1, 𝑓 es continua y derivable con: 𝑓′(𝑡)={250,si 0<𝑡<1,5.000ln⁡(1,05)⋅1,05𝑡,si 𝑡>1.

    • Estudiamos la continuidad en 𝑡 =1. lím𝑡→1−⁡𝑓(𝑡)=lím𝑡→1−⁡5.000⋅(1+0,05𝑡)=5.250,lím𝑡→1+⁡𝑓(𝑡)=lím𝑡→1+⁡5.000⋅1,05𝑡=5.250,𝑓(1)=5.250. Observamos que: lím𝑡→1−⁡𝑓(𝑡)=lím𝑡→1+⁡𝑓(𝑡)=𝑓(1). Así que 𝑓 es continua en 𝑡 =1.

      Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(1)=lím𝑡→1−⁡𝑓′(𝑡)=lím𝑡→1−⁡250=250,𝑓′+(1)=lím𝑡→1+⁡𝑓′(𝑡)=lím𝑡→1+⁡5.000⋅1,05𝑡⋅ln⁡(1,05)=5.250ln⁡(1,05)≈256,1484. Observamos que 𝑓′−(1) ≠𝑓′+(1), así que 𝑓 no es derivable en 𝑡 =1.

    Por tanto, 𝑓 es continua en [0, +∞] y derivable en [0,1) ∪(1, +∞).
  4. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si 0 ≤𝑡 <1, 𝑓′(𝑡) =250 ≠0.
    • Si 𝑡 >1, 𝑓′(𝑡)=5.000⋅1,05𝑡⋅ln⁡(1,05)≠0.
    Así que la función no tiene ningún punto crítico. Consideramos 𝑡 =1 por ser no derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    (0,1) (1, +∞)
    signo de 𝑓′ + +
    monotonía de 𝑓 → →

    Por tanto, 𝑓 es creciente en todo su dominio.

    Representamos gráficamente la función.

    Figura

Ejercicio 4: Junio de 2024

La velocidad media del viento en la zona de Sierra Nevada, prevista para cierto día, viene dada por la función 𝑣(𝑡) expresada en km/h, donde 𝑡 es el tiempo expresado en horas: 𝑣(𝑡)={𝑡2−8𝑡+60,si 0≤𝑡≤10,−𝑡2+32𝑡−140,si 10<𝑡≤24.

  1. Compruebe que la función 𝑣 es continua y derivable.
  2. Represente gráficamente la función, estudiando previamente la monotonía y calculando los extremos absolutos.
  3. La Agencia Estatal de Meteorología emite avisos de alerta por vientos siguiendo el código de colores: naranja para vientos entre 100 y 140 km/h, y rojo para vientos de más de 140 km/h. Según la previsión, indique si se debe emitir alguna alerta naranja en Sierra Nevada ese día y durante qué horas estaría activa. ¿Se emitiría alerta roja?

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑣.
    • Si 𝑡 ∈[0,24] con 𝑡 ≠10, 𝑣 es continua y derivable con 𝑣′(𝑡)={2𝑡−8,si 0≤𝑡<10,−2𝑡+32,si 10<𝑡≤24.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑡 =10. lím𝑡→10−⁡𝑣(𝑡)=lím𝑡→10−⁡(𝑡2−8𝑡+60)=80,lím𝑡→10+⁡𝑣(𝑡)=lím𝑡→10+⁡(−𝑡2+32𝑡−140)=80,𝑣(10)=80. Observamos que lím𝑡→10−⁡𝑣(𝑡)=lím𝑡→10+⁡𝑣(𝑡)=𝑣(10). Así que 𝑣 es continua en 𝑡 =10. Pasamos a estudiar su derivabilidad. 𝑣′−(10)=12,𝑣′+(10)=12. Observamos que 𝑣′−(10)=𝑣′+(10). Así que 𝑣 es derivable en 𝑡 =10.
    Por tanto, 𝑣 es continua y derivable en [0,24].
  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si 0 ≤𝑡 ≤10, 𝑣′(𝑡)=0⇔2𝑡−8=0⇔𝑡=4.
    • Si 10 <𝑡 ≤24, 𝑣′(𝑡)=0⇔−2𝑡+32=0⇔𝑡=16.
    Así que los puntos críticos son 𝑡 =4 y 𝑡 =16. Estudiamos el signo de la derivada.
    (0,4) (4,16) (16,24)
    signo de 𝑣′ − + −
    monotonía de 𝑣 → → →
    Por tanto, 𝑣 es creciente en (4,16) y es decreciente en (0,4) ∪(16,24). Los puntos (0,60) y (16,116) son máximos relativos y los puntos (4,44) y (24,52) son mínimos relativos. Por tanto, (16,116) es el máximo absoluto y (4,44) es el mínimo absoluto.
    Representamos gráficamente la función usando la información obtenida. Figura
  3. Podemos observar en la gráfica que solo se superan velocidades de 100 km/h en la segunda rama de la función. 𝑣(𝑡)=100⇔−𝑡2+32𝑡−140=100⇔−𝑡2+32𝑡−240=0⇔{𝑡=12,𝑡=20. Por tanto, la alerta naranja estaría activa entre las horas 12 y 20. Por otro lado, como por el apartado anterior el máximo absoluto es 116, no se emitiría alerta roja.

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2024

Se consideran las funciones 𝑓(𝑥)={2−𝑥2,si −1≤𝑥≤1,(𝑥−2)2,si 1<𝑥≤3y𝑔(𝑥)=1,si −1≤𝑥≤3.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de 𝑓 y 𝑔 en sus dominios.
  2. Represente el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y calcule su área.

Resolución
  1. En primer lugar, observamos que Dom⁡(𝑓) =Dom⁡(𝑔) =[ −1,3]. La función 𝑔 es continua y derivable en todo su dominio por ser constante. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑓.
    • Si 𝑥 ∈[ −1,3] con 𝑥 ≠1, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)={−2𝑥,si −1≤𝑥<1,2(𝑥−2),si 1<𝑥≤3.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(2−𝑥2)=1,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡(𝑥−2)2=1,𝑓(1)=1. Observamos que lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(1). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =1. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−−2𝑥=−2,𝑓′+(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+⁡2(𝑥−2)=−2. Observamos que 𝑓′−(1) =𝑓′+(1), así que 𝑓 es derivable en 𝑥 =1.
    Por tanto, 𝑓 también es continua y derivable en todo su dominio.
  2. En primer lugar, hallamos los puntos de corte de 𝑓 y 𝑔.
    • Si −1 ≤𝑥 ≤1, 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔2−𝑥2=1⇔𝑥2=1⇔𝑥=±1.
    • Si 1 <𝑥 ≤3, 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔(𝑥−2)2=1⇔{𝑥−2=1⇔𝑥=3,𝑥−2=−1⇔𝑥=1.
    Así que los puntos de corte son ( −1,1), (1,1) y (3,1). Observamos además que las dos ramas de 𝑓 son parábolas con vértices (0,2) y (2,0), respectivamente. Representamos los recintos limitados por ambas funciones. Figura Como los dos recintos tienen la misma superficie, podemos calcular el área como 2∫1−1(𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥))𝑑𝑥=2∫1−1(2−𝑥2−1)𝑑𝑥=2∫1−1(−𝑥2+1)𝑑𝑥=2[−13𝑥3+𝑥]1−1==2(−13+1−(13−1))=83𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2024

Se considera la función 𝑓(𝑥)={−𝑥2+2𝑥,si 𝑥<2,𝑥2−2𝑥,si 𝑥≥2.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
  2. Represente el recinto limitado por las rectas 𝑦 =2𝑥, 𝑥 = −1, 𝑥 =1 y la gráfica de 𝑓. Calcule su área.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
    • Si 𝑥 ≠2, 𝑓 es continua y derivable con: 𝑓′(𝑥)={−2𝑥+2,si 𝑥<2,2𝑥−2,si 𝑥>2.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =2. lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−⁡(−𝑥2+2𝑥)=0,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡(𝑥2−2𝑥)=0,𝑓(2)=0. Observamos que: lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(2). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =2. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(2)=lím𝑥→2−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2−⁡(−2𝑥+2)=−2,𝑓′+(2)=lím𝑥→2+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2+⁡(2𝑥−2)=2. Observamos que 𝑓′−(2) =𝑓′+(2), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =2.
    Por tanto, 𝑓 es continua en ℝ y derivable en ℝ ∖{2}.
  2. Representamos el recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y las rectas 𝑦 =2𝑥, 𝑥 = −1 y 𝑥 =1. Observamos que la primera rama de la función es una parábola con vértice (1,1). Figura Calculamos el área. ∫1−1(2𝑥−(𝑥2+2𝑥))𝑑𝑥=∫1−1𝑥2𝑑𝑥=[13𝑥3]1−1=13−(−13)=23𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2024

Se considera la función 𝑓(𝑥)={3+𝑒𝑥,si 𝑥<1,𝑥2+𝑎𝑥+2,si 𝑥≥1.

