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Ejercicio 1: Julio de 2025

  1. Un fabricante de paneles fotovoltaicos está analizando la eficiencia de tres modelos de placas (A, B y C). En un día determinado se realizaron tres pruebas. En la primera, utilizando 2 placas del modelo A, 1 placa del modelo B y 3 placas del modelo C, se generó una potencia efectiva total de 2.960 W. En la segunda, al combinar 1 placa del modelo A, 3 placas del modelo B y 2 placas del modelo C, se obtuvo una potencia efectiva total de 2.990 W. En la tercera, una configuración con 3 placas del modelo A, 2 placas del modelo B y 1 placa del modelo C produjo una potencia efectiva total de 2.870 W. Exprese el problema en forma matricial y discuta, a partir de la matriz del sistema, si se puede obtener la potencia efectiva que generó individualmente cada modelo de placa fotovoltaica. En caso afirmativo, obtenga dichas potencias efectivas.
  2. Resuelva la ecuación matricial 2𝑋=(110−1)2⋅(41).

Resolución

  1. Llamamos 𝑥, 𝑦 y 𝑧 a la potencia efectiva que generan los modelos A, B y C, respectivamente. Planteamos el sistema de ecuaciones. ⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥+𝑦+3𝑧=2.960,𝑥+3𝑦+2𝑧=2.990,3𝑥+2𝑦+𝑧=2.870. De forma matricial, el sistema se puede escribir de la forma: ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝213132321⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⏟__⏟__⏟𝐴⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2.9602.9902.870⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Para discutir el sistema, estudiamos en primer lugar el rango de la matriz de coeficientes calculando su determinante. |𝐴|=∣213132321∣=−18≠0⇒rang⁡(𝐴)=3. Como el rango de la matriz de coeficientes es máximo, el sistema es compatible determinado. Por tanto, se puede obtener la potencia efectiva de cada modelo de placa.

    Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝2132.9601322.9903212.870⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2−3𝐹1←←←←←←←←←→𝐹3−2𝐹1⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝2132.960−50−7−5.890−10−5−3.050⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2−5𝐹1←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝2132.96000189.360−10−5−3.050⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema escalonado resultante es: ⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥+𝑦+3𝑧=2.960,18𝑧=9.360,−𝑥−5𝑧=−3.050⇔⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥+𝑦+3𝑧=2.960,18𝑧=9.360,𝑥+5𝑧=3.050⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=450,𝑦=500,𝑧=520. Por tanto, las potencias efectivas de los modelos A, B y C son 450 W, 500 W y 520 W, respectivamente.

  2. Despejamos y resolvemos la ecuación matricial. 2𝑋=(110−1)2(41)⇔𝑋=12(110−1)2(41)=12(1001)(41)=(212).

Ejercicio 1: Junio de 2024

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11−2𝑎−3𝑎−1102𝑎⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=(−132)y𝐶=(−214), siendo 𝑎 un número real.

  1. Obtenga los valores de 𝑎 para los que la matriz 𝐴 tenga inversa.
  2. Para 𝑎 =1, resuelva la ecuación 𝑋𝐴 −𝐵 =𝐶𝐴.
  3. Determine razonadamente la dimensión de la matriz 𝐷 que permita realizar la operación 𝐵𝐴+𝐷𝐶𝑡𝐵.

Resolución
  1. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣11−2𝑎−3𝑎−1102𝑎∣=𝑎(𝑎−1)−4(𝑎−3)−2−𝑎(𝑎−3)=𝑎2−𝑎−4𝑎+12−𝑎2+3𝑎=−2𝑎+10. La inversa de 𝐴 existe si y solo si su determinante es no nulo. |𝐴|=0⇔−2𝑎+10=0⇔𝑎=5. Por tanto, la matriz 𝐴 tiene inversa si 𝑎 ≠5.
  2. Si 𝑎 =1, por el apartado anterior 𝐴 es invertible con det(𝐴) =8. Despejamos la ecuación matricial. 𝑋𝐴−𝐵=𝐶𝐴⇔𝑋𝐴=𝐶𝐴+𝐵⇔𝑋=(𝐶𝐴+𝐵)𝐴−1=𝐶+𝐵𝐴−1. Para hallar la inversa de 𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−22−4−51−2132⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=18⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−2−51213−4−22⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=𝐶+𝐵𝐴−1=(−214)+18(−132)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−2−51213−4−22⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==(−214)+18(0412)=(−214)+(01232)=(−232112).
  3. Para que el producto 𝐷𝐶𝑡 se pueda realizar, es necesario que 𝐷 tenga 3 columnas. Por otro lado, para que el resultado de ese producto sea de dimensión 1 ×3, la matriz 𝐷 debe tener 1 fila. Por tanto, la matriz 𝑋 tiene dimensión 1 ×3.

Ejercicio 1: Reserva 1 de 2024

Se consideran las matrices 𝑃=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1010101−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐽=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21002000−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Halle la matriz 𝐴 que satisface la ecuación 𝑃−1𝐴𝑃 =𝐽.
  2. Compruebe que 𝐴3 =𝑃𝐽3𝑃−1.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos el determinante de 𝑃. |𝑃|=∣1010101−1−1∣=−2. Así que 𝑃 es invertible con det(𝑃) = −2. Despejamos la ecuación matricial. 𝑃−1𝐴𝑃=𝐽⇔𝐴=𝑃𝐽𝑃−1. Para hallar la inversa de 𝑃, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝑃)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−10−1−1−21−101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝑃−1=1|𝑃|Adj⁡(𝑃)𝑡=−12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1−1−10−20−111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1110201−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝐴=𝑃𝐽𝑃−1=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1010101−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21002000−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1110201−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21−10202−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1110201−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1530403−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
  2. Calculamos la matriz 𝐴3. 𝐴2=𝐴⋅𝐴=14⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1530403−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1530403−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=14⎛⎜ ⎜ ⎜⎝10226016061010⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝5113080355⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐴3=𝐴2⋅𝐴=14⎛⎜ ⎜ ⎜⎝5113080355⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1530403−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=14⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1466180320183014⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝733901609157⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por otro lado, calculamos la matriz 𝐽3. 𝐽2=𝐽⋅𝐽=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21002000−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21002000−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝440040001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐽3=𝐽2⋅𝐽=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝440040001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21002000−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝812008000−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto 𝑃𝐽3𝑃−1=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1010101−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝812008000−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1110201−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝812−1080841⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1110201−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝733901609157⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Así que 𝐴3 =𝑃𝐽3𝑃−1.

Ejercicio 1: Reserva 2 de 2024

Se consideran las matrices 𝑀=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101210111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝑁=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝322521740⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑉=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝5−𝑎2𝑎−1𝑎2⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠, siendo 𝑎 un número real.

