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Ejercicio 2: Junio de 2025

Un periódico digital ha publicado una noticia de última hora. El número de personas que han visto la noticia 𝑡 horas después de su lanzamiento viene modelado por la función: 𝑁(𝑡)=500.000⋅(1−𝑒−0,2𝑡),𝑡>0.

  1. Estudie la monotonía y curvatura de la función 𝑁.
  2. Represente gráficamente la función 𝑁 y describa su tendencia a lo largo del tiempo.
  3. ¿Cuánto tiempo ha debido de pasar para que la noticia haya sido vista por 450.000 personas?
  4. La velocidad de difusión de la noticia (número de personas por hora que han visto la publicación) es 𝑁′(𝑡). ¿Qué conclusión se obtiene al comparar 𝑁′(𝑡) en los instantes 𝑡 =1 y 𝑡 =10?

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos las dos primeras derivadas de la función 𝑁. 𝑁′(𝑡)=500.000⋅(−𝑒−0,2𝑡)⋅(−0,2)=100.000𝑒−0,2𝑡,𝑁″(𝑡)=100.000𝑒−0,2𝑡⋅(−0,2)=−20.000𝑒−0,2𝑡.
    • Observamos que 𝑁′(𝑡) >0 para 𝑡 >0, así que 𝑁 es creciente en todo su dominio.
    • Observamos que 𝑁″(𝑡) <0 para 𝑡 >0, así que 𝑁 es cóncava en todo su dominio.
  2. Veamos si la gráfica de la función tiene asíntota horizontal para estudiar su tendencia. lím𝑡→+∞⁡𝑁(𝑡)=lím𝑡→+∞⁡500.000(1−𝑒−0,2𝑡)=500.000. Por tanto, la recta 𝑦 =500.000 es una asíntota horizontal. Representamos gráficamente la función usando esta información. Figura Podemos observar que el número de personas que ven la noticia aumenta rápidamente en las primeras horas y se va acercando a 500.000, cada vez con menor velocidad.
  3. Para que la noticia haya sido vista por 450.000 personas ha de verificarse que: 𝑁(𝑡)=450.000⇔500.000(1−𝑒−0,2𝑡)=450.000⇔1−𝑒−0,2𝑡=910⇔𝑒−0,2𝑡=110⇔⇔−0,2𝑡=ln⁡(110)⇔𝑡=−ln⁡(110)0,2=5ln⁡(10)≈11,5129. Por tanto, han debido de pasar un poco más de 11 horas y media.
  4. Calculamos el valor de la derivada en los dos instantes. 𝑁′(1)≈81.873,0753,𝑁′(10)≈13.533,5283. Observamos que la velocidad de difusión de la noticia se reduce en gran medida con el paso de las horas.

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2025

Un grupo de emprendedores valora crear una empresa y, para ello, ha encargado un estudio de mercado en el que se estima que los beneficios para los próximos 10 años, en millones de euros, vendrán dados por la función: 𝐵(𝑡)=3𝑡𝑡+2−1,0≤𝑡≤10, donde 𝑡 representa los años transcurridos desde la apertura de la empresa.

  1. ¿En qué intervalo de tiempo la empresa no tendrá beneficios?
  2. ¿En qué momento se alcanza el máximo beneficio y a cuánto asciende su valor?
  3. ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que la empresa obtenga un beneficio de 800.000€?
  4. Si la función de beneficios se mantuviera y transcurrieran los años de manera indefinida, ¿a que valor tendería el beneficio de la empresa?

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2025

El Cesio 137 es un elemento radioactivo que se usa, entre otros, para tratamientos de radioterapia. La cantidad (en mg) de Cesio 137 que queda en el lugar de almacenamiento, transcurrido un número de años 𝑡, viene dada por la función: 𝑓(𝑡)=10⋅(12)𝑡30,𝑡≥0.