  1. Determine el valor de 𝑎 para que la función 𝑓 sea continua en ℝ. Para ese valor de 𝑎, ¿es 𝑓 derivable?
  2. Para 𝑎 = −3, calcule la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.
  3. Para 𝑎 = −3, represente la región limitada por la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 =2, 𝑥 =4 y el eje de abscisas. Calcule el área de dicha región.

Resolución
  1. Si 𝑥 ≠1, 𝑓 es continua y derivable para cualquier valor de 𝑎 con: 𝑓′(𝑥)={𝑒𝑥,si 𝑥<1,2𝑥+𝑎,si 𝑥>1. Estudiamos su continuidad en el punto de ruptura 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(3+𝑒𝑥)=3+𝑒,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡(𝑥2+𝑎𝑥+2)=3+𝑎,𝑓(1)=3+𝑎. Para que 𝑓 sea continua, ha de verificarse que: 3+𝑒=3+𝑎⇔𝑎=𝑒. Estudiamos la derivabilidad. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−⁡𝑒𝑥=𝑒,𝑓′+(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+⁡(2𝑥+𝑒)=2+𝑒. Observamos que 𝑓′−(1) ≠𝑓′+(1), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =1.
  2. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =0 viene dada por: 𝑦−𝑓(0)=𝑓′(0)(𝑥−0)⇔𝑦−4=𝑥⇔𝑦=𝑥+4.
  3. Si 𝑎 = −3, la función no es continua en 𝑥 =1 por el apartado anterior. Observamos que la segunda rama es una parábola con vértice (32,−14). Representamos la región. Figura Calculamos el área. ∫42𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫42(𝑥2−3𝑥+2)𝑑𝑥=[13𝑥3−32𝑥2+2𝑥]42=643−24+8−(83−6+4)=143𝑢2.

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2024

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥2+𝑎𝑥−1,si 𝑥≤1,𝑏𝑥,si 1<𝑥≤3,𝑥−13,si 𝑥>3, con 𝑎 y 𝑏 números reales.

  1. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓 sea continua. Para dichos valores, estudie la derivabilidad de 𝑓.
  2. Para 𝑎 =5 y 𝑏 =2, represente el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 =2, 𝑥 =4 y el eje 𝑂𝑋. Calcule su área.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad de 𝑓.
    • Si 𝑥 ≠1 y 𝑥 ≠3, 𝑓 es continua para cualquier valor de 𝑎 y 𝑏.
    • Estudiamos su continuidad en el punto de ruptura 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(𝑥2+𝑎𝑥−1)=𝑎,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡𝑏𝑥=𝑏,𝑓(1)=𝑎. Para que 𝑓 sea continua en 𝑥 =1, ha de verificarse que 𝑎 =𝑏.
    • Estudiamos su continuidad en el punto de ruptura 𝑥 =3. lím𝑥→3−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→3−⁡𝑏𝑥=𝑏3,lím𝑥→3+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→3+⁡𝑥−13=23,𝑓(3)=𝑏3. Para que 𝑓 sea continua en 𝑥 =3, ha de verificarse que: 𝑏3=23⇔𝑏=2.
    Por tanto, 𝑓 es continua si 𝑎 =2 y 𝑏 =2. Estudiamos su derivabilidad para estos valores.
    • Si 𝑥 ≠1 y 𝑥 ≠3, 𝑓 es derivable con: 𝑓′(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩2𝑥+2,si 𝑥<1,−2𝑥2,si 1<𝑥<3,13,si 𝑥>3.
    • Estudiamos su derivabilidad en el punto de ruptura 𝑥 =1. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(2𝑥+2)=4,𝑓′−(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+−2𝑥2=−2. Observamos que 𝑓′−(1) ≠𝑓′+(1), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =1.
    • Estudiamos su derivabilidad en el punto de ruptura 𝑥 =3. 𝑓′−(3)=lím𝑥→3−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→3−−2𝑥2=−13,𝑓′−(3)=lím𝑥→3+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→3+⁡13=13. Observamos que 𝑓′−(3) ≠𝑓′+(3), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =3.
    Por tanto, 𝑓 es derivable en ℝ ∖{1,3}.
  2. Si 𝑎 =5, la función no es continua en 𝑥 =1 por el apartado anterior. Representamos el recinto. Figura Calculamos el área. ∫322𝑥𝑑𝑥+∫43𝑥−13𝑑𝑥=[2ln⁡(𝑥)]32+[16𝑥2−13𝑥]43==2ln⁡(3)−2ln⁡(2)+83−43−(32−1)=2ln⁡(3)−2ln⁡(2)+56𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2024

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−12𝑥2+𝑥+1,si 𝑥≤2,1𝑥−1,si 𝑥>2.

  1. Estudie la continuidad, derivabilidad y monotonía de 𝑓. Represente gráficamente dicha función.
  2. Calcule el area del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 =0, 𝑥 =4 y el eje 𝑂𝑋.

Resolución
    • Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
      • Si 𝑥 ≠2, 𝑓 es continua y derivable con: 𝑓′(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−𝑥+1,si 𝑥<2,−1(𝑥−1)2,si 𝑥>2.
      • Estudiamos la continuidad en el punto de ruptura 𝑥 =2. lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−−12𝑥2+𝑥+1=1,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡1𝑥−1=1,𝑓(2)=1. Observamos que: lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(2). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =2. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(2)=lím𝑥→2−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2−−𝑥+1=−1,𝑓′+(2)=lím𝑥→2+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2+−1(𝑥−1)2=−1. Observamos que 𝑓′−(2) =𝑓′+(2), así que 𝑓 es derivable en 𝑥 =2.
      Por tanto, 𝑓 es continua y derivable en ℝ.
    • Estudiamos la monotonía de 𝑓. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
      • Si 𝑥 <2, 𝑓′(𝑥)=0⇔−𝑥+1=0⇔𝑥=1.
      • Si 𝑥 >2, 𝑓′(𝑥)=−1(𝑥−1)2≠0.
      Así que el único punto crítico es 𝑥 =1. Estudiamos el signo de la derivada.
      ( −∞,1) (1, +∞)
      signo de 𝑓′ + −
      monotonía de 𝑓 → →
      Por tanto, 𝑓 es creciente en ( −∞,1) y decreciente en (1, +∞). Además, el punto (1,32) es un máximo relativo.
    • Representamos la función. Figura
  2. Podemos representar el recinto. Figura Calculamos el área. ∫20(−12𝑥2+𝑥+1)𝑑𝑥+∫421𝑥−1𝑑𝑥=[−16𝑥3+12𝑥2+𝑥]20+[ln⁡(𝑥−1)]42==−43+2+2+ln⁡(3)=83+ln⁡(3)𝑢2.

Ejercicio 3: Julio de 2024

Dada la función 𝑓(𝑥)=2𝑥−62−𝑥.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de dicha función. Calcule sus asíntotas.
  2. Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como la existencia de extremos relativos.
  3. Halle los puntos de corte con los ejes de coordenadas y represente gráficamente la función.

Resolución
  1. En primer lugar, observamos que Dom⁡(𝑓) =ℝ ∖{2}. La función 𝑓 es racional, así que es continua y derivable en todo su dominio. Estudiamos las asíntotas.
    • El denominador se anula en 𝑥 =2 y observamos que lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−⁡2𝑥−62−𝑥=−∞,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡2𝑥−62−𝑥=+∞. Por tanto, la recta 𝑥 =2 es una asíntota vertical.
    • Veamos si tiene una asíntota horizontal. lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→+∞⁡2𝑥−62−𝑥=−2. Por tanto, la recta 𝑦 = −2 es una asíntota horizontal.
  2. En primer lugar, calculamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=2(2−𝑥)+2𝑥−6(2−𝑥)2=−2(2−𝑥)2. Observamos que 𝑓′(𝑥) <0 para 𝑥 ≠2, así que 𝑓 es decreciente en todo su dominio y no tiene extremos.
    • Hallamos los puntos de corte con el eje 𝑋, es decir, aquellos puntos con 𝑦 =0. 𝑓(𝑥)=0⇔2𝑥−62−𝑥=0⇔2𝑥−6=0⇔𝑥=3. Luego el único punto de corte con el eje 𝑋 es (3,0).
    • Hallamos ahora el punto de corte con el eje 𝑌. 𝑓(0)=−62=−3. Así que el punto de corte con el eje 𝑌 es (0, −3).
    Representamos gráficamente la función usando los puntos de corte y la información de los apartados anteriores. Figura

Ejercicio 4: Julio de 2024

Se considera la función 𝑓(𝑥)={−𝑥2+4𝑥+3,si 𝑥<4,2𝑥−5,si 𝑥≥4.

