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Ejercicio 3: Reserva 1 de 2025

  1. Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑎⋅𝑒𝑥+1,si 𝑥≤−1,𝑥2−2,si −1<𝑥<2,𝑏⋅log⁡(12−𝑥),si 2≤𝑥<12, siendo 𝑎 y 𝑏 números reales. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓 sea continua en su dominio.
  2. Represente el recinto acotado, limitado por la recta 𝑦 = −𝑥 +3 y la parábola 𝑦 = −𝑥2 +5. Calcule el área del recinto.

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2025

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩10+5𝑥2,si 𝑥≤−2,𝑥2+1,si −2<𝑥<2,10−5𝑥2,si 𝑥≥2.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 = −2.
  2. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓 con pendiente -1.
  3. Represente la región del plano acotada superiormente por la gráfica de 𝑓 e inferiormente por el eje de abscisas. Calcule el área de dicha región.

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2025

Las ventas de un producto (en miles de euros), en los 6 primeros años desde que se lanzó una campaña de publicidad, evolucionan de acuerdo con la siguiente función: 𝑉(𝑡)=4𝑡3−24𝑡2+36𝑡+100,0≤𝑡≤6, siendo 𝑡 el tiempo transcurrido en años.

  1. Estudie el crecimiento y decrecimiento de las ventas a lo largo de los 6 años. Calcule los extremos.
  2. Represente gráficamente la función 𝑉.
  3. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de 𝑉, la recta 𝑡 =6 y los ejes de coordenadas.

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2024

La superficie de ampliación de un parque de atracciones, en decámetros cuadrados, coincide con el área de la region delimitada por las graficas de las funciones 𝑓(𝑥)=−𝑥2+6𝑥y𝑔(𝑥)=𝑥25.

  1. Represente gráficamente la superficie de ampliación del parque de atracciones.
  2. Si el coste para acondicionar el nuevo suelo es de 75€/m2, calcule el área de ampliación del parque y el coste total del acondicionamiento.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos los puntos de corte de 𝑓 y 𝑔. 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔−𝑥2+6𝑥=𝑥25⇔−5𝑥2+30𝑥=𝑥2⇔⇔6𝑥2−30𝑥=0⇔6𝑥(𝑥−5)=0⇔{𝑥=0,𝑥−5=0⇔𝑥=5. Así que los puntos de corte son (0,0) y (5,5). Observamos además que las funciones 𝑓 y 𝑔 son parábolas con vértices (3,9) y (0,0), respectivamente. Representamos la región delimitada por ambas funciones. Figura
  2. Calculamos el área de la región. ∫50(𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥))𝑑𝑥=∫50(−𝑥2+6𝑥−𝑥25)𝑑𝑥=∫50(−65𝑥2+6𝑥)𝑑𝑥==[−615𝑥3+3𝑥2]50=−50+75=25𝑢2. Si el coste es de 75€/m2, entonces el coste será de 25 ⋅75 =1.875€.

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2024

Se consideran las funciones 𝑓(𝑥)={2−𝑥2,si −1≤𝑥≤1,(𝑥−2)2,si 1<𝑥≤3y𝑔(𝑥)=1,si −1≤𝑥≤3.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de 𝑓 y 𝑔 en sus dominios.
  2. Represente el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y calcule su área.

Resolución
  1. En primer lugar, observamos que Dom⁡(𝑓) =Dom⁡(𝑔) =[ −1,3]. La función 𝑔 es continua y derivable en todo su dominio por ser constante. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑓.
    • Si 𝑥 ∈[ −1,3] con 𝑥 ≠1, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)={−2𝑥,si −1≤𝑥<1,2(𝑥−2),si 1<𝑥≤3.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(2−𝑥2)=1,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡(𝑥−2)2=1,𝑓(1)=1. Observamos que lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(1). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =1. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−−2𝑥=−2,𝑓′+(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+⁡2(𝑥−2)=−2. Observamos que 𝑓′−(1) =𝑓′+(1), así que 𝑓 es derivable en 𝑥 =1.
    Por tanto, 𝑓 también es continua y derivable en todo su dominio.
  2. En primer lugar, hallamos los puntos de corte de 𝑓 y 𝑔.
    • Si −1 ≤𝑥 ≤1, 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔2−𝑥2=1⇔𝑥2=1⇔𝑥=±1.
    • Si 1 <𝑥 ≤3, 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔(𝑥−2)2=1⇔{𝑥−2=1⇔𝑥=3,𝑥−2=−1⇔𝑥=1.
    Así que los puntos de corte son ( −1,1), (1,1) y (3,1). Observamos además que las dos ramas de 𝑓 son parábolas con vértices (0,2) y (2,0), respectivamente. Representamos los recintos limitados por ambas funciones. Figura Como los dos recintos tienen la misma superficie, podemos calcular el área como 2∫1−1(𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥))𝑑𝑥=2∫1−1(2−𝑥2−1)𝑑𝑥=2∫1−1(−𝑥2+1)𝑑𝑥=2[−13𝑥3+𝑥]1−1==2(−13+1−(13−1))=83𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2024

Se considera la función 𝑓(𝑥)={−𝑥2+2𝑥,si 𝑥<2,𝑥2−2𝑥,si 𝑥≥2.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
  2. Represente el recinto limitado por las rectas 𝑦 =2𝑥, 𝑥 = −1, 𝑥 =1 y la gráfica de 𝑓. Calcule su área.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
    • Si 𝑥 ≠2, 𝑓 es continua y derivable con: 𝑓′(𝑥)={−2𝑥+2,si 𝑥<2,2𝑥−2,si 𝑥>2.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =2. lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−⁡(−𝑥2+2𝑥)=0,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡(𝑥2−2𝑥)=0,𝑓(2)=0. Observamos que: lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(2). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =2. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(2)=lím𝑥→2−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2−⁡(−2𝑥+2)=−2,𝑓′+(2)=lím𝑥→2+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2+⁡(2𝑥−2)=2. Observamos que 𝑓′−(2) =𝑓′+(2), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =2.
    Por tanto, 𝑓 es continua en ℝ y derivable en ℝ ∖{2}.
  2. Representamos el recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y las rectas 𝑦 =2𝑥, 𝑥 = −1 y 𝑥 =1. Observamos que la primera rama de la función es una parábola con vértice (1,1). Figura Calculamos el área. ∫1−1(2𝑥−(𝑥2+2𝑥))𝑑𝑥=∫1−1𝑥2𝑑𝑥=[13𝑥3]1−1=13−(−13)=23𝑢2.

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2024

Se desea analizar la evolución de la población de una localidad. Se conoce que la función 𝑓 aproxima el número de habitantes que tiene la población para cada tiempo 𝑡, medido en meses, con 𝑡 ∈[0,60]. El crecimiento de esta población viene dado por la siguiente expresión: 𝑓′(𝑡)=400+30√𝑡. También se sabe que la población en la actualidad, 𝑡 =0, es de 90.000 habitantes.

  1. ¿Cuál será la población dentro de 9 meses?
  2. Calcule ∫169𝑓′(𝑡)𝑑𝑡 e interprete el resultado.
  3. Si se entrega una ayuda de 150€ por cada nuevo habitante durante los tres primeros años, calcule la cuantía total aproximada de la ayuda que recibirá la localidad.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos la función 𝑓 integrando. 𝑓(𝑡)=∫𝑓′(𝑡)𝑑𝑡=∫(400+30√𝑡)𝑑𝑡=400𝑡+30⋅23𝑡32+𝐶=400𝑡+20√𝑡3+𝐶. Como la población en 𝑡 =0 es de 90.00 habitantes, ha de verificarse que: 𝑓(0)=90.000⇔𝐶=90.000. Así que: 𝑓(𝑡)=400𝑡+20√𝑡3+90.000. Por tanto, la población dentro de 9 meses será de 𝑓(9) =94.140 habitantes.
  2. Calculamos la integral. ∫169𝑓′(𝑡)𝑑𝑡=[400𝑡+20√𝑡3]169=400⋅16+20⋅64−(400⋅9+20⋅27)=3.540. El resultado se corresponde con el incremento del número de habitantes entre los meses 9 y 16.
  3. El número de nuevos habitantes durante los tres primeros años viene dado por: 𝑓(36)−𝑓(0)=108.720−90.000=18.720. Por tanto, la ayuda que recibirá la localidad es de 18.720 ⋅150 =2.808.000€.

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2024

Se considera la función 𝑓(𝑥)={3+𝑒𝑥,si 𝑥<1,𝑥2+𝑎𝑥+2,si 𝑥≥1.

  1. Determine el valor de 𝑎 para que la función 𝑓 sea continua en ℝ. Para ese valor de 𝑎, ¿es 𝑓 derivable?
  2. Para 𝑎 = −3, calcule la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.
  3. Para 𝑎 = −3, represente la región limitada por la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 =2, 𝑥 =4 y el eje de abscisas. Calcule el área de dicha región.

