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Ejercicio 1: Julio de 2026

Se consideran las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 𝑚 0 - 1 𝑚 2 0 𝑚 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 102011101 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐶 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 31 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Calcule los valores de $𝑚$ para que el rango de la matriz $𝐴$ sea 3.
Para $𝑚 = 1$ , resuelva la ecuación matricial $𝐴 𝑡 𝑋 - 𝐵 2 = 2 𝑋$ .
¿Es posible encontrar una matriz $𝐷$ que satisfaga $𝐶 𝑡 𝐴 = 𝐵 𝐷$ ?

Ejercicio 1: Julio de 2025

Un fabricante de paneles fotovoltaicos está analizando la eficiencia de tres modelos de placas (A, B y C). En un día determinado se realizaron tres pruebas. En la primera, utilizando 2 placas del modelo A, 1 placa del modelo B y 3 placas del modelo C, se generó una potencia efectiva total de 2.960 W. En la segunda, al combinar 1 placa del modelo A, 3 placas del modelo B y 2 placas del modelo C, se obtuvo una potencia efectiva total de 2.990 W. En la tercera, una configuración con 3 placas del modelo A, 2 placas del modelo B y 1 placa del modelo C produjo una potencia efectiva total de 2.870 W. Exprese el problema en forma matricial y discuta, a partir de la matriz del sistema, si se puede obtener la potencia efectiva que generó individualmente cada modelo de placa fotovoltaica. En caso afirmativo, obtenga dichas potencias efectivas.
Resuelva la ecuación matricial $2 𝑋 = (11 0 - 1) 2 \cdot (41) .$

Resolución

Llamamos $𝑥$ , $𝑦$ y $𝑧$ a la potencia efectiva que generan los modelos A, B y C, respectivamente. Planteamos el sistema de ecuaciones. $⎧ { {⎨ { {⎩ 2 𝑥 + 𝑦 + 3 𝑧 = 2.960, 𝑥 + 3 𝑦 + 2 𝑧 = 2.990, 3 𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 2.870 .$ De forma matricial, el sistema se puede escribir de la forma: $⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 213132321 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⏟__⏟__⏟ 𝐴 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑥 𝑦 𝑧 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2.960 2.990 2.870 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Para discutir el sistema, estudiamos en primer lugar el rango de la matriz de coeficientes calculando su determinante. $| 𝐴 | = ∣ 213132321 ∣ = - 18 \neq 0 \Rightarrow r a n g (𝐴) = 3 .$ Como el rango de la matriz de coeficientes es máximo, el sistema es compatible determinado. Por tanto, se puede obtener la potencia efectiva de cada modelo de placa.

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. $⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 213 2.960 132 2.990 321 2.870 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 𝐹 2 - 3 𝐹 1 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 𝐹 3 - 2 𝐹 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 213 2.960 - 5 0 - 7 - 5.890 - 1 0 - 5 - 3.050 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 𝐹 2 - 5 𝐹 1 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 213 2.960 0018 9.360 - 1 0 - 5 - 3.050 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ El sistema escalonado resultante es: $⎧ { {⎨ { {⎩ 2 𝑥 + 𝑦 + 3 𝑧 = 2.960, 18 𝑧 = 9.360, - 𝑥 - 5 𝑧 = - 3.050 \Leftrightarrow ⎧ { {⎨ { {⎩ 2 𝑥 + 𝑦 + 3 𝑧 = 2.960, 18 𝑧 = 9.360, 𝑥 + 5 𝑧 = 3.050 \Rightarrow ⎧ { {⎨ { {⎩ 𝑥 = 450, 𝑦 = 500, 𝑧 = 520 .$ Por tanto, las potencias efectivas de los modelos A, B y C son 450 W, 500 W y 520 W, respectivamente.
Despejamos y resolvemos la ecuación matricial. $2 𝑋 = (11 0 - 1) 2 (41) \Leftrightarrow 𝑋 = 12 (11 0 - 1) 2 (41) = 12 (1001) (41) = (212) .$

Ejercicio 1: Junio de 2024

Se consideran las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 11 - 2 𝑎 - 3 𝑎 - 1 1 02 𝑎 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐵 = (- 1 32) y 𝐶 = (- 2 14),$ siendo $𝑎$ un número real.

Obtenga los valores de $𝑎$ para los que la matriz $𝐴$ tenga inversa.
Para $𝑎 = 1$ , resuelva la ecuación $𝑋 𝐴 - 𝐵 = 𝐶 𝐴 .$
Determine razonadamente la dimensión de la matriz $𝐷$ que permita realizar la operación $𝐵 𝐴 + 𝐷 𝐶 𝑡 𝐵 .$

Resolución

Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz $𝐴 .$ $| 𝐴 | = ∣ 11 - 2 𝑎 - 3 𝑎 - 1 1 02 𝑎 ∣ = 𝑎 (𝑎 - 1) - 4 (𝑎 - 3) - 2 - 𝑎 (𝑎 - 3) = 𝑎 2 - 𝑎 - 4 𝑎 + 12 - 𝑎 2 + 3 𝑎 = - 2 𝑎 + 10 .$ La inversa de $𝐴$ existe si y solo si su determinante es no nulo. $| 𝐴 | = 0 \Leftrightarrow - 2 𝑎 + 10 = 0 \Leftrightarrow 𝑎 = 5 .$ Por tanto, la matriz $𝐴$ tiene inversa si $𝑎 \neq 5 .$
Si $𝑎 = 1$ , por el apartado anterior $𝐴$ es invertible con $d e t (𝐴) = 8 .$ Despejamos la ecuación matricial. $𝑋 𝐴 - 𝐵 = 𝐶 𝐴 \Leftrightarrow 𝑋 𝐴 = 𝐶 𝐴 + 𝐵 \Leftrightarrow 𝑋 = (𝐶 𝐴 + 𝐵) 𝐴 - 1 = 𝐶 + 𝐵 𝐴 - 1 .$ Para hallar la inversa de $𝐴$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 2 2 - 4 - 5 1 - 2 132 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Ahora podemos calcular su inversa como $𝐴 - 1 = 1 | 𝐴 | A d j (𝐴) 𝑡 = 18 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 2 - 5 1 213 - 4 - 2 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por tanto, $𝑋 = 𝐶 + 𝐵 𝐴 - 1 = (- 2 14) + 18 (- 1 32) ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 2 - 5 1 213 - 4 - 2 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = = (- 2 14) + 18 (0412) = (- 2 14) + (01232) = (- 2 32112) .$
Para que el producto $𝐷 𝐶 𝑡$ se pueda realizar, es necesario que $𝐷$ tenga 3 columnas. Por otro lado, para que el resultado de ese producto sea de dimensión $1 \times 3$ , la matriz $𝐷$ debe tener 1 fila. Por tanto, la matriz $𝑋$ tiene dimensión $1 \times 3 .$

Ejercicio 1: Reserva 1 de 2024

Se consideran las matrices $𝑃 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 101010 1 - 1 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐽 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 210020 00 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Halle la matriz $𝐴$ que satisface la ecuación $𝑃 - 1 𝐴 𝑃 = 𝐽 .$
Compruebe que $𝐴 3 = 𝑃 𝐽 3 𝑃 - 1 .$

Resolución

En primer lugar, calculamos el determinante de $𝑃 .$ $| 𝑃 | = ∣ 101010 1 - 1 - 1 ∣ = - 2 .$ Así que $𝑃$ es invertible con $d e t (𝑃) = - 2 .$ Despejamos la ecuación matricial. $𝑃 - 1 𝐴 𝑃 = 𝐽 \Leftrightarrow 𝐴 = 𝑃 𝐽 𝑃 - 1 .$ Para hallar la inversa de $𝑃$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝑃) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 0 - 1 - 1 - 2 1 - 1 01 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Ahora podemos calcular su inversa como $𝑃 - 1 = 1 | 𝑃 | A d j (𝑃) 𝑡 = - 12 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 - 1 - 1 0 - 2 0 - 1 11 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 12 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 111020 1 - 1 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por tanto, $𝐴 = 𝑃 𝐽 𝑃 - 1 = 12 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 101010 1 - 1 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 210020 00 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 111020 1 - 1 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 12 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 21 - 1 020 2 - 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 111020 1 - 1 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 12 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 153040 3 - 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$
Calculamos la matriz $𝐴 3 .$ $𝐴 2 = 𝐴 \cdot 𝐴 = 14 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 153040 3 - 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 153040 3 - 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 14 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 10226016061010 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 12 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 5113080355 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐴 3 = 𝐴 2 \cdot 𝐴 = 14 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 5113080355 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 153040 3 - 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 14 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1466180320183014 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 12 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 733901609157 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por otro lado, calculamos la matriz $𝐽 3 .$ $𝐽 2 = 𝐽 \cdot 𝐽 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 210020 00 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 210020 00 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 440040001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐽 3 = 𝐽 2 \cdot 𝐽 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 440040001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 210020 00 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 8120080 00 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por tanto $𝑃 𝐽 3 𝑃 - 1 = 12 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 101010 1 - 1 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 8120080 00 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 111020 1 - 1 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = = 12 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 812 - 1 080841 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 111020 1 - 1 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 12 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 733901609157 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Así que $𝐴 3 = 𝑃 𝐽 3 𝑃 - 1 .$

Ejercicio 1: Reserva 2 de 2024

Se consideran las matrices $𝑀 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 101210111 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝑁 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 322521740 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝑉 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 5 - 𝑎 2 𝑎 - 1 𝑎 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠,$ siendo $𝑎$ un número real.

Halle el valor de $𝑎$ para que se verifique que $𝑀 𝑡 𝑉 = (515) 𝑡 .$
Calcule $𝑀 - 1$ y resuelva la ecuación matricial $𝑋 𝑀 - 𝐼 3 = 𝑁 .$
Razone si las operaciones $2 𝑉 𝑁 𝑡$ y $(𝑁 + 𝑀 𝑡) 𝑉$ se pueden realizar y, en aquellos casos en que sea posible, indique la dimensión de la matriz resultante.

Resolución

En primer lugar, calculamos $𝑀 𝑡 𝑉 .$ $𝑀 𝑡 𝑉 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 121011101 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 5 - 𝑎 2 𝑎 - 1 𝑎 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 5 - 𝑎 2 + 2 𝑎 - 2 + 𝑎 2 𝑎 - 1 + 𝑎 2 5 - 𝑎 2 + 𝑎 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 𝑎 + 3 𝑎 2 + 𝑎 - 1 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Así que: $𝑀 𝑡 𝑉 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 515 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ \Leftrightarrow ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 𝑎 + 3 𝑎 2 + 𝑎 - 1 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 515 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ \Leftrightarrow ⎧ { {⎨ { {⎩ 2 𝑎 + 3 = 5 \Leftrightarrow 𝑎 = 1, 𝑎 2 + 𝑎 - 1 = 1 \Leftrightarrow {𝑎 = - 2, 𝑎 = 1 .$ Por tanto, se verifica para $𝑎 = 1 .$
Hallamos en primer lugar el determinante de la matriz $𝑀 .$ $| 𝑀 | = ∣ 101210111 ∣ = 2 .$ Como $d e t (𝑀) \neq 0$ , la matriz es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝑀) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 2 1 10 - 1 - 1 21 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Calculamos su inversa como: $𝑀 - 1 = 1 | 𝑀 | A d j (𝑀) 𝑡 = 12 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 11 - 1 - 2 02 1 - 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Despejamos la ecuación matricial. $𝑋 𝑀 - 𝐼 3 = 𝑁 \Leftrightarrow 𝑋 𝑀 = 𝑁 + 𝐼 3 \Leftrightarrow 𝑋 = (𝑁 + 𝐼 3) 𝑀 - 1 .$ Por tanto, $𝑋 = (𝑁 + 𝐼 3) 𝑀 - 1 = 12 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 322521740 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 11 - 1 - 2 02 1 - 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = = 12 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 422531741 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 11 - 1 - 2 02 1 - 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 12 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 222042062 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 111021031 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$
- $𝑉$ es de dimensión $3 \times 1$ y $𝑁 𝑡$ es $3 \times 3$ , así que el producto no se puede realizar.
- $𝑁$ y $𝑀 𝑡$ son matrices cuadradas de orden 3, por lo que se pueden sumar y $𝑁 + 𝑀 𝑡$ es también una matriz cuadrada de orden 3. Por otro lado, como $𝑉$ es de dimensión $3 \times 1$ , se pueden multiplicar y da como resultado una matriz de dimensión $3 \times 1 .$

Ejercicio 1: Reserva 3 de 2024

Se consideran las matrices $𝐴 = (1 - 1 1 - 2 10), 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 - 1 10 - 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐶 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 132111031 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Resuelva la siguiente ecuación $𝐴 𝐵 𝑋 𝐶 = (100010) .$
Halle las dimensiones de las matrices $𝐷$ y $𝐸$ para que tenga sentido la igualdad $𝐴 𝐷 = 𝐸 𝐵 .$

Resolución

En primer lugar, hallamos la matriz $AB.$ $AB = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.$
- Calculamos el determinante de $𝐴 𝐵 .$ $| 𝐴 𝐵 | = ∣ - 2 1 12 ∣ = - 5 \neq 0 .$ Así que $𝐴 𝐵$ es invertible con $d e t (𝐴 𝐵) = - 5 .$
- Calculamos el determinante de $𝐶 .$ $| 𝐶 | = ∣ 132111031 ∣ = 1 \neq 0 .$ Así que $𝐶$ es invertible con $d e t (𝐶) = 1 .$
Despejamos la ecuación matricial. $ABXC = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \Leftrightarrow X = (AB)^{-1}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}C^{-1}.$
- Para hallar la inversa de $𝐴 𝐵$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴 𝐵) = (2 - 1 - 1 - 2) .$ Calculamos su inversa de la forma: $(𝐴 𝐵) - 1 = 1 | 𝐴 𝐵 | A d j (𝐴 𝐵) 𝑡 = - 15 (2 - 1 - 1 - 2) = 15 (- 2 1 12) .$
- Para hallar la inversa de $𝐶$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐶) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 2 - 1 3 31 - 3 11 - 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Calculamos su inversa de la forma: $𝐶 - 1 = 1 | 𝐶 | A d j (𝐶) 𝑡 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 2 31 - 1 11 3 - 3 - 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$
Por tanto, $\begin{align} & X = (AB)^{-1}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}C^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & -3 & -2 \end{pmatrix} = \\ & = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & -3 & -2 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -5 & -1 \\ -4 & 5 & 3 \end{pmatrix}. \end{align}$
Llamamos $𝑚 \times 𝑛$ a la dimensión de $𝐷$ y $𝑝 \times 𝑞$ a la de $𝐸 .$ Como la matriz $𝐴$ es de dimensión $2 \times 3$ , $𝐷$ debe tener 3 filas para poder multiplicarse con ella y el producto $𝐴 𝐷$ tiene dimensión $2 \times 𝑛 .$ Por otro lado, como $𝐵$ es de dimensión $3 \times 2$ , $𝐸$ debe tener 3 columnas para poder multiplicarse y el producto $𝐸 𝐵$ tiene dimensión $𝑝 \times 2 .$ Por último, para que se cumpla la igualdad se tiene que verificar que $𝑛 = 2$ y $𝑝 = 2 .$ Por tanto, $𝐷$ tiene dimensión $3 \times 2$ y $𝐸$ dimensión $2 \times 3 .$

Ejercicio 1: Julio de 2024

Dada la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 120 0 - 1 2 - 2 01 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠,$ resuelva la ecuación $𝐴 2 𝑋 + 𝐴 4 = 𝐴 .$

Resolución

En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz $𝐴 .$ $| 𝐴 | = ∣ 120 0 - 1 2 - 2 01 ∣ = - 9 .$ Así que $𝐴$ es invertible con $d e t (𝐴) = - 9 .$

Despejamos la ecuación matricial. $𝐴 2 𝑋 + 𝐴 4 = 𝐴 \Leftrightarrow 𝐴 2 𝑋 = 𝐴 - 𝐴 4 \Leftrightarrow 𝑋 = 𝐴 - 2 (𝐴 - 𝐴 4) = 𝐴 - 1 - 𝐴 2 .$

Por un lado, calculamos $𝐴 2 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 120 0 - 1 2 - 2 01 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 120 0 - 1 2 - 2 01 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 104 - 4 10 - 4 - 4 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Por otro lado, para hallar la inversa de $𝐴$ calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 - 4 - 2 - 2 1 - 4 4 - 2 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Ahora podemos calcular su inversa como $𝐴 - 1 = 1 | 𝐴 | A d j (𝐴) 𝑡 = - 19 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 - 2 4 - 4 1 - 2 - 2 - 4 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 19 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 12 - 4 4 - 1 2 241 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Por último, calculamos la matriz $𝑋$ operando. $𝑋 = 𝐴 - 1 - 𝐴 2 = 19 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 12 - 4 4 - 1 2 241 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ - ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 104 - 4 10 - 4 - 4 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 89 29 - 409 409 - 109 29 389409 - 89 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 29 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 4 1 - 20 20 - 5 1 1920 - 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio 2: Junio de 2023

Dadas las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 10 0 𝑎 2 011 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐵 = (2 - 1 𝑎 - 1) y 𝐶 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 - 1 1 - 1 20 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Calcule los valores del parámetro $𝑎$ para los que tanto $𝐴$ como $𝐵$ admitan inversa.
Para $𝑎 = 1$ , halle una matriz $𝑋$ que satisfaga $𝐴 𝑋 𝐵 = 𝐶 .$

Resolución

Calculamos en primer lugar los determinantes de las matrices $𝐴$ y $𝐵 .$ $| 𝐴 | = ∣ 𝑎 10 0 𝑎 2 011 ∣ = 𝑎 2 - 2 𝑎, | 𝐵 | = ∣ 2 - 1 𝑎 - 1 ∣ = - 2 + 𝑎 .$ La inversa de una matriz existe si y solo si su determinante es no nulo. $| 𝐴 | = 0 \Leftrightarrow 𝑎 2 - 2 𝑎 = 0 \Leftrightarrow 𝑎 (𝑎 - 2) = 0 \Leftrightarrow {𝑎 = 0, 𝑎 - 2 = 0 \Leftrightarrow 𝑎 = 2, | 𝐵 | = 0 \Leftrightarrow - 2 + 𝑎 = 0 \Leftrightarrow 𝑎 = 2 .$ Así que la matriz $𝐴$ tiene inversa si $𝑎 \neq 0$ y $𝑎 \neq 2$ , mientras que $𝐵$ tiene inversa si $𝑎 \neq 2 .$ Por tanto, $𝐴$ y $𝐵$ admiten inversa si $𝑎 \neq 0$ y $𝑎 \neq 2 .$
Si $𝑎 = 1$ , por el apartado anterior $𝐴$ y $𝐵$ son invertibles con $d e t (𝐴) = - 1$ y $d e t (𝐵) = - 1 .$ Resolvemos la ecuación matricial. $𝐴 𝑋 𝐵 = 𝐶 \Leftrightarrow 𝑋 = 𝐴 - 1 𝐶 𝐵 - 1 .$ Para hallar la inversa de $𝐴$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 00 - 1 1 - 1 2 - 2 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Ahora podemos calcular su inversa como $𝐴 - 1 = 1 | 𝐴 | A d j (𝐴) 𝑡 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 11 - 2 0 - 1 2 01 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Repetimos el mismo procedimiento para hallar la inversa de $𝐵 .$ Calculamos su matriz adjunta: $A d j (𝐵) = (- 1 - 1 12) .$ Calculamos su inversa como $𝐵 - 1 = 1 | 𝐵 | A d j (𝐵) 𝑡 = (1 - 1 1 - 2) .$ Por último, calculamos la matriz $𝑋$ operando. $𝑋 = 𝐴 - 1 𝐶 𝐵 - 1 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 11 - 2 0 - 1 2 01 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 - 1 1 - 1 20 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (1 - 1 1 - 2) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 - 2 31 - 1 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (1 - 1 1 - 2) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 3 5 4 - 5 - 2 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio 1: Reserva 1 de 2023

Un agricultor vende la producción de tres tipos de uva, Tempranillo, Garnacha y Macabeo, de dos de sus fincas. La matriz $𝑄 = (50403506055)$ recoge la producción, en miles de kilogramos, de estos tipos de uva en cada finca. El precio de venta por kilogramos, en céntimos de euro, según el tipo de uva y la finca, viene dado por la matriz $𝑃 = (403842343740) .$ Calcule el producto $𝑄 𝑃 𝑡$ y explique el significado económico de los elementos de la diagonal principal del resultado. Indique también la cantidad total de dinero que ha obtenido el agricultor por la venta de la cosecha de las dos fincas.
Dada la siguiente ecuación matricial $MX + N = V$ :
1. Suponiendo que $𝑀$ sea invertible, despeje la matriz $𝑋$ en la ecuación anterior.
2. Para $𝑀 = (1011), 𝑁 = (5432) y 𝑉 = (8765),$ calcule la matriz $𝑋 .$

Resolución

Calculamos el producto. $𝑄 𝑃 𝑡 = (50403506055) ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 403438374240 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = (4.990 4.580 4.590 4.420) .$ Los elementos de la diagonal principal representan el dinero en miles de céntimos ganado por la venta en cada finca. Es decir, en la primera finca consigue 49.900€ y en la segunda 44.200€. La cantidad total de dinero que obtiene es $49.900 + 44.200 = 94.100 € .$
1. Resolvemos la ecuación matricial suponiendo que $𝑀$ es invertible. $𝑀 𝑋 + 𝑁 = 𝑉 \Leftrightarrow 𝑀 𝑋 = 𝑉 - 𝑁 \Leftrightarrow 𝑋 = 𝑀 - 1 (𝑉 - 𝑁) .$
2. Comprobemos en primer lugar que la matriz $𝑀$ es invertible. Calculamos su determinante. $| 𝑀 | = ∣ 1011 ∣ = 1 .$ Como $d e t (𝑀) \neq 0$ , la matriz $𝑀$ es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝑀) = (1 - 1 01) .$ Ahora podemos calcular su inversa como $𝑀 - 1 = 1 | 𝑀 | A d j (𝑀) - 1 = (10 - 1 1) .$ Por último, calculamos la matriz $𝑋$ operando. $𝑋 = 𝑀 - 1 (𝑉 - 𝑁) = (10 - 1 1) \cdot ((8765) - (5432)) = (10 - 1 1) (3333) = (3300) .$

Ejercicio 2: Reserva 3 de 2023

Se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & m & -2 \\ 1 & m & 4 \end{pmatrix}.$
1. Obtenga para qué valores de $𝑚$ la matriz $𝐴$ tiene inversa.
2. Calcule, en caso de existir, la inversa de $𝐴$ para $𝑚 = 1 .$
Despeje y simplifique $𝑋$ en la ecuación $𝑋 𝐵 - 𝐵 2 + 𝐵 = 0$ , sabiendo que la matriz $𝐵$ es invertible.

Resolución

1. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz $𝐴 .$ $| 𝐴 | = ∣ 1 - 1 0 0 𝑚 - 2 1 𝑚 4 ∣ = 4 𝑚 + 2 + 2 𝑚 = 6 𝑚 + 2 .$ La inversa de $𝐴$ existe si y solo si su determinante es no nulo. $| 𝐴 | = 0 \Leftrightarrow 6 𝑚 + 2 = 0 \Leftrightarrow 𝑚 = - 13 .$ Por tanto, la matriz $𝐴$ tiene inversa si $𝑚 \neq - 13 .$
2. Si $𝑚 = 1$ , por el apartado anterior $𝐴$ es invertible con $d e t (𝐴) = 8 .$ Para hallar la inversa de $𝐴$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 6 - 2 - 1 44 - 2 221 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Calculamos su inversa como $𝐴 - 1 = 1 | 𝐴 | A d j (𝐴) 𝑡 = 18 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 642 - 2 42 - 1 - 2 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$
Despejamos $𝑋$ en la ecuación matricial. $𝑋 𝐵 - 𝐵 2 + 𝐵 = 0 \Leftrightarrow (𝑋 - 𝐵 + 𝐼) 𝐵 = 0 \Leftrightarrow 𝑋 - 𝐵 + 𝐼 = 0 \Leftrightarrow 𝑋 = 𝐵 + 𝐼 .$

Ejercicio 1: Julio de 2023

Se considera la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100020 0 - 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Pruebe que se verifica que $𝐴 - 1 = 12 (𝐴 2 - 4 𝐴 + 5 𝐼 3) .$
Dada la ecuación matricial $𝑋 𝑡 𝐴 = (120 3 - 1 1),$ determine la dimensión de $𝑋$ y resuelva la ecuación.

Resolución

Comprobemos en primer lugar que la matriz $𝐴$ es invertible. Calculamos su determinante. $| 𝐴 | = ∣ 100020 0 - 1 1 ∣ = 2 .$ Como $d e t (𝐴) \neq 0$ , la matriz $𝐴$ es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 200011002 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Ahora podemos calcular su inversa como $𝐴 - 1 = 1 | 𝐴 | A d j (𝐴) 𝑡 = 12 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 200010012 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por otro lado, calculamos $𝐴 2 - 4 𝐴 + 5 𝐼 3 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100020 0 - 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100020 0 - 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ - ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 400080 0 - 4 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 500050005 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100040 0 - 3 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ - ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 400080 0 - 4 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 500050005 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 200010012 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por tanto, $𝐴 - 1 = 12 (𝐴 2 - 4 𝐴 + 5 𝐼 3) .$
Para que el producto $𝑋 𝑡 𝐴$ se pueda realizar, es necesario que $𝑋 𝑡$ tenga 3 columnas. Así que $𝑋$ tiene 3 filas. Por otro lado, para que el resultado de dicho producto sea de tamaño $2 \times 3$ , la matriz $𝑋 𝑡$ debe tener 2 filas. Luego $𝑋$ tiene 2 columnas. Por tanto, la matriz $𝑋$ es de tamaño $3 \times 2 .$
Resolvemos la ecuación matricial. $𝑋 𝑡 𝐴 = (120 3 - 1 1) \Leftrightarrow 𝑋 𝑡 = (120 3 - 1 1) 𝐴 - 1 = 12 (120 3 - 1 1) ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 200010012 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = (110301) .$ Por tanto, $𝑋 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 131001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio 2: Junio de 2022

Se consideran las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 10 0 𝑎 1 341 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐵 = (2 - 1 0) y 𝐶 = (13 - 1),$ donde $𝑎$ es un número real.

Halle los valores del parámetro $𝑎$ para que la matriz $𝐴$ tenga inversa.
Para $𝑎 = 2$ , calcule la matriz inversa de $𝐴 .$
Para $𝑎 = 2$ , resuelva la ecuación matricial $𝑋 𝐴 + 𝐼 3 = 𝐵 𝑡 𝐶 .$

Resolución

Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz $𝐴 .$ $| 𝐴 | = ∣ 𝑎 10 0 𝑎 1 341 ∣ = 𝑎 2 + 3 - 4 𝑎 = 𝑎 2 - 4 𝑎 + 3 .$ La inversa de $𝐴$ existe si y solo si su determinante es no nulo. $| 𝐴 | = 0 \Leftrightarrow 𝑎 2 - 4 𝑎 + 3 = 0 \Leftrightarrow {𝑎 = 1, 𝑎 = 3 .$ Por tanto, la matriz $𝐴$ tiene inversa si $𝑎 \neq 1$ y $𝑎 \neq 3 .$
Si $𝑎 = 2$ , por el apartado anterior $𝐴$ es invertible con $d e t (𝐴) = - 1 .$ Para hallar la inversa de $𝐴$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 2 3 - 6 - 1 2 - 5 1 - 2 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Calculamos su inversa como $𝐴 - 1 = 1 | 𝐴 | A d j (𝐴) 𝑡 = - ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 2 - 1 1 32 - 2 - 6 - 5 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 21 - 1 - 3 - 2 2 65 - 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$
Resolvemos la ecuación matricial. $𝑋 𝐴 + 𝐼 3 = 𝐵 𝑡 𝐶 \Leftrightarrow 𝑋 𝐴 = 𝐵 𝑡 𝐶 - 𝐼 3 \Leftrightarrow 𝑋 = (𝐵 𝑡 𝐶 - 𝐼 3) 𝐴 - 1 .$ Calculamos la matriz $𝑋$ operando. $𝑋 = (𝐵 𝑡 𝐶 - 𝐼 3) 𝐴 - 1 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 - 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (13 - 1) - ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 21 - 1 - 3 - 2 2 65 - 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 26 - 2 - 1 - 3 1 000 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ - ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 21 - 1 - 3 - 2 2 65 - 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 16 - 2 - 1 - 4 1 00 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 21 - 1 - 3 - 2 2 65 - 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 28 - 21 19 1612 - 11 - 6 - 5 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio 1: Reserva 1 de 2022

Considere la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 - 3 - 𝑎 - 1 - 1 𝑎 𝑎 + 1 1 - 3 - 𝑎 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠,$ donde $𝑎$ es un número real. Determine de manera justificada:

Los valores de $𝑎$ para los que la matriz $𝐴$ tiene inversa.
Las matrices $𝐴 2$ , $𝐴 3$ y $𝐴 2022$ para $𝑎 = 4 .$
La matriz $𝑋$ que verifica que $𝑋 𝐴 = 𝐼 3$ para $𝑎 = 3 .$

Resolución

Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz $𝐴 .$ $| 𝐴 | = ∣ 2 - 3 - 𝑎 - 1 - 1 𝑎 𝑎 + 1 1 - 3 - 𝑎 ∣ = - 2 𝑎 2 - 3 (𝑎 + 1) - 3 (𝑎 + 1) + 𝑎 (𝑎 + 1) + 3 𝑎 + 6 (𝑎 + 1) = - 𝑎 2 + 4 𝑎 .$ La inversa de $𝐴$ existe si y solo si su determinante es no nulo. $| 𝐴 | = 0 \Leftrightarrow - 𝑎 2 + 4 𝑎 = 0 \Leftrightarrow 𝑎 (- 𝑎 + 4) = 0 \Leftrightarrow {𝑎 = 0, - 𝑎 + 4 = 0 \Leftrightarrow 𝑎 = 4 .$ Por tanto, la matriz $𝐴$ tiene inversa si $𝑎 \neq 0$ y $𝑎 \neq 4 .$
Si $𝑎 = 4$ , $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 - 3 - 5 - 1 45 1 - 3 - 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Calculamos la matriz $𝐴 2 .$ $𝐴 2 = 𝐴 \cdot 𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 - 3 - 5 - 1 45 1 - 3 - 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 - 3 - 5 - 1 45 1 - 3 - 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 - 3 - 5 - 1 45 1 - 3 - 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 𝐴 .$ Como $𝐴 2 = 𝐴$ , $𝐴 3 = 𝐴 2 \cdot 𝐴 = 𝐴 \cdot 𝐴 = 𝐴 .$ En general, $𝐴 𝑛 = 𝐴 .$ Por tanto, $𝐴 2022 = 𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 - 3 - 5 - 1 45 1 - 3 - 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$
Si $𝑎 = 3$ , por el primer apartado $𝐴$ es invertible y $d e t (𝐴) = 3 .$ Resolvemos la ecuación matricial. $𝑋 𝐴 = 𝐼 3 \Leftrightarrow 𝑋 = 𝐴 - 1 .$ Para hallar la inversa de $𝐴$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 310 3 - 2 3 0 - 4 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Ahora podemos calcular su inversa como $𝐴 - 1 = 1 | 𝐴 | A d j (𝐴) 𝑡 = 13 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 330 1 - 2 - 4 033 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por tanto, $𝑋 = 𝐴 - 1 = 13 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 330 1 - 2 - 4 033 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio 2: Reserva 2 de 2022

Se consideran las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 20 8 𝑎 0 00 𝑎 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 2 10 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠,$ donde $𝑎$ es un número real.

Determine los valores de $𝑎$ para que la matriz $𝐴$ sea no invertible.
Para $𝑎 = 5$ , calcule la inversa de la matriz $𝐴 .$
Para $𝑎 = 5$ , resuelva la ecuación matricial $𝐴 𝑋 = 𝐵 .$

Resolución

Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz $𝐴 .$ $| 𝐴 | = ∣ 𝑎 20 8 𝑎 0 00 𝑎 ∣ = 𝑎 3 - 16 𝑎 .$ La inversa de $𝐴$ existe si y solo si su determinante es no nulo. $| 𝐴 | = 0 \Leftrightarrow 𝑎 3 - 16 𝑎 = 0 \Leftrightarrow 𝑎 (𝑎 2 - 16) = 0 \Leftrightarrow {𝑎 = 0, 𝑎 2 - 16 = 0 \Leftrightarrow 𝑎 2 = 16 \Leftrightarrow 𝑎 = \pm 4 .$ Por tanto, la matriz $𝐴$ es no invertible si $𝑎 = - 4$ , $𝑎 = 0$ o $𝑎 = 4 .$
Si $𝑎 = 5$ , por el apartado anterior $𝐴$ es invertible con $d e t (𝐴) = 45 .$ Para hallar la inversa de $𝐴$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 25 - 40 0 - 10 250 009 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Calculamos su inversa como $𝐴 - 1 = 1 | 𝐴 | A d j (𝐴) 𝑡 = 145 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 25 - 10 0 - 40 250 009 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$
Despejamos $𝑋$ en la ecuación matricial y resolvemos. $𝐴 𝑋 = 𝐵 \Leftrightarrow 𝑋 = 𝐴 - 1 𝐵 = 145 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 25 - 10 0 - 40 250 009 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 2 10 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 145 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 45 - 90 90 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 2 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio 1: Reserva 3 de 2022

Se consideran las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 101 - 1 - 1 1 2 - 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 1 - 1 - 1 - 1 1 - 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐶 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 3 - 7 - 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Razone si se pueden efectuar las siguientes operaciones y realice las que sean posibles: $𝐶 𝐴, 𝐴 + 𝐵, 𝐶 𝑡 𝐵 𝑡 .$
Resuelva la ecuación matricial $𝐴 𝑋 = 𝐵 𝑋 + 𝐶 .$

Resolución

- $𝐶$ es de dimensión $3 \times 1$ y $𝐴$ es $3 \times 3$ , así que el producto $𝐶 𝐴$ no se puede efectuar.
- $𝐴$ y $𝐵$ son matrices cuadradas de orden 3, así que se pueden sumar. $𝐴 + 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 101 - 1 - 1 1 2 - 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 1 - 1 - 1 - 1 1 - 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 - 1 2 - 2 - 2 0 3 - 2 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$
- $𝐶 𝑡$ es de dimensión $1 \times 3$ y $𝐵 𝑡$ es $3 \times 3$ , así que se pueden multiplicar. $𝐶 𝑡 \cdot 𝐵 𝑡 = (3 - 7 - 2) ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 1 - 1 - 1 - 1 1 - 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = (868) .$
Despejamos la ecuación matricial. $𝐴 𝑋 = 𝐵 𝑋 + 𝐶 \Leftrightarrow 𝐴 𝑋 - 𝐵 𝑋 = 𝐶 \Leftrightarrow (𝐴 - 𝐵) 𝑋 = 𝐶 \Leftrightarrow 𝑋 = (𝐴 - 𝐵) - 1 𝐶 .$ En primer lugar, calculamos la matriz $𝐴 - 𝐵$ y hallamos su determinante. $𝐴 - 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 101 - 1 - 1 1 2 - 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ - ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 1 - 1 - 1 - 1 1 - 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 010002 10 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ \Rightarrow | 𝐴 - 𝐵 | = ∣ 010002 10 - 1 ∣ = 2 .$ Como $d e t (𝐴 - 𝐵) \neq 0$ , la matriz $𝐴 - 𝐵$ es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴 - 𝐵) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 020101200 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Calculamos su inversa como $(𝐴 - 𝐵) - 1 = 1 | 𝐴 - 𝐵 | A d j (𝐴 - 𝐵) 𝑡 = 12 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 012200010 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por tanto, $𝑋 = (𝐴 - 𝐵) - 1 𝐶 = 12 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 012200010 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 3 - 7 - 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 12 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 11 6 - 7 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio 2: Reserva 4 de 2022

Se consideran las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 7 - 6 - 2 314 - 5 0 - 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 223534 - 4 01 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐶 = (12 - 1 - 2 - 3 0) y 𝐷 = (𝑎 2 0 - 1 1 - 1 𝑎) .$

Resuelva la siguiente ecuación matricial: $𝐴 𝑡 - 𝑋 𝐴 = 3 𝐼 3 .$
¿Existe algún valor del parámetro $𝑎$ para el que se verifique $𝐶 𝑡 𝐷 = 𝐵$ ? En caso afirmativo, calcule dicho valor.

Resolución

En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz $𝐴 .$ $| 𝐴 | = ∣ 7 - 6 - 2 314 - 5 0 - 4 ∣ = 10 .$ Así que $𝐴$ es invertible con $d e t (𝐴) = 10 .$ Despejamos la ecuación matricial. $𝐴 𝑡 - 𝑋 𝐴 = 3 𝐼 3 \Leftrightarrow 𝑋 𝐴 = 𝐴 𝑡 - 3 𝐼 3 \Leftrightarrow 𝑋 = (𝐴 𝑡 - 3 𝐼 3) 𝐴 - 1 .$ Para hallar la inversa de $𝐴$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 4 - 8 5 - 24 - 38 30 - 22 - 34 25 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Ahora podemos calcular su inversa como $𝐴 - 1 = 1 | 𝐴 | A d j (𝐴) 𝑡 = 110 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 4 - 24 - 22 - 8 - 38 - 24 53025 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por último, calculamos la matriz $𝑋$ operando. $𝑋 = (𝐴 𝑡 - 3 𝐼 3) 𝐴 - 1 = 110 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 73 - 5 - 6 10 - 2 4 - 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ - ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 300030003 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 4 - 24 - 22 - 8 - 38 - 24 53025 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = = 110 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 43 - 5 - 6 - 2 0 - 2 4 - 7 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 4 - 24 - 22 - 8 - 38 - 24 53025 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 110 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 65 - 360 - 315 40220200 - 59 - 314 - 297 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$
Veamos cuándo $𝐶 𝑡 𝐷 = 𝐵 .$ $𝐶 𝑡 𝐷 = 𝐵 \Leftrightarrow ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 2 2 - 3 - 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (𝑎 2 0 - 1 1 - 1 𝑎) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 223534 - 4 01 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ \Leftrightarrow ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 2 - 2 2 - 1 - 2 𝑎 2 𝑎 2 - 3 3 - 2 - 3 𝑎 - 𝑎 2 01 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 223534 - 4 01 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Igualando los elementos de las matrices, obtenemos el sistema $⎧ { { { {⎨ { { { {⎩ 𝑎 2 - 2 = 2 \Rightarrow 𝑎 = \pm 2, - 1 - 2 𝑎 = 3 \Rightarrow 𝑎 = - 2, 2 𝑎 2 - 3 = 5 \Rightarrow 𝑎 = \pm 2, - 2 - 3 𝑎 = 4 \Rightarrow 𝑎 = - 2, - 𝑎 2 = - 4 \Rightarrow 𝑎 = \pm 2 .$ Por tanto, $𝑎 = - 2 .$