  1. Estudie su continuidad y derivabilidad.
  2. Estudie su monotonía y calcule sus extremos relativos.
  3. Represente la región del plano limitada por la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 =3, 𝑥 =5 y el eje de abscisas. Calcule su área.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
    • Si 𝑥 ≠4, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)={−2𝑥+4,si 𝑥<4,2,si 𝑥>4.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =4. lím𝑥→4−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→4−⁡(−𝑥2+4𝑥+3)=3,lím𝑥→4+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→4+⁡(2𝑥−5)=3,𝑓(4)=3. Observamos que lím𝑥→4−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→4+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(4). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =4. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(4)=lím𝑥→4−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→4−⁡(−2𝑥+4)=−4,𝑓′+(4)=lím𝑥→4+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→4+⁡2=2. Así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =4.
    Por tanto, 𝑓 es continua en ℝ y derivable en ℝ ∖{4}.
  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si 𝑥 <4, 𝑓′(𝑥)=0⇔−2𝑥+4=0⇔𝑥=2.
    • Si 𝑥 >4, 𝑓′(𝑥)=2≠0.
    Así que el único punto crítico es 𝑥 =2. También consideramos 𝑥 =4 por no ser derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    ( −∞,2) (2,4) (4, +∞)
    signo de 𝑓′ + − +
    monotonía de 𝑓 → → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en ( −∞,2) ∪(4, +∞) y decreciente en (2,4). Además, el punto (2,7) es un máximo relativo y el punto (4,3) es un mínimo relativo.
  3. Representamos el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑋 y las rectas 𝑥 =3 y 𝑥 =5. Observamos que la parábola tiene vértice (2,7). Figura Calculamos el área. ∫43(−𝑥2+4𝑥+3)𝑑𝑥+∫54(2𝑥−5)𝑑𝑥=[−13𝑥3+2𝑥2+3𝑥]43+[𝑥2−5𝑥]54=−643+32+12−(−9+18+9)+25−25−(16−20)=263𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2023

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥3+2𝑥2−3,si 𝑥≤1,1+1𝑥−2,si 𝑥>1.

  1. Estudie la continuidad de 𝑓. Si la función no es continua en algún punto, indique el tipo de discontinuidad que presenta.
  2. Estudie la derivabilidad de 𝑓.
  3. Determine las asíntotas de 𝑓.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad de la función 𝑓.
    • Si 𝑥 <1, 𝑓 es continua.
    • Si 𝑥 >1, 𝑓 es continua salvo en 𝑥 =2. Observamos que lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−⁡(1+1𝑥−2)=−∞,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡(1+1𝑥−2)=+∞. Por tanto, en 𝑥 =2 presenta una discontinuidad de salto infinito.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(𝑥2+2𝑥2−3)=0,lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(1+1𝑥−2)=0,𝑓(1)=0. Observamos que lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(1). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =1.
    Por tanto, 𝑓 es continua en ℝ ∖{2}.
  2. Estudiamos la derivabilidad de la función 𝑓.
    • Si 𝑥 ≠1 y 𝑥 ≠2, 𝑓 es derivable con 𝑓′(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩3𝑥2+4𝑥,si 𝑥<1,−1(𝑥−2)2,si 𝑥>1.
    • Estudiamos la derivabilidad para el punto de ruptura 𝑥 =1. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(3𝑥2+4𝑥)=7,𝑓′+(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+−1(𝑥−2)2=−1. Observamos que 𝑓′−(1) ≠𝑓′+(1), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =1.
    Por tanto, 𝑓 es derivable en ℝ ∖{1,2}.
  3. Estudiamos las asíntotas. La primera rama no tiene asíntotas por ser un polinomio, así que nos fijamos en la segunda rama.
    • El denominador se anula en 𝑥 =2 y habíamos visto que lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−⁡(1+1𝑥−2)=−∞,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡(1+1𝑥−2)=+∞. Por tanto, la recta 𝑥 =2 es una asíntota vertical.
    • Veamos si tiene alguna asíntota horizontal por la derecha. lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→+∞⁡(1+1𝑥−2)=1. Por tanto, la recta 𝑦 =1 es una asíntota horizontal por la derecha.

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2023

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥23,si 0≤𝑥≤2,4𝑥+1,si 𝑥>2.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓.
  2. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, el máximo de la función y represente gráficamente la función 𝑓.

Resolución
    • Si 𝑥 ≥0 y 𝑥 ≠2, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩23𝑥,si 0≤𝑥<2,−4(𝑥+1)2,si 𝑥>2.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =2. lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−⁡𝑥23=43,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡4𝑥+1=43,𝑓(2)=43. Observamos que lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(2). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =2.
      Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(2)=lím𝑥→2−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2−⁡23𝑥=43,𝑓′+(2)=lím𝑥→2+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2+−4(𝑥+1)2=−49. Observamos que 𝑓′−(2) ≠𝑓′+(2), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =2.
    Por tanto, 𝑓 es continua en [0, +∞) y derivable en [0,2) ∪(2, +∞).

  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.

    • Si 0 ≤𝑥 <2, 𝑓(𝑥)=0⇔23𝑥=0⇔𝑥=0.
    • Si 𝑥 >2, 𝑓′(𝑥)=−4(𝑥+1)2≠0.

    Así que el único punto crítico es 𝑥 =0. También consideramos 𝑥 =2 por ser el punto de ruptura. Estudiemos el signo de la derivada.

    (0,2) (2, +∞)
    signo de 𝑓′ + −
    monotonía de 𝑓 → →

    Por tanto, 𝑓 es creciente en (0,2) y es decreciente en (2, +∞). Además, el punto (2,43) es un máximo relativo.

    Representamos gráficamente la función usando la información obtenida.

    Figura

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2023

Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑥2−4𝑥+4,si 𝑥<3,−𝑥+4,si 𝑥≥3.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓 en todos los puntos de su dominio.
  2. Respresente gráficamente 𝑓.
  3. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de 𝑓, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 =2 y 𝑥 =4.

Resolución
    • Si 𝑥 ≠3, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)={2𝑥−4,si 𝑥<3,−1,si 𝑥>3.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =3. lím𝑥→3−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→3−⁡(𝑥2−4𝑥+4)=1,lím𝑥→3+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→3+⁡(−𝑥+4)=1,𝑓(3)=1. Observamos que lím𝑥→3−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→3+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(3). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =3.
      Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(3)=lím𝑥→3−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→3−⁡(2𝑥−4)=2,𝑓′+(3)=lím𝑥→3+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→3+−1=−1. Observamos que 𝑓′−(3) ≠𝑓′+(3), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =3.
    Por tanto, 𝑓 es continua en ℝ y derivable en ℝ ∖{3}.
  2. Representamos gráficamente la función. Observamos que la parábola tiene vértice (2,0). Figura
  3. Podemos representar el recinto acotado limitado por la gráfica de 𝑓 y las rectas 𝑥 =2 y 𝑥 =4. Figura Calculamos el área. ∫32(𝑥2−4𝑥+4)𝑑𝑥+∫43(−𝑥+4)𝑑𝑥=[13𝑥3−2𝑥2+4𝑥]32+[−12𝑥2+4𝑥]43==9−18+12−(83−8+8)−8+16−(−92+12)=56𝑢2.

Ejercicio 4: Junio de 2022

  1. Se considera la función 𝑓(𝑥)={6𝑥−3,si 𝑥≤1,𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2,si 𝑥>1, con 𝑎 y 𝑏 números reales. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓 sea continua y derivable en todo su dominio.
  2. Calcule el área del recinto acotado, limitado por el eje 𝑂𝑋 y la gráfica de la función 𝑔(𝑥) = −2𝑥2 +8𝑥 −6.