Resolución
  1. Si 𝑥 ≠1, 𝑓 es continua y derivable para cualquier valor de 𝑎 con: 𝑓′(𝑥)={𝑒𝑥,si 𝑥<1,2𝑥+𝑎,si 𝑥>1. Estudiamos su continuidad en el punto de ruptura 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(3+𝑒𝑥)=3+𝑒,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡(𝑥2+𝑎𝑥+2)=3+𝑎,𝑓(1)=3+𝑎. Para que 𝑓 sea continua, ha de verificarse que: 3+𝑒=3+𝑎⇔𝑎=𝑒. Estudiamos la derivabilidad. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−⁡𝑒𝑥=𝑒,𝑓′+(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+⁡(2𝑥+𝑒)=2+𝑒. Observamos que 𝑓′−(1) ≠𝑓′+(1), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =1.
  2. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =0 viene dada por: 𝑦−𝑓(0)=𝑓′(0)(𝑥−0)⇔𝑦−4=𝑥⇔𝑦=𝑥+4.
  3. Si 𝑎 = −3, la función no es continua en 𝑥 =1 por el apartado anterior. Observamos que la segunda rama es una parábola con vértice (32,−14). Representamos la región. Figura Calculamos el área. ∫42𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫42(𝑥2−3𝑥+2)𝑑𝑥=[13𝑥3−32𝑥2+2𝑥]42=643−24+8−(83−6+4)=143𝑢2.

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2024

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥2+𝑎𝑥−1,si 𝑥≤1,𝑏𝑥,si 1<𝑥≤3,𝑥−13,si 𝑥>3, con 𝑎 y 𝑏 números reales.

  1. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓 sea continua. Para dichos valores, estudie la derivabilidad de 𝑓.
  2. Para 𝑎 =5 y 𝑏 =2, represente el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 =2, 𝑥 =4 y el eje 𝑂𝑋. Calcule su área.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad de 𝑓.
    • Si 𝑥 ≠1 y 𝑥 ≠3, 𝑓 es continua para cualquier valor de 𝑎 y 𝑏.
    • Estudiamos su continuidad en el punto de ruptura 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(𝑥2+𝑎𝑥−1)=𝑎,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡𝑏𝑥=𝑏,𝑓(1)=𝑎. Para que 𝑓 sea continua en 𝑥 =1, ha de verificarse que 𝑎 =𝑏.
    • Estudiamos su continuidad en el punto de ruptura 𝑥 =3. lím𝑥→3−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→3−⁡𝑏𝑥=𝑏3,lím𝑥→3+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→3+⁡𝑥−13=23,𝑓(3)=𝑏3. Para que 𝑓 sea continua en 𝑥 =3, ha de verificarse que: 𝑏3=23⇔𝑏=2.
    Por tanto, 𝑓 es continua si 𝑎 =2 y 𝑏 =2. Estudiamos su derivabilidad para estos valores.
    • Si 𝑥 ≠1 y 𝑥 ≠3, 𝑓 es derivable con: 𝑓′(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩2𝑥+2,si 𝑥<1,−2𝑥2,si 1<𝑥<3,13,si 𝑥>3.
    • Estudiamos su derivabilidad en el punto de ruptura 𝑥 =1. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(2𝑥+2)=4,𝑓′−(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+−2𝑥2=−2. Observamos que 𝑓′−(1) ≠𝑓′+(1), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =1.
    • Estudiamos su derivabilidad en el punto de ruptura 𝑥 =3. 𝑓′−(3)=lím𝑥→3−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→3−−2𝑥2=−13,𝑓′−(3)=lím𝑥→3+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→3+⁡13=13. Observamos que 𝑓′−(3) ≠𝑓′+(3), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =3.
    Por tanto, 𝑓 es derivable en ℝ ∖{1,3}.
  2. Si 𝑎 =5, la función no es continua en 𝑥 =1 por el apartado anterior. Representamos el recinto. Figura Calculamos el área. ∫322𝑥𝑑𝑥+∫43𝑥−13𝑑𝑥=[2ln⁡(𝑥)]32+[16𝑥2−13𝑥]43==2ln⁡(3)−2ln⁡(2)+83−43−(32−1)=2ln⁡(3)−2ln⁡(2)+56𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2024

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−12𝑥2+𝑥+1,si 𝑥≤2,1𝑥−1,si 𝑥>2.

  1. Estudie la continuidad, derivabilidad y monotonía de 𝑓. Represente gráficamente dicha función.
  2. Calcule el area del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 =0, 𝑥 =4 y el eje 𝑂𝑋.

Resolución
    • Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
      • Si 𝑥 ≠2, 𝑓 es continua y derivable con: 𝑓′(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−𝑥+1,si 𝑥<2,−1(𝑥−1)2,si 𝑥>2.
      • Estudiamos la continuidad en el punto de ruptura 𝑥 =2. lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−−12𝑥2+𝑥+1=1,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡1𝑥−1=1,𝑓(2)=1. Observamos que: lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(2). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =2. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(2)=lím𝑥→2−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2−−𝑥+1=−1,𝑓′+(2)=lím𝑥→2+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2+−1(𝑥−1)2=−1. Observamos que 𝑓′−(2) =𝑓′+(2), así que 𝑓 es derivable en 𝑥 =2.
      Por tanto, 𝑓 es continua y derivable en ℝ.
    • Estudiamos la monotonía de 𝑓. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
      • Si 𝑥 <2, 𝑓′(𝑥)=0⇔−𝑥+1=0⇔𝑥=1.
      • Si 𝑥 >2, 𝑓′(𝑥)=−1(𝑥−1)2≠0.
      Así que el único punto crítico es 𝑥 =1. Estudiamos el signo de la derivada.
      ( −∞,1) (1, +∞)
      signo de 𝑓′ + −
      monotonía de 𝑓 → →
      Por tanto, 𝑓 es creciente en ( −∞,1) y decreciente en (1, +∞). Además, el punto (1,32) es un máximo relativo.
    • Representamos la función. Figura
  2. Podemos representar el recinto. Figura Calculamos el área. ∫20(−12𝑥2+𝑥+1)𝑑𝑥+∫421𝑥−1𝑑𝑥=[−16𝑥3+12𝑥2+𝑥]20+[ln⁡(𝑥−1)]42==−43+2+2+ln⁡(3)=83+ln⁡(3)𝑢2.

Ejercicio 4: Julio de 2024

Se considera la función 𝑓(𝑥)={−𝑥2+4𝑥+3,si 𝑥<4,2𝑥−5,si 𝑥≥4.

  1. Estudie su continuidad y derivabilidad.
  2. Estudie su monotonía y calcule sus extremos relativos.
  3. Represente la región del plano limitada por la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 =3, 𝑥 =5 y el eje de abscisas. Calcule su área.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
    • Si 𝑥 ≠4, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)={−2𝑥+4,si 𝑥<4,2,si 𝑥>4.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =4. lím𝑥→4−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→4−⁡(−𝑥2+4𝑥+3)=3,lím𝑥→4+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→4+⁡(2𝑥−5)=3,𝑓(4)=3. Observamos que lím𝑥→4−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→4+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(4). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =4. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(4)=lím𝑥→4−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→4−⁡(−2𝑥+4)=−4,𝑓′+(4)=lím𝑥→4+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→4+⁡2=2. Así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =4.
    Por tanto, 𝑓 es continua en ℝ y derivable en ℝ ∖{4}.
  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si 𝑥 <4, 𝑓′(𝑥)=0⇔−2𝑥+4=0⇔𝑥=2.
    • Si 𝑥 >4, 𝑓′(𝑥)=2≠0.
    Así que el único punto crítico es 𝑥 =2. También consideramos 𝑥 =4 por no ser derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    ( −∞,2) (2,4) (4, +∞)
    signo de 𝑓′ + − +
    monotonía de 𝑓 → → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en ( −∞,2) ∪(4, +∞) y decreciente en (2,4). Además, el punto (2,7) es un máximo relativo y el punto (4,3) es un mínimo relativo.
  3. Representamos el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑋 y las rectas 𝑥 =3 y 𝑥 =5. Observamos que la parábola tiene vértice (2,7). Figura Calculamos el área. ∫43(−𝑥2+4𝑥+3)𝑑𝑥+∫54(2𝑥−5)𝑑𝑥=[−13𝑥3+2𝑥2+3𝑥]43+[𝑥2−5𝑥]54=−643+32+12−(−9+18+9)+25−25−(16−20)=263𝑢2.

Ejercicio 3: Junio de 2023

Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −3𝑥2 +2𝑥.

  1. Halle los puntos de corte con los ejes, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos de 𝑓 y su curvatura.
  2. Represente gráficamente la función 𝑓.
  3. Calcule el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de 𝑓 y el eje de abscisas.