Ejercicio 1: Julio de 2022

Se consideran las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 112 - 2 01 0 - 1 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 2 1 3102 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐶 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 12 - 1 - 1 - 2 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Determine la matriz $𝑋$ que verifica $𝐴 𝑋 + 𝐵 = 𝐴 2 𝐶 .$
Determine las dimensiones de dos matrices $𝑃$ y $𝑄$ sabiendo que $𝐴 𝑃 𝑡 + 𝐶 = 𝐶 (𝑄 𝐵) .$

Resolución

Comprobamos en primer lugar que la matriz $𝐴$ es invertible. $| 𝐴 | = ∣ 112 - 2 01 0 - 1 - 1 ∣ = 4 - 2 + 1 = 3 \neq 0 .$ Por tanto, $𝐴$ es invertible. Resolvemos la ecuación matricial. $𝐴 𝑋 + 𝐵 = 𝐴 2 𝐶 \Leftrightarrow 𝐴 𝑋 = 𝐴 2 𝐶 - 𝐵 \Leftrightarrow 𝑋 = 𝐴 - 1 (𝐴 2 𝐶 - 𝐵) = 𝐴 𝐶 - 𝐴 - 1 𝐵 .$ Para hallar la inversa de $𝐴$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 2 2 - 1 - 1 1 1 - 5 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Ahora podemos calcular su inversa como $𝐴 - 1 = 1 | 𝐴 | A d j (𝐴) 𝑡 = 13 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 1 - 2 - 1 - 5 212 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por último, calculamos la matriz $𝑋$ operando. $𝑋 = 𝐴 𝐶 - 𝐴 - 1 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 112 - 2 01 0 - 1 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 12 - 1 - 1 - 2 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ - 13 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 1 - 2 - 1 - 5 212 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 2 1 3102 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 4 7 - 4 - 1 3 - 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ - 13 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 5 2 1 - 13 - 1 7 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 73 193 - 133 103 103 - 133 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$
- $𝐶$ es de dimensión $3 \times 2$ , así que $𝐴 𝑃 𝑡$ debe tener la misma dimensión para poder sumarse con ella. Como $𝐴$ es $3 \times 3$ , $𝑃 𝑡$ debe tener 3 filas para poder multiplicarse y 2 columnas para dar como resultado una matriz de dimensión $3 \times 2 .$ Por tanto, $𝑃$ es de dimensión $2 \times 3 .$
- $𝐵$ y $𝐶$ son de dimensión $3 \times 2$ , así que $𝑄$ debe tener 2 filas y 3 columnas para poder multiplicarse con ellas. Por tanto, $𝑄$ es de dimensión $2 \times 3 .$ Observamos que entonces el producto $𝐶 (𝑄 𝐵)$ es de dimensión $3 \times 2$ , por lo que coincide con el otro lado de la igualdad.

Ejercicio 2: Junio de 2021

Se considera la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 𝑚 02 - 3 𝑚 11 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠,$ con $𝑚$ un parámetro real.

¿Para qué valores del parámetro $𝑚$ existe la matriz inversa de $𝐴$ ?
Para $𝑚 = 2$ , resuelva la ecuación matricial $𝑋 𝐴 - 𝐴 2 = 𝐼 3 .$

Resolución

Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz $𝐴 .$ $| 𝐴 | = ∣ 1 - 1 𝑚 02 - 3 𝑚 11 ∣ = 2 + 3 𝑚 - 2 𝑚 2 + 3 = - 2 𝑚 2 + 3 𝑚 + 5 .$ La matriz inversa de $𝐴$ existe si y solo si su determinante es no nulo. $| 𝐴 | = 0 \Leftrightarrow - 2 𝑚 2 + 3 𝑚 + 5 = 0 \Leftrightarrow {𝑚 = - 1, 𝑚 = 52 .$ Por tanto, la matriz $𝐴$ tiene inversa si $𝑚 \neq - 1$ y $𝑚 \neq 52 .$
Si $𝑚 = 2$ , por el apartado anterior $𝐴$ es invertible con $d e t (𝐴) = 3 .$ Despejamos la ecuación matricial. $𝑋 𝐴 - 𝐴 2 = 𝐼 3 \Leftrightarrow 𝑋 𝐴 = 𝐼 3 + 𝐴 2 \Leftrightarrow 𝑋 = (𝐼 3 + 𝐴 2) 𝐴 - 1 = 𝐴 - 1 + 𝐴 .$ Para hallar la inversa de $𝐴$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 5 - 6 - 4 3 - 3 - 3 - 1 32 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Ahora podemos calcular su inversa como $𝐴 - 1 = 1 | 𝐴 | A d j (𝐴) 𝑡 = 13 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 53 - 1 - 6 - 3 3 - 4 - 3 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por tanto, $𝑋 = 𝐴 - 1 + 𝐴 = 13 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 53 - 1 - 6 - 3 3 - 4 - 3 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 2 02 - 3 211 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = = 13 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 53 - 1 - 6 - 3 3 - 4 - 3 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + 13 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 3 - 3 6 06 - 9 633 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 13 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 805 - 6 3 - 6 205 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio 2: Reserva 1 de 2021

Se consideran las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 101010101 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 102 11 - 1 210 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐶 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 3 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Calcule $𝐴 2$ , $𝐴 3$ , $𝐴 4$ y deduzca la expresión de $𝐴 𝑛$ , con $𝑛$ un número natural.
Razone si existe la inversa de la matriz $𝐵 .$
Razone si la ecuación matricial $𝐵 𝑋 = 𝐶$ tiene solución y resuélvala en caso de que sea posible.

Resolución

Calculamos las primeras potencias de $𝐴 .$ $𝐴 2 = 𝐴 \cdot 𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 101010101 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 101010101 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 202010202 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐴 3 = 𝐴 2 \cdot 𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 202010202 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 101010101 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 404010404 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐴 4 = 𝐴 3 \cdot 𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 404010404 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 101010101 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 808010808 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por tanto, $𝐴 𝑛 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 𝑛 - 1 0 2 𝑛 - 1 010 2 𝑛 - 1 0 2 𝑛 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$
Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz $𝐵 .$ $| 𝐵 | = ∣ 102 11 - 1 210 ∣ = - 1 .$ Como $d e t (𝐵) \neq 0$ , la matriz $𝐵$ es invertible.
Por el apartado anterior, $𝐵$ es invertible con $d e t (𝐵) = - 1 .$ Despejamos la ecuación matricial. $𝐵 𝑋 = 𝐶 \Leftrightarrow 𝑋 = 𝐵 - 1 𝐶 .$ Para hallar la inversa de $𝐵$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐵) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 2 - 1 2 - 4 - 1 - 2 31 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Calculamos su inversa de la forma: $𝐵 - 1 = 1 | 𝐵 | A d j (𝐵) 𝑡 = - ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 12 - 2 - 2 - 4 3 - 1 - 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 - 2 2 24 - 3 11 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por tanto, $𝑋 = 𝐵 - 1 𝐶 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 - 2 2 24 - 3 11 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 3 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 7 - 13 - 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio 2: Reserva 2 de 2021

Se consideran las matrices $𝐴 = (𝑎 4 68), 𝐵 = (2233) y 𝐶 = (12) .$

Calcule el valor del parámetro $𝑎$ para que la matriz $𝐴$ no tenga inversa.
Para $𝑎 = 3$ , resuelva la ecuación matricial $𝑋 𝐴 - 𝑋 𝐵 = 𝐶 .$
Para $𝑎 = 3$ , compruebe que $𝐴 2 = 11 𝐴$ y exprese $𝐴 8$ en función de la matriz $𝐴 .$

Resolución

Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz $𝐴 .$ $| 𝐴 | = ∣ 𝑎 4 68 ∣ = 8 𝑎 - 24 .$ La inversa de $𝐴$ existe si y solo si su determinante es no nulo. Observamos que: $| 𝐴 | = 0 \Leftrightarrow 8 𝑎 - 24 = 0 \Leftrightarrow 𝑎 = 3 .$ Por tanto, $𝐴$ no tiene inversa cuando $𝑎 = 3 .$
Despejamos la ecuación matricial. $𝑋 𝐴 - 𝑋 𝐵 = 𝐶 \Leftrightarrow 𝑋 (𝐴 - 𝐵) = 𝐶 \Leftrightarrow 𝑋 = 𝐶 (𝐴 - 𝐵) - 1 .$ En primer lugar, calculamos la matriz $𝐴 - 𝐵$ y hallamos su determinante. $𝐴 - 𝐵 = (3468) - (2233) = (1235) \Rightarrow | 𝐴 - 𝐵 | = ∣ 1235 ∣ = - 1 .$ Como $d e t (𝐴 - 𝐵) \neq 0$ , la matriz $𝐴 - 𝐵$ es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴 - 𝐵) = (5 - 3 - 2 1) .$ Calculamos su inversa de la forma: $(𝐴 - 𝐵) - 1 = 1 | 𝐴 - 𝐵 | A d j (𝐴 - 𝐵) 𝑡 = - (5 - 2 - 3 1) = (- 5 2 3 - 1) .$ Por tanto, $𝑋 = 𝐶 (𝐴 - 𝐵) - 1 = (12) (- 5 2 3 - 1) = (10) .$
Calculamos la matriz $𝐴 2$ : $𝐴 2 = 𝐴 \cdot 𝐴 = (3468) (3468) = (33446688) = 11 𝐴 .$ Por tanto, $𝐴 8 = (𝐴 2) 4 = (11 𝐴) 4 = 114 𝐴 4 = 114 \cdot (𝐴 2) 2 = 114 \cdot (11 𝐴) 2 = 114 \cdot 112 𝐴 2 = 116 \cdot 11 𝐴 = 117 𝐴 .$

Ejercicio 2: Reserva 3 de 2021

Se considera la ecuación matricial $(10 𝐼 3 - 𝐴) 𝑋 = 𝐵$ , donde $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 210420225 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠$ y $𝐵$ es una matriz con tres filas y una columna.