Resolución
    • Si 𝑥 ≠1, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)={6,si 𝑥<1,2𝑎𝑥+𝑏,si 𝑥>1.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(6𝑥−3)=3,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2)=𝑎+𝑏+2,𝑓(1)=3. Para que 𝑓 sea continua, ha de verificarse 𝑎+𝑏+2=3⇔𝑎+𝑏=1. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−⁡6=6,𝑓′+(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+⁡(2𝑎𝑥+𝑏)=2𝑎+𝑏. Para que 𝑓 sea derivable, ha de verificarse 2𝑎+𝑏=6.
    Con estas dos condiciones, planteamos el sistema de ecuaciones {𝑎+𝑏=1,2𝑎+𝑏=6. Resolvemos el sistema por reducción. Si restamos las ecuaciones, obtenemos que −𝑎=−5⇔𝑎=5. Sustituyendo en la primera ecuación, 𝑎+𝑏=1⇔𝑏=1−𝑎𝑎=5←←←←←←→𝑏=−4. Por tanto, 𝑎 =5 y 𝑏 = −4.
  2. En primer lugar, hallamos los puntos de corte de la función 𝑔 con el eje 𝑋. 𝑔(𝑥)=0⇔−2𝑥2+8𝑥−6=0⇔𝑥2−4𝑥+3=0⇔{𝑥=1,𝑥=3. Así que los puntos de corte son (1,0) y (3,0).
    Podemos representar el recinto acotado limitado por la gráfica de 𝑔 y el eje 𝑋. Figura Calculamos el área. ∫31𝑔(𝑥)𝑑𝑥=∫31(−2𝑥2+8𝑥−6)𝑑𝑥=[−23𝑥3+4𝑥2−6𝑥]31=−18+36−18−(−23+4−6)=83𝑢2.

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2022

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑎(𝑥+1)2,si −3≤𝑥≤1,𝑏𝑥22+2,si 1<𝑥≤2, con 𝑎 y 𝑏 números reales.

  1. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓 sea continua y derivable.
  2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =2, esboce la gráfica de la función 𝑓 y calcule el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑂𝑋 y las rectas 𝑥 = −2 y 𝑥 =1.

Resolución
    • Si 𝑥 ∈[ −3,2] con 𝑥 ≠1, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)={2𝑎(𝑥+1),si −3≤𝑥<1,𝑏𝑥,si 1<𝑥≤2.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡𝑎(𝑥+1)2=4𝑎,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡(𝑏𝑥22+2)=𝑏2+2,𝑓(1)=4𝑎. Para que 𝑓 sea continua, ha de verificarse 4𝑎=𝑏2+2⇔8𝑎=𝑏+4. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−⁡2𝑎(𝑥+1)=4𝑎,𝑓′+(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+⁡𝑏𝑥=𝑏. Para que 𝑓 sea derivable, ha de verificarse 4𝑎=𝑏.
    Con estas dos condiciones, planteamos el sistema de ecuaciones {8𝑎=𝑏+4,4𝑎=𝑏. Resolvemos el sistema por reducción. Si restamos las ecuaciones, obtenemos que 4𝑎=4⇔𝑎=1. Sustituyendo en la segunda ecuación, 𝑏=4𝑎𝑎=1←←←←←←→𝑏=4. Por tanto, 𝑎 =1 y 𝑏 =4.
  2. Si 𝑎 =1 y 𝑏 =2, por el apartado anterior 𝑓 no es continua en 𝑥 =1. Representamos gráficamente la función. Observamos que la primera rama es una parábola con vértice ( −1,0). Figura Podemos representar gráficamente el recinto acotado limitado por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑋 y las rectas 𝑥 = −2 y 𝑥 =1. Figura Calculamos el área. ∫1−2𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫1−2(𝑥+1)2𝑑𝑥=∫1−2(𝑥2+2𝑥+1)𝑑𝑥=[13𝑥3+𝑥2+𝑥]1−2==13+1+1−(−83+4−2)=3𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2022

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2,si 𝑥≤1,4𝑥+1,si 𝑥>1, con 𝑎 y 𝑏 números reales.

  1. Calcule 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓 sea continua y derivable.
  2. Para 𝑎 = −1 y 𝑏 =1, realice un esbozo de la gráfica de la función 𝑓.
  3. Para 𝑎 = −1 y 𝑏 =1, halle el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de 𝑓, la recta 𝑥 =1 y el eje 𝑂𝑋.

Resolución
    • Si 𝑥 ≠1, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩2𝑎𝑥+𝑏,si 𝑥<1,−4(𝑥+1)2,si 𝑥>1.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2)=𝑎+𝑏+2,lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡4𝑥+1=2,𝑓(1)=𝑎+𝑏+2. Para que 𝑓 sea continua, ha de verificarse 𝑎+𝑏+2=2⇔𝑎+𝑏=0. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(2𝑎𝑥+𝑏)=2𝑎+𝑏,𝑓′+(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+−4(𝑥+1)2=−1. Para que 𝑓 sea derivable, ha de verificarse 2𝑎+𝑏=−1.
    Con estas dos condiciones, planteamos el sistema de ecuaciones {𝑎+𝑏=0,2𝑎+𝑏=−1. Resolvemos el sistema por reducción. Si restamos las ecuaciones, obtenemos que −𝑎=1⇔𝑎=−1. Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, 𝑎+𝑏=0⇔𝑏=−𝑎𝑎=−1←←←←←←←→𝑏=1. Por tanto, 𝑎 = −1 y 𝑏 =1.
  2. Si 𝑎 = −1 y 𝑏 =1, sabemos por el apartado anterior que 𝑓 es continua y derivable. Representamos gráficamente la función. Observamos que la parábola tiene vértice (0,5; 2,25) y corta a los ejes en los puntos ( −1,0) y (0,2). Figura
  3. Podemos representar el recinto acotado limitado por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑋 y la recta 𝑥 =1. Figura Calculamos el área. ∫1−1𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫1−1(−𝑥2+𝑥+2)𝑑𝑥=[−13𝑥3+12𝑥2+2𝑥]1−1=−13+12+2−(13+12−2)=103𝑢2.

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2022

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩4𝑥2+16𝑥+17,si 𝑥<−1,13(10−5𝑥),si −1≤𝑥≤2,32,si 𝑥>2.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de 𝑓.
  2. Represente gráficamente la función 𝑓.
  3. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de 𝑓 y el eje de abscisas entre 𝑥 = −2 y 𝑥 =2.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
    • Si 𝑥 ≠ −1 y 𝑥 ≠2, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩8𝑥+16,si 𝑥<−1,−53,si −1<𝑥<2,0,si 𝑥>2.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 = −1. lím𝑥→−1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−1−⁡(4𝑥2+16𝑥+17)=5,lím𝑥→−1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−1+⁡13(10−5𝑥)=5,𝑓(−1)=5. Observamos que lím𝑥→−1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−1+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(−1). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 = −1. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(−1)=lím𝑥→−1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→−1−⁡(8𝑥+16)=8,𝑓′+(−1)=lím𝑥→−1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→−1+−53=−53. Observamos que 𝑓′−( −1) ≠𝑓′+( −1), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 = −1.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =2. lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−⁡13(10−5𝑥)=0,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡32=32,𝑓(2)=0. Observamos que lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)≠lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)≠𝑓(2). Así que 𝑓 es no continua ni derivable en 𝑥 =2.
    Por tanto, 𝑓 es continua en ℝ ∖{2} y derivable en ℝ ∖{ −1,2}.
  2. Representamos gráficamente la función. Observamos que la primera rama es una parábola con vértice ( −2,1). Figura
  3. Podemos representar el recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y el eje 𝑋 entre 𝑥 = −2 y 𝑥 =2. Figura Calculamos el área del recinto. ∫−1−2(4𝑥2+16𝑥+17)𝑑𝑥+∫2−113(10−5𝑥)𝑑𝑥=[43𝑥3+8𝑥2+17𝑥]−1−2+13[10𝑥−52𝑥2]2−1==−43+8−17−(−323+32−34)+13(20−10−(−10−52))=596𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2022

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1,si 𝑥≤1,2𝑥,si 𝑥>1, con 𝑎 y 𝑏 números reales.