  1. Halle el valor de 𝑎 para que se verifique que 𝑀𝑡𝑉=(515)𝑡.
  2. Calcule 𝑀−1 y resuelva la ecuación matricial 𝑋𝑀 −𝐼3 =𝑁.
  3. Razone si las operaciones 2𝑉𝑁𝑡 y (𝑁 +𝑀𝑡)𝑉 se pueden realizar y, en aquellos casos en que sea posible, indique la dimensión de la matriz resultante.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos 𝑀𝑡𝑉. 𝑀𝑡𝑉=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝121011101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝5−𝑎2𝑎−1𝑎2⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝5−𝑎2+2𝑎−2+𝑎2𝑎−1+𝑎25−𝑎2+𝑎2⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2𝑎+3𝑎2+𝑎−15⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Así que: 𝑀𝑡𝑉=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝515⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⇔⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2𝑎+3𝑎2+𝑎−15⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝515⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⇔⎧{ {⎨{ {⎩2𝑎+3=5⇔𝑎=1,𝑎2+𝑎−1=1⇔{𝑎=−2,𝑎=1. Por tanto, se verifica para 𝑎 =1.
  2. Hallamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝑀. |𝑀|=∣101210111∣=2. Como det(𝑀) ≠0, la matriz es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝑀)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−2110−1−121⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa como: 𝑀−1=1|𝑀|Adj⁡(𝑀)𝑡=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11−1−2021−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Despejamos la ecuación matricial. 𝑋𝑀−𝐼3=𝑁⇔𝑋𝑀=𝑁+𝐼3⇔𝑋=(𝑁+𝐼3)𝑀−1. Por tanto, 𝑋=(𝑁+𝐼3)𝑀−1=12⎡⎢ ⎢⎣⎛⎜ ⎜ ⎜⎝322521740⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜⎝100010001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎤⎥ ⎥⎦⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11−1−2021−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝422531741⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11−1−2021−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝222042062⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝111021031⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
    • 𝑉 es de dimensión 3 ×1 y 𝑁𝑡 es 3 ×3, así que el producto no se puede realizar.
    • 𝑁 y 𝑀𝑡 son matrices cuadradas de orden 3, por lo que se pueden sumar y 𝑁 +𝑀𝑡 es también una matriz cuadrada de orden 3. Por otro lado, como 𝑉 es de dimensión 3 ×1, se pueden multiplicar y da como resultado una matriz de dimensión 3 ×1.

Ejercicio 1: Reserva 3 de 2024

Se consideran las matrices 𝐴=(1−11−210),𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝0−110−12⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝132111031⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Resuelva la siguiente ecuación 𝐴𝐵𝑋𝐶=(100010).
  2. Halle las dimensiones de las matrices 𝐷 y 𝐸 para que tenga sentido la igualdad 𝐴𝐷 =𝐸𝐵.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos la matriz 𝐴𝐵. 𝐴𝐵=(1−11−210)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝0−110−12⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=(−2112).
    • Calculamos el determinante de 𝐴𝐵. |𝐴𝐵|=∣−2112∣=−5≠0. Así que 𝐴𝐵 es invertible con det(𝐴𝐵) = −5.
    • Calculamos el determinante de 𝐶. |𝐶|=∣132111031∣=1≠0. Así que 𝐶 es invertible con det(𝐶) =1.
    Despejamos la ecuación matricial. 𝐴𝐵𝑋𝐶=(100010)⇔𝑋=(𝐴𝐵)−1(100010)𝐶−1.
    • Para hallar la inversa de 𝐴𝐵, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴𝐵)=(2−1−1−2). Calculamos su inversa de la forma: (𝐴𝐵)−1=1|𝐴𝐵|Adj⁡(𝐴𝐵)𝑡=−15(2−1−1−2)=15(−2112).
    • Para hallar la inversa de 𝐶, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐶)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−2−1331−311−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa de la forma: 𝐶−1=1|𝐶|Adj⁡(𝐶)𝑡=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−231−1113−3−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
    Por tanto, 𝑋=(𝐴𝐵)−1(100010)𝐶−1=15(−2112)(100010)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−231−1113−3−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==15(−210120)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−231−1113−3−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=15(3−5−1−453).
  2. Llamamos 𝑚 ×𝑛 a la dimensión de 𝐷 y 𝑝 ×𝑞 a la de 𝐸. Como la matriz 𝐴 es de dimensión 2 ×3, 𝐷 debe tener 3 filas para poder multiplicarse con ella y el producto 𝐴𝐷 tiene dimensión 2 ×𝑛. Por otro lado, como 𝐵 es de dimensión 3 ×2, 𝐸 debe tener 3 columnas para poder multiplicarse y el producto 𝐸𝐵 tiene dimensión 𝑝 ×2. Por último, para que se cumpla la igualdad se tiene que verificar que 𝑛 =2 y 𝑝 =2. Por tanto, 𝐷 tiene dimensión 3 ×2 y 𝐸 dimensión 2 ×3.

Ejercicio 1: Julio de 2024

Dada la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1200−12−201⎞⎟ ⎟ ⎟⎠, resuelva la ecuación 𝐴2𝑋 +𝐴4 =𝐴.

Resolución

En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣1200−12−201∣=−9. Así que 𝐴 es invertible con det(𝐴) = −9.

Despejamos la ecuación matricial. 𝐴2𝑋+𝐴4=𝐴⇔𝐴2𝑋=𝐴−𝐴4⇔𝑋=𝐴−2(𝐴−𝐴4)=𝐴−1−𝐴2.

Por un lado, calculamos 𝐴2=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1200−12−201⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1200−12−201⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝104−410−4−41⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Por otro lado, para hallar la inversa de 𝐴 calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1−4−2−21−44−2−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=−19⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1−24−41−2−2−4−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=19⎛⎜ ⎜ ⎜⎝12−44−12241⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Por último, calculamos la matriz 𝑋 operando. 𝑋=𝐴−1−𝐴2=19⎛⎜ ⎜ ⎜⎝12−44−12241⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝104−410−4−41⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−8929−409409−10929389409−89⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠=29⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−41−2020−511920−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 2: Junio de 2023

Dadas las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎100𝑎2011⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=(2−1𝑎−1)y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−11−120⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcule los valores del parámetro 𝑎 para los que tanto 𝐴 como 𝐵 admitan inversa.
  2. Para 𝑎 =1, halle una matriz 𝑋 que satisfaga 𝐴𝑋𝐵 =𝐶.

Resolución
  1. Calculamos en primer lugar los determinantes de las matrices 𝐴 y 𝐵. |𝐴|=∣𝑎100𝑎2011∣=𝑎2−2𝑎,|𝐵|=∣2−1𝑎−1∣=−2+𝑎. La inversa de una matriz existe si y solo si su determinante es no nulo. |𝐴|=0⇔𝑎2−2𝑎=0⇔𝑎(𝑎−2)=0⇔{𝑎=0,𝑎−2=0⇔𝑎=2,|𝐵|=0⇔−2+𝑎=0⇔𝑎=2. Así que la matriz 𝐴 tiene inversa si 𝑎 ≠0 y 𝑎 ≠2, mientras que 𝐵 tiene inversa si 𝑎 ≠2. Por tanto, 𝐴 y 𝐵 admiten inversa si 𝑎 ≠0 y 𝑎 ≠2.
  2. Si 𝑎 =1, por el apartado anterior 𝐴 y 𝐵 son invertibles con det(𝐴) = −1 y det(𝐵) = −1. Resolvemos la ecuación matricial. 𝐴𝑋𝐵=𝐶⇔𝑋=𝐴−1𝐶𝐵−1. Para hallar la inversa de 𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−100−11−12−21⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11−20−1201−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Repetimos el mismo procedimiento para hallar la inversa de 𝐵. Calculamos su matriz adjunta: Adj⁡(𝐵)=(−1−112). Calculamos su inversa como 𝐵−1=1|𝐵|Adj⁡(𝐵)𝑡=(1−11−2). Por último, calculamos la matriz 𝑋 operando. 𝑋=𝐴−1𝐶𝐵−1=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11−20−1201−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−11−120⎞⎟ ⎟ ⎟⎠(1−11−2)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1−231−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠(1−11−2)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−354−5−23⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 1: Reserva 1 de 2023

  1. Un agricultor vende la producción de tres tipos de uva, Tempranillo, Garnacha y Macabeo, de dos de sus fincas. La matriz 𝑄=(50403506055) recoge la producción, en miles de kilogramos, de estos tipos de uva en cada finca. El precio de venta por kilogramos, en céntimos de euro, según el tipo de uva y la finca, viene dado por la matriz 𝑃=(403842343740). Calcule el producto 𝑄𝑃𝑡 y explique el significado económico de los elementos de la diagonal principal del resultado. Indique también la cantidad total de dinero que ha obtenido el agricultor por la venta de la cosecha de las dos fincas.
  2. Dada la siguiente ecuación matricial 𝑀𝑋 +𝑁 =𝑉:
    1. Suponiendo que 𝑀 sea invertible, despeje la matriz 𝑋 en la ecuación anterior.
    2. Para 𝑀=(1011),𝑁=(5432)y𝑉=(8765), calcule la matriz 𝑋.