Resolución
    • Hallamos los puntos de corte con el eje 𝑋, es decir, aquellos puntos con 𝑦 =0. 𝑓(𝑥)=0⇔𝑥3−3𝑥2+2𝑥=0⇔𝑥(𝑥2−3𝑥+2)=0⇔⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=0,𝑥2−3𝑥+2=0⇔{𝑥=1,𝑥=2. Luego los puntos de corte con el eje 𝑋 son (0,0), (1,0) y (2,0). Observamos que (0,0) es por tanto el punto de corte con el eje 𝑌.
    • Estudiamos la monotonía y los extremos. En primer lugar, calculamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=3𝑥2−6𝑥+2. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔3𝑥2−6𝑥+2=0⇔𝑥=3±√33=1±√33. Estudiemos el signo de la derivada.
      (−∞,1−√33) (1−√33,1+√33) (1+√33,+∞)
      signo de 𝑓′ + − +
      monotonía de 𝑓 → → →
      Por tanto, 𝑓 es creciente en (−∞,1−√33) ∪(1+√33,+∞) y es decreciente en (1−√33,1+√33). Además, tiene un máximo relativo en 𝑥 =1 −√33 y un mínimo relativo en 1 +√33. Es decir, el punto (0,42; 0,38) es un máximo relativo y el punto (1,58; −0,38) es un mínimo relativo.
    • Estudiamos la curvatura. Para ello, calculamos la segunda derivada de 𝑓. 𝑓″(𝑥)=6𝑥−6. Para hallar los candidatos a puntos de inflexión, igualamos la segunda derivada a cero. 𝑓″(𝑥)=0⇔6𝑥−6=0⇔𝑥=1. Estudiemos el signo de la segunda derivada.
      ( −∞,1) (1, +∞)
      signo de 𝑓″ − +
      curvatura de 𝑓 ⌢ ⌣
      Por tanto, 𝑓 es convexa en (1, +∞) y es cóncava en ( −∞,1). Además, tiene un punto de inflexión en 𝑥 =1, es decir, el punto (1,0).
  2. Representamos gráficamente la función usando la información del apartado anterior. Figura
  3. Podemos representar el recinto acotado limitado por la gráfica de 𝑓 y el eje 𝑋. Figura Calculamos el área. ∫10𝑓(𝑥)𝑑𝑥+∫21−𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫10(𝑥3−3𝑥2+2𝑥)𝑑𝑥+∫21−(𝑥3−3𝑥2+2𝑥)𝑑𝑥==[14𝑥4−𝑥3+𝑥2]10−[14𝑥4−𝑥3+𝑥2]21=14−(−14)=12𝑢2.

Ejercicio 4: Junio de 2023

Se desea analizar el valor de las acciones de una empresa en un día. La función 𝑣(𝑡) nos indica el valor, en euros, de cada acción de la empresa en función del tiempo 𝑡, medido en horas, a partir de la hora de apertura del mercado. De la función 𝑣(𝑡) se conoce que su variación instantánea es 𝑣′(𝑡)=𝑡2−5𝑡+6,𝑡∈[0,6].

  1. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑣.
  2. Si en el momento de la apertura del mercado se conoce que 𝑣(0) =10, halle la función 𝑣.
  3. Si un inversor compró 3.000 de estas acciones en el instante 𝑡 =2 y posteriormente las vendió en el instante 𝑡 =4, indique a cuánto ascendió la ganancia o la pérdida que obtuvo el inversor con esta gestión.
  4. ¿En qué momentos debería haber realizado este inversor las gestiones de compra y de venta para que la ganancia hubiese sido máxima? Justifique su respuesta.

Resolución
  1. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑣 a cero. 𝑣′(𝑡)=0⇔𝑡2−5𝑡+6=0⇔{𝑡=2,𝑡=3. Así que los puntos críticos se encuentran en 𝑡 =2 y 𝑡 =3. Estudiemos el signo de la derivada.
    (0,2) (2,3) (3,6)
    signo de 𝑣′ + − +
    monotonía de 𝑣 → → →
    Por tanto, 𝑣 es creciente en (0,2) ∪(3,6) y es decreciente en (2,3).
  2. Como 𝑣′ es la derivada de 𝑣, entonces 𝑣(𝑡)=∫𝑣′(𝑡)𝑑𝑡=∫(𝑡2−5𝑡+6)𝑑𝑡=13𝑡3−52𝑡2+6𝑡+𝐶. Además, 𝑣(0)=10⇔𝐶=10. Por tanto, 𝑣(𝑡)=13𝑡3−52𝑡2+6𝑡+10.
  3. Calculamos los valores de cada acción de la empresa en los instantes 𝑡 =2 y 𝑡 =4. 𝑣(2)=83−10+12+10=443,𝑣(4)=643−40+24+10=463. Así que el incremento de valor de cada acción es de 𝑣(4)−𝑣(2)=463−443=23. Por tanto, la ganancia obtenida por la compra de 3.000 acciones es de 3.000 ⋅23 =2.000€.
  4. Por el primer apartado, sabemos que la función 𝑣 tiene máximos relativos en 𝑡 =2 y 𝑡 =6 y tiene mínimos relativos en 𝑡 =0 y 𝑡 =3. Observamos que 𝑣(0)=10,𝑣(2)=443≈14,67,𝑣(3)=292=14,5,𝑣(6)=28. Así que el máximo absoluto se encuentra en 𝑡 =6 y el mínimo absoluto en 𝑡 =0. Por tanto, el mejor momento para comprar acciones es a la apertura del mercado (el instante 𝑡 =0) y el mejor momento para venderlas es a las seis horas.

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2023

  1. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada una de las siguientes funciones en el punto de abscisa 𝑥 =0: 𝑓(𝑥)=3𝑥2+5𝑥−2−3𝑥+7,𝑔(𝑥)=ln⁡(13𝑥+1).
  2. Calcule las integrales definidas siguientes: ∫−1−253𝑥4𝑑𝑥,∫0−3𝑒𝑥35𝑑𝑥.

Resolución
    • En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=(6𝑥+5)(−3𝑥+7)+3(3𝑥2+5𝑥−2)(−3𝑥+7)2. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =0 viene dada por: 𝑦−𝑓(0)=𝑓′(0)(𝑥−0)⇔𝑦+27=2949𝑥⇔𝑦=2949𝑥−27.
    • En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑔. 𝑔′(𝑥)=(3𝑥+1)⋅−1(3𝑥+1)2⋅3=−33𝑥+1. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑔 en 𝑥 =0 viene dada por: 𝑦−𝑔(0)=𝑔′(0)(𝑥−0)⇔𝑦=−3𝑥.
    • En primer lugar, hallamos una primitiva de la función. ∫53𝑥4𝑑𝑥=53∫𝑥−4𝑑𝑥=53⋅1−3𝑥−3=−59𝑥3. Calculamos la integral definida. ∫−1−253𝑥4𝑑𝑥=[−59𝑥3]−1−2=−59[1𝑥3]−1−2=−59(−1−1−8)=−59⋅(−78)=3572.
    • En primer lugar, hallamos una primitiva de la función. ∫𝑒𝑥35𝑑𝑥=15∫𝑒𝑥3𝑑𝑥=15⋅3∫13𝑒𝑥3𝑑𝑥=35𝑒𝑥3. Calculamos la integral definida. ∫0−3𝑒𝑥35𝑑𝑥=[35𝑒𝑥3]0−3=35[𝑒𝑥3]0−3=35(1−1𝑒).

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2023

  1. Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=(−7+𝑥2)3𝑒5−𝑥,𝑔(𝑥)=ln⁡(𝑥4−2𝑥2)8−𝑥3.
  2. Represente gráficamente la región acotada comprendida entre la recta 𝑦 = −2𝑥 +6 y la parábola 𝑦 = −𝑥2 +2𝑥 +3 y calcule su área.

Resolución
    • Calculamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=3(−7+𝑥2)2⋅2𝑥⋅𝑒5−𝑥+(−7+𝑥2)3⋅𝑒5−𝑥⋅(−1)=6𝑥(𝑥2−7)2𝑒5−𝑥−(𝑥2−7)3𝑒5−𝑥==(𝑥2−7)2(−𝑥2+6𝑥+7)𝑒5−𝑥.
    • Calculamos la derivada de la función 𝑔. 𝑔′(𝑥)=1𝑥4−2𝑥2⋅(4𝑥3−4𝑥)⋅(8−𝑥3)−ln⁡(𝑥4−2𝑥2)⋅(−3𝑥2)(8−𝑥3)2=(4𝑥3−4𝑥)(8−𝑥3)𝑥4−2𝑥2+3𝑥2ln⁡(𝑥4−2𝑥2)(8−𝑥3)2.
  2. Llamamos 𝑓(𝑥) = −2𝑥 +6 y 𝑔(𝑥) = −𝑥2 +2𝑥 +3. En primer lugar, hallamos los puntos de corte de 𝑓 y 𝑔. 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔−2𝑥+6=−𝑥2+2𝑥+3⇔𝑥2−4𝑥+3=0⇔{𝑥=1,𝑥=3. Así que los puntos de corte son (1,4) y (3,0). Observamos además que el vértice de la parábola es (1,4). Representamos el recinto acotado limitado por ambas funciones. Figura Calculamos el área del recinto. ∫31(𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥))𝑑𝑥=∫31(−𝑥2+2𝑥+3−(−2𝑥+6))𝑑𝑥=∫31(−𝑥2+4𝑥−3)𝑑𝑥=[−13𝑥3+2𝑥2−3𝑥]31==−9+18−9−(−13+2−3)=43𝑢2.

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2023

  1. Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑎𝑥2+𝑏𝑥+6,si 𝑥≤2,5,−1,4𝑥+7,si 𝑥>2,5, con 𝑎 y 𝑏 números reales. Calcule el valor de los parámetros 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua y tenga un máximo en 𝑥 =1.
  2. Represente gráficamente la función 𝑔(𝑥) = −2𝑥2 +2𝑥 +4 y calcule el área de la región acotada, limitada por la gráfica de dicha función y el eje de abscisas.

