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Ejercicio 6: Junio de 2025

El tiempo de estudio semanal de los estudiantes andaluces, medido en horas, se distribuye según una ley Normal de media desconocida y desviación típica 5 horas. A partir de una muestra de 81 estudiantes se ha obtenido que el intervalo de confianza para la media poblacional es (10,794; 13,206), con un nivel de confianza del 97%.

  1. Obtenga el tiempo medio de estudio de esa muestra de estudiantes.
  2. Si se amplía el tamaño de la muestra, razone si manteniendo el nivel de confianza, la amplitud del intervalo de confianza aumenta o disminuye.
  3. Si se desea reducir la amplitud del intervalo de confianza, razone si manteniendo el tamaño muestral, ha de reducirse o aumentarse el nivel de confianza.
  4. Si la media de la población es de 10,2 horas y sabiendo que la media muestral es de 12 horas, calcule el tamaño máximo de la muestra para obtener un intervalo de confianza que contenga la media poblacional, manteniendo el 97% de confianza.

Resolución
  1. La media muestral viene dada por el punto medio del intervalo. ¯𝑥=10,704+13,2062=12.
  2. La amplitud del intervalo disminuye al aumentar el tamaño de la muestra, porque el error máximo cometido se reduce.
  3. El nivel de confianza debe reducirse para disminuir la amplitud del intervalo, porque el error máximo cometido se reduce.
  4. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: 𝑃(𝑍≤𝑧𝛼/2)=1+0,972=0,985⇔𝑧𝛼/2=2,17. Así que el intervalo de confianza para estimar la media de la población con un nivel de confianza del 97% es: 𝐼=(12−2,17⋅5√𝑛,12+2,17⋅5√𝑛)=(12−10,85√𝑛,12+10,85√𝑛). Para que el intervalo contenga a la media poblacional 𝜇 =10,2, ha de verificarse: 12−10,85√𝑛=10,2⇔10,85√𝑛=1,8⇔√𝑛=10,851,8⇔𝑛=10,8521,82≈36,3341. Por tanto, el tamaño máximo de la muestra debe ser de 36 estudiantes.

Ejercicio 7: Junio de 2025

Los desajustes sobre el horario previsto de llegada de los trenes de alta velocidad, medidos en minutos, siguen una ley Normal con media 0 y desviación típica 2,2.

  1. Calcule el porcentaje de trenes que tienen un desajuste máximo de un minuto.
  2. Elegidos al azar 15 trenes de alta velocidad, los desajustes han sido: 01,3−2,1−1,520,852,1−31,83,14−0,71,6−5,4.
    1. Calcule un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 96%, para la media poblacional. ¿Cuál es el error máximo que se comete en la estimación de esta media? Con ese nivel de confianza y a partir de los datos obtenidos, ¿puede afirmarse que un tren tenga un retraso de 2 minutos?
    2. Con un nivel de confianza del 98%, ¿cuántos trenes de alta velocidad deberían elegirse, como mínimo, para que la diferencia entre la media poblacional y su estimación muestral sea como máximo de 1,1 minutos?

Resolución
  1. El desajuste sobre el horario previsto 𝑋 sigue una distribución 𝑁(0; 2,2). La probabilidad de que un tren tenga un desajuste máximo de 1 minuto es: 𝑃(−1≤𝑋≤1)=𝑃(−12,2≤𝑍≤12,2)=𝑃(−0,45≤𝑍≤0,45)=𝑃(𝑍≤0,45)−𝑃(𝑍≤−0,45)==𝑃(𝑍≤0,45)−(1−𝑃(𝑍≤0,45))=2𝑃(𝑍≤0,45)−1=2⋅0,6736−1=0,3472. Por tanto, el porcentaje de trenes que tienen un desajuste máximo de 1 minuto es el 34,72%.
    1. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Calculamos la media muestral. ――𝑥=0+1,3−2,1−1,5+2+0,8+5+2,1−3+1,8+3,1+4−0,7+1,6−5,415=0,6. Como el nivel de confianza es del 96%, entonces: 𝛼=1−0,96=0,04⇒1−𝛼2=1−0,042=0,98⇒𝑧𝛼/2=2,055. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar el desajuste medio en minutos de los trenes con un nivel de confianza del 96% es: 𝐼=(0,6−2,055⋅2,2√15,0,6+2,055⋅2,2√15)≈(−0,5673;1,7673). El error máximo cometido con esta estimación viene dado por: 𝐸=1,7673−(−0,5673)2=1,1673. Como 2 no pertenece al intervalo de confianza, no puede afirmarse que un tren tenga un retraso de 2 minutos.
    2. Si el nivel de confianza es del 98%, entonces: 𝛼=1−0,98=0,02⇒1−𝛼2=1−0,022=0,99⇒𝑧𝛼/2=2,325. El error máximo cometido viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛=2,325⋅2,2√𝑛=5,115√𝑛. Para que el error máximo no sea superior a 1,1, ha de verificarse que: 𝐸=1,1⇔5,115√𝑛=1,1⇔√𝑛=4,65⇔𝑛=21,6225. Por tanto, el numero mínimo de trenes de la muestra debe ser 22.

