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Ejercicio 1: Junio de 2025

  1. Plantee y resuelva el siguiente problema de forma matricial: El gerente de una empresa de productos hospitalarios desea introducir un nuevo producto en el mercado nacional. Para ello contrata a 3 vendedores que se han encargado de las zonas A, B y C del país, respectivamente. El vendedor de la zona A ha trabajado 40 horas, ha realizado 10 demostraciones y 5 viajes para dicha promoción. El vendedor de la zona B ha trabajado el doble de horas que el de la zona A, realizando 15 demostraciones y 8 viajes. En cuanto al vendedor de la zona C, ha trabajado 100 horas, ha realizado 25 demostraciones y 10 viajes. El gerente debe abonarles 75€ por hora trabajada, 300€ por demostración y 250€ por viaje realizado. Teniendo en cuenta que, además, debe aplicárseles una retención en concepto del impuesto del IRPF del 15% si la cantidad a abonar al vendedor es menor de diez mil euros y del 18% en caso contrario, determine la cantidad final que cobrará cada vendedor.
  2. Sea 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−2213𝑎−12403⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. ¿Para qué valores de 𝑎 es la matriz 𝐴 invertible?

Resolución
  1. Podemos recoger la información en las matrices: 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝40105801581002510⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝75300250⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
    • La matriz 𝐴 recoge los números de horas trabajadas, demostraciones y viajes por cada vendedor. Las filas indican los vendedores y las columnas las horas trabajadas, demostraciones y viajes, respectivamente.
    • La matriz 𝐵 recoge la cantidad que debe ser abonada por cada hora trabajada, demostración y viaje, respectivamente.
    Así que la cantidad de dinero sin aplicar impuestos que recibe cada vendedor en euros viene dada por el producto: 𝐶=𝐴⋅𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝40105801581002510⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝75300250⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝7.25012.50017.500⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Como la cantidad a abonar a los vendedores de las zonas B y C es superior a 10.000€, la matriz que recoge el porcentaje que cobra cada vendedor al aplicar la retención del IRPF es: 𝐷=(0,850,820,82). Por tanto, la cantidad final que cobra cada vendedor viene dada por la diagonal del producto: 𝐶⋅𝐷=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝7.25012.50017.500⎞⎟ ⎟ ⎟⎠(0,850,820,82)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝6.162,55.9455.94510.62510.25010.25014.87514.35014.350⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Es decir, los vendedores de las zonas A, B y C cobran 6.162,5€, 10.250€ y 14.350€, respectivamente.
  2. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣−2213𝑎−12403∣=−6(𝑎−1)+16−4(𝑎−1)−18=−10𝑎+8. La inversa de 𝐴 existe cuando su determinante es no nulo. |𝐴|=0⇔−10𝑎+8=0⇔10𝑎=8⇔𝑎=45. Por tanto, la matriz es invertible si 𝑎 ≠45.

Ejercicio 1: Reserva 1 de 2023

  1. Un agricultor vende la producción de tres tipos de uva, Tempranillo, Garnacha y Macabeo, de dos de sus fincas. La matriz 𝑄=(50403506055) recoge la producción, en miles de kilogramos, de estos tipos de uva en cada finca. El precio de venta por kilogramos, en céntimos de euro, según el tipo de uva y la finca, viene dado por la matriz 𝑃=(403842343740). Calcule el producto 𝑄𝑃𝑡 y explique el significado económico de los elementos de la diagonal principal del resultado. Indique también la cantidad total de dinero que ha obtenido el agricultor por la venta de la cosecha de las dos fincas.
  2. Dada la siguiente ecuación matricial 𝑀𝑋 +𝑁 =𝑉:
    1. Suponiendo que 𝑀 sea invertible, despeje la matriz 𝑋 en la ecuación anterior.
    2. Para 𝑀=(1011),𝑁=(5432)y𝑉=(8765), calcule la matriz 𝑋.