Resolución
    • Si 𝑥 ≠2,5, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)={2𝑎𝑥+𝑏,si 𝑥<2,5,−1,4,si 𝑥>2,5.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =2,5. lím𝑥→2,5−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2,5−⁡(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+6)=6,25𝑎+2,5𝑏+6,lím𝑥→2,5+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2,5+⁡(−1,4𝑥+7)=3,5,𝑓(2,5)=6,25𝑎+2,5𝑏+6. Para que 𝑓 sea continua, ha de verificarse 6,25𝑎+2,5𝑏+6=3,5⇔6,25𝑎+2,5𝑏=−2,5⇔25𝑎+10𝑏=−10⇔5𝑎+2𝑏=−2.
    Además, para que 𝑓 tenga un máximo en 𝑥 =1 ha de ocurrir que 𝑓′(1) =0. 𝑓′(1)=0⇔2𝑎+𝑏=0. Con estas dos condiciones, planteamos el sistema de ecuaciones {5𝑎+2𝑏=−2,2𝑎+𝑏=0. Resolvemos el sistema por sustitución. Como 2𝑎 +𝑏 =0 ⇔𝑏 = −2𝑎, 5𝑎+2𝑏=−2𝑏=−2𝑎←←←←←←←←→5𝑎−4𝑎=−2⇔𝑎=−2. Así que 𝑏=−2𝑎𝑎=−2←←←←←←←→𝑏=4. Por tanto, 𝑎 = −2 y 𝑏 =4.
  2. En primer lugar, hallamos los puntos de corte de la función 𝑔 con el eje 𝑋. 𝑔(𝑥)=0⇔−2𝑥2+2𝑥+4=0⇔𝑥2−𝑥−2=0⇔{𝑥=−1,𝑥=2. Así que los puntos de corte son ( −1,0) y (2,0). Además, observamos que 𝑔 es una parábola con vértice (12,92). Representamos la función y el recinto acotado. Figura Calculamos el área del recinto. ∫2−1𝑔(𝑥)𝑑𝑥=∫2−1(−2𝑥2+2𝑥+4)𝑑𝑥=[−23𝑥3+𝑥2+4𝑥]2−1=−163+4+8−(23+1−4)=9𝑢2.

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2023

Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑥2−4𝑥+4,si 𝑥<3,−𝑥+4,si 𝑥≥3.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓 en todos los puntos de su dominio.
  2. Respresente gráficamente 𝑓.
  3. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de 𝑓, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 =2 y 𝑥 =4.

Resolución
    • Si 𝑥 ≠3, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)={2𝑥−4,si 𝑥<3,−1,si 𝑥>3.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =3. lím𝑥→3−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→3−⁡(𝑥2−4𝑥+4)=1,lím𝑥→3+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→3+⁡(−𝑥+4)=1,𝑓(3)=1. Observamos que lím𝑥→3−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→3+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(3). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =3.
      Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(3)=lím𝑥→3−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→3−⁡(2𝑥−4)=2,𝑓′+(3)=lím𝑥→3+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→3+−1=−1. Observamos que 𝑓′−(3) ≠𝑓′+(3), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =3.
    Por tanto, 𝑓 es continua en ℝ y derivable en ℝ ∖{3}.
  2. Representamos gráficamente la función. Observamos que la parábola tiene vértice (2,0). Figura
  3. Podemos representar el recinto acotado limitado por la gráfica de 𝑓 y las rectas 𝑥 =2 y 𝑥 =4. Figura Calculamos el área. ∫32(𝑥2−4𝑥+4)𝑑𝑥+∫43(−𝑥+4)𝑑𝑥=[13𝑥3−2𝑥2+4𝑥]32+[−12𝑥2+4𝑥]43==9−18+12−(83−8+8)−8+16−(−92+12)=56𝑢2.

Ejercicio 3: Julio de 2023

El área quemada de la región plana de la cubierta de plástico de un invernadero, coincide con el área de la región acotada delimitada por las gráficas de las funciones 𝑓(𝑥) =(𝑥 −1)2 y 𝑔(𝑥) =5 −2𝑥 donde 𝑥 está expresado en metros.

  1. Represente gráficamente la zona deteriorada.
  2. Para reparar la región quemada, se ha de utilizar plástico cuyo coste es de 15 euros por metro cuadrado. Si en el trabajo de reparación se desperdicia la tercera parte del plástico adquirido, ¿cuánto costará el plástico comprado?

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos los puntos de corte de 𝑓 y 𝑔. 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔(𝑥−1)2=5−2𝑥⇔𝑥2−2𝑥+1=5−2𝑥⇔𝑥2=4⇔𝑥=±2. Así que los puntos de corte son ( −2,9) y (2,1). Observamos además que la función 𝑓 es una parábola con vértice (1,0) y 𝑔 es una recta. Representamos el recinto acotado limitado por ambas funciones. Figura
  2. Calculamos el área del recinto. ∫2−2(𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥))𝑑𝑥=∫2−2(5−2𝑥−(𝑥−1)2)𝑑𝑥=∫2−2(−𝑥2+4)𝑑𝑥=[−13𝑥3+4𝑥]2−2==−83+8−(83−8)=323𝑚2. Como se desperdicia la tercera parte del plástico, los 323 m2 corresponden a 23 del plástico comprado. Así que el área del plástico es 323:23=16𝑚2. Si el coste es de 15€ por metro cuadrado, entonces el plástico costará 16 ⋅15 =240€.

Ejercicio 3: Junio de 2022

  1. Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐, con 𝑎, 𝑏 y 𝑐 números reales. Calcule los valores 𝑎, 𝑏 y 𝑐 sabiendo que la gráfica de 𝑓 posee un extremo relativo en el punto de abscisa 𝑥 =3 y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto 𝑃(0,18) es -3.
  2. Calcule el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función 𝑔(𝑥) =𝑥3 −4𝑥2 −3𝑥 +18 y el eje de abscisas.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=3𝑥2+2𝑎𝑥+𝑏.
    • Si la función tiene un extremo en 𝑥 =3, entonces 𝑓′(3) =0. 𝑓′(3)=0⇔27+6𝑎+𝑏=0.
    • Si la pendiente de la recta tangente en 𝑥 =0 es -3, entonces 𝑓′(0) = −3. 𝑓′(0)=−3⇔𝑏=−3. Por otro lado, si (0,18) es un punto de la función, entonces 𝑓(0) =18. 𝑓(0)=18⇔𝑐=18.
    Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, 27+6𝑎+𝑏=0⇔𝑎=−𝑏+276𝑏=−3←←←←←←←→𝑎=−4. Por tanto, 𝑎 = −4, 𝑏 = −3 y 𝑐 =18.
  2. En primer lugar, hallamos los puntos de corte de la función 𝑔 con el eje 𝑋. 𝑔(𝑥)=0⇔𝑥3−4𝑥2−3𝑥+18=0⇔(𝑥+2)(𝑥−3)2=0⇔{𝑥=−2,𝑥=3. Así que los puntos de corte son ( −2,0) y (3,0).
    Podemos representar el recinto acotado limitado por la gráfica de 𝑔 y el eje 𝑋. Figura Calculamos el área. ∫3−2𝑔(𝑥)𝑑𝑥=∫3−2(𝑥3−4𝑥2−3𝑥+18)𝑑𝑥=[14𝑥4−43𝑥3−32𝑥2+18𝑥]3−2==814−36−272+54−(4+323−6−36)=62512𝑢2.

Ejercicio 4: Junio de 2022

  1. Se considera la función 𝑓(𝑥)={6𝑥−3,si 𝑥≤1,𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2,si 𝑥>1, con 𝑎 y 𝑏 números reales. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓 sea continua y derivable en todo su dominio.
  2. Calcule el área del recinto acotado, limitado por el eje 𝑂𝑋 y la gráfica de la función 𝑔(𝑥) = −2𝑥2 +8𝑥 −6.

Resolución
    • Si 𝑥 ≠1, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)={6,si 𝑥<1,2𝑎𝑥+𝑏,si 𝑥>1.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(6𝑥−3)=3,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2)=𝑎+𝑏+2,𝑓(1)=3. Para que 𝑓 sea continua, ha de verificarse 𝑎+𝑏+2=3⇔𝑎+𝑏=1. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−⁡6=6,𝑓′+(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+⁡(2𝑎𝑥+𝑏)=2𝑎+𝑏. Para que 𝑓 sea derivable, ha de verificarse 2𝑎+𝑏=6.
    Con estas dos condiciones, planteamos el sistema de ecuaciones {𝑎+𝑏=1,2𝑎+𝑏=6. Resolvemos el sistema por reducción. Si restamos las ecuaciones, obtenemos que −𝑎=−5⇔𝑎=5. Sustituyendo en la primera ecuación, 𝑎+𝑏=1⇔𝑏=1−𝑎𝑎=5←←←←←←→𝑏=−4. Por tanto, 𝑎 =5 y 𝑏 = −4.
  2. En primer lugar, hallamos los puntos de corte de la función 𝑔 con el eje 𝑋. 𝑔(𝑥)=0⇔−2𝑥2+8𝑥−6=0⇔𝑥2−4𝑥+3=0⇔{𝑥=1,𝑥=3. Así que los puntos de corte son (1,0) y (3,0).
    Podemos representar el recinto acotado limitado por la gráfica de 𝑔 y el eje 𝑋. Figura Calculamos el área. ∫31𝑔(𝑥)𝑑𝑥=∫31(−2𝑥2+8𝑥−6)𝑑𝑥=[−23𝑥3+4𝑥2−6𝑥]31=−18+36−18−(−23+4−6)=83𝑢2.