  1. ¿Para qué valores de 𝑎 y 𝑏 la función es continua y derivable en 𝑥 =1?
  2. Para 𝑎 = −3 y 𝑏 =4, calcule los extremos relativos de 𝑓.
  3. Para 𝑎 = −2 y 𝑏 =3, calcule el valor de la integral ∫3−1𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Resolución
    • Si 𝑥 ≠1, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)={2𝑎𝑥+𝑏,si 𝑥<1,−2𝑥2,si 𝑥>1.
    • Estudiamos la continuidad para 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1)=𝑎+𝑏+1,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡2𝑥=2,𝑓(1)=𝑎+𝑏+1. Para que 𝑓 sea continua en 𝑥 =1, ha de verificarse 𝑎+𝑏+1=2⇔𝑎+𝑏=1. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(2𝑎𝑥+𝑏)=2𝑎+𝑏,𝑓′+(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+−2𝑥2=−2. Para que 𝑓 sea derivable en 𝑥 =1, ha de verificarse 2𝑎+𝑏=−2.
    Con estas dos condiciones, planteamos el sistema de ecuaciones {𝑎+𝑏=1,2𝑎+𝑏=−2. Resolvemos el sistema por reducción. Si restamos las ecuaciones, obtenemos que −𝑎=3⇔𝑎=−3. Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, 𝑎+𝑏=1⇔𝑏=1−𝑎𝑎=−3←←←←←←←→𝑏=4. Por tanto, 𝑎 = −3 y 𝑏 =4.
  2. Si 𝑎 = −3 y 𝑏 =4, por el apartado anterior 𝑓 es continua y derivable en ℝ con 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−3𝑥2+4𝑥+1,si 𝑥<1,2𝑥,si 𝑥≥1y𝑓′(𝑥)={−6𝑥+4,si 𝑥<1,−2𝑥2,si 𝑥≥1. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si 𝑥 <1, 𝑓′(𝑥)=0⇔−6𝑥+4=0⇔𝑥=23.
    • Si 𝑥 ≥1, 𝑓′(𝑥)=−2𝑥2≠0.
    Así que el único punto crítico es 𝑥 =23. Estudiamos el signo de la derivada.
    (−∞,23) (23,+∞)
    signo de 𝑓′ + −
    monotonía de 𝑓 → →
    Por tanto, el punto (23,73) es un máximo relativo.
  3. Si 𝑎 = −2 y 𝑏 =3, 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−2𝑥2+3𝑥+1,si 𝑥<1,2𝑥,si 𝑥≥1. Calculamos la integral. ∫3−1𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫1−1(−2𝑥2+3𝑥+1)𝑑𝑥+∫312𝑥𝑑𝑥=[−23𝑥3+32𝑥2+𝑥]1−1+[2ln⁡(𝑥)]31==−23+32+1−(23+32−1)+2ln⁡(3)=23+2ln⁡(3).

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2021

Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑎𝑥+𝑏,si 𝑥<1,𝑥2−𝑏𝑥+𝑎,si 𝑥≥1.

  1. Halle el valor de 𝑏 para que 𝑓 sea continua en ℝ.
  2. Para 𝑏 =12, halle el valor de 𝑎 para que 𝑓 sea derivable en ℝ.
  3. Para 𝑎 <0 y 𝑏 =12, estudie el crecimiento y halle las abscisas de los extremos de la función 𝑓.
  4. Para 𝑎 =0 y 𝑏 =12, represente la región del plano delimitada por la gráfica de 𝑓, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 =0 y 𝑥 =2. Calcule el área de dicha región.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad.
    • Si 𝑥 ≠1, 𝑓 es continua para cualquier valor de 𝑎 y 𝑏.
    • Estudiamos la continuidad en el punto de ruptura 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(𝑎𝑥+𝑏)=𝑎+𝑏,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡(𝑥2−𝑏𝑥+𝑎)=1−𝑏+𝑎,𝑓(1)=1−𝑏+𝑎. Para que 𝑓 sea continua, ha de verificarse que: lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(1)⇔𝑎+𝑏=1−𝑏+𝑎⇔2𝑏=1⇔𝑏=12.
  2. Estudiamos la derivabilidad.
    • Si 𝑥 ≠1, 𝑓 es derivable para cualquier valor de 𝑎 con: 𝑓′(𝑥)={𝑎,si 𝑥<1,2𝑥−12,si 𝑥>1.
    • Estudiamos la derivabilidad en el punto de ruptura 𝑥 =1. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−⁡𝑎=𝑎,𝑓′+(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+⁡2𝑥−12=32. Para que 𝑓 sea derivable, ha de verificarse que: 𝑓′−(1)=𝑓′+(1)⇔𝑎=32.
  3. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si 𝑥 <1, 𝑓′(𝑥)=𝑎≠0.
    • Si 𝑥 >1, 𝑓′(𝑥)=0⇔2𝑥−12=0⇔𝑥=14∉(1,+∞).
    Así que la función no tiene ningún punto crítico. Consideramos 𝑥 =1 por ser no derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    ( −∞,1) (1, +∞)
    signo de 𝑓′ − +
    monotonía de 𝑓 → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en (1, +∞) y decreciente en ( −∞,1). Además, tiene un mínimo relativo en 𝑥 =1.
  4. Representamos la región. Figura Calculamos el área. ∫1012𝑑𝑥+∫21(𝑥2−12𝑥)𝑑𝑥=[12𝑥]10+[13𝑥3−14𝑥2]21=12+83−1−(13−14)=2512𝑢2.

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2021

Se considera la función 𝑓(𝑥)={(𝑥+1)2,si −2≤𝑥<0,(𝑥−1)2,si 0≤𝑥≤2.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓 en todo su dominio.
  2. Calcule los extremos de la función 𝑓.
  3. Represente el recinto que encierra la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 = −1, 𝑥 =1 y el eje 𝑂𝑋. Calcule el área de dicho recinto.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad.
    • Si 𝑥 ∈[ −2,2] con 𝑥 ≠0, 𝑓 es continua y derivable con: 𝑓′(𝑥)={2(𝑥+1),si −2≤𝑥<0,2(𝑥−1),si 0<𝑥≤2.
    • Estudiamos la continuidad en 𝑥 =0. lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0−⁡(𝑥+1)2=1,lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡(𝑥−1)2=1,𝑓(0)=1. Observamos que: lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(0). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =0. Pasamos a estudiar su derivabilidad. 𝑓′−(0)=lím𝑥→0−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0−⁡2(𝑥+1)=2,𝑓′+(0)=lím𝑥→0+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0+⁡2(𝑥−1)=−2. Como 𝑓′−(0) ≠𝑓′+(0), 𝑓 no es derivable en 𝑥 =0.
    Por tanto, 𝑓 es continua en [ −2,2] y derivable en [ −2,0) ∪(0,2].
  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si −2 ≤𝑥 <0, 𝑓′(𝑥)=0⇔2(𝑥+1)=0⇔𝑥=−1.
    • Si 0 <𝑥 ≤2, 𝑓′(𝑥)=0⇔2(𝑥−1)=0⇔𝑥=1.
    Así que los puntos críticos son 𝑥 = −1 y 𝑥 =1. Consideramos también 𝑥 =0 por no ser derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    ( −2, −1) ( −1,0) (0,1) (1,2)
    signo de 𝑓′ − + − +
    monotonía de 𝑓 → → → →
    Por tanto, los puntos ( −2,1), (0,1) y (2,1) son máximos relativos y los puntos ( −1,0) y (1,0) son mínimos relativos.
  3. Representamos el recinto. Figura Como el recinto es simétrico, podemos calcular su área como: 2∫10(𝑥−1)2𝑑𝑥=2[13(𝑥−1)3]10=2⋅13=23𝑢2.

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2021

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−2𝑥+2𝑎,si −4≤𝑥≤−2,−2𝑥2−4𝑎,si −2<𝑥≤2,−8𝑥+𝑏,si 2<𝑥≤3.

