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📋 Reserva 4 de 2024

Ejercicio 1

Se consideran las matrices 𝐴=(0110),𝐵=(3220)y𝐶=(1011).

  1. Determine las matrices 𝑋 e 𝑌 que satisfacen simultáneamente las ecuaciones 2𝑋−𝑌=4𝐴,𝑋+𝑌=𝐵.
  2. Calcule la matriz 𝐶2024.
  3. Si 𝐷 es una matriz de dimensión 2 ×3, razone si las siguientes operaciones se pueden realizar y, en aquellos casos en los que sea posible, indique la dimensión de la matriz resultante: 𝐴𝑡𝐵+𝐷𝐷𝑡,𝐷𝐵𝑡+𝐴,𝐷𝑡𝐴𝑡+𝐷.

Resolución
  1. Resolvemos el sistema por sustitución. Despejando en la segunda ecuación, 𝑋+𝑌=𝐵⇔𝑌=𝐵−𝑋. Sustituyendo y despejando en la primera ecuación, obtenemos que: 2𝑋−(𝐵−𝑋)=4𝐴⇔3𝑋=4𝐴+𝐵⇔𝑋=13(4𝐴+𝐵)=13[(0440)+(3220)]=13(3660)=(1220). Sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos que: 𝑌=𝐵−𝑋=(3220)−(1220)=(2000).
  2. Calculamos las primeras potencias de 𝐶. 𝐶2=𝐶⋅𝐶=(1011)(1011)=(1021),𝐶3=𝐶2⋅𝐶=(1021)(1011)=(1031),𝐶4=𝐶3⋅𝐶=(1031)(1011)=(1041). Por tanto, 𝐶2024=(1020241).
    • 𝐴𝑡 y 𝐵 son matrices cuadradas de orden 2, así que se pueden multiplicar y 𝐴𝑡𝐵 es también una matriz cuadrada de orden 2. Por otro lado, como 𝐷 es de dimensión 2 ×3 y 𝐷𝑡 es 3 ×2, se pueden multiplicar y 𝐷𝐷𝑡 es una matriz cuadrada de orden 2. Por tanto, la suma se puede realizar y da como resultado una matriz cuadrada de orden 2.
    • 𝐷 es de dimensión 2 ×3 y 𝐵 es 2 ×2, así que el producto no se puede realizar.
    • 𝐷𝑡 es dimensión 3 ×2 y 𝐴𝑡 es 2 ×2, así que se pueden multiplicar y 𝐷𝑡𝐴𝑡 tiene dimensión 3 ×2. Como 𝐷 es de dimensión 2 ×3, la suma no se puede realizar.

Ejercicio 2

Un joyero desea fabricar dos tipos de pulseras, A y B, y para ello dispone de 50 g de oro, 40 g de platino y 25 g de plata. Para fabricar las del tipo A necesita 1 g de oro y 2 g de platino, mientras que para las del tipo B requiere 2 g de oro, 1 g de platino y 1 g de plata. Cada pulsera del tipo A se vende por 150€ y cada una del tipo B por 200€. Si se vende toda la producción, ¿cuántas pulseras de cada tipo debe fabricar para maximizar los ingresos y a cuánto ascienden éstos? ¿Qué cantidad de cada metal sobrará cuando se fabrique el número de joyas que proporciona el máximo beneficio?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de pulseras del tipo A e 𝑦 al número de pulseras del tipo B. Podemos organizar la información en una tabla.

Oro (g) Platino (g) Plata (g) Precio (€)
Tipo A 1 2 0 150
Tipo B 2 1 1 200
Máximo 50 40 25

Las restricciones del problema son: ⎧{ { { {⎨{ { { {⎩𝑥+2𝑦≤50,2𝑥+𝑦≤40,𝑦≤25,𝑥≥0,𝑦≥0. La función objetivo a maximizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=150𝑥+200𝑦.

Representamos la región factible. Figura Los vértices son: 𝐴(0,0),𝐵(0,25),𝐶(10,20)y𝐷(20,0).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(0,0)=0,𝐹(𝐵)=𝐹(0,25)=5.000,𝐹(𝐶)=𝐹(10,20)=5.500,𝐹(𝐷)=𝐹(20,0)=3.000. Por tanto, el máximo de los ingresos se alcanza fabricando 10 pulseras de tipo A y 20 de tipo B, con unos beneficios de 5.500€. Se gastarán 10 +2 ⋅20 =50 gramos de oro, 2 ⋅10 +20 =40 gramos de platino y 20 gramos de plata, así que solo sobrarán 5 gramos de plata.