Ejercicio 6: Reserva 1 de 2025

El tiempo que tardan los usuarios de un sistema de salud en conseguir una cita en Atención Primaria sigue una distribución Normal con media desconocida y desviación típica 4,2 días.

  1. Elegidos al azar 30 usuarios, se obtiene que el tiempo medio que tardan en obtener cita en Atención Primaria es de 11,3 días. Determine un intervalo de confianza para estimar la media poblacional, con un nivel de confianza del 97%. La gerencia del sistema de salud asegura que el promedio de días para obtener una cita en Atención Primaria es de 9,8 días. Según el intervalo obtenido ¿podría asumirse la afirmación de la gerencia como posible?
  2. ¿Cuántos usuarios como mínimo se deberían seleccionar en una nueva muestra para que, con un nivel de confianza del 95%, el error máximo en el intervalo de la media poblacional sea de 0,6 días.

Ejercicio 7: Reserva 1 de 2025

Se desea estimar la proporción de personas de una determinada localidad que se muestran favorables a la celebración de las fiestas locales durante el mes de mayo. Para ello, se ha tomado una muestra aleatoria de 200 personas resultando que 130 de ellas están a favor.

  1. Obtenga un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 96,5%, para estimar la proporción de personas de esta localidad que está a favor de celebrar las fiestas locales durante el mes de mayo.
  2. Manteniendo la misma proporción muestral y con un nivel de confianza del 99%, ¿cuál es el número mínimo de personas que deberán seleccionarse aleatoriamente para que la proporción muestral y la poblacional no difieran en más de un 2%?
  3. Manteniendo el tamaño de la muestra y la proporción muestral, si se aumenta el nivel de confianza, razone cómo influye en el error máximo de estimación.

Ejercicio 7: Reserva 2 de 2025

En un invernadero de Palos de la Frontera (Huelva), se cultivan fresas y frambuesas. Se desea estimar la proporción de fresas y frambuesas que se recolectan. Para ello, se ha tomado una muestra aleatoria de 300 kg, obteniéndose que 180 kg de ellos son fresas y el resto frambuesas.

  1. Obtenga, con un nivel de confianza del 97%, un intervalo para estimar la proporción de fresas recolectadas en el invernadero y otro intervalo para estimar la proporción de frambuesas recolectadas.
  2. Con las proporciones muestrales iniciales y con un nivel de confianza del 95%, ¿cuántos kilogramos de frutos deberían seleccionarse aleatoriamente como mínimo para que las proporciones muestrales difieran de las proporciones poblacionales a lo sumo en un 2%?

Ejercicio 6: Reserva 3 de 2025

Una industria conservera envasa latas de anchoas cuyo peso en gramos sigue una distribución Normal con media poblacional desconocida y desviación típica 1 g. Para estimar la media poblacional, se selecciona al azar una muestra de 30 latas que dan un peso total de 2.404,5 g.