  1. Calcule los años que deben pasar para que la cantidad de Cesio 137 que quede en el almacén sea la mitad de la que había al inicio.
  2. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓, en el punto de abscisa 𝑡 =10.
  3. Indique si la función tiene asíntotas horizontales y verticales. En caso afirmativo, calcúlelas.

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2024

Se considera la función 𝑓(𝑥)=1−43+𝑥.

  1. Halle el dominio de 𝑓 y los puntos de corte de su gráfica con los ejes de coordenadas.
  2. Calcule las asíntotas de la función 𝑓.
  3. Obtenga los puntos donde la recta tangente a la gráfica de 𝑓 tiene pendiente 1.
  4. Estudie la curvatura de la función 𝑓.

Resolución
    • La función 𝑓 es una función racional, así que los puntos que no pertenecen al dominio son aquellos que anulan el denominador. 3+𝑥=0⇔𝑥=−3. Por tanto, Dom⁡(𝑓) =ℝ ∖{ −3}.
    • Hallamos los puntos de corte con el eje 𝑋, es decir, aquellos puntos con 𝑦 =0. 𝑓(𝑥)=0⇔1−43+𝑥=0⇔1=43+𝑥⇔3+𝑥=4⇔𝑥=1. Luego el único punto de corte con el eje 𝑋 es (1,0).
    • Hallamos ahora el punto de corte con el eje 𝑌. 𝑓(0)=1−43=−13. Así que el punto de corte con el eje 𝑌 es (0,−13).
    • El denominador se anula en 𝑥 = −3 y observamos que lím𝑥→−3−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−3−⁡(1−43+𝑥)=+∞,lím𝑥→−3+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−3+⁡(1−43+𝑥)=−∞. Por tanto, la recta 𝑥 = −3 es una asíntota vertical.
    • Veamos si tiene una asíntota horizontal. lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→+∞⁡(1−43+𝑥)=1. Por tanto, la recta 𝑦 =1 es una asíntota horizontal.
  3. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=4(3+𝑥)2. La pendiente de la recta tangente viene dada por el valor de la derivada. Así que: 𝑓′(𝑥)=1⇔4(3+𝑥)2=1⇔4=(3+𝑥)2⇔{3+𝑥=2⇔𝑥=−1,3+𝑥=−2⇔𝑥=−5. Por tanto, la recta tangente tiene pendiente 1 en los puntos de abscisa 𝑥 = −1 y 𝑥 = −5.
  4. En primer lugar, hallamos la segunda derivada de la función 𝑓. 𝑓″(𝑥)=−8(3+𝑥)3. Observamos que 𝑓″(𝑥) ≠0 para 𝑥 ≠ −3, así que no tiene puntos de inflexión. Estudiamos el signo de 𝑓″ considerando 𝑥 = −3 por no pertenecer al dominio.
    • Si 𝑥 < −3, 𝑓″(𝑥) >0. Así que 𝑓 es convexa.
    • Si 𝑥 > −3, 𝑓″(𝑥) <0. Así que 𝑓 es cóncava.
    Por tanto, 𝑓 es convexa en ( −∞, −3) y cóncava en ( −3, +∞).

Ejercicio 3: Julio de 2024

Dada la función 𝑓(𝑥)=2𝑥−62−𝑥.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de dicha función. Calcule sus asíntotas.
  2. Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como la existencia de extremos relativos.
  3. Halle los puntos de corte con los ejes de coordenadas y represente gráficamente la función.

Resolución
  1. En primer lugar, observamos que Dom⁡(𝑓) =ℝ ∖{2}. La función 𝑓 es racional, así que es continua y derivable en todo su dominio. Estudiamos las asíntotas.
    • El denominador se anula en 𝑥 =2 y observamos que lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−⁡2𝑥−62−𝑥=−∞,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡2𝑥−62−𝑥=+∞. Por tanto, la recta 𝑥 =2 es una asíntota vertical.
    • Veamos si tiene una asíntota horizontal. lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→+∞⁡2𝑥−62−𝑥=−2. Por tanto, la recta 𝑦 = −2 es una asíntota horizontal.
  2. En primer lugar, calculamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=2(2−𝑥)+2𝑥−6(2−𝑥)2=−2(2−𝑥)2. Observamos que 𝑓′(𝑥) <0 para 𝑥 ≠2, así que 𝑓 es decreciente en todo su dominio y no tiene extremos.
    • Hallamos los puntos de corte con el eje 𝑋, es decir, aquellos puntos con 𝑦 =0. 𝑓(𝑥)=0⇔2𝑥−62−𝑥=0⇔2𝑥−6=0⇔𝑥=3. Luego el único punto de corte con el eje 𝑋 es (3,0).
    • Hallamos ahora el punto de corte con el eje 𝑌. 𝑓(0)=−62=−3. Así que el punto de corte con el eje 𝑌 es (0, −3).
    Representamos gráficamente la función usando los puntos de corte y la información de los apartados anteriores. Figura

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2023

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥3+2𝑥2−3,si 𝑥≤1,1+1𝑥−2,si 𝑥>1.

  1. Estudie la continuidad de 𝑓. Si la función no es continua en algún punto, indique el tipo de discontinuidad que presenta.
  2. Estudie la derivabilidad de 𝑓.
  3. Determine las asíntotas de 𝑓.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad de la función 𝑓.
    • Si 𝑥 <1, 𝑓 es continua.
    • Si 𝑥 >1, 𝑓 es continua salvo en 𝑥 =2. Observamos que lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−⁡(1+1𝑥−2)=−∞,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡(1+1𝑥−2)=+∞. Por tanto, en 𝑥 =2 presenta una discontinuidad de salto infinito.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(𝑥2+2𝑥2−3)=0,lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(1+1𝑥−2)=0,𝑓(1)=0. Observamos que lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(1). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =1.
    Por tanto, 𝑓 es continua en ℝ ∖{2}.
  2. Estudiamos la derivabilidad de la función 𝑓.
    • Si 𝑥 ≠1 y 𝑥 ≠2, 𝑓 es derivable con 𝑓′(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩3𝑥2+4𝑥,si 𝑥<1,−1(𝑥−2)2,si 𝑥>1.
    • Estudiamos la derivabilidad para el punto de ruptura 𝑥 =1. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(3𝑥2+4𝑥)=7,𝑓′+(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+−1(𝑥−2)2=−1. Observamos que 𝑓′−(1) ≠𝑓′+(1), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =1.
    Por tanto, 𝑓 es derivable en ℝ ∖{1,2}.
  3. Estudiamos las asíntotas. La primera rama no tiene asíntotas por ser un polinomio, así que nos fijamos en la segunda rama.
    • El denominador se anula en 𝑥 =2 y habíamos visto que lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−⁡(1+1𝑥−2)=−∞,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡(1+1𝑥−2)=+∞. Por tanto, la recta 𝑥 =2 es una asíntota vertical.
    • Veamos si tiene alguna asíntota horizontal por la derecha. lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→+∞⁡(1+1𝑥−2)=1. Por tanto, la recta 𝑦 =1 es una asíntota horizontal por la derecha.

Ejercicio 4: Julio de 2023

Sea la función 𝑓(𝑡)=12𝑡−24𝑡+3,𝑡≥0.

  1. Represente gráficamente la función 𝑓, determinando los puntos de corte con los ejes coordenados y las ecuaciones de las asíntotas, y estudiando la monotonía y la curvatura de 𝑓.
  2. Si la función 𝑓 representa los beneficios de una empresa, en millones de euros, donde 𝑡 indica los años de vida de la empresa:
    1. ¿A partir de qué año la empresa deja de tener pérdidas? Justifique la respuesta.
    2. A medida que pasan los años, ¿están limitados los beneficios? En caso afirmativo, ¿cuál es su límite y por qué?

Resolución
    • Hallamos los puntos de corte con el eje 𝑋, es decir, aquellos puntos con 𝑦 =0. 𝑓(𝑡)=0⇔12𝑡−24𝑡+3=0⇔12𝑡−24=0⇔𝑡=2. Luego el punto de corte con el eje 𝑋 es (2,0).
    • Hallamos ahora el punto de corte con el eje 𝑌. 𝑓(0)=−243=−8. Así que el punto de corte con el eje 𝑌 es (0, −8).
    • Estudiamos las asíntotas. El denominador solo se anula en 𝑡 = −3. Sin embargo, la función no está definida en un entorno cercano, así que no tiene ninguna asíntota vertical. Veamos si 𝑓 tiene alguna asíntota horizontal. lím𝑡→+∞⁡12𝑡−24𝑡+3=12. Por tanto, la recta 𝑦 =12 es una asíntota horizontal.
    • Estudiamos la monotonía. En primer lugar, calculamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑡)=12(𝑡+3)−(12𝑡−24)(𝑡+3)2=60(𝑡+3)2. Observamos que la derivada nunca se anula y siempre es positiva, así que no tiene puntos críticos y es creciente en todo su dominio.
    • Estudiamos la curvatura. Para ello, calculamos la segunda derivada de 𝑓. 𝑓″(𝑡)=−120(𝑡+3)3. Observamos que la segunda derivada nunca se anula y es siempre negativa para 𝑡 ≥0, así que no tiene puntos de inflexión y es cóncava en todo su dominio.
    Representamos gráficamente la función usando esta información. Figura
    1. Los beneficios de la empresa empiezan a ser positivos a partir del segundo año, donde se encuentra el punto de corte (2,0).
    2. A pesar de que los beneficios aumentan con el paso de los años, tienen como límite 12 millones de euros, representado en la gráfica por la asíntota horizontal 𝑦 =12.

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2022

Se considera la función 𝑓(𝑥)=𝑥−3𝑥+2.

  1. Determine el dominio de la función y estudie su monotonía y curvatura.
  2. Calcule las ecuaciones de las asíntotas de 𝑓 si existen. Calcule los puntos de corte de la gráfica de 𝑓 con los ejes de coordenadas.
  3. Represente la gráfica de la función 𝑓.

Resolución
    • La función 𝑓 es una función racional, así que los puntos que no pertenecen al dominio son aquellos que anulan al denominador. 𝑥+2=0⇔𝑥=−2. Por tanto, Dom⁡(𝑓) =ℝ ∖{ −2}.
    • Estudiamos la monotonía. En primer lugar, calculamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=𝑥+2−(𝑥−3)(𝑥+2)2=5(𝑥+2)2. Observamos que 𝑓′(𝑥) >0 para 𝑥 ≠ −2, así que 𝑓 es creciente en todo su dominio y no tiene extremos.
    • Estudiamos la curvatura. Para ello, calculamos la segunda derivada de 𝑓. 𝑓″(𝑥)=−10(𝑥+2)3. Observamos que 𝑓″(𝑥) ≠0 para 𝑥 ≠ −2, así que no tiene puntos de inflexión. Estudiamos el signo de la segunda derivada, considerando 𝑥 = −2 por no pertenecer al dominio.
      ( −∞, −2) ( −2, +∞)
      signo de 𝑓″ + −
      curvatura de 𝑓 ⌣ ⌢
      Por tanto, la función es convexa en ( −∞,2) y cóncava en (2, +∞).
    • El denominador se anula en 𝑥 = −2 y observamos que lím𝑥→−2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−2−⁡𝑥−3𝑥+2=+∞,lím𝑥→−2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−2+⁡𝑥−3𝑥+2=−∞. Por tanto, la recta 𝑥 = −2 es una asíntota vertical.
    • Veamos si tiene una asíntota horizontal. lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→+∞⁡𝑥−3𝑥+2=1. Por tanto, la recta 𝑦 =1 es una asíntota horizontal.
    • Hallamos los puntos de corte con el eje 𝑋, es decir, aquellos puntos con 𝑦 =0. 𝑓(𝑥)=0⇔𝑥−3𝑥+2=0⇔𝑥−3=0⇔𝑥=3. Luego el único punto de corte con el eje 𝑋 es (3,0).
    • Hallamos ahora el punto de corte con el eje 𝑌. 𝑓(0)=−32. Así que el punto de corte con el eje 𝑌 es (0,−32).
  3. Representamos gráficamente la función usando la información de los apartados anteriores. Figura