Ejercicio 3

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥2+𝑎𝑥−1,si 𝑥≤1,𝑏𝑥,si 1<𝑥≤3,𝑥−13,si 𝑥>3, con 𝑎 y 𝑏 números reales.

  1. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓 sea continua. Para dichos valores, estudie la derivabilidad de 𝑓.
  2. Para 𝑎 =5 y 𝑏 =2, represente el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 =2, 𝑥 =4 y el eje 𝑂𝑋. Calcule su área.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad de 𝑓.
    • Si 𝑥 ≠1 y 𝑥 ≠3, 𝑓 es continua para cualquier valor de 𝑎 y 𝑏.
    • Estudiamos su continuidad en el punto de ruptura 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(𝑥2+𝑎𝑥−1)=𝑎,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡𝑏𝑥=𝑏,𝑓(1)=𝑎. Para que 𝑓 sea continua en 𝑥 =1, ha de verificarse que 𝑎 =𝑏.
    • Estudiamos su continuidad en el punto de ruptura 𝑥 =3. lím𝑥→3−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→3−⁡𝑏𝑥=𝑏3,lím𝑥→3+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→3+⁡𝑥−13=23,𝑓(3)=𝑏3. Para que 𝑓 sea continua en 𝑥 =3, ha de verificarse que: 𝑏3=23⇔𝑏=2.
    Por tanto, 𝑓 es continua si 𝑎 =2 y 𝑏 =2. Estudiamos su derivabilidad para estos valores.
    • Si 𝑥 ≠1 y 𝑥 ≠3, 𝑓 es derivable con: 𝑓′(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩2𝑥+2,si 𝑥<1,−2𝑥2,si 1<𝑥<3,13,si 𝑥>3.
    • Estudiamos su derivabilidad en el punto de ruptura 𝑥 =1. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(2𝑥+2)=4,𝑓′−(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+−2𝑥2=−2. Observamos que 𝑓′−(1) ≠𝑓′+(1), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =1.
    • Estudiamos su derivabilidad en el punto de ruptura 𝑥 =3. 𝑓′−(3)=lím𝑥→3−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→3−−2𝑥2=−13,𝑓′−(3)=lím𝑥→3+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→3+⁡13=13. Observamos que 𝑓′−(3) ≠𝑓′+(3), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =3.
    Por tanto, 𝑓 es derivable en ℝ ∖{1,3}.
  2. Si 𝑎 =5, la función no es continua en 𝑥 =1 por el apartado anterior. Representamos el recinto. Figura Calculamos el área. ∫322𝑥𝑑𝑥+∫43𝑥−13𝑑𝑥=[2ln⁡(𝑥)]32+[16𝑥2−13𝑥]43==2ln⁡(3)−2ln⁡(2)+83−43−(32−1)=2ln⁡(3)−2ln⁡(2)+56𝑢2.

Ejercicio 4

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−12𝑥2+𝑥+1,si 𝑥≤2,1𝑥−1,si 𝑥>2.

  1. Estudie la continuidad, derivabilidad y monotonía de 𝑓. Represente gráficamente dicha función.
  2. Calcule el area del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 =0, 𝑥 =4 y el eje 𝑂𝑋.

Resolución
    • Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
      • Si 𝑥 ≠2, 𝑓 es continua y derivable con: 𝑓′(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−𝑥+1,si 𝑥<2,−1(𝑥−1)2,si 𝑥>2.
      • Estudiamos la continuidad en el punto de ruptura 𝑥 =2. lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−−12𝑥2+𝑥+1=1,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡1𝑥−1=1,𝑓(2)=1. Observamos que: lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(2). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =2. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(2)=lím𝑥→2−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2−−𝑥+1=−1,𝑓′+(2)=lím𝑥→2+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2+−1(𝑥−1)2=−1. Observamos que 𝑓′−(2) =𝑓′+(2), así que 𝑓 es derivable en 𝑥 =2.
      Por tanto, 𝑓 es continua y derivable en ℝ.
    • Estudiamos la monotonía de 𝑓. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
      • Si 𝑥 <2, 𝑓′(𝑥)=0⇔−𝑥+1=0⇔𝑥=1.
      • Si 𝑥 >2, 𝑓′(𝑥)=−1(𝑥−1)2≠0.
      Así que el único punto crítico es 𝑥 =1. Estudiamos el signo de la derivada.
      ( −∞,1) (1, +∞)
      signo de 𝑓′ + −
      monotonía de 𝑓 → →
      Por tanto, 𝑓 es creciente en ( −∞,1) y decreciente en (1, +∞). Además, el punto (1,32) es un máximo relativo.
    • Representamos la función. Figura
  2. Podemos representar el recinto. Figura Calculamos el área. ∫20(−12𝑥2+𝑥+1)𝑑𝑥+∫421𝑥−1𝑑𝑥=[−16𝑥3+12𝑥2+𝑥]20+[ln⁡(𝑥−1)]42==−43+2+2+ln⁡(3)=83+ln⁡(3)𝑢2.

