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Ejercicio 7: Reserva 3 de 2025

  1. Dada la población { −4, −2,1,4,6}, calcule la varianza de la distribución de las medias muestrales de tamaño 2 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple.
  2. Una empresa multinacional con 10.000 empleados desea realizar un estudio sobre la brecha salarial de género en su organización. La empresa está dividida en tres niveles jerárquicos, en los que se tiene 1.000 empleados de nivel ejecutivo, siendo el 30% mujeres, 3.000 empleados de nivel medio, de los cuales el 55% son hombres, y el resto empleados de nivel operativo, de los que el 55% son mujeres. Se quiere seleccionar una muestra estratificada de 2.000 empleados, manteniendo la proporción de cada nivel jerárquico y la distribución de género dentro de cada nivel. ¿Cuántos empleados deben seleccionarse en cada nivel jerárquico? Y dentro de cada uno, ¿cuántos hombres y cuántas mujeres deben seleccionarse?

Ejercicio 7: Reserva 4 de 2025

Se ha realizado un estudio para analizar el peso, en kilogramos, de las mochilas de los estudiantes de ESO de los institutos de una localidad. Para ello, se seleccionó una muestra aleatoria de 13 mochilas, obteniéndose los siguientes datos: 4,55,34,95,25,55,55,74,85,64,74,25,84,6. El peso de las mochilas se distribuye según una ley Normal de desviación típica 0,9 kg y media desconocida.

  1. Halle un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 98,5%, para estimar el peso medio de las mochilas escolares.
  2. Para el mismo nivel de confianza, ¿qué tamaño muestral mínimo se debería tomar para que el error cometido al estimar el peso medio de estas mochilas sea inferior al 10%?
  3. El peso medio de las mochilas de los estudiantes de ESO de esa localidad es de 4,9 kg y tomando una muestra aleatoria de 36 mochilas, ¿qué distribución sigue la variable que mide el peso medio de estas 36 mochilas? ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio no supere los 5,2 kg?

Ejercicio 7: Julio de 2025

El tiempo de adaptación a la guardería, en días, de los menores de dos años andaluces, sigue una distribución Normal de media 10,5 días y desviación típica 1,5 días.

  1. Se toma una muestra aleatoria de 25 menores de estas características. ¿Qué distribución sigue la media muestral del tiempo de adaptación? ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de adaptación de esta muestra supere los 10 días?
  2. ¿Qué porcentaje de muestras de tamaño 25 nos proporcionará un tiempo medio de adaptación entre 8 y 11 días?

Resolución
  1. La distribución de la media muestral ――𝑋 sigue una normal 𝑁(𝜇,𝜎√𝑛) con 𝜇 =10,5, 𝜎 =1,5 y 𝑛 =25. Es decir, ――𝑋∼𝑁(10,5;1,5√25)=𝑁(10,5;0,3). La probabilidad de que el tiempo medio de adaptación de esta muestra supere los 10 días es: 𝑃(――𝑋>10)=𝑃(𝑍>10−10,50,3)=𝑃(𝑍>−1,67)=𝑃(𝑍<1,67)=0,9525.
  2. La probabilidad de que el tiempo medio de adaptación esté entre 8 y 11 días es: 𝑃(8<――𝑋<11)=𝑃(8−10,50,3<𝑍<11−10,50,3)=𝑃(−8,33<𝑍<1,67)==𝑃(𝑍<1,67)−𝑃(𝑍<−8,33)=0,9525. Por tanto, el porcentaje de muestras de tamaño 25 que presenta un tiempo medio de adaptación entre 8 y 11 días es el 95,25%.

Ejercicio 7: Junio de 2024

  1. Se realizan dos muestreos aleatorios estratificados con afijación proporcional para una población dividida en cuatro estratos 𝐸1, 𝐸2, 𝐸3 y 𝐸4. En la primera muestra se han seleccionado 25 individuos de 𝐸1 y 30 de 𝐸2. En la segunda muestra se han seleccionado 80 individuos de 𝐸3 y 100 de 𝐸4. Sabiendo que el estrato 𝐸1 tiene 500 individuos y que el 𝐸3 tiene 400, determine el tamaño de cada estrato de la población y el tamaño de las muestras en cada estrato.
  2. Dada la población { −3, −1,2,5,7}, se consideran todas las muestras posibles de tamaño 2 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple. Calcule la media y la varianza de la distribución de las medias muestrales.