  1. Calcule los valores 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua en su dominio. Para esos valores, ¿es 𝑓 derivable?
  2. Para 𝑎 = −2 y 𝑏 =16, estudie la monotonía de la función 𝑓 y calcule sus extremos relativos y absolutos.
  3. Para 𝑎 = −2 y 𝑏 =16, calcule el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑂𝑋 y las rectas 𝑥 = −2 y 𝑥 =2.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad de 𝑓.
    • Si 𝑥 ∈[ −4,3] con 𝑥 ≠ −2 y 𝑥 ≠2, 𝑓 es continua.
    • Estudiamos su continuidad en 𝑥 = −2. lím𝑥→−2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−2−⁡(−2𝑥+2𝑎)=4+2𝑎,lím𝑥→−2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−2+⁡(−2𝑥2−4𝑎)=−8−4𝑎,𝑓(−2)=4+2𝑎. Para que 𝑓 sea continua en 𝑥 = −2, ha de verificarse que: 4+2𝑎=−8−4𝑎⇔6𝑎=−12⇔𝑎=−2.
    • Estudiamos su continuidad en 𝑥 =2. lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−⁡(−2𝑥2+8)=0,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡(−8𝑥+𝑏)=−16+𝑏,𝑓(2)=0. Para que 𝑓 sea continua en 𝑥 =2, ha de verificarse que: 0=−16+𝑏⇔𝑏=16.
    Por tanto, 𝑓 es continua si 𝑎 = −2 y 𝑏 =16. Estudiamos su derivabilidad para estos valores.
    • Si 𝑥 ∈[ −4,3] con 𝑥 ≠ −2 y 𝑥 ≠2, 𝑓 es derivable con: 𝑓′(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−2,si −4≤𝑥<−2,−4𝑥,si −2<𝑥<2,−8,si 2<𝑥≤3.
    • Estudiamos su derivabilidad en 𝑥 = −2. 𝑓′−(−2)=lím𝑥→−2−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→−2−−2=−2,𝑓′+(−2)=lím𝑥→−2+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→−2+−4𝑥=8. Como 𝑓′−( −2) ≠𝑓′+( −2), 𝑓 no es derivable en 𝑥 = −2.
    • Estudiamos su derivabilidad en 𝑥 =2. 𝑓′−(2)=lím𝑥→2−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2−−4𝑥=−8,𝑓′+(2)=lím𝑥→2+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2+−8=−8. Como 𝑓′−(2) =𝑓′+(2), 𝑓 es derivable en 𝑥 =2.
    Por tanto, 𝑓 es derivable en [ −4, −2) ∪( −2,3].
  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las tres ramas de la derivada a cero.
    • Si −4 <𝑥 < −2, 𝑓′(𝑥) = −2 ≠0.
    • Si −2 <𝑥 <3, 𝑓′(𝑥)=0⇔−4𝑥=0⇔𝑥=0.
    • Si 2 <𝑥 <3, 𝑓′(𝑥) = −8 ≠0.
    Así que el único punto crítico es 𝑥 =0. Consideramos también 𝑥 = −2 por no ser derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    ( −4, −2) ( −2,0) (0,3)
    signo de 𝑓′ − + −
    monotonía de 𝑓 → → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en ( −2,0) y decreciente en ( −4, −2) ∪(0,3). Además, los puntos ( −4,4) y (0,8) son máximos relativos y los puntos ( −2,0) y (3, −8) son mínimos relativos. Así que (0,8) es el máximo absoluto y (3, −8) es el mínimo absoluto.
  3. Podemos representar el recinto. Figura Como el recinto es simétrico, podemos calcular su área como: 2∫20(−2𝑥2+8)𝑑𝑥=2[−23𝑥3+8𝑥]20=2(−163+16)=643𝑢2.

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2021

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩1𝑥,si 𝑥≤−1,−3𝑥2+4,si −1<𝑥<1,2𝑥−1,si 𝑥≥1.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓 en todo su dominio.
  2. Represente gráficamente la función 𝑓.
  3. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función 𝑓, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 =0 y 𝑥 =3.

Ejercicio 3: Julio de 2021

Se considera la función 𝑓(𝑥)={2𝑥+1,si 𝑥<0,𝑥2−2𝑥,si 𝑥≥0.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓 en su dominio.
  2. Estudie la monotonía de la función 𝑓 y calcule el mínimo.
  3. Calcule ∫2−2𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
    • Si 𝑥 ≠0, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)={2𝑥+1ln⁡(2),si 𝑥<0,2𝑥−2,si 𝑥>0.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =0. lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0−⁡2𝑥+1=2,lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡(𝑥2−2𝑥)=0,𝑓(0)=0. Observamos que lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)≠lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)≠𝑓(0). Así que 𝑓 no es continua ni derivable en 𝑥 =0.
    Por tanto, 𝑓 es continua y derivable en ℝ ∖{0}.
  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si 𝑥 <0, 𝑓′(𝑥)=2𝑥+1ln⁡(2)≠0.
    • Si 𝑥 >0, 𝑓′(𝑥)=0⇔2𝑥−2=0⇔𝑥=1.
    Así que el único punto crítico es 𝑥 =1. También consideramos 𝑥 =0 por no ser derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    ( −∞,0) (0,1) (1, +∞)
    signo de 𝑓′ + − +
    monotonía de 𝑓 → → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en ( −∞,0) ∪(1, +∞) y decreciente en (0,1). Además, el punto (1, −1) es un mínimo relativo.
  3. Calculamos la integral. ∫2−2𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫0−22𝑥+1𝑑𝑥+∫20(𝑥2−2𝑥)𝑑𝑥=[2𝑥+1ln⁡(2)]0−2+[13𝑥3−𝑥2]20==2ln⁡(2)−12ln⁡(2)+83−4=32ln⁡(2)−43.

Ejercicio 4: Julio de 2021

El número de diagnosticados de COVID-19 por PCR en Andalucía, medido en miles de personas, se aproxima por la siguiente función: 𝑓(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩−𝑡2+2𝑡−0,3,si 0,2≤𝑡≤1,8,0,1𝑡−0,12,si 1,8<𝑡≤5,−0,5𝑡2+8,3𝑡−28,62,si 5<𝑡≤10, donde 𝑡 es el tiempo, medido en meses, a partir del inicio de conteo en el mes de marzo de 2020.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑓 en su dominio.
  2. ¿En qué instante o instantes es máximo el número de diagnosticados? ¿Cuál es ese número?

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
    • Si 𝑡 ∈[0,2; 10] con 𝑡 ≠1,8 y 𝑡 ≠5, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩−2𝑡+2,si 0,2≤𝑡<1,8,0,1,si 1,8<𝑡<5,−𝑡+8,3,si 5<𝑡<10.
    • Estudiamos la continuidad para 𝑡 =1,8. lím𝑡→1,8−⁡𝑓(𝑡)=lím𝑡→1,8−⁡(−𝑡2+2𝑡−0,3)=0,06,lím𝑡→1,8+⁡𝑓(𝑡)=lím𝑡→1,8+⁡(0,1𝑡−0,12)=0,06,𝑓(1,8)=0,06. Observamos que lím𝑡→1,8−⁡𝑓(𝑡)=lím𝑡→1,8+⁡𝑓(𝑡)=𝑓(1,8). Así que 𝑓 es continua en 𝑡 =1,8. Pasamos a estudiar su derivabilidad. 𝑓′−(1,8)=lím𝑡→1,8−⁡𝑓′(𝑡)=lím𝑡→1,8−⁡(−2𝑡+2)=−1,6,𝑓′+(1,8)=lím𝑡→1,8+⁡𝑓′(𝑡)=lím𝑡→1,8+⁡0,1=0,1. Observamos que 𝑓′−(1,8) ≠𝑓′+(1,8), así que 𝑓 no es derivable en 𝑡 =1,8.
    • Estudiamos la continuidad para 𝑡 =5. lím𝑡→5−⁡𝑓(𝑡)=lím𝑡→5−⁡(0,1𝑡−0,12)=0,38,lím𝑡→5+⁡𝑓(𝑡)=lím𝑡→5+⁡(−0,5𝑡2+8,3𝑡−28,62)=0,38,𝑓(5)=0,38. Observamos que lím𝑡→5−⁡𝑓(𝑡)=lím𝑡→5+⁡𝑓(𝑡)=𝑓(5). Así que 𝑓 es continua en 𝑡 =5. Pasamos a estudiar su derivabilidad. 𝑓′−(5)=lím𝑡→5−⁡𝑓′(𝑡)=lím𝑡→5−⁡0,1=0,1,𝑓′+(5)=lím𝑡→5+⁡𝑓′(𝑡)=lím𝑡→5+⁡(−𝑡+8,3)=3,3. Observamos que 𝑓′−(5) ≠𝑓′+(5), así que 𝑓 no es derivable en 𝑡 =5.
    Por tanto, 𝑓 es continua en [0,2; 10] y derivable en [0,2; 1,8) ∪(1,8; 5) ∪(5,10].
  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las tres ramas de la derivada a cero.
    • Si 0,2 ≤𝑡 <1,8, 𝑓′(𝑡)=0⇔−2𝑡+2=0⇔𝑡=1.
    • Si 1,8 <𝑡 <5, 𝑓′(𝑡)=0,1≠0.
    • Si 5 <𝑡 ≤10, 𝑓′(𝑡)=0⇔−𝑡+8,3=0⇔𝑡=8,3.
    Así que los puntos críticos son 𝑡 =1 y 𝑡 =8,3. También consideramos 𝑡 =1,8 y 𝑡 =5 por no ser derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    (0,2; 1) (1; 1,8) (1,8; 5) (5; 8,3) (8,3; 10)
    signo de 𝑓′ + − + + −
    monotonía de 𝑓 → → → → →
    Por tanto, los puntos (1; 0,7) y (8,3; 5,825) son máximos relativos, así que (8,3; 5,825) es el máximo absoluto. Esto significa que 5.825 fue el número máximo de diagnosticados y se alcanzó a los 8 meses y 9 días.