Razone qué dimensión ha de tener la matriz $𝑋 .$
¿Tiene solución la ecuación matricial anterior para cualquier matriz $𝐵$ de orden $3 \times 1$ ? ¿Por qué?
Resuelva dicha ecuación matricial si $𝐵 = (520 - 3) 𝑡 .$

Resolución

Las matrices $𝐼 3$ y $𝐴$ son cuadradas de orden 3, así que $10 𝐼 3 - 𝐴$ es también una matriz cuadrada de orden 3. Para que el producto $(10 𝐼 3 - 𝐴) 𝑋$ se pueda realizar, es necesario que $𝑋$ tenga 3 filas. Por otro lado, para que el resultado de ese producto sea de dimensión $3 \times 1$ , la matriz $𝑋$ debe tener 1 columna. Por tanto, la matriz $𝑋$ tiene dimensión $3 \times 1 .$
En primer lugar, hallamos la matriz $10 𝐼 3 - 𝐴 .$ $10 𝐼 3 - 𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100001000010 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ - ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 210420225 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 8 - 1 0 - 4 80 - 2 - 2 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Comprobamos si la matriz $(10 𝐼 3 - 𝐴)$ es invertible. $| 10 𝐼 3 - 𝐴 | = ∣ 8 - 1 0 - 4 80 - 2 - 2 5 ∣ = 300 .$ Como $d e t (10 𝐼 3 - 𝐴) \neq 0$ , la matriz es invertible. Despejamos la ecuación matricial. $(10 𝐼 3 - 𝐴) 𝑋 = 𝐵 \Leftrightarrow 𝑋 = (10 𝐼 3 - 𝐴) - 1 𝐵 .$ Por tanto, la ecuación tiene solución para cualquier matriz $𝐵$ de tamaño $3 \times 1 .$
Para hallar la inversa de $10 𝐼 3 - 𝐴$ , calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (10 𝐼 3 - 𝐴) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 8 - 1 0 - 4 80 - 2 - 2 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Calculamos su inversa de la forma: $(10 𝐼 3 - 𝐴) - 1 = 1 | 10 𝐼 3 - 𝐴 | A d j (10 𝐼 3 - 𝐴) 𝑡 = 1300 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 8 - 4 - 2 - 1 8 - 2 005 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por tanto, $𝑋 = (10 𝐼 3 - 𝐴) - 1 𝐵 = 1300 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 8 - 4 - 2 - 1 8 - 2 005 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 520 - 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 1300 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 300900300 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 131 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio 1: Reserva 4 de 2021

Se considera la matriz $𝐴 = (10 - 1 1) .$

Calcule $𝐴 40$ y $(𝐴 𝑡) 30 .$
Calcule $(𝐴 - 1 + 𝐴) 2 .$
Resuelva la ecuación matricial $(𝐴 𝑡 + 𝐼 2) 𝑋 = 𝐴 𝑡 - 𝐼 2 .$

Ejercicio 1: Julio de 2021

Se considera la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 210102 02 𝑎 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Determine para qué valores del parámetro $𝑎$ , la matriz $𝐴$ tiene inversa.
Para $𝑎 = 1$ , calcule la inversa de $𝐴 .$
Para $𝑎 = 1$ , resuelva la ecuación matricial $𝐴 𝑋 = 𝐵 𝑡$ , siendo $𝐵 = (01 - 1) .$

Resolución

Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz $𝐴 .$ $| 𝐴 | = ∣ 210102 02 𝑎 ∣ = - 8 - 𝑎 .$ La inversa de $𝐴$ existe si y solo si su determinante es no nulo. $| 𝐴 | = 0 \Leftrightarrow - 8 - 𝑎 = 0 \Leftrightarrow 𝑎 = - 8 .$ Por tanto, la matriz $𝐴$ tiene inversa si $𝑎 \neq - 8 .$
Si $𝑎 = 1$ , por el apartado anterior $𝐴$ es invertible con $d e t (𝐴) = - 9 .$ Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. $A d j (𝐴) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 4 - 1 2 - 1 2 - 4 2 - 4 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Calculamos su inversa como $𝐴 - 1 = 1 | 𝐴 | A d j (𝐴) 𝑡 = - 19 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 4 - 1 2 - 1 2 - 4 2 - 4 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 19 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 41 - 2 1 - 2 4 - 2 41 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$
Despejamos la ecuación matricial y resolvemos. $𝐴 𝑋 = 𝐵 𝑡 \Leftrightarrow 𝑋 = 𝐴 - 1 𝐵 𝑡 = 19 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 41 - 2 1 - 2 4 - 2 41 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 01 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 19 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 3 - 6 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 13 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 2 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio 1: Julio de 2020

Sean $𝐴$ , $𝐵$ , $𝑋$ e $𝑌$ matrices invertibles que verifican $𝐴 𝑋 = 𝐵$ y $𝐵 𝑌 = 𝐴 .$

Compruebe que $𝑌 - 1 = 𝑋 .$
Para $𝐴 = (1213) y 𝐵 = (21 0 - 1),$ halle $𝑋$ e $𝑌 .$

Ejercicio 2: Reserva 1 de 2020

Se consideran las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 21 - 1 𝑎 - 1 - 1 30 - 2 𝑎 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 20 1 - 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Determine para qué valores de $𝑎$ tiene inversa la matriz $𝐴 .$
Para $𝑎 = 2$ , calcule la matriz inversa de $𝐴 .$
Para $𝑎 = 0$ , resuelva la ecuación matricial $𝑋 𝐴 - 1 - 𝐵 𝐵 𝑡 = 𝐼 3 .$

Ejercicio 2: Reserva 2 de 2020

Se consideran las matrices $𝐴 = (10 - 2 𝑎 10), 𝐵 = 𝐴 𝐴 𝑡 y 𝐶 = (1 - 2 10),$ siendo $𝑎$ un parámetro real.

¿Para qué valores del parámetro $𝑎$ existe la inversa de la matriz $𝐵$ ?
Para $𝑎 = 1$ , calcule la inversa de la matriz $𝐵 .$
Para $𝑎 = 1$ , resuelva la ecuación matricial $𝐵 𝑡 𝑋 + 9 𝐶 = 𝑂 .$

Ejercicio 1: Reserva 4 de 2020

Dada la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 20 𝑚 111 𝑚 35 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠,$ con $𝑚$ un parámetro real, se pide:

¿Para qué valores del parámetro $𝑚$ tiene inversa la matriz $𝐴$ ?
Para $𝑚 = 0$ , resuelva la ecuación matricial $𝑋 𝐴 = 𝐴 𝐴 𝑡 .$

Ejercicio B1: Junio de 2019

Se considera la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 2 0 - 2 2 - 1 011 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Razone si la matriz $𝐴$ es simétrica.
Calcule $𝐴 - 1 .$
Resuelva la ecuación matricial $2 𝑋 𝐴 - 𝐴 2 - 3 𝐼 3 = 0 .$

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2019

Se consideran las matrices: $𝐴 = (3 - 1 - 6 1), 𝐵 = (20 - 2 2), 𝐶 = (31) y 𝐷 = (- 2 2) .$

Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y efectúelas cuando sea posible: $𝐴 + 𝐵 𝐶, 𝐴 𝐶 + 𝐵 𝐷 𝑡, 𝐵 2 + 𝐶 𝐷, 𝐴 + 𝐷 𝐶 .$
Resuelva la ecuación matricial $𝑋 (𝐴 + 𝐼 2) = 3 𝐵 𝑡 .$

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2019

Se consideran las matrices $𝐴 = (- 12 5 - 14 12), 𝐵 = (1 - 1 21) y 𝐶 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 10 - 1 0 - 1 1 - 1 10 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Resuelva la ecuación matricial $𝐴 4 𝑋 = 𝐵 2 + 𝐼 2 .$
¿Tiene inversa la matriz $𝐶$ ? Justifique la respuesta.

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2019

Se considera el recinto cuadrado de vértices $(1, 0)$ , $(0, 1)$ , $(- 1, 0)$ y $(0, 1) .$ Indique en qué puntos del recinto se alcanzan el valor máximo de la función $𝐹 (𝑥, 𝑦) = 3 𝑥 + 2 𝑦 + 7$ y el valor mínimo de la función $𝐺 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 + 6$ , calculando dichos valores.
Resuelva la ecuación matricial $(𝐴 - 𝐴 𝑡) 𝑋 = 𝐵$ , siendo $𝐴$ y $𝐵$ las matrices $𝐴 = (5 - 2 31) y 𝐵 = (- 1 3 2 - 1) .$

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2019

Se consideran las matrices $𝐴 = (01 - 1 2 - 1 0), 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 20 - 2 1 01 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐶 = (12 2 - 3) .$

¿Tiene inversa la matriz $𝐴 𝐵 - 𝐶$ ? Justifique la respuesta y, en caso afirmativo, calcule $(𝐴 𝐵 - 𝐶) - 1 .$
Resuelva la ecuación matricial $𝐴 𝐵 𝑋 - 𝐶 𝑋 = 𝐶 𝑡 .$

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2019

Se consideran las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 113 12 - 1 1 - 1 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 230 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Justifique que la matriz $𝐴$ tiene inversa y calcule $𝐴 - 1 .$
Calcule, si existe, la matriz $𝑋$ que satisface la ecuación matricial $𝐴 𝑋 = 𝐵 .$

Ejercicio A1: Septiembre de 2019

Se consideran las matrices $𝐴 = (10 - 2 - 1 10), 𝐵 = (1 - 3 - 2 0) y 𝐶 = (7 - 12 16 - 1 712) .$