  1. Determine un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 99%, para estimar el peso medio de las latas envasadas por la conservera.
  2. Calcule el tamaño mínimo de una nueva muestra para que, manteniendo el mismo nivel de confianza, el error máximo de estimación de la media poblacional sea menor que 0,3 g.
  3. Explique, razonadamente, el efecto que tendría sobre el error máximo de estimación un aumento del número de latas seleccionadas en la muestra, manteniendo el mismo nivel de confianza, y explique también qué ocurriría con dicho error si se aumentara el nivel de confianza manteniendo el mismo tamaño muestral.

Ejercicio 7: Reserva 3 de 2025

  1. Dada la población { −4, −2,1,4,6}, calcule la varianza de la distribución de las medias muestrales de tamaño 2 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple.
  2. Una empresa multinacional con 10.000 empleados desea realizar un estudio sobre la brecha salarial de género en su organización. La empresa está dividida en tres niveles jerárquicos, en los que se tiene 1.000 empleados de nivel ejecutivo, siendo el 30% mujeres, 3.000 empleados de nivel medio, de los cuales el 55% son hombres, y el resto empleados de nivel operativo, de los que el 55% son mujeres. Se quiere seleccionar una muestra estratificada de 2.000 empleados, manteniendo la proporción de cada nivel jerárquico y la distribución de género dentro de cada nivel. ¿Cuántos empleados deben seleccionarse en cada nivel jerárquico? Y dentro de cada uno, ¿cuántos hombres y cuántas mujeres deben seleccionarse?

Ejercicio 6: Reserva 4 de 2025

Se selecciona una muestra aleatoria de 600 familias a las que se les pregunta si tienen mascota, resultando que 240 de esas familias contestaron afirmativamente. Con un nivel de confianza del 95%,

  1. Obtenga el correspondiente intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional de familias que tienen mascota. ¿Puede suponerse que la mitad de las familias de esta población tiene mascota?
  2. ¿Qué tamaño muestral mínimo se debe tomar para que el error máximo al estimar esta proporción sea 0,025?
  3. Explique razonadamente el efecto que tendría sobre la amplitud del intervalo de confianza de la proporción poblacional el aumento del tamaño de la muestra elegida.

Ejercicio 7: Reserva 4 de 2025

Se ha realizado un estudio para analizar el peso, en kilogramos, de las mochilas de los estudiantes de ESO de los institutos de una localidad. Para ello, se seleccionó una muestra aleatoria de 13 mochilas, obteniéndose los siguientes datos: 4,55,34,95,25,55,55,74,85,64,74,25,84,6. El peso de las mochilas se distribuye según una ley Normal de desviación típica 0,9 kg y media desconocida.

  1. Halle un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 98,5%, para estimar el peso medio de las mochilas escolares.
  2. Para el mismo nivel de confianza, ¿qué tamaño muestral mínimo se debería tomar para que el error cometido al estimar el peso medio de estas mochilas sea inferior al 10%?
  3. El peso medio de las mochilas de los estudiantes de ESO de esa localidad es de 4,9 kg y tomando una muestra aleatoria de 36 mochilas, ¿qué distribución sigue la variable que mide el peso medio de estas 36 mochilas? ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio no supere los 5,2 kg?

Ejercicio 6: Julio de 2025

A partir de un estudio muestral se sabe que, con un nivel de confianza del 95%, la proporción de estudiantes de una universidad que tienen carnet de conducir pertenece al intervalo (0,5616; 0,7184).

  1. Calcule la proporción muestral de estudiantes que tienen carnet de conducir.
  2. Calcule el error máximo cometido en la estimación de la proporción poblacional.
  3. Calcule el tamaño de la muestra seleccionada.
  4. Razone qué efecto producirá sobre la amplitud del intervalo un aumento del tamaño muestral.

Resolución
  1. La proporción muestral viene dada por el punto medio del intervalo. 𝑝=0,5616+0,71842=0,64.
  2. El error cometido viene dado por la mitad de la amplitud del intervalo. 𝐸=0,7184−0,56162=0,0784.
  3. Como el nivel de confianza es del 95%, entonces: 𝛼=1−0,95=0,05⇒1−𝛼2=1−0,052=0,975⇒𝑧𝛼/2=1,96. El error máximo cometido viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛. Despejando en la ecuación, podemos calcular el tamaño de la muestra como: 𝑛=𝑧2𝛼/2⋅𝑝⋅(1−𝑝)𝐸2=1,962⋅0,64⋅(1−0,64)0,07842=144.
  4. La amplitud del intervalo disminuye al aumentar el tamaño de la muestra, porque el error máximo cometido se reduce.

