Matemáticas de Selectividad

Sean las matrices 𝐴=(2335),𝐵=(3−53021),𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝830⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐷=(53).

1. Calcule 𝐴3.
2. Determine la matriz 𝑋 para que 𝐴𝑋 +𝐵𝐶 =𝐷.

Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=(𝑥2−5)33−𝑥2,𝑔(𝑥)=𝑒7𝑥(𝑥−5𝑥2)2,ℎ(𝑥)=𝑥ln⁡(1−𝑥2)𝑥−3.

Un Centro de Salud propone dos terapias, A y B, para dejar de fumar. De las personas que acuden al Centro para dejar de fumar, el 45% elige la terapia A, y el resto la B. Después de un año el 70% de los que siguieron la terapia A y el 80% de los que siguieron la B no han vuelto a fumar. Se elige al azar un usuario del Centro que siguió una de las dos terapias.

1. Calcule la probabilidad de que después de un año no haya vuelto a fumar.
2. Si transcurrido un año esa persona sigue sin fumar, calcule la probabilidad de que hubiera seguido la terapia A.
3. Si transcurrido un año esa persona ha vuelto a fumar, calcule la probabilidad de que hubiera seguido la terapia A.

Se conoce que la acidez de una solución es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal con desviación típica 0,2. Se ha tomado una muestra aleatoria de cinco soluciones y se han obtenido las siguientes medidas de la acidez: 7,927,957,917,97,94.

1. Halle el intervalo de confianza, al 99%, para la media poblacional.
2. ¿Qué error máximo se ha cometido en el intervalo anterior?
3. Para el mismo nivel de confianza, calcule el tamaño mínimo muestral que permita reducir el error anterior a la mitad.

Se desea maximizar la función 𝐹(𝑥,𝑦) =14𝑥 +8𝑦 en el recinto dado por: 𝑦+3𝑥≥9,𝑦≤−47𝑥+14,5𝑥−2𝑦≤15,𝑥≥0.

1. Represente la región factible del problema.
2. ¿Cuál es el valor máximo de 𝐹 y la solución óptima del problema?
3. Obtenga un punto de la región factible que no sea el óptimo.

Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑥3−1,si 𝑥<1,−𝑥2+4𝑥−3,si 𝑥≥1.

1. Determine el dominio y estudie la continuidad de la función.
2. Obtenga los extremos de la función.
3. Estudie su curvatura.

De los sucesos independientes 𝐴 y 𝐵 se sabe que 𝑃(𝐴𝑐) =0,4 y 𝑃(𝐴 ∪𝐵) =0,8.

1. Halle la probabilidad de 𝐵.
2. Halle la probabilidad de que no se verifique 𝐵 si se ha verificado 𝐴.
3. ¿Son incompatibles los sucesos 𝐴 y 𝐵?

1. Se considera la población {2,4,6}. Escriba todas las posibles muestras de tamaño dos elegidas mediante muestreo aleatorio simple y determine la desviación típica de las medias muestrales.
2. En una ciudad se seleccionó una muestra aleatoria de 500 alumnos de Bachillerato a los que se les preguntó si poseían una determinada marca de teléfono móvil, resultando que 80 de ellos contestaron afirmativamente. Obtenga un intervalo de confianza, al 92%, para estimar la proporción de estudiantes de Bachillerato que poseen esa marca de teléfono móvil.