Resolución
  1. Podemos organizar los datos en una tabla.
    Muestra 1 Muestra 2 Población
    𝐸1 25 𝑐 500
    𝐸2 30 𝑑 𝑥
    𝐸3 𝑎 80 400
    𝐸4 𝑏 100 𝑦
    Como se usa afijación proporcional, 50025=𝑥30⇔𝑥=600,40080=𝑦100⇔𝑦=500. Como el estrato 𝐸1 tiene el mismo número de individuos que el estrato 𝐸4, 𝑏 =25 y 𝑐 =100. Además, 50025=400𝑎⇔𝑎=20,40080=600𝑑⇔𝑑=120. Por tanto:
    • La población está compuesta por 500 individuos de 𝐸1, 600 de 𝐸2, 400 de 𝐸3 y 500 de 𝐸4.
    • La primera muestra está compuesta por 25 de 𝐸1, 30 de 𝐸2, 20 de 𝐸3 y 25 de 𝐸4.
    • La segunda muestra está compuesta por 100 de 𝐸1, 120 de 𝐸2, 80 de 𝐸3 y 100 de 𝐸4.
  2. Hallamos la media 𝜇 y la varianza 𝜎2 de la población. 𝜇=−3−1+2+5+75=2,𝜎2=(−3−2)2+(−1−2)2+(2−2)2+(5−2)2+(7−2)25=13,6. Por tanto, la distribución de medias muestrales de tamaño 2 tiene media 𝜇 =5 y varianza 𝜎22=13,62=6,8.

Ejercicio 8: Reserva 2 de 2024

  1. El tiempo que un carpintero necesita para fabricar una mesa sigue una distribución Normal de media 60 minutos y desviación típica de 30 minutos. Si en un mes ese carpintero ha fabricado 100 mesas, calcule la probabilidad de que el tiempo medio de fabricación de las mesas de esa muestra sea superior a 54 minutos.
  2. El tiempo que un carpintero necesita para fabricar una puerta sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica de 20 minutos. En un mes ese carpintero ha fabricado 25 puertas, obteniendo un tiempo medio de fabricación de 40 minutos. Halle un intervalo de confianza para el tiempo medio de fabricación de una puerta con un nivel de confianza del 97%. Determine el error máximo cometido al realizar la estimación.

Resolución
  1. La distribución de las medias muestrales ――𝑋 sigue una distribución normal 𝑁(𝜇,𝜎√𝑛) con 𝜇 =60, 𝜎 =30 y 𝑛 =100. Es decir, ――𝑋 ∼𝑁(60,3). La probabilidad de que el tiempo medio de fabricación de las mesas de esa muestra sea superior a 54 minutos es: 𝑃(――𝑋>54)=𝑃(𝑍>54−603)=𝑃(𝑍>−2)=𝑃(𝑍<2)=0,9772.
  2. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: 𝛼=1−0,97=0,03⇒1−𝛼2=1−0,032=0,985⇒𝑧𝛼/2=2,17. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar el tiempo medio de fabricación de una puerta con un nivel de confianza del 97% es: 𝐼=(40−2,17⋅20√25,40+2,17⋅20√25)=(31,32;48,68). El error máximo cometido es: 𝐸=48,68−31,322=8,68.

Ejercicio 7: Reserva 4 de 2024

En un invernadero de Almería se realiza un estudio sobre dos de sus productos, melones y sandías.

  1. De los 4.000 melones recolectados en un determinado periodo, 1.420 son de la variedad A, 980 de la B, 720 de la C y el resto de la D. Si se selecciona una muestra de 200 de estos melones, ¿cuál debe ser la composición que debe tener dicha muestra si se realiza mediante muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional?
  2. El peso de las sandías sigue una distribución Normal de media 3,85 kg y desviación típica 1,32 kg. Se selecciona, de forma aleatoria, una muestra de 121 sandías.
    1. Indique la distribución que sigue la media muestral del peso de las sandías.
    2. Calcule la probabilidad de que el peso medio de la muestra esté comprendido entre 3,6 kg y 4 kg.

Resolución
  1. Llamamos 𝑥 al número de melones en la muestra de la variedad A, 𝑦 al de la variedad B, 𝑧 al de la variedad C y 𝑡 al de la variedad D. Como se usa afijación proporcional, 4.000200=1.420𝑥=980𝑦=720𝑧=880𝑡. Despejamos estos valores. 4.000200=1.420𝑥⇔𝑥=200⋅1.4204.000=71,4.000200=980𝑦⇔𝑦=200⋅9804.000=49,4.000200=7200𝑧⇔𝑧=200⋅72004.000=36,4.000200=880𝑡⇔𝑡=200⋅8804.000=44. Por tanto, para la muestra se seleccionan 71 melones de la variedad A, 49 de la variedad B, 36 de la variedad C y 44 de la variedad D.
    1. La distribución de la media muestral ――𝑋 sigue una normal 𝑁(𝜇,𝜎√𝑛) con 𝜇 =3,85, 𝜎 =1,32 y 𝑛 =121. Por tanto, ――𝑋 ∼𝑁(3,85; 0,12).
    2. Calculamos la probabilidad. 𝑃(3,6<――𝑋<4)=𝑃(3,6−3,850,12<𝑍<4−3,850,12)=𝑃(−2,08<𝑍<1,25)==𝑃(𝑍<1,25)−𝑃(𝑍<−2,08)=𝑃(𝑍<1,25)−(1−𝑃(𝑍<2,08))==𝑃(𝑍<1,25)+𝑃(𝑍<2,08)−1=0,8944+0,9812−1=0,8756.