Ejercicio 7: Julio de 2025

El tiempo de adaptación a la guardería, en días, de los menores de dos años andaluces, sigue una distribución Normal de media 10,5 días y desviación típica 1,5 días.

  1. Se toma una muestra aleatoria de 25 menores de estas características. ¿Qué distribución sigue la media muestral del tiempo de adaptación? ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de adaptación de esta muestra supere los 10 días?
  2. ¿Qué porcentaje de muestras de tamaño 25 nos proporcionará un tiempo medio de adaptación entre 8 y 11 días?

Resolución
  1. La distribución de la media muestral ――𝑋 sigue una normal 𝑁(𝜇,𝜎√𝑛) con 𝜇 =10,5, 𝜎 =1,5 y 𝑛 =25. Es decir, ――𝑋∼𝑁(10,5;1,5√25)=𝑁(10,5;0,3). La probabilidad de que el tiempo medio de adaptación de esta muestra supere los 10 días es: 𝑃(――𝑋>10)=𝑃(𝑍>10−10,50,3)=𝑃(𝑍>−1,67)=𝑃(𝑍<1,67)=0,9525.
  2. La probabilidad de que el tiempo medio de adaptación esté entre 8 y 11 días es: 𝑃(8<――𝑋<11)=𝑃(8−10,50,3<𝑍<11−10,50,3)=𝑃(−8,33<𝑍<1,67)==𝑃(𝑍<1,67)−𝑃(𝑍<−8,33)=0,9525. Por tanto, el porcentaje de muestras de tamaño 25 que presenta un tiempo medio de adaptación entre 8 y 11 días es el 95,25%.

Ejercicio 7: Junio de 2024

  1. Se realizan dos muestreos aleatorios estratificados con afijación proporcional para una población dividida en cuatro estratos 𝐸1, 𝐸2, 𝐸3 y 𝐸4. En la primera muestra se han seleccionado 25 individuos de 𝐸1 y 30 de 𝐸2. En la segunda muestra se han seleccionado 80 individuos de 𝐸3 y 100 de 𝐸4. Sabiendo que el estrato 𝐸1 tiene 500 individuos y que el 𝐸3 tiene 400, determine el tamaño de cada estrato de la población y el tamaño de las muestras en cada estrato.
  2. Dada la población { −3, −1,2,5,7}, se consideran todas las muestras posibles de tamaño 2 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple. Calcule la media y la varianza de la distribución de las medias muestrales.

Resolución
  1. Podemos organizar los datos en una tabla.
    Muestra 1 Muestra 2 Población
    𝐸1 25 𝑐 500
    𝐸2 30 𝑑 𝑥
    𝐸3 𝑎 80 400
    𝐸4 𝑏 100 𝑦
    Como se usa afijación proporcional, 50025=𝑥30⇔𝑥=600,40080=𝑦100⇔𝑦=500. Como el estrato 𝐸1 tiene el mismo número de individuos que el estrato 𝐸4, 𝑏 =25 y 𝑐 =100. Además, 50025=400𝑎⇔𝑎=20,40080=600𝑑⇔𝑑=120. Por tanto:
    • La población está compuesta por 500 individuos de 𝐸1, 600 de 𝐸2, 400 de 𝐸3 y 500 de 𝐸4.
    • La primera muestra está compuesta por 25 de 𝐸1, 30 de 𝐸2, 20 de 𝐸3 y 25 de 𝐸4.
    • La segunda muestra está compuesta por 100 de 𝐸1, 120 de 𝐸2, 80 de 𝐸3 y 100 de 𝐸4.
  2. Hallamos la media 𝜇 y la varianza 𝜎2 de la población. 𝜇=−3−1+2+5+75=2,𝜎2=(−3−2)2+(−1−2)2+(2−2)2+(5−2)2+(7−2)25=13,6. Por tanto, la distribución de medias muestrales de tamaño 2 tiene media 𝜇 =5 y varianza 𝜎22=13,62=6,8.