Justifique cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas:
1. $𝐴 𝐴 𝑡$ es una matriz simétrica.
2. $𝐴 𝐴 𝑡 + 𝐵$ posee inversa.
Resuelva la ecuación matricial $𝐵 𝑋 + 𝐴 = 𝐶 .$

Ejercicio B1: Junio de 2018

Se consideran las matrices $𝐴 = (- 1 0 12) y 𝐵 = (21 0 - 1) .$

¿Se verifica la igualdad $(𝐴 + 𝐵) 2 = 𝐴 2 + 𝐵 2 + 2 𝐴 𝐵$ ?
Resuelva la ecuación matricial $𝑋 𝐴 = 2 𝐵 𝑡 + 𝐼 2 .$

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2018

Sean las matrices $𝐴 = (6024), 𝐵 = (- 4 6) y 𝐶 = (- 2 - 2) .$

Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y efectúelas cuando sea posible: $𝐵 + 2 𝐶 𝐴, 𝐴 - (𝐵 𝐶) 𝑡 .$
Resuelva la siguiente ecuación matricial: $15 (𝐵 + 𝐴 𝑋) = 𝐶 𝑡 .$

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2018

Se consideran las matrices $𝐴 = (- 1 2 - 3 4), 𝐵 = (- 1 21 302) y 𝐶 = (301 2 - 1 - 1) .$

Razone qué dimensiones deben tener las matrices $𝑃$ y $𝑄$ para que los productos $𝐴 𝑃 𝐵 𝑡$ y $𝑄 𝐴 𝐶$ den coomo resultado una matriz cuadrada.
Resuelva la ecuación matricial $𝐴 𝑋 - 2 𝐵 𝐶 𝑡 = 𝐴 2 .$

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2018

Resuelva el sistema de ecuaciones matriciales: $⎧ { { {⎨ { { {⎩ 2 𝐴 - 5 𝐵 = (7278), 3 𝐴 - 𝐵 = (43 4 - 1) .$
Dadas las matrices $𝐶 = (3 - 2 11) y 𝐷 = (01 - 1 2),$ resuelva la ecuación matricial $𝑋 𝐶 - 𝐷 2 = 𝐼 2 .$

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2018

Resuelva la ecuación matricial $(23 1 - 5) 𝑋 = (11 0 - 1) 2 (41) .$
Si $𝐴$ es una matriz con tres filas y dos columnas, determine razonadamente la dimensión que deben tener las matrices $𝐵$ , $𝐶$ y $𝐷$ para que se puedan efectuar las siguientes operaciones: $2 𝐴 - 3 𝐵, 𝐴 𝐴 𝑡 - 𝐶 2, 𝐴 𝐷 .$

Ejercicio B1: Septiembre de 2018

Sean las matrices $𝐴 = (10 1 - 1) y 𝐵 = (10 - 1 210) .$

Calcule $𝐴 2018 + 𝐴 2019 .$
Resuelva la ecuación matricial $𝑋 𝐴 + 𝐵 𝐵 𝑡 = 2 𝐴 .$

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2017

Sean las matrices $𝐴 = (1 - 1 0 01 - 1), 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1001 2 - 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐶 = (11 3 - 2) .$

Razone cuáles de las siguientes operaciones son posibles: $𝐴 𝐵 𝑡, 𝐵 + 3 𝐶, 𝐶 𝐵 𝑡, 𝐴 𝐵 + 𝐶 .$
Resuelva la ecuación matricial $𝐴 𝐵 𝑋 = 𝐶 .$

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2017

Sean las matrices $𝐴 = (21 0 - 1), 𝐵 = (1 - 1 20), 𝐶 = (- 2 4 1 - 1) y 𝐷 = (101010) .$

Razone si se pueden efectuar las siguientes operaciones: $𝐴 𝐷 + 𝐵 𝐶, 𝐷 𝑡 𝐵 - 𝐴 2 .$
Halle la matriz $𝑋$ que verifica la ecuación matricial $𝐴 𝑋 = 𝐵 - 𝐶 .$

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2017

Sean las matrices $𝐴 = (24 1 - 1) y 𝐵 = (- 3 0 01) .$

Calcule $𝐴 2 + 𝐵 3 .$
Calcule $𝑋$ en la ecuación matricial $(𝐴 + 𝐵) 𝑋 = 𝐴 - 𝐵 .$

Ejercicio A1: Septiembre de 2017

Sean las matrices $𝐴 = (101011) y 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 011011 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Justifique cuáles de las siguientes operaciones pueden realizarse y, en tal caso, calcule el resultado: $𝐴 2, 𝐴 - 𝐵, 𝐴 𝐵, 𝐴 𝐵 𝑡 .$
Halle la matriz $𝑋$ tal que $𝐴 𝑡 + 𝐵 𝑋 = 3 𝐵 .$

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2016

Sean las matrices $𝐴 = (12 0 - 1), 𝐵 = (122 - 1 - 1 2) y 𝐶 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 12 - 1 0 2 - 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Calcule $𝐴 2$ y $𝐴 2016 .$
Resuelva la ecuación matricial $𝐴 𝑋 - 𝐵 = 𝐶 𝑡 .$

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2016

Sean las matrices $𝐴 = (12 0 - 3), 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 02 1 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐶 = (140 2 - 3 1) .$

Resuelva la ecuación matricial $𝐶 𝐵 𝑋 - 2 𝐴 𝑋 = 𝐴 𝑡 .$
Analice cuáles de las siguientes operaciones, sin efectuarlas, se pueden realizar y justifique las respuestas: $𝐵 𝐶 + 2 𝐴, 𝐴 𝐶 + 𝐶, 𝐵 𝑡 𝐶, 𝐶 𝐵 - 𝐴 .$

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2016

Sean las matrices $𝐴 = (24 - 2 - 6) y 𝐵 = (101 1 - 2 0) .$

Resuelva la ecuación matricial $𝑋 (𝐵 𝐵 𝑡) = 12 𝐴 - 2 𝐴 𝑡 .$
Razone cuáles de las siguientes operaciones pueden realizarse e indique, en su caso, la dimensión de la matriz resultante: $𝐴 𝐵, 𝐴 𝐵 𝑡, 𝐵 𝐴 - 1, 𝐵 𝑡 𝐴 + 𝐴 - 1 .$

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2016

Si $𝐴$ es una matriz de dimensión $𝑚 \times 𝑛$ , indique la dimensión de una matriz $𝑋$ si se verifica que $(𝐴 𝑡 𝐴) 𝑋 = 𝐼 𝑛 .$
Calcule dicha matriz $𝑋$ en el caso en que $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 11 1 - 1 11 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$
Calcule, si es posible, el producto $𝐴 (𝐴 𝑡 𝐴) .$

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2016

Sean las matrices $𝐴 = (3012), 𝐵 = (- 2 3) y 𝐶 = (- 1 - 1) .$

Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y en dichos casos calcule el resultado: $𝐴 𝐵, 𝐵 𝐴, 𝐵 𝐶, 𝐶 𝑡 𝐵 𝑡 .$
Calcule la matriz $𝑋$ en la ecuación $𝐴 𝑋 + 𝐵 𝑡 = 4 𝐶 .$

Ejercicio A1: Septiembre de 2016

Sean las matrices $𝐴 = (12 - 1 - 3), 𝐵 = (2 - 1 3 401) y 𝐶 = (- 1 10 23 - 2) .$

Resuelva la ecuación matricial $𝐴 2 𝑋 + 𝐶 = 2 𝐵 .$
¿Qué dimensiones deben tener las matrices $𝑃$ y $𝑄$ para que las matrices $(𝐵 + 𝐶) 𝑃$ y $𝐵 𝑄 𝐶 𝑡$ sean cuadradas?

Ejercicio B1: Junio de 2015

Sean las matrices $𝐴 = (23 - 1 1), 𝐵 = (2 - 3 51) y 𝐶 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 200230 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Calcule las matrices $𝑋$ e $𝑌$ si $𝑋 + 𝑌 = 2 𝐴$ y $𝑋 + 𝐵 = 2 𝑌 .$
Analice cuáles de las siguientes operaciones con matrices se pueden realizar, indicando en los casos afirmativos las dimensiones de la matriz $𝐷$ : $𝐴 + 𝐷 = 𝐶, 𝐴 𝐷 = 𝐶 𝑡, 𝐷 𝐴 = 𝐶, 𝐷 𝐴 = 𝐶 𝑡 .$

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2015

Sean las matrices $𝐴 = (21 3 - 2) y 𝐵 = (3 - 2 14) .$

Efectúe la operación $𝐴 𝐵 𝑡 .$
Determine la matriz $𝑋$ tal que $𝐴 + 2 𝑋 = 𝐵 .$
Halle la matriz $𝑌$ tal que $𝐵 𝑌 = (69) .$

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2015

Sean las matrices $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 2 01 - 1 102 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐵 = (121 1 - 2 0), 𝐶 = (21) y 𝐷 = (1 - 1 2) .$

Estudie cuáles de los siguientes productos de matrices se pueden realizar, indicando las dimensiones de la matriz resultante: $𝐴 𝐵 𝑡, 𝐶 𝑡 𝐷, 𝐵 𝑡 𝐷, 𝐷 𝐵 𝑡 .$
Despeje la matriz $𝑋$ en la ecuación $𝑋 𝐴 - 1 + 2 𝐵 = 3 𝐶 𝑡 𝐷$ , sin calcular sus elementos.
Calcule la matriz $𝐴 (𝐵 𝑡 - 2 𝐷 𝑡 𝐶) .$

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2015

Sean las matrices $𝐴 = (0 - 1 10), 𝐵 = (1111) y 𝐶 = (2132) .$

Resuelva la ecuación $𝐴 𝑋 + 𝐵 𝑋 = 𝐶 .$
Calcule $𝐴 4$ y $𝐴 80 .$

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2015

Resuelva la ecuación matricial $(2112) 𝑋 + (1 - 1 02) = 𝐼 2 .$
Dadas las matrices $𝑀 = (0110) y 𝐴 = (𝑎 𝑏 21),$ calcule los valores de $𝑎$ y $𝑏$ para que se verifique la ecuación $𝑀 𝐴 = 𝐴 .$

Ejercicio A1: Septiembre de 2015

Sean las matrices $𝐴 = (12 - 1 2), 𝐵 = (122 - 1 - 1 2) y 𝐶 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 8 - 4 128 - 8 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Calcule $𝐴 2 .$
Resuelva la ecuación matricial $𝐴 𝑋 + 4 𝐵 = 𝐶 𝑡 .$

Ejercicio A1: Junio de 2014

Se consideran las matrices $𝐴 = (1 𝑎 01) y 𝐵 = (120340),$ siendo $𝑎$ un número real cualquiera.