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2022

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑎(𝑥+1)2,si −3≤𝑥≤1,𝑏𝑥22+2,si 1<𝑥≤2, con 𝑎 y 𝑏 números reales.

  1. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓 sea continua y derivable.
  2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =2, esboce la gráfica de la función 𝑓 y calcule el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑂𝑋 y las rectas 𝑥 = −2 y 𝑥 =1.

Resolución
    • Si 𝑥 ∈[ −3,2] con 𝑥 ≠1, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)={2𝑎(𝑥+1),si −3≤𝑥<1,𝑏𝑥,si 1<𝑥≤2.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡𝑎(𝑥+1)2=4𝑎,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡(𝑏𝑥22+2)=𝑏2+2,𝑓(1)=4𝑎. Para que 𝑓 sea continua, ha de verificarse 4𝑎=𝑏2+2⇔8𝑎=𝑏+4. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−⁡2𝑎(𝑥+1)=4𝑎,𝑓′+(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+⁡𝑏𝑥=𝑏. Para que 𝑓 sea derivable, ha de verificarse 4𝑎=𝑏.
    Con estas dos condiciones, planteamos el sistema de ecuaciones {8𝑎=𝑏+4,4𝑎=𝑏. Resolvemos el sistema por reducción. Si restamos las ecuaciones, obtenemos que 4𝑎=4⇔𝑎=1. Sustituyendo en la segunda ecuación, 𝑏=4𝑎𝑎=1←←←←←←→𝑏=4. Por tanto, 𝑎 =1 y 𝑏 =4.
  2. Si 𝑎 =1 y 𝑏 =2, por el apartado anterior 𝑓 no es continua en 𝑥 =1. Representamos gráficamente la función. Observamos que la primera rama es una parábola con vértice ( −1,0). Figura Podemos representar gráficamente el recinto acotado limitado por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑋 y las rectas 𝑥 = −2 y 𝑥 =1. Figura Calculamos el área. ∫1−2𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫1−2(𝑥+1)2𝑑𝑥=∫1−2(𝑥2+2𝑥+1)𝑑𝑥=[13𝑥3+𝑥2+𝑥]1−2==13+1+1−(−83+4−2)=3𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2022

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2,si 𝑥≤1,4𝑥+1,si 𝑥>1, con 𝑎 y 𝑏 números reales.

  1. Calcule 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓 sea continua y derivable.
  2. Para 𝑎 = −1 y 𝑏 =1, realice un esbozo de la gráfica de la función 𝑓.
  3. Para 𝑎 = −1 y 𝑏 =1, halle el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de 𝑓, la recta 𝑥 =1 y el eje 𝑂𝑋.

Resolución
    • Si 𝑥 ≠1, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩2𝑎𝑥+𝑏,si 𝑥<1,−4(𝑥+1)2,si 𝑥>1.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2)=𝑎+𝑏+2,lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡4𝑥+1=2,𝑓(1)=𝑎+𝑏+2. Para que 𝑓 sea continua, ha de verificarse 𝑎+𝑏+2=2⇔𝑎+𝑏=0. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(2𝑎𝑥+𝑏)=2𝑎+𝑏,𝑓′+(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+−4(𝑥+1)2=−1. Para que 𝑓 sea derivable, ha de verificarse 2𝑎+𝑏=−1.
    Con estas dos condiciones, planteamos el sistema de ecuaciones {𝑎+𝑏=0,2𝑎+𝑏=−1. Resolvemos el sistema por reducción. Si restamos las ecuaciones, obtenemos que −𝑎=1⇔𝑎=−1. Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, 𝑎+𝑏=0⇔𝑏=−𝑎𝑎=−1←←←←←←←→𝑏=1. Por tanto, 𝑎 = −1 y 𝑏 =1.
  2. Si 𝑎 = −1 y 𝑏 =1, sabemos por el apartado anterior que 𝑓 es continua y derivable. Representamos gráficamente la función. Observamos que la parábola tiene vértice (0,5; 2,25) y corta a los ejes en los puntos ( −1,0) y (0,2). Figura
  3. Podemos representar el recinto acotado limitado por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑋 y la recta 𝑥 =1. Figura Calculamos el área. ∫1−1𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫1−1(−𝑥2+𝑥+2)𝑑𝑥=[−13𝑥3+12𝑥2+2𝑥]1−1=−13+12+2−(13+12−2)=103𝑢2.

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2022

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩4𝑥2+16𝑥+17,si 𝑥<−1,13(10−5𝑥),si −1≤𝑥≤2,32,si 𝑥>2.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de 𝑓.
  2. Represente gráficamente la función 𝑓.
  3. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de 𝑓 y el eje de abscisas entre 𝑥 = −2 y 𝑥 =2.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
    • Si 𝑥 ≠ −1 y 𝑥 ≠2, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩8𝑥+16,si 𝑥<−1,−53,si −1<𝑥<2,0,si 𝑥>2.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 = −1. lím𝑥→−1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−1−⁡(4𝑥2+16𝑥+17)=5,lím𝑥→−1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−1+⁡13(10−5𝑥)=5,𝑓(−1)=5. Observamos que lím𝑥→−1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−1+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(−1). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 = −1. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(−1)=lím𝑥→−1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→−1−⁡(8𝑥+16)=8,𝑓′+(−1)=lím𝑥→−1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→−1+−53=−53. Observamos que 𝑓′−( −1) ≠𝑓′+( −1), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 = −1.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =2. lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−⁡13(10−5𝑥)=0,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡32=32,𝑓(2)=0. Observamos que lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)≠lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)≠𝑓(2). Así que 𝑓 es no continua ni derivable en 𝑥 =2.
    Por tanto, 𝑓 es continua en ℝ ∖{2} y derivable en ℝ ∖{ −1,2}.
  2. Representamos gráficamente la función. Observamos que la primera rama es una parábola con vértice ( −2,1). Figura
  3. Podemos representar el recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y el eje 𝑋 entre 𝑥 = −2 y 𝑥 =2. Figura Calculamos el área del recinto. ∫−1−2(4𝑥2+16𝑥+17)𝑑𝑥+∫2−113(10−5𝑥)𝑑𝑥=[43𝑥3+8𝑥2+17𝑥]−1−2+13[10𝑥−52𝑥2]2−1==−43+8−17−(−323+32−34)+13(20−10−(−10−52))=596𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2022

Se considera la función 𝑓(𝑥) =3𝑥3 −6𝑥2 +5.

  1. Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a 𝑓 que sean paralelas a la recta de ecuación 𝑦 = −3𝑥 +1.
  2. Calcule la función 𝐹 que verifique que 𝐹′(𝑥) =𝑓(𝑥) y 𝐹(2) =4.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=9𝑥2−12𝑥. La recta 𝑦 = −3𝑥 +1 y todas sus paralelas tienen pendiente -3. Por otro lado, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en un punto 𝑎 viene dada por el valor de 𝑓′(𝑎). Hallamos los puntos en los que la pendiente de la recta tangente es -3. 𝑓′(𝑥)=−3⇔9𝑥2−12𝑥=−3⇔3𝑥2−4𝑥+1=0⇔{𝑥=13,𝑥=1.
    • La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =13 es 𝑦−𝑓(13)=𝑓′(13)(𝑥−13)⇔𝑦−409=−3(𝑥−13)⇔𝑦=−3𝑥+499.
    • La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =1 es 𝑦−𝑓(1)=𝑓′(1)(𝑥−1)⇔𝑦−2=−3(𝑥−1)⇔𝑦=−3𝑥+5.
  2. Como 𝑓 es la derivada de 𝐹, entonces 𝐹(𝑥)=∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫(3𝑥3−6𝑥2+5)𝑑𝑥=34𝑥4−2𝑥3+5𝑥+𝐶. Además, 𝐹(2)=4⇔12−16+10+𝐶=4⇔𝐶=−2. Por tanto, la función es 𝐹(𝑥)=34𝑥4−2𝑥3+5𝑥−2.

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2022

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1,si 𝑥≤1,2𝑥,si 𝑥>1, con 𝑎 y 𝑏 números reales.