Ejercicio 7: Julio de 2024

La altura de un cierto tipo de plantas de maíz sigue una distribución Normal de media 145 cm y desviación típica 22 cm.

  1. ¿Qué porcentaje de plantas tiene una altura comprendida entre 135 cm y 155 cm?
  2. ¿Qué altura, como mínimo, debe tener una planta para estar entre el 50% de las más altas?
  3. Se selecciona una muestra aleatoria de 16 plantas. Halle la probabilidad de que la altura media de las plantas de esta muestra esté comprendida entre 140 cm y 151 cm.

Resolución

Llamamos 𝑋 ∼𝑁(145,22) a la distribución de la altura de las plantas.

  1. Calculamos la probabilidad de que la altura esté entre 135 cm y 155 cm. 𝑃(135≤𝑋≤155)=𝑃(135−14522≤𝑍≤155−14522)=𝑃(−511≤𝑍≤511)==𝑃(𝑍≤511)−𝑃(𝑍≤−511)=𝑃(𝑍≤511)−(1−𝑃(𝑍≤511))=2𝑃(𝑍≤511)−1≈0,3472. Así que un 34,72% de las plantas tiene una altura comprendida entre 135 cm y 155 cm.
  2. Como la altura de las plantas sigue una distribución normal, el centro de la distribución se encuentra en la media. Por tanto, una planta debe tener al menos una altura de 145 cm para estar entre el 50% de las más altas.
  3. La distribución de las medias muestrales ――𝑋 sigue una normal 𝑁(𝜇,𝜎√𝑛) con 𝜇 =145, 𝜎 =22 y 𝑛 =16. Es decir, ――𝑋 ∼𝑁(145; 5,5). Calculamos la probabilidad. 𝑃(140≤――𝑋≤151)=𝑃(140−1455,5≤𝑍≤151−1455,5)=𝑃(−1011≤𝑍≤1211)==𝑃(𝑍≤1211)−𝑃(𝑍≤−1011)=𝑃(𝑍≤1211)−(1−𝑃(𝑍≤1011))≈0,6807.

Ejercicio 7: Junio de 2023

  1. Una población está dividida en cuatro estratos de 250, 300, 400 y 350 individuos. Realizado un muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional se han seleccionado 20 individuos del primer estrato. Determine el tamaño de la población, el tamaño de la muestra y el número de individuos seleccionados de los tres restantes estratos.
  2. En un centro de enseñanza la calificación media de los estudiantes fue de 6,4 puntos con una desviación típica de 0,7 puntos. Se seleccionó aleatoriamente una muestra de 49 estudiantes.
    1. Indique la distribución que sigue la media de las muestras de tamaño 49.
    2. Calcule la probabilidad de que la media de las calificaciones de los estudiantes de una de esas muestras esté comprendida entre 6,3 y 6,8 puntos.

Resolución
  1. El tamaño de la población es 250+300+400+350=1.300. Llamamos 𝑥 al número de individuos en la muestra del segundo estrato, 𝑦 en la muestra del tercer estrato y 𝑧 en la muestra del cuarto estrato. Como se usa afijación proporcional y se seleccionan 20 individuos del primer estrato, 25020=300𝑥=400𝑦=350𝑧. Despejamos estos valores. 25020=300𝑥⇔𝑥=20⋅300250=24,25020=400𝑦⇔𝑦=20⋅400250=32,25020=350𝑧⇔𝑧=20⋅350250=28. Por tanto, se seleccionan 24 individuos del segundo estrato, 32 del tercer estrato y 28 del cuarto estrato. Así que el tamaño de la muestra es 20+24+32+28=104.
    1. La distribución de las medias muestrales ――𝑋 sigue una normal 𝑁(𝜇,𝜎√𝑛) con 𝜇 =6,4, 𝜎 =0,7 y 𝑛 =49. Es decir, ――𝑋 ∼𝑁(6,4;0,1).
    2. Calculamos la probabilidad. 𝑃(6,3≤――𝑋≤6,8)=𝑃(6,3−6,40,1≤𝑍≤6,8−6,40,1)=𝑃(−1≤𝑍≤4)=𝑃(𝑍≤4)−𝑃(𝑍≤−1)==𝑃(𝑍≤4)−(1−𝑃(𝑍≤1))≈0,8413.

Ejercicio 8: Reserva 2 de 2023

El tiempo de adaptación al uso de unas gafas progresivas depende de la persona, de la graduación de las lentes y del tipo de progresivo elegido. No obstante, se sabe que el tiempo de adaptación sigue una ley Normal de media 12,5 días y desviación típica 2,5 días.

