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Ejercicio 1: Junio de 2025

  1. Plantee y resuelva el siguiente problema de forma matricial: El gerente de una empresa de productos hospitalarios desea introducir un nuevo producto en el mercado nacional. Para ello contrata a 3 vendedores que se han encargado de las zonas A, B y C del país, respectivamente. El vendedor de la zona A ha trabajado 40 horas, ha realizado 10 demostraciones y 5 viajes para dicha promoción. El vendedor de la zona B ha trabajado el doble de horas que el de la zona A, realizando 15 demostraciones y 8 viajes. En cuanto al vendedor de la zona C, ha trabajado 100 horas, ha realizado 25 demostraciones y 10 viajes. El gerente debe abonarles 75€ por hora trabajada, 300€ por demostración y 250€ por viaje realizado. Teniendo en cuenta que, además, debe aplicárseles una retención en concepto del impuesto del IRPF del 15% si la cantidad a abonar al vendedor es menor de diez mil euros y del 18% en caso contrario, determine la cantidad final que cobrará cada vendedor.
  2. Sea 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−2213𝑎−12403⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. ¿Para qué valores de 𝑎 es la matriz 𝐴 invertible?

Resolución
  1. Podemos recoger la información en las matrices: 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝40105801581002510⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝75300250⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
    • La matriz 𝐴 recoge los números de horas trabajadas, demostraciones y viajes por cada vendedor. Las filas indican los vendedores y las columnas las horas trabajadas, demostraciones y viajes, respectivamente.
    • La matriz 𝐵 recoge la cantidad que debe ser abonada por cada hora trabajada, demostración y viaje, respectivamente.
    Así que la cantidad de dinero sin aplicar impuestos que recibe cada vendedor en euros viene dada por el producto: 𝐶=𝐴⋅𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝40105801581002510⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝75300250⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝7.25012.50017.500⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Como la cantidad a abonar a los vendedores de las zonas B y C es superior a 10.000€, la matriz que recoge el porcentaje que cobra cada vendedor al aplicar la retención del IRPF es: 𝐷=(0,850,820,82). Por tanto, la cantidad final que cobra cada vendedor viene dada por la diagonal del producto: 𝐶⋅𝐷=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝7.25012.50017.500⎞⎟ ⎟ ⎟⎠(0,850,820,82)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝6.162,55.9455.94510.62510.25010.25014.87514.35014.350⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Es decir, los vendedores de las zonas A, B y C cobran 6.162,5€, 10.250€ y 14.350€, respectivamente.
  2. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣−2213𝑎−12403∣=−6(𝑎−1)+16−4(𝑎−1)−18=−10𝑎+8. La inversa de 𝐴 existe cuando su determinante es no nulo. |𝐴|=0⇔−10𝑎+8=0⇔10𝑎=8⇔𝑎=45. Por tanto, la matriz es invertible si 𝑎 ≠45.

Ejercicio 1: Reserva 1 de 2025

Se considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝210012222⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Resuelva el sistema de ecuaciones matriciales: (𝐴+𝐼3)⋅𝑋+𝑌=𝐴−𝐼3,𝑋−𝑌=𝐼3.
  2. Halle el rango de las matrices 𝐴 +𝐼3 y 𝐴 −𝐼3. ¿Son matrices invertibles?

Ejercicio 1: Reserva 2 de 2025

  1. En un festival gastronómico gaditano se han vendido entradas para tres eventos culinarios. Concretamente, 120 entradas para un taller de repostería, 50 para una demostración de cocina gourmet y 150 para una cata de vinos de la tierra de Cádiz. El total recaudado por la venta de entradas ha sido de 6.460€. Se sabe que el precio de 10 entradas para el taller de repostería coincide con el coste de la suma de 2 entradas para la cata de vinos y 1 entrada para la demostración de cocina gourmet. Además, el coste de 2 entradas para el taller y 1 entrada para la cata de vinos supera en 6€ al de 2 entradas para la demostración de cocina gourmet. ¿Cuánto cuesta la entrada de cada evento?
  2. Dada la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝10−1−123121⎞⎟ ⎟ ⎟⎠, calcule el rango de 𝐴 y 𝐴2.

Ejercicio 1: Reserva 3 de 2025

En una empresa de diseño gráfico, tres personas empleadas, Ana, Bruno y Carla, trabajan en un proyecto conjunto.

  1. Se sabe que Ana ha dedicado un tercio del total de horas que ha necesitado el proyecto. Además, la suma de las horas trabajadas por Ana y Bruno excede en 6 horas a las que ha dedicado Carla, quien a su vez ha trabajado 4 horas más que Bruno. ¿Cuántas horas ha trabajado cada persona involucrada en el proyecto?
  2. Si la empresa paga 25€ por cada hora de trabajo en el proyecto y de seguros sociales el 23,60% del salario, ¿cuánto tiene que abonar la empresa para pagar los costes de este proyecto?

Ejercicio 1: Reserva 4 de 2025

  1. La suma de tres números naturales es 113; al dividir el mayor entre el menor se obtiene de cociente 6 y resto 4 y al dividir el mayor entre el intermedio se obtiene de cociente 2 y resto 6. Halle dichos números.
  2. Dadas las matrices 𝐴=(1−123)y𝐵=(0121), compruebe si la inversa de la suma de dichas matrices coincide con la suma de las inversas de cada una.

Ejercicio 1: Julio de 2025

  1. Un fabricante de paneles fotovoltaicos está analizando la eficiencia de tres modelos de placas (A, B y C). En un día determinado se realizaron tres pruebas. En la primera, utilizando 2 placas del modelo A, 1 placa del modelo B y 3 placas del modelo C, se generó una potencia efectiva total de 2.960 W. En la segunda, al combinar 1 placa del modelo A, 3 placas del modelo B y 2 placas del modelo C, se obtuvo una potencia efectiva total de 2.990 W. En la tercera, una configuración con 3 placas del modelo A, 2 placas del modelo B y 1 placa del modelo C produjo una potencia efectiva total de 2.870 W. Exprese el problema en forma matricial y discuta, a partir de la matriz del sistema, si se puede obtener la potencia efectiva que generó individualmente cada modelo de placa fotovoltaica. En caso afirmativo, obtenga dichas potencias efectivas.
  2. Resuelva la ecuación matricial 2𝑋=(110−1)2⋅(41).

Resolución

  1. Llamamos 𝑥, 𝑦 y 𝑧 a la potencia efectiva que generan los modelos A, B y C, respectivamente. Planteamos el sistema de ecuaciones. ⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥+𝑦+3𝑧=2.960,𝑥+3𝑦+2𝑧=2.990,3𝑥+2𝑦+𝑧=2.870. De forma matricial, el sistema se puede escribir de la forma: ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝213132321⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⏟__⏟__⏟𝐴⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2.9602.9902.870⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Para discutir el sistema, estudiamos en primer lugar el rango de la matriz de coeficientes calculando su determinante. |𝐴|=∣213132321∣=−18≠0⇒rang⁡(𝐴)=3. Como el rango de la matriz de coeficientes es máximo, el sistema es compatible determinado. Por tanto, se puede obtener la potencia efectiva de cada modelo de placa.

    Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝2132.9601322.9903212.870⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2−3𝐹1←←←←←←←←←→𝐹3−2𝐹1⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝2132.960−50−7−5.890−10−5−3.050⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2−5𝐹1←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝2132.96000189.360−10−5−3.050⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema escalonado resultante es: ⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥+𝑦+3𝑧=2.960,18𝑧=9.360,−𝑥−5𝑧=−3.050⇔⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥+𝑦+3𝑧=2.960,18𝑧=9.360,𝑥+5𝑧=3.050⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=450,𝑦=500,𝑧=520. Por tanto, las potencias efectivas de los modelos A, B y C son 450 W, 500 W y 520 W, respectivamente.

  2. Despejamos y resolvemos la ecuación matricial. 2𝑋=(110−1)2(41)⇔𝑋=12(110−1)2(41)=12(1001)(41)=(212).

Ejercicio 1: Junio de 2024

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11−2𝑎−3𝑎−1102𝑎⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=(−132)y𝐶=(−214), siendo 𝑎 un número real.

  1. Obtenga los valores de 𝑎 para los que la matriz 𝐴 tenga inversa.
  2. Para 𝑎 =1, resuelva la ecuación 𝑋𝐴 −𝐵 =𝐶𝐴.
  3. Determine razonadamente la dimensión de la matriz 𝐷 que permita realizar la operación 𝐵𝐴+𝐷𝐶𝑡𝐵.

Resolución
  1. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣11−2𝑎−3𝑎−1102𝑎∣=𝑎(𝑎−1)−4(𝑎−3)−2−𝑎(𝑎−3)=𝑎2−𝑎−4𝑎+12−𝑎2+3𝑎=−2𝑎+10. La inversa de 𝐴 existe si y solo si su determinante es no nulo. |𝐴|=0⇔−2𝑎+10=0⇔𝑎=5. Por tanto, la matriz 𝐴 tiene inversa si 𝑎 ≠5.
  2. Si 𝑎 =1, por el apartado anterior 𝐴 es invertible con det(𝐴) =8. Despejamos la ecuación matricial. 𝑋𝐴−𝐵=𝐶𝐴⇔𝑋𝐴=𝐶𝐴+𝐵⇔𝑋=(𝐶𝐴+𝐵)𝐴−1=𝐶+𝐵𝐴−1. Para hallar la inversa de 𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−22−4−51−2132⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=18⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−2−51213−4−22⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=𝐶+𝐵𝐴−1=(−214)+18(−132)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−2−51213−4−22⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==(−214)+18(0412)=(−214)+(01232)=(−232112).
  3. Para que el producto 𝐷𝐶𝑡 se pueda realizar, es necesario que 𝐷 tenga 3 columnas. Por otro lado, para que el resultado de ese producto sea de dimensión 1 ×3, la matriz 𝐷 debe tener 1 fila. Por tanto, la matriz 𝑋 tiene dimensión 1 ×3.

