Matemáticas de Selectividad

Consideremos el recinto definido por las siguientes desigualdades: 7𝑦≤15+3𝑥,𝑦≥𝑥−3,3𝑦≥−𝑥+11.

1. Represente gráficamente el recinto anterior y calcule sus vértices.
2. Calcule en qué puntos se alcanzan los valores máximo y mínimo de la función 𝐻(𝑥,𝑦) =4𝑥 −𝑦 −16 restringida al anterior recinto y obtenga dichos valores.

1. Calcule la derivada de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=12ln⁡(1−𝑥1+𝑥),𝑔(𝑥)=(𝑥2+1)2𝑒2𝑥−1.
2. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ℎ(𝑥) =𝑥2 −6𝑥 +8 en el punto de abscisa 𝑥 =4. Represente gráficamente la función ℎ y la recta tangente hallada.

El 17% de la población adulta de una ciudad sigue una dieta de adelgazamiento y practica algún deporte regularmente. El 58% ni sigue una dieta de adelgazamiento ni hace deporte regularmente. Además, se sabe que de los que hacen deporte regularmente, el 50% hace dieta de adelgazamiento. Se elige al azar un adulto de esa población.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que siga una dieta de adelgazamiento o que practique deporte regularmente?
2. Si el individuo elegido sigue una dieta de adelgazamiento, ¿cuál es la probabilidad de que practique deporte con regularidad?
3. ¿Son independientes los sucesos "Seguir una dieta de adelgazamiento" y "Practicar algún deporte regularmente"?

La cantidad de azúcar que añade un fabricante de refrescos a sus productos sigue una ley Normal cuya varianza es 225 mg². Se ha seleccionado al azar una muestra de 25 refrescos de ese fabricante, en la que se ha obtenido una media de 175 mg de azúcar añadido por refresco.

1. Determine un intervalo de confianza al 90% para la cantidad media de azúcar añadida a cada refresco.
2. ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el intervalo de confianza correspondiente al 80% tenga una amplitud como máximo de 5 mg?

Se consideran las matrices: 𝐴=(3−1−61),𝐵=(20−22),𝐶=(31)y𝐷=(−22).

1. Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y efectúelas cuando sea posible: 𝐴+𝐵𝐶,𝐴𝐶+𝐵𝐷𝑡,𝐵2+𝐶𝐷,𝐴+𝐷𝐶.
2. Resuelva la ecuación matricial 𝑋(𝐴 +𝐼2) =3𝐵𝑡.

Se considera la función 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥, con 𝑥 ≠0, siendo 𝑎 y 𝑏 dos parámetros reales.

1. Determine el valor de los parámetros 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓(𝑥) tenga un extremo relativo en el punto (1,3).
2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =2, razone si en el punto (1,3) la función presenta un máximo o un mínimo.
3. Calcule ∫(𝑥2+2𝑥)𝑑𝑥.

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos de un experimento aleatorio dado. Se sabe que 𝑃(𝐴) =0,5, 𝑃(𝐴 ∪𝐵) =0,75 y 𝑃(𝐴 −𝐵) =0,3.

1. Calcule 𝑃(𝐴 ∩𝐵).
2. Calcule 𝑃(𝐴|𝐵𝑐).
3. ¿Son independientes los sucesos 𝐴 y 𝐵? ¿Son los sucesos 𝐴 y 𝐵 incompatibles?

La Consejería de Educación elige una muestra de 5.000 estudiantes de 1° de Bachillerato de Ciencias Sociales y los encuesta para conocer la opinión que tienen sobre la elección de cierta materia entre las optativas para cursar 2° de Bachillerato. El resultado de la encuesta revela que 2.250 estudiantes piensan elegir dicha materia optativa.

1. Halle un intervalo de confianza al 97,5% para estimar la proporción de estudiantes que piensan elegir esa materia optativa.
2. Si en otra muestra la proporción de estudiantes que piensa elegir esa materia es de 0,5 y el error cometido en la estimación ha sido inferior a 0,03 con un nivel de confianza del 92,5%, calcule el tamaño muestral mínimo de esa muestra.