  1. Si se toma una muestra aleatoria de 16 individuos que han comenzado a utilizar este tipo de gafas, ¿qué distribución sigue la media muestral del tiempo de adaptación? ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de adaptación a las gafas progresivas para dicha muestra supere los 12 días?
  2. Si la muestra elegida es de tamaño 25, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio muestral de adaptación a las gafas progresivas diste de 12 días a lo sumo 1 día?

Resolución
  1. La distribución de la media muestral ――𝑋 sigue una normal 𝑁(𝜇,𝜎√𝑛) con 𝜇 =12,5, 𝜎 =2,5 y 𝑛 =16. Es decir, ――𝑋∼𝑁(12,5;0,625). La probabilidad de que el tiempo medio de adaptación para la muestra supere los 12 días es 𝑃(――𝑋>12)=𝑃(𝑍>12−12,50,625)=𝑃(𝑍>−0,8)=𝑃(𝑍≤0,8)=0,7881.
  2. Si la muestra es de tamaño 25, la distribución de la media muestral verifica ――𝑋∼𝑁(12,5;2,5√5)=𝑁(12,5;0,5). La probabilidad de que el tiempo medio de adaptación para la muestra diste de 12 días a lo sumo 1 es 𝑃(11≤――𝑋≤13)=𝑃(11−12,50,5≤𝑍≤13−12,50,5)=𝑃(−3≤𝑍≤1)=𝑃(𝑍≤1)−𝑃(𝑍≤−3)==𝑃(𝑍≤1)−(1−𝑃(𝑍≤3))≈0,84.

Ejercicio 7: Reserva 3 de 2023

El peso de la gamba roja de Garrucha, en gramos, sigue una distribución Normal de media poblacional desconocida y desviación típica 5 gramos.

  1. Se elige una muestra aleatoria de 100 gambas obteniéndose una media de 53 gramos. Calcule un intervalo de confianza al 97,5% para estimar el peso medio de la gamba roja.
  2. Sabiendo que la media poblacional es 53 gramos y escogiendo una muestra aleatoria de 64 gambas, calcule la probabilidad de que el peso medio de la muestra sea superior a 53,25 gramos.

Resolución
  1. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Como el nivel de confianza es del 97,5%, entonces: 𝛼=1−0,975=0,025⇒1−𝛼2=1−0,0252=0,9875⇒𝑧𝛼/2=2,24. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar el peso medio de la gamba roja en gramos con un nivel de confianza del 97,5% es: 𝐼=(53−2,24⋅5√100,53+2,24⋅5√100)=(51,88;54,12).
  2. La distribución de las medias muestrales ――𝑋 sigue una normal 𝑁(𝜇,𝜎√𝑛) con 𝜇 =53, 𝜎 =5 y 𝑛 =64. Es decir, ――𝑋 ∼𝑁(53; 0,625). La probabilidad de que el peso medio de la muestra sea superior a 53,25 es: 𝑃(――𝑋>53,25)=𝑃(𝑍>53,25−530,625)=𝑃(𝑍>0,4)=1−𝑃(𝑍≤0,4)=0,3446.

Ejercicio 7: Reserva 4 de 2023

Una empresa fabrica piezas cuyo diámetro sigue una distribución Normal de media desconocida y varianza 9 mm2.

  1. Se seleccionan al azar 144 piezas obteniéndose un diámetro medio de 81 mm. Determine un intervalo de confianza al 98,5% para estimar el diámetro medio de las piezas fabricadas por la empresa.
  2. Con el mismo nivel de confianza del apartado anterior, ¿de qué tamaño mínimo habría que tomar la muestra para obtener un intervalo de confianza con una amplitud máxima de 0,9?
  3. Suponiendo que la media poblacional es de 80,4 mm y tomando muestras aleatorias de 64 piezas, ¿qué distribución de probabilidad sigue la variable aleatoria diámetro medio muestral? ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro medio muestral esté comprendido entre 79,5 mm y 80,7 mm?

Resolución
  1. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Como el nivel de confianza es del 98,5%, entonces: 𝛼=1−0,985=0,015⇒1−𝛼2=1−0,0152=0,9925⇒𝑧𝛼/2=2,43. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar el diámetro medio de las piezas con un nivel de confianza del 98,5% es: 𝐼=(81−2,43⋅√9√144,81+2,43⋅√9√144)≈(80,3925;81,6075).
  2. El error máximo cometido viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛=2,43⋅√9√𝑛=7,29√𝑛. Si se quiere que el intervalo de confianza tenga una amplitud máxima de 0,9, 𝐸=0,92=0,45. Así que: 7,29√𝑛=0,45⇔√𝑛=7,290,45⇔𝑛=7,2920,452=262,44. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 263 piezas.
  3. La distribución del diámetro medio muestral ――𝑋 sigue una normal 𝑁(𝜇,𝜎√𝑛) con 𝜇 =80,4, 𝜎 =√9 =3 y 𝑛 =64. Es decir, ――𝑋 ∼𝑁(80,4; 0,375). La probabilidad de que el diámetro medio muestral esté comprendido entre 79,5 mm y 80,7 mm es: 𝑃(79,5≤――𝑋≤80,7)=𝑃(79,5−80,40,375≤𝑍≤80,7−80,40,375)=𝑃(−2,4≤𝑍≤0,8)==𝑃(𝑍≤0,8)−𝑃(𝑍≤−2,4)=𝑃(𝑍≤0,8)−(1−𝑃(𝑍≤2,4))≈0,7799.