Ejercicio 8: Junio de 2024

Se desea conocer la proporción de habitantes de una determinada ciudad que realizan turismo sostenible durante sus vacaciones. Para ello se selecciona al azar una muestra de 2.500 habitantes, resultando que 1.825 realizan turismo sostenible.

  1. Calcule un intervalo, con un nivel de confianza del 95%, para estimar la proporción de habitantes de la ciudad que realizan turismo sostenible.
  2. Para un nivel de confianza del 97% y manteniendo la proporción muestral, ¿cuál sería el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea inferior al 1%?
  3. Razone qué efecto producirá sobre la amplitud del intervalo una disminución del tamaño de la muestra.

Resolución
  1. Como 1.825 habitantes de 𝑛 =2.500 realizan turismo sostenible, la proporción muestral es: 𝑝=1.8252.500=0,73. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 95%, entonces: 𝛼=1−0,95=0,05⇒1−𝛼2=1−0,052=0,975⇒𝑧𝛼/2=1,96. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de habitantes que realizan turismo sostenible con un nivel de confianza del 95% es: 𝐼=(0,73−1,96⋅√0,73⋅(1−0,73)2.500,0,73+1,96⋅√0,73⋅(1−0,73)2.500)≈(0,7126;0,7474).
  2. Si el nivel de confianza es del 97%, entonces: 𝛼=1−0,97=0,03⇒1−𝛼2=1−0,032=0,985⇒𝑧𝛼/2=2,17. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=2,17⋅√0,73⋅(1−0,73)𝑛=2,17⋅√0,1971𝑛. Si se quiere el error sea inferior a 0,01, entonces: 2,17⋅√0,1971𝑛=0,01⇔√0,1971𝑛=0,012,17⇔0,1971𝑛=0,0122,172⇔𝑛=0,1971⋅2,1720,012=9.281,2419. Por tanto, el número mínimo de personas de la muestra debe ser 9.282.
  3. La amplitud del intervalo aumenta al reducir el tamaño de la muestra, porque el error máximo cometido se incrementa.

Ejercicio 7: Reserva 1 de 2024

Se ha administrado un determinado medicamento a una muestra de 220 enfermos de una población que padece una cierta enfermedad y se ha observado una respuesta positiva en 165 de ellos.

  1. Estime, mediante un intervalo de confianza del 97,5%, la proporción de enfermos que responderían positivamente si este medicamento se administrase a la población de la que se ha extraído la muestra. Según el intervalo obtenido, razone si puede admitirse que el porcentaje de enfermos que responderían positivamente al medicamento administrado es del 70%.
  2. Con el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea menor que el 2,5%?

Resolución
  1. Como 165 enfermos de 𝑛 =220 ha tenido una respuesta positiva al medicamento, la proporción muestral es: 𝑝=165220=0,75. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 97,5%, entonces: 𝛼=1−0,975=0,025⇒1−𝛼2=1−0,0252=0,9875⇒𝑧𝛼/2=2,24. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de enfermos que responden positivamente al medicamento con un nivel de confianza del 97,5% es: 𝐼=(0,75−2,24⋅√0,75⋅(1−0,75)220,0,75+2,24⋅√0,75⋅(1−0,75)220)≈(0,6846;0,8154). Como 0,7 pertenece al intervalo de confianza, puede admitirse como proporción poblacional.
  2. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=2,24⋅√0,75⋅(1−0,75)𝑛=2,24⋅√0,1875√𝑛. Si se quiere que el error sea menor que 0,025, entonces: 2,24⋅√0,1875√𝑛=0,025⇔√𝑛=2,24⋅√0,18750,025⇔𝑛=2,242⋅0,18750,0252=1.505,28. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 1.506 enfermos.

Ejercicio 8: Reserva 1 de 2024

Un atleta obtiene los siguientes tiempos, en minutos, de 10 repeticiones cronometradas de una prueba: 2,713,843,262,282,863,083,072,462,542,58. Por experiencias anteriores se sabe que el tiempo en cada repetición sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica 0,36 minutos.