Resolución
  1. Calculamos el producto. 𝑄𝑃𝑡=(50403506055)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝403438374240⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=(4.9904.5804.5904.420). Los elementos de la diagonal principal representan el dinero en miles de céntimos ganado por la venta en cada finca. Es decir, en la primera finca consigue 49.900€ y en la segunda 44.200€. La cantidad total de dinero que obtiene es 49.900+44.200=94.100€.
    1. Resolvemos la ecuación matricial suponiendo que 𝑀 es invertible. 𝑀𝑋+𝑁=𝑉⇔𝑀𝑋=𝑉−𝑁⇔𝑋=𝑀−1(𝑉−𝑁).
    2. Comprobemos en primer lugar que la matriz 𝑀 es invertible. Calculamos su determinante. |𝑀|=∣1011∣=1. Como det(𝑀) ≠0, la matriz 𝑀 es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝑀)=(1−101). Ahora podemos calcular su inversa como 𝑀−1=1|𝑀|Adj⁡(𝑀)−1=(10−11). Por último, calculamos la matriz 𝑋 operando. 𝑋=𝑀−1(𝑉−𝑁)=(10−11)⋅((8765)−(5432))=(10−11)(3333)=(3300).

Ejercicio 1: Reserva 2 de 2023

Una conservera fabrica latas de pisto con tomate, cebolla y pimiento siguiendo dos recetas distintas. La matriz (500300200600100300) indica los gramos necesarios de cada producto para conseguir una lata de cada receta. Se dispone de dos proveedores, siendo la matriz de precios en euros por kilo de cada producto (0,50,40,60,40,50,7). Los costes de producción de cada receta en euros por lata vienen dados por la matriz (0,110,09). Los costes de transporte en euros por lata según cada proveedor vienen dados por la matriz (0,020,03). La conservera quiere obtener un beneficio de 5 céntimos por lata. Una distribuidora compra 11.000 latas de la primera receta, siendo 5.000 del primer proveedor, y otras 11.000 de la segunda receta, siendo 6.000 del primer proveedor. ¿Cuánto debe cobrar la conservera por el pedido de esta distribuidora?

Resolución

Los costes están divididos en costes de los productos, costes de producción y costes de transporte.

En primer lugar, pasamos la matriz de gramos necesarios por lata a kilogramos. (500300200600100300)→(0,50,30,20,60,10,3). El producto de matrices (0,50,30,20,60,10,3)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝0,50,40,40,50,60,7⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=(0,490,490,520,5) recoge el precio en euros de cada lata por receta y proveedor, donde las filas indican las recetas y las columnas los proveedores. Por otro lado, la matriz que recoge las latas compradas por receta y proveedor es (5.0006.0006.0005.000). Así que los elementos de la diagonal principal del producto (5.0006.0006.0005.000)(0,490,520,490,5)=(5.3905.6005.3905.620) representan el coste de los productos para cada receta. Por tanto, el coste de los productos es 5.390+5.620=11.010€.

Se compran 11.000 latas de cada receta, así que el coste de producción viene dado por el producto de matrices (11.00011.000)(0,110,09)=2.200€.

De igual forma, el coste de transporte viene dado por (11.00011.000)(0,020,03)=550€.

En conclusión, el coste total es 11.010+2.200+550=13.760€. Como se quiere obtener un beneficio de 5 céntimos por lata y se compran 22.000 latas, el beneficio buscado será de 0,05⋅22.000=1.100€. Por tanto, la conservera debe cobrar 13.760+1.100=14.860€.

Ejercicio 1: Septiembre de 2020

Tres institutos piden presupuesto de alojamiento en Roma en dos agencias de viajes, que les dan el precio por noche según tipo de habitación: individual, doble y triple. La primera agencia ofrece los siguientes precios: individual a 65 euros, doble a 85 euros y triple a 104 euros. La segunda agencia oferta la individual a 78 euros, la doble a 83 euros y la triple a 106 euros. El primer instituto necesita tres habitaciones individuales, quince dobles y dos triples, el segundo dos individuales, doce dobles y cinco triples y el tercer instituto una individual, dieciséis dobles y siete triples.

  1. Exprese, mediante una matriz 𝐴, los precios de las dos agencias según tipo de habitación y con otra matriz 𝐷 la demanda de los tres institutos.
  2. Mediante operaciones con las matrices anteriores, calcule el precio por noche que cada agencia facilita a los distintos institutos por el total de habitaciones solicitadas. ¿Qué agencia le interesaría a cada instituto?
  3. ¿Existe la inversa de la matriz D? ¿Y de la matriz A? Justifique las respuestas.

