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📋 Reserva 1 de 2023

Ejercicio 1

  1. Un agricultor vende la producción de tres tipos de uva, Tempranillo, Garnacha y Macabeo, de dos de sus fincas. La matriz 𝑄=(50403506055) recoge la producción, en miles de kilogramos, de estos tipos de uva en cada finca. El precio de venta por kilogramos, en céntimos de euro, según el tipo de uva y la finca, viene dado por la matriz 𝑃=(403842343740). Calcule el producto 𝑄𝑃𝑡 y explique el significado económico de los elementos de la diagonal principal del resultado. Indique también la cantidad total de dinero que ha obtenido el agricultor por la venta de la cosecha de las dos fincas.
  2. Dada la siguiente ecuación matricial 𝑀𝑋 +𝑁 =𝑉:
    1. Suponiendo que 𝑀 sea invertible, despeje la matriz 𝑋 en la ecuación anterior.
    2. Para 𝑀=(1011),𝑁=(5432)y𝑉=(8765), calcule la matriz 𝑋.

Resolución
  1. Calculamos el producto. 𝑄𝑃𝑡=(50403506055)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝403438374240⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=(4.9904.5804.5904.420). Los elementos de la diagonal principal representan el dinero en miles de céntimos ganado por la venta en cada finca. Es decir, en la primera finca consigue 49.900€ y en la segunda 44.200€. La cantidad total de dinero que obtiene es 49.900+44.200=94.100€.
    1. Resolvemos la ecuación matricial suponiendo que 𝑀 es invertible. 𝑀𝑋+𝑁=𝑉⇔𝑀𝑋=𝑉−𝑁⇔𝑋=𝑀−1(𝑉−𝑁).
    2. Comprobemos en primer lugar que la matriz 𝑀 es invertible. Calculamos su determinante. |𝑀|=∣1011∣=1. Como det(𝑀) ≠0, la matriz 𝑀 es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝑀)=(1−101). Ahora podemos calcular su inversa como 𝑀−1=1|𝑀|Adj⁡(𝑀)−1=(10−11). Por último, calculamos la matriz 𝑋 operando. 𝑋=𝑀−1(𝑉−𝑁)=(10−11)⋅((8765)−(5432))=(10−11)(3333)=(3300).

Ejercicio 2

Una empresa de material informático dispone de dos cadenas de fabricación, A y B, en las que quiere aumentar su producción realizando horas extraordinarias. En una hora extraordinaria de trabajo, la cadena A prepara 15 portátiles y 6 tablets, y la cadena B prepara 10 portátiles y 10 tablets. Los costes de producción por hora extraordinaria de A y B son de 300€ y 600€ respectivamente. La cadena B puede realizar, como máximo, el triple de horas extraordinarias que la cadena A. Si para la próxima semana se debe producir adicionalmente un máximo de 360 portátiles y al menos 216 tablets, formule y resuelva el problema que permita obtener la planificación de la empresa que minimice los costes de producción. ¿A cuánto ascienden dichos costes?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de horas extraordinarias de la cadena A la próxima semana e 𝑦 al número de horas extraordinarias de la cadena B. Podemos organizar la información en una tabla.

Portátiles Tablets Costes (€)
Cadena A 15 6 300
Cadena B 10 10 600
Máximo 360 216

Las restricciones del problema son: ⎧{ { { {⎨{ { { {⎩15𝑥+10𝑦≤360,6𝑥+10𝑦≥216,𝑦≤3𝑥,𝑥≥0,𝑦≥0⇔⎧{ { { {⎨{ { { {⎩3𝑥+2𝑦≤72,3𝑥+5𝑦≥108,𝑦≤3𝑥,𝑥≥0,𝑦≥0, La función objetivo a minimizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=300𝑥+600𝑦.

Representamos la región factible. Figura Los vértices son: 𝐴(6,18),𝐵(8,24)y𝐶(16,12).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el mínimo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(6,18)=12.600,𝐹(𝐵)=𝐹(8,24)=16.800,𝐹(𝐶)=𝐹(16,12)=12.000. Por tanto, el valor mínimo de los costes se alcanza realizando 16 horas extraordinarias de la cadena A y 12 de la cadena B, con unos costes de 12.000€.