  1. ¿Para qué valores de 𝑎 y 𝑏 la función es continua y derivable en 𝑥 =1?
  2. Para 𝑎 = −3 y 𝑏 =4, calcule los extremos relativos de 𝑓.
  3. Para 𝑎 = −2 y 𝑏 =3, calcule el valor de la integral ∫3−1𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Resolución
    • Si 𝑥 ≠1, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)={2𝑎𝑥+𝑏,si 𝑥<1,−2𝑥2,si 𝑥>1.
    • Estudiamos la continuidad para 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1)=𝑎+𝑏+1,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡2𝑥=2,𝑓(1)=𝑎+𝑏+1. Para que 𝑓 sea continua en 𝑥 =1, ha de verificarse 𝑎+𝑏+1=2⇔𝑎+𝑏=1. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(2𝑎𝑥+𝑏)=2𝑎+𝑏,𝑓′+(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+−2𝑥2=−2. Para que 𝑓 sea derivable en 𝑥 =1, ha de verificarse 2𝑎+𝑏=−2.
    Con estas dos condiciones, planteamos el sistema de ecuaciones {𝑎+𝑏=1,2𝑎+𝑏=−2. Resolvemos el sistema por reducción. Si restamos las ecuaciones, obtenemos que −𝑎=3⇔𝑎=−3. Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, 𝑎+𝑏=1⇔𝑏=1−𝑎𝑎=−3←←←←←←←→𝑏=4. Por tanto, 𝑎 = −3 y 𝑏 =4.
  2. Si 𝑎 = −3 y 𝑏 =4, por el apartado anterior 𝑓 es continua y derivable en ℝ con 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−3𝑥2+4𝑥+1,si 𝑥<1,2𝑥,si 𝑥≥1y𝑓′(𝑥)={−6𝑥+4,si 𝑥<1,−2𝑥2,si 𝑥≥1. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si 𝑥 <1, 𝑓′(𝑥)=0⇔−6𝑥+4=0⇔𝑥=23.
    • Si 𝑥 ≥1, 𝑓′(𝑥)=−2𝑥2≠0.
    Así que el único punto crítico es 𝑥 =23. Estudiamos el signo de la derivada.
    (−∞,23) (23,+∞)
    signo de 𝑓′ + −
    monotonía de 𝑓 → →
    Por tanto, el punto (23,73) es un máximo relativo.
  3. Si 𝑎 = −2 y 𝑏 =3, 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−2𝑥2+3𝑥+1,si 𝑥<1,2𝑥,si 𝑥≥1. Calculamos la integral. ∫3−1𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫1−1(−2𝑥2+3𝑥+1)𝑑𝑥+∫312𝑥𝑑𝑥=[−23𝑥3+32𝑥2+𝑥]1−1+[2ln⁡(𝑥)]31==−23+32+1−(23+32−1)+2ln⁡(3)=23+2ln⁡(3).

Ejercicio 3: Julio de 2022

  1. Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑏𝑥2 +𝑐𝑥 −1 donde 𝑏 y 𝑐 son números reales. Determine el valor de 𝑏 y 𝑐 para que la función 𝑓 presente un extremo en el punto de abscisa 𝑥 =13 y además la gráfica de la función 𝑓 pase por el punto ( −2, −3).
  2. Dada la función 𝑔(𝑥) = −𝑥3 −𝑥2 +𝑥 +1, realice el esbozo de su gráfica, estudiando los puntos de corte con los ejes coordenados y su monotonía. Determine el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función 𝑔 y el eje de abscisas.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=3𝑥2+2𝑏𝑥+𝑐.
    • Si la función tiene un extremo en 𝑥 =13, entonces 𝑓′(13) =0. 𝑓′(13)=0⇔13+23𝑏+𝑐=0⇔1+2𝑏+3𝑐=0⇔2𝑏+3𝑐=−1.
    • Si la función pasa por el punto ( −2, −3), entonces 𝑓( −2) = −3. 𝑓(−2)=−3⇔−8+4𝑏−2𝑐−1=−3⇔4𝑏−2𝑐=6⇔2𝑏−𝑐=3.
    Planteamos el sistema de ecuaciones {2𝑏+3𝑐=−1,2𝑏−𝑐=3. Resolvemos el sistema por reducción. Si restamos las dos ecuaciones, obtenemos que 4𝑐=−4⇔𝑐=−1. Despejando y sustituyendo en la segunda ecuación, 2𝑏−𝑐=3⇔𝑏=3+𝑐2𝑐=−1←←←←←←←→𝑏=1.
    • Hallamos los puntos de corte de la función 𝑔 con el eje 𝑋, es decir, aquellos puntos con 𝑦 =0. 𝑔(𝑥)=0⇔−𝑥3−𝑥2+𝑥+1=0⇔−(𝑥−1)(𝑥+1)2=0⇔{𝑥=−1,𝑥=1. Luego los puntos de corte con el eje 𝑋 son ( −1,0) y (1,0).
    • Hallamos el punto de corte con el eje 𝑌, es decir, aquel con 𝑥 =0. 𝑔(0)=1. Luego el punto de corte con el eje 𝑌 es (0,1).
    • Estudiamos la monotonía. En primer lugar, calculamos la derivada de la función 𝑔. 𝑔′(𝑥)=−3𝑥2−2𝑥+1. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de la función 𝑔. 𝑔′(𝑥)=0⇔−3𝑥2−2𝑥+1=0⇔{𝑥=−1,𝑥=13. Estudiemos el signo de la derivada.
      ( −∞, −1) (−1,13) (13,+∞)
      signo de 𝑔′ − + −
      monotonía de 𝑔 → → →
      Por tanto, 𝑓 es creciente en (−1,13) y decreciente en ( −∞, −1) ∪(13,+∞). Además, el punto (13,3227) es un máximo relativo y el punto ( −1,0) es un mínimo relativo.
    Representamos gráficamente la función usando esta información. Figura Podemos representar gráficamente el recinto acotado limitado por la gráfica de 𝑔 y el eje 𝑋. Figura Calculamos el área. ∫1−1𝑔(𝑥)𝑑𝑥=∫1−1(−𝑥3−𝑥2+𝑥+1)𝑑𝑥=[−14𝑥4−13𝑥3+12𝑥2+𝑥]1−1==−14−13+12+1−(−14+13+12−1)=43𝑢2.

Ejercicio 3: Junio de 2021

Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −4𝑥2 +4𝑥.

  1. Estudie su monotonía y calcule sus extremos.
  2. Represente gráficamente la función.
  3. Calcule ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
  4. Calcule el área del recinto acotado limitado por la gráfica de 𝑓 y el eje de abscisas.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=3𝑥2−8𝑥+4. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔3𝑥2−8𝑥+4=0⇔{𝑥=23,𝑥=2. Estudiamos el signo de $la derivada.
    (−∞,23) (23,2) (2, +∞)
    signo de 𝑓′ + − +
    monotonía de 𝑓 → → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en (−∞,23) ∪(2, +∞) y decreciente en (23,2). Además, el punto (23,3227) es un máximo relativo y (2,0) es un mínimo relativo.
  2. Representamos gráficamente la función usando la información del apartado anterior. Figura
  3. Calculamos la integral indefinida. ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫(𝑥3−4𝑥2+4𝑥)𝑑𝑥=14𝑥4−43𝑥2+2𝑥2+𝐶.
  4. Podemos representar el recinto acotado limitado por la gráfica de 𝑓 y el eje 𝑋. Figura Calculamos el área. ∫20(𝑥3−4𝑥2+4𝑥)𝑑𝑥=[14𝑥4−43𝑥2+2𝑥2]20=4−323+8=43𝑢2.

Ejercicio 4: Junio de 2021

  1. Calcule la derivada de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=ln⁡(𝑥−1𝑥+1),𝑔(𝑥)=𝑥3𝑒2𝑥2.
  2. Represente gráficamente la parábola ℎ(𝑥) =𝑥2 +𝑥 +1, indicando el vértice y los puntos de corte con los ejes coordenados.
  3. Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de ℎ(𝑥) =𝑥2 +𝑥 +1, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 = −12 y 𝑥 =0.

Resolución
    • En primer lugar, observamos que 𝑓(𝑥)=ln⁡(𝑥−1𝑥+1)=ln⁡(𝑥−1)−ln⁡(𝑥+1). Calculamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=1𝑥−1+1𝑥+1=2𝑥2−1.
    • Calculamos la derivada de la función 𝑔. 𝑔′(𝑥)=3𝑥2⋅𝑒2𝑥2+𝑥3⋅𝑒2𝑥2⋅4𝑥=𝑥2𝑒𝑥2(4𝑥2+3).
    • La parábola tiene vértice (−12,34).
    • Hallamos los puntos de corte con el eje 𝑋, es decir, aquellos puntos con coordenada 𝑦 =0. Observamos que ℎ(𝑥)=𝑥2+𝑥+1≠0, así que la función no corta al eje 𝑋.
    • Hallamos el punto de corte con el eje 𝑌. Observamos que ℎ(0) =1, así que el punto de corte es (0,1).
    Representamos gráficamente la función. Figura
  3. Podemos representar el recinto acotado limitado por la gráfica de ℎ, el eje 𝑋 y las rectas 𝑥 = −12 y 𝑥 =0. Figura Calculamos el área. ∫0−12ℎ(𝑥)𝑑𝑥=∫0−12(𝑥2+𝑥+1)𝑑𝑥=[13𝑥3+12𝑥2+𝑥]0−12=−(−124+18−12)=512𝑢2.

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2021

Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑎𝑥+𝑏,si 𝑥<1,𝑥2−𝑏𝑥+𝑎,si 𝑥≥1.