Ejercicio 5

En cierta localidad el 30% de los habitantes profesan la religión A y el 50% profesan otras religiones diferentes de A. De los que profesan la religión A el 40% son mujeres. De las mujeres el 25% profesa la religión A. Se elige un habitante al azar de esa localidad. Calcule la probabilidad de que:

  1. No profese ninguna religión.
  2. Sea hombre.
  3. Solo verifique uno de los siguientes sucesos: "profesa la religión A"; "es mujer".

Resolución

Llamamos 𝐴 a profesar la religión A, 𝐵 a profesar otras religiones diferentes a A, 𝑀 a ser mujer y 𝐻 a ser hombre. Sabemos que: 𝑃(𝐴)=0,3,𝑃(𝐵)=0,5,𝑃(𝑀|𝐴)=0,4y𝑃(𝐴|𝑀)=0,25.

  1. La probabilidad de que no profese ninguna religión es: 𝑃(𝐴𝑐∩𝐵𝑐)=𝑃((𝐴∪𝐵)𝑐)=1−𝑃(𝐴∪𝐵)=1−𝑃(𝐴)−𝑃(𝐵)=1−0,3−0,5=0,2.
  2. La probabilidad de que profese la religión A y sea mujer viene dada por: 𝑃(𝐴∩𝑀)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝑀|𝐴)=0,3⋅0,4=0,12. Por otro lado, la probabilidad de que profese la religión A sabiendo que es mujer viene dada por: 𝑃(𝐴|𝑀)=𝑃(𝐴∩𝑀)𝑃(𝑀)⇒𝑃(𝑀)=𝑃(𝐴∩𝑀)𝑃(𝐴|𝑀)=0,120,25=0,48. Por tanto, la probabilidad de que sea hombre es: 𝑃(𝐻)=1−𝑃(𝑀)=1−0,48=0,52.
  3. La probabilidad de que o bien profese la religión A o bien sea mujer es: 𝑃(𝐴−𝑀)+𝑃(𝑀−𝐴)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴∩𝑀)+𝑃(𝑀)−𝑃(𝐴∩𝑀)=0,3−0,12+0,48−0,12=0,54.

Ejercicio 6

En una empresa, el 30% de los empleados ejercen de economistas y el 25% ejercen de abogados. El 75% de los economistas y el 60% de los abogados ocupan puestos directivos, mientras que, de los empleados que no ejercen ni de economistas ni de abogados, el 15% ocupa un puesto directivo. Seleccionado un empleado al azar de esta empresa, calcule la probabilidad de que:

  1. No ocupe un puesto directivo.
  2. Ejerza de economista sabiendo que ocupa un puesto directivo.

Resolución

Llamamos 𝐸 a ejercer de economista, 𝐴 a ejercer de abogado, 𝑂 a tener otro empleo y 𝐷 a ocupar un puesto directivo. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝐷
0,75←←←←←←←←←←←→
𝐸
0,3←←←←←←←←←←→ 0,25←←←←←←←←←←←→
𝐷𝑐
𝐷
0,6←←←←←←←←←←→
0,25←←←←←←←←←←←→ 𝐴
0,4←←←←←←←←←←→
𝐷𝑐
𝐷
0,45←←←←←←←←←←←→ 0,15←←←←←←←←←←←→
𝑂
0,85←←←←←←←←←←←→
𝐷𝑐
  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que no ocupe un puesto directivo es: 𝑃(𝐷𝑐)=𝑃(𝐷𝑐∩𝐸)+𝑃(𝐷𝑐∩𝐴)+𝑃(𝐷𝑐∩𝑂)=𝑃(𝐸)⋅𝑃(𝐷𝑐|𝐸)+𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐷𝑐|𝐴)+𝑃(𝑂)⋅𝑃(𝐷𝑐|𝑂)==0,3⋅0,25+0,25⋅0,4+0,45⋅0,85=0,5575.
  2. La probabilidad de que ejerza de economista sabiendo que ocupa un puesto directivo: 𝑃(𝐸|𝐷)=𝑃(𝐸∩𝐷)𝑃(𝐷)=𝑃(𝐸)⋅𝑃(𝐷|𝐸)1−𝑃(𝐷𝑐)=0,3⋅0,751−0,5575≈0,5085.

