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📋 Junio de 2024

Ejercicio 1

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11−2𝑎−3𝑎−1102𝑎⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=(−132)y𝐶=(−214), siendo 𝑎 un número real.

  1. Obtenga los valores de 𝑎 para los que la matriz 𝐴 tenga inversa.
  2. Para 𝑎 =1, resuelva la ecuación 𝑋𝐴 −𝐵 =𝐶𝐴.
  3. Determine razonadamente la dimensión de la matriz 𝐷 que permita realizar la operación 𝐵𝐴+𝐷𝐶𝑡𝐵.

Resolución
  1. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣11−2𝑎−3𝑎−1102𝑎∣=𝑎(𝑎−1)−4(𝑎−3)−2−𝑎(𝑎−3)=𝑎2−𝑎−4𝑎+12−𝑎2+3𝑎=−2𝑎+10. La inversa de 𝐴 existe si y solo si su determinante es no nulo. |𝐴|=0⇔−2𝑎+10=0⇔𝑎=5. Por tanto, la matriz 𝐴 tiene inversa si 𝑎 ≠5.
  2. Si 𝑎 =1, por el apartado anterior 𝐴 es invertible con det(𝐴) =8. Despejamos la ecuación matricial. 𝑋𝐴−𝐵=𝐶𝐴⇔𝑋𝐴=𝐶𝐴+𝐵⇔𝑋=(𝐶𝐴+𝐵)𝐴−1=𝐶+𝐵𝐴−1. Para hallar la inversa de 𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−22−4−51−2132⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=18⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−2−51213−4−22⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=𝐶+𝐵𝐴−1=(−214)+18(−132)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−2−51213−4−22⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==(−214)+18(0412)=(−214)+(01232)=(−232112).
  3. Para que el producto 𝐷𝐶𝑡 se pueda realizar, es necesario que 𝐷 tenga 3 columnas. Por otro lado, para que el resultado de ese producto sea de dimensión 1 ×3, la matriz 𝐷 debe tener 1 fila. Por tanto, la matriz 𝑋 tiene dimensión 1 ×3.

Ejercicio 2

Un agricultor posee una finca con un olivar intensivo de secano y desea transformar una parte de la misma en regadío, pero manteniendo un mínimo de 20 hectáreas de cultivo de secano. Para ello, anualmente dispone de 30.000 m3 de agua, de 5.500 kg de abono y de 3.000 kg de productos fitosanitarios. Cada hectárea de olivar de regadío necesita 1.500 m3 de agua, 110 kg de abono y 80 kg de productos fitosanitarios; mientras que cada hectárea de olivar de secano precisa de 100 kg de abono y 50 kg de productos fitosanitarios. Se sabe que la producción anual por hectárea es de 5.000 kg en secano y de 10.000 kg en regadío. Determine el número de hectáreas de olivar de secano y de regadío que el agricultor debe cultivar para maximizar su producción, así como la producción maxima esperada.

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de hectáreas de secano e 𝑦 al de regadío. Podemos organizar la información en una tabla.

Agua (m3) Abono (kg) Productos (kg) Costes (€)
Secano 0 100 50 5.000
Regadío 1.500 110 80 10.000
Máximo 30.000 5.500 3.000

Las restricciones del problema son: ⎧{ { { {⎨{ { { {⎩𝑥≥20,1.500𝑦≤30.000,100𝑥+110𝑦≤5.500,50𝑥+80𝑦≤3.000,𝑦≥0⇔⎧{ { { {⎨{ { { {⎩𝑥≥20,𝑦≤20,10𝑥+11𝑦≤550,5𝑥+8𝑦≤300,𝑦≥0. La función objetivo a maximizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=5.000𝑥+10.000𝑦.

Representamos la región. Figura Hallamos los vértices desconocidos.

  • Para determinar el vértice 𝐶, planteamos el sistema: {𝑦=20,5𝑥+8𝑦=300⇔{𝑥=28,𝑦=20.
  • Para determinar el vértice 𝐷, planteamos el sistema: {10𝑥+11𝑦=550,5𝑥+8𝑦=300⇔{𝑥=44,𝑦=10.
Por tanto, los vértices son: 𝐴(20,0),𝐵(20,20),𝐶(28,20),𝐷(44,10)y𝐸(55,0).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(20,0)=100.000,𝐹(𝐵)=𝐹(20,20)=300.000,𝐹(𝐶)=𝐹(28,20)=340.000,𝐹(𝐷)=𝐹(44,10)=320.000,𝐹(𝐸)=𝐹(55,0)=275.000. Por tanto, el valor máximo de la producción se alcanza cultivando 28 hectáreas de secano y 20 de regadío, con una producción de 340.000 kg.