Resolución
  1. Calculamos el producto. 𝑄𝑃𝑡=(50403506055)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝403438374240⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=(4.9904.5804.5904.420). Los elementos de la diagonal principal representan el dinero en miles de céntimos ganado por la venta en cada finca. Es decir, en la primera finca consigue 49.900€ y en la segunda 44.200€. La cantidad total de dinero que obtiene es 49.900+44.200=94.100€.
    1. Resolvemos la ecuación matricial suponiendo que 𝑀 es invertible. 𝑀𝑋+𝑁=𝑉⇔𝑀𝑋=𝑉−𝑁⇔𝑋=𝑀−1(𝑉−𝑁).
    2. Comprobemos en primer lugar que la matriz 𝑀 es invertible. Calculamos su determinante. |𝑀|=∣1011∣=1. Como det(𝑀) ≠0, la matriz 𝑀 es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝑀)=(1−101). Ahora podemos calcular su inversa como 𝑀−1=1|𝑀|Adj⁡(𝑀)−1=(10−11). Por último, calculamos la matriz 𝑋 operando. 𝑋=𝑀−1(𝑉−𝑁)=(10−11)⋅((8765)−(5432))=(10−11)(3333)=(3300).

Ejercicio 2: Reserva 3 de 2023

  1. Se considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−100𝑚−21𝑚4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
    1. Obtenga para qué valores de 𝑚 la matriz 𝐴 tiene inversa.
    2. Calcule, en caso de existir, la inversa de 𝐴 para 𝑚 =1.
  2. Despeje y simplifique 𝑋 en la ecuación 𝑋𝐵 −𝐵2 +𝐵 =0, sabiendo que la matriz 𝐵 es invertible.

Resolución
    1. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣1−100𝑚−21𝑚4∣=4𝑚+2+2𝑚=6𝑚+2. La inversa de 𝐴 existe si y solo si su determinante es no nulo. |𝐴|=0⇔6𝑚+2=0⇔𝑚=−13. Por tanto, la matriz 𝐴 tiene inversa si 𝑚 ≠ −13.
    2. Si 𝑚 =1, por el apartado anterior 𝐴 es invertible con det(𝐴) =8. Para hallar la inversa de 𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝6−2−144−2221⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=18⎛⎜ ⎜ ⎜⎝642−242−1−21⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
  2. Despejamos 𝑋 en la ecuación matricial. 𝑋𝐵−𝐵2+𝐵=0⇔(𝑋−𝐵+𝐼)𝐵=0⇔𝑋−𝐵+𝐼=0⇔𝑋=𝐵+𝐼.

Ejercicio 1: Julio de 2023

Se considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1000200−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Pruebe que se verifica que 𝐴−1 =12(𝐴2 −4𝐴 +5𝐼3).
  2. Dada la ecuación matricial 𝑋𝑡𝐴=(1203−11), determine la dimensión de 𝑋 y resuelva la ecuación.

Resolución
  1. Comprobemos en primer lugar que la matriz 𝐴 es invertible. Calculamos su determinante. |𝐴|=∣1000200−11∣=2. Como det(𝐴) ≠0, la matriz 𝐴 es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝200011002⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝200010012⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por otro lado, calculamos 𝐴2−4𝐴+5𝐼3=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1000200−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1000200−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝4000800−44⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜⎝500050005⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1000400−31⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝4000800−44⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜⎝500050005⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝200010012⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝐴−1=12(𝐴2−4𝐴+5𝐼3).
  2. Para que el producto 𝑋𝑡𝐴 se pueda realizar, es necesario que 𝑋𝑡 tenga 3 columnas. Así que 𝑋 tiene 3 filas. Por otro lado, para que el resultado de dicho producto sea de tamaño 2 ×3, la matriz 𝑋𝑡 debe tener 2 filas. Luego 𝑋 tiene 2 columnas. Por tanto, la matriz 𝑋 es de tamaño 3 ×2.
    Resolvemos la ecuación matricial. 𝑋𝑡𝐴=(1203−11)⇔𝑋𝑡=(1203−11)𝐴−1=12(1203−11)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝200010012⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=(110301). Por tanto, 𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝131001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 2: Junio de 2022

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎100𝑎1341⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=(2−10)y𝐶=(13−1), donde 𝑎 es un número real.

  1. Halle los valores del parámetro 𝑎 para que la matriz 𝐴 tenga inversa.
  2. Para 𝑎 =2, calcule la matriz inversa de 𝐴.
  3. Para 𝑎 =2, resuelva la ecuación matricial 𝑋𝐴 +𝐼3 =𝐵𝑡𝐶.

Resolución
  1. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣𝑎100𝑎1341∣=𝑎2+3−4𝑎=𝑎2−4𝑎+3. La inversa de 𝐴 existe si y solo si su determinante es no nulo. |𝐴|=0⇔𝑎2−4𝑎+3=0⇔{𝑎=1,𝑎=3. Por tanto, la matriz 𝐴 tiene inversa si 𝑎 ≠1 y 𝑎 ≠3.
  2. Si 𝑎 =2, por el apartado anterior 𝐴 es invertible con det(𝐴) = −1. Para hallar la inversa de 𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−23−6−12−51−24⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−2−1132−2−6−54⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21−1−3−2265−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
  3. Resolvemos la ecuación matricial. 𝑋𝐴+𝐼3=𝐵𝑡𝐶⇔𝑋𝐴=𝐵𝑡𝐶−𝐼3⇔𝑋=(𝐵𝑡𝐶−𝐼3)𝐴−1. Calculamos la matriz 𝑋 operando. 𝑋=(𝐵𝑡𝐶−𝐼3)𝐴−1=⎡⎢ ⎢⎣⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−10⎞⎟ ⎟ ⎟⎠(13−1)−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝100010001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎤⎥ ⎥⎦⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21−1−3−2265−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==⎡⎢ ⎢⎣⎛⎜ ⎜ ⎜⎝26−2−1−31000⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝100010001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎤⎥ ⎥⎦⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21−1−3−2265−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==⎛⎜ ⎜ ⎜⎝16−2−1−4100−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21−1−3−2265−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−28−21191612−11−6−54⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 1: Reserva 1 de 2022

Considere la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−3−𝑎−1−1𝑎𝑎+11−3−𝑎⎞⎟ ⎟ ⎟⎠, donde 𝑎 es un número real. Determine de manera justificada:

  1. Los valores de 𝑎 para los que la matriz 𝐴 tiene inversa.
  2. Las matrices 𝐴2, 𝐴3 y 𝐴2022 para 𝑎 =4.
  3. La matriz 𝑋 que verifica que 𝑋𝐴 =𝐼3 para 𝑎 =3.