Ejercicio 3

  1. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada una de las siguientes funciones en el punto de abscisa 𝑥 =0: 𝑓(𝑥)=3𝑥2+5𝑥−2−3𝑥+7,𝑔(𝑥)=ln⁡(13𝑥+1).
  2. Calcule las integrales definidas siguientes: ∫−1−253𝑥4𝑑𝑥,∫0−3𝑒𝑥35𝑑𝑥.

Resolución
    • En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=(6𝑥+5)(−3𝑥+7)+3(3𝑥2+5𝑥−2)(−3𝑥+7)2. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =0 viene dada por: 𝑦−𝑓(0)=𝑓′(0)(𝑥−0)⇔𝑦+27=2949𝑥⇔𝑦=2949𝑥−27.
    • En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑔. 𝑔′(𝑥)=(3𝑥+1)⋅−1(3𝑥+1)2⋅3=−33𝑥+1. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑔 en 𝑥 =0 viene dada por: 𝑦−𝑔(0)=𝑔′(0)(𝑥−0)⇔𝑦=−3𝑥.
    • En primer lugar, hallamos una primitiva de la función. ∫53𝑥4𝑑𝑥=53∫𝑥−4𝑑𝑥=53⋅1−3𝑥−3=−59𝑥3. Calculamos la integral definida. ∫−1−253𝑥4𝑑𝑥=[−59𝑥3]−1−2=−59[1𝑥3]−1−2=−59(−1−1−8)=−59⋅(−78)=3572.
    • En primer lugar, hallamos una primitiva de la función. ∫𝑒𝑥35𝑑𝑥=15∫𝑒𝑥3𝑑𝑥=15⋅3∫13𝑒𝑥3𝑑𝑥=35𝑒𝑥3. Calculamos la integral definida. ∫0−3𝑒𝑥35𝑑𝑥=[35𝑒𝑥3]0−3=35[𝑒𝑥3]0−3=35(1−1𝑒).

Ejercicio 4

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥3+2𝑥2−3,si 𝑥≤1,1+1𝑥−2,si 𝑥>1.

  1. Estudie la continuidad de 𝑓. Si la función no es continua en algún punto, indique el tipo de discontinuidad que presenta.
  2. Estudie la derivabilidad de 𝑓.
  3. Determine las asíntotas de 𝑓.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad de la función 𝑓.
    • Si 𝑥 <1, 𝑓 es continua.
    • Si 𝑥 >1, 𝑓 es continua salvo en 𝑥 =2. Observamos que lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−⁡(1+1𝑥−2)=−∞,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡(1+1𝑥−2)=+∞. Por tanto, en 𝑥 =2 presenta una discontinuidad de salto infinito.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(𝑥2+2𝑥2−3)=0,lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(1+1𝑥−2)=0,𝑓(1)=0. Observamos que lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(1). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =1.
    Por tanto, 𝑓 es continua en ℝ ∖{2}.
  2. Estudiamos la derivabilidad de la función 𝑓.
    • Si 𝑥 ≠1 y 𝑥 ≠2, 𝑓 es derivable con 𝑓′(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩3𝑥2+4𝑥,si 𝑥<1,−1(𝑥−2)2,si 𝑥>1.
    • Estudiamos la derivabilidad para el punto de ruptura 𝑥 =1. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(3𝑥2+4𝑥)=7,𝑓′+(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+−1(𝑥−2)2=−1. Observamos que 𝑓′−(1) ≠𝑓′+(1), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =1.
    Por tanto, 𝑓 es derivable en ℝ ∖{1,2}.
  3. Estudiamos las asíntotas. La primera rama no tiene asíntotas por ser un polinomio, así que nos fijamos en la segunda rama.
    • El denominador se anula en 𝑥 =2 y habíamos visto que lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−⁡(1+1𝑥−2)=−∞,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡(1+1𝑥−2)=+∞. Por tanto, la recta 𝑥 =2 es una asíntota vertical.
    • Veamos si tiene alguna asíntota horizontal por la derecha. lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→+∞⁡(1+1𝑥−2)=1. Por tanto, la recta 𝑦 =1 es una asíntota horizontal por la derecha.

Ejercicio 5

Una empresa de transporte dispone de tres tipos de camiones, A, B y C. El 30% de los transportes son realizados por camiones de tipo A, el 20% por camiones de tipo B y el resto por camiones de tipo C. Se sabe que los transportes tienen una probabilidad de 0,02 de sufrir algún tipo de incidencia si son realizados en camiones de tipo A, de 0,01 si son realizados en camiones de tipo B y de 0,05 si son realizados en camiones de tipo C. Se elige un transporte de esta empresa al azar.