Ejercicio 7: Julio de 2023

  1. Un gimnasio establece sus tarifas por grupos de edad: juvenil, adulto y senior. Tiene matriculados 25 juveniles, 75 adultos y 50 seniors. Se quiere seleccionar una muestra de 30 personas del gimnasio utilizando un muestreo estratificado con afijación proporcional. ¿Cuál será la composición que debe tener dicha muestra?
  2. Dada la población {9,11,13,18,20}, calcule la varianza de la distribución de las medias muestrales de tamaño 2 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple.

Resolución
  1. El tamaño de la población es 25+75+50=150. Llamamos 𝑥 al número de juveniles en la muestra, 𝑦 al de adultos y 𝑧 al de seniors. Como se usa afijación proporcional y se selecciona una muestra de 30 personas, 15030=25𝑥=75𝑦=50𝑧. Despejamos estos valores. 15030=25𝑥⇔𝑥=30⋅25150=5,15030=75𝑦⇔𝑦=30⋅75150=15,15030=50𝑧⇔𝑧=30⋅50150=10. Por tanto, se seleccionan 5 juveniles, 15 adultos y 10 seniors.
  2. En primer lugar, hallamos la media 𝜇 y la varianza 𝜎2 de la población. 𝜇=9+11+13+18+205=14,2,𝜎2=(9−14,2)2+(11−14,2)2+(13−14,2)2+(18−14,2)2+(20−14,2)25=17,36. Por tanto, la distribución de las medias muestrales de tamaño 2 tiene varianza 𝜎22=17,362=8,68.

Ejercicio 7: Reserva 1 de 2022

  1. Se divide una población en cuatro estratos de tamaño 60.000, 20.000, 24.000 y 16.000 personas. En dicha población se realiza un muestreo estratificado por afijación proporcional, seleccionándose 144 personas del tercer estrato. Determine el tamaño total de la muestra y su composición.
  2. Dada la población {1,4,7}, establezca todas las muestras posibles de tamaño 2 que se puedan formar mediante muestreo aleatorio simple y determinar la media y la desviación típica de las medias muestrales obtenidas con todas estas muestras.

Resolución
  1. Llamamos 𝑥 al número de individuos en la muestra del primer estrato, 𝑦 en la muestra del segundo estrato y 𝑧 en la muestra del cuarto estrato. Como se usa afijación proporcional y se seleccionan 144 individuos del tercer estrato, 60.000𝑥=20.000𝑦=24.000144=16.000𝑧. Despejamos estos valores. 24.000144=60.000𝑥⇔𝑥=144⋅60.00024.000=360,24.000144=20.000𝑦⇔𝑦=144⋅20.00024.000=120,24.000144=16.000𝑧⇔𝑧=144⋅16.00024.000=96. Por tanto, la muestra está compuesta por 360 individuos del primer estrato, 120 del segundo estrato, 144 del tercer estrato y 96 del cuarto estrato. Así que el tamaño de la muestra es 360+120+144+96=720.
  2. Las muestras posibles de tamaño 2 son (1,1)(1,4)(1,7)(4,1)(4,4)(4,7)(7,1)(7,4)(7,7). Hallamos la media 𝜇 y la varianza 𝜎2 de la población. 𝜇=1+4+73=4,𝜎2=(1−4)2+(4−4)2+(7−4)23=6. Por tanto, la distribución de medias muestrales de tamaño 2 tiene media 𝜇 =4 y desviación típica 𝜎√2=√6√2=√3.

Ejercicio 8: Julio de 2022

El número de días que los titulados en un cierto máster tardan en encontrar su primer trabajo sigue una distribución Normal de media 𝜇 desconocida y desviación típica 3 días.

  1. Se elige una muestra aleatoria de 100 titulados obteniéndose una media muestral de 8,1 días. Calcule un intervalo de confianza al 97% para estimar la media poblacional.
  2. Con un nivel de confianza del 92%, calcule el tamaño muestral mínimo necesario para que el error cometido, al estimar el número medio de días que estos titulados tardan en encontrar trabajo, sea inferior a un día.
  3. Suponiendo 𝜇 =7,61 días y tomando muestras aleatorias de 36 titulados, ¿qué distribución de probabilidad sigue la variable aleatoria media muestral? ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea superior a 8 días?