Resolución
  1. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣2−3−𝑎−1−1𝑎𝑎+11−3−𝑎∣=−2𝑎2−3(𝑎+1)−3(𝑎+1)+𝑎(𝑎+1)+3𝑎+6(𝑎+1)=−𝑎2+4𝑎. La inversa de 𝐴 existe si y solo si su determinante es no nulo. |𝐴|=0⇔−𝑎2+4𝑎=0⇔𝑎(−𝑎+4)=0⇔{𝑎=0,−𝑎+4=0⇔𝑎=4. Por tanto, la matriz 𝐴 tiene inversa si 𝑎 ≠0 y 𝑎 ≠4.
  2. Si 𝑎 =4, 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−3−5−1451−3−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos la matriz 𝐴2. 𝐴2=𝐴⋅𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−3−5−1451−3−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−3−5−1451−3−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−3−5−1451−3−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=𝐴. Como 𝐴2 =𝐴, 𝐴3=𝐴2⋅𝐴=𝐴⋅𝐴=𝐴. En general, 𝐴𝑛 =𝐴. Por tanto, 𝐴2022=𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−3−5−1451−3−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
  3. Si 𝑎 =3, por el primer apartado 𝐴 es invertible y det(𝐴) =3. Resolvemos la ecuación matricial. 𝑋𝐴=𝐼3⇔𝑋=𝐴−1. Para hallar la inversa de 𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3103−230−43⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3301−2−4033⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=𝐴−1=13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3301−2−4033⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 2: Reserva 2 de 2022

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎208𝑎000𝑎⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−210⎞⎟ ⎟ ⎟⎠, donde 𝑎 es un número real.

  1. Determine los valores de 𝑎 para que la matriz 𝐴 sea no invertible.
  2. Para 𝑎 =5, calcule la inversa de la matriz 𝐴.
  3. Para 𝑎 =5, resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 =𝐵.

Resolución
  1. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣𝑎208𝑎000𝑎∣=𝑎3−16𝑎. La inversa de 𝐴 existe si y solo si su determinante es no nulo. |𝐴|=0⇔𝑎3−16𝑎=0⇔𝑎(𝑎2−16)=0⇔{𝑎=0,𝑎2−16=0⇔𝑎2=16⇔𝑎=±4. Por tanto, la matriz 𝐴 es no invertible si 𝑎 = −4, 𝑎 =0 o 𝑎 =4.
  2. Si 𝑎 =5, por el apartado anterior 𝐴 es invertible con det(𝐴) =45. Para hallar la inversa de 𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝25−400−10250009⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=145⎛⎜ ⎜ ⎜⎝25−100−40250009⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
  3. Despejamos 𝑋 en la ecuación matricial y resolvemos. 𝐴𝑋=𝐵⇔𝑋=𝐴−1𝐵=145⎛⎜ ⎜ ⎜⎝25−100−40250009⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−210⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=145⎛⎜ ⎜ ⎜⎝45−9090⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−22⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 1: Reserva 3 de 2022

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101−1−112−10⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−11−1−1−11−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3−7−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Razone si se pueden efectuar las siguientes operaciones y realice las que sean posibles: 𝐶𝐴,𝐴+𝐵,𝐶𝑡𝐵𝑡.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 =𝐵𝑋 +𝐶.

Resolución
    • 𝐶 es de dimensión 3 ×1 y 𝐴 es 3 ×3, así que el producto 𝐶𝐴 no se puede efectuar.
    • 𝐴 y 𝐵 son matrices cuadradas de orden 3, así que se pueden sumar. 𝐴+𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101−1−112−10⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−11−1−1−11−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−12−2−203−21⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
    • 𝐶𝑡 es de dimensión 1 ×3 y 𝐵𝑡 es 3 ×3, así que se pueden multiplicar. 𝐶𝑡⋅𝐵𝑡=(3−7−2)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−11−1−1−11−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=(868).
  2. Despejamos la ecuación matricial. 𝐴𝑋=𝐵𝑋+𝐶⇔𝐴𝑋−𝐵𝑋=𝐶⇔(𝐴−𝐵)𝑋=𝐶⇔𝑋=(𝐴−𝐵)−1𝐶. En primer lugar, calculamos la matriz 𝐴 −𝐵 y hallamos su determinante. 𝐴−𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101−1−112−10⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−11−1−1−11−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝01000210−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⇒|𝐴−𝐵|=∣01000210−1∣=2. Como det(𝐴 −𝐵) ≠0, la matriz 𝐴 −𝐵 es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴−𝐵)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝020101200⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa como (𝐴−𝐵)−1=1|𝐴−𝐵|Adj⁡(𝐴−𝐵)𝑡=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝012200010⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=(𝐴−𝐵)−1𝐶=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝012200010⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3−7−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−116−7⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 2: Reserva 4 de 2022

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝7−6−2314−50−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝223534−401⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐶=(12−1−2−30)y𝐷=(𝑎20−11−1𝑎).

  1. Resuelva la siguiente ecuación matricial: 𝐴𝑡 −𝑋𝐴 =3𝐼3.
  2. ¿Existe algún valor del parámetro 𝑎 para el que se verifique 𝐶𝑡𝐷 =𝐵? En caso afirmativo, calcule dicho valor.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣7−6−2314−50−4∣=10. Así que 𝐴 es invertible con det(𝐴) =10. Despejamos la ecuación matricial. 𝐴𝑡−𝑋𝐴=3𝐼3⇔𝑋𝐴=𝐴𝑡−3𝐼3⇔𝑋=(𝐴𝑡−3𝐼3)𝐴−1. Para hallar la inversa de 𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−4−85−24−3830−22−3425⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=110⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−4−24−22−8−38−2453025⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por último, calculamos la matriz 𝑋 operando. 𝑋=(𝐴𝑡−3𝐼3)𝐴−1=110⎡⎢ ⎢⎣⎛⎜ ⎜ ⎜⎝73−5−610−24−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝300030003⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎤⎥ ⎥⎦⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−4−24−22−8−38−2453025⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==110⎛⎜ ⎜ ⎜⎝43−5−6−20−24−7⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−4−24−22−8−38−2453025⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=110⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−65−360−31540220200−59−314−297⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
  2. Veamos cuándo 𝐶𝑡𝐷 =𝐵. 𝐶𝑡𝐷=𝐵⇔⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−22−3−10⎞⎟ ⎟ ⎟⎠(𝑎20−11−1𝑎)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝223534−401⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⇔⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎2−22−1−2𝑎2𝑎2−33−2−3𝑎−𝑎201⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝223534−401⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Igualando los elementos de las matrices, obtenemos el sistema ⎧{ { { {⎨{ { { {⎩𝑎2−2=2⇒𝑎=±2,−1−2𝑎=3⇒𝑎=−2,2𝑎2−3=5⇒𝑎=±2,−2−3𝑎=4⇒𝑎=−2,−𝑎2=−4⇒𝑎=±2. Por tanto, 𝑎 = −2.

Ejercicio 1: Julio de 2022

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝112−2010−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−213102⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝12−1−1−23⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Determine la matriz 𝑋 que verifica 𝐴𝑋 +𝐵 =𝐴2𝐶.
  2. Determine las dimensiones de dos matrices 𝑃 y 𝑄 sabiendo que 𝐴𝑃𝑡+𝐶=𝐶(𝑄𝐵).