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2+𝑥+1,si 𝑥≤0,11−𝑥,si 𝑥>0.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de 𝑓 en 𝑥 =0.
  2. Estudie la monotonía y curvatura de 𝑓 en su dominio.
  3. Calcule las ecuaciones de las asíntotas de 𝑓.

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑎𝑥+12,si 𝑥≤−1,𝑥+1𝑥+3,si −1<𝑥≤1,𝑥2−𝑏𝑥,si 𝑥>1.

  1. Halle 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua en todo su dominio. Para esos valores de 𝑎 y 𝑏, ¿es 𝑓 derivable en 𝑥 = −1? ¿Y en 𝑥 =1?
  2. Para 𝑎 = −1 y 𝑏 =4, estudie la monotonía de la función 𝑓.
  3. Para 𝑎 = −1 y 𝑏 =4, calcule ∫21𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2+𝑎𝑥+2,si 𝑥≤0,𝑥+𝑏𝑥−1,si 𝑥>0.

  1. Halle 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓 sea continua y derivable en 𝑥 =0.
  2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 = −2, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.
  3. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =1, halle, si existen, las ecuaciones de las asíntotas de 𝑓.

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥+1,si 𝑥<−2,𝑥2+𝑎,si 𝑥≥−2.

  1. Calcule el valor de 𝑎 para que 𝑓 sea continua en todo su dominio. Para ese valor de 𝑎, ¿es derivable la función 𝑓?
  2. Para 𝑎 = −6, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =3.
  3. Para 𝑎 = −6, esboce la gráfica de 𝑓 y calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función 𝑓, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 =3 y 𝑥 =5.

Ejercicio 3: Septiembre de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥)={2+𝑎𝑥−1,si 𝑥<0,𝑎+𝑏𝑒𝑥,si 𝑥≥0.

  1. Calcule los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua y derivable en su dominio.
  2. Para 𝑎 =2 y 𝑏 = −2, estudie la monotonía de la función 𝑓 y calcule sus extremos relativos.
  3. Para 𝑎 =2 y 𝑏 = −2, determine las ecuaciones de las asíntotas de 𝑓, si existen.

Ejercicio 4: Septiembre de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩−𝑥+2,si 𝑥≤2,−𝑥2+6𝑥−8,si 2<𝑥<4,𝑥−3𝑥,si 𝑥≥4.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de 𝑓 en su dominio.
  2. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑓.
  3. Calcule ∫32𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Ejercicio B2: Junio de 2019

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩1𝑥−1,si 𝑥<0,𝑥2+𝑎,si 𝑥≥0.

  1. Determine el valor del parámetro 𝑎 para que 𝑓 sea continua en todo su dominio. Para ese valor de 𝑎, estudie la derivabilidad de 𝑓.
  2. Para 𝑎 = −2, estudie la monotonía y curvatura de la función 𝑓. ¿Tiene algún punto de inflexión?

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2019

Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑥2+2𝑥,si −2≤𝑥<1,𝑎𝑥2+4𝑥,si 1≤𝑥≤4.

  1. Calcule el valor de 𝑎 para que la función sea continua en todo su dominio.
  2. Para 𝑎 = −1, compruebe si es derivable en 𝑥 =1.
  3. Para 𝑎 = −1, determine los extremos relativos de la función y el valor de la función en dichos extremos.
  4. Para 𝑎 = −1, represente gráficamente la función en su dominio.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2019

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑓(𝑥)={𝑥2+4𝑥+1,si 𝑥<0,𝑒−𝑥,si 𝑥≥0.
  2. Dada la función 𝑔(𝑥) =𝑥3 +𝑏𝑥2 +𝑐, calcule los valores de 𝑏 y 𝑐 sabiendo que 𝑔 tiene un extremo relativo en 𝑥 = −1 y que su gráfica pasa por el punto ( −1,3).

Ejercicio B2: Junio de 2018

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥3+𝑎𝑥2,si 𝑥<1,𝑏𝑥+2𝑥,si 𝑥≥1.

  1. Calcule los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua y derivable en 𝑥 =1.
  2. Para 𝑏 =3, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa 𝑥 =2.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2018

La velocidad que lleva un móvil, en función del tiempo 𝑡, viene dada por la siguiente función: 𝑣(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩7𝑡2,si 0≤𝑡<1,2𝑡+𝑎,si 1≤𝑡≤5,−𝑡2+12𝑡+𝑏,si 5<𝑡≤10.

  1. Determine 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua en los instantes 𝑡 =1 y 𝑡 =5.
  2. Para 𝑎 =5 y 𝑏 = −20, estudie la derivabilidad en los instantes 𝑡 =1 y 𝑡 =5. ¿En qué momento el móvil alcanza la velocidad máxima?

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2018

Dada la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥+11−2𝑥,si 𝑥<0,𝑥2−𝑥−𝑎,si 𝑥≥0.

  1. Obtenga el valor de 𝑎 para que la función sea continua en 𝑥 =0. Para ese valor de 𝑎, ¿sería derivable en 𝑥 =0?
  2. Para 𝑎 =2, estudie su monotonía y extremos relativos.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2018

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑎𝑥+1,si 𝑥≤−1,𝑥𝑥+2,si −1<𝑥≤0,𝑥2−𝑏𝑥,si 𝑥>0.

  1. Calcule 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua y derivable en 𝑥 = −1 y 𝑥 =0.
  2. Para 𝑎 =2 y 𝑏 = −12 estudie su monotonía.

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2018

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥−5𝑥−4,si 𝑥<3,−𝑥2+7𝑥−10,si 𝑥≥3.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑓.
  2. Calcule los puntos de corte de la gráfica de 𝑓 con los ejes de coordenadas.
  3. Calcule las asíntotas de 𝑓, en caso de que existan.

Ejercicio B2: Septiembre de 2018

El beneficio, en miles de euros, que ha obtenido una almazara a lo largo de 50 años viene dado por la expresión 𝐵(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩−0,04𝑡2+2,4𝑡,si 0≤𝑡<40,40𝑡−320𝑡,si 40≤𝑡≤50, donde 𝑡 es el tiempo transcurrido.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función 𝐵(𝑡) en el intervalo [0,50].
  2. Estudie la monotonía de la función 𝐵(𝑡) y determine en qué momento fueron mayores los beneficios de la almazara, así como el beneficio máximo.
  3. Represente la gráfica de la función y explique la evolución del beneficio.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2017

En una especie animal la contracción del iris, en décimas de milímetro, después de exponer el ojo a una luz brillante durante un determinado tiempo, viene dada por 𝑓(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑡2,si 0≤𝑡≤2,4𝑡−1,si 𝑡>2, donde 𝑡 es el tiempo, en segundos, que transcurre desde que se concentra la luz en el ojo.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑓.
  2. Represente gráficamente la función 𝑓, determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus asíntotas, en caso de que existan.
  3. Determine en qué instante se obtiene la máxima contracción y su valor.

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2017

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩1𝑥−4,si 𝑥≤0,𝑥+3,si 0<𝑥<2,𝑥2+1,si 𝑥≥2.

  1. Estudie la continuidad de la función en su dominio y clasifique sus discontinuidades, en caso de que exista alguna.
  2. Estudie la derivabilidad de la función en su dominio.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2017

Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑎𝑥−1,si 𝑥<0,𝑥2−𝑏𝑥−1,si 𝑥≥0.

  1. Calcule el valor de 𝑎 y 𝑏 para que la función sea derivable en 𝑥 =0.
  2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =2, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 𝑥 =2.

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2017

Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑎𝑥−3𝑥2,si 𝑥≤1,2𝑥2+𝑏,si 𝑥>1.

  1. Calcule los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓 sea derivable en 𝑥 =1.
  2. Para 𝑎 =3 y 𝑏 = −2, estudie la monotonía y curvatura de la función 𝑓.