Ejercicio 3

  1. Calcule la derivada de las funciones siguientes: 𝑓(𝑥)=(𝑥2+2)3𝑒−2𝑥,𝑔(𝑥)=ln⁡(1−𝑥3)(1−2𝑥2)2.
  2. Halle los valores de 𝑎 y 𝑏 para que sea horizontal la recta tangente a la gráfica de la función ℎ(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +3𝑥 +𝑏 en el punto 𝑃(1,2).

Resolución
    • Calculamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=3(𝑥2+2)2⋅2𝑥⋅𝑒−2𝑥+(𝑥2+2)3⋅𝑒−2𝑥⋅(−2)=6𝑥(𝑥2+2)2𝑒−2𝑥−2(𝑥2+2)3𝑒−2𝑥.
    • Calculamos la derivada de la función 𝑔. 𝑔′(𝑥)=11−𝑥3⋅(−3𝑥2)⋅(1−2𝑥2)2−ln⁡(1−𝑥3)⋅2(1−2𝑥2)⋅(−4𝑥)(1−2𝑥2)4==−3𝑥21−𝑥3(1−2𝑥2)2+8𝑥(1−2𝑥2)ln⁡(1−𝑥3)(1−2𝑥2)4.
  2. En primer lugar, hallamos la derivada de la función ℎ. ℎ′(𝑥)=3𝑥2+2𝑎𝑥+3. Si la pendiente de la recta tangente en 𝑥 =1 es 0, entonces 𝑓′(1) =0. 𝑓′(1)=0⇔3+2𝑎+3=0⇔2𝑎=−6⇔𝑎=−3. Por otro lado, si 𝑃(1,2) es un punto de la función, entonces 𝑓(1) =2. 𝑓(1)=2⇔1−3+3+𝑏=2⇔𝑏=1. Por tanto, 𝑎 = −3 y 𝑏 =1.

Ejercicio 4

La velocidad media del viento en la zona de Sierra Nevada, prevista para cierto día, viene dada por la función 𝑣(𝑡) expresada en km/h, donde 𝑡 es el tiempo expresado en horas: 𝑣(𝑡)={𝑡2−8𝑡+60,si 0≤𝑡≤10,−𝑡2+32𝑡−140,si 10<𝑡≤24.

  1. Compruebe que la función 𝑣 es continua y derivable.
  2. Represente gráficamente la función, estudiando previamente la monotonía y calculando los extremos absolutos.
  3. La Agencia Estatal de Meteorología emite avisos de alerta por vientos siguiendo el código de colores: naranja para vientos entre 100 y 140 km/h, y rojo para vientos de más de 140 km/h. Según la previsión, indique si se debe emitir alguna alerta naranja en Sierra Nevada ese día y durante qué horas estaría activa. ¿Se emitiría alerta roja?

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑣.
    • Si 𝑡 ∈[0,24] con 𝑡 ≠10, 𝑣 es continua y derivable con 𝑣′(𝑡)={2𝑡−8,si 0≤𝑡<10,−2𝑡+32,si 10<𝑡≤24.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑡 =10. lím𝑡→10−⁡𝑣(𝑡)=lím𝑡→10−⁡(𝑡2−8𝑡+60)=80,lím𝑡→10+⁡𝑣(𝑡)=lím𝑡→10+⁡(−𝑡2+32𝑡−140)=80,𝑣(10)=80. Observamos que lím𝑡→10−⁡𝑣(𝑡)=lím𝑡→10+⁡𝑣(𝑡)=𝑣(10). Así que 𝑣 es continua en 𝑡 =10. Pasamos a estudiar su derivabilidad. 𝑣′−(10)=12,𝑣′+(10)=12. Observamos que 𝑣′−(10)=𝑣′+(10). Así que 𝑣 es derivable en 𝑡 =10.
    Por tanto, 𝑣 es continua y derivable en [0,24].
  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si 0 ≤𝑡 ≤10, 𝑣′(𝑡)=0⇔2𝑡−8=0⇔𝑡=4.
    • Si 10 <𝑡 ≤24, 𝑣′(𝑡)=0⇔−2𝑡+32=0⇔𝑡=16.
    Así que los puntos críticos son 𝑡 =4 y 𝑡 =16. Estudiamos el signo de la derivada.
    (0,4) (4,16) (16,24)
    signo de 𝑣′ − + −
    monotonía de 𝑣 → → →
    Por tanto, 𝑣 es creciente en (4,16) y es decreciente en (0,4) ∪(16,24). Los puntos (0,60) y (16,116) son máximos relativos y los puntos (4,44) y (24,52) son mínimos relativos. Por tanto, (16,116) es el máximo absoluto y (4,44) es el mínimo absoluto.
    Representamos gráficamente la función usando la información obtenida. Figura
  3. Podemos observar en la gráfica que solo se superan velocidades de 100 km/h en la segunda rama de la función. 𝑣(𝑡)=100⇔−𝑡2+32𝑡−140=100⇔−𝑡2+32𝑡−240=0⇔{𝑡=12,𝑡=20. Por tanto, la alerta naranja estaría activa entre las horas 12 y 20. Por otro lado, como por el apartado anterior el máximo absoluto es 116, no se emitiría alerta roja.