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2+𝑥+1,si 𝑥≤0,11−𝑥,si 𝑥>0.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de 𝑓 en 𝑥 =0.
  2. Estudie la monotonía y curvatura de 𝑓 en su dominio.
  3. Calcule las ecuaciones de las asíntotas de 𝑓.

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2+𝑎𝑥+2,si 𝑥≤0,𝑥+𝑏𝑥−1,si 𝑥>0.

  1. Halle 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓 sea continua y derivable en 𝑥 =0.
  2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 = −2, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.
  3. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =1, halle, si existen, las ecuaciones de las asíntotas de 𝑓.

Ejercicio 3: Septiembre de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥)={2+𝑎𝑥−1,si 𝑥<0,𝑎+𝑏𝑒𝑥,si 𝑥≥0.

  1. Calcule los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua y derivable en su dominio.
  2. Para 𝑎 =2 y 𝑏 = −2, estudie la monotonía de la función 𝑓 y calcule sus extremos relativos.
  3. Para 𝑎 =2 y 𝑏 = −2, determine las ecuaciones de las asíntotas de 𝑓, si existen.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2018

Se considera la función 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥𝑏𝑥+1, con 𝑎 y 𝑏 números reales.

  1. Calcule los valores de 𝑎 y 𝑏, sabiendo que 𝑓( −1) =1 y que en el punto de abscisa 𝑥 =0 la recta tangente a la gráfica de 𝑓 es paralela a la recta 𝑦 =2𝑥 +1.
  2. Para 𝑎 =𝑏 =1, halle la ecuación de sus asíntotas.

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2018

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥−5𝑥−4,si 𝑥<3,−𝑥2+7𝑥−10,si 𝑥≥3.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑓.
  2. Calcule los puntos de corte de la gráfica de 𝑓 con los ejes de coordenadas.
  3. Calcule las asíntotas de 𝑓, en caso de que existan.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2017

En una especie animal la contracción del iris, en décimas de milímetro, después de exponer el ojo a una luz brillante durante un determinado tiempo, viene dada por 𝑓(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑡2,si 0≤𝑡≤2,4𝑡−1,si 𝑡>2, donde 𝑡 es el tiempo, en segundos, que transcurre desde que se concentra la luz en el ojo.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑓.
  2. Represente gráficamente la función 𝑓, determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus asíntotas, en caso de que existan.
  3. Determine en qué instante se obtiene la máxima contracción y su valor.

Ejercicio A2: Junio de 2016

  1. Calcule los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑏2−𝑥,si 𝑥≤1,𝑎𝑥2−3𝑥+1,si 𝑥>1 sea derivable en el punto de abscisa 𝑥 =1.
  2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =2, estudie su monotonía y determine las ecuaciones de sus asíntotas, si existen.

Ejercicio B2: Junio de 2016

La cantidad, 𝐶, que una entidad bancaria dedica a créditos depende de su liquidez, 𝑥, según la función 𝐶(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩150+5𝑥100,si 10≤𝑥≤50,200+10𝑥25+3𝑥,si 𝑥>50, donde 𝐶 y 𝑥 están expresadas en miles de euros.

  1. Justifique que 𝐶 es una función continua.
  2. ¿A partir de qué liquidez decrece la cantidad dedicada a créditos? ¿Cuál es el valor máximo de 𝐶?
  3. Calcule la asíntota horizontal e interprétela en el contexto del problema.