Resolución
  1. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: 𝛼=1−0,97=0,03⇒1−𝛼2=1−0,032=0,985⇒𝑧𝛼/2=2,17. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar el número medio de días que los titulados en un cierto máster tardan en encontrar su primer trabajo con un nivel de confianza del 97% es: 𝐼=(8,1−2,17⋅3√100,8,1+2,17⋅3√100)=(7,449;8,751).
  2. Si el nivel de confianza es del 92%, entonces: 𝛼=1−0,92=0,08⇒1−𝛼2=1−0,082=0,96⇒𝑧𝛼/2=1,75. El error máximo cometido viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛=1,75⋅3√𝑛=5,25√𝑛. Si se quiere que el error máximo sea menor que 1, entonces: 5,25√𝑛=1⇔√𝑛=5,25⇔𝑛=5,252=27,5625. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 28 personas.
  3. La distribución de la media muestral ――𝑋 sigue una normal 𝑁(𝜇,𝜎√𝑛) con 𝜇 =7,61, 𝜎 =3 y 𝑛 =36. Es decir, ――𝑋 ∼𝑁(7,61; 0,5). La probabilidad de que la media muestral sea superior a 8 días es: 𝑃(――𝑋>8)=𝑃(𝑍>8−7,610,5)=𝑃(𝑍>0,78)=1−𝑃(𝑍≤0,78)≈0,2177.

Ejercicio 7: Junio de 2021

  1. En una Escuela Politécnica hay matriculados en el último curso 60 estudiantes de Ingeniería Eléctrica, 40 de Ingeniería Informática, 30 de Ingeniería Civil, 50 de Ingeniería Mecánica y 20 de Ingeniería Aeronáutica. Se quiere hacer una encuesta al 20% de estos estudiantes, de manera proporcional al número de matriculados en cada titulación.
    1. ¿Qué tipo de muestreo se debe emplear?
    2. ¿Cuántos alumnos debe haber en la muestra y cuántos de cada titulación?
  2. Dada la población {𝑎,10,12,11,18}, ¿cuánto debe valer 𝑎, sabiendo que la media de las medias muestrales de tamaño 3, obtenidas mediante muestreo aleatorio simple, es 13,2?

Resolución
    1. Se debe emplear un muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional.
    2. El tamaño de la población es 60+40+30+50+20=200. Como se quiere tomar una muestra compuesta por el 20% de la población, debe estar formada por 200 ⋅0,2 =40 estudiantes.
      • De Ingeniería Eléctrica se deben tomar 60 ⋅0,2 =12 estudiantes.
      • De Ingeniería Informática se deben tomar 40 ⋅0,2 =8 estudiantes.
      • De Ingeniería Civil se deben tomar 30 ⋅0,2 =6 estudiantes.
      • De Ingeniería Mecánica se deben tomar 50 ⋅0,2 =10 estudiantes.
      • De Ingeniería Aeronáutica se deben tomar 20 ⋅0,2 =4 estudiantes.
  2. La media 𝜇 de la población viene dada por 𝜇=𝑎+10+12+11+185=51+𝑎5. Como la media de las medias muestrales coincide con la media poblacional 𝜇, entonces 𝜇=13,2⇔51+𝑎5=13,2⇔51+𝑎=66⇔𝑎=15.

Ejercicio 7: Reserva 3 de 2021

  1. Se desea tomar una muestra aleatoria estratificada de las personas de un municipio, cuyos estratos son los siguientes tramos de edad: de 0 a 25 años, de 26 a 45, de 46 a 60 y de 61 años o más. En el primer tramo hay 15.000 personas, en el segundo hay 16.800, en el tercero 11.400 y en el cuarto 6.000. Sabiendo que el muestreo se hace con afijación proporcional y se han elegido al azar 375 personas del primer tramo, calcule el tamaño de la muestra total y su composición.
  2. Dada la población {1,3,5}, establezca todas las muestras posibles de tamaño 2 que se puedan formar mediante muestreo aleatorio simple y determine la media y la desviación típica de las medias muestrales obtenidas con todas estas muestras.

Resolución
  1. Llamamos 𝑦 al número de personas en la muestra del tramo 2, 𝑦 al del tramo 3 y 𝑧 al del tramo 4. Como se usa afijación proporcional, se verifica que: 15.000375=16.800𝑥=11.400𝑦=6.000𝑧. Despejamos estos valores. 15.000375=16.800𝑥⇔𝑥=375⋅16.80015.000=42015.000375=11.400𝑦⇔𝑦=375⋅11.40015.000=28515.000375=6.000𝑧⇔𝑧=375⋅6.00015.000=150. Por tanto, para la muestra se seleccionan 375 personas del tramo 1, 420 del tramo 2, 285 del tramo 3 y 150 del tramo 4. Así que el tamaño de la muestra es: 375+420+285+150=1.230.
  2. Las muestras posibles de tamaño 2 son: (1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5). Hallamos la media 𝜇 y la varianza 𝜎2 de la población. 𝜇=1+3+53=3,𝜎2=(1−3)2+(3−3)2+(5−3)23=83. Por tanto, la distribución de medias muestrales de tamaño 2 tiene media 𝜇 =3 y desviación típica: 𝜎√2=√83√2=2√3.