Resolución
  1. Comprobamos en primer lugar que la matriz 𝐴 es invertible. |𝐴|=∣112−2010−1−1∣=4−2+1=3≠0. Por tanto, 𝐴 es invertible. Resolvemos la ecuación matricial. 𝐴𝑋+𝐵=𝐴2𝐶⇔𝐴𝑋=𝐴2𝐶−𝐵⇔𝑋=𝐴−1(𝐴2𝐶−𝐵)=𝐴𝐶−𝐴−1𝐵. Para hallar la inversa de 𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−22−1−111−52⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−11−2−1−5212⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por último, calculamos la matriz 𝑋 operando. 𝑋=𝐴𝐶−𝐴−1𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝112−2010−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝12−1−1−23⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−11−2−1−5212⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−213102⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−47−4−13−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−521−13−17⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−73193−133103103−133⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠.
    • 𝐶 es de dimensión 3 ×2, así que 𝐴𝑃𝑡 debe tener la misma dimensión para poder sumarse con ella. Como 𝐴 es 3 ×3, 𝑃𝑡 debe tener 3 filas para poder multiplicarse y 2 columnas para dar como resultado una matriz de dimensión 3 ×2. Por tanto, 𝑃 es de dimensión 2 ×3.
    • 𝐵 y 𝐶 son de dimensión 3 ×2, así que 𝑄 debe tener 2 filas y 3 columnas para poder multiplicarse con ellas. Por tanto, 𝑄 es de dimensión 2 ×3. Observamos que entonces el producto 𝐶(𝑄𝐵) es de dimensión 3 ×2, por lo que coincide con el otro lado de la igualdad.

Ejercicio 2: Junio de 2021

Se considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−1𝑚02−3𝑚11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠, con 𝑚 un parámetro real.

  1. ¿Para qué valores del parámetro 𝑚 existe la matriz inversa de 𝐴?
  2. Para 𝑚 =2, resuelva la ecuación matricial 𝑋𝐴 −𝐴2 =𝐼3.

Resolución
  1. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣1−1𝑚02−3𝑚11∣=2+3𝑚−2𝑚2+3=−2𝑚2+3𝑚+5. La matriz inversa de 𝐴 existe si y solo si su determinante es no nulo. |𝐴|=0⇔−2𝑚2+3𝑚+5=0⇔{𝑚=−1,𝑚=52. Por tanto, la matriz 𝐴 tiene inversa si 𝑚 ≠ −1 y 𝑚 ≠52.
  2. Si 𝑚 =2, por el apartado anterior 𝐴 es invertible con det(𝐴) =3. Despejamos la ecuación matricial. 𝑋𝐴−𝐴2=𝐼3⇔𝑋𝐴=𝐼3+𝐴2⇔𝑋=(𝐼3+𝐴2)𝐴−1=𝐴−1+𝐴. Para hallar la inversa de 𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝5−6−43−3−3−132⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝53−1−6−33−4−32⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=𝐴−1+𝐴=13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝53−1−6−33−4−32⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−1202−3211⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝53−1−6−33−4−32⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3−3606−9633⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝805−63−6205⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 2: Reserva 1 de 2021

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101010101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝10211−1210⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−31⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcule 𝐴2, 𝐴3, 𝐴4 y deduzca la expresión de 𝐴𝑛, con 𝑛 un número natural.
  2. Razone si existe la inversa de la matriz 𝐵.
  3. Razone si la ecuación matricial 𝐵𝑋 =𝐶 tiene solución y resuélvala en caso de que sea posible.

Resolución
  1. Calculamos las primeras potencias de 𝐴. 𝐴2=𝐴⋅𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101010101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101010101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝202010202⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐴3=𝐴2⋅𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝202010202⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101010101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝404010404⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐴4=𝐴3⋅𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝404010404⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101010101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝808010808⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝐴𝑛=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝2𝑛−102𝑛−10102𝑛−102𝑛−1⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠.
  2. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐵. |𝐵|=∣10211−1210∣=−1. Como det(𝐵) ≠0, la matriz 𝐵 es invertible.
  3. Por el apartado anterior, 𝐵 es invertible con det(𝐵) = −1. Despejamos la ecuación matricial. 𝐵𝑋=𝐶⇔𝑋=𝐵−1𝐶. Para hallar la inversa de 𝐵, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐵)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−2−12−4−1−231⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa de la forma: 𝐵−1=1|𝐵|Adj⁡(𝐵)𝑡=−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝12−2−2−43−1−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1−2224−311−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=𝐵−1𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1−2224−311−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−31⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝7−13−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 2: Reserva 2 de 2021

Se consideran las matrices 𝐴=(𝑎468),𝐵=(2233)y𝐶=(12).

  1. Calcule el valor del parámetro 𝑎 para que la matriz 𝐴 no tenga inversa.
  2. Para 𝑎 =3, resuelva la ecuación matricial 𝑋𝐴 −𝑋𝐵 =𝐶.
  3. Para 𝑎 =3, compruebe que 𝐴2 =11𝐴 y exprese 𝐴8 en función de la matriz 𝐴.

Resolución
  1. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣𝑎468∣=8𝑎−24. La inversa de 𝐴 existe si y solo si su determinante es no nulo. Observamos que: |𝐴|=0⇔8𝑎−24=0⇔𝑎=3. Por tanto, 𝐴 no tiene inversa cuando 𝑎 =3.
  2. Despejamos la ecuación matricial. 𝑋𝐴−𝑋𝐵=𝐶⇔𝑋(𝐴−𝐵)=𝐶⇔𝑋=𝐶(𝐴−𝐵)−1. En primer lugar, calculamos la matriz 𝐴 −𝐵 y hallamos su determinante. 𝐴−𝐵=(3468)−(2233)=(1235)⇒|𝐴−𝐵|=∣1235∣=−1. Como det(𝐴 −𝐵) ≠0, la matriz 𝐴 −𝐵 es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴−𝐵)=(5−3−21). Calculamos su inversa de la forma: (𝐴−𝐵)−1=1|𝐴−𝐵|Adj⁡(𝐴−𝐵)𝑡=−(5−2−31)=(−523−1). Por tanto, 𝑋=𝐶(𝐴−𝐵)−1=(12)(−523−1)=(10).
  3. Calculamos la matriz 𝐴2: 𝐴2=𝐴⋅𝐴=(3468)(3468)=(33446688)=11𝐴. Por tanto, 𝐴8=(𝐴2)4=(11𝐴)4=114𝐴4=114⋅(𝐴2)2=114⋅(11𝐴)2=114⋅112𝐴2=116⋅11𝐴=117𝐴.

Ejercicio 2: Reserva 3 de 2021

Se considera la ecuación matricial (10𝐼3 −𝐴)𝑋 =𝐵, donde 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝210420225⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ y 𝐵 es una matriz con tres filas y una columna.

  1. Razone qué dimensión ha de tener la matriz 𝑋.
  2. ¿Tiene solución la ecuación matricial anterior para cualquier matriz 𝐵 de orden 3 ×1? ¿Por qué?
  3. Resuelva dicha ecuación matricial si 𝐵 =(520−3)𝑡.