Ejercicio 5

Una agencia ha realizado un estudio acerca de la siniestralidad de los vehículos de una región. Se ha dividido a los conductores en dos grupos: jóvenes los menores de 30 años y sénior el resto de conductores. Asimismo, también se ha dividido a los vehículos en dos grupos: nuevos los que tienen menos de 5 años de antigüedad y viejos el resto de vehículos. De los 54 siniestros registrados, en 19 de ellos el vehículo implicado era nuevo y en 29 los conductores eran jóvenes. Finalmente, 21 de los siniestros se dieron con vehículos viejos y conductores jóvenes. Se escoge uno de estos siniestros al azar.

  1. Calcule la probabilidad de que el conductor sea sénior y el vehículo viejo.
  2. Calcule la probabilidad de que el conductor sea joven sabiendo que el vehículo es viejo.
  3. Determine razonadamente si la siguiente afirmación es cierta: "Los siniestros de este estudio menos probables son aquellos en los que el conductor es sénior y el vehículo es nuevo".

Resolución
  1. Llamamos 𝐽 a ser joven, 𝑆 a ser sénior, 𝑁 a tener un coche nuevo y 𝑉 a tener un coche viejo. Podemos organizar los datos en una tabla de contingencia.
    Jóvenes Sénior
    Nuevos 8 11 19
    Viejos 21 14 35
    29 25 54
    La probabilidad de que el conductor sea sénior y el vehículo sea viejo es 𝑃(𝑆∩𝑉)=1454=727.
  2. La probabilidad de que el conductor sea joven sabiendo que el vehículo es viejo es 𝑃(𝐽|𝑉)=2135=35.
  3. De las cuatro combinaciones, los siniestros en los que el conductor es joven y el vehículo es nuevo representan el menor número de casos. Por tanto, su probabilidad es la menor de las cuatro. Así que los siniestros en los que el conductor es sénior y el vehículo es nuevo no son los menos probables.

Ejercicio 6

Un grupo de turistas programa una visita a la Geoda de Pulpí. El 42% de los turistas del grupo proceden de Andalucía, el 32% de otras comunidades autónomas y el resto del extranjero. Son mayores de edad el 65% de los visitantes que proceden de Andalucía y el 75% de los que proceden de otras comunidades autónomas. Son menores de edad el 20% de los visitantes extranjeros. Elegido un turista de este grupo al azar, halle la probabilidad de que:

  1. Sea mayor de edad.
  2. Proceda de Andalucía y sea menor de edad.
  3. Sea extranjero sabiendo que es menor de edad.

Resolución

Llamamos 𝐴 a proceder de Andalucía, 𝑂 de otras comunidades, 𝐸 del extranjero y 𝑀 a ser mayor de edad. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝑀
0,65←←←←←←←←←←←→
𝐴
0,42←←←←←←←←←←←→ 0,35←←←←←←←←←←←→
𝑀𝑐
𝑀
0,75←←←←←←←←←←←→
0,32←←←←←←←←←←←→ 𝑂
0,25←←←←←←←←←←←→
𝑀𝑐
𝑀
0,26←←←←←←←←←←←→ 0,8←←←←←←←←←←→
𝐸
0,2←←←←←←←←←←→
𝑀𝑐
  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que sea mayor de edad es: 𝑃(𝑀)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝑀|𝐴)+𝑃(𝑂)⋅𝑃(𝑀|𝑂)+𝑃(𝐸)⋅𝑃(𝑀|𝐸)=0,42⋅0,65+0,32⋅0,75+0,26⋅0,8=0,721.
  2. La probabilidad de que proceda de Andalucía y sea menor de edad es: 𝑃(𝐴∩𝑀𝑐)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝑀𝑐|𝐴)=0,42⋅0,35=0,147.
  3. La probabilidad de que sea extranjero sabiendo que es menor de edad es: 𝑃(𝐸|𝑀𝑐)=𝑃(𝐸∩𝑀𝑐)𝑃(𝑀𝑐)=𝑃(𝐸)⋅𝑃(𝑀𝑐|𝐸)1−𝑃(𝑀)=0,26⋅0,21−0,721≈0,1864.