Ejercicio 1: Reserva 1 de 2024

Se consideran las matrices 𝑃=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1010101−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐽=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21002000−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Halle la matriz 𝐴 que satisface la ecuación 𝑃−1𝐴𝑃 =𝐽.
  2. Compruebe que 𝐴3 =𝑃𝐽3𝑃−1.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos el determinante de 𝑃. |𝑃|=∣1010101−1−1∣=−2. Así que 𝑃 es invertible con det(𝑃) = −2. Despejamos la ecuación matricial. 𝑃−1𝐴𝑃=𝐽⇔𝐴=𝑃𝐽𝑃−1. Para hallar la inversa de 𝑃, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝑃)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−10−1−1−21−101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝑃−1=1|𝑃|Adj⁡(𝑃)𝑡=−12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1−1−10−20−111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1110201−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝐴=𝑃𝐽𝑃−1=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1010101−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21002000−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1110201−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21−10202−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1110201−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1530403−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
  2. Calculamos la matriz 𝐴3. 𝐴2=𝐴⋅𝐴=14⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1530403−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1530403−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=14⎛⎜ ⎜ ⎜⎝10226016061010⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝5113080355⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐴3=𝐴2⋅𝐴=14⎛⎜ ⎜ ⎜⎝5113080355⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1530403−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=14⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1466180320183014⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝733901609157⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por otro lado, calculamos la matriz 𝐽3. 𝐽2=𝐽⋅𝐽=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21002000−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21002000−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝440040001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐽3=𝐽2⋅𝐽=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝440040001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21002000−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝812008000−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto 𝑃𝐽3𝑃−1=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1010101−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝812008000−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1110201−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝812−1080841⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1110201−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝733901609157⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Así que 𝐴3 =𝑃𝐽3𝑃−1.

Ejercicio 1: Reserva 2 de 2024

Se consideran las matrices 𝑀=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101210111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝑁=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝322521740⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑉=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝5−𝑎2𝑎−1𝑎2⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠, siendo 𝑎 un número real.

  1. Halle el valor de 𝑎 para que se verifique que 𝑀𝑡𝑉=(515)𝑡.
  2. Calcule 𝑀−1 y resuelva la ecuación matricial 𝑋𝑀 −𝐼3 =𝑁.
  3. Razone si las operaciones 2𝑉𝑁𝑡 y (𝑁 +𝑀𝑡)𝑉 se pueden realizar y, en aquellos casos en que sea posible, indique la dimensión de la matriz resultante.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos 𝑀𝑡𝑉. 𝑀𝑡𝑉=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝121011101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝5−𝑎2𝑎−1𝑎2⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝5−𝑎2+2𝑎−2+𝑎2𝑎−1+𝑎25−𝑎2+𝑎2⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2𝑎+3𝑎2+𝑎−15⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Así que: 𝑀𝑡𝑉=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝515⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⇔⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2𝑎+3𝑎2+𝑎−15⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝515⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⇔⎧{ {⎨{ {⎩2𝑎+3=5⇔𝑎=1,𝑎2+𝑎−1=1⇔{𝑎=−2,𝑎=1. Por tanto, se verifica para 𝑎 =1.
  2. Hallamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝑀. |𝑀|=∣101210111∣=2. Como det(𝑀) ≠0, la matriz es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝑀)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−2110−1−121⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa como: 𝑀−1=1|𝑀|Adj⁡(𝑀)𝑡=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11−1−2021−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Despejamos la ecuación matricial. 𝑋𝑀−𝐼3=𝑁⇔𝑋𝑀=𝑁+𝐼3⇔𝑋=(𝑁+𝐼3)𝑀−1. Por tanto, 𝑋=(𝑁+𝐼3)𝑀−1=12⎡⎢ ⎢⎣⎛⎜ ⎜ ⎜⎝322521740⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜⎝100010001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎤⎥ ⎥⎦⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11−1−2021−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝422531741⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11−1−2021−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝222042062⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝111021031⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
    • 𝑉 es de dimensión 3 ×1 y 𝑁𝑡 es 3 ×3, así que el producto no se puede realizar.
    • 𝑁 y 𝑀𝑡 son matrices cuadradas de orden 3, por lo que se pueden sumar y 𝑁 +𝑀𝑡 es también una matriz cuadrada de orden 3. Por otro lado, como 𝑉 es de dimensión 3 ×1, se pueden multiplicar y da como resultado una matriz de dimensión 3 ×1.

Ejercicio 1: Reserva 3 de 2024

Se consideran las matrices 𝐴=(1−11−210),𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝0−110−12⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝132111031⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Resuelva la siguiente ecuación 𝐴𝐵𝑋𝐶=(100010).
  2. Halle las dimensiones de las matrices 𝐷 y 𝐸 para que tenga sentido la igualdad 𝐴𝐷 =𝐸𝐵.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos la matriz 𝐴𝐵. 𝐴𝐵=(1−11−210)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝0−110−12⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=(−2112).
    • Calculamos el determinante de 𝐴𝐵. |𝐴𝐵|=∣−2112∣=−5≠0. Así que 𝐴𝐵 es invertible con det(𝐴𝐵) = −5.
    • Calculamos el determinante de 𝐶. |𝐶|=∣132111031∣=1≠0. Así que 𝐶 es invertible con det(𝐶) =1.
    Despejamos la ecuación matricial. 𝐴𝐵𝑋𝐶=(100010)⇔𝑋=(𝐴𝐵)−1(100010)𝐶−1.
    • Para hallar la inversa de 𝐴𝐵, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴𝐵)=(2−1−1−2). Calculamos su inversa de la forma: (𝐴𝐵)−1=1|𝐴𝐵|Adj⁡(𝐴𝐵)𝑡=−15(2−1−1−2)=15(−2112).
    • Para hallar la inversa de 𝐶, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐶)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−2−1331−311−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa de la forma: 𝐶−1=1|𝐶|Adj⁡(𝐶)𝑡=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−231−1113−3−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
    Por tanto, 𝑋=(𝐴𝐵)−1(100010)𝐶−1=15(−2112)(100010)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−231−1113−3−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==15(−210120)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−231−1113−3−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=15(3−5−1−453).
  2. Llamamos 𝑚 ×𝑛 a la dimensión de 𝐷 y 𝑝 ×𝑞 a la de 𝐸. Como la matriz 𝐴 es de dimensión 2 ×3, 𝐷 debe tener 3 filas para poder multiplicarse con ella y el producto 𝐴𝐷 tiene dimensión 2 ×𝑛. Por otro lado, como 𝐵 es de dimensión 3 ×2, 𝐸 debe tener 3 columnas para poder multiplicarse y el producto 𝐸𝐵 tiene dimensión 𝑝 ×2. Por último, para que se cumpla la igualdad se tiene que verificar que 𝑛 =2 y 𝑝 =2. Por tanto, 𝐷 tiene dimensión 3 ×2 y 𝐸 dimensión 2 ×3.

Ejercicio 1: Reserva 4 de 2024

Se consideran las matrices 𝐴=(0110),𝐵=(3220)y𝐶=(1011).

  1. Determine las matrices 𝑋 e 𝑌 que satisfacen simultáneamente las ecuaciones 2𝑋−𝑌=4𝐴,𝑋+𝑌=𝐵.
  2. Calcule la matriz 𝐶2024.
  3. Si 𝐷 es una matriz de dimensión 2 ×3, razone si las siguientes operaciones se pueden realizar y, en aquellos casos en los que sea posible, indique la dimensión de la matriz resultante: 𝐴𝑡𝐵+𝐷𝐷𝑡,𝐷𝐵𝑡+𝐴,𝐷𝑡𝐴𝑡+𝐷.

Resolución
  1. Resolvemos el sistema por sustitución. Despejando en la segunda ecuación, 𝑋+𝑌=𝐵⇔𝑌=𝐵−𝑋. Sustituyendo y despejando en la primera ecuación, obtenemos que: 2𝑋−(𝐵−𝑋)=4𝐴⇔3𝑋=4𝐴+𝐵⇔𝑋=13(4𝐴+𝐵)=13[(0440)+(3220)]=13(3660)=(1220). Sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos que: 𝑌=𝐵−𝑋=(3220)−(1220)=(2000).
  2. Calculamos las primeras potencias de 𝐶. 𝐶2=𝐶⋅𝐶=(1011)(1011)=(1021),𝐶3=𝐶2⋅𝐶=(1021)(1011)=(1031),𝐶4=𝐶3⋅𝐶=(1031)(1011)=(1041). Por tanto, 𝐶2024=(1020241).
    • 𝐴𝑡 y 𝐵 son matrices cuadradas de orden 2, así que se pueden multiplicar y 𝐴𝑡𝐵 es también una matriz cuadrada de orden 2. Por otro lado, como 𝐷 es de dimensión 2 ×3 y 𝐷𝑡 es 3 ×2, se pueden multiplicar y 𝐷𝐷𝑡 es una matriz cuadrada de orden 2. Por tanto, la suma se puede realizar y da como resultado una matriz cuadrada de orden 2.
    • 𝐷 es de dimensión 2 ×3 y 𝐵 es 2 ×2, así que el producto no se puede realizar.
    • 𝐷𝑡 es dimensión 3 ×2 y 𝐴𝑡 es 2 ×2, así que se pueden multiplicar y 𝐷𝑡𝐴𝑡 tiene dimensión 3 ×2. Como 𝐷 es de dimensión 2 ×3, la suma no se puede realizar.

Ejercicio 1: Julio de 2024

Dada la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1200−12−201⎞⎟ ⎟ ⎟⎠, resuelva la ecuación 𝐴2𝑋 +𝐴4 =𝐴.

Resolución

En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣1200−12−201∣=−9. Así que 𝐴 es invertible con det(𝐴) = −9.

Despejamos la ecuación matricial. 𝐴2𝑋+𝐴4=𝐴⇔𝐴2𝑋=𝐴−𝐴4⇔𝑋=𝐴−2(𝐴−𝐴4)=𝐴−1−𝐴2.

Por un lado, calculamos 𝐴2=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1200−12−201⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1200−12−201⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝104−410−4−41⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Por otro lado, para hallar la inversa de 𝐴 calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1−4−2−21−44−2−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=−19⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1−24−41−2−2−4−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=19⎛⎜ ⎜ ⎜⎝12−44−12241⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Por último, calculamos la matriz 𝑋 operando. 𝑋=𝐴−1−𝐴2=19⎛⎜ ⎜ ⎜⎝12−44−12241⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝104−410−4−41⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−8929−409409−10929389409−89⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠=29⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−41−2020−511920−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 2: Junio de 2023

Dadas las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎100𝑎2011⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=(2−1𝑎−1)y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−11−120⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcule los valores del parámetro 𝑎 para los que tanto 𝐴 como 𝐵 admitan inversa.
  2. Para 𝑎 =1, halle una matriz 𝑋 que satisfaga 𝐴𝑋𝐵 =𝐶.

Resolución
  1. Calculamos en primer lugar los determinantes de las matrices 𝐴 y 𝐵. |𝐴|=∣𝑎100𝑎2011∣=𝑎2−2𝑎,|𝐵|=∣2−1𝑎−1∣=−2+𝑎. La inversa de una matriz existe si y solo si su determinante es no nulo. |𝐴|=0⇔𝑎2−2𝑎=0⇔𝑎(𝑎−2)=0⇔{𝑎=0,𝑎−2=0⇔𝑎=2,|𝐵|=0⇔−2+𝑎=0⇔𝑎=2. Así que la matriz 𝐴 tiene inversa si 𝑎 ≠0 y 𝑎 ≠2, mientras que 𝐵 tiene inversa si 𝑎 ≠2. Por tanto, 𝐴 y 𝐵 admiten inversa si 𝑎 ≠0 y 𝑎 ≠2.
  2. Si 𝑎 =1, por el apartado anterior 𝐴 y 𝐵 son invertibles con det(𝐴) = −1 y det(𝐵) = −1. Resolvemos la ecuación matricial. 𝐴𝑋𝐵=𝐶⇔𝑋=𝐴−1𝐶𝐵−1. Para hallar la inversa de 𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−100−11−12−21⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11−20−1201−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Repetimos el mismo procedimiento para hallar la inversa de 𝐵. Calculamos su matriz adjunta: Adj⁡(𝐵)=(−1−112). Calculamos su inversa como 𝐵−1=1|𝐵|Adj⁡(𝐵)𝑡=(1−11−2). Por último, calculamos la matriz 𝑋 operando. 𝑋=𝐴−1𝐶𝐵−1=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11−20−1201−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−11−120⎞⎟ ⎟ ⎟⎠(1−11−2)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1−231−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠(1−11−2)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−354−5−23⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 1: Reserva 1 de 2023

  1. Un agricultor vende la producción de tres tipos de uva, Tempranillo, Garnacha y Macabeo, de dos de sus fincas. La matriz 𝑄=(50403506055) recoge la producción, en miles de kilogramos, de estos tipos de uva en cada finca. El precio de venta por kilogramos, en céntimos de euro, según el tipo de uva y la finca, viene dado por la matriz 𝑃=(403842343740). Calcule el producto 𝑄𝑃𝑡 y explique el significado económico de los elementos de la diagonal principal del resultado. Indique también la cantidad total de dinero que ha obtenido el agricultor por la venta de la cosecha de las dos fincas.
  2. Dada la siguiente ecuación matricial 𝑀𝑋 +𝑁 =𝑉:
    1. Suponiendo que 𝑀 sea invertible, despeje la matriz 𝑋 en la ecuación anterior.
    2. Para 𝑀=(1011),𝑁=(5432)y𝑉=(8765), calcule la matriz 𝑋.

Resolución
  1. Calculamos el producto. 𝑄𝑃𝑡=(50403506055)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝403438374240⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=(4.9904.5804.5904.420). Los elementos de la diagonal principal representan el dinero en miles de céntimos ganado por la venta en cada finca. Es decir, en la primera finca consigue 49.900€ y en la segunda 44.200€. La cantidad total de dinero que obtiene es 49.900+44.200=94.100€.
    1. Resolvemos la ecuación matricial suponiendo que 𝑀 es invertible. 𝑀𝑋+𝑁=𝑉⇔𝑀𝑋=𝑉−𝑁⇔𝑋=𝑀−1(𝑉−𝑁).
    2. Comprobemos en primer lugar que la matriz 𝑀 es invertible. Calculamos su determinante. |𝑀|=∣1011∣=1. Como det(𝑀) ≠0, la matriz 𝑀 es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝑀)=(1−101). Ahora podemos calcular su inversa como 𝑀−1=1|𝑀|Adj⁡(𝑀)−1=(10−11). Por último, calculamos la matriz 𝑋 operando. 𝑋=𝑀−1(𝑉−𝑁)=(10−11)⋅((8765)−(5432))=(10−11)(3333)=(3300).

Ejercicio 1: Reserva 2 de 2023

Una conservera fabrica latas de pisto con tomate, cebolla y pimiento siguiendo dos recetas distintas. La matriz (500300200600100300) indica los gramos necesarios de cada producto para conseguir una lata de cada receta. Se dispone de dos proveedores, siendo la matriz de precios en euros por kilo de cada producto (0,50,40,60,40,50,7). Los costes de producción de cada receta en euros por lata vienen dados por la matriz (0,110,09). Los costes de transporte en euros por lata según cada proveedor vienen dados por la matriz (0,020,03). La conservera quiere obtener un beneficio de 5 céntimos por lata. Una distribuidora compra 11.000 latas de la primera receta, siendo 5.000 del primer proveedor, y otras 11.000 de la segunda receta, siendo 6.000 del primer proveedor. ¿Cuánto debe cobrar la conservera por el pedido de esta distribuidora?

Resolución

Los costes están divididos en costes de los productos, costes de producción y costes de transporte.

En primer lugar, pasamos la matriz de gramos necesarios por lata a kilogramos. (500300200600100300)→(0,50,30,20,60,10,3). El producto de matrices (0,50,30,20,60,10,3)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝0,50,40,40,50,60,7⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=(0,490,490,520,5) recoge el precio en euros de cada lata por receta y proveedor, donde las filas indican las recetas y las columnas los proveedores. Por otro lado, la matriz que recoge las latas compradas por receta y proveedor es (5.0006.0006.0005.000). Así que los elementos de la diagonal principal del producto (5.0006.0006.0005.000)(0,490,520,490,5)=(5.3905.6005.3905.620) representan el coste de los productos para cada receta. Por tanto, el coste de los productos es 5.390+5.620=11.010€.

Se compran 11.000 latas de cada receta, así que el coste de producción viene dado por el producto de matrices (11.00011.000)(0,110,09)=2.200€.

De igual forma, el coste de transporte viene dado por (11.00011.000)(0,020,03)=550€.

En conclusión, el coste total es 11.010+2.200+550=13.760€. Como se quiere obtener un beneficio de 5 céntimos por lata y se compran 22.000 latas, el beneficio buscado será de 0,05⋅22.000=1.100€. Por tanto, la conservera debe cobrar 13.760+1.100=14.860€.

Ejercicio 2: Reserva 3 de 2023

  1. Se considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−100𝑚−21𝑚4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
    1. Obtenga para qué valores de 𝑚 la matriz 𝐴 tiene inversa.
    2. Calcule, en caso de existir, la inversa de 𝐴 para 𝑚 =1.
  2. Despeje y simplifique 𝑋 en la ecuación 𝑋𝐵 −𝐵2 +𝐵 =0, sabiendo que la matriz 𝐵 es invertible.

Resolución
    1. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣1−100𝑚−21𝑚4∣=4𝑚+2+2𝑚=6𝑚+2. La inversa de 𝐴 existe si y solo si su determinante es no nulo. |𝐴|=0⇔6𝑚+2=0⇔𝑚=−13. Por tanto, la matriz 𝐴 tiene inversa si 𝑚 ≠ −13.
    2. Si 𝑚 =1, por el apartado anterior 𝐴 es invertible con det(𝐴) =8. Para hallar la inversa de 𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝6−2−144−2221⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=18⎛⎜ ⎜ ⎜⎝642−242−1−21⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
  2. Despejamos 𝑋 en la ecuación matricial. 𝑋𝐵−𝐵2+𝐵=0⇔(𝑋−𝐵+𝐼)𝐵=0⇔𝑋−𝐵+𝐼=0⇔𝑋=𝐵+𝐼.

Ejercicio 2: Reserva 4 de 2023

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝5−7670403−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝12−9−201104−7⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝12−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Halle las dimensiones de las siguientes matrices: 𝐶𝑡𝐴𝐶, 𝐴𝐶𝐶𝑡𝐵.
  2. Calcule, en caso de existir, las inversas de las matrices 𝐴 y 𝐵.
  3. Resuelva el siguiente sistema matricial: {2𝑋+3𝑌=𝐴,−3𝑋+4𝑌=𝐵.

Resolución
    • 𝐶𝑡 es de dimensión 1 ×3 y 𝐴 es 3 ×3, así que 𝐶𝑡𝐴 es de dimensión 1 ×3. Como 𝐶 es 3 ×1, la matriz 𝐶𝑡𝐴𝐶 es de dimensión 1 ×1.
    • 𝐴 es de dimensión 3 ×3 y 𝐶 es 3 ×1, así que 𝐴𝐶 es de dimensión 3 ×1. Como 𝐶𝑡 es 1 ×3, 𝐴𝐶𝐶𝑡 es de dimensión 3 ×3. Por último, como 𝐵 es 3 ×3, la matriz 𝐴𝐶𝐶𝑡𝐵 es de dimensión 3 ×3.
    • Hallamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣5−7670403−1∣=126−49−60=17. Como det(𝐴) ≠0, la matriz 𝐴 es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1272111−5−15−282249⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=117⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1211−287−52221−1549⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
    • Hallamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐵. |𝐵|=∣12−9−201104−7∣=72−44−28=0. Como det(𝐵) =0, 𝐵 no es invertible.
  3. Resolvemos el sistema por reducción para evitar arrastrar fracciones. Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2. {2𝑋+3𝑌=𝐴,−3𝑋+4𝑌=𝐵⇒{6𝑋+9𝑌=3𝐴,−6𝑋+8𝑌=2𝐵. Si sumamos ambas ecuaciones, obtenemos que 17𝑌=3𝐴+2𝐵⇔𝑌=117⎡⎢ ⎢⎣⎛⎜ ⎜ ⎜⎝15−21182101209−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜⎝24−18−402208−14⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎤⎥ ⎥⎦=117⎛⎜ ⎜ ⎜⎝17−17017034017−17⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−1010201−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Sustituyendo en la primera ecuación, 2𝑋+3𝑌=𝐴⇔𝑋=12(𝐴−3𝑌)=12⎡⎢ ⎢⎣⎛⎜ ⎜ ⎜⎝5−7670403−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3−3030603−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎤⎥ ⎥⎦=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−4640−2002⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−2320−1001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−2320−1001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠e𝑌=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−1010201−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 1: Julio de 2023

Se considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1000200−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Pruebe que se verifica que 𝐴−1 =12(𝐴2 −4𝐴 +5𝐼3).
  2. Dada la ecuación matricial 𝑋𝑡𝐴=(1203−11), determine la dimensión de 𝑋 y resuelva la ecuación.

Resolución
  1. Comprobemos en primer lugar que la matriz 𝐴 es invertible. Calculamos su determinante. |𝐴|=∣1000200−11∣=2. Como det(𝐴) ≠0, la matriz 𝐴 es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝200011002⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝200010012⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por otro lado, calculamos 𝐴2−4𝐴+5𝐼3=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1000200−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1000200−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝4000800−44⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜⎝500050005⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1000400−31⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝4000800−44⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜⎝500050005⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝200010012⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝐴−1=12(𝐴2−4𝐴+5𝐼3).
  2. Para que el producto 𝑋𝑡𝐴 se pueda realizar, es necesario que 𝑋𝑡 tenga 3 columnas. Así que 𝑋 tiene 3 filas. Por otro lado, para que el resultado de dicho producto sea de tamaño 2 ×3, la matriz 𝑋𝑡 debe tener 2 filas. Luego 𝑋 tiene 2 columnas. Por tanto, la matriz 𝑋 es de tamaño 3 ×2.
    Resolvemos la ecuación matricial. 𝑋𝑡𝐴=(1203−11)⇔𝑋𝑡=(1203−11)𝐴−1=12(1203−11)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝200010012⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=(110301). Por tanto, 𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝131001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 2: Junio de 2022

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎100𝑎1341⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=(2−10)y𝐶=(13−1), donde 𝑎 es un número real.

  1. Halle los valores del parámetro 𝑎 para que la matriz 𝐴 tenga inversa.
  2. Para 𝑎 =2, calcule la matriz inversa de 𝐴.
  3. Para 𝑎 =2, resuelva la ecuación matricial 𝑋𝐴 +𝐼3 =𝐵𝑡𝐶.

Resolución
  1. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣𝑎100𝑎1341∣=𝑎2+3−4𝑎=𝑎2−4𝑎+3. La inversa de 𝐴 existe si y solo si su determinante es no nulo. |𝐴|=0⇔𝑎2−4𝑎+3=0⇔{𝑎=1,𝑎=3. Por tanto, la matriz 𝐴 tiene inversa si 𝑎 ≠1 y 𝑎 ≠3.
  2. Si 𝑎 =2, por el apartado anterior 𝐴 es invertible con det(𝐴) = −1. Para hallar la inversa de 𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−23−6−12−51−24⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−2−1132−2−6−54⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21−1−3−2265−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
  3. Resolvemos la ecuación matricial. 𝑋𝐴+𝐼3=𝐵𝑡𝐶⇔𝑋𝐴=𝐵𝑡𝐶−𝐼3⇔𝑋=(𝐵𝑡𝐶−𝐼3)𝐴−1. Calculamos la matriz 𝑋 operando. 𝑋=(𝐵𝑡𝐶−𝐼3)𝐴−1=⎡⎢ ⎢⎣⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−10⎞⎟ ⎟ ⎟⎠(13−1)−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝100010001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎤⎥ ⎥⎦⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21−1−3−2265−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==⎡⎢ ⎢⎣⎛⎜ ⎜ ⎜⎝26−2−1−31000⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝100010001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎤⎥ ⎥⎦⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21−1−3−2265−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==⎛⎜ ⎜ ⎜⎝16−2−1−4100−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21−1−3−2265−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−28−21191612−11−6−54⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 1: Reserva 1 de 2022

Considere la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−3−𝑎−1−1𝑎𝑎+11−3−𝑎⎞⎟ ⎟ ⎟⎠, donde 𝑎 es un número real. Determine de manera justificada:

  1. Los valores de 𝑎 para los que la matriz 𝐴 tiene inversa.
  2. Las matrices 𝐴2, 𝐴3 y 𝐴2022 para 𝑎 =4.
  3. La matriz 𝑋 que verifica que 𝑋𝐴 =𝐼3 para 𝑎 =3.

Resolución
  1. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣2−3−𝑎−1−1𝑎𝑎+11−3−𝑎∣=−2𝑎2−3(𝑎+1)−3(𝑎+1)+𝑎(𝑎+1)+3𝑎+6(𝑎+1)=−𝑎2+4𝑎. La inversa de 𝐴 existe si y solo si su determinante es no nulo. |𝐴|=0⇔−𝑎2+4𝑎=0⇔𝑎(−𝑎+4)=0⇔{𝑎=0,−𝑎+4=0⇔𝑎=4. Por tanto, la matriz 𝐴 tiene inversa si 𝑎 ≠0 y 𝑎 ≠4.
  2. Si 𝑎 =4, 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−3−5−1451−3−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos la matriz 𝐴2. 𝐴2=𝐴⋅𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−3−5−1451−3−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−3−5−1451−3−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−3−5−1451−3−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=𝐴. Como 𝐴2 =𝐴, 𝐴3=𝐴2⋅𝐴=𝐴⋅𝐴=𝐴. En general, 𝐴𝑛 =𝐴. Por tanto, 𝐴2022=𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−3−5−1451−3−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
  3. Si 𝑎 =3, por el primer apartado 𝐴 es invertible y det(𝐴) =3. Resolvemos la ecuación matricial. 𝑋𝐴=𝐼3⇔𝑋=𝐴−1. Para hallar la inversa de 𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3103−230−43⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3301−2−4033⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=𝐴−1=13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3301−2−4033⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 2: Reserva 2 de 2022

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎208𝑎000𝑎⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−210⎞⎟ ⎟ ⎟⎠, donde 𝑎 es un número real.

  1. Determine los valores de 𝑎 para que la matriz 𝐴 sea no invertible.
  2. Para 𝑎 =5, calcule la inversa de la matriz 𝐴.
  3. Para 𝑎 =5, resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 =𝐵.

Resolución
  1. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣𝑎208𝑎000𝑎∣=𝑎3−16𝑎. La inversa de 𝐴 existe si y solo si su determinante es no nulo. |𝐴|=0⇔𝑎3−16𝑎=0⇔𝑎(𝑎2−16)=0⇔{𝑎=0,𝑎2−16=0⇔𝑎2=16⇔𝑎=±4. Por tanto, la matriz 𝐴 es no invertible si 𝑎 = −4, 𝑎 =0 o 𝑎 =4.
  2. Si 𝑎 =5, por el apartado anterior 𝐴 es invertible con det(𝐴) =45. Para hallar la inversa de 𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝25−400−10250009⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=145⎛⎜ ⎜ ⎜⎝25−100−40250009⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
  3. Despejamos 𝑋 en la ecuación matricial y resolvemos. 𝐴𝑋=𝐵⇔𝑋=𝐴−1𝐵=145⎛⎜ ⎜ ⎜⎝25−100−40250009⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−210⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=145⎛⎜ ⎜ ⎜⎝45−9090⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−22⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 1: Reserva 3 de 2022

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101−1−112−10⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−11−1−1−11−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3−7−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Razone si se pueden efectuar las siguientes operaciones y realice las que sean posibles: 𝐶𝐴,𝐴+𝐵,𝐶𝑡𝐵𝑡.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 =𝐵𝑋 +𝐶.

Resolución
    • 𝐶 es de dimensión 3 ×1 y 𝐴 es 3 ×3, así que el producto 𝐶𝐴 no se puede efectuar.
    • 𝐴 y 𝐵 son matrices cuadradas de orden 3, así que se pueden sumar. 𝐴+𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101−1−112−10⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−11−1−1−11−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−12−2−203−21⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
    • 𝐶𝑡 es de dimensión 1 ×3 y 𝐵𝑡 es 3 ×3, así que se pueden multiplicar. 𝐶𝑡⋅𝐵𝑡=(3−7−2)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−11−1−1−11−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=(868).
  2. Despejamos la ecuación matricial. 𝐴𝑋=𝐵𝑋+𝐶⇔𝐴𝑋−𝐵𝑋=𝐶⇔(𝐴−𝐵)𝑋=𝐶⇔𝑋=(𝐴−𝐵)−1𝐶. En primer lugar, calculamos la matriz 𝐴 −𝐵 y hallamos su determinante. 𝐴−𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101−1−112−10⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−11−1−1−11−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝01000210−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⇒|𝐴−𝐵|=∣01000210−1∣=2. Como det(𝐴 −𝐵) ≠0, la matriz 𝐴 −𝐵 es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴−𝐵)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝020101200⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa como (𝐴−𝐵)−1=1|𝐴−𝐵|Adj⁡(𝐴−𝐵)𝑡=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝012200010⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=(𝐴−𝐵)−1𝐶=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝012200010⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3−7−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−116−7⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 2: Reserva 4 de 2022

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝7−6−2314−50−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝223534−401⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐶=(12−1−2−30)y𝐷=(𝑎20−11−1𝑎).

  1. Resuelva la siguiente ecuación matricial: 𝐴𝑡 −𝑋𝐴 =3𝐼3.
  2. ¿Existe algún valor del parámetro 𝑎 para el que se verifique 𝐶𝑡𝐷 =𝐵? En caso afirmativo, calcule dicho valor.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣7−6−2314−50−4∣=10. Así que 𝐴 es invertible con det(𝐴) =10. Despejamos la ecuación matricial. 𝐴𝑡−𝑋𝐴=3𝐼3⇔𝑋𝐴=𝐴𝑡−3𝐼3⇔𝑋=(𝐴𝑡−3𝐼3)𝐴−1. Para hallar la inversa de 𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−4−85−24−3830−22−3425⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=110⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−4−24−22−8−38−2453025⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por último, calculamos la matriz 𝑋 operando. 𝑋=(𝐴𝑡−3𝐼3)𝐴−1=110⎡⎢ ⎢⎣⎛⎜ ⎜ ⎜⎝73−5−610−24−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝300030003⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎤⎥ ⎥⎦⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−4−24−22−8−38−2453025⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==110⎛⎜ ⎜ ⎜⎝43−5−6−20−24−7⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−4−24−22−8−38−2453025⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=110⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−65−360−31540220200−59−314−297⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
  2. Veamos cuándo 𝐶𝑡𝐷 =𝐵. 𝐶𝑡𝐷=𝐵⇔⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−22−3−10⎞⎟ ⎟ ⎟⎠(𝑎20−11−1𝑎)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝223534−401⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⇔⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎2−22−1−2𝑎2𝑎2−33−2−3𝑎−𝑎201⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝223534−401⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Igualando los elementos de las matrices, obtenemos el sistema ⎧{ { { {⎨{ { { {⎩𝑎2−2=2⇒𝑎=±2,−1−2𝑎=3⇒𝑎=−2,2𝑎2−3=5⇒𝑎=±2,−2−3𝑎=4⇒𝑎=−2,−𝑎2=−4⇒𝑎=±2. Por tanto, 𝑎 = −2.

Ejercicio 1: Julio de 2022

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝112−2010−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−213102⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝12−1−1−23⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Determine la matriz 𝑋 que verifica 𝐴𝑋 +𝐵 =𝐴2𝐶.
  2. Determine las dimensiones de dos matrices 𝑃 y 𝑄 sabiendo que 𝐴𝑃𝑡+𝐶=𝐶(𝑄𝐵).

Resolución
  1. Comprobamos en primer lugar que la matriz 𝐴 es invertible. |𝐴|=∣112−2010−1−1∣=4−2+1=3≠0. Por tanto, 𝐴 es invertible. Resolvemos la ecuación matricial. 𝐴𝑋+𝐵=𝐴2𝐶⇔𝐴𝑋=𝐴2𝐶−𝐵⇔𝑋=𝐴−1(𝐴2𝐶−𝐵)=𝐴𝐶−𝐴−1𝐵. Para hallar la inversa de 𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−22−1−111−52⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−11−2−1−5212⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por último, calculamos la matriz 𝑋 operando. 𝑋=𝐴𝐶−𝐴−1𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝112−2010−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝12−1−1−23⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−11−2−1−5212⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−213102⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−47−4−13−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−521−13−17⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−73193−133103103−133⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠.
    • 𝐶 es de dimensión 3 ×2, así que 𝐴𝑃𝑡 debe tener la misma dimensión para poder sumarse con ella. Como 𝐴 es 3 ×3, 𝑃𝑡 debe tener 3 filas para poder multiplicarse y 2 columnas para dar como resultado una matriz de dimensión 3 ×2. Por tanto, 𝑃 es de dimensión 2 ×3.
    • 𝐵 y 𝐶 son de dimensión 3 ×2, así que 𝑄 debe tener 2 filas y 3 columnas para poder multiplicarse con ellas. Por tanto, 𝑄 es de dimensión 2 ×3. Observamos que entonces el producto 𝐶(𝑄𝐵) es de dimensión 3 ×2, por lo que coincide con el otro lado de la igualdad.

Ejercicio 2: Junio de 2021

Se considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−1𝑚02−3𝑚11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠, con 𝑚 un parámetro real.

  1. ¿Para qué valores del parámetro 𝑚 existe la matriz inversa de 𝐴?
  2. Para 𝑚 =2, resuelva la ecuación matricial 𝑋𝐴 −𝐴2 =𝐼3.

Resolución
  1. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣1−1𝑚02−3𝑚11∣=2+3𝑚−2𝑚2+3=−2𝑚2+3𝑚+5. La matriz inversa de 𝐴 existe si y solo si su determinante es no nulo. |𝐴|=0⇔−2𝑚2+3𝑚+5=0⇔{𝑚=−1,𝑚=52. Por tanto, la matriz 𝐴 tiene inversa si 𝑚 ≠ −1 y 𝑚 ≠52.
  2. Si 𝑚 =2, por el apartado anterior 𝐴 es invertible con det(𝐴) =3. Despejamos la ecuación matricial. 𝑋𝐴−𝐴2=𝐼3⇔𝑋𝐴=𝐼3+𝐴2⇔𝑋=(𝐼3+𝐴2)𝐴−1=𝐴−1+𝐴. Para hallar la inversa de 𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝5−6−43−3−3−132⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝53−1−6−33−4−32⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=𝐴−1+𝐴=13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝53−1−6−33−4−32⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−1202−3211⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝53−1−6−33−4−32⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3−3606−9633⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝805−63−6205⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 2: Reserva 1 de 2021

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101010101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝10211−1210⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−31⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcule 𝐴2, 𝐴3, 𝐴4 y deduzca la expresión de 𝐴𝑛, con 𝑛 un número natural.
  2. Razone si existe la inversa de la matriz 𝐵.
  3. Razone si la ecuación matricial 𝐵𝑋 =𝐶 tiene solución y resuélvala en caso de que sea posible.

Resolución
  1. Calculamos las primeras potencias de 𝐴. 𝐴2=𝐴⋅𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101010101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101010101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝202010202⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐴3=𝐴2⋅𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝202010202⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101010101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝404010404⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐴4=𝐴3⋅𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝404010404⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101010101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝808010808⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝐴𝑛=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝2𝑛−102𝑛−10102𝑛−102𝑛−1⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠.
  2. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐵. |𝐵|=∣10211−1210∣=−1. Como det(𝐵) ≠0, la matriz 𝐵 es invertible.
  3. Por el apartado anterior, 𝐵 es invertible con det(𝐵) = −1. Despejamos la ecuación matricial. 𝐵𝑋=𝐶⇔𝑋=𝐵−1𝐶. Para hallar la inversa de 𝐵, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐵)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−2−12−4−1−231⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa de la forma: 𝐵−1=1|𝐵|Adj⁡(𝐵)𝑡=−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝12−2−2−43−1−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1−2224−311−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=𝐵−1𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1−2224−311−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−31⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝7−13−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 2: Reserva 2 de 2021

Se consideran las matrices 𝐴=(𝑎468),𝐵=(2233)y𝐶=(12).

  1. Calcule el valor del parámetro 𝑎 para que la matriz 𝐴 no tenga inversa.
  2. Para 𝑎 =3, resuelva la ecuación matricial 𝑋𝐴 −𝑋𝐵 =𝐶.
  3. Para 𝑎 =3, compruebe que 𝐴2 =11𝐴 y exprese 𝐴8 en función de la matriz 𝐴.

Resolución
  1. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣𝑎468∣=8𝑎−24. La inversa de 𝐴 existe si y solo si su determinante es no nulo. Observamos que: |𝐴|=0⇔8𝑎−24=0⇔𝑎=3. Por tanto, 𝐴 no tiene inversa cuando 𝑎 =3.
  2. Despejamos la ecuación matricial. 𝑋𝐴−𝑋𝐵=𝐶⇔𝑋(𝐴−𝐵)=𝐶⇔𝑋=𝐶(𝐴−𝐵)−1. En primer lugar, calculamos la matriz 𝐴 −𝐵 y hallamos su determinante. 𝐴−𝐵=(3468)−(2233)=(1235)⇒|𝐴−𝐵|=∣1235∣=−1. Como det(𝐴 −𝐵) ≠0, la matriz 𝐴 −𝐵 es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴−𝐵)=(5−3−21). Calculamos su inversa de la forma: (𝐴−𝐵)−1=1|𝐴−𝐵|Adj⁡(𝐴−𝐵)𝑡=−(5−2−31)=(−523−1). Por tanto, 𝑋=𝐶(𝐴−𝐵)−1=(12)(−523−1)=(10).
  3. Calculamos la matriz 𝐴2: 𝐴2=𝐴⋅𝐴=(3468)(3468)=(33446688)=11𝐴. Por tanto, 𝐴8=(𝐴2)4=(11𝐴)4=114𝐴4=114⋅(𝐴2)2=114⋅(11𝐴)2=114⋅112𝐴2=116⋅11𝐴=117𝐴.

Ejercicio 2: Reserva 3 de 2021

Se considera la ecuación matricial (10𝐼3 −𝐴)𝑋 =𝐵, donde 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝210420225⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ y 𝐵 es una matriz con tres filas y una columna.

  1. Razone qué dimensión ha de tener la matriz 𝑋.
  2. ¿Tiene solución la ecuación matricial anterior para cualquier matriz 𝐵 de orden 3 ×1? ¿Por qué?
  3. Resuelva dicha ecuación matricial si 𝐵 =(520−3)𝑡.

Resolución
  1. Las matrices 𝐼3 y 𝐴 son cuadradas de orden 3, así que 10𝐼3 −𝐴 es también una matriz cuadrada de orden 3. Para que el producto (10𝐼3 −𝐴)𝑋 se pueda realizar, es necesario que 𝑋 tenga 3 filas. Por otro lado, para que el resultado de ese producto sea de dimensión 3 ×1, la matriz 𝑋 debe tener 1 columna. Por tanto, la matriz 𝑋 tiene dimensión 3 ×1.
  2. En primer lugar, hallamos la matriz 10𝐼3 −𝐴. 10𝐼3−𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝100001000010⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝210420225⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝8−10−480−2−25⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Comprobamos si la matriz (10𝐼3 −𝐴) es invertible. |10𝐼3−𝐴|=∣8−10−480−2−25∣=300. Como det(10𝐼3 −𝐴) ≠0, la matriz es invertible. Despejamos la ecuación matricial. (10𝐼3−𝐴)𝑋=𝐵⇔𝑋=(10𝐼3−𝐴)−1𝐵. Por tanto, la ecuación tiene solución para cualquier matriz 𝐵 de tamaño 3 ×1.
  3. Para hallar la inversa de 10𝐼3 −𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(10𝐼3−𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝8−10−480−2−25⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa de la forma: (10𝐼3−𝐴)−1=1|10𝐼3−𝐴|Adj⁡(10𝐼3−𝐴)𝑡=1300⎛⎜ ⎜ ⎜⎝8−4−2−18−2005⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=(10𝐼3−𝐴)−1𝐵=1300⎛⎜ ⎜ ⎜⎝8−4−2−18−2005⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝520−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=1300⎛⎜ ⎜ ⎜⎝300900300⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝131⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 1: Reserva 4 de 2021

Se considera la matriz 𝐴=(10−11).

  1. Calcule 𝐴40 y (𝐴𝑡)30.
  2. Calcule (𝐴−1 +𝐴)2.
  3. Resuelva la ecuación matricial (𝐴𝑡 +𝐼2)𝑋 =𝐴𝑡 −𝐼2.

Ejercicio 1: Julio de 2021

Se considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21010202𝑎⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Determine para qué valores del parámetro 𝑎, la matriz 𝐴 tiene inversa.
  2. Para 𝑎 =1, calcule la inversa de 𝐴.
  3. Para 𝑎 =1, resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 =𝐵𝑡, siendo 𝐵 =(01−1).

Resolución
  1. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣21010202𝑎∣=−8−𝑎. La inversa de 𝐴 existe si y solo si su determinante es no nulo. |𝐴|=0⇔−8−𝑎=0⇔𝑎=−8. Por tanto, la matriz 𝐴 tiene inversa si 𝑎 ≠ −8.
  2. Si 𝑎 =1, por el apartado anterior 𝐴 es invertible con det(𝐴) = −9. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−4−12−12−42−4−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=−19⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−4−12−12−42−4−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=19⎛⎜ ⎜ ⎜⎝41−21−24−241⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
  3. Despejamos la ecuación matricial y resolvemos. 𝐴𝑋=𝐵𝑡⇔𝑋=𝐴−1𝐵𝑡=19⎛⎜ ⎜ ⎜⎝41−21−24−241⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝01−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=19⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3−63⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−21⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 1: Julio de 2020

Sean 𝐴, 𝐵, 𝑋 e 𝑌 matrices invertibles que verifican 𝐴𝑋 =𝐵 y 𝐵𝑌 =𝐴.

  1. Compruebe que 𝑌−1 =𝑋.
  2. Para 𝐴=(1213)y𝐵=(210−1), halle 𝑋 e 𝑌.

Ejercicio 2: Reserva 1 de 2020

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21−1𝑎−1−130−2𝑎⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−1201−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Determine para qué valores de 𝑎 tiene inversa la matriz 𝐴.
  2. Para 𝑎 =2, calcule la matriz inversa de 𝐴.
  3. Para 𝑎 =0, resuelva la ecuación matricial 𝑋𝐴−1 −𝐵𝐵𝑡 =𝐼3.

Ejercicio 2: Reserva 2 de 2020

Se consideran las matrices 𝐴=(10−2𝑎10),𝐵=𝐴𝐴𝑡y𝐶=(1−210), siendo 𝑎 un parámetro real.

  1. ¿Para qué valores del parámetro 𝑎 existe la inversa de la matriz 𝐵?
  2. Para 𝑎 =1, calcule la inversa de la matriz 𝐵.
  3. Para 𝑎 =1, resuelva la ecuación matricial 𝐵𝑡𝑋 +9𝐶 =𝑂.

Ejercicio 2: Reserva 3 de 2020

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101𝑘−321𝑘1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=(3−2−1011)y𝐶=(−2413).

  1. Razone si las siguientes operaciones se pueden realizar y en aquellos casos en que sea posible, indique la dimensión de la matriz resultante: 𝐵𝑡𝐴,𝐶𝐵,𝐵𝐴+𝐵y𝐵2.
  2. Calcule los valores del parámetro 𝑘 para los que la matriz 𝐴 es invertible.
  3. Para 𝑘 = −1, calcule la inversa de la matriz 𝐴.

Ejercicio 1: Reserva 4 de 2020

Dada la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝20𝑚111𝑚35⎞⎟ ⎟ ⎟⎠, con 𝑚 un parámetro real, se pide:

  1. ¿Para qué valores del parámetro 𝑚 tiene inversa la matriz 𝐴?
  2. Para 𝑚 =0, resuelva la ecuación matricial 𝑋𝐴 =𝐴𝐴𝑡.

Ejercicio 1: Septiembre de 2020

Tres institutos piden presupuesto de alojamiento en Roma en dos agencias de viajes, que les dan el precio por noche según tipo de habitación: individual, doble y triple. La primera agencia ofrece los siguientes precios: individual a 65 euros, doble a 85 euros y triple a 104 euros. La segunda agencia oferta la individual a 78 euros, la doble a 83 euros y la triple a 106 euros. El primer instituto necesita tres habitaciones individuales, quince dobles y dos triples, el segundo dos individuales, doce dobles y cinco triples y el tercer instituto una individual, dieciséis dobles y siete triples.

  1. Exprese, mediante una matriz 𝐴, los precios de las dos agencias según tipo de habitación y con otra matriz 𝐷 la demanda de los tres institutos.
  2. Mediante operaciones con las matrices anteriores, calcule el precio por noche que cada agencia facilita a los distintos institutos por el total de habitaciones solicitadas. ¿Qué agencia le interesaría a cada instituto?
  3. ¿Existe la inversa de la matriz D? ¿Y de la matriz A? Justifique las respuestas.

Ejercicio B1: Junio de 2019

Se considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−20−22−1011⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Razone si la matriz 𝐴 es simétrica.
  2. Calcule 𝐴−1.
  3. Resuelva la ecuación matricial 2𝑋𝐴 −𝐴2 −3𝐼3 =0.

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2019

Se consideran las matrices: 𝐴=(3−1−61),𝐵=(20−22),𝐶=(31)y𝐷=(−22).

  1. Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y efectúelas cuando sea posible: 𝐴+𝐵𝐶,𝐴𝐶+𝐵𝐷𝑡,𝐵2+𝐶𝐷,𝐴+𝐷𝐶.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝑋(𝐴 +𝐼2) =3𝐵𝑡.

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2019

Se consideran las matrices 𝐴=(−125−1412),𝐵=(1−121)y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝10−10−11−110⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Resuelva la ecuación matricial 𝐴4𝑋 =𝐵2 +𝐼2.
  2. ¿Tiene inversa la matriz 𝐶? Justifique la respuesta.

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2019

  1. Se considera el recinto cuadrado de vértices (1,0), (0,1), ( −1,0) y (0,1). Indique en qué puntos del recinto se alcanzan el valor máximo de la función 𝐹(𝑥,𝑦) =3𝑥 +2𝑦 +7 y el valor mínimo de la función 𝐺(𝑥,𝑦) =𝑥 +𝑦 +6, calculando dichos valores.
  2. Resuelva la ecuación matricial (𝐴 −𝐴𝑡)𝑋 =𝐵, siendo 𝐴 y 𝐵 las matrices 𝐴=(5−231)y𝐵=(−132−1).

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2019

Se consideran las matrices 𝐴=(01−12−10),𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝20−2101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=(122−3).

  1. ¿Tiene inversa la matriz 𝐴𝐵 −𝐶? Justifique la respuesta y, en caso afirmativo, calcule (𝐴𝐵 −𝐶)−1.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝐵𝑋 −𝐶𝑋 =𝐶𝑡.

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2019

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11312−11−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝230⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Justifique que la matriz 𝐴 tiene inversa y calcule 𝐴−1.
  2. Calcule, si existe, la matriz 𝑋 que satisface la ecuación matricial 𝐴𝑋 =𝐵.

Ejercicio A1: Septiembre de 2019

Se consideran las matrices 𝐴=(10−2−110),𝐵=(1−3−20)y𝐶=(7−1216−1712).

  1. Justifique cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas:
    1. 𝐴𝐴𝑡 es una matriz simétrica.
    2. 𝐴𝐴𝑡 +𝐵 posee inversa.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐵𝑋 +𝐴 =𝐶.

Ejercicio B1: Junio de 2018

Se consideran las matrices 𝐴=(−1012)y𝐵=(210−1).

  1. ¿Se verifica la igualdad (𝐴 +𝐵)2 =𝐴2 +𝐵2 +2𝐴𝐵?
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝑋𝐴 =2𝐵𝑡 +𝐼2.

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2018

Sean las matrices 𝐴=(6024),𝐵=(−46)y𝐶=(−2−2).

  1. Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y efectúelas cuando sea posible: 𝐵+2𝐶𝐴,𝐴−(𝐵𝐶)𝑡.
  2. Resuelva la siguiente ecuación matricial: 15(𝐵 +𝐴𝑋) =𝐶𝑡.

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2018

Se consideran las matrices 𝐴=(−12−34),𝐵=(−121302)y𝐶=(3012−1−1).

  1. Razone qué dimensiones deben tener las matrices 𝑃 y 𝑄 para que los productos 𝐴𝑃𝐵𝑡 y 𝑄𝐴𝐶 den coomo resultado una matriz cuadrada.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 −2𝐵𝐶𝑡 =𝐴2.

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2018

  1. Resuelva el sistema de ecuaciones matriciales: ⎧{ { {⎨{ { {⎩2𝐴−5𝐵=(7278),3𝐴−𝐵=(434−1).
  2. Dadas las matrices 𝐶=(3−211)y𝐷=(01−12), resuelva la ecuación matricial 𝑋𝐶 −𝐷2 =𝐼2.

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2018

  1. Resuelva la ecuación matricial (231−5)𝑋=(110−1)2(41).
  2. Si 𝐴 es una matriz con tres filas y dos columnas, determine razonadamente la dimensión que deben tener las matrices 𝐵, 𝐶 y 𝐷 para que se puedan efectuar las siguientes operaciones: 2𝐴−3𝐵,𝐴𝐴𝑡−𝐶2,𝐴𝐷.

Ejercicio B1: Septiembre de 2018

Sean las matrices 𝐴=(101−1)y𝐵=(10−1210).

  1. Calcule 𝐴2018 +𝐴2019.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝑋𝐴 +𝐵𝐵𝑡 =2𝐴.

Ejercicio A1: Junio de 2017

Sean las matrices 𝐴=(120−1)y𝐵=(3−102).

  1. Calcule la matriz 𝐴2017.
  2. ¿Se verifica la expresión (𝐵 +𝐴)(𝐵 −𝐴) =𝐵2 −𝐴2?

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2017

Sean las matrices 𝐴=(1−1001−1),𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝10012−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=(113−2).

  1. Razone cuáles de las siguientes operaciones son posibles: 𝐴𝐵𝑡,𝐵+3𝐶,𝐶𝐵𝑡,𝐴𝐵+𝐶.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝐵𝑋 =𝐶.

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2017

Sean las matrices 𝐴=(210−1),𝐵=(1−120),𝐶=(−241−1)y𝐷=(101010).

  1. Razone si se pueden efectuar las siguientes operaciones: 𝐴𝐷+𝐵𝐶,𝐷𝑡𝐵−𝐴2.
  2. Halle la matriz 𝑋 que verifica la ecuación matricial 𝐴𝑋 =𝐵 −𝐶.

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2017

Sean las matrices 𝐴=(241−1)y𝐵=(−3001).

  1. Calcule 𝐴2 +𝐵3.
  2. Calcule 𝑋 en la ecuación matricial (𝐴 +𝐵)𝑋 =𝐴 −𝐵.

Ejercicio A1: Septiembre de 2017

Sean las matrices 𝐴=(101011)y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝011011⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Justifique cuáles de las siguientes operaciones pueden realizarse y, en tal caso, calcule el resultado: 𝐴2,𝐴−𝐵,𝐴𝐵,𝐴𝐵𝑡.
  2. Halle la matriz 𝑋 tal que 𝐴𝑡 +𝐵𝑋 =3𝐵.

Ejercicio A1: Junio de 2016

Las filas de la matriz 𝑃 indican los respectivos precios de tres artículos, 𝐴1, 𝐴2 y 𝐴3, en dos comercios, 𝐶1 (fila 1) y 𝐶2 (fila 2): 𝑃=(252015232517). Cati desea comprar 2 unidades del artículo 𝐴1, 1 de 𝐴2 y 3 de 𝐴3. Manuel desea comprar 5 unidades de 𝐴1, 1 de 𝐴2 y 1 de 𝐴3. Han dispuesto esas compras en la matriz 𝑄: 𝑄=(213511).

  1. Calcule 𝑃𝑄𝑡 y 𝑄𝑃𝑡 e indique el significado de los elementos de las matrices resultantes.
  2. A la vista de lo obtenido en el apartado anterior, ¿dónde les interesa hacer la compra a cada uno?

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2016

Sean las matrices 𝐴=(120−1),𝐵=(122−1−12)y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝12−102−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcule 𝐴2 y 𝐴2016.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 −𝐵 =𝐶𝑡.

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2016

Sean las matrices 𝐴=(120−3),𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−1021−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=(1402−31).

  1. Resuelva la ecuación matricial 𝐶𝐵𝑋 −2𝐴𝑋 =𝐴𝑡.
  2. Analice cuáles de las siguientes operaciones, sin efectuarlas, se pueden realizar y justifique las respuestas: 𝐵𝐶+2𝐴,𝐴𝐶+𝐶,𝐵𝑡𝐶,𝐶𝐵−𝐴.

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2016

Sean las matrices 𝐴=(24−2−6)y𝐵=(1011−20).

  1. Resuelva la ecuación matricial 𝑋(𝐵𝐵𝑡) =12𝐴 −2𝐴𝑡.
  2. Razone cuáles de las siguientes operaciones pueden realizarse e indique, en su caso, la dimensión de la matriz resultante: 𝐴𝐵,𝐴𝐵𝑡,𝐵𝐴−1,𝐵𝑡𝐴+𝐴−1.

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2016

  1. Si 𝐴 es una matriz de dimensión 𝑚 ×𝑛, indique la dimensión de una matriz 𝑋 si se verifica que (𝐴𝑡𝐴)𝑋 =𝐼𝑛.
  2. Calcule dicha matriz 𝑋 en el caso en que 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝111−111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
  3. Calcule, si es posible, el producto 𝐴(𝐴𝑡𝐴).

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2016

Sean las matrices 𝐴=(3012),𝐵=(−23)y𝐶=(−1−1).

  1. Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y en dichos casos calcule el resultado: 𝐴𝐵,𝐵𝐴,𝐵𝐶,𝐶𝑡𝐵𝑡.
  2. Calcule la matriz 𝑋 en la ecuación 𝐴𝑋 +𝐵𝑡 =4𝐶.

Ejercicio A1: Septiembre de 2016

Sean las matrices 𝐴=(12−1−3),𝐵=(2−13401)y𝐶=(−11023−2).

  1. Resuelva la ecuación matricial 𝐴2𝑋 +𝐶 =2𝐵.
  2. ¿Qué dimensiones deben tener las matrices 𝑃 y 𝑄 para que las matrices (𝐵 +𝐶)𝑃 y 𝐵𝑄𝐶𝑡 sean cuadradas?

Ejercicio B1: Junio de 2015

Sean las matrices 𝐴=(23−11),𝐵=(2−351)y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝200230⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcule las matrices 𝑋 e 𝑌 si 𝑋 +𝑌 =2𝐴 y 𝑋 +𝐵 =2𝑌.
  2. Analice cuáles de las siguientes operaciones con matrices se pueden realizar, indicando en los casos afirmativos las dimensiones de la matriz 𝐷: 𝐴+𝐷=𝐶,𝐴𝐷=𝐶𝑡,𝐷𝐴=𝐶,𝐷𝐴=𝐶𝑡.

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2015

Sean las matrices 𝐴=(213−2)y𝐵=(3−214).

  1. Efectúe la operación 𝐴𝐵𝑡.
  2. Determine la matriz 𝑋 tal que 𝐴 +2𝑋 =𝐵.
  3. Halle la matriz 𝑌 tal que 𝐵𝑌=(69).

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2015

Sean las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−1201−1102⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=(1211−20),𝐶=(21)y𝐷=(1−12).

  1. Estudie cuáles de los siguientes productos de matrices se pueden realizar, indicando las dimensiones de la matriz resultante: 𝐴𝐵𝑡,𝐶𝑡𝐷,𝐵𝑡𝐷,𝐷𝐵𝑡.
  2. Despeje la matriz 𝑋 en la ecuación 𝑋𝐴−1 +2𝐵 =3𝐶𝑡𝐷, sin calcular sus elementos.
  3. Calcule la matriz 𝐴(𝐵𝑡 −2𝐷𝑡𝐶).

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2015

Sean las matrices 𝐴=(0−110),𝐵=(1111)y𝐶=(2132).

  1. Resuelva la ecuación 𝐴𝑋 +𝐵𝑋 =𝐶.
  2. Calcule 𝐴4 y 𝐴80.

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2015

  1. Resuelva la ecuación matricial (2112)𝑋+(1−102)=𝐼2.
  2. Dadas las matrices 𝑀=(0110)y𝐴=(𝑎𝑏21), calcule los valores de 𝑎 y 𝑏 para que se verifique la ecuación 𝑀𝐴 =𝐴.

Ejercicio A1: Septiembre de 2015

Sean las matrices 𝐴=(12−12),𝐵=(122−1−12)y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝8−4128−84⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcule 𝐴2.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 +4𝐵 =𝐶𝑡.

Ejercicio A1: Junio de 2014

Se consideran las matrices 𝐴=(1𝑎01)y𝐵=(120340), siendo 𝑎 un número real cualquiera.

  1. Obtenga la matriz 𝐴2014.
  2. Para 𝑎 =2, resuelva la ecuación matricial 𝐴3𝑋 −4𝐵 =𝑂.

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2014

Se consideran las matrices 𝐴=(1𝑎01)y𝐵=(−11).

  1. Calcule el valor del parámetro 𝑎 para que se verifique (𝐵𝐴)𝑡 =𝐴𝐵𝑡.
  2. Para 𝑎 =2, resuelva la ecuación matricial 𝑋𝐴 =𝐵.

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2014

Sean las matrices 𝐵=(−5046)y𝐶=(−1−8−1−936).

  1. Determine la dimensión que debe tener una matriz 𝐴 para que se verifique la igualdad 𝐴𝐵 =2𝐶𝑡.
  2. Halle la matriz 𝐴 anterior, sabiendo que de ella se conocen los elementos 𝑎31 =2, 𝑎12 = −3 y 𝑎22 =1.

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2014

  1. Determine los valores de 𝑥 e 𝑦 que hacen cierta la igualdad (2−13−1)(𝑥−𝑦)=(1𝑥𝑦−1)(30).
  2. Resuelva la ecuación matricial: 𝑋(1325)−2(0−1−10)=(123−1).

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2014

Se consideran las matrices 𝐴=(213−2)y𝐵=(3−214).

  1. Efectúe la operación 𝐴𝐵𝑡.
  2. Determine la matriz 𝑋 tal que 𝐴 +2𝑋 =𝐵.
  3. Calcule la matriz 𝑌 sabiendo que 𝐵𝑌=(69).

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2014

  1. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 =2(𝐶 −𝐷𝑡), siendo 𝐴=(0120),𝐶=(02−12)y𝐷=(1−12−1).
  2. Si 𝐴(0,2), 𝐵(2,0), 𝐶(4,0), 𝐷(6,3) y 𝐸(3,6) son los vértices de una región factible, determine, en esa región, el valor mínimo y el valor máximo de la función 𝐹(𝑥,𝑦) =4𝑥 −3𝑦 +8 e indique los puntos donde se alcanzan.

Ejercicio A1: Septiembre de 2014

Sean las matrices 𝐴=(1−72−1)y𝐵=(10−52).

  1. Calcule las matrices 𝑋 e 𝑌 para las que se verifica 𝑋+𝑌=𝐴y3𝑋+𝑌=𝐵.
  2. Halle la matriz 𝑍 que verifica 𝐵𝑍 +𝐵𝑡 =2𝐼2.

Ejercicio A1: Junio de 2013

Sean las matrices 𝐴=(2−1𝑎𝑏)y𝐵=(−1130).

  1. Obtenga 𝑎 y 𝑏 sabiendo que 𝐴2=(5−2−21). ¿Es 𝐴 simétrica?
  2. Para los valores 𝑎 =3 y 𝑏 =1, calcule la matriz 𝑋 tal que 𝐴𝐵 =2(𝑋 −3𝐼2).

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2013

Sean las matrices 𝐴=(0110)y𝐵=(1231).

  1. Calcule 𝐴2 y 𝐴2013.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 +𝐼2 =5𝐵𝑡 −𝐴2.

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2013

  1. En un problema de programación lineal, la región factible es la región acotada cuyos vértices son 𝐴(2, −1), 𝐵( −1,2), 𝐶(1,4) y 𝐷(5,0). La función objetivo es la función 𝑓(𝑥,𝑦) =2𝑥 +3𝑦 +𝑘, cuyo valor máximo, en dicha región, es igual a 19. Calcule el valor de 𝑘 e indique dónde se alcanza el máximo y dónde el mínimo.
  2. Sean las matrices 𝐴=(1−23),𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝20−111−1132⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Resuelva, si es posible, la ecuación matricial 𝐵𝐴 +2𝑋 =𝐶.

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2013

  1. Se consideran las matrices 𝐴=(3152)y𝐵=(2132). Determine la matriz 𝑋 que verifica 𝐵𝑋 =3𝐴 +𝐴𝑡.
  2. Calcule la matriz 𝑌 que verifica ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝251−52−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠𝑌=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝6−12−6⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2013

Sean las matrices 𝐴=(2335),𝐵=(3−53021),𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝830⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐷=(53).

  1. Calcule 𝐴3.
  2. Determine la matriz 𝑋 para que 𝐴𝑋 +𝐵𝐶 =𝐷.

Ejercicio B1: Septiembre de 2013

Sean las matrices 𝐴=(150−2535),𝐵=(35−14545)y𝐶=(10−1213).

  1. Resuelva la ecuación matricial (2𝐴 +𝐵)𝑋 =3𝐴 −𝐵.
  2. Determine en cada caso la dimensión de la matriz 𝐷 para que se puedan realizar las siguientes operaciones: 𝐶𝐷+𝐴,𝐶𝑡𝐷𝐶,𝐷𝐶𝑡,𝐶𝐷𝐶𝑡.

Ejercicio B1: Junio de 2012

Sea la matriz 𝐴=(1−12−1).

  1. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 +𝐴𝑡 =𝐼2.
  2. ¿Qué requisitos mínimos debe cumplir una matriz 𝐵 para que pueda efectuarse el producto 𝐴𝐵?
  3. ¿Y para el producto 3𝐵𝐴?

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2012

Sean las matrices 𝐴=(−1−624),𝐵=(−11210−1)y𝐶=(𝑎013−1𝑏).

  1. Halle los valores de 𝑎 y 𝑏 para que se verifique 𝐵𝐶𝑡 =𝐴.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 −𝐴2 =𝐼2.

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2012

Los alumnos de 2º de Bachillerato organizan una venta de pasteles para el viaje de fin de curso. Venden pasteles grandes, que necesitan 2 huevos, 5 terrones de azúcar y 100 g de harina cada uno, y pasteles pequeños, que necesitan 1 huevo, 3 terrones de azúcar y 80 g de harina cada uno.

  1. Presente en una matriz 𝑀, de dimensión 3 ×2, las cantidades de los elementos necesarios para la elaboración de un pastel grande y uno pequeño.
  2. Si desean fabricar 20 pasteles de una clase y 30 de otra, escriba las dos matrices columna, 𝐴 (20 grandes y 30 pequeños) y 𝐵 (30 grandes y 20 pequeños) que representan este reparto.
  3. Calcule los productos 𝑀𝐴 y 𝑀𝐵 e indique si con 8 docenas de huevos, 200 terrones de azúcar y 5 kg de harina se pueden elaborar 20 pasteles grandes y 30 pequeños. ¿Y 30 grandes y 20 pequeños?