Resolución
  1. Las matrices 𝐼3 y 𝐴 son cuadradas de orden 3, así que 10𝐼3 −𝐴 es también una matriz cuadrada de orden 3. Para que el producto (10𝐼3 −𝐴)𝑋 se pueda realizar, es necesario que 𝑋 tenga 3 filas. Por otro lado, para que el resultado de ese producto sea de dimensión 3 ×1, la matriz 𝑋 debe tener 1 columna. Por tanto, la matriz 𝑋 tiene dimensión 3 ×1.
  2. En primer lugar, hallamos la matriz 10𝐼3 −𝐴. 10𝐼3−𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝100001000010⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝210420225⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝8−10−480−2−25⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Comprobamos si la matriz (10𝐼3 −𝐴) es invertible. |10𝐼3−𝐴|=∣8−10−480−2−25∣=300. Como det(10𝐼3 −𝐴) ≠0, la matriz es invertible. Despejamos la ecuación matricial. (10𝐼3−𝐴)𝑋=𝐵⇔𝑋=(10𝐼3−𝐴)−1𝐵. Por tanto, la ecuación tiene solución para cualquier matriz 𝐵 de tamaño 3 ×1.
  3. Para hallar la inversa de 10𝐼3 −𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(10𝐼3−𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝8−10−480−2−25⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa de la forma: (10𝐼3−𝐴)−1=1|10𝐼3−𝐴|Adj⁡(10𝐼3−𝐴)𝑡=1300⎛⎜ ⎜ ⎜⎝8−4−2−18−2005⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=(10𝐼3−𝐴)−1𝐵=1300⎛⎜ ⎜ ⎜⎝8−4−2−18−2005⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝520−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=1300⎛⎜ ⎜ ⎜⎝300900300⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝131⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 1: Reserva 4 de 2021

Se considera la matriz 𝐴=(10−11).

  1. Calcule 𝐴40 y (𝐴𝑡)30.
  2. Calcule (𝐴−1 +𝐴)2.
  3. Resuelva la ecuación matricial (𝐴𝑡 +𝐼2)𝑋 =𝐴𝑡 −𝐼2.

Ejercicio 1: Julio de 2021

Se considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21010202𝑎⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Determine para qué valores del parámetro 𝑎, la matriz 𝐴 tiene inversa.
  2. Para 𝑎 =1, calcule la inversa de 𝐴.
  3. Para 𝑎 =1, resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 =𝐵𝑡, siendo 𝐵 =(01−1).

Resolución
  1. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣21010202𝑎∣=−8−𝑎. La inversa de 𝐴 existe si y solo si su determinante es no nulo. |𝐴|=0⇔−8−𝑎=0⇔𝑎=−8. Por tanto, la matriz 𝐴 tiene inversa si 𝑎 ≠ −8.
  2. Si 𝑎 =1, por el apartado anterior 𝐴 es invertible con det(𝐴) = −9. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−4−12−12−42−4−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=−19⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−4−12−12−42−4−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=19⎛⎜ ⎜ ⎜⎝41−21−24−241⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
  3. Despejamos la ecuación matricial y resolvemos. 𝐴𝑋=𝐵𝑡⇔𝑋=𝐴−1𝐵𝑡=19⎛⎜ ⎜ ⎜⎝41−21−24−241⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝01−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=19⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3−63⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−21⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 1: Julio de 2020

Sean 𝐴, 𝐵, 𝑋 e 𝑌 matrices invertibles que verifican 𝐴𝑋 =𝐵 y 𝐵𝑌 =𝐴.

  1. Compruebe que 𝑌−1 =𝑋.
  2. Para 𝐴=(1213)y𝐵=(210−1), halle 𝑋 e 𝑌.

Ejercicio 2: Reserva 1 de 2020

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21−1𝑎−1−130−2𝑎⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−1201−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Determine para qué valores de 𝑎 tiene inversa la matriz 𝐴.
  2. Para 𝑎 =2, calcule la matriz inversa de 𝐴.
  3. Para 𝑎 =0, resuelva la ecuación matricial 𝑋𝐴−1 −𝐵𝐵𝑡 =𝐼3.

Ejercicio 2: Reserva 2 de 2020

Se consideran las matrices 𝐴=(10−2𝑎10),𝐵=𝐴𝐴𝑡y𝐶=(1−210), siendo 𝑎 un parámetro real.

  1. ¿Para qué valores del parámetro 𝑎 existe la inversa de la matriz 𝐵?
  2. Para 𝑎 =1, calcule la inversa de la matriz 𝐵.
  3. Para 𝑎 =1, resuelva la ecuación matricial 𝐵𝑡𝑋 +9𝐶 =𝑂.

Ejercicio 1: Reserva 4 de 2020

Dada la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝20𝑚111𝑚35⎞⎟ ⎟ ⎟⎠, con 𝑚 un parámetro real, se pide:

  1. ¿Para qué valores del parámetro 𝑚 tiene inversa la matriz 𝐴?
  2. Para 𝑚 =0, resuelva la ecuación matricial 𝑋𝐴 =𝐴𝐴𝑡.

Ejercicio B1: Junio de 2019

Se considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−20−22−1011⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Razone si la matriz 𝐴 es simétrica.
  2. Calcule 𝐴−1.
  3. Resuelva la ecuación matricial 2𝑋𝐴 −𝐴2 −3𝐼3 =0.

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2019

Se consideran las matrices: 𝐴=(3−1−61),𝐵=(20−22),𝐶=(31)y𝐷=(−22).

  1. Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y efectúelas cuando sea posible: 𝐴+𝐵𝐶,𝐴𝐶+𝐵𝐷𝑡,𝐵2+𝐶𝐷,𝐴+𝐷𝐶.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝑋(𝐴 +𝐼2) =3𝐵𝑡.

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2019

Se consideran las matrices 𝐴=(−125−1412),𝐵=(1−121)y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝10−10−11−110⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Resuelva la ecuación matricial 𝐴4𝑋 =𝐵2 +𝐼2.
  2. ¿Tiene inversa la matriz 𝐶? Justifique la respuesta.

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2019

  1. Se considera el recinto cuadrado de vértices (1,0), (0,1), ( −1,0) y (0,1). Indique en qué puntos del recinto se alcanzan el valor máximo de la función 𝐹(𝑥,𝑦) =3𝑥 +2𝑦 +7 y el valor mínimo de la función 𝐺(𝑥,𝑦) =𝑥 +𝑦 +6, calculando dichos valores.
  2. Resuelva la ecuación matricial (𝐴 −𝐴𝑡)𝑋 =𝐵, siendo 𝐴 y 𝐵 las matrices 𝐴=(5−231)y𝐵=(−132−1).

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2019

Se consideran las matrices 𝐴=(01−12−10),𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝20−2101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=(122−3).

  1. ¿Tiene inversa la matriz 𝐴𝐵 −𝐶? Justifique la respuesta y, en caso afirmativo, calcule (𝐴𝐵 −𝐶)−1.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝐵𝑋 −𝐶𝑋 =𝐶𝑡.

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2019

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11312−11−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝230⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Justifique que la matriz 𝐴 tiene inversa y calcule 𝐴−1.
  2. Calcule, si existe, la matriz 𝑋 que satisface la ecuación matricial 𝐴𝑋 =𝐵.

Ejercicio A1: Septiembre de 2019

Se consideran las matrices 𝐴=(10−2−110),𝐵=(1−3−20)y𝐶=(7−1216−1712).

  1. Justifique cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas:
    1. 𝐴𝐴𝑡 es una matriz simétrica.
    2. 𝐴𝐴𝑡 +𝐵 posee inversa.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐵𝑋 +𝐴 =𝐶.

Ejercicio B1: Junio de 2018

Se consideran las matrices 𝐴=(−1012)y𝐵=(210−1).

  1. ¿Se verifica la igualdad (𝐴 +𝐵)2 =𝐴2 +𝐵2 +2𝐴𝐵?
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝑋𝐴 =2𝐵𝑡 +𝐼2.

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2018

Sean las matrices 𝐴=(6024),𝐵=(−46)y𝐶=(−2−2).

  1. Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y efectúelas cuando sea posible: 𝐵+2𝐶𝐴,𝐴−(𝐵𝐶)𝑡.
  2. Resuelva la siguiente ecuación matricial: 15(𝐵 +𝐴𝑋) =𝐶𝑡.

