Matemáticas de Selectividad

Las filas de la matriz 𝑃 indican los respectivos precios de tres artículos, 𝐴1, 𝐴2 y 𝐴3, en dos comercios, 𝐶1 (fila 1) y 𝐶2 (fila 2): 𝑃=(252015232517). Cati desea comprar 2 unidades del artículo 𝐴1, 1 de 𝐴2 y 3 de 𝐴3. Manuel desea comprar 5 unidades de 𝐴1, 1 de 𝐴2 y 1 de 𝐴3. Han dispuesto esas compras en la matriz 𝑄: 𝑄=(213511).

1. Calcule 𝑃𝑄𝑡 y 𝑄𝑃𝑡 e indique el significado de los elementos de las matrices resultantes.
2. A la vista de lo obtenido en el apartado anterior, ¿dónde les interesa hacer la compra a cada uno?

1. Calcule los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑏2−𝑥,si 𝑥≤1,𝑎𝑥2−3𝑥+1,si 𝑥>1 sea derivable en el punto de abscisa 𝑥 =1.
2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =2, estudie su monotonía y determine las ecuaciones de sus asíntotas, si existen.

Marta tiene dos trajes rojos, un traje azul y uno blanco. Además, tiene un par de zapatos de color rojo, otro de color azul y dos pares blancos. Si decide aleatoriamente qué ponerse, determine las probabilidades de los siguientes sucesos:

1. Llevar un traje rojo y unos zapatos blancos.
2. No ir toda vestida de blanco.
3. Calzar zapatos azules o blancos.

Se desea estimar la media de una variable aleatoria Normal cuya desviación típica es 2,5. Para ello, se toma una muestra aleatoria, obteniéndose los siguientes datos: 1818,51416,5192020,51718,518.

1. Determine un intervalo de confianza al 96% para la media poblacional.
2. ¿Cuál es el error máximo cometido con esa estimación?
3. Con el mismo nivel de confianza, si queremos que el error máximo sea inferior a 1, ¿qué tamaño muestral mínimo debemos tomar?

Un taller fabrica y vende dos tipos de alfombras, de seda y de lana. Para la elaboración de una unidad se necesita un trabajo manual de 2 horas para el primer tipo y de 3 horas para el segundo y de un trabajo de máquina de 2 horas para el primer tipo y de 1 hora para el segundo. Por cuestiones laborales y de planificación, se dispone de hasta 600 horas al mes para el trabajo manual y de hasta 480 horas al mes para el destinado a la máquina. Si el beneficio por unidad para cada tipo de alfombra es de 150€ y 100€, respectivamente, ¿cuántas alfombras de cada tipo debe elaborar para obtener el máximo beneficio? ¿A cuánto asciende el mismo?

La cantidad, 𝐶, que una entidad bancaria dedica a créditos depende de su liquidez, 𝑥, según la función 𝐶(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩150+5𝑥100,si 10≤𝑥≤50,200+10𝑥25+3𝑥,si 𝑥>50, donde 𝐶 y 𝑥 están expresadas en miles de euros.

1. Justifique que 𝐶 es una función continua.
2. ¿A partir de qué liquidez decrece la cantidad dedicada a créditos? ¿Cuál es el valor máximo de 𝐶?
3. Calcule la asíntota horizontal e interprétela en el contexto del problema.

En una encuesta sobre la nacionalidad de los veraneantes en un municipio de la costa andaluza, se ha observado que el 40% de los encuestados son españoles y el 60% extranjeros, que el 30% de los españoles y el 80% de los extranjeros residen en un hotel y el resto en otro tipo de residencia. Se elige al azar un veraneante del municipio.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que no resida en un hotel?
2. Si no reside en un hotel, ¿cuál es la probabilidad de que sea español?
3. ¿Son independientes los sucesos "ser extranjero" y "residir en un hotel"?

El peso de los habitantes de una determinada ciudad sigue una ley Normal de media 65 kg y desviación típica 8 kg.

1. ¿Qué distribución sigue la media de los pesos de las muestras de habitantes de tamaño 64 extraídas de esa ciudad?
2. Si se extrae una muestra aleatoria de tamaño 100 de esa ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que el peso medio de esa muestra esté comprendido entre 64 y 65 kg?