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2016

Se considera la función 𝑓(𝑥)=3𝑥+1𝑥−1.

  1. Estudie su continuidad y derivabilidad. Calcule la función derivada.
  2. Calcule las ecuaciones de sus asíntotas, en caso de que existan.
  3. Halle los puntos de la gráfica de 𝑓 donde la recta tangente sea tal que su pendiente valga -1.

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2016

  1. Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=(𝑥2−1)(3𝑥3+5𝑥)3,𝑔(𝑥)=ln⁡(3𝑥)𝑒2𝑥.
  2. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ℎ(𝑥)=3𝑥+62𝑥+1 en el punto de abscisa 𝑥 =1.
  3. Determine, si existen, las ecuaciones de las asíntotas de la función ℎ(𝑥).

Ejercicio B2: Septiembre de 2016

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2−4𝑥+𝑎,si 𝑥<2,1𝑥−1,si 𝑥≥2.

  1. Calcule el valor de 𝑎 para que la función sea continua en 𝑥 =2. Para ese valor de 𝑎 obtenido, ¿es derivable la función en 𝑥 =2?
  2. Para 𝑎 =4, estudie la monotonía y calcule las ecuaciones de las asíntotas, si existen.

Ejercicio A2: Junio de 2015

  1. Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=3ln⁡(𝑥)𝑥3,𝑔(𝑥)=(1−𝑥2)(𝑥3−1)2,ℎ(𝑥)=3𝑥2−7𝑥+1𝑒2𝑥.
  2. Halle las asíntotas de la función 𝑝(𝑥)=7𝑥3𝑥−12.

Ejercicio B2: Junio de 2015

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2+2,si 0≤𝑥≤2,8𝑥+𝑎𝑥−1,si 𝑥>2.

  1. Determine el valor de 𝑎 para que la función sea continua.
  2. ¿Para 𝑎 = −10, es creciente la función en 𝑥 =3?
  3. Halle sus asíntotas para 𝑎 = −10.

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2015

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥−5𝑥+4,si 𝑥<2,𝑥3−3𝑥2,si 𝑥≥2.

  1. Determine y represente gráficamente sus asíntotas. Calcule el punto donde la gráfica de la función 𝑓 corta al eje de ordenadas.
  2. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 = −3.

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2014

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩(𝑥+1)2,si 𝑥≤1,4𝑥,si 𝑥>1.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función en su dominio.
  2. Determine sus asíntotas, en caso de que existan.
  3. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =2.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2012

  1. Para la función 𝑓 definida de la forma 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥𝑥+𝑏, determine, razonadamente, los valores de 𝑎 y 𝑏 sabiendo que tiene como asíntota vertical la recta de ecuación 𝑥 = −2 y como asíntota horizontal la de ecuación 𝑦 =3.
  2. Para la función 𝑔, definida de la forma 𝑔(𝑥) =𝑥3 −3𝑥2 +2, determine: su dominio, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Con esos datos haga un esbozo de su gráfica.

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2012

Se considera la función 𝑓(𝑥)=1−2𝑥+2.

  1. Determine la monotonía y curvatura de la función.
  2. Calcule sus asíntotas.
  3. Represéntela gráficamente.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2011

Se considera la función dada por 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩−2𝑥+2,si 𝑥≤0,2𝑥−2,si 𝑥>0.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
  2. Halle las ecuaciones de las asíntotas de esta función.

Ejercicio B2: Septiembre de 2011

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2−3𝑥+4,si 𝑥≤2,4−𝑎𝑥,si 𝑥>2..

  1. Halle el valor de 𝑎 para que dicha función sea continua y estudie la derivabilidad de 𝑓 para ese valor de 𝑎.
  2. Para 𝑎 =1, ¿existe alguna asíntota vertical de esa función? ¿Y horizontal? Razone las respuestas y calcule, en caso afirmativo, dichas asíntotas.