  1. Calcule la probabilidad de que no haya sufrido ningún tipo de incidencia.
  2. Calcule la probabilidad de que lo haya realizado un camión de tipo C si se sabe que sufrió algún tipo de incidencia.
  3. Si además se conoce que el 40% de las incidencias sufridas por los camiones de tipo A fueron debidas a la lluvia, calcule la probabilidad de que el transporte haya sido realizado por un camión de tipo A, haya sufrido una incidencia y también esta sea debida a la lluvia.

Resolución

Llamamos 𝐴 a que un camión de tipo A realice el transporte, 𝐵 a que lo realice uno de tipo B y 𝐶 a que lo realice uno de tipo C. También llamamos 𝐼 a que el transporte sufra una incidencia y 𝐿 a que la incidencia sea debida a la lluvia. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝐼
0,02←←←←←←←←←←←→
𝐴
0,3←←←←←←←←←←→ 0,98←←←←←←←←←←←→
𝐼𝑐
𝐼
0,01←←←←←←←←←←←→
0,2←←←←←←←←←←→ 𝐵
0,99←←←←←←←←←←←→
𝐼𝑐
𝐼
0,5←←←←←←←←←←→ 0,05←←←←←←←←←←←→
𝐶
0,95←←←←←←←←←←←→
𝐼𝑐
  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que el transporte sufra alguna incidencia es: 𝑃(𝐼)=𝑃(𝐼∩𝐴)+𝑃(𝐼∩𝐵)+𝑃(𝐼∩𝐶)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐼|𝐴)+𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐼|𝐵)+𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝐼|𝐶)==0,3⋅0,02+0,2⋅0,01+0,5⋅0,05=0,033. Por tanto, la probabilidad de que el transporte no sufra ninguna incidencia es: 𝑃(𝐼𝑐)=1−𝑃(𝐼)=1−0,033=0,967.
  2. La probabilidad de que el transporte sea realizado por un camión de tipo C sabiendo que ha sufrido una incidencia es: 𝑃(𝐶|𝐼)=𝑃(𝐶∩𝐼)𝑃(𝐼)=𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝐼|𝐶)𝑃(𝐼)=0,5⋅0,050,033≈0,7576.
  3. Sabemos que: 𝑃(𝐿|𝐴∩𝐼)=0,4. La probabilidad de que el transporte haya sido realizado por un camión de tipo A, haya sufrido una incidencia y también sea debida a la lluvia es: 𝑃(𝐿∩𝐼∩𝐴)=𝑃(𝐴∩𝐼)⋅𝑃(𝐿|𝐴∩𝐼)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐼|𝐴)⋅𝑃(𝐿|𝐴∩𝐼)=0,3⋅0,02⋅0,4=0,0024.

Ejercicio 6

Una tienda vende caramelos con sabor a frutas (naranja o limón) y a menta. El 60% son azucarados y de estos el 25% son de limón. De los no azucarados, el 40% son de naranja, el 30% son de limón y el resto de menta. Además, el 40% de todos los caramelos son de naranja. Se escoge un caramelo al azar de esa tienda.

  1. Calcule la probabilidad de que sea de naranja sabiendo que es azucarado.
  2. Razone si es más probable que sea de sabor a frutas o a menta.

Resolución

Llamamos 𝑁 a escoger un caramelo de naranja, 𝐿 a escoger un caramelo de limón, 𝑀 a escoger un caramelo de menta y 𝐴 a escoger un caramelo azucarado. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝑁
𝑝←←←←←←←←←→
𝐴 0,25←←←←←←←←←←←→ 𝐿
0,6←←←←←←←←←←→ 0,75−𝑝←←←←←←←←←←←←←←→
𝑀
𝑁
0,4←←←←←←←←←←→ 0,4←←←←←←←←←←→
𝐴𝑐 0,3←←←←←←←←←←→ 𝐿
0,3←←←←←←←←←←→
𝑀

También sabemos que 𝑃(𝑁) =0,4.