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2018

Se consideran las matrices 𝐴=(−12−34),𝐵=(−121302)y𝐶=(3012−1−1).

  1. Razone qué dimensiones deben tener las matrices 𝑃 y 𝑄 para que los productos 𝐴𝑃𝐵𝑡 y 𝑄𝐴𝐶 den coomo resultado una matriz cuadrada.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 −2𝐵𝐶𝑡 =𝐴2.

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2018

  1. Resuelva el sistema de ecuaciones matriciales: ⎧{ { {⎨{ { {⎩2𝐴−5𝐵=(7278),3𝐴−𝐵=(434−1).
  2. Dadas las matrices 𝐶=(3−211)y𝐷=(01−12), resuelva la ecuación matricial 𝑋𝐶 −𝐷2 =𝐼2.

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2018

  1. Resuelva la ecuación matricial (231−5)𝑋=(110−1)2(41).
  2. Si 𝐴 es una matriz con tres filas y dos columnas, determine razonadamente la dimensión que deben tener las matrices 𝐵, 𝐶 y 𝐷 para que se puedan efectuar las siguientes operaciones: 2𝐴−3𝐵,𝐴𝐴𝑡−𝐶2,𝐴𝐷.

Ejercicio B1: Septiembre de 2018

Sean las matrices 𝐴=(101−1)y𝐵=(10−1210).

  1. Calcule 𝐴2018 +𝐴2019.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝑋𝐴 +𝐵𝐵𝑡 =2𝐴.

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2017

Sean las matrices 𝐴=(1−1001−1),𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝10012−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=(113−2).

  1. Razone cuáles de las siguientes operaciones son posibles: 𝐴𝐵𝑡,𝐵+3𝐶,𝐶𝐵𝑡,𝐴𝐵+𝐶.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝐵𝑋 =𝐶.

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2017

Sean las matrices 𝐴=(210−1),𝐵=(1−120),𝐶=(−241−1)y𝐷=(101010).

  1. Razone si se pueden efectuar las siguientes operaciones: 𝐴𝐷+𝐵𝐶,𝐷𝑡𝐵−𝐴2.
  2. Halle la matriz 𝑋 que verifica la ecuación matricial 𝐴𝑋 =𝐵 −𝐶.

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2017

Sean las matrices 𝐴=(241−1)y𝐵=(−3001).

  1. Calcule 𝐴2 +𝐵3.
  2. Calcule 𝑋 en la ecuación matricial (𝐴 +𝐵)𝑋 =𝐴 −𝐵.

Ejercicio A1: Septiembre de 2017

Sean las matrices 𝐴=(101011)y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝011011⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Justifique cuáles de las siguientes operaciones pueden realizarse y, en tal caso, calcule el resultado: 𝐴2,𝐴−𝐵,𝐴𝐵,𝐴𝐵𝑡.
  2. Halle la matriz 𝑋 tal que 𝐴𝑡 +𝐵𝑋 =3𝐵.

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2016

Sean las matrices 𝐴=(120−1),𝐵=(122−1−12)y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝12−102−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcule 𝐴2 y 𝐴2016.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 −𝐵 =𝐶𝑡.

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2016

Sean las matrices 𝐴=(120−3),𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−1021−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=(1402−31).

  1. Resuelva la ecuación matricial 𝐶𝐵𝑋 −2𝐴𝑋 =𝐴𝑡.
  2. Analice cuáles de las siguientes operaciones, sin efectuarlas, se pueden realizar y justifique las respuestas: 𝐵𝐶+2𝐴,𝐴𝐶+𝐶,𝐵𝑡𝐶,𝐶𝐵−𝐴.

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2016

Sean las matrices 𝐴=(24−2−6)y𝐵=(1011−20).

  1. Resuelva la ecuación matricial 𝑋(𝐵𝐵𝑡) =12𝐴 −2𝐴𝑡.
  2. Razone cuáles de las siguientes operaciones pueden realizarse e indique, en su caso, la dimensión de la matriz resultante: 𝐴𝐵,𝐴𝐵𝑡,𝐵𝐴−1,𝐵𝑡𝐴+𝐴−1.

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2016

  1. Si 𝐴 es una matriz de dimensión 𝑚 ×𝑛, indique la dimensión de una matriz 𝑋 si se verifica que (𝐴𝑡𝐴)𝑋 =𝐼𝑛.
  2. Calcule dicha matriz 𝑋 en el caso en que 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝111−111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
  3. Calcule, si es posible, el producto 𝐴(𝐴𝑡𝐴).

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2016

Sean las matrices 𝐴=(3012),𝐵=(−23)y𝐶=(−1−1).

  1. Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y en dichos casos calcule el resultado: 𝐴𝐵,𝐵𝐴,𝐵𝐶,𝐶𝑡𝐵𝑡.
  2. Calcule la matriz 𝑋 en la ecuación 𝐴𝑋 +𝐵𝑡 =4𝐶.

Ejercicio A1: Septiembre de 2016

Sean las matrices 𝐴=(12−1−3),𝐵=(2−13401)y𝐶=(−11023−2).

  1. Resuelva la ecuación matricial 𝐴2𝑋 +𝐶 =2𝐵.
  2. ¿Qué dimensiones deben tener las matrices 𝑃 y 𝑄 para que las matrices (𝐵 +𝐶)𝑃 y 𝐵𝑄𝐶𝑡 sean cuadradas?

Ejercicio B1: Junio de 2015

Sean las matrices 𝐴=(23−11),𝐵=(2−351)y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝200230⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcule las matrices 𝑋 e 𝑌 si 𝑋 +𝑌 =2𝐴 y 𝑋 +𝐵 =2𝑌.
  2. Analice cuáles de las siguientes operaciones con matrices se pueden realizar, indicando en los casos afirmativos las dimensiones de la matriz 𝐷: 𝐴+𝐷=𝐶,𝐴𝐷=𝐶𝑡,𝐷𝐴=𝐶,𝐷𝐴=𝐶𝑡.

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2015

Sean las matrices 𝐴=(213−2)y𝐵=(3−214).

  1. Efectúe la operación 𝐴𝐵𝑡.
  2. Determine la matriz 𝑋 tal que 𝐴 +2𝑋 =𝐵.
  3. Halle la matriz 𝑌 tal que 𝐵𝑌=(69).

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2015

Sean las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−1201−1102⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=(1211−20),𝐶=(21)y𝐷=(1−12).

  1. Estudie cuáles de los siguientes productos de matrices se pueden realizar, indicando las dimensiones de la matriz resultante: 𝐴𝐵𝑡,𝐶𝑡𝐷,𝐵𝑡𝐷,𝐷𝐵𝑡.
  2. Despeje la matriz 𝑋 en la ecuación 𝑋𝐴−1 +2𝐵 =3𝐶𝑡𝐷, sin calcular sus elementos.
  3. Calcule la matriz 𝐴(𝐵𝑡 −2𝐷𝑡𝐶).

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2015

Sean las matrices 𝐴=(0−110),𝐵=(1111)y𝐶=(2132).

  1. Resuelva la ecuación 𝐴𝑋 +𝐵𝑋 =𝐶.
  2. Calcule 𝐴4 y 𝐴80.

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2015

  1. Resuelva la ecuación matricial (2112)𝑋+(1−102)=𝐼2.
  2. Dadas las matrices 𝑀=(0110)y𝐴=(𝑎𝑏21), calcule los valores de 𝑎 y 𝑏 para que se verifique la ecuación 𝑀𝐴 =𝐴.

