Matemáticas de Selectividad

1. Plantee, sin resolver, las restricciones de este problema e indique la función a optimizar. Un ganadero alimenta a sus ovejas con maíz y pienso. Cada kilogramo de maíz aporta 600 g de hidratos de carbono y 200 g de proteínas, mientras que cada kilogramo de pienso aporta 300 g de hidratos de carbono y 600 g de proteínas. Cada oveja necesita diariamente como mínimo 1.800 g de hidratos de carbono y 2.400 g de proteínas. Si 1 kg de maíz cuesta 0,50 euros y 1 kg de pienso cuesta 0,25 euros, calcule cuántos kilogramos de cada producto tendría que comprar el ganadero para alimentar cada día a una oveja con un gasto mínimo.
2. Represente el recinto limitado por las siguientes restricciones, calculando sus vértices: 𝑥≥0,𝑥≤2𝑦+2,𝑥+𝑦≤5. Calcule el máximo de 𝐹(𝑥,𝑦) =4𝑥 +3𝑦 en ese recinto, así como el punto donde se alcanza.

La función de costes de una empresa se puede determinar mediante la expresión 𝑓(𝑥)=40−6𝑥+𝑥2, para 𝑥 ≥0, donde 𝑥 representa la cantidad producida de un determinado artículo.

1. ¿Disminuye el coste alguna vez? Determine la cantidad producida de dicho artículo cuando el coste es mínimo y cuál es dicho coste.
2. ¿Cuál sería el coste si no se produjese nada de ese artículo? Si el coste fuese 80, ¿cuántas serían las unidades producidas?
3. Represente gráficamente la función.

En una determinada población residen 5.000 personas en el centro y 10.000 en la periferia. Se sabe que el 95% de los residentes en el centro y que el 20% de los que viven en la periferia opina que el Ayuntamiento debería restringir el acceso de vehículos privados al centro urbano. Se elige al azar un residente de la población.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que esté a favor de restringir el acceso de vehículos privados al centro de la ciudad?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que resida en el centro y esté a favor de la restricción de acceso?
3. Si la persona elegida opina que se debería restringir el acceso, ¿cuál es la probabilidad de que resida en el centro de la ciudad?

Se dispone de cuatro tornillos de 1, 2, 3 y 4 gramos de peso respectivamente.

1. Mediante muestreo aleatorio simple, exprese todas las muestras posibles de tamaño 2.
2. Determine la media y la varianza de los pesos medios muestrales.

Se consideran las matrices 𝐴=(−1012)y𝐵=(210−1).

1. ¿Se verifica la igualdad (𝐴 +𝐵)2 =𝐴2 +𝐵2 +2𝐴𝐵?
2. Resuelva la ecuación matricial 𝑋𝐴 =2𝐵𝑡 +𝐼2.

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥3+𝑎𝑥2,si 𝑥<1,𝑏𝑥+2𝑥,si 𝑥≥1.

1. Calcule los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua y derivable en 𝑥 =1.
2. Para 𝑏 =3, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa 𝑥 =2.

Un campus universitario dispone de 3.000 plazas numeradas de aparcamiento para vehículos, distribuidas en tres zonas A, B y C. La zona A está constituida por las plazas del 1 al 1.500, estando 1.350 de ellas protegidas del sol. La zona B la conforman las plazas numeradas desde 1.501 a 2.500, estando el 80% protegidas del sol. La zona C contiene las plazas numeradas desde 2.501 hasta 3.000, estando solamente 250 protegidas del sol. Aleatoriamente se elige una de las plazas de aparcamiento del campus.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que esté en la zona A o en la B?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que no esté protegida del sol?
3. Si se ha elegido una plaza protegida del sol, ¿cuál es la probabilidad de que esté ubicada en la zona B?

En un estudio sobre la utilización de nuevas tecnologías entre los estudiantes de Bachillerato, se ha realizado una encuesta a 500 estudiantes elegidos mediante muestreo aleatorio simple, resultando que 380 de ellos son usuarios de una determinada red social.

1. Calcule un intervalo de confianza al 97% para la proporción de estudiantes que son usuarios de esa red social.
2. Suponiendo que se mantiene la proporción muestral, determine el número mínimo de estudiantes a los que sería preciso entrevistar para que, con un nivel de confianza del 96%, el error cometido al estimar la proporción de usuarios de la citada red social no supere el 2%.