  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad es escoger un caramelo de naranja viene dada por: 𝑃(𝑁)=𝑃(𝑁∩𝐴)+𝑃(𝑁∩𝐴𝑐)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝑁|𝐴)+𝑃(𝐴𝑐)⋅𝑃(𝑁|𝐴𝑐)=0,6⋅𝑝+0,4⋅0,4=0,6𝑝+0,16. Como 𝑃(𝑁) =0,4, 0,4=0,6𝑝+0,16⇔0,6𝑝=0,24⇔𝑝=0,4. Por tanto, la probabilidad de escoger un caramelo de naranja sabiendo que es azucarado es: 𝑃(𝑁|𝐴)=0,4.
  2. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de escoger un caramelo de limón es: 𝑃(𝐿)=𝑃(𝐿∩𝐴)+𝑃(𝐿∩𝐴𝑐)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐿|𝐴)+𝑃(𝐴𝑐)⋅𝑃(𝐿|𝐴𝑐)=0,6⋅0,25+0,4⋅0,3=0,27. Así que la probabilidad de escoger un caramelo de sabor a frutas es: 𝑃(𝑁∪𝐿)=𝑃(𝑁)+𝑃(𝐿)=0,4+0,27=0,67. Por otro lado, como los sucesos 𝑁, 𝐿 y 𝑀 son complementarios, la probabilidad de escoger un caramelo de menta es: 𝑃(𝑀)=1−𝑃(𝑁)−𝑃(𝐿)=1−0,4−0,27=0,33. Por tanto, es más probable escoger un caramelo con sabor a frutas.

Ejercicio 7

  1. Utilizando los números naturales del 1 al 6, ¿cuántas muestras de tamaño 2 pueden formarse aplicando un muestreo aleatorio simple? Si se elige una de estas muestras al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la media de los números obtenidos sea como máximo 2?
  2. Se ha diseñado una encuesta para estimar qué proporción de adolescentes de una zona están suscritos a una determinada red social. ¿Qué tamaño debemos tomar para estimar dicha proporción por un intervalo de confianza al 95% con un error máximo de 0,15?

Resolución
  1. Con los números naturales del 1 al 6 se pueden formar 6 ⋅6 =36 muestras de tamaño 2. La media de los números es menor o igual a 2 en las muestras (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2) y (3,1). Por tanto, la probabilidad es: 𝑝=636=16.
  2. Si el nivel de confianza es del 95%, entonces: 𝛼=1−0,95=0,05⇒1−𝛼2=1−0,052=0,975⇒𝑧𝛼/2=1,96. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=1,96⋅√0,5⋅(1−0,5)𝑛=1,96⋅√0,25𝑛. Si se quiere que el error máximo sea de 0,15, entonces: 1,96⋅√0,25𝑛=0,15⇔√0,25𝑛=0,151,96⇔0,25𝑛=0,1521,962⇔𝑛=0,25⋅1,9620,152≈42,6844. Por tanto, el tamaño mínimo de la nueva muestra debe ser de 43 personas.

Ejercicio 8

El gasto mensual por vivienda en electricidad de los inquilinos de la zona centro de una determinada ciudad sigue una ley Normal con desviacion tipica 18,25€. Se ha tomado una muestra aleatoria de 361 de estas viviendas obteniendo como resultado un gasto medio de 97€.

  1. Obtenga el intervalo de confianza del 93% para el gasto medio mensual en electricidad por vivienda.
  2. ¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener una muestra para que el error cometido al estimar la media, con un nivel de confianza del 91%, sea un tercio del error cometido en el intervalo (95,5;98,5)?

Resolución
  1. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Como el nivel de confianza es del 93%, entonces: 𝛼=1−0,93=0,07⇒1−𝛼2=1−0,072=0,965⇒𝑧𝛼/2=1,815. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar el gasto medio mensual en electricidad por vivienda con un nivel de confianza del 93% es: 𝐼=(97−1,815⋅18,25√361,97+1,815⋅18,25√361)≈(95,2567;98,7434).
  2. En primer lugar, el error cometido en el intervalo (95,5; 98,5) es: 98,5−95,52=32. Por otro lado, si el nivel de confianza es del 91%, entonces: 𝛼=1−0,91=0,09⇒1−𝛼2=1−0,092=0,955⇒𝑧𝛼/2=1,695. El error máximo cometido viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛=1,695⋅18,25√𝑛=30,93375√𝑛. Si se quiere que el error máximo sea un tercio del error cometido en el intervalo dado, entonces: 30,93375√𝑛=13⋅32⇔30,93375√𝑛=12⇔61,8675=√𝑛⇔𝑛=61,86752≈3.827,5876. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 3.828 viviendas.