Ejercicio 7

  1. Se realizan dos muestreos aleatorios estratificados con afijación proporcional para una población dividida en cuatro estratos 𝐸1, 𝐸2, 𝐸3 y 𝐸4. En la primera muestra se han seleccionado 25 individuos de 𝐸1 y 30 de 𝐸2. En la segunda muestra se han seleccionado 80 individuos de 𝐸3 y 100 de 𝐸4. Sabiendo que el estrato 𝐸1 tiene 500 individuos y que el 𝐸3 tiene 400, determine el tamaño de cada estrato de la población y el tamaño de las muestras en cada estrato.
  2. Dada la población { −3, −1,2,5,7}, se consideran todas las muestras posibles de tamaño 2 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple. Calcule la media y la varianza de la distribución de las medias muestrales.

Resolución
  1. Podemos organizar los datos en una tabla.
    Muestra 1 Muestra 2 Población
    𝐸1 25 𝑐 500
    𝐸2 30 𝑑 𝑥
    𝐸3 𝑎 80 400
    𝐸4 𝑏 100 𝑦
    Como se usa afijación proporcional, 50025=𝑥30⇔𝑥=600,40080=𝑦100⇔𝑦=500. Como el estrato 𝐸1 tiene el mismo número de individuos que el estrato 𝐸4, 𝑏 =25 y 𝑐 =100. Además, 50025=400𝑎⇔𝑎=20,40080=600𝑑⇔𝑑=120. Por tanto:
    • La población está compuesta por 500 individuos de 𝐸1, 600 de 𝐸2, 400 de 𝐸3 y 500 de 𝐸4.
    • La primera muestra está compuesta por 25 de 𝐸1, 30 de 𝐸2, 20 de 𝐸3 y 25 de 𝐸4.
    • La segunda muestra está compuesta por 100 de 𝐸1, 120 de 𝐸2, 80 de 𝐸3 y 100 de 𝐸4.
  2. Hallamos la media 𝜇 y la varianza 𝜎2 de la población. 𝜇=−3−1+2+5+75=2,𝜎2=(−3−2)2+(−1−2)2+(2−2)2+(5−2)2+(7−2)25=13,6. Por tanto, la distribución de medias muestrales de tamaño 2 tiene media 𝜇 =5 y varianza 𝜎22=13,62=6,8.

Ejercicio 8

Se desea conocer la proporción de habitantes de una determinada ciudad que realizan turismo sostenible durante sus vacaciones. Para ello se selecciona al azar una muestra de 2.500 habitantes, resultando que 1.825 realizan turismo sostenible.

  1. Calcule un intervalo, con un nivel de confianza del 95%, para estimar la proporción de habitantes de la ciudad que realizan turismo sostenible.
  2. Para un nivel de confianza del 97% y manteniendo la proporción muestral, ¿cuál sería el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea inferior al 1%?
  3. Razone qué efecto producirá sobre la amplitud del intervalo una disminución del tamaño de la muestra.

Resolución
  1. Como 1.825 habitantes de 𝑛 =2.500 realizan turismo sostenible, la proporción muestral es: 𝑝=1.8252.500=0,73. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 95%, entonces: 𝛼=1−0,95=0,05⇒1−𝛼2=1−0,052=0,975⇒𝑧𝛼/2=1,96. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de habitantes que realizan turismo sostenible con un nivel de confianza del 95% es: 𝐼=(0,73−1,96⋅√0,73⋅(1−0,73)2.500,0,73+1,96⋅√0,73⋅(1−0,73)2.500)≈(0,7126;0,7474).
  2. Si el nivel de confianza es del 97%, entonces: 𝛼=1−0,97=0,03⇒1−𝛼2=1−0,032=0,985⇒𝑧𝛼/2=2,17. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=2,17⋅√0,73⋅(1−0,73)𝑛=2,17⋅√0,1971𝑛. Si se quiere el error sea inferior a 0,01, entonces: 2,17⋅√0,1971𝑛=0,01⇔√0,1971𝑛=0,012,17⇔0,1971𝑛=0,0122,172⇔𝑛=0,1971⋅2,1720,012=9.281,2419. Por tanto, el número mínimo de personas de la muestra debe ser 9.282.
  3. La amplitud del intervalo aumenta al reducir el tamaño de la muestra, porque el error máximo cometido se incrementa.