Matemáticas de Selectividad

Un periódico digital ha publicado una noticia de última hora. El número de personas que han visto la noticia 𝑡 horas después de su lanzamiento viene modelado por la función: 𝑁(𝑡)=500.000⋅(1−𝑒−0,2𝑡),𝑡>0.

1. Estudie la monotonía y curvatura de la función 𝑁.
2. Represente gráficamente la función 𝑁 y describa su tendencia a lo largo del tiempo.
3. ¿Cuánto tiempo ha debido de pasar para que la noticia haya sido vista por 450.000 personas?
4. La velocidad de difusión de la noticia (número de personas por hora que han visto la publicación) es 𝑁′(𝑡). ¿Qué conclusión se obtiene al comparar 𝑁′(𝑡) en los instantes 𝑡 =1 y 𝑡 =10?

A un paciente con diabetes se le monitoriza durante un día completo, suministrándole un medicamento a mediodía para observar su reacción. La cantidad de glucosa en sangre (mg/dl) del paciente, en cada instante 𝑡 (horas), es: 𝑓(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩56(𝑡33−12𝑡2+108𝑡+108),si 0≤𝑡≤12,𝑡2−40𝑡+546,si 12<𝑡≤24.

1. Halle en qué periodos de tiempo el nivel de glucosa va aumentando.
2. ¿En qué momentos del día el paciente tiene los niveles más alto y más bajo de glucosa en sangre y a cuánto ascienden?
3. ¿En qué momentos, después del mediodía, el paciente tiene 155 mg/dl?

Trinidad, una persona ahorradora, deposita 5.000€ en un fondo de inversión y el capital final que obtiene cuando transcurren 𝑡 años viene dado por la siguiente función: 𝑓(𝑡)={5.000⋅(1+0,05𝑡),si 0≤𝑡≤1,5.000⋅1,05𝑡,si 𝑡>1.

1. ¿Cuánto tiempo debe mantener invertido el dinero si el capital final que se obtiene es de 5.931,10€?
2. Calcule los intereses que obtiene Trinidad entre el año 2 y el año 4, si se conoce que los intereses que genera esta inversión entre el año 𝑡1 y el año 𝑡2 vienen dados por 𝐼 =𝑓(𝑡2) −𝑓(𝑡1).
3. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓.
4. Estudie la monotonía de la función 𝑓 y esboce su gráfica.

1. Calcule la derivada de las funciones siguientes: 𝑓(𝑥)=(𝑥2+2)3𝑒−2𝑥,𝑔(𝑥)=ln⁡(1−𝑥3)(1−2𝑥2)2.
2. Halle los valores de 𝑎 y 𝑏 para que sea horizontal la recta tangente a la gráfica de la función ℎ(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +3𝑥 +𝑏 en el punto 𝑃(1,2).

La velocidad media del viento en la zona de Sierra Nevada, prevista para cierto día, viene dada por la función 𝑣(𝑡) expresada en km/h, donde 𝑡 es el tiempo expresado en horas: 𝑣(𝑡)={𝑡2−8𝑡+60,si 0≤𝑡≤10,−𝑡2+32𝑡−140,si 10<𝑡≤24.

1. Compruebe que la función 𝑣 es continua y derivable.
2. Represente gráficamente la función, estudiando previamente la monotonía y calculando los extremos absolutos.
3. La Agencia Estatal de Meteorología emite avisos de alerta por vientos siguiendo el código de colores: naranja para vientos entre 100 y 140 km/h, y rojo para vientos de más de 140 km/h. Según la previsión, indique si se debe emitir alguna alerta naranja en Sierra Nevada ese día y durante qué horas estaría activa. ¿Se emitiría alerta roja?

La superficie de ampliación de un parque de atracciones, en decámetros cuadrados, coincide con el área de la region delimitada por las graficas de las funciones 𝑓(𝑥)=−𝑥2+6𝑥y𝑔(𝑥)=𝑥25.