Ejercicio A1: Junio de 2016

Las filas de la matriz 𝑃 indican los respectivos precios de tres artículos, 𝐴1, 𝐴2 y 𝐴3, en dos comercios, 𝐶1 (fila 1) y 𝐶2 (fila 2): 𝑃=(252015232517). Cati desea comprar 2 unidades del artículo 𝐴1, 1 de 𝐴2 y 3 de 𝐴3. Manuel desea comprar 5 unidades de 𝐴1, 1 de 𝐴2 y 1 de 𝐴3. Han dispuesto esas compras en la matriz 𝑄: 𝑄=(213511).

  1. Calcule 𝑃𝑄𝑡 y 𝑄𝑃𝑡 e indique el significado de los elementos de las matrices resultantes.
  2. A la vista de lo obtenido en el apartado anterior, ¿dónde les interesa hacer la compra a cada uno?

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2012

Los alumnos de 2º de Bachillerato organizan una venta de pasteles para el viaje de fin de curso. Venden pasteles grandes, que necesitan 2 huevos, 5 terrones de azúcar y 100 g de harina cada uno, y pasteles pequeños, que necesitan 1 huevo, 3 terrones de azúcar y 80 g de harina cada uno.

  1. Presente en una matriz 𝑀, de dimensión 3 ×2, las cantidades de los elementos necesarios para la elaboración de un pastel grande y uno pequeño.
  2. Si desean fabricar 20 pasteles de una clase y 30 de otra, escriba las dos matrices columna, 𝐴 (20 grandes y 30 pequeños) y 𝐵 (30 grandes y 20 pequeños) que representan este reparto.
  3. Calcule los productos 𝑀𝐴 y 𝑀𝐵 e indique si con 8 docenas de huevos, 200 terrones de azúcar y 5 kg de harina se pueden elaborar 20 pasteles grandes y 30 pequeños. ¿Y 30 grandes y 20 pequeños?

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2012

Una empresa vende tres artículos diferentes A, B y C, cada uno de ellos en dos formatos, grande y normal. En la matriz 𝐹 se indican las cantidades de los tres artículos, en cada uno de los dos formatos, que ha vendido la empresa en un mes. En la matriz 𝐺 se indican las ganancias, en euros, que obtiene la empresa por cada unidad que ha vendido de cada artículo en cada formato. 𝐹=(10015080200250140),𝐺=(685453).

  1. Efectúe los productos 𝐹𝐺 y 𝐹𝐺𝑡.
  2. Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese mes por el total de las unidades vendidas de cada uno de los tres artículos y especifique cuáles son esas ganancias.
  3. Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese mes por el total de las unidades vendidas en cada uno de los formatos, especifique cuáles son esas ganancias y halle la ganancia total.

Ejercicio B1: Septiembre de 2012

Una fábrica produce dos tipos de productos, A y B, que distribuye a tres clientes. En el mes de enero el primer cliente compró 9 unidades de A y 5 de B, el segundo cliente 3 de A y 7 de B, y el tercer cliente 4 de A y 6 de B. En el mes de febrero el primer cliente y el segundo duplicaron las compras del mes anterior, y el tercer cliente compró de cada producto una unidad más de las que compró en enero. En marzo el primer cliente no compró nada, y el segundo y el tercero compraron lo mismo que en febrero.

  1. Para cada mes construya la matriz de dimensión 3 ×2 correspondiente a las compras de ese mes.
  2. Calcule la matriz de compras del trimestre.
  3. Si los precios de los productos A y B son, respectivamente, 80 y 100 euros, calcule lo que factura la fábrica en el primer trimestre, por cada cliente y en total.

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2011

  1. Dadas las matrices 𝑀=(03−110−2),𝑁𝑡=(23−1−110), razone cuáles de las siguientes operaciones tienen sentido y efectúe las que puedan realizarse: 𝑀+𝑁𝑡,𝑀𝑡⋅𝑁,𝑀⋅𝑁.
  2. Un industrial cafetero produce dos tipos de café, natural y descafeinado, en tres modalidades cada uno: A, B y C. Se han anotado en la matriz 𝑃 los pesos, en kg, del café que el industrial produce de cada una de las modalidades de cada tipo, y en la matriz 𝑄 los precios a los que vende el kg de cada producto final: 𝑃=(550400240260200100),𝑄=(2,202,752,503,203,903,60). Efectúe el producto 𝑃 ⋅𝑄𝑡 y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante.