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Ejercicio 3: Junio de 2026

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { { {⎨{ { { {⎩𝑥220,si 0≤𝑥<20,𝑎+𝑏𝑥,si 20≤𝑥<50,36−𝑥2100,si 50≤𝑥≤60.

  1. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓 sea continua en todo su dominio.
  2. Para 𝑎 =26 y 𝑏 = −310:
    1. Calcule los extremos relativos de 𝑓.
    2. Represente gráficamente 𝑓.
    3. Calcule el área del recinto acotado limitado por el eje 𝑂𝑋 y la gráfica de la función 𝑓.

Ejercicio 2: Julio de 2026

Los ingresos (en miles de euros) de una empresa que opera en mercados financieros en los últimos años vienen dados por la función 𝑓(𝑡)=−𝑡3+212𝑡2−30𝑡+80,1≤𝑡≤6, siendo 𝑡 el tiempo medido en años.

  1. Determine los intervalos de tiempo en los que los ingresos aumentaron y los intervalos en los que disminuyeron.
  2. Calcule los momentos en los que la empresa obtuvo el mayor y el menor ingreso, así como los valores correspondientes.
  3. Estudie la evolución de los ingresos de la empresa, obteniendo sus puntos de inflexión, realizando su gráfica e interpretándola.

Ejercicio 3: Julio de 2026

El coste en euros de producción de 𝑥 toneladas de un determinado producto en una factoría es 𝐶(𝑥)=0,2𝑥2+40𝑥+5000. El ingreso por venta es de 150 euros por tonelada. Se vende todo lo que se produce.

  1. Calcule la función 𝐵(𝑥) que expresa el beneficio obtenido al vender 𝑥 toneladas del producto.
  2. Halle la cantidad de toneladas de producto que debe venderse para maximizar el beneficio. Obtenga dicho beneficio.
  3. Obtenga el beneficio cuando no hay producción y calcule para qué valores de la producción el beneficio es positivo. ¿Para qué producción se obtiene un beneficio de 4000€?
  4. Estudie cuándo los beneficios van aumentando y cuándo van disminuyendo.

Ejercicio 2: Junio de 2025

Un periódico digital ha publicado una noticia de última hora. El número de personas que han visto la noticia 𝑡 horas después de su lanzamiento viene modelado por la función: 𝑁(𝑡)=500.000⋅(1−𝑒−0,2𝑡),𝑡>0.

  1. Estudie la monotonía y curvatura de la función 𝑁.
  2. Represente gráficamente la función 𝑁 y describa su tendencia a lo largo del tiempo.
  3. ¿Cuánto tiempo ha debido de pasar para que la noticia haya sido vista por 450.000 personas?
  4. La velocidad de difusión de la noticia (número de personas por hora que han visto la publicación) es 𝑁′(𝑡). ¿Qué conclusión se obtiene al comparar 𝑁′(𝑡) en los instantes 𝑡 =1 y 𝑡 =10?

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos las dos primeras derivadas de la función $N$. \begin{align} N'(t) & = 500.000 \cdot (-e^{-0,2t}) \cdot (-0,2) = 100.000e^{-0,2t}, \\ N''(t) & = 100.000e^{-0,2t} \cdot (-0,2) = -20.000e^{-0,2t}. \end{align}
    • Observamos que $N'(t) > 0$ para $t > 0$, así que $N$ es creciente en todo su dominio.
    • Observamos que $N''(t) < 0$ para $t > 0$, así que $N$ es cóncava en todo su dominio.
  2. Veamos si la gráfica de la función tiene asíntota horizontal para estudiar su tendencia. $$\lim_{t \to +\infty} N(t) = \lim_{t \to +\infty} 500.000(1 - e^{-0,2t}) = 500.000.$$ Por tanto, la recta $y = 500.000$ es una asíntota horizontal. Representamos gráficamente la función usando esta información. Figura Podemos observar que el número de personas que ven la noticia aumenta rápidamente en las primeras horas y se va acercando a 500.000, cada vez con menor velocidad.
  3. Para que la noticia haya sido vista por 450.000 personas ha de verificarse que: \begin{align} N(t) = 450.000 & \Leftrightarrow 500.000(1 - e^{-0,2t}) = 450.000 \Leftrightarrow 1 - e^{-0,2t} = \frac{9}{10} \Leftrightarrow e^{-0,2t} = \frac{1}{10} \Leftrightarrow \\ & \Leftrightarrow -0,2t = \ln\left(\frac{1}{10}\right) \Leftrightarrow t = -\frac{\ln\left(\frac{1}{10}\right)}{0,2} = 5\ln(10) \approx 11,5129. \end{align} Por tanto, han debido de pasar un poco más de 11 horas y media.
  4. Calculamos el valor de la derivada en los dos instantes. $$N'(1) \approx 81.873,0753, \quad N'(10) \approx 13.533,5283.$$ Observamos que la velocidad de difusión de la noticia se reduce en gran medida con el paso de las horas.

Ejercicio 3: Junio de 2025

A un paciente con diabetes se le monitoriza durante un día completo, suministrándole un medicamento a mediodía para observar su reacción. La cantidad de glucosa en sangre (mg/dl) del paciente, en cada instante 𝑡 (horas), es: 𝑓(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩56(𝑡33−12𝑡2+108𝑡+108),si 0≤𝑡≤12,𝑡2−40𝑡+546,si 12<𝑡≤24.

  1. Halle en qué periodos de tiempo el nivel de glucosa va aumentando.
  2. ¿En qué momentos del día el paciente tiene los niveles más alto y más bajo de glucosa en sangre y a cuánto ascienden?
  3. ¿En qué momentos, después del mediodía, el paciente tiene 155 mg/dl?

Resolución
  1. Si $t \neq 12$, la función es continua y derivable con: $$f'(t) = \begin{cases} \frac{5}{6} \left(t^2 - 24t + 108\right), & \text{si } 0 \leq t < 12, \\ 2t - 40, & \text{si } 12 < t \leq 24. \end{cases}$$ Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si $0 < t < 12$, $$f'(t) = 0 \Leftrightarrow \frac{5}{6} \left(t^2 - 24t + 108\right) = 0 \Leftrightarrow t^2 - 24t + 108 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} t = 6, \\ t = 18 \notin (0, 12). \end{cases}$$
    • Si $12 < t < 24$, $$f'(t) = 0 \Leftrightarrow 2t - 40 = 0 \Leftrightarrow 2t = 40 \Leftrightarrow t = 20.$$
    Así que los puntos críticos son $t = 6$ y $t = 20$. También consideramos $t = 12$ por ser el punto de ruptura. Estudiamos el signo de la derivada.
    $(0, 6)$ $(6, 12)$ $(12, 20)$ $(20, 24)$
    signo de $f'$ $+$ $-$ $-$ $+$
    monotonía de $f$ $\rightarrow$ $\rightarrow$ $\rightarrow$ $\rightarrow$
    Por tanto, $f$ es creciente en $(0, 6)$ y $(20, 24)$. Es decir, la glucosa aumenta a lo largo de las seis primeras horas y a partir de las 20 horas.
  2. Los puntos $(6, 330)$ y $(24, 162)$ son máximos relativos y los puntos $(0, 90)$ y $(20, 146)$ son mínimos relativos. Por tanto, $(6, 330)$ es el máximo absoluto y $(0, 90)$ es el mínimo absoluto. Es decir, el nivel más alto se alcanza a las seis horas, con 330 mg/dl, y el nivel más bajo lo tiene al principio del día, con 90 mg/dl.
  3. Si $t > 6$, $$f(t) = 155 \Leftrightarrow t^2 - 40t + 546 = 155 \Leftrightarrow t^2 - 40t + 391 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} t = 17, \\ t = 23. \end{cases}$$ Por tanto, el paciente alcanza una cantidad de glucosa de 155 mg/dl a las 17 horas y a las 23 horas.

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2025

  1. Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑎⋅𝑒𝑥+1,si 𝑥≤−1,𝑥2−2,si −1<𝑥<2,𝑏⋅log⁡(12−𝑥),si 2≤𝑥<12, siendo 𝑎 y 𝑏 números reales. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓 sea continua en su dominio.
  2. Represente el recinto acotado, limitado por la recta 𝑦 = −𝑥 +3 y la parábola 𝑦 = −𝑥2 +5. Calcule el área del recinto.

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2025

El nivel de concentración de un alumno universitario durante un examen viene dado por la siguiente función: 𝑓(𝑡)={−𝑡2+2𝑡+10,si 0≤𝑡≤2,5,𝑡2+𝑎𝑡+𝑏,si 2,5<𝑡≤5, donde 𝑡 es el tiempo en horas y 𝑎 y 𝑏 números reales.

  1. ¿Con qué nivel de concentración el alumno comienza el examen? Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓 sea continua y derivable en 𝑡 =2,5.
  2. Para 𝑎 = −8 y 𝑏 =22,5, esboce la gráfica de la función 𝑓, estudiando previamente la monotonía y calculando en qué momentos se alcanzan los niveles máximo y mínimo de concentración.

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2025

  1. El índice de audiencia de un programa de radio se puede modelizar por una función del tipo: 𝑓(𝑡)=𝑎𝑡2+𝑏𝑡+𝑐,𝑡∈[0,60], donde 𝑡 es el tiempo medido en minutos y 𝑎,𝑏,𝑐 ∈ℝ. Se sabe que cuando comienza el programa el índice de audiencia es 20 puntos y que a los 40 minutos se alcanza el máximo índice de audiencia, que es 36 puntos. Determine 𝑎, 𝑏 y 𝑐 y represente gráficamente la función obtenida.
  2. Calcule la derivada de las siguientes funciones: 𝑔(𝑥)=ln⁡(𝑥2−1𝑥2+1),ℎ(𝑥)=(2𝑥−1)𝑒𝑥2−𝑥.

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2025

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩10+5𝑥2,si 𝑥≤−2,𝑥2+1,si −2<𝑥<2,10−5𝑥2,si 𝑥≥2.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 = −2.
  2. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓 con pendiente -1.
  3. Represente la región del plano acotada superiormente por la gráfica de 𝑓 e inferiormente por el eje de abscisas. Calcule el área de dicha región.

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2025

Un grupo de emprendedores valora crear una empresa y, para ello, ha encargado un estudio de mercado en el que se estima que los beneficios para los próximos 10 años, en millones de euros, vendrán dados por la función: 𝐵(𝑡)=3𝑡𝑡+2−1,0≤𝑡≤10, donde 𝑡 representa los años transcurridos desde la apertura de la empresa.

  1. ¿En qué intervalo de tiempo la empresa no tendrá beneficios?
  2. ¿En qué momento se alcanza el máximo beneficio y a cuánto asciende su valor?
  3. ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que la empresa obtenga un beneficio de 800.000€?
  4. Si la función de beneficios se mantuviera y transcurrieran los años de manera indefinida, ¿a que valor tendería el beneficio de la empresa?

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2025

Las ventas de un producto (en miles de euros), en los 6 primeros años desde que se lanzó una campaña de publicidad, evolucionan de acuerdo con la siguiente función: 𝑉(𝑡)=4𝑡3−24𝑡2+36𝑡+100,0≤𝑡≤6, siendo 𝑡 el tiempo transcurrido en años.

  1. Estudie el crecimiento y decrecimiento de las ventas a lo largo de los 6 años. Calcule los extremos.
  2. Represente gráficamente la función 𝑉.
  3. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de 𝑉, la recta 𝑡 =6 y los ejes de coordenadas.

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2025

El Cesio 137 es un elemento radioactivo que se usa, entre otros, para tratamientos de radioterapia. La cantidad (en mg) de Cesio 137 que queda en el lugar de almacenamiento, transcurrido un número de años 𝑡, viene dada por la función: 𝑓(𝑡)=10⋅(12)𝑡30,𝑡≥0.

  1. Calcule los años que deben pasar para que la cantidad de Cesio 137 que quede en el almacén sea la mitad de la que había al inicio.
  2. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓, en el punto de abscisa 𝑡 =10.
  3. Indique si la función tiene asíntotas horizontales y verticales. En caso afirmativo, calcúlelas.

Ejercicio 3: Julio de 2025

Trinidad, una persona ahorradora, deposita 5.000€ en un fondo de inversión y el capital final que obtiene cuando transcurren 𝑡 años viene dado por la siguiente función: 𝑓(𝑡)={5.000⋅(1+0,05𝑡),si 0≤𝑡≤1,5.000⋅1,05𝑡,si 𝑡>1.

  1. ¿Cuánto tiempo debe mantener invertido el dinero si el capital final que se obtiene es de 5.931,10€?
  2. Calcule los intereses que obtiene Trinidad entre el año 2 y el año 4, si se conoce que los intereses que genera esta inversión entre el año 𝑡1 y el año 𝑡2 vienen dados por 𝐼 =𝑓(𝑡2) −𝑓(𝑡1).
  3. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓.
  4. Estudie la monotonía de la función 𝑓 y esboce su gráfica.

Resolución
    • Si $0 \leq t \leq 1$, \begin{align} & f(t) = 5.931,10 \Leftrightarrow 5.000 \cdot (1 + 0,05t) = 5.931,10 \Leftrightarrow 1 + 0,05t = 1,1862 \Leftrightarrow 0,05t = 0,1862 \Leftrightarrow \\ & \Leftrightarrow t = 3,724 \notin [0, 1]. \end{align}
    • Si $t > 1$, $$f(t) = 5.931,10 \Leftrightarrow 5.000 \cdot 1,05^t = 5.931,10 \Leftrightarrow 1,05^t = 1,1862 \Leftrightarrow t = \log_{1,05}(1,1862) \approx 3,5.$$
    Por tanto, debe mantener invertido el dinero alrededor de 3 años y medio.
  2. Calculamos los intereses. $$I = f(4) - f(2) = 5.000 \cdot 1,05^4 - 5.000 \cdot 1,05^2 \approx 565,0313 \, \text{€}.$$
  3. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de $f$.
    • Si $t \in [0, +\infty)$ con $t \neq 1$, $f$ es continua y derivable con: $$f'(t) = \begin{cases} 250, & \text{si } 0 < t < 1, \\ 5.000\ln(1,05) \cdot 1,05^t, & \text{si } t > 1. \end{cases}$$

    • Estudiamos la continuidad en $t = 1$. \begin{align} & \lim_{t \to 1^-} f(t) = \lim_{t \to 1^-} 5.000 \cdot (1 + 0,05t) = 5.250, \\ & \lim_{t \to 1^+} f(t) = \lim_{t \to 1^+} 5.000 \cdot 1,05^t = 5.250, \\ & f(1) = 5.250. \end{align} Observamos que: $$\lim_{t \to 1^-} f(t) = \lim_{t \to 1^+} f(t) = f(1).$$ Así que $f$ es continua en $t = 1$.

      Pasamos a estudiar la derivabilidad. \begin{align} & f'_-(1) = \lim_{t \to 1^-} f'(t) = \lim_{t \to 1^-} 250 = 250, \\ & f'_+(1) = \lim_{t \to 1^+} f'(t) = \lim_{t \to 1^+} 5.000 \cdot 1,05^t \cdot \ln(1,05) = 5.250\ln(1,05) \approx 256,1484. \end{align} Observamos que $f'_-(1) \neq f'_+(1)$, así que $f$ no es derivable en $t = 1$.

    Por tanto, $f$ es continua en $[0, +\infty]$ y derivable en $[0, 1) \cup (1, +\infty)$.
  4. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si $0 \leq t < 1$, $f'(t) = 250 \neq 0$.
    • Si $t > 1$, $$f'(t) = 5.000 \cdot 1,05^t \cdot \ln(1,05) \neq 0.$$
    Así que la función no tiene ningún punto crítico. Consideramos $t = 1$ por ser no derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    $(0, 1)$ $(1, +\infty)$
    signo de $f'$ $+$ $+$
    monotonía de $f$ $\rightarrow$ $\rightarrow$

    Por tanto, $f$ es creciente en todo su dominio.

    Representamos gráficamente la función.

    Figura

Ejercicio 3: Junio de 2024

  1. Calcule la derivada de las funciones siguientes: 𝑓(𝑥)=(𝑥2+2)3𝑒−2𝑥,𝑔(𝑥)=ln⁡(1−𝑥3)(1−2𝑥2)2.
  2. Halle los valores de 𝑎 y 𝑏 para que sea horizontal la recta tangente a la gráfica de la función ℎ(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +3𝑥 +𝑏 en el punto 𝑃(1,2).

Resolución
    • Calculamos la derivada de la función $f.$ $$f'(x) = 3(x^2+2)^2 \cdot 2x \cdot e^{-2x} + (x^2+2)^3 \cdot e^{-2x} \cdot (-2) = 6x(x^2+2)^2 e^{-2x} - 2(x^2+2)^3 e^{-2x}.$$
    • Calculamos la derivada de la función $g.$ \begin{align} & g'(x) = \frac{\frac{1}{1-x^3} \cdot (-3x^2) \cdot (1-2x^2)^2 - \ln(1-x^3) \cdot 2(1-2x^2) \cdot (-4x)}{(1-2x^2)^4} = \\ & = \frac{-\frac{3x^2}{1-x^3}(1-2x^2)^2 + 8x(1-2x^2)\ln(1-x^3)}{(1-2x^2)^4}. \end{align}
  2. En primer lugar, hallamos la derivada de la función $h.$ $$h'(x) = 3x^2 + 2ax + 3.$$ Si la pendiente de la recta tangente en $x = 1$ es 0, entonces $f'(1) = 0.$ $$f'(1) = 0 \Leftrightarrow 3 + 2a + 3 = 0 \Leftrightarrow 2a = -6 \Leftrightarrow a = -3.$$ Por otro lado, si $P(1, 2)$ es un punto de la función, entonces $f(1) = 2.$ $$f(1) = 2 \Leftrightarrow 1 - 3 + 3 + b = 2 \Leftrightarrow b = 1.$$ Por tanto, $a = -3$ y $b = 1.$

Ejercicio 4: Junio de 2024

La velocidad media del viento en la zona de Sierra Nevada, prevista para cierto día, viene dada por la función 𝑣(𝑡) expresada en km/h, donde 𝑡 es el tiempo expresado en horas: 𝑣(𝑡)={𝑡2−8𝑡+60,si 0≤𝑡≤10,−𝑡2+32𝑡−140,si 10<𝑡≤24.

  1. Compruebe que la función 𝑣 es continua y derivable.
  2. Represente gráficamente la función, estudiando previamente la monotonía y calculando los extremos absolutos.
  3. La Agencia Estatal de Meteorología emite avisos de alerta por vientos siguiendo el código de colores: naranja para vientos entre 100 y 140 km/h, y rojo para vientos de más de 140 km/h. Según la previsión, indique si se debe emitir alguna alerta naranja en Sierra Nevada ese día y durante qué horas estaría activa. ¿Se emitiría alerta roja?

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de la función $v.$
    • Si $t \in [0, 24]$ con $t \neq 10$, $v$ es continua y derivable con $$v'(t) = \begin{cases} 2t - 8, & \text{si } 0 \leq t < 10, \\ -2t + 32, & \text{si } 10 < t \leq 24. \end{cases}$$
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura $t = 10.$ \begin{align} & \lim_{t \to 10^-} v(t) = \lim_{t \to 10^-} (t^2 - 8t + 60) = 80, \\ & \lim_{t \to 10^+} v(t) = \lim_{t \to 10^+} (-t^2 + 32t - 140) = 80, \\ & v(10) = 80. \end{align} Observamos que $$\lim_{t \to 10^-} v(t) = \lim_{t \to 10^+} v(t) = v(10).$$ Así que $v$ es continua en $t = 10.$ Pasamos a estudiar su derivabilidad. \begin{align} & v'_-(10) = 12, \\ & v'_+(10) = 12. \end{align} Observamos que $$v'_-(10) = v'_+(10).$$ Así que $v$ es derivable en $t = 10.$
    Por tanto, $v$ es continua y derivable en $[0, 24].$
  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si $0 \leq t \leq 10$, $$v'(t) = 0 \Leftrightarrow 2t - 8 = 0 \Leftrightarrow t = 4.$$
    • Si $10 < t \leq 24$, $$v'(t) = 0 \Leftrightarrow -2t + 32 = 0 \Leftrightarrow t = 16.$$
    Así que los puntos críticos son $t = 4$ y $t = 16.$ Estudiamos el signo de la derivada.
    $(0, 4)$ $(4, 16)$ $(16, 24)$
    signo de $v'$ $-$ $+$ $-$
    monotonía de $v$ $\rightarrow$ $\rightarrow$ $\rightarrow$
    Por tanto, $v$ es creciente en $(4, 16)$ y es decreciente en $(0, 4) \cup (16, 24).$ Los puntos $(0, 60)$ y $(16, 116)$ son máximos relativos y los puntos $(4, 44)$ y $(24, 52)$ son mínimos relativos. Por tanto, $(16, 116)$ es el máximo absoluto y $(4, 44)$ es el mínimo absoluto.
    Representamos gráficamente la función usando la información obtenida. Figura
  3. Podemos observar en la gráfica que solo se superan velocidades de 100 km/h en la segunda rama de la función. $$v(t) = 100 \Leftrightarrow -t^2 + 32t - 140 = 100 \Leftrightarrow -t^2 + 32t - 240 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} t = 12, \\ t = 20. \end{cases}$$ Por tanto, la alerta naranja estaría activa entre las horas 12 y 20. Por otro lado, como por el apartado anterior el máximo absoluto es 116, no se emitiría alerta roja.

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2024

La superficie de ampliación de un parque de atracciones, en decámetros cuadrados, coincide con el área de la region delimitada por las graficas de las funciones 𝑓(𝑥)=−𝑥2+6𝑥y𝑔(𝑥)=𝑥25.

  1. Represente gráficamente la superficie de ampliación del parque de atracciones.
  2. Si el coste para acondicionar el nuevo suelo es de 75€/m2, calcule el área de ampliación del parque y el coste total del acondicionamiento.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos los puntos de corte de $f$ y $g.$ \begin{align} & f(x) = g(x) \Leftrightarrow -x^2 + 6x = \frac{x^2}{5} \Leftrightarrow -5x^2 + 30x = x^2 \Leftrightarrow \\ & \Leftrightarrow 6x^2 - 30x = 0 \Leftrightarrow 6x(x - 5) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = 0, \\ x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5. \end{cases} \end{align} Así que los puntos de corte son $(0, 0)$ y $(5, 5).$ Observamos además que las funciones $f$ y $g$ son parábolas con vértices $(3, 9)$ y $(0, 0)$, respectivamente. Representamos la región delimitada por ambas funciones. Figura
  2. Calculamos el área de la región. \begin{align} & \int_0^5 (f(x) - g(x))dx = \int_0^5 \left(-x^2 + 6x - \frac{x^2}{5}\right)dx = \int_0^5 \left(-\frac{6}{5}x^2 + 6x\right)dx = \\ & = \left[-\frac{6}{15}x^3 + 3x^2\right]_0^5 = -50 + 75 = 25 \; u^2. \end{align} Si el coste es de 75€/m2, entonces el coste será de $25 \cdot 75 = 1.875\text{€}.$

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2024

Se consideran las funciones 𝑓(𝑥)={2−𝑥2,si −1≤𝑥≤1,(𝑥−2)2,si 1<𝑥≤3y𝑔(𝑥)=1,si −1≤𝑥≤3.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de 𝑓 y 𝑔 en sus dominios.
  2. Represente el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y calcule su área.

Resolución
  1. En primer lugar, observamos que $\Dom(f) = \Dom(g) = [-1, 3].$ La función $g$ es continua y derivable en todo su dominio por ser constante. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de la función $f.$
    • Si $x \in [-1, 3]$ con $x \neq 1$, $f$ es continua y derivable con $$f'(x) = \begin{cases} -2x, & \text{si } -1 \leq x < 1, \\ 2(x-2), & \text{si } 1 < x \leq 3. \end{cases}$$
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura $x = 1.$ \begin{align} & \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2-x^2) = 1, \\ & \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x-2)^2 = 1, \\ & f(1) = 1. \end{align} Observamos que $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1).$$ Así que $f$ es continua en $x = 1.$ Pasamos a estudiar la derivabilidad. \begin{align} & f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^-} -2x = -2, \\ & f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} 2(x-2) = -2. \end{align} Observamos que $f'_-(1) = f'_+(1)$, así que $f$ es derivable en $x = 1.$
    Por tanto, $f$ también es continua y derivable en todo su dominio.
  2. En primer lugar, hallamos los puntos de corte de $f$ y $g.$
    • Si $-1 \leq x \leq 1$, $$f(x) = g(x) \Leftrightarrow 2 - x^2 = 1 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1.$$
    • Si $1 < x \leq 3$, $$f(x) = g(x) \Leftrightarrow (x-2)^2 = 1 \Leftrightarrow \begin{cases} x-2 = 1 \Leftrightarrow x = 3, \\ x-2 = -1 \Leftrightarrow x = 1. \end{cases}$$
    Así que los puntos de corte son $(-1, 1)$, $(1, 1)$ y $(3, 1).$ Observamos además que las dos ramas de $f$ son parábolas con vértices $(0, 2)$ y $(2, 0)$, respectivamente. Representamos los recintos limitados por ambas funciones. Figura Como los dos recintos tienen la misma superficie, podemos calcular el área como \begin{align} & 2 \int_{-1}^1 (f(x) - g(x))dx = 2 \int_{-1}^1 (2-x^2 - 1)dx = 2 \int_{-1}^1 (-x^2 + 1)dx = 2 \left[-\frac{1}{3}x^3 + x\right]_{-1}^1 = \\ & = 2 \left(-\frac{1}{3} + 1 - \left(\frac{1}{3} - 1\right)\right) = \frac{8}{3} \; u^2. \end{align}

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2024

Se considera la función 𝑓(𝑥)=1−43+𝑥.

  1. Halle el dominio de 𝑓 y los puntos de corte de su gráfica con los ejes de coordenadas.
  2. Calcule las asíntotas de la función 𝑓.
  3. Obtenga los puntos donde la recta tangente a la gráfica de 𝑓 tiene pendiente 1.
  4. Estudie la curvatura de la función 𝑓.

Resolución
    • La función $f$ es una función racional, así que los puntos que no pertenecen al dominio son aquellos que anulan el denominador. $$3 + x = 0 \Leftrightarrow x = -3.$$ Por tanto, $\Dom(f) = \mathbb{R} \setminus \{-3\}.$
    • Hallamos los puntos de corte con el eje $X$, es decir, aquellos puntos con $y = 0.$ $$f(x) = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{4}{3+x} = 0 \Leftrightarrow 1 = \frac{4}{3+x} \Leftrightarrow 3 + x = 4 \Leftrightarrow x = 1.$$ Luego el único punto de corte con el eje $X$ es $(1, 0).$
    • Hallamos ahora el punto de corte con el eje $Y.$ $$f(0) = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}.$$ Así que el punto de corte con el eje $Y$ es $\left(0, -\frac{1}{3}\right).$
    • El denominador se anula en $x = -3$ y observamos que \begin{align} & \lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^-} \left(1 - \frac{4}{3+x}\right) = +\infty, \\ & \lim_{x \to -3^+} f(x) = \lim_{x \to -3^+} \left(1 - \frac{4}{3+x}\right) = -\infty. \end{align} Por tanto, la recta $x = -3$ es una asíntota vertical.
    • Veamos si tiene una asíntota horizontal. $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{4}{3+x}\right) = 1.$$ Por tanto, la recta $y = 1$ es una asíntota horizontal.
  3. En primer lugar, hallamos la derivada de la función $f.$ $$f'(x) = \frac{4}{(3+x)^2}.$$ La pendiente de la recta tangente viene dada por el valor de la derivada. Así que: $$f'(x) = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{(3+x)^2} = 1 \Leftrightarrow 4 = (3+x)^2 \Leftrightarrow \begin{cases} 3 + x = 2 \Leftrightarrow x = -1, \\ 3 + x = -2 \Leftrightarrow x = -5. \end{cases}$$ Por tanto, la recta tangente tiene pendiente 1 en los puntos de abscisa $x = -1$ y $x = -5.$
  4. En primer lugar, hallamos la segunda derivada de la función $f.$ $$f''(x) = -\frac{8}{(3+x)^3}.$$ Observamos que $f''(x) \neq 0$ para $x \neq -3$, así que no tiene puntos de inflexión. Estudiamos el signo de $f''$ considerando $x = -3$ por no pertenecer al dominio.
    • Si $x < -3$, $f''(x) > 0.$ Así que $f$ es convexa.
    • Si $x > -3$, $f''(x) < 0.$ Así que $f$ es cóncava.
    Por tanto, $f$ es convexa en $(-\infty, -3)$ y cóncava en $(-3, +\infty).$

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2024

Se considera la función 𝑓(𝑥)={−𝑥2+2𝑥,si 𝑥<2,𝑥2−2𝑥,si 𝑥≥2.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
  2. Represente el recinto limitado por las rectas 𝑦 =2𝑥, 𝑥 = −1, 𝑥 =1 y la gráfica de 𝑓. Calcule su área.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de $f.$
    • Si $x \neq 2$, $f$ es continua y derivable con: $$f'(x) = \begin{cases} -2x + 2, & \text{si } x < 2, \\ 2x - 2, & \text{si } x > 2. \end{cases}$$
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura $x = 2.$ \begin{align} & \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (-x^2 + 2x) = 0, \\ & \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 - 2x) = 0, \\ & f(2) = 0. \end{align} Observamos que: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2).$$ Así que $f$ es continua en $x = 2.$ Pasamos a estudiar la derivabilidad. \begin{align} & f'_-(2) = \lim_{x \to 2^-} f'(x) = \lim_{x \to 2^-} (-2x + 2) = -2, \\ & f'_+(2) = \lim_{x \to 2^+} f'(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x - 2) = 2. \end{align} Observamos que $f'_-(2) = f'_+(2)$, así que $f$ no es derivable en $x = 2.$
    Por tanto, $f$ es continua en $\mathbb{R}$ y derivable en $\mathbb{R} \setminus \{2\}.$
  2. Representamos el recinto limitado por la gráfica de $f$ y las rectas $y = 2x$, $x = -1$ y $x = 1.$ Observamos que la primera rama de la función es una parábola con vértice $(1, 1).$ Figura Calculamos el área. $$\int_{-1}^1 (2x - (x^2 + 2x))dx = \int_{-1}^1 x^2 dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{-1}^1 = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} \; u^2.$$

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2024

Se desea analizar la evolución de la población de una localidad. Se conoce que la función 𝑓 aproxima el número de habitantes que tiene la población para cada tiempo 𝑡, medido en meses, con 𝑡 ∈[0,60]. El crecimiento de esta población viene dado por la siguiente expresión: 𝑓′(𝑡)=400+30√𝑡. También se sabe que la población en la actualidad, 𝑡 =0, es de 90.000 habitantes.

  1. ¿Cuál será la población dentro de 9 meses?
  2. Calcule ∫169𝑓′(𝑡)𝑑𝑡 e interprete el resultado.
  3. Si se entrega una ayuda de 150€ por cada nuevo habitante durante los tres primeros años, calcule la cuantía total aproximada de la ayuda que recibirá la localidad.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos la función $f$ integrando. $$f(t) = \int f'(t)dt = \int (400 + 30\sqrt{t})dt = 400t + 30 \cdot \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} + C = 400t + 20\sqrt{t^3} + C.$$ Como la población en $t = 0$ es de 90.00 habitantes, ha de verificarse que: $$f(0) = 90.000 \Leftrightarrow C = 90.000.$$ Así que: $$f(t) = 400t + 20\sqrt{t^3} + 90.000.$$ Por tanto, la población dentro de 9 meses será de $f(9) = 94.140$ habitantes.
  2. Calculamos la integral. $$\int_9^{16} f'(t)dt = \Big[400t + 20\sqrt{t^3}\Big]_9^{16} = 400 \cdot 16 + 20 \cdot 64 - (400 \cdot 9 + 20 \cdot 27) = 3.540.$$ El resultado se corresponde con el incremento del número de habitantes entre los meses 9 y 16.
  3. El número de nuevos habitantes durante los tres primeros años viene dado por: $$f(36) - f(0) = 108.720 - 90.000 = 18.720.$$ Por tanto, la ayuda que recibirá la localidad es de $18.720 \cdot 150 = 2.808.000\text{€}.$

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2024

Se considera la función 𝑓(𝑥)={3+𝑒𝑥,si 𝑥<1,𝑥2+𝑎𝑥+2,si 𝑥≥1.

  1. Determine el valor de 𝑎 para que la función 𝑓 sea continua en ℝ. Para ese valor de 𝑎, ¿es 𝑓 derivable?
  2. Para 𝑎 = −3, calcule la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.
  3. Para 𝑎 = −3, represente la región limitada por la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 =2, 𝑥 =4 y el eje de abscisas. Calcule el área de dicha región.

Resolución
  1. Si $x \neq 1$, $f$ es continua y derivable para cualquier valor de $a$ con: $$f'(x) = \begin{cases} e^x, & \text{si } x < 1, \\ 2x + a, & \text{si } x > 1. \end{cases}$$ Estudiamos su continuidad en el punto de ruptura $x = 1.$ \begin{align} & \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (3 + e^x) = 3 + e, \\ & \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 + ax + 2) = 3 + a, \\ & f(1) = 3 + a. \end{align} Para que $f$ sea continua, ha de verificarse que: $$3 + e = 3 + a \Leftrightarrow a = e.$$ Estudiamos la derivabilidad. \begin{align} & f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^-} e^x = e, \\ & f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x + e) = 2 + e. \end{align} Observamos que $f'_-(1) \neq f'_+(1)$, así que $f$ no es derivable en $x = 1.$
  2. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en $x = 0$ viene dada por: $$y - f(0) = f'(0)(x-0) \Leftrightarrow y - 4 = x \Leftrightarrow y = x + 4.$$
  3. Si $a = -3$, la función no es continua en $x = 1$ por el apartado anterior. Observamos que la segunda rama es una parábola con vértice $\left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{4}\right).$ Representamos la región. Figura Calculamos el área. $$\int_2^4 f(x)dx = \int_2^4 (x^2 - 3x + 2)dx = \left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x\right]_2^4 = \frac{64}{3} - 24 + 8 - \left(\frac{8}{3} - 6 + 4\right) = \frac{14}{3} \; u^2.$$

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2024

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥2+𝑎𝑥−1,si 𝑥≤1,𝑏𝑥,si 1<𝑥≤3,𝑥−13,si 𝑥>3, con 𝑎 y 𝑏 números reales.

  1. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓 sea continua. Para dichos valores, estudie la derivabilidad de 𝑓.
  2. Para 𝑎 =5 y 𝑏 =2, represente el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 =2, 𝑥 =4 y el eje 𝑂𝑋. Calcule su área.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad de $f.$
    • Si $x \neq 1$ y $x \neq 3$, $f$ es continua para cualquier valor de $a$ y $b.$
    • Estudiamos su continuidad en el punto de ruptura $x = 1.$ \begin{align} & \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + ax - 1) = a, \\ & \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{b}{x} = b, \\ & f(1) = a. \end{align} Para que $f$ sea continua en $x = 1$, ha de verificarse que $a = b.$
    • Estudiamos su continuidad en el punto de ruptura $x = 3.$ \begin{align} & \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \frac{b}{x} = \frac{b}{3}, \\ & \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} \frac{x-1}{3} = \frac{2}{3}, \\ & f(3) = \frac{b}{3}. \end{align} Para que $f$ sea continua en $x = 3$, ha de verificarse que: $$\frac{b}{3} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow b = 2.$$
    Por tanto, $f$ es continua si $a = 2$ y $b = 2.$ Estudiamos su derivabilidad para estos valores.
    • Si $x \neq 1$ y $x \neq 3$, $f$ es derivable con: $$f'(x) = \begin{cases} 2x + 2, & \text{si } x < 1, \\ -\dfrac{2}{x^2}, & \text{si } 1 < x < 3, \\ \dfrac{1}{3}, & \text{si } x > 3. \end{cases}$$
    • Estudiamos su derivabilidad en el punto de ruptura $x = 1.$ \begin{align} & f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x + 2) = 4, \\ & f'_-(1) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} -\frac{2}{x^2} = -2. \end{align} Observamos que $f'_-(1) \neq f'_+(1)$, así que $f$ no es derivable en $x = 1.$
    • Estudiamos su derivabilidad en el punto de ruptura $x = 3.$ \begin{align} & f'_-(3) = \lim_{x \to 3^-} f'(x) = \lim_{x \to 3^-} -\frac{2}{x^2} = -\frac{1}{3}, \\ & f'_-(3) = \lim_{x \to 3^+} f'(x) = \lim_{x \to 3^+} \frac{1}{3} = \frac{1}{3}. \end{align} Observamos que $f'_-(3) \neq f'_+(3)$, así que $f$ no es derivable en $x = 3.$
    Por tanto, $f$ es derivable en $\mathbb{R} \setminus \{1, 3\}.$
  2. Si $a = 5$, la función no es continua en $x = 1$ por el apartado anterior. Representamos el recinto. Figura Calculamos el área. \begin{align} & \int_2^3 \frac{2}{x}dx + \int_3^4 \frac{x-1}{3}dx = \Big[2\ln(x)\Big]_2^3 + \left[\frac{1}{6}x^2 - \frac{1}{3}x\right]_3^4 = \\ & = 2\ln(3) - 2\ln(2) + \frac{8}{3} - \frac{4}{3} - \left(\frac{3}{2} - 1\right) = 2\ln(3) - 2\ln(2) + \frac{5}{6} \; u^2. \end{align}

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2024

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−12𝑥2+𝑥+1,si 𝑥≤2,1𝑥−1,si 𝑥>2.

  1. Estudie la continuidad, derivabilidad y monotonía de 𝑓. Represente gráficamente dicha función.
  2. Calcule el area del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 =0, 𝑥 =4 y el eje 𝑂𝑋.

Resolución
    • Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de $f.$
      • Si $x \neq 2$, $f$ es continua y derivable con: $$f'(x) = \begin{cases} -x + 1, & \text{si } x < 2, \\ -\dfrac{1}{(x-1)^2}, & \text{si } x > 2. \end{cases}$$
      • Estudiamos la continuidad en el punto de ruptura $x = 2.$ \begin{align} & \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} -\frac{1}{2}x^2 + x + 1 = 1, \\ & \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-1} = 1, \\ & f(2) = 1. \end{align} Observamos que: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2).$$ Así que $f$ es continua en $x = 2.$ Pasamos a estudiar la derivabilidad. \begin{align} & f'_-(2) = \lim_{x \to 2^-} f'(x) = \lim_{x \to 2^-} -x + 1 = -1, \\ & f'_+(2) = \lim_{x \to 2^+} f'(x) = \lim_{x \to 2^+} -\frac{1}{(x-1)^2} = -1. \end{align} Observamos que $f'_-(2) = f'_+(2)$, así que $f$ es derivable en $x = 2.$
      Por tanto, $f$ es continua y derivable en $\mathbb{R}.$
    • Estudiamos la monotonía de $f.$ Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
      • Si $x < 2$, $$f'(x) = 0 \Leftrightarrow -x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1.$$
      • Si $x > 2$, $$f'(x) = -\frac{1}{(x-1)^2} \neq 0.$$
      Así que el único punto crítico es $x = 1.$ Estudiamos el signo de la derivada.
      $(-\infty, 1)$ $(1, +\infty)$
      signo de $f'$ $+$ $-$
      monotonía de $f$ $\rightarrow$ $\rightarrow$
      Por tanto, $f$ es creciente en $(-\infty, 1)$ y decreciente en $(1, +\infty).$ Además, el punto $\left(1, \frac{3}{2}\right)$ es un máximo relativo.
    • Representamos la función. Figura
  2. Podemos representar el recinto. Figura Calculamos el área. \begin{align} & \int_0^2 (-\frac{1}{2}x^2 + x + 1)dx + \int_2^4 \frac{1}{x-1}dx = \left[-\frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x\right]_0^2 + \Big[\ln(x-1)\Big]_2^4 = \\ & = -\frac{4}{3} + 2 + 2 + \ln(3) = \frac{8}{3} + \ln(3) \; u^2. \end{align}

Ejercicio 3: Julio de 2024

Dada la función 𝑓(𝑥)=2𝑥−62−𝑥.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de dicha función. Calcule sus asíntotas.
  2. Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como la existencia de extremos relativos.
  3. Halle los puntos de corte con los ejes de coordenadas y represente gráficamente la función.

Resolución

Ejercicio 4: Julio de 2024

Se considera la función 𝑓(𝑥)={−𝑥2+4𝑥+3,si 𝑥<4,2𝑥−5,si 𝑥≥4.

  1. Estudie su continuidad y derivabilidad.
  2. Estudie su monotonía y calcule sus extremos relativos.
  3. Represente la región del plano limitada por la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 =3, 𝑥 =5 y el eje de abscisas. Calcule su área.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de $f.$
    • Si $x \neq 4$, $f$ es continua y derivable con $$f'(x) = \begin{cases} -2x + 4, & \text{si } x < 4, \\ 2, & \text{si } x > 4. \end{cases}$$
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura $x = 4.$ \begin{align} & \lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^-} (-x^2 + 4x + 3) = 3, \\ & \lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} (2x - 5) = 3, \\ & f(4) = 3. \end{align} Observamos que $$\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) = f(4).$$ Así que $f$ es continua en $x = 4.$ Pasamos a estudiar la derivabilidad. \begin{align} & f'_-(4) = \lim_{x \to 4^-} f'(x) = \lim_{x \to 4^-} (-2x + 4) = -4, \\ & f'_+(4) = \lim_{x \to 4^+} f'(x) = \lim_{x \to 4^+} 2 = 2. \end{align} Así que $f$ no es derivable en $x = 4.$
    Por tanto, $f$ es continua en $\mathbb{R}$ y derivable en $\mathbb{R} \setminus \{4\}.$
  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si $x < 4$, $$f'(x) = 0 \Leftrightarrow -2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2.$$
    • Si $x > 4$, $$f'(x) = 2 \neq 0.$$
    Así que el único punto crítico es $x = 2.$ También consideramos $x = 4$ por no ser derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    $(-\infty, 2)$ $(2, 4)$ $(4, +\infty)$
    signo de $f'$ $+$ $-$ $+$
    monotonía de $f$ $\rightarrow$ $\rightarrow$ $\rightarrow$
    Por tanto, $f$ es creciente en $(-\infty, 2) \cup (4, +\infty)$ y decreciente en $(2, 4).$ Además, el punto $(2, 7)$ es un máximo relativo y el punto $(4, 3)$ es un mínimo relativo.
  3. Representamos el recinto limitado por la gráfica de $f$, el eje $X$ y las rectas $x = 3$ y $x = 5.$ Observamos que la parábola tiene vértice $(2, 7).$ Figura Calculamos el área. \begin{align} & \int_{3}^4 (-x^2 + 4x + 3)dx + \int_4^5 (2x - 5)dx = \left[-\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 3x\right]_3^4 + \Big[x^2 - 5x\Big]_4^5 = \\ & -\frac{64}{3} + 32 + 12 - (-9 + 18 + 9) + 25 - 25 - (16 - 20) = \frac{26}{3} \; u^2. \end{align}

Ejercicio 3: Junio de 2023

Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −3𝑥2 +2𝑥.

  1. Halle los puntos de corte con los ejes, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos de 𝑓 y su curvatura.
  2. Represente gráficamente la función 𝑓.
  3. Calcule el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de 𝑓 y el eje de abscisas.

Resolución
    • Hallamos los puntos de corte con el eje $X$, es decir, aquellos puntos con $y = 0.$ $$f(x) = 0 \Leftrightarrow x^3 - 3x^2 + 2x = 0 \Leftrightarrow x(x^2 - 3x + 2) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = 0, \\ x^2 - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = 1, \\ x = 2. \end{cases} \end{cases}$$ Luego los puntos de corte con el eje $X$ son $(0, 0)$, $(1, 0)$ y $(2, 0).$ Observamos que $(0, 0)$ es por tanto el punto de corte con el eje $Y.$
    • Estudiamos la monotonía y los extremos. En primer lugar, calculamos la derivada de la función $f.$ $$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2.$$ Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de $f$ a cero. $$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}.$$ Estudiemos el signo de la derivada.
      $\left(-\infty, 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ $\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ $\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty\right)$
      signo de $f'$ $+$ $-$ $+$
      monotonía de $f$ $\rightarrow$ $\rightarrow$ $\rightarrow$
      Por tanto, $f$ es creciente en $\left(-\infty, 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cup \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty\right)$ y es decreciente en $\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right).$ Además, tiene un máximo relativo en $x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ y un mínimo relativo en $1 + \frac{\sqrt{3}}{3}.$ Es decir, el punto $(0,42; \; 0,38)$ es un máximo relativo y el punto $(1,58; \; -0,38)$ es un mínimo relativo.
    • Estudiamos la curvatura. Para ello, calculamos la segunda derivada de $f.$ $$f''(x) = 6x - 6.$$ Para hallar los candidatos a puntos de inflexión, igualamos la segunda derivada a cero. $$f''(x) = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1.$$ Estudiemos el signo de la segunda derivada.
      $(-\infty, 1)$ $(1, +\infty)$
      signo de $f''$ $-$ $+$
      curvatura de $f$ $\frown$ $\smile$
      Por tanto, $f$ es convexa en $(1, +\infty)$ y es cóncava en $(-\infty, 1).$ Además, tiene un punto de inflexión en $x = 1$, es decir, el punto $(1, 0).$
  2. Representamos gráficamente la función usando la información del apartado anterior. Figura
  3. Podemos representar el recinto acotado limitado por la gráfica de $f$ y el eje $X.$ Figura Calculamos el área. \begin{align} & \int_0^1 f(x)dx + \int_1^2 -f(x)dx = \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2x)dx + \int_1^2 -(x^3 - 3x^2 + 2x)dx = \\ & = \left[\frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2\right]_0^1 - \left[\frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2\right]_1^2 = \frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2} \; u^2. \end{align}

Ejercicio 4: Junio de 2023

Se desea analizar el valor de las acciones de una empresa en un día. La función 𝑣(𝑡) nos indica el valor, en euros, de cada acción de la empresa en función del tiempo 𝑡, medido en horas, a partir de la hora de apertura del mercado. De la función 𝑣(𝑡) se conoce que su variación instantánea es 𝑣′(𝑡)=𝑡2−5𝑡+6,𝑡∈[0,6].

  1. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑣.
  2. Si en el momento de la apertura del mercado se conoce que 𝑣(0) =10, halle la función 𝑣.
  3. Si un inversor compró 3.000 de estas acciones en el instante 𝑡 =2 y posteriormente las vendió en el instante 𝑡 =4, indique a cuánto ascendió la ganancia o la pérdida que obtuvo el inversor con esta gestión.
  4. ¿En qué momentos debería haber realizado este inversor las gestiones de compra y de venta para que la ganancia hubiese sido máxima? Justifique su respuesta.

Resolución
  1. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de $v$ a cero. $$v'(t) = 0 \Leftrightarrow t^2 - 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} t = 2, \\ t = 3. \end{cases}$$ Así que los puntos críticos se encuentran en $t = 2$ y $t = 3.$ Estudiemos el signo de la derivada.
    $(0, 2)$ $(2, 3)$ $(3, 6)$
    signo de $v'$ $+$ $-$ $+$
    monotonía de $v$ $\rightarrow$ $\rightarrow$ $\rightarrow$
    Por tanto, $v$ es creciente en $(0, 2) \cup (3, 6)$ y es decreciente en $(2, 3).$
  2. Como $v'$ es la derivada de $v$, entonces $$v(t) = \int v'(t)dt = \int (t^2 - 5t + 6) dt = \frac{1}{3}t^3 - \frac{5}{2}t^2 + 6t + C.$$ Además, $$v(0) = 10 \Leftrightarrow C = 10.$$ Por tanto, $$v(t) = \frac{1}{3}t^3 - \frac{5}{2}t^2 + 6t + 10.$$
  3. Calculamos los valores de cada acción de la empresa en los instantes $t = 2$ y $t = 4.$ \begin{align} & v(2) = \frac{8}{3} - 10 + 12 + 10 = \frac{44}{3}, \\ & v(4) = \frac{64}{3} - 40 + 24 + 10 = \frac{46}{3}. \end{align} Así que el incremento de valor de cada acción es de $$v(4) - v(2) = \frac{46}{3} - \frac{44}{3} = \frac{2}{3}.$$ Por tanto, la ganancia obtenida por la compra de 3.000 acciones es de $3.000 \cdot \frac{2}{3} = 2.000\text{€}.$
  4. Por el primer apartado, sabemos que la función $v$ tiene máximos relativos en $t = 2$ y $t = 6$ y tiene mínimos relativos en $t = 0$ y $t = 3.$ Observamos que \begin{align} & v(0) = 10, & & v(2) = \frac{44}{3} \approx 14,67, \\ & v(3) = \frac{29}{2} = 14,5, & & v(6) = 28. \end{align} Así que el máximo absoluto se encuentra en $t = 6$ y el mínimo absoluto en $t = 0.$ Por tanto, el mejor momento para comprar acciones es a la apertura del mercado (el instante $t = 0$) y el mejor momento para venderlas es a las seis horas.

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2023

  1. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada una de las siguientes funciones en el punto de abscisa 𝑥 =0: 𝑓(𝑥)=3𝑥2+5𝑥−2−3𝑥+7,𝑔(𝑥)=ln⁡(13𝑥+1).
  2. Calcule las integrales definidas siguientes: ∫−1−253𝑥4𝑑𝑥,∫0−3𝑒𝑥35𝑑𝑥.

Resolución
    • En primer lugar, hallamos la derivada de la función $f.$ $$f'(x) = \frac{(6x + 5)(-3x + 7) + 3(3x^2 + 5x - 2)}{(-3x + 7)^2}.$$ La ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en $x = 0$ viene dada por: $$y - f(0) = f'(0)(x-0) \Leftrightarrow y + \frac{2}{7} = \frac{29}{49}x \Leftrightarrow y = \frac{29}{49}x - \frac{2}{7}.$$
    • En primer lugar, hallamos la derivada de la función $g.$ $$g'(x) = (3x+1) \cdot \frac{-1}{(3x+1)^2} \cdot 3 = -\frac{3}{3x+1}.$$ La ecuación de la recta tangente a la gráfica de $g$ en $x = 0$ viene dada por: $$y - g(0) = g'(0)(x-0) \Leftrightarrow y = -3x.$$
    • En primer lugar, hallamos una primitiva de la función. $$\int \frac{5}{3x^4}dx = \frac{5}{3} \int x^{-4}dx = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{-3} x^{-3} = -\frac{5}{9x^3}.$$ Calculamos la integral definida. $$\int_{-2}^{-1} \frac{5}{3x^4}dx = \left[-\frac{5}{9x^3}\right]_{-2}^{-1} = -\frac{5}{9} \left[\frac{1}{x^3}\right]_{-2}^{-1} = -\frac{5}{9} \left(-1 - \frac{1}{-8}\right) = -\frac{5}{9} \cdot \left(-\frac{7}{8}\right) = \frac{35}{72}.$$
    • En primer lugar, hallamos una primitiva de la función. $$\int \frac{e^{\frac{x}{3}}}{5}dx = \frac{1}{5} \int e^{\frac{x}{3}}dx = \frac{1}{5} \cdot 3 \int \frac{1}{3}e^{\frac{x}{3}}dx = \frac{3}{5}e^{\frac{x}{3}}.$$ Calculamos la integral definida. $$\int_{-3}^0 \frac{e^{\frac{x}{3}}}{5}dx = \left[\frac{3}{5}e^{\frac{x}{3}}\right]_{-3}^0 = \frac{3}{5} \Big[e^{\frac{x}{3}}\Big]_{-3}^0 = \frac{3}{5} \left(1 - \frac{1}{e}\right).$$

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2023

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥3+2𝑥2−3,si 𝑥≤1,1+1𝑥−2,si 𝑥>1.

  1. Estudie la continuidad de 𝑓. Si la función no es continua en algún punto, indique el tipo de discontinuidad que presenta.
  2. Estudie la derivabilidad de 𝑓.
  3. Determine las asíntotas de 𝑓.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad de la función $f.$
    • Si $x < 1$, $f$ es continua.
    • Si $x > 1$, $f$ es continua salvo en $x = 2.$ Observamos que \begin{align} & \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left(1 + \frac{1}{x-2}\right) = -\infty, \\ & \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \left(1 + \frac{1}{x-2}\right) = +\infty. \end{align} Por tanto, en $x = 2$ presenta una discontinuidad de salto infinito.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura $x = 1.$ \begin{align} & \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 2x^2 - 3) = 0, \\ & \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{1}{x-2}\right) = 0, \\ & f(1) = 0. \end{align} Observamos que $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1).$$ Así que $f$ es continua en $x = 1.$
    Por tanto, $f$ es continua en $\mathbb{R} \setminus \{2\}.$
  2. Estudiamos la derivabilidad de la función $f.$
    • Si $x \neq 1$ y $x \neq 2$, $f$ es derivable con $$f'(x) = \begin{cases} 3x^2 + 4x, & \text{si } x < 1, \\ -\dfrac{1}{(x-2)^2}, & \text{si } x > 1. \end{cases}$$
    • Estudiamos la derivabilidad para el punto de ruptura $x = 1.$ \begin{align} & f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^-} (3x^2 + 4x) = 7, \\ & f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} -\frac{1}{(x-2)^2} = -1. \end{align} Observamos que $f'_-(1) \neq f'_+(1)$, así que $f$ no es derivable en $x = 1.$
    Por tanto, $f$ es derivable en $\mathbb{R} \setminus \{1, 2\}.$
  3. Estudiamos las asíntotas. La primera rama no tiene asíntotas por ser un polinomio, así que nos fijamos en la segunda rama.
    • El denominador se anula en $x = 2$ y habíamos visto que \begin{align} & \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left(1 + \frac{1}{x-2}\right) = -\infty, \\ & \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \left(1 + \frac{1}{x-2}\right) = +\infty. \end{align} Por tanto, la recta $x = 2$ es una asíntota vertical.
    • Veamos si tiene alguna asíntota horizontal por la derecha. $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x-2}\right) = 1.$$ Por tanto, la recta $y = 1$ es una asíntota horizontal por la derecha.

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2023

  1. Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=(−7+𝑥2)3𝑒5−𝑥,𝑔(𝑥)=ln⁡(𝑥4−2𝑥2)8−𝑥3.
  2. Represente gráficamente la región acotada comprendida entre la recta 𝑦 = −2𝑥 +6 y la parábola 𝑦 = −𝑥2 +2𝑥 +3 y calcule su área.

Resolución
    • Calculamos la derivada de la función $f.$ \begin{align} f'(x) & = 3(-7+x^2)^2 \cdot 2x \cdot e^{5-x} + (-7+x^2)^3 \cdot e^{5-x} \cdot (-1) = 6x(x^2-7)^2 e^{5-x} - (x^2-7)^3 e^{5-x} = \\ & = (x^2-7)^2 (-x^2 + 6x + 7) e^{5-x}. \end{align}
    • Calculamos la derivada de la función $g.$ $$g'(x) = \frac{\frac{1}{x^4 - 2x^2} \cdot (4x^3 - 4x) \cdot (8 - x^3) - \ln(x^4 - 2x^2) \cdot (-3x^2)}{(8-x^3)^2} = \frac{\frac{(4x^3 - 4x)(8 - x^3)}{x^4 - 2x^2} + 3x^2 \ln(x^4 - 2x^2)}{(8-x^3)^2}.$$
  2. Llamamos $f(x) = -2x + 6$ y $g(x) = -x^2 + 2x + 3.$ En primer lugar, hallamos los puntos de corte de $f$ y $g.$ $$f(x) = g(x) \Leftrightarrow -2x + 6 = -x^2 + 2x + 3 \Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = 1, \\ x = 3. \end{cases}$$ Así que los puntos de corte son $(1, 4)$ y $(3, 0).$ Observamos además que el vértice de la parábola es $(1, 4).$ Representamos el recinto acotado limitado por ambas funciones. Figura Calculamos el área del recinto. \begin{align} & \int_1^3 (g(x) - f(x))dx = \int_1^3 (-x^2 + 2x + 3 - (-2x + 6))dx = \int_1^3 (-x^2 + 4x - 3)dx = \left[-\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 3x\right]_1^3 = \\ & = -9 + 18 - 9 - \left(-\frac{1}{3} + 2 - 3\right) = \frac{4}{3} \; u^2. \end{align}

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2023

La temperatura en el interior de un equipo de refrigeración durante un día que sufrió un corte de energía viene dada por la función 𝑓 expresada en grados centígrados y el tiempo 𝑡 en horas: 𝑓(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩−9,si 0≤𝑡≤1,−𝑡2+12𝑡−20,si 1<𝑡<11,−9,si 11≤𝑡≤24.

  1. Estudie la continuidad de 𝑓.
  2. Represente gráficamente la función 𝑓.
  3. Conteste razonadamente a qué hora se produjo el corte de energía y cuánto duró dicho corte.
  4. El equipo de refrigeración se utiliza para conservar sueros y vacunas. Los sueros se estropean si se alcanzan temperaturas de 20°C en algún momento. Las vacunas se estropean si están por encima de 0°C durante más de seis horas. Razone si alguno de esos productos se estropeó ese día.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad de la función $f.$
    • Si $t \in [0, 24]$ con $t \neq 1$ y $t \neq 11$, $f$ es continua.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura $t = 1.$ \begin{align} & \lim_{t \to 1^-} f(t) = \lim_{t \to 1^-} -9 = -9, \\ & \lim_{t \to 1^+} f(t) = \lim_{t \to 1^+} -t^2 + 12t - 20 = -9, \\ & f(1) = -9. \end{align} Observamos que $$\lim_{t \to 1^-} f(t) = \lim_{t \to 1^+} f(t) = f(1).$$ Así que $f$ es continua en $t = 1.$
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura $t = 11.$ \begin{align} & \lim_{t \to 11^-} f(t) = \lim_{t \to 11^-} -t^2 + 12t - 20 = -9, \\ & \lim_{t \to 11^+} f(t) = \lim_{t \to 11^+} -9 = -9, \\ & f(11) = -9. \end{align} Observamos que $$\lim_{t \to 11^-} f(t) = \lim_{t \to 11^+} f(t) = f(11).$$ Así que $f$ es continua en $t = 11.$
    Por tanto, $f$ es continua en $[0, 24].$
  2. Representamos gráficamente la función. Observamos que la parábola tiene vértice $(6, 16).$ Figura
  3. El corte de energía se produjo al cabo de 1 hora, que es el momento en el que la temperatura comenzó a aumentar. Por otro lado, la energía se restableció a las 6 horas, en el máximo absoluto, el momento en el que la temperatura empezó a disminuir de nuevo. Por tanto, el corte de energía duró 5 horas.
  4. Los sueros no se estropearon, puesto que la temperatura máxima que se alcanzó fue de 16ºC. Por otro lado, como la temperatura estuvo por encima de los 0ºC durante 8 horas (de $t = 2$ a $t = 10$), las vacunas sí se estropearon.

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2023

  1. Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑎𝑥2+𝑏𝑥+6,si 𝑥≤2,5,−1,4𝑥+7,si 𝑥>2,5, con 𝑎 y 𝑏 números reales. Calcule el valor de los parámetros 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua y tenga un máximo en 𝑥 =1.
  2. Represente gráficamente la función 𝑔(𝑥) = −2𝑥2 +2𝑥 +4 y calcule el área de la región acotada, limitada por la gráfica de dicha función y el eje de abscisas.

Resolución
    • Si $x \neq 2,5$, $f$ es continua y derivable con $$f'(x) = \begin{cases} 2ax + b, & \text{si } x < 2,5, \\ -1,4, & \text{si } x > 2,5. \end{cases}$$
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura $x = 2,5.$ \begin{align} & \lim_{x \to 2,5^-} f(x) = \lim_{x \to 2,5^-} (ax^2 + bx + 6) = 6,25a + 2,5b + 6, \\ & \lim_{x \to 2,5^+} f(x) = \lim_{x \to 2,5^+} (-1,4x + 7) = 3,5, \\ & f(2,5) = 6,25a + 2,5b + 6. \end{align} Para que $f$ sea continua, ha de verificarse $$6,25a + 2,5b + 6 = 3,5 \Leftrightarrow 6,25a + 2,5b = -2,5 \Leftrightarrow 25a + 10b = -10 \Leftrightarrow 5a + 2b = -2.$$
    Además, para que $f$ tenga un máximo en $x = 1$ ha de ocurrir que $f'(1) = 0.$ $$f'(1) = 0 \Leftrightarrow 2a + b = 0.$$ Con estas dos condiciones, planteamos el sistema de ecuaciones \begin{cases} 5a + 2b = -2, \\ 2a + b = 0. \end{cases} Resolvemos el sistema por sustitución. Como $2a + b = 0 \Leftrightarrow b = -2a$, $$5a + 2b = -2 \xrightarrow{b = -2a} 5a - 4a = -2 \Leftrightarrow a = -2.$$ Así que $$b = -2a \xrightarrow{a = -2} b = 4.$$ Por tanto, $a = -2$ y $b = 4.$
  2. En primer lugar, hallamos los puntos de corte de la función $g$ con el eje $X.$ $$g(x) = 0 \Leftrightarrow -2x^2 + 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = -1, \\ x = 2. \end{cases}$$ Así que los puntos de corte son $(-1, 0)$ y $(2, 0).$ Además, observamos que $g$ es una parábola con vértice $\left(\frac{1}{2}, \frac{9}{2}\right).$ Representamos la función y el recinto acotado. Figura Calculamos el área del recinto. $$\int_{-1}^2 g(x)dx = \int_{-1}^2 (-2x^2 + 2x + 4)dx = \left[-\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x\right]_{-1}^2 = -\frac{16}{3} + 4 + 8 - \left(\frac{2}{3} + 1 - 4\right) = 9 \; u^2.$$

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2023

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥23,si 0≤𝑥≤2,4𝑥+1,si 𝑥>2.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓.
  2. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, el máximo de la función y represente gráficamente la función 𝑓.

Resolución
    • Si $x \geq 0$ y $x \neq 2$, $f$ es continua y derivable con $$f'(x) = \begin{cases} \frac{2}{3}x, & \text{si } 0 \leq x < 2, \\ -\dfrac{4}{(x+1)^2}, & \text{si } x > 2. \end{cases}$$
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura $x = 2.$ \begin{align} & \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{x^2}{3} = \frac{4}{3}, \\ & \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{4}{x+1} = \frac{4}{3}, \\ & f(2) = \frac{4}{3}. \end{align} Observamos que $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2).$$ Así que $f$ es continua en $x = 2.$
      Pasamos a estudiar la derivabilidad. \begin{align} & f'_-(2) = \lim_{x \to 2^-} f'(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{2}{3}x = \frac{4}{3}, \\ & f'_+(2) = \lim_{x \to 2^+} f'(x) = \lim_{x \to 2^+} -\frac{4}{(x+1)^2} = -\frac{4}{9}. \end{align} Observamos que $f'_-(2) \neq f'_+(2)$, así que $f$ no es derivable en $x = 2.$
    Por tanto, $f$ es continua en $[0, +\infty)$ y derivable en $[0, 2) \cup (2, +\infty).$

  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.

    • Si $0 \leq x < 2$, $$f(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{3}x = 0 \Leftrightarrow x = 0.$$
    • Si $x > 2$, $$f'(x) = -\frac{4}{(x+1)^2} \neq 0.$$

    Así que el único punto crítico es $x = 0.$ También consideramos $x = 2$ por ser el punto de ruptura. Estudiemos el signo de la derivada.

    $(0, 2)$ $(2, +\infty)$
    signo de $f'$ $+$ $-$
    monotonía de $f$ $\rightarrow$ $\rightarrow$

    Por tanto, $f$ es creciente en $(0, 2)$ y es decreciente en $(2, +\infty).$ Además, el punto $\left(2, \frac{4}{3}\right)$ es un máximo relativo.

    Representamos gráficamente la función usando la información obtenida.

    Figura

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2023

Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑥2−4𝑥+4,si 𝑥<3,−𝑥+4,si 𝑥≥3.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓 en todos los puntos de su dominio.
  2. Respresente gráficamente 𝑓.
  3. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de 𝑓, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 =2 y 𝑥 =4.

Resolución
    • Si $x \neq 3$, $f$ es continua y derivable con $$f'(x) = \begin{cases} 2x - 4, & \text{si } x < 3, \\ -1, & \text{si } x > 3. \end{cases}$$
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura $x = 3.$ \begin{align} & \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (x^2 - 4x + 4) = 1, \\ & \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (-x+4) = 1, \\ & f(3) = 1. \end{align} Observamos que $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3).$$ Así que $f$ es continua en $x = 3.$
      Pasamos a estudiar la derivabilidad. \begin{align} & f'_-(3) = \lim_{x \to 3^-} f'(x) = \lim_{x \to 3^-} (2x - 4) = 2, \\ & f'_+(3) = \lim_{x \to 3^+} f'(x) = \lim_{x \to 3^+} -1 = -1. \end{align} Observamos que $f'_-(3) \neq f'_+(3)$, así que $f$ no es derivable en $x = 3.$
    Por tanto, $f$ es continua en $\mathbb{R}$ y derivable en $\mathbb{R} \setminus \{3\}.$
  2. Representamos gráficamente la función. Observamos que la parábola tiene vértice $(2, 0).$ Figura
  3. Podemos representar el recinto acotado limitado por la gráfica de $f$ y las rectas $x = 2$ y $x = 4.$ Figura Calculamos el área. \begin{align} & \int_2^3 (x^2 - 4x + 4)dx + \int_3^4 (-x+4)dx = \left[\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x\right]_2^3 + \left[-\frac{1}{2}x^2 + 4x\right]_3^4 = \\ & = 9 - 18 + 12 - \left(\frac{8}{3} - 8 + 8\right) - 8 + 16 - \left(-\frac{9}{2} + 12\right) = \frac{5}{6} \; u^2. \end{align}

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2023

La función 𝐵(𝑡) = −𝑡2 +21𝑡 −20 con 0 ≤𝑡 ≤15 representa el beneficio, en miles de euros, de una empresa en función de los años, 𝑡.

  1. Si la función 𝐼(𝑡) = −𝑡2 +48𝑡 representa los ingresos de esta empresa, en miles de euros, para el mismo intervalo de tiempo, ¿cuál es la función de gastos de dicha empresa? ¿Cuáles son los gastos iniciales?
  2. Calcule el momento a partir del cual el beneficio fue positivo.
  3. Calcule en qué momento el beneficio fue máximo y el valor del mismo.
  4. Represente gráficamente la función beneficio.

Resolución

Ejercicio 3: Julio de 2023

El área quemada de la región plana de la cubierta de plástico de un invernadero, coincide con el área de la región acotada delimitada por las gráficas de las funciones 𝑓(𝑥) =(𝑥 −1)2 y 𝑔(𝑥) =5 −2𝑥 donde 𝑥 está expresado en metros.

  1. Represente gráficamente la zona deteriorada.
  2. Para reparar la región quemada, se ha de utilizar plástico cuyo coste es de 15 euros por metro cuadrado. Si en el trabajo de reparación se desperdicia la tercera parte del plástico adquirido, ¿cuánto costará el plástico comprado?

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos los puntos de corte de $f$ y $g.$ $$f(x) = g(x) \Leftrightarrow (x-1)^2 = 5 - 2x \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 = 5 - 2x \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2.$$ Así que los puntos de corte son $(-2, 9)$ y $(2, 1).$ Observamos además que la función $f$ es una parábola con vértice $(1, 0)$ y $g$ es una recta. Representamos el recinto acotado limitado por ambas funciones. Figura
  2. Calculamos el área del recinto. \begin{align} & \int_{-2}^2 (g(x) - f(x))dx = \int_{-2}^2 (5 - 2x - (x-1)^2)dx = \int_{-2}^2 (-x^2 + 4)dx = \left[-\frac{1}{3}x^3 + 4x\right]_{-2}^2 = \\ & = -\frac{8}{3} + 8 - \left(\frac{8}{3} - 8\right) = \frac{32}{3} \; m^2. \end{align} Como se desperdicia la tercera parte del plástico, los $\frac{32}{3}$ m2 corresponden a $\frac{2}{3}$ del plástico comprado. Así que el área del plástico es $$\frac{32}{3} : \frac{2}{3} = 16 \; m^2.$$ Si el coste es de 15€ por metro cuadrado, entonces el plástico costará $16 \cdot 15 = 240\text{€}.$

Ejercicio 4: Julio de 2023

Sea la función 𝑓(𝑡)=12𝑡−24𝑡+3,𝑡≥0.

  1. Represente gráficamente la función 𝑓, determinando los puntos de corte con los ejes coordenados y las ecuaciones de las asíntotas, y estudiando la monotonía y la curvatura de 𝑓.
  2. Si la función 𝑓 representa los beneficios de una empresa, en millones de euros, donde 𝑡 indica los años de vida de la empresa:
    1. ¿A partir de qué año la empresa deja de tener pérdidas? Justifique la respuesta.
    2. A medida que pasan los años, ¿están limitados los beneficios? En caso afirmativo, ¿cuál es su límite y por qué?

Resolución
    • Hallamos los puntos de corte con el eje $X$, es decir, aquellos puntos con $y = 0.$ $$f(t) = 0 \Leftrightarrow \frac{12t-24}{t+3} = 0 \Leftrightarrow 12t - 24 = 0 \Leftrightarrow t = 2.$$ Luego el punto de corte con el eje $X$ es $(2, 0).$
    • Hallamos ahora el punto de corte con el eje $Y.$ $$f(0) = \frac{-24}{3} = -8.$$ Así que el punto de corte con el eje $Y$ es $(0, -8).$
    • Estudiamos las asíntotas. El denominador solo se anula en $t = -3.$ Sin embargo, la función no está definida en un entorno cercano, así que no tiene ninguna asíntota vertical. Veamos si $f$ tiene alguna asíntota horizontal. $$\lim_{t \to +\infty} \frac{12t-24}{t+3} = 12.$$ Por tanto, la recta $y = 12$ es una asíntota horizontal.
    • Estudiamos la monotonía. En primer lugar, calculamos la derivada de la función $f.$ $$f'(t) = \frac{12(t+3) - (12t-24)}{(t+3)^2} = \frac{60}{(t+3)^2}.$$ Observamos que la derivada nunca se anula y siempre es positiva, así que no tiene puntos críticos y es creciente en todo su dominio.
    • Estudiamos la curvatura. Para ello, calculamos la segunda derivada de $f.$ $$f''(t) = -\frac{120}{(t+3)^3}.$$ Observamos que la segunda derivada nunca se anula y es siempre negativa para $t \geq 0$, así que no tiene puntos de inflexión y es cóncava en todo su dominio.
    Representamos gráficamente la función usando esta información. Figura
    1. Los beneficios de la empresa empiezan a ser positivos a partir del segundo año, donde se encuentra el punto de corte $(2, 0).$
    2. A pesar de que los beneficios aumentan con el paso de los años, tienen como límite 12 millones de euros, representado en la gráfica por la asíntota horizontal $y = 12.$

Ejercicio 3: Junio de 2022

  1. Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐, con 𝑎, 𝑏 y 𝑐 números reales. Calcule los valores 𝑎, 𝑏 y 𝑐 sabiendo que la gráfica de 𝑓 posee un extremo relativo en el punto de abscisa 𝑥 =3 y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto 𝑃(0,18) es -3.
  2. Calcule el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función 𝑔(𝑥) =𝑥3 −4𝑥2 −3𝑥 +18 y el eje de abscisas.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos la derivada de la función $f.$ $$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b.$$
    • Si la función tiene un extremo en $x = 3$, entonces $f'(3) = 0.$ $$f'(3) = 0 \Leftrightarrow 27 + 6a + b = 0.$$
    • Si la pendiente de la recta tangente en $x = 0$ es -3, entonces $f'(0) = -3.$ $$f'(0) = -3 \Leftrightarrow b = -3.$$ Por otro lado, si $(0, 18)$ es un punto de la función, entonces $f(0) = 18.$ $$f(0) = 18 \Leftrightarrow c = 18.$$
    Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, $$27 + 6a + b = 0 \Leftrightarrow a = -\frac{b + 27}{6} \xrightarrow{b = -3} a = -4.$$ Por tanto, $a = -4$, $b = -3$ y $c = 18.$
  2. En primer lugar, hallamos los puntos de corte de la función $g$ con el eje $X.$ $$g(x) = 0 \Leftrightarrow x^3 - 4x^2 - 3x + 18 = 0 \Leftrightarrow (x+2)(x-3)^2 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = -2, \\ x = 3. \end{cases}$$ Así que los puntos de corte son $(-2, 0)$ y $(3, 0).$
    Podemos representar el recinto acotado limitado por la gráfica de $g$ y el eje $X.$ Figura Calculamos el área. \begin{align} & \int_{-2}^3 g(x)dx = \int_{-2}^3 (x^3 - 4x^2 - 3x + 18)dx = \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 18x\right]_{-2}^3 = \\ & = \frac{81}{4} - 36 - \frac{27}{2} + 54 - \left(4 + \frac{32}{3} - 6 - 36\right) = \frac{625}{12} \; u^2. \end{align}

Ejercicio 4: Junio de 2022

  1. Se considera la función 𝑓(𝑥)={6𝑥−3,si 𝑥≤1,𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2,si 𝑥>1, con 𝑎 y 𝑏 números reales. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓 sea continua y derivable en todo su dominio.
  2. Calcule el área del recinto acotado, limitado por el eje 𝑂𝑋 y la gráfica de la función 𝑔(𝑥) = −2𝑥2 +8𝑥 −6.

Resolución
    • Si $x \neq 1$, $f$ es continua y derivable con $$f'(x) = \begin{cases} 6, & \text{si } x < 1, \\ 2ax + b, & \text{si } x > 1. \end{cases}$$
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura $x = 1.$ \begin{align} & \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (6x - 3) = 3, \\ & \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (ax^2 + bx + 2) = a + b + 2, \\ & f(1) = 3. \end{align} Para que $f$ sea continua, ha de verificarse $$a + b + 2 = 3 \Leftrightarrow a + b = 1.$$ Pasamos a estudiar la derivabilidad. \begin{align} & f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^-} 6 = 6, \\ & f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} (2ax + b) = 2a + b. \end{align} Para que $f$ sea derivable, ha de verificarse $$2a + b = 6.$$
    Con estas dos condiciones, planteamos el sistema de ecuaciones \begin{cases} a + b = 1, \\ 2a + b = 6. \end{cases} Resolvemos el sistema por reducción. Si restamos las ecuaciones, obtenemos que $$-a = -5 \Leftrightarrow a = 5.$$ Sustituyendo en la primera ecuación, $$a + b = 1 \Leftrightarrow b = 1 - a \xrightarrow{a = 5} b = -4.$$ Por tanto, $a = 5$ y $b = -4.$
  2. En primer lugar, hallamos los puntos de corte de la función $g$ con el eje $X.$ $$g(x) = 0 \Leftrightarrow -2x^2 + 8x - 6 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = 1, \\ x = 3. \end{cases}$$ Así que los puntos de corte son $(1, 0)$ y $(3, 0).$
    Podemos representar el recinto acotado limitado por la gráfica de $g$ y el eje $X.$ Figura Calculamos el área. $$\int_1^3 g(x)dx = \int_1^3 (-2x^2 + 8x - 6)dx = \left[-\frac{2}{3}x^3 + 4x^2 - 6x\right]_1^3 = -18 + 36 - 18 - \left(-\frac{2}{3} + 4 - 6\right) = \frac{8}{3} \; u^2.$$

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2022

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑎(𝑥+1)2,si −3≤𝑥≤1,𝑏𝑥22+2,si 1<𝑥≤2, con 𝑎 y 𝑏 números reales.

  1. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓 sea continua y derivable.
  2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =2, esboce la gráfica de la función 𝑓 y calcule el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑂𝑋 y las rectas 𝑥 = −2 y 𝑥 =1.

Resolución

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2022

Se considera la función 𝑓(𝑥)=𝑥−3𝑥+2.

  1. Determine el dominio de la función y estudie su monotonía y curvatura.
  2. Calcule las ecuaciones de las asíntotas de 𝑓 si existen. Calcule los puntos de corte de la gráfica de 𝑓 con los ejes de coordenadas.
  3. Represente la gráfica de la función 𝑓.

Resolución

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2022

Los ingresos (𝐼) y los costes (𝐶) de una discoteca, en miles de euros, en función del número de horas diarias que permanece abierta, vienen dados por las funciones: 𝐼(𝑥)=𝑥3−𝑥y𝐶(𝑥)=𝑥3−𝑥2+6, respectivamente. Sabiendo que la licencia del ayuntamiento no permite que este tipo de local permanezca abierto más de 8 horas diarias, halle:

  1. La función beneficio en función del número de horas diarias que la discoteca permanece abierta.
  2. El número de horas que debe permanecer abierta para obtener beneficios.
  3. En qué momento se tienen las mayores pérdidas y a cuánto ascienden.
  4. El tiempo que debe permanecer abierta para obtener el máximo beneficio y a cuánto asciende.

Resolución

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2022

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2,si 𝑥≤1,4𝑥+1,si 𝑥>1, con 𝑎 y 𝑏 números reales.

  1. Calcule 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓 sea continua y derivable.
  2. Para 𝑎 = −1 y 𝑏 =1, realice un esbozo de la gráfica de la función 𝑓.
  3. Para 𝑎 = −1 y 𝑏 =1, halle el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de 𝑓, la recta 𝑥 =1 y el eje 𝑂𝑋.

Resolución

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2022

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩4𝑥2+16𝑥+17,si 𝑥<−1,13(10−5𝑥),si −1≤𝑥≤2,32,si 𝑥>2.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de 𝑓.
  2. Represente gráficamente la función 𝑓.
  3. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de 𝑓 y el eje de abscisas entre 𝑥 = −2 y 𝑥 =2.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de $f.$
    • Si $x \neq -1$ y $x \neq 2$, $f$ es continua y derivable con $$f'(x) = \begin{cases} 8x + 16, & \text{si } x < -1, \\ -\frac{5}{3}, & \text{si } -1 < x < 2, \\ 0, & \text{si } x > 2. \end{cases}$$
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura $x = -1.$ \begin{align} & \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (4x^2 + 16x + 17) = 5, \\ & \lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{3}(10-5x) = 5, \\ & f(-1) = 5. \end{align} Observamos que $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) = f(-1).$$ Así que $f$ es continua en $x = -1.$ Pasamos a estudiar la derivabilidad. \begin{align} & f'_-(-1) = \lim_{x \to -1^-} f'(x) = \lim_{x \to -1^-} (8x + 16) = 8, \\ & f'_+(-1) = \lim_{x \to -1^+} f'(x) = \lim_{x \to -1^+} -\frac{5}{3} = -\frac{5}{3}. \end{align} Observamos que $f'_-(-1) \neq f'_+(-1)$, así que $f$ no es derivable en $x = -1.$
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura $x = 2.$ \begin{align} & \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{3}(10-5x) = 0, \\ & \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{3}{2} = \frac{3}{2}, \\ & f(2) = 0. \end{align} Observamos que $$\lim_{x \to 2^-} f(x) \neq \lim_{x \to 2^+} f(x) \neq f(2).$$ Así que $f$ es no continua ni derivable en $x = 2.$
    Por tanto, $f$ es continua en $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ y derivable en $\mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}.$
  2. Representamos gráficamente la función. Observamos que la primera rama es una parábola con vértice $(-2, 1).$ Figura
  3. Podemos representar el recinto limitado por la gráfica de $f$ y el eje $X$ entre $x = -2$ y $x = 2.$ Figura Calculamos el área del recinto. \begin{align} & \int_{-2}^{-1} (4x^2+16x+17)dx + \int_{-1}^2 \frac{1}{3}(10-5x)dx = \left[\frac{4}{3}x^3 + 8x^2 + 17x\right]_{-2}^{-1} + \frac{1}{3}\left[10x - \frac{5}{2}x^2\right]_{-1}^2 = \\ & = -\frac{4}{3} + 8 - 17 - \left(-\frac{32}{3} + 32 - 34\right) + \frac{1}{3} \left(20 - 10 - \left(-10 - \frac{5}{2}\right)\right) = \frac{59}{6} \; u^2. \end{align}

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2022

Se considera la función 𝑓(𝑥) =3𝑥3 −6𝑥2 +5.

  1. Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a 𝑓 que sean paralelas a la recta de ecuación 𝑦 = −3𝑥 +1.
  2. Calcule la función 𝐹 que verifique que 𝐹′(𝑥) =𝑓(𝑥) y 𝐹(2) =4.

Resolución

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2022

Una empresa de fumigación sabe que los beneficios, en miles de euros, que obtiene en función de las hectáreas que le encargan fumigar mensualmente viene dada por la expresión 𝐵(𝑥)=−𝑥2+16𝑥−48. Además, por problemas de personal, la empresa no puede fumigar más de 10 hectáreas al mes.

  1. ¿Cuántas hectáreas tiene que fumigar al mes para que la empresa tenga beneficios?
  2. ¿Cuántas hectáreas tiene que fumigar para obtener el máximo beneficio mensual? ¿A cuánto asciende dicho beneficio?
  3. Si un mes ha obtenido un beneficio de 7.000€, ¿cuántas hectáreas ha fumigado?

Resolución

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2022

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1,si 𝑥≤1,2𝑥,si 𝑥>1, con 𝑎 y 𝑏 números reales.

  1. ¿Para qué valores de 𝑎 y 𝑏 la función es continua y derivable en 𝑥 =1?
  2. Para 𝑎 = −3 y 𝑏 =4, calcule los extremos relativos de 𝑓.
  3. Para 𝑎 = −2 y 𝑏 =3, calcule el valor de la integral ∫3−1𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Resolución

Ejercicio 3: Julio de 2022

  1. Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑏𝑥2 +𝑐𝑥 −1 donde 𝑏 y 𝑐 son números reales. Determine el valor de 𝑏 y 𝑐 para que la función 𝑓 presente un extremo en el punto de abscisa 𝑥 =13 y además la gráfica de la función 𝑓 pase por el punto ( −2, −3).
  2. Dada la función 𝑔(𝑥) = −𝑥3 −𝑥2 +𝑥 +1, realice el esbozo de su gráfica, estudiando los puntos de corte con los ejes coordenados y su monotonía. Determine el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función 𝑔 y el eje de abscisas.

Resolución

Ejercicio 4: Julio de 2022

El beneficio, en miles de euros, que se obtiene en una pequeña finca familiar por la venta de aceitunas, en miles de kilogramos, viene dado por la siguiente función: 𝐵(𝑥)=−0,02𝑥2+1,3𝑥−15,𝑥≥0.

  1. Represente la función beneficio y calcule los puntos de corte con el eje 𝑂𝑋.
  2. ¿Para qué valores de 𝑥 la finca no tiene pérdidas?
  3. ¿Para qué número de kilogramos el beneficio será máximo? ¿Cuánto vale dicho beneficio?
  4. ¿Cuántos kilogramos debe vender para obtener un beneficio de 5.000€?

Resolución

Ejercicio 3: Junio de 2021

Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −4𝑥2 +4𝑥.

  1. Estudie su monotonía y calcule sus extremos.
  2. Represente gráficamente la función.
  3. Calcule ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
  4. Calcule el área del recinto acotado limitado por la gráfica de 𝑓 y el eje de abscisas.

Resolución

Ejercicio 4: Junio de 2021

  1. Calcule la derivada de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=ln⁡(𝑥−1𝑥+1),𝑔(𝑥)=𝑥3𝑒2𝑥2.
  2. Represente gráficamente la parábola ℎ(𝑥) =𝑥2 +𝑥 +1, indicando el vértice y los puntos de corte con los ejes coordenados.
  3. Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de ℎ(𝑥) =𝑥2 +𝑥 +1, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 = −12 y 𝑥 =0.

Resolución

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2021

Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑎𝑥+𝑏,si 𝑥<1,𝑥2−𝑏𝑥+𝑎,si 𝑥≥1.

  1. Halle el valor de 𝑏 para que 𝑓 sea continua en ℝ.
  2. Para 𝑏 =12, halle el valor de 𝑎 para que 𝑓 sea derivable en ℝ.
  3. Para 𝑎 <0 y 𝑏 =12, estudie el crecimiento y halle las abscisas de los extremos de la función 𝑓.
  4. Para 𝑎 =0 y 𝑏 =12, represente la región del plano delimitada por la gráfica de 𝑓, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 =0 y 𝑥 =2. Calcule el área de dicha región.

Resolución

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2021

La cotización en bolsa de una empresa en un determinado dia viene expresada, en euros, por la función 𝑐(𝑡), con 𝑡 ∈[0,24], medido en horas. La variación instantánea de esta función es la derivada de 𝑐, que viene dada por 𝑐′(𝑡) =0,03𝑡2 −0,9𝑡 +6, con 𝑡 ∈(0,24).

  1. Estudie los intervalos en los que la función 𝑐 es creciente.
  2. Analice los puntos críticos de la función 𝑐, indicando en cuáles se alcanza el máximo y el mínimo relativos.
  3. Halle la expresión analítica de la función 𝑐, sabiendo que la cotización en bolsa de la empresa era de 50 euros en el instante inicial.

Resolución

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2021

Se considera la función 𝑓(𝑥)={(𝑥+1)2,si −2≤𝑥<0,(𝑥−1)2,si 0≤𝑥≤2.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓 en todo su dominio.
  2. Calcule los extremos de la función 𝑓.
  3. Represente el recinto que encierra la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 = −1, 𝑥 =1 y el eje 𝑂𝑋. Calcule el área de dicho recinto.

Resolución

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2021

  1. Sea 𝑓 una función de la que sabemos que la gráfica de su derivada, 𝑓′, es una parábola con vértice en el punto (0,8), que corta al eje de abscisas en los puntos ( −4,0) y (4,0).
    1. Dibuje la gráfica de 𝑓′.
    2. A partir de dicha gráfica, halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento de 𝑓, así como las abscisas de los extremos relativos de 𝑓.
    3. Sabiendo que la gráfica de 𝑓 pasa por el origen de coordenadas, calcule la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.
  2. Calcule la derivada de la función 𝑔(𝑥) =( −3 +𝑥2)𝑒2𝑥−1.

Resolución

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2021

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−2𝑥+2𝑎,si −4≤𝑥≤−2,−2𝑥2−4𝑎,si −2<𝑥≤2,−8𝑥+𝑏,si 2<𝑥≤3.

  1. Calcule los valores 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua en su dominio. Para esos valores, ¿es 𝑓 derivable?
  2. Para 𝑎 = −2 y 𝑏 =16, estudie la monotonía de la función 𝑓 y calcule sus extremos relativos y absolutos.
  3. Para 𝑎 = −2 y 𝑏 =16, calcule el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑂𝑋 y las rectas 𝑥 = −2 y 𝑥 =2.

Resolución

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2021

  1. Calcule la derivada de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=(5𝑥3+4𝑥−2)4ln⁡(2𝑥5−4𝑥3+𝑥),𝑔(𝑥)=𝑒3𝑥2−5𝑥(6𝑥2+2)3.
  2. Halle la función ℎ(𝑥), sabiendo que su derivada es ℎ′(𝑥) =4𝑥3 +𝑥2 −4𝑥 −1 y que ℎ(2) =113.

Resolución

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2021

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩1𝑥,si 𝑥≤−1,−3𝑥2+4,si −1<𝑥<1,2𝑥−1,si 𝑥≥1.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓 en todo su dominio.
  2. Represente gráficamente la función 𝑓.
  3. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función 𝑓, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 =0 y 𝑥 =3.

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2021

Una fábrica estima que sus costes de producción, expresados en miles de euros, vienen dados por la función 𝑓(𝑥) =𝑥2 −6𝑥 +10, donde 𝑥 es la cantidad semanal a producir expresada en miles de kilogramos.

  1. ¿Cuál debe ser la producción semanal para que el coste sea mínimo? ¿Cuál es dicho coste?
  2. Calcule la recta tangente a la función de costes en el punto de abscisa 𝑥 =4. Represente gráficamente la función de costes y la recta tangente hallada.

Ejercicio 3: Julio de 2021

Se considera la función 𝑓(𝑥)={2𝑥+1,si 𝑥<0,𝑥2−2𝑥,si 𝑥≥0.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓 en su dominio.
  2. Estudie la monotonía de la función 𝑓 y calcule el mínimo.
  3. Calcule ∫2−2𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Resolución

Ejercicio 4: Julio de 2021

El número de diagnosticados de COVID-19 por PCR en Andalucía, medido en miles de personas, se aproxima por la siguiente función: 𝑓(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩−𝑡2+2𝑡−0,3,si 0,2≤𝑡≤1,8,0,1𝑡−0,12,si 1,8<𝑡≤5,−0,5𝑡2+8,3𝑡−28,62,si 5<𝑡≤10, donde 𝑡 es el tiempo, medido en meses, a partir del inicio de conteo en el mes de marzo de 2020.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑓 en su dominio.
  2. ¿En qué instante o instantes es máximo el número de diagnosticados? ¿Cuál es ese número?

Resolución

Ejercicio 3: Julio de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥3 +𝑏𝑥 +4, con 𝑎 y 𝑏 números reales.

  1. Determine los valores 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓 tenga un extremo relativo en el punto (2,36).
  2. Para 𝑎 =4 y 𝑏 = −3, estudie la monotonía de 𝑓 y determine sus extremos relativos.
  3. Para 𝑎 =4 y 𝑏 = −3, calcule la función 𝐹(𝑥) que verifica 𝐹′(𝑥) =𝑓(𝑥) y 𝐹(2) =10.

Ejercicio 4: Julio de 2020

  1. Calcule la derivada de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=(−5+𝑥2)2𝑒3𝑥,𝑔(𝑥)=ln⁡(𝑥3−5𝑥)1−𝑥2.
  2. Calcule el área del recinto acotado por la gráfica de ℎ(𝑥) = −𝑥2 +2𝑥 +3 y el eje de abscisas.

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2020

  1. Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +3. Calcule los valores 𝑎 y 𝑏, sabiendo que la gráfica de 𝑓 pasa por el punto (2,3) y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en dicho punto es 𝑚 = −2.
  2. Represente gráficamente la función 𝑔(𝑥) = −𝑥2 +6𝑥 −5 y calcule el área comprendida entre la gráfica de la función 𝑔, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 =2 y 𝑥 =4.

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2+𝑥+1,si 𝑥≤0,11−𝑥,si 𝑥>0.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de 𝑓 en 𝑥 =0.
  2. Estudie la monotonía y curvatura de 𝑓 en su dominio.
  3. Calcule las ecuaciones de las asíntotas de 𝑓.

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2020

  1. Calcule la función derivada de cada una de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=ln⁡(3𝑥2−3)+1−2𝑥𝑥+2,𝑔(𝑥)=2𝑒𝑥3+𝑥2(3𝑥+4)3.
  2. Calcule las ecuaciones de las rectas tangentes a las gráficas de las funciones ℎ(𝑥)=𝑥2+1y𝑝(𝑥)=𝑥−1𝑥+1, en el punto de abscisa 𝑥 =1. ¿En qué punto se cortan ambas rectas?

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑎𝑥+12,si 𝑥≤−1,𝑥+1𝑥+3,si −1<𝑥≤1,𝑥2−𝑏𝑥,si 𝑥>1.

  1. Halle 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua en todo su dominio. Para esos valores de 𝑎 y 𝑏, ¿es 𝑓 derivable en 𝑥 = −1? ¿Y en 𝑥 =1?
  2. Para 𝑎 = −1 y 𝑏 =4, estudie la monotonía de la función 𝑓.
  3. Para 𝑎 = −1 y 𝑏 =4, calcule ∫21𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2+𝑎𝑥+2,si 𝑥≤0,𝑥+𝑏𝑥−1,si 𝑥>0.

  1. Halle 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓 sea continua y derivable en 𝑥 =0.
  2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 = −2, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.
  3. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =1, halle, si existen, las ecuaciones de las asíntotas de 𝑓.

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2020

El número de bacterias en un determinado cultivo viene dado por la función 𝐵(𝑡), donde 𝑡 representa el tiempo en horas, con 0 ≤𝑡 ≤7. La variación instantánea en la población de bacterias en el cultivo viene dada por la derivada de la función 𝐵, cuya expresión es 𝐵′(𝑡) =50.000𝑒2𝑡.

  1. ¿Existe algún instante 𝑡 en el que el número de bacterias en el cultivo comience a decrecer?
  2. Obtenga la expresión de la función 𝐵(𝑡), sabiendo que en el instante 𝑡 =0 el número de bacterias en el cultivo era de 40.000.
  3. ¿Cuál es el número de bacterias en el cultivo a la hora y media?

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2020

De una función 𝑓 sabemos que su gráfica pasa por el punto (1,3) y que su derivada es 𝑓′(𝑥) =2𝑥 −6.

  1. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.
  2. Estudie la monotonía y la existencia de extremos de la función 𝑓.
  3. Determine la función 𝑓 y represéntela gráficamente.

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥+1,si 𝑥<−2,𝑥2+𝑎,si 𝑥≥−2.

  1. Calcule el valor de 𝑎 para que 𝑓 sea continua en todo su dominio. Para ese valor de 𝑎, ¿es derivable la función 𝑓?
  2. Para 𝑎 = −6, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =3.
  3. Para 𝑎 = −6, esboce la gráfica de 𝑓 y calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función 𝑓, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 =3 y 𝑥 =5.

Ejercicio 3: Septiembre de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥)={2+𝑎𝑥−1,si 𝑥<0,𝑎+𝑏𝑒𝑥,si 𝑥≥0.

  1. Calcule los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua y derivable en su dominio.
  2. Para 𝑎 =2 y 𝑏 = −2, estudie la monotonía de la función 𝑓 y calcule sus extremos relativos.
  3. Para 𝑎 =2 y 𝑏 = −2, determine las ecuaciones de las asíntotas de 𝑓, si existen.

Ejercicio 4: Septiembre de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩−𝑥+2,si 𝑥≤2,−𝑥2+6𝑥−8,si 2<𝑥<4,𝑥−3𝑥,si 𝑥≥4.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de 𝑓 en su dominio.
  2. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑓.
  3. Calcule ∫32𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Ejercicio A2: Junio de 2019

Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −9𝑥 +2.

  1. Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función que sean paralelas a la recta 𝑦 =3𝑥 −3.
  2. Estudie la monotonía y la curvatura de la función 𝑓.
  3. Calcule ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Ejercicio B2: Junio de 2019

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩1𝑥−1,si 𝑥<0,𝑥2+𝑎,si 𝑥≥0.

  1. Determine el valor del parámetro 𝑎 para que 𝑓 sea continua en todo su dominio. Para ese valor de 𝑎, estudie la derivabilidad de 𝑓.
  2. Para 𝑎 = −2, estudie la monotonía y curvatura de la función 𝑓. ¿Tiene algún punto de inflexión?

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2019

  1. Calcule la derivada de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=12ln⁡(1−𝑥1+𝑥),𝑔(𝑥)=(𝑥2+1)2𝑒2𝑥−1.
  2. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ℎ(𝑥) =𝑥2 −6𝑥 +8 en el punto de abscisa 𝑥 =4. Represente gráficamente la función ℎ y la recta tangente hallada.

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2019

Se considera la función 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥, con 𝑥 ≠0, siendo 𝑎 y 𝑏 dos parámetros reales.

  1. Determine el valor de los parámetros 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓(𝑥) tenga un extremo relativo en el punto (1,3).
  2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =2, razone si en el punto (1,3) la función presenta un máximo o un mínimo.
  3. Calcule ∫(𝑥2+2𝑥)𝑑𝑥.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2019

Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑥2+2𝑥,si −2≤𝑥<1,𝑎𝑥2+4𝑥,si 1≤𝑥≤4.

  1. Calcule el valor de 𝑎 para que la función sea continua en todo su dominio.
  2. Para 𝑎 = −1, compruebe si es derivable en 𝑥 =1.
  3. Para 𝑎 = −1, determine los extremos relativos de la función y el valor de la función en dichos extremos.
  4. Para 𝑎 = −1, represente gráficamente la función en su dominio.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2019

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑓(𝑥)={𝑥2+4𝑥+1,si 𝑥<0,𝑒−𝑥,si 𝑥≥0.
  2. Dada la función 𝑔(𝑥) =𝑥3 +𝑏𝑥2 +𝑐, calcule los valores de 𝑏 y 𝑐 sabiendo que 𝑔 tiene un extremo relativo en 𝑥 = −1 y que su gráfica pasa por el punto ( −1,3).

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2019

Sea la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +1.

  1. Halle 𝑎 y 𝑏 de forma que 𝑓 tenga un extremo relativo en 𝑥 =1 y la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0 tenga pendiente 𝑚 = −1.
  2. Para 𝑎 = −1 y 𝑏 = −1, estudie la monotonía y la curvatura de la función 𝑓.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2019

Unos productores de cereales realizan un estudio para conocer la posible demanda de su producto. Concluyen que la función de demanda de dichos cereales tiene la forma 𝐷(𝑥) = −200𝑥3 +2100𝑥2 −7200𝑥 +10000, para 0 ≤𝑥 ≤4, donde 𝑥 es el precio en euros por kilogramo de producto y 𝐷(𝑥) es la cantidad de kilogramos de cereales que los consumidores están dispuestos a comprar a dicho precio 𝑥.

  1. ¿Cuál es la cantidad de cereales demandada si el precio es de 0,50 euros por kilogramo?
  2. Calcule para qué precio se alcanza una demanda mínima del producto y determine dicha demanda.

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2019

Se considera la función 𝑓(𝑥)=𝑥−3𝑥−1𝑥+1.

  1. Indique el dominio de 𝑓 y calcule 𝑓′(𝑥).
  2. Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =23.
  3. Halle los puntos de la gráfica de 𝑓 en los que la recta tangente a dicha gráfica es horizontal.

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2019

Se considera la función 𝑓(𝑥) =13𝑥3 −2𝑥2 +3𝑥 +1.

  1. Estudie su monotonía y halle sus extremos relativos.
  2. Determine los intervalos de concavidad y convexidad. Calcule su punto de inflexión.
  3. Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.
  4. Calcule ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Ejercicio A2: Septiembre de 2019

El coste de producción de un bien en una fábrica viene dado por 𝐶(𝑥) =2(2𝑥 −1)2 +1, con 0 ≤𝑥 ≤2, donde 𝑥 es la cantidad producida en millones de kilogramos.

  1. Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función 𝐶(𝑥).
  2. Determine la cantidad a producir para que el coste de producción sea mínimo. ¿Cuál es dicho coste?
  3. Realice un esbozo de la gráfica de la función 𝐶(𝑥).

Ejercicio B2: Septiembre de 2019

De una cierta función 𝑓, sabemos que su función derivada es 𝑓′(𝑥) =3𝑥2 −3.

  1. Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de 𝑓, y calcule la abscisa de sus extremos relativos.
  2. Determine la curvatura de 𝑓 y halle la abscisa de su punto de inflexión.
  3. Calcule la función 𝑓, sabiendo que su gráfica pasa por el punto ( −1,3).

Ejercicio A2: Junio de 2018

La función de costes de una empresa se puede determinar mediante la expresión 𝑓(𝑥)=40−6𝑥+𝑥2, para 𝑥 ≥0, donde 𝑥 representa la cantidad producida de un determinado artículo.

  1. ¿Disminuye el coste alguna vez? Determine la cantidad producida de dicho artículo cuando el coste es mínimo y cuál es dicho coste.
  2. ¿Cuál sería el coste si no se produjese nada de ese artículo? Si el coste fuese 80, ¿cuántas serían las unidades producidas?
  3. Represente gráficamente la función.

Ejercicio B2: Junio de 2018

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥3+𝑎𝑥2,si 𝑥<1,𝑏𝑥+2𝑥,si 𝑥≥1.

  1. Calcule los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua y derivable en 𝑥 =1.
  2. Para 𝑏 =3, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa 𝑥 =2.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2018

La velocidad que lleva un móvil, en función del tiempo 𝑡, viene dada por la siguiente función: 𝑣(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩7𝑡2,si 0≤𝑡<1,2𝑡+𝑎,si 1≤𝑡≤5,−𝑡2+12𝑡+𝑏,si 5<𝑡≤10.

  1. Determine 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua en los instantes 𝑡 =1 y 𝑡 =5.
  2. Para 𝑎 =5 y 𝑏 = −20, estudie la derivabilidad en los instantes 𝑡 =1 y 𝑡 =5. ¿En qué momento el móvil alcanza la velocidad máxima?

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2018

Dada la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥+11−2𝑥,si 𝑥<0,𝑥2−𝑥−𝑎,si 𝑥≥0.

  1. Obtenga el valor de 𝑎 para que la función sea continua en 𝑥 =0. Para ese valor de 𝑎, ¿sería derivable en 𝑥 =0?
  2. Para 𝑎 =2, estudie su monotonía y extremos relativos.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2018

  1. Calcule la derivada de las funciones 𝑓(𝑥)=𝑥ln⁡(𝑥),𝑔(𝑥)=𝑒3𝑥𝑥4+1.
  2. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ℎ(𝑥) =𝑥2 +6𝑥 +5, en el punto de abscisa 𝑥 = −2. Represente gráficamente la función ℎ y la recta tangente hallada.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2018

Se considera la función 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥𝑏𝑥+1, con 𝑎 y 𝑏 números reales.

  1. Calcule los valores de 𝑎 y 𝑏, sabiendo que 𝑓( −1) =1 y que en el punto de abscisa 𝑥 =0 la recta tangente a la gráfica de 𝑓 es paralela a la recta 𝑦 =2𝑥 +1.
  2. Para 𝑎 =𝑏 =1, halle la ecuación de sus asíntotas.

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2018

Los costes de producción de una empresa, en miles de euros, dependen de la cantidad de producto fabricada 𝑥, medida en toneladas, según la función 𝑓(𝑥) =30 −9𝑥 +6𝑥2 −𝑥3. La capacidad máxima de producción es de 2 toneladas.

  1. Obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función de costes de la empresa.
  2. Determine la cantidad que la empresa debe producir para minimizar los costes. ¿Cuál sería dicho coste mínimo?
  3. ¿Con qué producción la empresa tiene unos costes de producción máximos?

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2018

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑎𝑥+1,si 𝑥≤−1,𝑥𝑥+2,si −1<𝑥≤0,𝑥2−𝑏𝑥,si 𝑥>0.

  1. Calcule 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua y derivable en 𝑥 = −1 y 𝑥 =0.
  2. Para 𝑎 =2 y 𝑏 = −12 estudie su monotonía.

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2018

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥−5𝑥−4,si 𝑥<3,−𝑥2+7𝑥−10,si 𝑥≥3.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑓.
  2. Calcule los puntos de corte de la gráfica de 𝑓 con los ejes de coordenadas.
  3. Calcule las asíntotas de 𝑓, en caso de que existan.

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2018

  1. Calcule la derivada de las funciones 𝑓(𝑥)=𝑒5𝑥(𝑥2−5)3,𝑔(𝑥)=(𝑥3+1)2ln⁡(𝑥2+2).
  2. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ℎ(𝑥)=𝑥+10𝑥+5 en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Ejercicio A2: Septiembre de 2018

El consumo de cereales en una ciudad, en miles de toneladas, viene dado por la función 𝑐(𝑡) =𝑡3 −15𝑡2 +63𝑡 +10, para 0 ≤𝑡 ≤12, donde 𝑡 representa el tiempo.

  1. ¿En qué instante se alcanza el máximo consumo de cereales y cuántas toneladas se consumen en ese momento?
  2. ¿En qué intervalo de tiempo decrece el consumo de cereales?
  3. Represente gráficamente la función.

Ejercicio B2: Septiembre de 2018

El beneficio, en miles de euros, que ha obtenido una almazara a lo largo de 50 años viene dado por la expresión 𝐵(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩−0,04𝑡2+2,4𝑡,si 0≤𝑡<40,40𝑡−320𝑡,si 40≤𝑡≤50, donde 𝑡 es el tiempo transcurrido.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función 𝐵(𝑡) en el intervalo [0,50].
  2. Estudie la monotonía de la función 𝐵(𝑡) y determine en qué momento fueron mayores los beneficios de la almazara, así como el beneficio máximo.
  3. Represente la gráfica de la función y explique la evolución del beneficio.