Ejercicio A1: Septiembre de 2015

Sean las matrices 𝐴=(12−12),𝐵=(122−1−12)y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝8−4128−84⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcule 𝐴2.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 +4𝐵 =𝐶𝑡.

Ejercicio A1: Junio de 2014

Se consideran las matrices 𝐴=(1𝑎01)y𝐵=(120340), siendo 𝑎 un número real cualquiera.

  1. Obtenga la matriz 𝐴2014.
  2. Para 𝑎 =2, resuelva la ecuación matricial 𝐴3𝑋 −4𝐵 =𝑂.

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2014

Se consideran las matrices 𝐴=(1𝑎01)y𝐵=(−11).

  1. Calcule el valor del parámetro 𝑎 para que se verifique (𝐵𝐴)𝑡 =𝐴𝐵𝑡.
  2. Para 𝑎 =2, resuelva la ecuación matricial 𝑋𝐴 =𝐵.

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2014

Sean las matrices 𝐵=(−5046)y𝐶=(−1−8−1−936).

  1. Determine la dimensión que debe tener una matriz 𝐴 para que se verifique la igualdad 𝐴𝐵 =2𝐶𝑡.
  2. Halle la matriz 𝐴 anterior, sabiendo que de ella se conocen los elementos 𝑎31 =2, 𝑎12 = −3 y 𝑎22 =1.

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2014

  1. Determine los valores de 𝑥 e 𝑦 que hacen cierta la igualdad (2−13−1)(𝑥−𝑦)=(1𝑥𝑦−1)(30).
  2. Resuelva la ecuación matricial: 𝑋(1325)−2(0−1−10)=(123−1).

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2014

Se consideran las matrices 𝐴=(213−2)y𝐵=(3−214).

  1. Efectúe la operación 𝐴𝐵𝑡.
  2. Determine la matriz 𝑋 tal que 𝐴 +2𝑋 =𝐵.
  3. Calcule la matriz 𝑌 sabiendo que 𝐵𝑌=(69).

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2014

  1. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 =2(𝐶 −𝐷𝑡), siendo 𝐴=(0120),𝐶=(02−12)y𝐷=(1−12−1).
  2. Si 𝐴(0,2), 𝐵(2,0), 𝐶(4,0), 𝐷(6,3) y 𝐸(3,6) son los vértices de una región factible, determine, en esa región, el valor mínimo y el valor máximo de la función 𝐹(𝑥,𝑦) =4𝑥 −3𝑦 +8 e indique los puntos donde se alcanzan.

Ejercicio A1: Septiembre de 2014

Sean las matrices 𝐴=(1−72−1)y𝐵=(10−52).

  1. Calcule las matrices 𝑋 e 𝑌 para las que se verifica 𝑋+𝑌=𝐴y3𝑋+𝑌=𝐵.
  2. Halle la matriz 𝑍 que verifica 𝐵𝑍 +𝐵𝑡 =2𝐼2.

Ejercicio A1: Junio de 2013

Sean las matrices 𝐴=(2−1𝑎𝑏)y𝐵=(−1130).

  1. Obtenga 𝑎 y 𝑏 sabiendo que 𝐴2=(5−2−21). ¿Es 𝐴 simétrica?
  2. Para los valores 𝑎 =3 y 𝑏 =1, calcule la matriz 𝑋 tal que 𝐴𝐵 =2(𝑋 −3𝐼2).

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2013

Sean las matrices 𝐴=(0110)y𝐵=(1231).

  1. Calcule 𝐴2 y 𝐴2013.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 +𝐼2 =5𝐵𝑡 −𝐴2.

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2013

  1. En un problema de programación lineal, la región factible es la región acotada cuyos vértices son 𝐴(2, −1), 𝐵( −1,2), 𝐶(1,4) y 𝐷(5,0). La función objetivo es la función 𝑓(𝑥,𝑦) =2𝑥 +3𝑦 +𝑘, cuyo valor máximo, en dicha región, es igual a 19. Calcule el valor de 𝑘 e indique dónde se alcanza el máximo y dónde el mínimo.
  2. Sean las matrices 𝐴=(1−23),𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝20−111−1132⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Resuelva, si es posible, la ecuación matricial 𝐵𝐴 +2𝑋 =𝐶.

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2013

  1. Se consideran las matrices 𝐴=(3152)y𝐵=(2132). Determine la matriz 𝑋 que verifica 𝐵𝑋 =3𝐴 +𝐴𝑡.
  2. Calcule la matriz 𝑌 que verifica ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝251−52−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠𝑌=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝6−12−6⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2013

Sean las matrices 𝐴=(2335),𝐵=(3−53021),𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝830⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐷=(53).

  1. Calcule 𝐴3.
  2. Determine la matriz 𝑋 para que 𝐴𝑋 +𝐵𝐶 =𝐷.

Ejercicio B1: Septiembre de 2013

Sean las matrices 𝐴=(150−2535),𝐵=(35−14545)y𝐶=(10−1213).

  1. Resuelva la ecuación matricial (2𝐴 +𝐵)𝑋 =3𝐴 −𝐵.
  2. Determine en cada caso la dimensión de la matriz 𝐷 para que se puedan realizar las siguientes operaciones: 𝐶𝐷+𝐴,𝐶𝑡𝐷𝐶,𝐷𝐶𝑡,𝐶𝐷𝐶𝑡.

Ejercicio B1: Junio de 2012

Sea la matriz 𝐴=(1−12−1).

  1. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 +𝐴𝑡 =𝐼2.
  2. ¿Qué requisitos mínimos debe cumplir una matriz 𝐵 para que pueda efectuarse el producto 𝐴𝐵?
  3. ¿Y para el producto 3𝐵𝐴?

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2012

Sean las matrices 𝐴=(−1−624),𝐵=(−11210−1)y𝐶=(𝑎013−1𝑏).

  1. Halle los valores de 𝑎 y 𝑏 para que se verifique 𝐵𝐶𝑡 =𝐴.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 −𝐴2 =𝐼2.

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2012

Halle la matriz 𝑋 que verifique la ecuación matricial 𝐴2𝑋 =𝐴 −𝐵𝐶, siendo 𝐴, 𝐵 y 𝐶 las matrices: 𝐴=(1102),𝐵=(101−114)y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−10−1120⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio A1: Junio de 2011

Sean las matrices 𝐴=(2−51−3),𝐵=(3−12011)y𝐶=(123−153).

  1. Calcule 𝐴2 −𝐵 ⋅𝐶𝑡.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴 ⋅𝑋 +𝐵 =2 ⋅𝐶.

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2011

Sean las matrices 𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝010101010⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐷=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝011101110⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Resuelva la ecuación matricial 2 ⋅𝑋 −𝐶 ⋅𝐷 =(𝐼3 +𝐷) ⋅𝐶.
  2. Si las matrices 𝐶 y 𝐷 son las matrices de adyacencia de dos grafos, de vértices 𝑎,𝑏,𝑐 y 1,2,3, respectivamente, haga la representación gráfica de dichos grafos.

Ejercicio B1: Septiembre de 2011

Sean las matrices 𝐴=(010101),𝐵=(3−112).

  1. Efectúe, si es posible, los siguientes productos: 𝐴 ⋅𝐴𝑡, 𝐴𝑡 ⋅𝐴, 𝐴 ⋅𝐵.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴 ⋅𝐴𝑡 ⋅𝑋 =𝐵.

Ejercicio B1: Junio de 2010

Sean las matrices 𝐴=(2131)y𝐵=(12−10).

  1. Calcule 𝐴𝑡 ⋅𝐵 −𝐴 ⋅𝐵𝑡.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 +𝐵𝐴 =𝐵.