Matemáticas de Selectividad

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩10+5𝑥2,si 𝑥≤−2,𝑥2+1,si −2<𝑥<2,10−5𝑥2,si 𝑥≥2.

1. Estudie la continuidad y derivabilidad de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 = −2.
2. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓 con pendiente -1.
3. Represente la región del plano acotada superiormente por la gráfica de 𝑓 e inferiormente por el eje de abscisas. Calcule el área de dicha región.

El Cesio 137 es un elemento radioactivo que se usa, entre otros, para tratamientos de radioterapia. La cantidad (en mg) de Cesio 137 que queda en el lugar de almacenamiento, transcurrido un número de años 𝑡, viene dada por la función: 𝑓(𝑡)=10⋅(12)𝑡30,𝑡≥0.

1. Calcule los años que deben pasar para que la cantidad de Cesio 137 que quede en el almacén sea la mitad de la que había al inicio.
2. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓, en el punto de abscisa 𝑡 =10.
3. Indique si la función tiene asíntotas horizontales y verticales. En caso afirmativo, calcúlelas.

Una fábrica estima que sus costes de producción, expresados en miles de euros, vienen dados por la función 𝑓(𝑥) =𝑥2 −6𝑥 +10, donde 𝑥 es la cantidad semanal a producir expresada en miles de kilogramos.

1. ¿Cuál debe ser la producción semanal para que el coste sea mínimo? ¿Cuál es dicho coste?
2. Calcule la recta tangente a la función de costes en el punto de abscisa 𝑥 =4. Represente gráficamente la función de costes y la recta tangente hallada.

1. Calcule la función derivada de cada una de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=ln⁡(3𝑥2−3)+1−2𝑥𝑥+2,𝑔(𝑥)=2𝑒𝑥3+𝑥2(3𝑥+4)3.
2. Calcule las ecuaciones de las rectas tangentes a las gráficas de las funciones ℎ(𝑥)=𝑥2+1y𝑝(𝑥)=𝑥−1𝑥+1, en el punto de abscisa 𝑥 =1. ¿En qué punto se cortan ambas rectas?

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2+𝑎𝑥+2,si 𝑥≤0,𝑥+𝑏𝑥−1,si 𝑥>0.

1. Halle 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓 sea continua y derivable en 𝑥 =0.
2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 = −2, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.
3. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =1, halle, si existen, las ecuaciones de las asíntotas de 𝑓.

De una función 𝑓 sabemos que su gráfica pasa por el punto (1,3) y que su derivada es 𝑓′(𝑥) =2𝑥 −6.

1. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.
2. Estudie la monotonía y la existencia de extremos de la función 𝑓.
3. Determine la función 𝑓 y represéntela gráficamente.

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥+1,si 𝑥<−2,𝑥2+𝑎,si 𝑥≥−2.

1. Calcule el valor de 𝑎 para que 𝑓 sea continua en todo su dominio. Para ese valor de 𝑎, ¿es derivable la función 𝑓?
2. Para 𝑎 = −6, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =3.
3. Para 𝑎 = −6, esboce la gráfica de 𝑓 y calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función 𝑓, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 =3 y 𝑥 =5.

Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −9𝑥 +2.

1. Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función que sean paralelas a la recta 𝑦 =3𝑥 −3.
2. Estudie la monotonía y la curvatura de la función 𝑓.
3. Calcule ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

1. Calcule la derivada de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=12ln⁡(1−𝑥1+𝑥),𝑔(𝑥)=(𝑥2+1)2𝑒2𝑥−1.
2. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ℎ(𝑥) =𝑥2 −6𝑥 +8 en el punto de abscisa 𝑥 =4. Represente gráficamente la función ℎ y la recta tangente hallada.

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥3+𝑎𝑥2,si 𝑥<1,𝑏𝑥+2𝑥,si 𝑥≥1.

1. Calcule los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua y derivable en 𝑥 =1.
2. Para 𝑏 =3, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa 𝑥 =2.

1. Calcule la derivada de las funciones 𝑓(𝑥)=𝑥ln⁡(𝑥),𝑔(𝑥)=𝑒3𝑥𝑥4+1.
2. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ℎ(𝑥) =𝑥2 +6𝑥 +5, en el punto de abscisa 𝑥 = −2. Represente gráficamente la función ℎ y la recta tangente hallada.

1. Calcule la derivada de las funciones 𝑓(𝑥)=𝑒5𝑥(𝑥2−5)3,𝑔(𝑥)=(𝑥3+1)2ln⁡(𝑥2+2).
2. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ℎ(𝑥)=𝑥+10𝑥+5 en el punto de abscisa 𝑥 =0.

1. Calcule la derivada de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=𝑒5𝑥−𝑥𝑥2−𝑥,𝑔(𝑥)=(2𝑥2−𝑥)3ln⁡(𝑥3+2).
2. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ℎ(𝑥) =1𝑥 en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Sea la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −12𝑥 +1.

1. Estudie su monotonía y determine sus extremos relativos.
2. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 𝑥 =1.

1. Calcule los valores de los parámetros 𝑎 y 𝑏 para que la gráfica de la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏 presente un extremo relativo en el punto (2,6).
2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =1, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑎𝑥−1,si 𝑥<0,𝑥2−𝑏𝑥−1,si 𝑥≥0.

1. Calcule el valor de 𝑎 y 𝑏 para que la función sea derivable en 𝑥 =0.
2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =2, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 𝑥 =2.

Se consideran las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=5𝑥−16𝑥y𝑔(𝑥)=𝑥2.

1. Determine la abscisa del punto donde se verifique que 𝑓′(𝑥) =𝑔′(𝑥).
2. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada función en el punto de abscisa 𝑥 =2 y determine el punto de corte de ambas rectas tangentes, si existe.

1. Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=(𝑥2−1)(3𝑥3+5𝑥)3,𝑔(𝑥)=ln⁡(3𝑥)𝑒2𝑥.
2. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ℎ(𝑥)=3𝑥+62𝑥+1 en el punto de abscisa 𝑥 =1.
3. Determine, si existen, las ecuaciones de las asíntotas de la función ℎ(𝑥).

Sea la función 𝑓(𝑥)={1𝑎𝑥2+1,si 𝑥≤2,−𝑥+𝑎,si 𝑥>2, con 𝑎 >0.

1. Calcule el valor del parámetro 𝑎 para que la función sea continua en su dominio. En este caso, ¿sería derivable en su dominio?
2. Para el valor 𝑎 =4, represente gráficamente la función y halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 𝑥 = −1.

De una función continua y derivable, 𝑓, se sabe que la gráfica de la función derivada, 𝑓′, es una parábola que pasa por los puntos ( −1,0) y (3,0) y que tiene su vértice en el punto (1, −2).

1. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑓, así como la existencia de extremos.
2. Si 𝑓(1) =2, encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Sea la función 𝑓(𝑥)={12(𝑎𝑥−12),si 𝑥<−1,−𝑥2+𝑏(𝑥−1),si 𝑥≥−1.

1. Halle los valores de 𝑎 y 𝑏 sabiendo que la función es derivable en 𝑥 = −1.
2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 = −1 obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓(𝑥) en el punto de abscisa 𝑥 = −2.

Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −2𝑥2 +𝑥.

1. Halle el máximo, el mínimo y el punto de inflexión de la función.
2. Calcule los puntos de corte con los ejes.
3. Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de 𝑓 en los puntos de abscisas 𝑥 =0 y 𝑥 =1.

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥−5𝑥+4,si 𝑥<2,𝑥3−3𝑥2,si 𝑥≥2.

1. Determine y represente gráficamente sus asíntotas. Calcule el punto donde la gráfica de la función 𝑓 corta al eje de ordenadas.
2. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 = −3.

Sea la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −9𝑥2 +8.

1. Halle las coordenadas de sus extremos relativos y de su punto de inflexión, si existen.
2. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩(𝑥+1)2,si 𝑥≤1,4𝑥,si 𝑥>1.

1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función en su dominio.
2. Determine sus asíntotas, en caso de que existan.
3. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =2.

Sea la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥3 +𝑎𝑒−𝑥 +𝑏𝑥 −1.

1. Halle los valores de 𝑎 y 𝑏 sabiendo que la función tiene un mínimo en 𝑥 =0 y que la gráfica de la función pasa por el punto (0,0).
2. Para 𝑎 =0 y 𝑏 =1, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 𝑥 = −1.

Sea la función dada por 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2+𝑎𝑥,si 𝑥≤2,𝑥+𝑏𝑥−1,si 𝑥>2.

1. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏, sabiendo que dicha función es derivable.
2. Para 𝑎 =2 y 𝑏 =3, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.

El porcentaje de personas que sintonizan un programa de radio que se emite entre las 6 y las 12 horas viene dado, según la hora 𝑡, mediante la función 𝑆(𝑡)=660−231𝑡+27𝑡2−𝑡3,6≤𝑡≤12.

1. ¿Qué porcentaje de personas sintonizan el programa al comenzar la emisión? ¿Y al cierre?
2. ¿A qué hora tiene máxima y mínima audiencia? ¿Qué porcentaje de personas sintonizan el programa a dichas horas?

Sea la función 𝑓(𝑥) = −𝑥2 +𝑝𝑥 +𝑞.

1. Calcule los valores que deben tener 𝑝 y 𝑞 para que la gráfica de la función 𝑓 pase por el punto ( −4, −5) y presente un máximo en el punto de abscisa 𝑥 = −1. Determine el valor de 𝑓(𝑥) en ese punto.
2. Represente la gráfica de 𝑓 para 𝑝 =2 y 𝑞 = −1 y halle la ecuación de la recta tangente a esta gráfica en el punto de abscisa 𝑥 = −2.

Sea 𝑓(𝑥) una función cuya función derivada, 𝑓′(𝑥), tiene por gráfica una parábola que corta al eje 𝑂𝑋 en los puntos ( −1,0) y (5,0) y con vértice (2, −4).

1. Estudie razonadamente la monotonía de 𝑓(𝑥).
2. Determine las abscisas de los extremos relativos de la función 𝑓(𝑥).
3. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓(𝑥) en el punto de abscisa 𝑥 =2, sabiendo que 𝑓(2) =5.

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩12−𝑥,si 𝑥≤1,𝑥2−6𝑥+6,si 𝑥>1.