Ejercicio A2: Junio de 2017

Sea 𝑓(𝑡) el porcentaje de ocupación de un determinado complejo hotelero en función del tiempo 𝑡, medido en meses, transcurrido desde su inauguración: 𝑓(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩−52𝑡2+20𝑡,si 0≤𝑡≤6,90𝑡−240𝑡+4,si 𝑡>6.

  1. ¿Evoluciona la función 𝑓 de forma continua?
  2. ¿Cuál sería el porcentaje de ocupación al finalizar el segundo año?
  3. ¿En qué momentos el porcentaje de ocupación sería del 40%?
  4. ¿Llegaría en algún momento a estar completo en caso de que estuviese abierto indefinidamente?

Ejercicio B2: Junio de 2017

  1. Calcule la derivada de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=𝑒5𝑥−𝑥𝑥2−𝑥,𝑔(𝑥)=(2𝑥2−𝑥)3ln⁡(𝑥3+2).
  2. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ℎ(𝑥) =1𝑥 en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2017

En una especie animal la contracción del iris, en décimas de milímetro, después de exponer el ojo a una luz brillante durante un determinado tiempo, viene dada por 𝑓(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑡2,si 0≤𝑡≤2,4𝑡−1,si 𝑡>2, donde 𝑡 es el tiempo, en segundos, que transcurre desde que se concentra la luz en el ojo.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑓.
  2. Represente gráficamente la función 𝑓, determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus asíntotas, en caso de que existan.
  3. Determine en qué instante se obtiene la máxima contracción y su valor.

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2017

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩1𝑥−4,si 𝑥≤0,𝑥+3,si 0<𝑥<2,𝑥2+1,si 𝑥≥2.

  1. Estudie la continuidad de la función en su dominio y clasifique sus discontinuidades, en caso de que exista alguna.
  2. Estudie la derivabilidad de la función en su dominio.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2017

Sea la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −12𝑥 +1.

  1. Estudie su monotonía y determine sus extremos relativos.
  2. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2017

  1. Calcule los valores de los parámetros 𝑎 y 𝑏 para que la gráfica de la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏 presente un extremo relativo en el punto (2,6).
  2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =1, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2017

El beneficio en euros que obtiene una empresa al vender 𝑥 unidades de un artículo viene dado por la función 𝐵(𝑥) = −𝑥2 +360𝑥 −18.000, 50 ≤𝑥 ≤350.

  1. ¿Cuál es el beneficio obtenido si vende 100 unidades? ¿Cuántas unidades debe vender para obtener un beneficio de 13.500€?
  2. ¿Cuál es el número de unidades que debe vender para que el beneficio sea máximo? ¿A cuánto asciende ese beneficio?
  3. Represente gráficamente la función y determine cuántas unidades hay que vender para no obtener pérdidas.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2017

Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑎𝑥−1,si 𝑥<0,𝑥2−𝑏𝑥−1,si 𝑥≥0.

  1. Calcule el valor de 𝑎 y 𝑏 para que la función sea derivable en 𝑥 =0.
  2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =2, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 𝑥 =2.

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2017

Una empresa quiere invertir en productos financieros un mínimo de un millón de euros y un máximo de seis millones de euros. La rentabilidad que obtiene viene dada en función de la cantidad invertida, 𝑥, por la siguiente expresión: 𝑅(𝑥)={𝑥−2,si 1≤𝑥<2,−𝑥2+10𝑥−16,si 2≤𝑥≤6, donde tanto 𝑥, como 𝑅(𝑥), están expresadas en millones de euros.

  1. Estudie la continuidad de la función 𝑅.
  2. Esboce la gráfica de la función.
  3. ¿Qué cantidad debe invertir para obtener la máxima rentabilidad y a cuánto asciende esta? ¿Para qué valores de 𝑥 la rentabilidad es positiva?

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2017

Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑎𝑥−3𝑥2,si 𝑥≤1,2𝑥2+𝑏,si 𝑥>1.

  1. Calcule los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓 sea derivable en 𝑥 =1.
  2. Para 𝑎 =3 y 𝑏 = −2, estudie la monotonía y curvatura de la función 𝑓.

Ejercicio A2: Septiembre de 2017

Sea la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏𝑥.

  1. Halle 𝑎 y 𝑏 sabiendo que la función tiene un mínimo en el punto de abscisa 𝑥 = −1 y un punto de inflexion en el punto de abscisa 𝑥 = −2.
  2. Para 𝑎 =6 y 𝑏 =9, halle los puntos de corte con los ejes, estudie la monotonía y extremos y esboce la gráfica de la función.

Ejercicio B2: Septiembre de 2017

Se consideran las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=5𝑥−16𝑥y𝑔(𝑥)=𝑥2.

  1. Determine la abscisa del punto donde se verifique que 𝑓′(𝑥) =𝑔′(𝑥).
  2. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada función en el punto de abscisa 𝑥 =2 y determine el punto de corte de ambas rectas tangentes, si existe.

Ejercicio A2: Junio de 2016

  1. Calcule los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑏2−𝑥,si 𝑥≤1,𝑎𝑥2−3𝑥+1,si 𝑥>1 sea derivable en el punto de abscisa 𝑥 =1.
  2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =2, estudie su monotonía y determine las ecuaciones de sus asíntotas, si existen.

Ejercicio B2: Junio de 2016

La cantidad, 𝐶, que una entidad bancaria dedica a créditos depende de su liquidez, 𝑥, según la función 𝐶(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩150+5𝑥100,si 10≤𝑥≤50,200+10𝑥25+3𝑥,si 𝑥>50, donde 𝐶 y 𝑥 están expresadas en miles de euros.

  1. Justifique que 𝐶 es una función continua.
  2. ¿A partir de qué liquidez decrece la cantidad dedicada a créditos? ¿Cuál es el valor máximo de 𝐶?
  3. Calcule la asíntota horizontal e interprétela en el contexto del problema.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2016

En un ensayo clínico de 10 meses de duración, el porcentaje de células de un determinado tejido afectadas por un tipo de enfermedad en el paciente de estudio, viene dado por la función 𝑃(𝑡)={8𝑡−𝑡2,si 0≤𝑡≤6,2𝑡,si 6<𝑡≤10, donde 𝑡 es el tiempo en meses.

  1. Represente gráficamente la función 𝑃(𝑡).
  2. ¿En qué mes empieza a decrecer el porcentaje de células afectadas de dicho tejido? ¿Qué porcentaje hay justo en ese momento? ¿En algún otro mes del ensayo se alcanza ese mismo porcentaje?
  3. ¿En qué mes el porcentaje de células afectadas es máximo? ¿Cuál es el porcentaje en ese momento?

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2016

Se considera la función 𝑓(𝑥)=3𝑥+1𝑥−1.

  1. Estudie su continuidad y derivabilidad. Calcule la función derivada.
  2. Calcule las ecuaciones de sus asíntotas, en caso de que existan.
  3. Halle los puntos de la gráfica de 𝑓 donde la recta tangente sea tal que su pendiente valga -1.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2016

Una fábrica produce entre 1.000 y 6.000 bombillas al día. El coste diario de producción, en euros, de 𝑥 bombillas viene dado por la función 𝐶(𝑥)=9.000+0,08𝑥+2.000.000𝑥, con 1.000 ≤𝑥 ≤6.000. ¿Cuántas bombillas deberían producirse diariamente para minimizar costes? ¿Cuál sería dicho coste?

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2016

Los beneficios de una empresa, en miles de euros, han evolucionado en los 25 años de su existencia según una función del tiempo, en años, dada por la siguiente expresión: 𝐵(𝑡)={4𝑡,si 0≤𝑡<10,−15𝑡2+8𝑡−20,si 10≤𝑡≤25.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de 𝐵 en el intervalo [0,25].
  2. Estudie la monotonía de esta función y determine en qué año fueron mayores los beneficios de esta empresa y cuál fue su beneficio máximo.
  3. Represente gráficamente esta función.

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2016

  1. Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=(𝑥2−1)(3𝑥3+5𝑥)3,𝑔(𝑥)=ln⁡(3𝑥)𝑒2𝑥.
  2. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ℎ(𝑥)=3𝑥+62𝑥+1 en el punto de abscisa 𝑥 =1.
  3. Determine, si existen, las ecuaciones de las asíntotas de la función ℎ(𝑥).

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2016

La función de costes de una fábrica, 𝑓(𝑥), en miles de euros, viene dada por la expresión: 𝑓(𝑥)=2𝑥2−36𝑥+200, donde 𝑥 es la cantidad fabricada del producto en miles de kilogramos.

  1. Determine la cantidad a fabricar para minimizar el coste y calcule este coste mínimo.
  2. A partir del signo de 𝑓′(7), ¿qué se puede decir del coste para una producción de siete mil kilogramos?
  3. Dibuje la gráfica de la función de costes. ¿Para qué cantidad o cantidades fabricadas el coste es de 200.000€?

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2016

Sea la función 𝑓(𝑥)={1𝑎𝑥2+1,si 𝑥≤2,−𝑥+𝑎,si 𝑥>2, con 𝑎 >0.

  1. Calcule el valor del parámetro 𝑎 para que la función sea continua en su dominio. En este caso, ¿sería derivable en su dominio?
  2. Para el valor 𝑎 =4, represente gráficamente la función y halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 𝑥 = −1.

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2016

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩4𝑥,si 𝑥≤2,𝑥2−2𝑥+2,si 𝑥>2.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de esta función.
  2. Estudie su monotonía y su curvatura para 𝑥 >0.

Ejercicio A2: Septiembre de 2016

De una función continua y derivable, 𝑓, se sabe que la gráfica de la función derivada, 𝑓′, es una parábola que pasa por los puntos ( −1,0) y (3,0) y que tiene su vértice en el punto (1, −2).

  1. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑓, así como la existencia de extremos.
  2. Si 𝑓(1) =2, encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Ejercicio B2: Septiembre de 2016

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2−4𝑥+𝑎,si 𝑥<2,1𝑥−1,si 𝑥≥2.

  1. Calcule el valor de 𝑎 para que la función sea continua en 𝑥 =2. Para ese valor de 𝑎 obtenido, ¿es derivable la función en 𝑥 =2?
  2. Para 𝑎 =4, estudie la monotonía y calcule las ecuaciones de las asíntotas, si existen.

Ejercicio A2: Junio de 2015

  1. Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=3ln⁡(𝑥)𝑥3,𝑔(𝑥)=(1−𝑥2)(𝑥3−1)2,ℎ(𝑥)=3𝑥2−7𝑥+1𝑒2𝑥.
  2. Halle las asíntotas de la función 𝑝(𝑥)=7𝑥3𝑥−12.

Ejercicio B2: Junio de 2015

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2+2,si 0≤𝑥≤2,8𝑥+𝑎𝑥−1,si 𝑥>2.

  1. Determine el valor de 𝑎 para que la función sea continua.
  2. ¿Para 𝑎 = −10, es creciente la función en 𝑥 =3?
  3. Halle sus asíntotas para 𝑎 = −10.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2015

Una entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, 𝑅(𝑥), en miles de euros, viene dada por la función 𝑅(𝑥)=−0,001𝑥2+0,5𝑥+2,5,1≤𝑥≤500, donde 𝑥 es la cantidad de dinero invertida en miles de euros.

  1. Determine qué cantidad de dinero se debe invertir para obtener la máxima rentabilidad.
  2. ¿Qué rentabilidad se obtendría con dicha inversión?
  3. ¿Cuál es la cantidad de dinero para la que se obtiene menor rentabilidad?

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2015

Sea la función 𝑓(𝑥)={12(𝑎𝑥−12),si 𝑥<−1,−𝑥2+𝑏(𝑥−1),si 𝑥≥−1.

  1. Halle los valores de 𝑎 y 𝑏 sabiendo que la función es derivable en 𝑥 = −1.
  2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 = −1 obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓(𝑥) en el punto de abscisa 𝑥 = −2.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2015

La mosca común solamente vive si la temperatura media de su entorno está comprendida entre 4ºC y 36ºC. La vida en días, en función de la temperatura media 𝑇, medida en grados centígrados, viene dada por la función: 𝑉(𝑇)=−116(𝑇2−40𝑇+16),𝑇∈[4,36].

  1. Determine la vida máxima que puede alcanzar la mosca común.
  2. Calcule la vida mínima e indique la temperatura media a la que se alcanza.
  3. Si sabemos que una mosca ha vivido 15 días, ¿a qué temperatura media ha estado el entorno donde ha habitado?

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2015

  1. Calcule la derivada de la función 𝑓(𝑥)=2(1−3𝑥2)1+3𝑥.
  2. Calcule la derivada de la función 𝑔(𝑥)=(𝑥2−𝑥+1)𝑒5𝑥.
  3. Calcule la derivada de la función ℎ(𝑥)=log⁡(𝑥2+𝑥+1).

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2015

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩1,si 𝑥≤0,−𝑥2+1,si 0<𝑥<4,𝑥2−8𝑥+17,si 𝑥≥4.

  1. Represente gráficamente la función 𝑓.
  2. Estudie su continuidad y derivabilidad.
  3. Calcule 𝑓′(1) y 𝑓′(5).

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2015

Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −2𝑥2 +𝑥.

  1. Halle el máximo, el mínimo y el punto de inflexión de la función.
  2. Calcule los puntos de corte con los ejes.
  3. Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de 𝑓 en los puntos de abscisas 𝑥 =0 y 𝑥 =1.

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2015

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥−5𝑥+4,si 𝑥<2,𝑥3−3𝑥2,si 𝑥≥2.

  1. Determine y represente gráficamente sus asíntotas. Calcule el punto donde la gráfica de la función 𝑓 corta al eje de ordenadas.
  2. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 = −3.

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2015

Se considera la función 𝑓, definida a trozos por la expresión 𝑓(𝑥)={−𝑥2+𝑥+6si 𝑥≤2,𝑥+2si 𝑥>2.

  1. Estudie la continuidad de la función.
  2. Analice la derivabilidad de la función.
  3. Represéntela gráficamente, determinando los extremos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos de corte con los ejes.

Ejercicio A2: Septiembre de 2015

  1. Determine el valor de 𝑎 para que sea continua en 𝑥 = −1 la función 𝑓(𝑥)={𝑎𝑥𝑥−1,si 𝑥≤−1,𝑥3−3𝑥2+6𝑥−2,si 𝑥>−1.
  2. Calcule los coeficientes 𝑏 y 𝑐 de la función 𝑔(𝑥) =𝑥3 +𝑏𝑥2 +𝑐𝑥 −2 para que (1,2) sea un punto de inflexión de 𝑔.

Ejercicio B2: Septiembre de 2015

Sea la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −9𝑥2 +8.

  1. Halle las coordenadas de sus extremos relativos y de su punto de inflexión, si existen.
  2. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Ejercicio A2: Junio de 2014

La función de beneficios 𝑓, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida 𝑥, en miles de euros, en un determinado proyecto de innovación y viene dada por 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 +36𝑥 +138, 𝑥 ≥0.

  1. Determine la inversión que maximiza el beneficio de la empresa y calcule dicho beneficio óptimo.
  2. Calcule 𝑓′(7) e interprete el signo del resultado.
  3. Dibuje la función de beneficios 𝑓(𝑥). ¿Para qué valor o valores de la inversión, 𝑥, el beneficio es de 138 mil euros?

Ejercicio B2: Junio de 2014

Sea la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−𝑏𝑥2−𝑏𝑥+𝑎,si 𝑥≤2,60𝑥,si 𝑥>2.

  1. Obtenga los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua y derivable.
  2. Para 𝑎 =48 y 𝑏 =3, estudie la monotonía de 𝑓(𝑥) y calcule sus extremos.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2014

Sea la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −3𝑥2 +3𝑥.

  1. Estudie la monotonía de 𝑓 y halle los extremos relativos que posea.
  2. Estudie su curvatura y calcule su punto de inflexión.
  3. Represente la gráfica de la función 𝑓.

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2014

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩(𝑥+1)2,si 𝑥≤1,4𝑥,si 𝑥>1.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función en su dominio.
  2. Determine sus asíntotas, en caso de que existan.
  3. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =2.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2014

Sea la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥3 +𝑎𝑒−𝑥 +𝑏𝑥 −1.

  1. Halle los valores de 𝑎 y 𝑏 sabiendo que la función tiene un mínimo en 𝑥 =0 y que la gráfica de la función pasa por el punto (0,0).
  2. Para 𝑎 =0 y 𝑏 =1, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 𝑥 = −1.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2014

Sea la función 𝑓, definida por 𝑓(𝑥)={𝑥2−𝑎𝑥+5,si 𝑥<0,−𝑥2+𝑏,si 𝑥≥0. Determine los valores que han de tomar 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓 sea derivable en 𝑥 =0.

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2014

Sea la función dada por 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2+𝑎𝑥,si 𝑥≤2,𝑥+𝑏𝑥−1,si 𝑥>2.

  1. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏, sabiendo que dicha función es derivable.
  2. Para 𝑎 =2 y 𝑏 =3, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2014

El porcentaje de personas que sintonizan un programa de radio que se emite entre las 6 y las 12 horas viene dado, según la hora 𝑡, mediante la función 𝑆(𝑡)=660−231𝑡+27𝑡2−𝑡3,6≤𝑡≤12.

  1. ¿Qué porcentaje de personas sintonizan el programa al comenzar la emisión? ¿Y al cierre?
  2. ¿A qué hora tiene máxima y mínima audiencia? ¿Qué porcentaje de personas sintonizan el programa a dichas horas?

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2014

Sean las funciones 𝑓(𝑥)=(2𝑥2−1)3ln⁡(𝑥4)y𝑔(𝑥)=𝑒−2𝑥+𝑥2𝑥2+1. Determine el valor de 𝑓′( −1) y de 𝑔′(0).