  1. Halle el valor de 𝑏 para que 𝑓 sea continua en ℝ.
  2. Para 𝑏 =12, halle el valor de 𝑎 para que 𝑓 sea derivable en ℝ.
  3. Para 𝑎 <0 y 𝑏 =12, estudie el crecimiento y halle las abscisas de los extremos de la función 𝑓.
  4. Para 𝑎 =0 y 𝑏 =12, represente la región del plano delimitada por la gráfica de 𝑓, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 =0 y 𝑥 =2. Calcule el área de dicha región.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad.
    • Si 𝑥 ≠1, 𝑓 es continua para cualquier valor de 𝑎 y 𝑏.
    • Estudiamos la continuidad en el punto de ruptura 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(𝑎𝑥+𝑏)=𝑎+𝑏,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡(𝑥2−𝑏𝑥+𝑎)=1−𝑏+𝑎,𝑓(1)=1−𝑏+𝑎. Para que 𝑓 sea continua, ha de verificarse que: lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(1)⇔𝑎+𝑏=1−𝑏+𝑎⇔2𝑏=1⇔𝑏=12.
  2. Estudiamos la derivabilidad.
    • Si 𝑥 ≠1, 𝑓 es derivable para cualquier valor de 𝑎 con: 𝑓′(𝑥)={𝑎,si 𝑥<1,2𝑥−12,si 𝑥>1.
    • Estudiamos la derivabilidad en el punto de ruptura 𝑥 =1. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−⁡𝑎=𝑎,𝑓′+(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+⁡2𝑥−12=32. Para que 𝑓 sea derivable, ha de verificarse que: 𝑓′−(1)=𝑓′+(1)⇔𝑎=32.
  3. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si 𝑥 <1, 𝑓′(𝑥)=𝑎≠0.
    • Si 𝑥 >1, 𝑓′(𝑥)=0⇔2𝑥−12=0⇔𝑥=14∉(1,+∞).
    Así que la función no tiene ningún punto crítico. Consideramos 𝑥 =1 por ser no derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    ( −∞,1) (1, +∞)
    signo de 𝑓′ − +
    monotonía de 𝑓 → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en (1, +∞) y decreciente en ( −∞,1). Además, tiene un mínimo relativo en 𝑥 =1.
  4. Representamos la región. Figura Calculamos el área. ∫1012𝑑𝑥+∫21(𝑥2−12𝑥)𝑑𝑥=[12𝑥]10+[13𝑥3−14𝑥2]21=12+83−1−(13−14)=2512𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2021

La cotización en bolsa de una empresa en un determinado dia viene expresada, en euros, por la función 𝑐(𝑡), con 𝑡 ∈[0,24], medido en horas. La variación instantánea de esta función es la derivada de 𝑐, que viene dada por 𝑐′(𝑡) =0,03𝑡2 −0,9𝑡 +6, con 𝑡 ∈(0,24).

  1. Estudie los intervalos en los que la función 𝑐 es creciente.
  2. Analice los puntos críticos de la función 𝑐, indicando en cuáles se alcanza el máximo y el mínimo relativos.
  3. Halle la expresión analítica de la función 𝑐, sabiendo que la cotización en bolsa de la empresa era de 50 euros en el instante inicial.

Resolución
  1. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑐 a cero. 𝑐′(𝑡)=0⇔0,03𝑡2−0,9𝑡+6=0⇔𝑡2−30𝑡+200=0⇔{𝑡=10,𝑡=20. Estudiamos el signo de la derivada.
    (0,10) (10,20) (20,24)
    signo de 𝑐′ + − +
    monotonía de 𝑐 → → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en (0,10) ∪(20,24).
  2. Los puntos críticos de 𝑐 se encuentran en 𝑡 =10 y 𝑡 =20. El máximo relativo se alcanza en 𝑡 =10 y el mínimo relativo en 𝑡 =20.
  3. En primer lugar, hallamos la función 𝑐 integrando. 𝑐(𝑡)=∫𝑐′(𝑡)𝑑𝑡=∫(0,03𝑡2−0,9𝑡+6)𝑑𝑡=0,01𝑡3−0,45𝑡2+6𝑡+𝐾. Como la cotización al inicio era de 50 euros, ha de verificarse que: 𝑐(0)=50⇔𝐾=50. Por tanto, 𝑐(𝑡)=0,01𝑡3−0,45𝑡2+6𝑡+50.

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2021

Se considera la función 𝑓(𝑥)={(𝑥+1)2,si −2≤𝑥<0,(𝑥−1)2,si 0≤𝑥≤2.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓 en todo su dominio.
  2. Calcule los extremos de la función 𝑓.
  3. Represente el recinto que encierra la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 = −1, 𝑥 =1 y el eje 𝑂𝑋. Calcule el área de dicho recinto.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad.
    • Si 𝑥 ∈[ −2,2] con 𝑥 ≠0, 𝑓 es continua y derivable con: 𝑓′(𝑥)={2(𝑥+1),si −2≤𝑥<0,2(𝑥−1),si 0<𝑥≤2.
    • Estudiamos la continuidad en 𝑥 =0. lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0−⁡(𝑥+1)2=1,lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡(𝑥−1)2=1,𝑓(0)=1. Observamos que: lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(0). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =0. Pasamos a estudiar su derivabilidad. 𝑓′−(0)=lím𝑥→0−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0−⁡2(𝑥+1)=2,𝑓′+(0)=lím𝑥→0+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0+⁡2(𝑥−1)=−2. Como 𝑓′−(0) ≠𝑓′+(0), 𝑓 no es derivable en 𝑥 =0.
    Por tanto, 𝑓 es continua en [ −2,2] y derivable en [ −2,0) ∪(0,2].
  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si −2 ≤𝑥 <0, 𝑓′(𝑥)=0⇔2(𝑥+1)=0⇔𝑥=−1.
    • Si 0 <𝑥 ≤2, 𝑓′(𝑥)=0⇔2(𝑥−1)=0⇔𝑥=1.
    Así que los puntos críticos son 𝑥 = −1 y 𝑥 =1. Consideramos también 𝑥 =0 por no ser derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    ( −2, −1) ( −1,0) (0,1) (1,2)
    signo de 𝑓′ − + − +
    monotonía de 𝑓 → → → →
    Por tanto, los puntos ( −2,1), (0,1) y (2,1) son máximos relativos y los puntos ( −1,0) y (1,0) son mínimos relativos.
  3. Representamos el recinto. Figura Como el recinto es simétrico, podemos calcular su área como: 2∫10(𝑥−1)2𝑑𝑥=2[13(𝑥−1)3]10=2⋅13=23𝑢2.

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2021

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−2𝑥+2𝑎,si −4≤𝑥≤−2,−2𝑥2−4𝑎,si −2<𝑥≤2,−8𝑥+𝑏,si 2<𝑥≤3.

  1. Calcule los valores 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua en su dominio. Para esos valores, ¿es 𝑓 derivable?
  2. Para 𝑎 = −2 y 𝑏 =16, estudie la monotonía de la función 𝑓 y calcule sus extremos relativos y absolutos.
  3. Para 𝑎 = −2 y 𝑏 =16, calcule el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑂𝑋 y las rectas 𝑥 = −2 y 𝑥 =2.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad de 𝑓.
    • Si 𝑥 ∈[ −4,3] con 𝑥 ≠ −2 y 𝑥 ≠2, 𝑓 es continua.
    • Estudiamos su continuidad en 𝑥 = −2. lím𝑥→−2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−2−⁡(−2𝑥+2𝑎)=4+2𝑎,lím𝑥→−2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−2+⁡(−2𝑥2−4𝑎)=−8−4𝑎,𝑓(−2)=4+2𝑎. Para que 𝑓 sea continua en 𝑥 = −2, ha de verificarse que: 4+2𝑎=−8−4𝑎⇔6𝑎=−12⇔𝑎=−2.
    • Estudiamos su continuidad en 𝑥 =2. lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−⁡(−2𝑥2+8)=0,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡(−8𝑥+𝑏)=−16+𝑏,𝑓(2)=0. Para que 𝑓 sea continua en 𝑥 =2, ha de verificarse que: 0=−16+𝑏⇔𝑏=16.
    Por tanto, 𝑓 es continua si 𝑎 = −2 y 𝑏 =16. Estudiamos su derivabilidad para estos valores.
    • Si 𝑥 ∈[ −4,3] con 𝑥 ≠ −2 y 𝑥 ≠2, 𝑓 es derivable con: 𝑓′(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−2,si −4≤𝑥<−2,−4𝑥,si −2<𝑥<2,−8,si 2<𝑥≤3.
    • Estudiamos su derivabilidad en 𝑥 = −2. 𝑓′−(−2)=lím𝑥→−2−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→−2−−2=−2,𝑓′+(−2)=lím𝑥→−2+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→−2+−4𝑥=8. Como 𝑓′−( −2) ≠𝑓′+( −2), 𝑓 no es derivable en 𝑥 = −2.
    • Estudiamos su derivabilidad en 𝑥 =2. 𝑓′−(2)=lím𝑥→2−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2−−4𝑥=−8,𝑓′+(2)=lím𝑥→2+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2+−8=−8. Como 𝑓′−(2) =𝑓′+(2), 𝑓 es derivable en 𝑥 =2.
    Por tanto, 𝑓 es derivable en [ −4, −2) ∪( −2,3].
  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las tres ramas de la derivada a cero.
    • Si −4 <𝑥 < −2, 𝑓′(𝑥) = −2 ≠0.
    • Si −2 <𝑥 <3, 𝑓′(𝑥)=0⇔−4𝑥=0⇔𝑥=0.
    • Si 2 <𝑥 <3, 𝑓′(𝑥) = −8 ≠0.
    Así que el único punto crítico es 𝑥 =0. Consideramos también 𝑥 = −2 por no ser derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    ( −4, −2) ( −2,0) (0,3)
    signo de 𝑓′ − + −
    monotonía de 𝑓 → → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en ( −2,0) y decreciente en ( −4, −2) ∪(0,3). Además, los puntos ( −4,4) y (0,8) son máximos relativos y los puntos ( −2,0) y (3, −8) son mínimos relativos. Así que (0,8) es el máximo absoluto y (3, −8) es el mínimo absoluto.
  3. Podemos representar el recinto. Figura Como el recinto es simétrico, podemos calcular su área como: 2∫20(−2𝑥2+8)𝑑𝑥=2[−23𝑥3+8𝑥]20=2(−163+16)=643𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2021

  1. Calcule la derivada de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=(5𝑥3+4𝑥−2)4ln⁡(2𝑥5−4𝑥3+𝑥),𝑔(𝑥)=𝑒3𝑥2−5𝑥(6𝑥2+2)3.
  2. Halle la función ℎ(𝑥), sabiendo que su derivada es ℎ′(𝑥) =4𝑥3 +𝑥2 −4𝑥 −1 y que ℎ(2) =113.