Obtenga la matriz $𝐴 2014 .$
Para $𝑎 = 2$ , resuelva la ecuación matricial $𝐴 3 𝑋 - 4 𝐵 = 𝑂 .$

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2014

Se consideran las matrices $𝐴 = (1 𝑎 01) y 𝐵 = (- 1 1) .$

Calcule el valor del parámetro $𝑎$ para que se verifique $(𝐵 𝐴) 𝑡 = 𝐴 𝐵 𝑡 .$
Para $𝑎 = 2$ , resuelva la ecuación matricial $𝑋 𝐴 = 𝐵 .$

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2014

Sean las matrices $𝐵 = (- 5 0 46) y 𝐶 = (- 1 - 8 - 1 - 9 36) .$

Determine la dimensión que debe tener una matriz $𝐴$ para que se verifique la igualdad $𝐴 𝐵 = 2 𝐶 𝑡 .$
Halle la matriz $𝐴$ anterior, sabiendo que de ella se conocen los elementos $𝑎 31 = 2$ , $𝑎 12 = - 3$ y $𝑎 22 = 1 .$

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2014

Determine los valores de $𝑥$ e $𝑦$ que hacen cierta la igualdad $(2 - 1 3 - 1) (𝑥 - 𝑦) = (1 𝑥 𝑦 - 1) (30) .$
Resuelva la ecuación matricial: $𝑋 (1325) - 2 (0 - 1 - 1 0) = (12 3 - 1) .$

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2014

Se consideran las matrices $𝐴 = (21 3 - 2) y 𝐵 = (3 - 2 14) .$

Efectúe la operación $𝐴 𝐵 𝑡 .$
Determine la matriz $𝑋$ tal que $𝐴 + 2 𝑋 = 𝐵 .$
Calcule la matriz $𝑌$ sabiendo que $𝐵 𝑌 = (69) .$

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2014

Resuelva la ecuación matricial $𝐴 𝑋 = 2 (𝐶 - 𝐷 𝑡)$ , siendo $𝐴 = (0120), 𝐶 = (02 - 1 2) y 𝐷 = (1 - 1 2 - 1) .$
Si $𝐴 (0, 2)$ , $𝐵 (2, 0)$ , $𝐶 (4, 0)$ , $𝐷 (6, 3)$ y $𝐸 (3, 6)$ son los vértices de una región factible, determine, en esa región, el valor mínimo y el valor máximo de la función $𝐹 (𝑥, 𝑦) = 4 𝑥 - 3 𝑦 + 8$ e indique los puntos donde se alcanzan.

Ejercicio A1: Septiembre de 2014

Sean las matrices $𝐴 = (1 - 7 2 - 1) y 𝐵 = (10 - 5 2) .$

Calcule las matrices $𝑋$ e $𝑌$ para las que se verifica $𝑋 + 𝑌 = 𝐴 y 3 𝑋 + 𝑌 = 𝐵 .$
Halle la matriz $𝑍$ que verifica $𝐵 𝑍 + 𝐵 𝑡 = 2 𝐼 2 .$

Ejercicio A1: Junio de 2013

Sean las matrices $𝐴 = (2 - 1 𝑎 𝑏) y 𝐵 = (- 1 1 30) .$

Obtenga $𝑎$ y $𝑏$ sabiendo que $𝐴 2 = (5 - 2 - 2 1) .$ ¿Es $𝐴$ simétrica?
Para los valores $𝑎 = 3$ y $𝑏 = 1$ , calcule la matriz $𝑋$ tal que $𝐴 𝐵 = 2 (𝑋 - 3 𝐼 2) .$

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2013

Sean las matrices $𝐴 = (0110) y 𝐵 = (1231) .$

Calcule $𝐴 2$ y $𝐴 2013 .$
Resuelva la ecuación matricial $𝐴 𝑋 + 𝐼 2 = 5 𝐵 𝑡 - 𝐴 2 .$

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2013

En un problema de programación lineal, la región factible es la región acotada cuyos vértices son $𝐴 (2, - 1)$ , $𝐵 (- 1, 2)$ , $𝐶 (1, 4)$ y $𝐷 (5, 0) .$ La función objetivo es la función $𝑓 (𝑥, 𝑦) = 2 𝑥 + 3 𝑦 + 𝑘$ , cuyo valor máximo, en dicha región, es igual a 19. Calcule el valor de $𝑘$ e indique dónde se alcanza el máximo y dónde el mínimo.
Sean las matrices $𝐴 = (1 - 2 3), 𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 - 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐶 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 20 - 1 11 - 1 132 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Resuelva, si es posible, la ecuación matricial $𝐵 𝐴 + 2 𝑋 = 𝐶 .$

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2013

Se consideran las matrices $𝐴 = (3152) y 𝐵 = (2132) .$ Determine la matriz $𝑋$ que verifica $𝐵 𝑋 = 3 𝐴 + 𝐴 𝑡 .$
Calcule la matriz $𝑌$ que verifica $⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 25 1 - 5 2 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 𝑌 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 6 - 12 - 6 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2013

Sean las matrices $𝐴 = (2335), 𝐵 = (3 - 5 3 021), 𝐶 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 830 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐷 = (53) .$

Calcule $𝐴 3 .$
Determine la matriz $𝑋$ para que $𝐴 𝑋 + 𝐵 𝐶 = 𝐷 .$

Ejercicio B1: Septiembre de 2013

Sean las matrices $𝐴 = (150 - 25 35), 𝐵 = (35 - 1 4545) y 𝐶 = (10 - 1 213) .$

Resuelva la ecuación matricial $(2 𝐴 + 𝐵) 𝑋 = 3 𝐴 - 𝐵 .$
Determine en cada caso la dimensión de la matriz $𝐷$ para que se puedan realizar las siguientes operaciones: $𝐶 𝐷 + 𝐴, 𝐶 𝑡 𝐷 𝐶, 𝐷 𝐶 𝑡, 𝐶 𝐷 𝐶 𝑡 .$

Ejercicio B1: Junio de 2012

Sea la matriz $𝐴 = (1 - 1 2 - 1) .$

Resuelva la ecuación matricial $𝐴 𝑋 + 𝐴 𝑡 = 𝐼 2 .$
¿Qué requisitos mínimos debe cumplir una matriz $𝐵$ para que pueda efectuarse el producto $𝐴 𝐵$ ?
¿Y para el producto $3 𝐵 𝐴$ ?

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2012

Sean las matrices $𝐴 = (- 1 - 6 24), 𝐵 = (- 1 12 10 - 1) y 𝐶 = (𝑎 01 3 - 1 𝑏) .$

Halle los valores de $𝑎$ y $𝑏$ para que se verifique $𝐵 𝐶 𝑡 = 𝐴 .$
Resuelva la ecuación matricial $𝐴 𝑋 - 𝐴 2 = 𝐼 2 .$

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2012

Halle la matriz $𝑋$ que verifique la ecuación matricial $𝐴 2 𝑋 = 𝐴 - 𝐵 𝐶$ , siendo $𝐴$ , $𝐵$ y $𝐶$ las matrices: $𝐴 = (1102), 𝐵 = (101 - 1 14) y 𝐶 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 0 - 1 1 20 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Ejercicio A1: Junio de 2011

Sean las matrices $𝐴 = (2 - 5 1 - 3), 𝐵 = (3 - 1 2 011) y 𝐶 = (123 - 1 53) .$

Calcule $𝐴 2 - 𝐵 \cdot 𝐶 𝑡$ .
Resuelva la ecuación matricial $𝐴 \cdot 𝑋 + 𝐵 = 2 \cdot 𝐶$ .

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2011

Sean las matrices $𝐶 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 010101010 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐷 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 011101110 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Resuelva la ecuación matricial $2 \cdot 𝑋 - 𝐶 \cdot 𝐷 = (𝐼 3 + 𝐷) \cdot 𝐶$ .
Si las matrices $𝐶$ y $𝐷$ son las matrices de adyacencia de dos grafos, de vértices $𝑎, 𝑏, 𝑐$ y $1, 2, 3$ , respectivamente, haga la representación gráfica de dichos grafos.

Ejercicio B1: Septiembre de 2011

Sean las matrices $𝐴 = (010101), 𝐵 = (3 - 1 12) .$

Efectúe, si es posible, los siguientes productos: $𝐴 \cdot 𝐴 𝑡$ , $𝐴 𝑡 \cdot 𝐴$ , $𝐴 \cdot 𝐵$ .
Resuelva la ecuación matricial $𝐴 \cdot 𝐴 𝑡 \cdot 𝑋 = 𝐵$ .

Ejercicio B1: Junio de 2010

Sean las matrices $𝐴 = (2131) y 𝐵 = (12 - 1 0) .$

Calcule $𝐴 𝑡 \cdot 𝐵 - 𝐴 \cdot 𝐵 𝑡$ .
Resuelva la ecuación matricial $𝐴 𝑋 + 𝐵 𝐴 = 𝐵$ .