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2012

Halle la matriz 𝑋 que verifique la ecuación matricial 𝐴2𝑋 =𝐴 −𝐵𝐶, siendo 𝐴, 𝐵 y 𝐶 las matrices: 𝐴=(1102),𝐵=(101−114)y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−10−1120⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2012

Una empresa vende tres artículos diferentes A, B y C, cada uno de ellos en dos formatos, grande y normal. En la matriz 𝐹 se indican las cantidades de los tres artículos, en cada uno de los dos formatos, que ha vendido la empresa en un mes. En la matriz 𝐺 se indican las ganancias, en euros, que obtiene la empresa por cada unidad que ha vendido de cada artículo en cada formato. 𝐹=(10015080200250140),𝐺=(685453).

  1. Efectúe los productos 𝐹𝐺 y 𝐹𝐺𝑡.
  2. Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese mes por el total de las unidades vendidas de cada uno de los tres artículos y especifique cuáles son esas ganancias.
  3. Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese mes por el total de las unidades vendidas en cada uno de los formatos, especifique cuáles son esas ganancias y halle la ganancia total.

Ejercicio B1: Septiembre de 2012

Una fábrica produce dos tipos de productos, A y B, que distribuye a tres clientes. En el mes de enero el primer cliente compró 9 unidades de A y 5 de B, el segundo cliente 3 de A y 7 de B, y el tercer cliente 4 de A y 6 de B. En el mes de febrero el primer cliente y el segundo duplicaron las compras del mes anterior, y el tercer cliente compró de cada producto una unidad más de las que compró en enero. En marzo el primer cliente no compró nada, y el segundo y el tercero compraron lo mismo que en febrero.

  1. Para cada mes construya la matriz de dimensión 3 ×2 correspondiente a las compras de ese mes.
  2. Calcule la matriz de compras del trimestre.
  3. Si los precios de los productos A y B son, respectivamente, 80 y 100 euros, calcule lo que factura la fábrica en el primer trimestre, por cada cliente y en total.

Ejercicio A1: Junio de 2011

Sean las matrices 𝐴=(2−51−3),𝐵=(3−12011)y𝐶=(123−153).

  1. Calcule 𝐴2 −𝐵 ⋅𝐶𝑡.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴 ⋅𝑋 +𝐵 =2 ⋅𝐶.

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2011

  1. Dadas las matrices 𝑀=(03−110−2),𝑁𝑡=(23−1−110), razone cuáles de las siguientes operaciones tienen sentido y efectúe las que puedan realizarse: 𝑀+𝑁𝑡,𝑀𝑡⋅𝑁,𝑀⋅𝑁.
  2. Un industrial cafetero produce dos tipos de café, natural y descafeinado, en tres modalidades cada uno: A, B y C. Se han anotado en la matriz 𝑃 los pesos, en kg, del café que el industrial produce de cada una de las modalidades de cada tipo, y en la matriz 𝑄 los precios a los que vende el kg de cada producto final: 𝑃=(550400240260200100),𝑄=(2,202,752,503,203,903,60). Efectúe el producto 𝑃 ⋅𝑄𝑡 y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante.

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2011

Sean las matrices 𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝010101010⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐷=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝011101110⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Resuelva la ecuación matricial 2 ⋅𝑋 −𝐶 ⋅𝐷 =(𝐼3 +𝐷) ⋅𝐶.
  2. Si las matrices 𝐶 y 𝐷 son las matrices de adyacencia de dos grafos, de vértices 𝑎,𝑏,𝑐 y 1,2,3, respectivamente, haga la representación gráfica de dichos grafos.

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2011

  1. Dada la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝156017001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠, calcule (𝐼3 −𝐴)3.
  2. Dadas las matrices 𝐵=(1𝑎𝑏3),𝐶=(−13),𝐷=(510), determine 𝑎 y 𝑏 de manera que 𝐵⋅𝐶−𝐷=𝑂, siendo 𝑂 la matriz nula.

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2011

  1. Dada una matriz cuadrada, 𝐴, de orden 3 con los siguientes elementos: 𝑎12=𝑎21=−2,𝑎13=𝑎31=0,𝑎23=𝑎32=1. Determine los demás elementos de la matriz 𝐴 sabiendo que debe cumplirse la ecuación: 𝐴⋅𝐵=𝐶𝑡, donde: 𝐵𝑡=(1−111),𝐶=(−42−1).
  2. Calcule 2𝐷2, siendo: 𝐷=(1−53−5).

Ejercicio B1: Septiembre de 2011

Sean las matrices 𝐴=(010101),𝐵=(3−112).

  1. Efectúe, si es posible, los siguientes productos: 𝐴 ⋅𝐴𝑡, 𝐴𝑡 ⋅𝐴, 𝐴 ⋅𝐵.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴 ⋅𝐴𝑡 ⋅𝑋 =𝐵.

Ejercicio B1: Junio de 2010

Sean las matrices 𝐴=(2131)y𝐵=(12−10).

  1. Calcule 𝐴𝑡 ⋅𝐵 −𝐴 ⋅𝐵𝑡.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 +𝐵𝐴 =𝐵.

Ejercicio B1: Septiembre de 2010

Sean las matrices: 𝑃=(12𝑎0),𝑄=(11584𝑏)y𝑅=(𝑐𝑑6101050).

  1. Calcule, si es posible, 𝑃 ⋅𝑄 y 𝑄 ⋅𝑃, razonando la respuesta.
  2. ¿Cuánto deben valer las constantes 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 para que 𝑃 ⋅2𝑄 =𝑅?

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2009

  1. En un comercio de bricolaje se venden listones de madera de tres longitudes: 0,90 m, 1,50 m y 2,40 m, cuyos precios respectivos son 4 euros, 6 euros y 10 euros. Un cliente ha comprado 19 listones, con una longitud total de 30 m, que le han costado 126 euros en total. Plantee, sin resolver, el sistema de ecuaciones necesario para determinar cuántos listones de cada longitud ha comprado el cliente.
  2. Clasifique el siguiente sistema de ecuaciones y resuélvalo, si es posible: ⎧{ {⎨{ {⎩3𝑥−𝑦−𝑧=0,2𝑥−2𝑦+𝑧=18,𝑥−3𝑧=0.

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2009

Una tienda dispone de latas de conserva de tomate de tres fabricantes: A, B y C. El fabricante A envasa el tomate en latas de 250 g, el fabricante B lo envasa en latas de 500 g y el fabricante C en latas de 1 kg. Esas latas de tomate se venden a 1, 1,8 y 3,3 euros, respectivamente. Compramos en total 20 latas, que pesan un total de 10 kg y nos cuestan 35,6 euros. Queremos saber cuántas latas de cada fabricante hemos comprado.

  1. Plantee el sistema de ecuaciones que resolvería el problema anterior.
  2. Resuelva el problema.

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2007

Resuelva y clasifique el sistema de ecuaciones: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦=1+𝑧,2𝑥+𝑧=2+𝑦,𝑦=𝑧.

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2007

Un taller de carpintería ha vendido 15 muebles, entre sillas, sillones y butacas, por un total de 1.600 euros. Se sabe que cobra 50 euros por cada silla, 150 euros por cada sillón y 200 euros por cada butaca, y que el número de butacas es la cuarta parte del número que suman los demás muebles. Plantee, sin resolver, el sistema de ecuaciones adecuado que permite calcular cuántos muebles de cada clase ha vendido ese taller.

Ejercicio B1: Septiembre de 2007

Clasifique y resuelva el sistema formado por las tres ecuaciones siguientes: 𝑥−3𝑦+2𝑧=0,−2𝑥+𝑦−𝑧=0,𝑥−8𝑦+5𝑧=0.

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2006

Plantee, sin resolver, el sistema de ecuaciones que permita encontrar la solución del siguiente problema: "En un examen de Matemáticas que constaba de tres problemas, un alumno obtuvo una calificación total de 7,2. La puntuación del primer problema fue un 40% más que la del segundo, y la del tercero fue el doble de la suma de las puntuaciones del primero y el segundo. ¿Cuál fue la puntuación de cada problema?"

Ejercicio B1: Septiembre de 2006

El cajero de un banco solo dispone de billetes de 10, 20 y 50 euros. Hemos sacado 290 euros del banco y el cajero nos ha entregado exactamente 8 billetes. El número de billetes de 10 euros es el doble del de 20 euros. Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones lineales asociado a este problema para obtener el número de billetes de cada tipo que nos ha entregado el cajero.

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2005

  1. Resuelva el siguiente sistema y clasifíquelo atendiendo al número de soluciones: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=0,2𝑥+3𝑦−𝑧=17,4𝑥+5𝑦+𝑧=17.
  2. A la vista del resultado anterior, ¿podemos afirmar que hay una ecuación que es combinación lineal de las otras dos?

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2005

Sea el sistema de ecuaciones: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦−𝑧=−2,2𝑥−𝑧=0,−2𝑦+𝑧=4.

  1. Resuélvalo y clasifíquelo en cuanto a sus soluciones.
  2. ¿Tiene inversa la matriz de coeficientes del sistema? Justifíquelo.
  3. Obtenga, si existe, una solución del sistema que verifique 𝑥 =2𝑦.

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2004

Sabemos que el precio del kilo de tomates es la mitad que el del kilo de carne. Además, el precio del kilo de gambas es el doble que el de carne. Si pagamos 18 euros por 3 kilos de tomates, 1 kilo de carne y 250 gramos de gambas, ¿cuánto pagaríamos por 2 kilos de carne, 1 kilo de tomates y 500 gramos de gambas?

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2004

  1. Plantee, sin resolver, un sistema de ecuaciones asociado al siguiente problema: "Un monedero contiene 1 euro en monedas de 2, 5 y 10 centimos; en total hay 22 monedas. Sabiendo que el número de monedas de 5 y 10 céntimos juntas excede en 2 unidades al número de monedas de 2 centimos, obtenga el numero de monedas de cada tipo que hay en el monedero".
  2. Resuelva el sistema formado por las ecuaciones: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=6,2𝑥−𝑦+2𝑧=3,3𝑥+2𝑦−3𝑧=3.

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2004

Sea el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥−𝑦−𝑧=−2,2𝑥+3𝑦−𝑧=2,4𝑥+𝑦−3𝑧=−2.

  1. Clasifique y resuelva el sistema.
  2. Escriba la matriz de coeficientes de este sistema y, si es posible, calcule su matriz inversa.