Ejercicio A2: Junio de 2016

  1. Calcule los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑏2−𝑥,si 𝑥≤1,𝑎𝑥2−3𝑥+1,si 𝑥>1 sea derivable en el punto de abscisa 𝑥 =1.
  2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =2, estudie su monotonía y determine las ecuaciones de sus asíntotas, si existen.

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2016

Se considera la función 𝑓(𝑥)=3𝑥+1𝑥−1.

  1. Estudie su continuidad y derivabilidad. Calcule la función derivada.
  2. Calcule las ecuaciones de sus asíntotas, en caso de que existan.
  3. Halle los puntos de la gráfica de 𝑓 donde la recta tangente sea tal que su pendiente valga -1.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2016

Los beneficios de una empresa, en miles de euros, han evolucionado en los 25 años de su existencia según una función del tiempo, en años, dada por la siguiente expresión: 𝐵(𝑡)={4𝑡,si 0≤𝑡<10,−15𝑡2+8𝑡−20,si 10≤𝑡≤25.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de 𝐵 en el intervalo [0,25].
  2. Estudie la monotonía de esta función y determine en qué año fueron mayores los beneficios de esta empresa y cuál fue su beneficio máximo.
  3. Represente gráficamente esta función.

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2016

Sea la función 𝑓(𝑥)={1𝑎𝑥2+1,si 𝑥≤2,−𝑥+𝑎,si 𝑥>2, con 𝑎 >0.

  1. Calcule el valor del parámetro 𝑎 para que la función sea continua en su dominio. En este caso, ¿sería derivable en su dominio?
  2. Para el valor 𝑎 =4, represente gráficamente la función y halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 𝑥 = −1.

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2016

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩4𝑥,si 𝑥≤2,𝑥2−2𝑥+2,si 𝑥>2.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de esta función.
  2. Estudie su monotonía y su curvatura para 𝑥 >0.

Ejercicio B2: Septiembre de 2016

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2−4𝑥+𝑎,si 𝑥<2,1𝑥−1,si 𝑥≥2.

  1. Calcule el valor de 𝑎 para que la función sea continua en 𝑥 =2. Para ese valor de 𝑎 obtenido, ¿es derivable la función en 𝑥 =2?
  2. Para 𝑎 =4, estudie la monotonía y calcule las ecuaciones de las asíntotas, si existen.

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2015

Sea la función 𝑓(𝑥)={12(𝑎𝑥−12),si 𝑥<−1,−𝑥2+𝑏(𝑥−1),si 𝑥≥−1.

  1. Halle los valores de 𝑎 y 𝑏 sabiendo que la función es derivable en 𝑥 = −1.
  2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 = −1 obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓(𝑥) en el punto de abscisa 𝑥 = −2.

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2015

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩1,si 𝑥≤0,−𝑥2+1,si 0<𝑥<4,𝑥2−8𝑥+17,si 𝑥≥4.

  1. Represente gráficamente la función 𝑓.
  2. Estudie su continuidad y derivabilidad.
  3. Calcule 𝑓′(1) y 𝑓′(5).

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2015

Se considera la función 𝑓, definida a trozos por la expresión 𝑓(𝑥)={−𝑥2+𝑥+6si 𝑥≤2,𝑥+2si 𝑥>2.

  1. Estudie la continuidad de la función.
  2. Analice la derivabilidad de la función.
  3. Represéntela gráficamente, determinando los extremos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos de corte con los ejes.

Ejercicio B2: Junio de 2014

Sea la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−𝑏𝑥2−𝑏𝑥+𝑎,si 𝑥≤2,60𝑥,si 𝑥>2.

  1. Obtenga los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua y derivable.
  2. Para 𝑎 =48 y 𝑏 =3, estudie la monotonía de 𝑓(𝑥) y calcule sus extremos.

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2014

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩(𝑥+1)2,si 𝑥≤1,4𝑥,si 𝑥>1.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función en su dominio.
  2. Determine sus asíntotas, en caso de que existan.
  3. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =2.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2014

Sea la función 𝑓, definida por 𝑓(𝑥)={𝑥2−𝑎𝑥+5,si 𝑥<0,−𝑥2+𝑏,si 𝑥≥0. Determine los valores que han de tomar 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓 sea derivable en 𝑥 =0.

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2014

Sea la función dada por 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2+𝑎𝑥,si 𝑥≤2,𝑥+𝑏𝑥−1,si 𝑥>2.

  1. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏, sabiendo que dicha función es derivable.
  2. Para 𝑎 =2 y 𝑏 =3, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2013

Estudie la derivabilidad de la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑒𝑥,si 𝑥≤0,1,si 0<𝑥≤3,−𝑥2+6𝑥+2,si 𝑥>3.

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2013

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩12−𝑥,si 𝑥≤1,𝑥2−6𝑥+6,si 𝑥>1.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función.
  2. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓(𝑥) en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2013

Consideremos la función 𝑓(𝑥)={−𝑥2+6𝑥−5,si 2≤𝑥≤4,−2𝑥+11,si 4<𝑥≤5.

  1. Estudie la derivabilidad de la función 𝑓(𝑥) en el punto de abscisa 𝑥 =4.
  2. Represente gráficamente la función 𝑓(𝑥) e indique dónde alcanza su máximo y su mínimo absolutos. ¿Cuál es el valor del máximo? ¿Y del mínimo?

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2013

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥2−12,si 𝑥<−3,−𝑥+3,si −3≤𝑥≤2,𝑥−1,si 𝑥>2.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de 𝑓(𝑥) en su dominio.
  2. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
  3. Calcule los extremos relativos.

Ejercicio A2: Junio de 2012

  1. Sea la función 𝑓(𝑥)={𝑎𝑥2+3𝑥,si 𝑥≤2,𝑥2−𝑏𝑥−4,si 𝑥>2. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓 sea derivable en 𝑥 =2.
  2. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑔(𝑥)=𝑥+2𝑥−1 en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2012

Sea 𝑃(𝑡) el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de enfermedad transcurrido un tiempo 𝑡, medido en meses: 𝑃(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑡2,si 0≤𝑡≤5,100𝑡−250𝑡+5,si 𝑡>5.

  1. Estudie la continuidad de la función 𝑃.
  2. Estudie la derivabilidad de 𝑃 en 𝑡 =5.
  3. Estudie la monotonía de dicha función e interprete la evolución del porcentaje de células afectadas.
  4. ¿En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50?

Ejercicio A2: Septiembre de 2012

Determine los valores que han de tomar 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓(𝑥)={−𝑥2+𝑎𝑥−7,si 𝑥<1,4𝑥−𝑏,si 𝑥≥1 sea derivable en ℝ.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2011

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−𝑥+4,si 𝑥<2,4,si 2≤𝑥<4,−𝑥2−4𝑥+1,si 𝑥≥4.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
  2. Determine los extremos locales de 𝑓.
  3. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 𝑥 =3.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2011

Se considera la función dada por 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩−2𝑥+2,si 𝑥≤0,2𝑥−2,si 𝑥>0.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
  2. Halle las ecuaciones de las asíntotas de esta función.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2011

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩1−2𝑥2,si 𝑥≤1,𝑥2−2𝑎𝑥+3,si 1<𝑥≤3,−𝑥2+8𝑥−15,si 𝑥>3.

  1. Calcule el valor de 𝑎 para que 𝑓 sea continua en 𝑥 =1.
  2. Para 𝑎 =2, estudie la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2011

El beneficio, en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa el pasado año está dado por la función: 𝐵(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑡2−𝑡+5,0≤𝑡≤6,𝑡+12,6<𝑡≤12,, donde 𝑡 es el tiempo transcurrido en meses.

  1. Estudie la derivabilidad de la función al cabo de 6 meses.
  2. ¿Cuándo fue mínimo el beneficio? ¿Cuál fue dicho beneficio?
  3. Represente gráficamente la función 𝐵(𝑡). ¿Cuándo fue máximo el beneficio? ¿A cuánto ascendió?

Ejercicio B2: Septiembre de 2011

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2−3𝑥+4,si 𝑥≤2,4−𝑎𝑥,si 𝑥>2..

  1. Halle el valor de 𝑎 para que dicha función sea continua y estudie la derivabilidad de 𝑓 para ese valor de 𝑎.
  2. Para 𝑎 =1, ¿existe alguna asíntota vertical de esa función? ¿Y horizontal? Razone las respuestas y calcule, en caso afirmativo, dichas asíntotas.