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2014

Represente gráficamente la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −6𝑥2 +12𝑥, estudiando previamente su dominio, puntos de corte con los ejes, intervalos de monotonía, extremos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.

Ejercicio A2: Septiembre de 2014

Una empresa ha realizado un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, que ha obtenido en los últimos 10 años. La función a la que se ajustan dichos beneficios viene dada por 𝐵(𝑡) =2𝑡3 −36𝑡2 +162𝑡 −6, con 0 ≤𝑡 ≤10.

  1. ¿Qué beneficios obtuvo al inicio del periodo (𝑡 =0) y al final del décimo año (𝑡 =10)?
  2. ¿En qué momentos se obtiene el máximo y el mínimo beneficio y cuáles fueron sus cuantías?

Ejercicio B2: Septiembre de 2014

Sea la función 𝑓(𝑥) = −𝑥2 +𝑝𝑥 +𝑞.

  1. Calcule los valores que deben tener 𝑝 y 𝑞 para que la gráfica de la función 𝑓 pase por el punto ( −4, −5) y presente un máximo en el punto de abscisa 𝑥 = −1. Determine el valor de 𝑓(𝑥) en ese punto.
  2. Represente la gráfica de 𝑓 para 𝑝 =2 y 𝑞 = −1 y halle la ecuación de la recta tangente a esta gráfica en el punto de abscisa 𝑥 = −2.

Ejercicio A2: Junio de 2013

Los beneficios de una empresa en sus primeros 8 años vienen dados, en millones de euros, por la función 𝐵(𝑡)=𝑡34−3𝑡2+9𝑡,0≤𝑡≤8, donde la variable 𝑡 indica el tiempo transcurrido, en años, desde su fundación.

  1. Estudie la monotonía y los extremos de 𝐵(𝑡).
  2. Dibuje la gráfica de 𝐵(𝑡) en el intervalo [0,8] y explique, a partir de ella, la evolución de los beneficios de esta empresa en sus 8 años de existencia.

Ejercicio B2: Junio de 2013

Sea 𝑓(𝑥) una función cuya función derivada, 𝑓′(𝑥), tiene por gráfica una parábola que corta al eje 𝑂𝑋 en los puntos ( −1,0) y (5,0) y con vértice (2, −4).

  1. Estudie razonadamente la monotonía de 𝑓(𝑥).
  2. Determine las abscisas de los extremos relativos de la función 𝑓(𝑥).
  3. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓(𝑥) en el punto de abscisa 𝑥 =2, sabiendo que 𝑓(2) =5.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2013

Estudie la derivabilidad de la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑒𝑥,si 𝑥≤0,1,si 0<𝑥≤3,−𝑥2+6𝑥+2,si 𝑥>3.

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2013

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩12−𝑥,si 𝑥≤1,𝑥2−6𝑥+6,si 𝑥>1.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función.
  2. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓(𝑥) en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2013

Consideremos la función 𝑓(𝑥)={−𝑥2+6𝑥−5,si 2≤𝑥≤4,−2𝑥+11,si 4<𝑥≤5.

  1. Estudie la derivabilidad de la función 𝑓(𝑥) en el punto de abscisa 𝑥 =4.
  2. Represente gráficamente la función 𝑓(𝑥) e indique dónde alcanza su máximo y su mínimo absolutos. ¿Cuál es el valor del máximo? ¿Y del mínimo?

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2013

Sea la función 𝑓(𝑥) =13𝑥3 +12𝑥2 −2𝑥 +3.

  1. Determine sus máximos y mínimos relativos.
  2. Consideremos la función 𝑔(𝑥) =𝑓′(𝑥). Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑔(𝑥), en el punto de abscisa 𝑥 =2.
  3. Dibuje la gráfica de 𝑔(𝑥) y de la recta tangente calculada en (b).

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2013

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥2−12,si 𝑥<−3,−𝑥+3,si −3≤𝑥≤2,𝑥−1,si 𝑥>2.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de 𝑓(𝑥) en su dominio.
  2. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
  3. Calcule los extremos relativos.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2013

Sea la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −24𝑥2 +4𝑥.

  1. Halle los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión.
  2. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓(𝑥) en el punto de abscisa 𝑥 = −2.
  3. En el punto de abscisa 𝑥 =1, ¿la función es creciente o decreciente?

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2013

Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=(𝑥2−5)33−𝑥2,𝑔(𝑥)=𝑒7𝑥(𝑥−5𝑥2)2,ℎ(𝑥)=𝑥ln⁡(1−𝑥2)𝑥−3.

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2013

Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑥3−1,si 𝑥<1,−𝑥2+4𝑥−3,si 𝑥≥1.

  1. Determine el dominio y estudie la continuidad de la función.
  2. Obtenga los extremos de la función.
  3. Estudie su curvatura.

Ejercicio A2: Septiembre de 2013

En una empresa de montajes, el número de montajes diarios realizados por un trabajador depende de los días trabajados segun la funcion 𝑀(𝑡)=11𝑡+172𝑡+12,𝑡≥1, donde 𝑡 es el número de días trabajados.

  1. ¿Cuántos montajes realiza el primer día? ¿Cuántos días necesitará para realizar cinco montajes diarios?
  2. ¿Qué ocurriría con el número de montajes diarios si trabajara indefinidamente?
  3. El dueño de la empresa cree que el número de montajes diarios aumenta con los días de trabajo. Estudiando la función, justifique si es cierta dicha creencia.
  4. Dibuje la gráfica de la función.

Ejercicio B2: Septiembre de 2013

Sea la función 𝑓(𝑥)={𝑥2−𝑏𝑥+1,si 𝑥≤2,2𝑥+𝑎,si 𝑥>2.

  1. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que dicha función sea continua en 𝑥 =2 y, ademas, tenga un mínimo en 𝑥 =1.
  2. Para 𝑎 =2 y 𝑏 =6, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 𝑥 = −2.

Ejercicio A2: Junio de 2012

  1. Sea la función 𝑓(𝑥)={𝑎𝑥2+3𝑥,si 𝑥≤2,𝑥2−𝑏𝑥−4,si 𝑥>2. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓 sea derivable en 𝑥 =2.
  2. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑔(𝑥)=𝑥+2𝑥−1 en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Ejercicio B2: Junio de 2012

Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los próximos 10 años viene dado por la función 𝐵(𝑡)={𝑎𝑡−𝑡2,si 0≤𝑡≤6,2𝑡,si 6<𝑡≤10, siendo 𝑡 el tiempo transcurrido en años.

  1. Calcule el valor del parámetro 𝑎 para que 𝐵 sea una función continua.
  2. Para 𝑎 =8 represente su gráfica e indique en qué períodos de tiempo la función crecerá o decrecerá.
  3. Para 𝑎 =8 indique en qué momento se obtiene el máximo beneficio en los primeros 6 años y a cuánto asciende su valor.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2012

De la función 𝑓 se sabe que su función derivada es 𝑓′(𝑥) =3𝑥2 −8𝑥 +5.

  1. Estudie la monotonía y la curvatura de 𝑓.
  2. Sabiendo que la gráfica de 𝑓 pasa por el punto (1,1), calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto.

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2012

  1. Dada la función 𝑓(𝑥) =2𝑥2 +𝑎𝑥 +𝑏, determine los valores de 𝑎 y 𝑏 sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1,3) y alcanza un extremo en 𝑥 = −2.
  2. Calcule la ecuación de la recta tangente a la función 𝑔(𝑥) =3𝑥2 −2𝑥 +1, en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2012

  1. Para la función 𝑓 definida de la forma 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥𝑥+𝑏, determine, razonadamente, los valores de 𝑎 y 𝑏 sabiendo que tiene como asíntota vertical la recta de ecuación 𝑥 = −2 y como asíntota horizontal la de ecuación 𝑦 =3.
  2. Para la función 𝑔, definida de la forma 𝑔(𝑥) =𝑥3 −3𝑥2 +2, determine: su dominio, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Con esos datos haga un esbozo de su gráfica.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2012

Sea la función 𝑓(𝑥)={𝑎𝑥2−2𝑥,si 𝑥≤2,𝑥2−𝑏,si 𝑥>2.

  1. Calcule 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua en todo su dominio y presente un mínimo en 𝑥 =1.
  2. Represente gráficamente la función para 𝑎 =1,5 y 𝑏 =0,5.

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2012

Se considera la función 𝑓(𝑥)=1−2𝑥+2.

  1. Determine la monotonía y curvatura de la función.
  2. Calcule sus asíntotas.
  3. Represéntela gráficamente.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2012

Sea 𝑃(𝑡) el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de enfermedad transcurrido un tiempo 𝑡, medido en meses: 𝑃(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑡2,si 0≤𝑡≤5,100𝑡−250𝑡+5,si 𝑡>5.

  1. Estudie la continuidad de la función 𝑃.
  2. Estudie la derivabilidad de 𝑃 en 𝑡 =5.
  3. Estudie la monotonía de dicha función e interprete la evolución del porcentaje de células afectadas.
  4. ¿En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50?

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2012

Sean dos funciones, 𝑓 y 𝑔, tales que las expresiones de sus funciones derivadas son, respectivamente, 𝑓′(𝑥) =𝑥 +2 y 𝑔′(𝑥) =2.

  1. Estudie la monotonía de las funciones 𝑓 y 𝑔.
  2. De las dos funciones 𝑓 y 𝑔, indique, razonadamente, cuál de ellas tiene algún punto en el que su derivada es nula.
  3. ¿Cuál de las funciones 𝑓 y 𝑔 es una función polinómica de primer grado? ¿Por qué?

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2012

Calcule las derivadas de las siguientes funciones:

  1. 𝑓(𝑥) =𝑒3𝑥 ⋅ln⁡(2𝑥 −5).
  2. 𝑔(𝑥) =3𝑥2𝑥2−1.
  3. ℎ(𝑥) =(3𝑥2 +5𝑥 −1)6 +𝑥2 −ln⁡(𝑥).

Ejercicio A2: Septiembre de 2012

Determine los valores que han de tomar 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓(𝑥)={−𝑥2+𝑎𝑥−7,si 𝑥<1,4𝑥−𝑏,si 𝑥≥1 sea derivable en ℝ.

Ejercicio B2: Septiembre de 2012

En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina. La superficie afectada, en km2, viene dada por la función 𝑓(𝑡)=11𝑡+20𝑡+2, siendo 𝑡 el tiempo transcurrido desde que empezamos a observarla.

  1. ¿Cuál es la superficie afectada inicialmente, cuando empezamos a medirla?
  2. Estudie si la mancha crece o decrece con el tiempo.
  3. ¿Tiene algún límite la extensión de la superficie de la mancha?

Ejercicio A2: Junio de 2011

  1. Calcule la función derivada de 𝑓(𝑥)=𝑒−2𝑥(−𝑥2+2)2.
  2. Se sabe que la expresión que representa el número medio de clientes 𝑁(𝑡) que acude un día a una cadena de almacenes, en función del número de horas 𝑡 que llevan abiertos, es 𝑁(𝑡)=𝑎⋅𝑡2+𝑏⋅𝑡,0≤𝑡≤8,𝑎,𝑏∈ℝ. Sabiendo que el máximo de clientes que han acudido ese día ha sido de 160 y que se ha producido a las 4 horas de abrir, calcule 𝑎 y 𝑏.

Ejercicio B2: Junio de 2011

Las funciones 𝐼(𝑡) = −2𝑡2 +51𝑡 y 𝐺(𝑡) =𝑡2 −3𝑡 +96 con 0 ≤𝑡 ≤18 representan, respectivamente, los ingresos y gastos de una empresa, en miles de euros, en función de los años, 𝑡, transcurridos desde su inicio y en los últimos 18 años.

  1. ¿Para qué valores de 𝑡, desde su entrada en funcionamiento, los ingresos coincidieron con los gastos?
  2. Determine la función que refleje los beneficios (ingresos menos gastos) en función de 𝑡 y represéntela gráficamente.
  3. ¿Al cabo de cuántos años, desde su entrada en funcionamiento, los beneficios fueron máximos? Calcule el valor de ese beneficio.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2011

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−𝑥+4,si 𝑥<2,4,si 2≤𝑥<4,−𝑥2−4𝑥+1,si 𝑥≥4.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
  2. Determine los extremos locales de 𝑓.
  3. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 𝑥 =3.

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2011

Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑥2𝑥,𝑔(𝑥)=(𝑥2+1)2⋅ln⁡(𝑒3𝑥+4),ℎ(𝑥)=13𝑥−5𝑥2−2.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2011

Tras un test realizado a un nuevo modelo de automóvil, se ha observado que el consumo de gasolina, 𝑐(𝑥), expresado en litros, viene dado por la función: 𝑐(𝑥)=7,5−0,05𝑥+0,00025𝑥2, siendo 𝑥 la velocidad en km/h y 25 ≤𝑥 ≤175.

  1. Determine el consumo de gasolina a las velocidades de 50 km/h y 150 km/h.
  2. Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función 𝑐(𝑥).
  3. ¿A qué velocidades de ese intervalo se obtiene el mínimo consumo y el máximo consumo y cuáles son éstos?

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2011

Se considera la función dada por 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩−2𝑥+2,si 𝑥≤0,2𝑥−2,si 𝑥>0.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
  2. Halle las ecuaciones de las asíntotas de esta función.

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2011

Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad 𝑅(𝑥), en miles de euros, viene dada en función de la cantidad, 𝑥, que se invierte, también en miles de euros, por la siguiente expresión: 𝑅(𝑥)=−0,001𝑥2+0,4𝑥+3,5,con 𝑥≥10.

  1. Calcule la rentabilidad para una inversión de 100.000 euros.
  2. Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener la máxima rentabilidad.
  3. ¿Qué rentabilidad máxima se obtendría?

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2011

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩1−2𝑥2,si 𝑥≤1,𝑥2−2𝑎𝑥+3,si 1<𝑥≤3,−𝑥2+8𝑥−15,si 𝑥>3.

  1. Calcule el valor de 𝑎 para que 𝑓 sea continua en 𝑥 =1.
  2. Para 𝑎 =2, estudie la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2011

El beneficio, en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa el pasado año está dado por la función: 𝐵(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑡2−𝑡+5,0≤𝑡≤6,𝑡+12,6<𝑡≤12,, donde 𝑡 es el tiempo transcurrido en meses.

  1. Estudie la derivabilidad de la función al cabo de 6 meses.
  2. ¿Cuándo fue mínimo el beneficio? ¿Cuál fue dicho beneficio?
  3. Represente gráficamente la función 𝐵(𝑡). ¿Cuándo fue máximo el beneficio? ¿A cuánto ascendió?

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2011

  1. La gráfica de la función derivada, 𝑓′, de una función 𝑓 es una parábola que corta al eje 𝑂𝑋 en los puntos ( −1,0) y (3,0), y tiene su vértice en (1, −4). Estudie, a partir de ella, la monotonía de la función 𝑓 e indique la abscisa de cada extremo relativo.
  2. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función: 𝑔(𝑥)=−2𝑒3𝑥 en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Ejercicio A2: Septiembre de 2011

  1. Halle el dominio, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la función: 𝑓(𝑥)=4𝑥2𝑥+1.
  2. Halle los intervalos de monotonía, los extremos relativos, los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión de la función: 𝑔(𝑥)=𝑥3+3𝑥2+3𝑥.

Ejercicio B2: Septiembre de 2011

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2−3𝑥+4,si 𝑥≤2,4−𝑎𝑥,si 𝑥>2..

  1. Halle el valor de 𝑎 para que dicha función sea continua y estudie la derivabilidad de 𝑓 para ese valor de 𝑎.
  2. Para 𝑎 =1, ¿existe alguna asíntota vertical de esa función? ¿Y horizontal? Razone las respuestas y calcule, en caso afirmativo, dichas asíntotas.

Ejercicio A2: Junio de 2010

Sea la función 𝑓(𝑥) =2𝑥2 −13𝑥3. Calcule:

  1. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
  2. Las coordenadas de sus extremos relativos.
  3. El punto de la gráfica en el que la pendiente de la recta tangente a dicha gráfica es 4.

Ejercicio B2: Junio de 2010

Calcule las derivadas de las siguientes funciones:

  1. 𝑓(𝑥) =𝑒3𝑥1+𝑥2.
  2. 𝑔(𝑥) =ln⁡(𝑥(1 +3𝑥2)).
  3. ℎ(𝑥) =25𝑥 +1𝑥2.

Ejercicio A2: Septiembre de 2010

Un consultorio médico abre a las 5 de la tarde y cierra cuando no hay pacientes. La expresión que representa el número medio de pacientes en función del tiempo en horas, 𝑡, que lleva abierto el consultorio es 𝑁(𝑡) =4𝑡 −𝑡2.

  1. ¿A qué hora el número medio de pacientes es máximo? ¿Cuál es ese máximo?
  2. Sabiendo que el consultorio cierra cuando no hay pacientes, ¿a qué hora cerrará?
  3. Represente gráficamente 𝑁(𝑡) =4𝑡 −𝑡2, con 𝑁(𝑡) ≥0.

Ejercicio B2: Septiembre de 2010

Sea la función 𝑓(𝑥)={−𝑥2−2𝑎𝑥+3,si 𝑥≤1,𝑎𝑥2−6𝑥+5,si 𝑥>1.

  1. Calcule el valor de 𝑎 para que 𝑓 sea continua en 𝑥 =1.
  2. Para 𝑎 =1, represente su gráfica y, a la vista de ella, indique su monotonía y las coordenadas de sus extremos locales.