Ejercicio 7

En un invernadero de Almería se realiza un estudio sobre dos de sus productos, melones y sandías.

  1. De los 4.000 melones recolectados en un determinado periodo, 1.420 son de la variedad A, 980 de la B, 720 de la C y el resto de la D. Si se selecciona una muestra de 200 de estos melones, ¿cuál debe ser la composición que debe tener dicha muestra si se realiza mediante muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional?
  2. El peso de las sandías sigue una distribución Normal de media 3,85 kg y desviación típica 1,32 kg. Se selecciona, de forma aleatoria, una muestra de 121 sandías.
    1. Indique la distribución que sigue la media muestral del peso de las sandías.
    2. Calcule la probabilidad de que el peso medio de la muestra esté comprendido entre 3,6 kg y 4 kg.

Resolución
  1. Llamamos 𝑥 al número de melones en la muestra de la variedad A, 𝑦 al de la variedad B, 𝑧 al de la variedad C y 𝑡 al de la variedad D. Como se usa afijación proporcional, 4.000200=1.420𝑥=980𝑦=720𝑧=880𝑡. Despejamos estos valores. 4.000200=1.420𝑥⇔𝑥=200⋅1.4204.000=71,4.000200=980𝑦⇔𝑦=200⋅9804.000=49,4.000200=7200𝑧⇔𝑧=200⋅72004.000=36,4.000200=880𝑡⇔𝑡=200⋅8804.000=44. Por tanto, para la muestra se seleccionan 71 melones de la variedad A, 49 de la variedad B, 36 de la variedad C y 44 de la variedad D.
    1. La distribución de la media muestral ――𝑋 sigue una normal 𝑁(𝜇,𝜎√𝑛) con 𝜇 =3,85, 𝜎 =1,32 y 𝑛 =121. Por tanto, ――𝑋 ∼𝑁(3,85; 0,12).
    2. Calculamos la probabilidad. 𝑃(3,6<――𝑋<4)=𝑃(3,6−3,850,12<𝑍<4−3,850,12)=𝑃(−2,08<𝑍<1,25)==𝑃(𝑍<1,25)−𝑃(𝑍<−2,08)=𝑃(𝑍<1,25)−(1−𝑃(𝑍<2,08))==𝑃(𝑍<1,25)+𝑃(𝑍<2,08)−1=0,8944+0,9812−1=0,8756.

Ejercicio 8

Una empresa farmacéutica desea revisar la efectividad de un nuevo medicamento antipirético (reduce la fiebre). Se conoce que el tiempo en el que este medicamento comienza a hacer efecto sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica de 5 minutos. Para estimar la media poblacional, se ha seleccionado una muestra aleatoria de 10 individuos con fiebre y tras administrarse el medicamento, se han anotado los tiempos en los que comienza a remitir. Los tiempos obtenidos, en minutos, fueron: 20253035352020253030.

  1. Determine un intervalo, con un nivel de confianza del 98%, para estimar el tiempo medio de respuesta de este medicamento. Según el intervalo obtenido, razone si puede admitirse que el tiempo medio en el que el medicamento comienza a hacer efecto es superior a 35 minutos.
  2. Un estudio posterior ha revelado que el tiempo de respuesta a este medicamento sigue una ley Normal de media 27,2 minutos y desviación típica de 5 minutos. Determine la probabilidad de que a un paciente con fiebre que ha ingerido el medicamento no le haya hecho efecto hasta pasados 20 minutos.

Resolución
  1. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Calculamos la media muestral. ――𝑥=20+25+30+35+35+20+20+25+30+3010=27010=27. Como el nivel de confianza es del 98%, entonces: 𝛼=1−0,98=0,02⇒1−𝛼2=1−0,022=0,99⇒𝑧𝛼/2=2,325. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar el tiempo medio de respuesta del medicamento con un nivel de confianza del 98% es: 𝐼=(27−2,325⋅5√10,27+2,325⋅5√10)=(23,3239;30,6761).
  2. Llamamos 𝑋 ∼𝑁(27,2; 5) a la distribución del tiempo de respuesta al medicamento. La probabilidad de que a un paciente no le haya hecho efecto el medicamento hasta pasados 20 minutos es: 𝑃(𝑋>20)=𝑃(𝑍>20−27,55)=𝑃(𝑍>−1,5)=𝑃(𝑍<1,5)=0,9332.