Ejercicio 8: Julio de 2021

Sea 𝑋 una variable aleatoria que sigue una ley Normal de media poblacional desconocida y desviación típica 4.

  1. ¿Cuál es la desviación típica de la distribución de las medias de las muestras de tamaño 12 de la variable aleatoria 𝑋?
  2. Para estimar la media poblacional de la variable 𝑋, se toma una muestra aleatoria de tamaño 12, obteniéndose los siguientes resultados: 11,8109,8129,710,89,611,310,412,29,110,5. Con los datos obtenidos de la muestra, determine un intervalo de confianza al 97% para estimar la media poblacional.
  3. Calcule el tamaño mínimo que debe tener una muestra, para que, con el mismo nivel de confianza, el error cometido al estimar la media poblacional sea menor que 1,2.

Resolución
  1. La distribución de medias muestrales de tamaño 𝑛 =12 tiene desviación típica: 𝜎√𝑛=4√12=2√3.
  2. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Calculamos la media muestral. ――𝑥=11,8+10+9,8+12+9,7+10,8+9,6+11,3+10,4+12,2+9,1+10,512=10,6. Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: 𝛼=1−0,97=0,03⇒1−𝛼2=1−0,032=0,985⇒𝑧𝛼/2=2,17. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la media poblacional con un nivel de confianza del 97% es: 𝐼=(10,6−2,17⋅4√12,10,6+2,17⋅4√12)≈(8,0943;13,1057).
  3. El error máximo cometido viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛=2,17⋅4√𝑛=8,68√𝑛. Si se quiere que el error máximo sea menor que 1,2, entonces: 8,68√𝑛=1,2⇔√𝑛=8,681,2⇔𝑛=8,6821,22≈52,3211. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser 53.

Ejercicio 8: Julio de 2020

La renta anual de los hogares andaluces, en miles de euros, se distribuye según una ley Normal con desviación típica 5 y media desconocida 𝜇.

  1. Si se desea que en el 99% de las posibles muestras del mismo tamaño, elegidas de entre los hogares andaluces, la media muestral no difiera de la renta media anual poblacional de dichos hogares en más de una unidad, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de las muestras?
  2. Si se consideran muestras de hogares andaluces de tamaño 100, ¿qué distribución de probabilidad sigue la variable aleatoria "Renta media anual muestral"?
  3. Suponiendo que la renta media anual poblacional de los hogares andaluces es 𝜇 =24, ¿cuál es la probabilidad de que en una muestra de tamaño 100 la renta media anual muestral sea superior a 25?

Ejercicio 7: Septiembre de 2020

  1. Una población de 25.000 personas se ha dividido en cuatro estratos con tamaños 15.000, 5.000, 3.000 y 2.000 personas respectivamente. En esa población se ha realizado un muestreo estratificado con afijación proporcional, en el que se han elegido al azar 36 personas del tercer estrato. Determine el tamaño de la muestra total obtenida con este muestreo y su composición.
  2. Dada la población 𝑃 ={2,4,6}, construya todas las muestras posibles de tamaño 2 que se puedan formar mediante muestreo aleatorio simple y halle la desviación típica de las medias muestrales obtenidas con todas esas muestras.

Ejercicio A4: Junio de 2018

Se dispone de cuatro tornillos de 1, 2, 3 y 4 gramos de peso respectivamente.

  1. Mediante muestreo aleatorio simple, exprese todas las muestras posibles de tamaño 2.
  2. Determine la media y la varianza de los pesos medios muestrales.

Ejercicio A4: Reserva 1 de 2018

A la salida de unos grandes almacenes se ha tomado una muestra aleatoria simple de 100 clientes, a los que se les ha preguntado por el gasto que han realizado, obteniéndose una media muestral de 110 euros. Se sabe que el gasto sigue una distribución Normal con desviación típica 20 euros.

  1. ¿Qué distribución de probabilidad sigue la media muestral?
  2. Obtenga un intervalo de confianza al 90%, para el gasto medio de todos los clientes que han comprado ese día.
  3. Si deseamos que el error máximo cometido, con el mismo nivel de confianza, sea 2 euros, ¿cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra?

Ejercicio A4: Junio de 2017

La altura de los estudiantes de 2° de Bachillerato de un centro sigue una ley Normal de media 165 cm y desviación típica 10 cm.

  1. ¿Qué distribución sigue la altura media de las muestras de tamaño 25?
  2. Se elige al azar una muestra de 25 estudiantes y se les mide la altura. ¿Cuál es la probabilidad de que la altura media de esa muestra supere 160 cm?

Ejercicio B4: Junio de 2016

El peso de los habitantes de una determinada ciudad sigue una ley Normal de media 65 kg y desviación típica 8 kg.

  1. ¿Qué distribución sigue la media de los pesos de las muestras de habitantes de tamaño 64 extraídas de esa ciudad?
  2. Si se extrae una muestra aleatoria de tamaño 100 de esa ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que el peso medio de esa muestra esté comprendido entre 64 y 65 kg?

