Icono Matemáticas de Selectividad

Buscar GitHub

📋 Julio de 2023

Ejercicio 1

Se considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1000200−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Pruebe que se verifica que 𝐴−1 =12(𝐴2 −4𝐴 +5𝐼3).
  2. Dada la ecuación matricial 𝑋𝑡𝐴=(1203−11), determine la dimensión de 𝑋 y resuelva la ecuación.

Resolución
  1. Comprobemos en primer lugar que la matriz 𝐴 es invertible. Calculamos su determinante. |𝐴|=∣1000200−11∣=2. Como det(𝐴) ≠0, la matriz 𝐴 es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝200011002⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝200010012⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por otro lado, calculamos 𝐴2−4𝐴+5𝐼3=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1000200−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1000200−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝4000800−44⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜⎝500050005⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1000400−31⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝4000800−44⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜⎝500050005⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝200010012⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝐴−1=12(𝐴2−4𝐴+5𝐼3).
  2. Para que el producto 𝑋𝑡𝐴 se pueda realizar, es necesario que 𝑋𝑡 tenga 3 columnas. Así que 𝑋 tiene 3 filas. Por otro lado, para que el resultado de dicho producto sea de tamaño 2 ×3, la matriz 𝑋𝑡 debe tener 2 filas. Luego 𝑋 tiene 2 columnas. Por tanto, la matriz 𝑋 es de tamaño 3 ×2.
    Resolvemos la ecuación matricial. 𝑋𝑡𝐴=(1203−11)⇔𝑋𝑡=(1203−11)𝐴−1=12(1203−11)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝200010012⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=(110301). Por tanto, 𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝131001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 2

Un artesano decide montar dos tipos de anillos utilizando dos tipos de piedras semipreciosas, una de mayor calidad que otra. Para montar uno de los anillos tarda 20 minutos y utiliza 1 de las piedras de mayor calidad y 2 de las de menor calidad. Para el otro tarda 50 minutos y utiliza 3 piedras de mayor calidad y 1 de menor calidad. Semanalmente, el artesano dispone de 200 piedras de mayor calidad y 150 de menor calidad. Además, quiere trabajar al menos 1.900 minutos a la semana. Sabiendo que el primer tipo de anillo se vende a 21€, el segundo a 50€ y que deben fabricarse al menos 20 anillos del primer tipo a la semana, determine cuántos anillos de cada tipo deben montarse para maximizar el valor de la venta. ¿A cuánto asciende dicho valor?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de anillos a la semana del primer tipo y 𝑦 al del segundo tipo. Podemos organizar la información en una tabla.

Tiempo (min) Piedras de mayor calidad Piedras de menor calidad Precio (€)
Anillo de tipo 1 20 1 2 21
Anillo de tipo 2 50 3 1 50
Total 1.900 200 150

Las restricciones del problema son: ⎧{ { { {⎨{ { { {⎩20𝑥+50𝑦≥1.900,𝑥+3𝑦≤200,2𝑥+𝑦≤150,𝑥≥20,𝑦≥0⇔⎧{ { { {⎨{ { { {⎩2𝑥+5𝑦≥190,𝑥+3𝑦≤200,2𝑥+𝑦≤150,𝑥≥20,𝑦≥0. La función objetivo a maximizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=21𝑥+50𝑦.

Representamos la región factible. Figura Los vértices son: 𝐴(20,30),𝐵(20,60),𝐶(50,50)y𝐷(70,10).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(20,30)=1.920,𝐹(𝐵)=𝐹(20,60)=3.420,𝐹(𝐶)=𝐹(50,50)=3.550,𝐹(𝐷)=𝐹(70,10)=1.970. Por tanto, el valor máximo de la venta se alcanza fabricando 50 anillos de cada tipo a la semana, con un beneficio de 3.550€.

Ejercicio 3

El área quemada de la región plana de la cubierta de plástico de un invernadero, coincide con el área de la región acotada delimitada por las gráficas de las funciones 𝑓(𝑥) =(𝑥 −1)2 y 𝑔(𝑥) =5 −2𝑥 donde 𝑥 está expresado en metros.

  1. Represente gráficamente la zona deteriorada.
  2. Para reparar la región quemada, se ha de utilizar plástico cuyo coste es de 15 euros por metro cuadrado. Si en el trabajo de reparación se desperdicia la tercera parte del plástico adquirido, ¿cuánto costará el plástico comprado?

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos los puntos de corte de 𝑓 y 𝑔. 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔(𝑥−1)2=5−2𝑥⇔𝑥2−2𝑥+1=5−2𝑥⇔𝑥2=4⇔𝑥=±2. Así que los puntos de corte son ( −2,9) y (2,1). Observamos además que la función 𝑓 es una parábola con vértice (1,0) y 𝑔 es una recta. Representamos el recinto acotado limitado por ambas funciones. Figura
  2. Calculamos el área del recinto. ∫2−2(𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥))𝑑𝑥=∫2−2(5−2𝑥−(𝑥−1)2)𝑑𝑥=∫2−2(−𝑥2+4)𝑑𝑥=[−13𝑥3+4𝑥]2−2==−83+8−(83−8)=323𝑚2. Como se desperdicia la tercera parte del plástico, los 323 m2 corresponden a 23 del plástico comprado. Así que el área del plástico es 323:23=16𝑚2. Si el coste es de 15€ por metro cuadrado, entonces el plástico costará 16 ⋅15 =240€.

Ejercicio 4

Sea la función 𝑓(𝑡)=12𝑡−24𝑡+3,𝑡≥0.

  1. Represente gráficamente la función 𝑓, determinando los puntos de corte con los ejes coordenados y las ecuaciones de las asíntotas, y estudiando la monotonía y la curvatura de 𝑓.
  2. Si la función 𝑓 representa los beneficios de una empresa, en millones de euros, donde 𝑡 indica los años de vida de la empresa:
    1. ¿A partir de qué año la empresa deja de tener pérdidas? Justifique la respuesta.
    2. A medida que pasan los años, ¿están limitados los beneficios? En caso afirmativo, ¿cuál es su límite y por qué?

Resolución
    • Hallamos los puntos de corte con el eje 𝑋, es decir, aquellos puntos con 𝑦 =0. 𝑓(𝑡)=0⇔12𝑡−24𝑡+3=0⇔12𝑡−24=0⇔𝑡=2. Luego el punto de corte con el eje 𝑋 es (2,0).
    • Hallamos ahora el punto de corte con el eje 𝑌. 𝑓(0)=−243=−8. Así que el punto de corte con el eje 𝑌 es (0, −8).
    • Estudiamos las asíntotas. El denominador solo se anula en 𝑡 = −3. Sin embargo, la función no está definida en un entorno cercano, así que no tiene ninguna asíntota vertical. Veamos si 𝑓 tiene alguna asíntota horizontal. lím𝑡→+∞⁡12𝑡−24𝑡+3=12. Por tanto, la recta 𝑦 =12 es una asíntota horizontal.
    • Estudiamos la monotonía. En primer lugar, calculamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑡)=12(𝑡+3)−(12𝑡−24)(𝑡+3)2=60(𝑡+3)2. Observamos que la derivada nunca se anula y siempre es positiva, así que no tiene puntos críticos y es creciente en todo su dominio.
    • Estudiamos la curvatura. Para ello, calculamos la segunda derivada de 𝑓. 𝑓″(𝑡)=−120(𝑡+3)3. Observamos que la segunda derivada nunca se anula y es siempre negativa para 𝑡 ≥0, así que no tiene puntos de inflexión y es cóncava en todo su dominio.
    Representamos gráficamente la función usando esta información. Figura
    1. Los beneficios de la empresa empiezan a ser positivos a partir del segundo año, donde se encuentra el punto de corte (2,0).
    2. A pesar de que los beneficios aumentan con el paso de los años, tienen como límite 12 millones de euros, representado en la gráfica por la asíntota horizontal 𝑦 =12.

Ejercicio 5

Una caja contiene 3 fichas verdes, 2 fichas azules y 4 fichas rojas. Un juego consiste en realizar dos extracciones, sin reemplazamiento, de tal manera que el jugador que saque dos fichas azules gana el primer premio, el jugador que saque dos fichas verdes gana el segundo premio y el jugador que, de las dos fichas, una sea azul y otra de un color diferente gana el tercer premio.

  1. Calcule la probabilidad de que un jugador consiga el primer o el segundo premio.
  2. Calcule la probabilidad de que un jugador gane el tercer premio.
  3. Sabiendo que un jugador ha obtenido premio, ¿cuál es la probabilidad de que haya ganado el tercer premio?

Resolución

Llamamos 𝑉 a extraer una ficha verde, 𝐴 a extraer una ficha azul y 𝑅 a extraer una ficha roja. También llamamos 𝐸1 a obtener el primer premio, 𝐸2 a obtener el segundo y 𝐸3 a obtener el tercero. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝑉2
2/8←←←←←←←←←←←→
𝑉1 2/8←←←←←←←←←←←→ 𝐴2
3/9←←←←←←←←←←←→ 4/8←←←←←←←←←←←→
𝑅2
𝑉2
3/8←←←←←←←←←←←→
2/9←←←←←←←←←←←→ 𝐴1 1/8←←←←←←←←←←←→ 𝐴2
4/8←←←←←←←←←←←→
𝑅2
𝑉2
4/9←←←←←←←←←←←→ 3/8←←←←←←←←←←←→
𝑅1 2/8←←←←←←←←←←←→ 𝐴2
3/8←←←←←←←←←←←→
𝑅2
  1. La probabilidad de que un jugador consiga el primer premio es: 𝑃(𝐸1)=𝑃(𝐴1∩𝐴2)=𝑃(𝐴1)⋅𝑃(𝐴2|𝐴1)=29⋅18=136. Por otro lado, la probabilidad de que un jugador consiga el segundo premio es: 𝑃(𝐸2)=𝑃(𝑉1∩𝑉2)=𝑃(𝑉1)⋅𝑃(𝑉2|𝑉1)=39⋅28=112. Por tanto, la probabilidad de conseguir el primer o segundo premio es: 𝑃(𝐸1∪𝐸2)=𝑃(𝐸1)+𝑃(𝐸2)=136+112=19.
  2. La probabilidad de que un jugador consiga el tercer premio es: 𝑃(𝐸3)=𝑃(𝑉1∩𝐴1)+𝑃(𝐴1∩𝑉2)+𝑃(𝐴1∩𝑅2)+𝑃(𝑅1∩𝐴2)==𝑃(𝑉1)⋅𝑃(𝐴1|𝑉1)+𝑃(𝐴1)⋅𝑃(𝑉2|𝐴1)+𝑃(𝐴1)⋅𝑃(𝑅2|𝐴1)+𝑃(𝑅1)⋅𝑃(𝐴2|𝑅1)==39⋅28+29⋅38+29⋅48+49⋅28=718.
  3. La probabilidad de haber conseguido el tercer premio sabiendo que ha obtenido un premio es: 𝑃(𝐸3|𝐸1∪𝐸2∪𝐸3)=𝑃(𝐸3)𝑃(𝐸1∪𝐸2∪𝐸3)=𝑃(𝐸3)𝑃(𝐸1)+𝑃(𝐸2)+𝑃(𝐸3)=718136+112+718=79.

Ejercicio 6

Dados dos sucesos 𝐴 y 𝐵 de un experimento aleatorio, se sabe que 𝑃(𝐴) =0,6, 𝑃(𝐵) =0,3 y 𝑃(𝐴|𝐵) =0,6. Se pide:

  1. 𝑃(𝐴 ∪𝐵).
  2. 𝑃(𝐴 −𝐵) +𝑃(𝐵 −𝐴).
  3. 𝑃(𝐵|𝐴𝑐).
  4. Razone si los sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes. ¿Son incompatibles?

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos la probabilidad de la intersección. 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴|𝐵)⋅𝑃(𝐵)=0,6⋅0,3=0,18. Por tanto, 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)=0,6+0,3−0,18=0,72.
  2. Observamos que 𝑃(𝐴−𝐵)+𝑃(𝐵−𝐴)+𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴∪𝐵). Por tanto, 𝑃(𝐴−𝐵)+𝑃(𝐵−𝐴)=𝑃(𝐴∪𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)=0,72−0,18=0,54.
  3. Para hallar la probabilidad condicionada, en primer lugar calculamos 𝑃(𝐵∩𝐴𝑐)=𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)=0,3−0,18=0,12. Por tanto, 𝑃(𝐵|𝐴𝑐)=𝑃(𝐵∩𝐴𝑐)𝑃(𝐴𝑐)=0,121−0,6=0,3.
  4. Como 𝑃(𝐴) =𝑃(𝐴|𝐵), los sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes. Por otro lado, como 𝑃(𝐴 ∩𝐵) >0, los sucesos no son incompatibles.

Ejercicio 7

  1. Un gimnasio establece sus tarifas por grupos de edad: juvenil, adulto y senior. Tiene matriculados 25 juveniles, 75 adultos y 50 seniors. Se quiere seleccionar una muestra de 30 personas del gimnasio utilizando un muestreo estratificado con afijación proporcional. ¿Cuál será la composición que debe tener dicha muestra?
  2. Dada la población {9,11,13,18,20}, calcule la varianza de la distribución de las medias muestrales de tamaño 2 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple.

Resolución
  1. El tamaño de la población es 25+75+50=150. Llamamos 𝑥 al número de juveniles en la muestra, 𝑦 al de adultos y 𝑧 al de seniors. Como se usa afijación proporcional y se selecciona una muestra de 30 personas, 15030=25𝑥=75𝑦=50𝑧. Despejamos estos valores. 15030=25𝑥⇔𝑥=30⋅25150=5,15030=75𝑦⇔𝑦=30⋅75150=15,15030=50𝑧⇔𝑧=30⋅50150=10. Por tanto, se seleccionan 5 juveniles, 15 adultos y 10 seniors.
  2. En primer lugar, hallamos la media 𝜇 y la varianza 𝜎2 de la población. 𝜇=9+11+13+18+205=14,2,𝜎2=(9−14,2)2+(11−14,2)2+(13−14,2)2+(18−14,2)2+(20−14,2)25=17,36. Por tanto, la distribución de las medias muestrales de tamaño 2 tiene varianza 𝜎22=17,362=8,68.

Ejercicio 8

En el otoño de 2021, el municipio de El Paso en la Isla de La Palma sufrio la erupcion del volcan Cumbre Vieja. Al finalizar la erupción, se escogió una muestra de 500 casas resultando que 325 de ellas estaban afectadas por la erupción.

  1. Calcule un intervalo, con un nivel de confianza del 97%, para estimar la proporción de casas afectadas por la erupción del volcán. Según el resultado obtenido, ¿se puede admitir que el porcentaje de casas afectadas por el volcán es del 64%?
  2. Para un nivel de confianza del 92% y manteniendo la proporción muestral, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error máximo de estimación sea del 2%?

Resolución
  1. Como 325 casas de 𝑛 =500 estaban afectadas por la erupción, la proporción muestral es: 𝑝=325500=0,65. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: 𝛼=1−0,97=0,03⇒1−𝛼2=1−0,032=0,985⇒𝑧𝛼/2=2,17. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional de donantes de sangre con un nivel de confianza del 98% es: 𝐼=(0,65−2,17⋅√0,65⋅(1−0,65)500,0,65+2,17⋅√0,65⋅(1−0,65)500)≈(0,6037;0,6963). Como 0,64 pertenece a este intervalo, se puede admitir como la proporción poblacional de casas afectadas.
  2. Si el nivel de confianza es del 92%, entonces: 𝛼=1−0,92=0,08⇒1−𝛼2=1−0,082=0,96⇒𝑧𝛼/2=1,75. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=1,75⋅√0,65⋅(1−0,65)𝑛=1,75⋅√0,2275𝑛. Si se quiere que el error máximo sea de 0,02, entonces: 1,75⋅√0,2275𝑛=0,02⇔√0,2275𝑛=0,021,75⇔0,2275𝑛=0,0221,752⇔𝑛=0,2275⋅1,7520,022≈1741,7969. Por tanto, el tamaño mínimo de la nueva muestra debe ser de 1742 casas.