1. Represente gráficamente la superficie de ampliación del parque de atracciones.
2. Si el coste para acondicionar el nuevo suelo es de 75€/m², calcule el área de ampliación del parque y el coste total del acondicionamiento.

Se consideran las funciones 𝑓(𝑥)={2−𝑥2,si −1≤𝑥≤1,(𝑥−2)2,si 1<𝑥≤3y𝑔(𝑥)=1,si −1≤𝑥≤3.

1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de 𝑓 y 𝑔 en sus dominios.
2. Represente el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y calcule su área.

Se considera la función 𝑓(𝑥)=1−43+𝑥.

1. Halle el dominio de 𝑓 y los puntos de corte de su gráfica con los ejes de coordenadas.
2. Calcule las asíntotas de la función 𝑓.
3. Obtenga los puntos donde la recta tangente a la gráfica de 𝑓 tiene pendiente 1.
4. Estudie la curvatura de la función 𝑓.

Se considera la función 𝑓(𝑥)={−𝑥2+2𝑥,si 𝑥<2,𝑥2−2𝑥,si 𝑥≥2.

1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
2. Represente el recinto limitado por las rectas 𝑦 =2𝑥, 𝑥 = −1, 𝑥 =1 y la gráfica de 𝑓. Calcule su área.

Se desea analizar la evolución de la población de una localidad. Se conoce que la función 𝑓 aproxima el número de habitantes que tiene la población para cada tiempo 𝑡, medido en meses, con 𝑡 ∈[0,60]. El crecimiento de esta población viene dado por la siguiente expresión: 𝑓′(𝑡)=400+30√𝑡. También se sabe que la población en la actualidad, 𝑡 =0, es de 90.000 habitantes.

1. ¿Cuál será la población dentro de 9 meses?
2. Calcule ∫169𝑓′(𝑡)𝑑𝑡 e interprete el resultado.
3. Si se entrega una ayuda de 150€ por cada nuevo habitante durante los tres primeros años, calcule la cuantía total aproximada de la ayuda que recibirá la localidad.

Se considera la función 𝑓(𝑥)={3+𝑒𝑥,si 𝑥<1,𝑥2+𝑎𝑥+2,si 𝑥≥1.

1. Determine el valor de 𝑎 para que la función 𝑓 sea continua en ℝ. Para ese valor de 𝑎, ¿es 𝑓 derivable?
2. Para 𝑎 = −3, calcule la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.
3. Para 𝑎 = −3, represente la región limitada por la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 =2, 𝑥 =4 y el eje de abscisas. Calcule el área de dicha región.

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥2+𝑎𝑥−1,si 𝑥≤1,𝑏𝑥,si 1<𝑥≤3,𝑥−13,si 𝑥>3, con 𝑎 y 𝑏 números reales.

1. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓 sea continua. Para dichos valores, estudie la derivabilidad de 𝑓.
2. Para 𝑎 =5 y 𝑏 =2, represente el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 =2, 𝑥 =4 y el eje 𝑂𝑋. Calcule su área.

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−12𝑥2+𝑥+1,si 𝑥≤2,1𝑥−1,si 𝑥>2.

1. Estudie la continuidad, derivabilidad y monotonía de 𝑓. Represente gráficamente dicha función.
2. Calcule el area del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 =0, 𝑥 =4 y el eje 𝑂𝑋.

Dada la función 𝑓(𝑥)=2𝑥−62−𝑥.

1. Estudie la continuidad y derivabilidad de dicha función. Calcule sus asíntotas.
2. Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como la existencia de extremos relativos.
3. Halle los puntos de corte con los ejes de coordenadas y represente gráficamente la función.

Se considera la función 𝑓(𝑥)={−𝑥2+4𝑥+3,si 𝑥<4,2𝑥−5,si 𝑥≥4.

1. Estudie su continuidad y derivabilidad.
2. Estudie su monotonía y calcule sus extremos relativos.
3. Represente la región del plano limitada por la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 =3, 𝑥 =5 y el eje de abscisas. Calcule su área.

Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −3𝑥2 +2𝑥.

1. Halle los puntos de corte con los ejes, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos de 𝑓 y su curvatura.
2. Represente gráficamente la función 𝑓.
3. Calcule el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de 𝑓 y el eje de abscisas.

Se desea analizar el valor de las acciones de una empresa en un día. La función 𝑣(𝑡) nos indica el valor, en euros, de cada acción de la empresa en función del tiempo 𝑡, medido en horas, a partir de la hora de apertura del mercado. De la función 𝑣(𝑡) se conoce que su variación instantánea es 𝑣′(𝑡)=𝑡2−5𝑡+6,𝑡∈[0,6].

1. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑣.
2. Si en el momento de la apertura del mercado se conoce que 𝑣(0) =10, halle la función 𝑣.
3. Si un inversor compró 3.000 de estas acciones en el instante 𝑡 =2 y posteriormente las vendió en el instante 𝑡 =4, indique a cuánto ascendió la ganancia o la pérdida que obtuvo el inversor con esta gestión.
4. ¿En qué momentos debería haber realizado este inversor las gestiones de compra y de venta para que la ganancia hubiese sido máxima? Justifique su respuesta.

1. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada una de las siguientes funciones en el punto de abscisa 𝑥 =0: 𝑓(𝑥)=3𝑥2+5𝑥−2−3𝑥+7,𝑔(𝑥)=ln⁡(13𝑥+1).
2. Calcule las integrales definidas siguientes: ∫−1−253𝑥4𝑑𝑥,∫0−3𝑒𝑥35𝑑𝑥.

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥3+2𝑥2−3,si 𝑥≤1,1+1𝑥−2,si 𝑥>1.

1. Estudie la continuidad de 𝑓. Si la función no es continua en algún punto, indique el tipo de discontinuidad que presenta.
2. Estudie la derivabilidad de 𝑓.
3. Determine las asíntotas de 𝑓.

1. Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=(−7+𝑥2)3𝑒5−𝑥,𝑔(𝑥)=ln⁡(𝑥4−2𝑥2)8−𝑥3.
2. Represente gráficamente la región acotada comprendida entre la recta 𝑦 = −2𝑥 +6 y la parábola 𝑦 = −𝑥2 +2𝑥 +3 y calcule su área.

La temperatura en el interior de un equipo de refrigeración durante un día que sufrió un corte de energía viene dada por la función 𝑓 expresada en grados centígrados y el tiempo 𝑡 en horas: 𝑓(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩−9,si 0≤𝑡≤1,−𝑡2+12𝑡−20,si 1<𝑡<11,−9,si 11≤𝑡≤24.

1. Estudie la continuidad de 𝑓.
2. Represente gráficamente la función 𝑓.
3. Conteste razonadamente a qué hora se produjo el corte de energía y cuánto duró dicho corte.
4. El equipo de refrigeración se utiliza para conservar sueros y vacunas. Los sueros se estropean si se alcanzan temperaturas de 20°C en algún momento. Las vacunas se estropean si están por encima de 0°C durante más de seis horas. Razone si alguno de esos productos se estropeó ese día.

1. Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑎𝑥2+𝑏𝑥+6,si 𝑥≤2,5,−1,4𝑥+7,si 𝑥>2,5, con 𝑎 y 𝑏 números reales. Calcule el valor de los parámetros 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua y tenga un máximo en 𝑥 =1.
2. Represente gráficamente la función 𝑔(𝑥) = −2𝑥2 +2𝑥 +4 y calcule el área de la región acotada, limitada por la gráfica de dicha función y el eje de abscisas.

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥23,si 0≤𝑥≤2,4𝑥+1,si 𝑥>2.

1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓.
2. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, el máximo de la función y represente gráficamente la función 𝑓.

Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑥2−4𝑥+4,si 𝑥<3,−𝑥+4,si 𝑥≥3.

1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓 en todos los puntos de su dominio.
2. Respresente gráficamente 𝑓.
3. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de 𝑓, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 =2 y 𝑥 =4.

La función 𝐵(𝑡) = −𝑡2 +21𝑡 −20 con 0 ≤𝑡 ≤15 representa el beneficio, en miles de euros, de una empresa en función de los años, 𝑡.

1. Si la función 𝐼(𝑡) = −𝑡2 +48𝑡 representa los ingresos de esta empresa, en miles de euros, para el mismo intervalo de tiempo, ¿cuál es la función de gastos de dicha empresa? ¿Cuáles son los gastos iniciales?
2. Calcule el momento a partir del cual el beneficio fue positivo.
3. Calcule en qué momento el beneficio fue máximo y el valor del mismo.
4. Represente gráficamente la función beneficio.

El área quemada de la región plana de la cubierta de plástico de un invernadero, coincide con el área de la región acotada delimitada por las gráficas de las funciones 𝑓(𝑥) =(𝑥 −1)2 y 𝑔(𝑥) =5 −2𝑥 donde 𝑥 está expresado en metros.

1. Represente gráficamente la zona deteriorada.
2. Para reparar la región quemada, se ha de utilizar plástico cuyo coste es de 15 euros por metro cuadrado. Si en el trabajo de reparación se desperdicia la tercera parte del plástico adquirido, ¿cuánto costará el plástico comprado?

Sea la función 𝑓(𝑡)=12𝑡−24𝑡+3,𝑡≥0.

1. Represente gráficamente la función 𝑓, determinando los puntos de corte con los ejes coordenados y las ecuaciones de las asíntotas, y estudiando la monotonía y la curvatura de 𝑓.
2. Si la función 𝑓 representa los beneficios de una empresa, en millones de euros, donde 𝑡 indica los años de vida de la empresa:
   1. ¿A partir de qué año la empresa deja de tener pérdidas? Justifique la respuesta.
   2. A medida que pasan los años, ¿están limitados los beneficios? En caso afirmativo, ¿cuál es su límite y por qué?

1. Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐, con 𝑎, 𝑏 y 𝑐 números reales. Calcule los valores 𝑎, 𝑏 y 𝑐 sabiendo que la gráfica de 𝑓 posee un extremo relativo en el punto de abscisa 𝑥 =3 y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto 𝑃(0,18) es -3.
2. Calcule el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función 𝑔(𝑥) =𝑥3 −4𝑥2 −3𝑥 +18 y el eje de abscisas.

1. Se considera la función 𝑓(𝑥)={6𝑥−3,si 𝑥≤1,𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2,si 𝑥>1, con 𝑎 y 𝑏 números reales. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓 sea continua y derivable en todo su dominio.
2. Calcule el área del recinto acotado, limitado por el eje 𝑂𝑋 y la gráfica de la función 𝑔(𝑥) = −2𝑥2 +8𝑥 −6.

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑎(𝑥+1)2,si −3≤𝑥≤1,𝑏𝑥22+2,si 1<𝑥≤2, con 𝑎 y 𝑏 números reales.

1. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓 sea continua y derivable.
2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =2, esboce la gráfica de la función 𝑓 y calcule el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑂𝑋 y las rectas 𝑥 = −2 y 𝑥 =1.

Se considera la función 𝑓(𝑥)=𝑥−3𝑥+2.

1. Determine el dominio de la función y estudie su monotonía y curvatura.
2. Calcule las ecuaciones de las asíntotas de 𝑓 si existen. Calcule los puntos de corte de la gráfica de 𝑓 con los ejes de coordenadas.
3. Represente la gráfica de la función 𝑓.

Los ingresos (𝐼) y los costes (𝐶) de una discoteca, en miles de euros, en función del número de horas diarias que permanece abierta, vienen dados por las funciones: 𝐼(𝑥)=𝑥3−𝑥y𝐶(𝑥)=𝑥3−𝑥2+6, respectivamente. Sabiendo que la licencia del ayuntamiento no permite que este tipo de local permanezca abierto más de 8 horas diarias, halle:

1. La función beneficio en función del número de horas diarias que la discoteca permanece abierta.
2. El número de horas que debe permanecer abierta para obtener beneficios.
3. En qué momento se tienen las mayores pérdidas y a cuánto ascienden.
4. El tiempo que debe permanecer abierta para obtener el máximo beneficio y a cuánto asciende.

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2,si 𝑥≤1,4𝑥+1,si 𝑥>1, con 𝑎 y 𝑏 números reales.

1. Calcule 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓 sea continua y derivable.
2. Para 𝑎 = −1 y 𝑏 =1, realice un esbozo de la gráfica de la función 𝑓.
3. Para 𝑎 = −1 y 𝑏 =1, halle el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de 𝑓, la recta 𝑥 =1 y el eje 𝑂𝑋.

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩4𝑥2+16𝑥+17,si 𝑥<−1,13(10−5𝑥),si −1≤𝑥≤2,32,si 𝑥>2.

1. Estudie la continuidad y derivabilidad de 𝑓.
2. Represente gráficamente la función 𝑓.
3. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de 𝑓 y el eje de abscisas entre 𝑥 = −2 y 𝑥 =2.

Se considera la función 𝑓(𝑥) =3𝑥3 −6𝑥2 +5.

1. Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a 𝑓 que sean paralelas a la recta de ecuación 𝑦 = −3𝑥 +1.
2. Calcule la función 𝐹 que verifique que 𝐹′(𝑥) =𝑓(𝑥) y 𝐹(2) =4.

Una empresa de fumigación sabe que los beneficios, en miles de euros, que obtiene en función de las hectáreas que le encargan fumigar mensualmente viene dada por la expresión 𝐵(𝑥)=−𝑥2+16𝑥−48. Además, por problemas de personal, la empresa no puede fumigar más de 10 hectáreas al mes.

1. ¿Cuántas hectáreas tiene que fumigar al mes para que la empresa tenga beneficios?
2. ¿Cuántas hectáreas tiene que fumigar para obtener el máximo beneficio mensual? ¿A cuánto asciende dicho beneficio?
3. Si un mes ha obtenido un beneficio de 7.000€, ¿cuántas hectáreas ha fumigado?

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1,si 𝑥≤1,2𝑥,si 𝑥>1, con 𝑎 y 𝑏 números reales.

1. ¿Para qué valores de 𝑎 y 𝑏 la función es continua y derivable en 𝑥 =1?
2. Para 𝑎 = −3 y 𝑏 =4, calcule los extremos relativos de 𝑓.
3. Para 𝑎 = −2 y 𝑏 =3, calcule el valor de la integral ∫3−1𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

1. Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑏𝑥2 +𝑐𝑥 −1 donde 𝑏 y 𝑐 son números reales. Determine el valor de 𝑏 y 𝑐 para que la función 𝑓 presente un extremo en el punto de abscisa 𝑥 =13 y además la gráfica de la función 𝑓 pase por el punto ( −2, −3).
2. Dada la función 𝑔(𝑥) = −𝑥3 −𝑥2 +𝑥 +1, realice el esbozo de su gráfica, estudiando los puntos de corte con los ejes coordenados y su monotonía. Determine el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función 𝑔 y el eje de abscisas.

El beneficio, en miles de euros, que se obtiene en una pequeña finca familiar por la venta de aceitunas, en miles de kilogramos, viene dado por la siguiente función: 𝐵(𝑥)=−0,02𝑥2+1,3𝑥−15,𝑥≥0.

1. Represente la función beneficio y calcule los puntos de corte con el eje 𝑂𝑋.
2. ¿Para qué valores de 𝑥 la finca no tiene pérdidas?
3. ¿Para qué número de kilogramos el beneficio será máximo? ¿Cuánto vale dicho beneficio?
4. ¿Cuántos kilogramos debe vender para obtener un beneficio de 5.000€?

Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −4𝑥2 +4𝑥.

1. Estudie su monotonía y calcule sus extremos.
2. Represente gráficamente la función.
3. Calcule ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
4. Calcule el área del recinto acotado limitado por la gráfica de 𝑓 y el eje de abscisas.

1. Calcule la derivada de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=ln⁡(𝑥−1𝑥+1),𝑔(𝑥)=𝑥3𝑒2𝑥2.
2. Represente gráficamente la parábola ℎ(𝑥) =𝑥2 +𝑥 +1, indicando el vértice y los puntos de corte con los ejes coordenados.
3. Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de ℎ(𝑥) =𝑥2 +𝑥 +1, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 = −12 y 𝑥 =0.

Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑎𝑥+𝑏,si 𝑥<1,𝑥2−𝑏𝑥+𝑎,si 𝑥≥1.

1. Halle el valor de 𝑏 para que 𝑓 sea continua en ℝ.
2. Para 𝑏 =12, halle el valor de 𝑎 para que 𝑓 sea derivable en ℝ.
3. Para 𝑎 <0 y 𝑏 =12, estudie el crecimiento y halle las abscisas de los extremos de la función 𝑓.
4. Para 𝑎 =0 y 𝑏 =12, represente la región del plano delimitada por la gráfica de 𝑓, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 =0 y 𝑥 =2. Calcule el área de dicha región.

La cotización en bolsa de una empresa en un determinado dia viene expresada, en euros, por la función 𝑐(𝑡), con 𝑡 ∈[0,24], medido en horas. La variación instantánea de esta función es la derivada de 𝑐, que viene dada por 𝑐′(𝑡) =0,03𝑡2 −0,9𝑡 +6, con 𝑡 ∈(0,24).

1. Estudie los intervalos en los que la función 𝑐 es creciente.
2. Analice los puntos críticos de la función 𝑐, indicando en cuáles se alcanza el máximo y el mínimo relativos.
3. Halle la expresión analítica de la función 𝑐, sabiendo que la cotización en bolsa de la empresa era de 50 euros en el instante inicial.

Se considera la función 𝑓(𝑥)={(𝑥+1)2,si −2≤𝑥<0,(𝑥−1)2,si 0≤𝑥≤2.

1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓 en todo su dominio.
2. Calcule los extremos de la función 𝑓.
3. Represente el recinto que encierra la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 = −1, 𝑥 =1 y el eje 𝑂𝑋. Calcule el área de dicho recinto.

1. Sea 𝑓 una función de la que sabemos que la gráfica de su derivada, 𝑓′, es una parábola con vértice en el punto (0,8), que corta al eje de abscisas en los puntos ( −4,0) y (4,0).
   1. Dibuje la gráfica de 𝑓′.
   2. A partir de dicha gráfica, halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento de 𝑓, así como las abscisas de los extremos relativos de 𝑓.
   3. Sabiendo que la gráfica de 𝑓 pasa por el origen de coordenadas, calcule la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.
2. Calcule la derivada de la función 𝑔(𝑥) =( −3 +𝑥2)𝑒2𝑥−1.

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−2𝑥+2𝑎,si −4≤𝑥≤−2,−2𝑥2−4𝑎,si −2<𝑥≤2,−8𝑥+𝑏,si 2<𝑥≤3.

1. Calcule los valores 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua en su dominio. Para esos valores, ¿es 𝑓 derivable?
2. Para 𝑎 = −2 y 𝑏 =16, estudie la monotonía de la función 𝑓 y calcule sus extremos relativos y absolutos.
3. Para 𝑎 = −2 y 𝑏 =16, calcule el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑂𝑋 y las rectas 𝑥 = −2 y 𝑥 =2.