Ejercicio B4: Septiembre de 2016

  1. Se desea tomar una muestra aleatoria estratificada de las personas mayores de edad de un municipio, cuyos estratos son los siguientes intervalos de edades, en años: de 18 a 30, de 31 a 45, de 46 a 60 y mayores de 60. En el primer intervalo hay 7.500 personas, en el segundo hay 8.400, en el tercero 5.700 y en el cuarto 3.000. Calcule el tamaño de la muestra total y su composición, sabiendo que el muestreo se hace con afijación proporcional y se han elegido al azar 375 personas del primer estrato.
  2. Dada la población {2,4,6} construya todas las muestras posibles de tamaño 2, que se puedan formar mediante muestreo aleatorio simple, y halle la varianza de las medias muestrales de todas las muestras.

Ejercicio B4: Reserva 1 de 2014

  1. Determine todas las muestras de tamaño 2 que, mediante muestreo aleatorio simple, se pueden extraer del conjunto {6,9,12} y calcule la varianza de las medias de estas muestras.
  2. Una empresa fabrica cuatro productos A, B, C y D, de los que elabora diariamente 40, 15, 25 y 120 unidades respectivamente. Si un día se quiere elaborar una muestra de 40 unidades con los productos fabricados por muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional, ¿qué número de unidades de cada producto se debe elegir?

Ejercicio B4: Reserva 3 de 2014

  1. En un centro docente la tercera parte de los alumnos estudia el idioma A, la mitad el idioma B y el resto el idioma C (cada alumno estudia sólo uno de estos idiomas).
    1. Se desea seleccionar una muestra de 60 alumnos, mediante muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional al número de los alumnos de cada idioma. ¿Cómo debería estar conformada la muestra?
    2. En otra muestra seleccionada por el procedimiento anterior, el número de alumnos tomados del idioma A es 14. Determine cuántos se han elegido de los otros dos idiomas.
  2. Una población tiene 5 elementos. Mediante muestreo aleatorio simple se seleccionan muestras de tamaño 3, siendo la desviación típica de sus medias 2 y la media de las medias muestrales 7. ¿Cuánto valen la media y la varianza de la población?

Ejercicio B4: Reserva 2 de 2013

  1. Una población de 6.000 personas se ha dividido en 3 estratos, uno con 1.000 personas, otro con 3.500 y otro con 1.500. En esa población se ha realizado un muestreo estratificado con afijación proporcional, en el que se han elegido al azar 15 personas del tercer estrato. Determine el tamaño de la muestra total obtenida con este muestreo y su composición.
  2. Dada la población {1,4,7}, construya todas las muestras posibles de tamaño 2 que puedan formarse mediante muestreo aleatorio simple, y halle la varianza de las medias muestrales de todas esas muestras.

Ejercicio B4: Reserva 3 de 2012

  1. En una ciudad viven 400 hombres y 320 mujeres y se quiere seleccionar una muestra de tamaño 54 utilizando muestreo estratificado por sexos, con afijación proporcional. ¿Cuál sería la composición de la muestra?
  2. A partir de una población de elementos 1, 2, 3, 4 se seleccionan, mediante muestreo aleatorio simple, todas las muestras de tamaño 2. Escriba dichas muestras y calcule la varianza de las medias muestrales.

Ejercicio A4: Reserva 3 de 2011

En un distrito universitario, la calificación de los alumnos sigue una distribución Normal de media 6,2 puntos y desviación típica de 1 punto. Se seleccionó, aleatoriamente, una muestra de tamaño 25.

  1. Indique la distribución de la media de las muestras de tamaño 25.
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de las calificaciones de los alumnos de una de esas muestras esté comprendida entre 6 y 6,6 puntos?

Ejercicio A4: Reserva 4 de 2011

El peso de los adultos de una determinada población sigue una distribución Normal de media 70 kg y desviación típica 16 kg. Si elegimos al azar muestras de tamaño 4:

  1. ¿Cuál es la distribución de la media muestral?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio de una de esas muestras esté comprendido entre 65 y 72 kg?
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que ese peso medio sea menor que 70 kg?

Ejercicio B4: Septiembre de 2011

Sea 𝑋 una variable aleatoria Normal de media 50 y desviación típica 4. Se toman muestras de tamaño 16.

  1. ¿Cuál es la distribución de la media muestral?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 47,5 y 52,5?

Ejercicio B4: Septiembre de 2010

  1. La altura de los alumnos de una Universidad sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica 11 cm. Calcule el tamaño mínimo que ha de tener una muestra aleatoria de esos alumnos para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a 1cm, con un nivel de confianza del 98%.
  2. Dada la población {10,12,17}, escriba todas las muestras de tamaño 2 mediante muestreo aleatorio simple y calcule la media y la desviación típica de las medias muestrales.