Resolución
  1. Calculamos las derivadas. 𝑓′(𝑥)=4(5𝑥3+4𝑥−2)3⋅(15𝑥2+4)⋅ln⁡(2𝑥5−4𝑥3+𝑥)+(5𝑥3+4𝑥−2)4⋅10𝑥4−12𝑥2+12𝑥5−4𝑥3+𝑥,𝑔′(𝑥)=𝑒3𝑥2−5𝑥⋅(6𝑥−5)⋅(6𝑥2+2)3−𝑒3𝑥2−5𝑥⋅3(6𝑥2+2)2⋅12𝑥(6𝑥2+2)6=𝑒3𝑥2−5𝑥[(6𝑥−5)(6𝑥2+2)−36𝑥](6𝑥2+2)4==𝑒3𝑥2−5𝑥(36𝑥3−30𝑥2−24𝑥−10)(6𝑥2+2)4.
  2. Como ℎ′ es la derivada de ℎ, entonces: ℎ(𝑥)=∫ℎ′(𝑥)𝑑𝑥=∫(4𝑥3+𝑥2−4𝑥−1)𝑑𝑥=𝑥4+13𝑥3−2𝑥2−𝑥+𝐶. Además, se tiene que verificar que: ℎ(2)=113⇔16+83−8−2+𝐶=113⇔𝐶=−5. Por tanto, la función es: ℎ(𝑥)=𝑥4+13𝑥3−2𝑥2−𝑥−5.

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2021

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩1𝑥,si 𝑥≤−1,−3𝑥2+4,si −1<𝑥<1,2𝑥−1,si 𝑥≥1.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓 en todo su dominio.
  2. Represente gráficamente la función 𝑓.
  3. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función 𝑓, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 =0 y 𝑥 =3.

Ejercicio 3: Julio de 2021

Se considera la función 𝑓(𝑥)={2𝑥+1,si 𝑥<0,𝑥2−2𝑥,si 𝑥≥0.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓 en su dominio.
  2. Estudie la monotonía de la función 𝑓 y calcule el mínimo.
  3. Calcule ∫2−2𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
    • Si 𝑥 ≠0, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)={2𝑥+1ln⁡(2),si 𝑥<0,2𝑥−2,si 𝑥>0.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =0. lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0−⁡2𝑥+1=2,lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡(𝑥2−2𝑥)=0,𝑓(0)=0. Observamos que lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)≠lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)≠𝑓(0). Así que 𝑓 no es continua ni derivable en 𝑥 =0.
    Por tanto, 𝑓 es continua y derivable en ℝ ∖{0}.
  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si 𝑥 <0, 𝑓′(𝑥)=2𝑥+1ln⁡(2)≠0.
    • Si 𝑥 >0, 𝑓′(𝑥)=0⇔2𝑥−2=0⇔𝑥=1.
    Así que el único punto crítico es 𝑥 =1. También consideramos 𝑥 =0 por no ser derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    ( −∞,0) (0,1) (1, +∞)
    signo de 𝑓′ + − +
    monotonía de 𝑓 → → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en ( −∞,0) ∪(1, +∞) y decreciente en (0,1). Además, el punto (1, −1) es un mínimo relativo.
  3. Calculamos la integral. ∫2−2𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫0−22𝑥+1𝑑𝑥+∫20(𝑥2−2𝑥)𝑑𝑥=[2𝑥+1ln⁡(2)]0−2+[13𝑥3−𝑥2]20==2ln⁡(2)−12ln⁡(2)+83−4=32ln⁡(2)−43.

Ejercicio 3: Julio de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥3 +𝑏𝑥 +4, con 𝑎 y 𝑏 números reales.

  1. Determine los valores 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓 tenga un extremo relativo en el punto (2,36).
  2. Para 𝑎 =4 y 𝑏 = −3, estudie la monotonía de 𝑓 y determine sus extremos relativos.
  3. Para 𝑎 =4 y 𝑏 = −3, calcule la función 𝐹(𝑥) que verifica 𝐹′(𝑥) =𝑓(𝑥) y 𝐹(2) =10.

Ejercicio 4: Julio de 2020

  1. Calcule la derivada de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=(−5+𝑥2)2𝑒3𝑥,𝑔(𝑥)=ln⁡(𝑥3−5𝑥)1−𝑥2.
  2. Calcule el área del recinto acotado por la gráfica de ℎ(𝑥) = −𝑥2 +2𝑥 +3 y el eje de abscisas.

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2020

  1. Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +3. Calcule los valores 𝑎 y 𝑏, sabiendo que la gráfica de 𝑓 pasa por el punto (2,3) y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en dicho punto es 𝑚 = −2.
  2. Represente gráficamente la función 𝑔(𝑥) = −𝑥2 +6𝑥 −5 y calcule el área comprendida entre la gráfica de la función 𝑔, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 =2 y 𝑥 =4.

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑎𝑥+12,si 𝑥≤−1,𝑥+1𝑥+3,si −1<𝑥≤1,𝑥2−𝑏𝑥,si 𝑥>1.

  1. Halle 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua en todo su dominio. Para esos valores de 𝑎 y 𝑏, ¿es 𝑓 derivable en 𝑥 = −1? ¿Y en 𝑥 =1?
  2. Para 𝑎 = −1 y 𝑏 =4, estudie la monotonía de la función 𝑓.
  3. Para 𝑎 = −1 y 𝑏 =4, calcule ∫21𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2020

El número de bacterias en un determinado cultivo viene dado por la función 𝐵(𝑡), donde 𝑡 representa el tiempo en horas, con 0 ≤𝑡 ≤7. La variación instantánea en la población de bacterias en el cultivo viene dada por la derivada de la función 𝐵, cuya expresión es 𝐵′(𝑡) =50.000𝑒2𝑡.

  1. ¿Existe algún instante 𝑡 en el que el número de bacterias en el cultivo comience a decrecer?
  2. Obtenga la expresión de la función 𝐵(𝑡), sabiendo que en el instante 𝑡 =0 el número de bacterias en el cultivo era de 40.000.
  3. ¿Cuál es el número de bacterias en el cultivo a la hora y media?

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2020

De una función 𝑓 sabemos que su gráfica pasa por el punto (1,3) y que su derivada es 𝑓′(𝑥) =2𝑥 −6.

  1. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.
  2. Estudie la monotonía y la existencia de extremos de la función 𝑓.
  3. Determine la función 𝑓 y represéntela gráficamente.

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥+1,si 𝑥<−2,𝑥2+𝑎,si 𝑥≥−2.

  1. Calcule el valor de 𝑎 para que 𝑓 sea continua en todo su dominio. Para ese valor de 𝑎, ¿es derivable la función 𝑓?
  2. Para 𝑎 = −6, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =3.
  3. Para 𝑎 = −6, esboce la gráfica de 𝑓 y calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función 𝑓, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 =3 y 𝑥 =5.

Ejercicio 4: Septiembre de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩−𝑥+2,si 𝑥≤2,−𝑥2+6𝑥−8,si 2<𝑥<4,𝑥−3𝑥,si 𝑥≥4.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de 𝑓 en su dominio.
  2. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑓.
  3. Calcule ∫32𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Ejercicio A2: Junio de 2019

Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −9𝑥 +2.

  1. Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función que sean paralelas a la recta 𝑦 =3𝑥 −3.
  2. Estudie la monotonía y la curvatura de la función 𝑓.
  3. Calcule ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2019

Se considera la función 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥, con 𝑥 ≠0, siendo 𝑎 y 𝑏 dos parámetros reales.

  1. Determine el valor de los parámetros 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓(𝑥) tenga un extremo relativo en el punto (1,3).
  2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =2, razone si en el punto (1,3) la función presenta un máximo o un mínimo.
  3. Calcule ∫(𝑥2+2𝑥)𝑑𝑥.

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2019

Se considera la función 𝑓(𝑥) =13𝑥3 −2𝑥2 +3𝑥 +1.

  1. Estudie su monotonía y halle sus extremos relativos.
  2. Determine los intervalos de concavidad y convexidad. Calcule su punto de inflexión.
  3. Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.
  4. Calcule ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Ejercicio B2: Septiembre de 2019

De una cierta función 𝑓, sabemos que su función derivada es 𝑓′(𝑥) =3𝑥2 −3.

  1. Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de 𝑓, y calcule la abscisa de sus extremos relativos.
  2. Determine la curvatura de 𝑓 y halle la abscisa de su punto de inflexión.
  3. Calcule la función 𝑓, sabiendo que su gráfica pasa por el punto ( −1,3).