  1. Calcule un intervalo de confianza para el tiempo medio de estas repeticiones con un 93,5% de confianza.
  2. ¿Cuántas repeticiones como mínimo se tendrán que cronometrar si se quiere obtener un error en la estimación del tiempo medio inferior a 0,05 minutos manteniendo el mismo nivel de confianza?

Resolución
  1. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Calculamos la media muestral. ――𝑥=2,71+3,84+3,26+2,28+2,86+3,08+3,07+2,46+2,54+2,5810=2,868. Como el nivel de confianza es del 93,5%, entonces: 𝛼=1−0,935=0,065⇒1−𝛼2=1−0,0652=0,9675⇒𝑧𝛼/2=1,845. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar el tiempo medio en minutos de las repeticiones con un nivel de confianza del 93,5% es: 𝐼=(2,868−1,845⋅0,36√10,2,868+1,845⋅0,36√10)≈(2,6580;3,0780).
  2. El error máximo cometido viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛=1,845⋅0,36√𝑛=0,6642√𝑛. Si se quiere que el error máximo sea inferior a 0,05, entonces: 0,6642√𝑛=0,05⇔√𝑛=0,66420,05⇔𝑛=0,664220,052≈176,4647. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 177 repeticiones.

Ejercicio 7: Reserva 2 de 2024

Una tienda decide evaluar a su empresa de transporte para determinar si está cumpliendo con sus estándares de calidad. Para ello, se analizan 400 de sus envíos y se comprueba que 370 han sido entregados a tiempo.

  1. Si los estándares de calidad de dicha empresa requieren que al menos el 88% de los envíos sean entregados a tiempo, estime, mediante un intervalo de confianza al 93%, si la empresa de transporte cumple con los estándares de calidad.
  2. Si se mantiene la misma proporción muestral y se aumenta el nivel de confianza al 95%, ¿cuántos envíos, como mínimo, habrá que analizar para que la amplitud del intervalo de confianza sea inferior a 0,03?

Resolución
  1. Como 370 envíos de 𝑛 =400 han sido entregados a tiempo, la proporción muestral es: 𝑝=370400=0,925. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 93%, entonces: 𝛼=1−0,93=0,07⇒1−𝛼2=1−0,072=0,965⇒𝑧𝛼/2=1,815. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de envíos que han sido entregados a tiempo con un nivel de confianza del 93% es: 𝐼=(0,925−1,815⋅√0,925⋅(1−0,925)400,0,925+1,815⋅√0,925⋅(1−0,925)400)≈(0,9011;0,9489). Como el intervalo de confianza solo abarca valores mayores que 0,88, se puede admitir que la empresa cumple con los estándares de calidad.
  2. Si el nivel de confianza es del 95%, entonces: 𝛼=1−0,95=0,05⇒1−𝛼2=1−0,052=0,975⇒𝑧𝛼/2=1,96. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=1,96⋅√0,925⋅(1−0,925)𝑛=1,96⋅√0,069375𝑛. El error máximo cometido en un intervalo de confianza es la mitad de su amplitud, así que se quiere que el error sea inferior a 0,015. Entonces: 1,96⋅√0,069375𝑛=0,015⇔√0,069375𝑛=0,0151,96⇔0,069375𝑛=0,01521,962⇔⇔𝑛=0,069375⋅1,9620,0152≈1.184,4933. Por tanto, el número mínimo de envíos de la muestra debe ser 1.185.

Ejercicio 8: Reserva 2 de 2024

  1. El tiempo que un carpintero necesita para fabricar una mesa sigue una distribución Normal de media 60 minutos y desviación típica de 30 minutos. Si en un mes ese carpintero ha fabricado 100 mesas, calcule la probabilidad de que el tiempo medio de fabricación de las mesas de esa muestra sea superior a 54 minutos.
  2. El tiempo que un carpintero necesita para fabricar una puerta sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica de 20 minutos. En un mes ese carpintero ha fabricado 25 puertas, obteniendo un tiempo medio de fabricación de 40 minutos. Halle un intervalo de confianza para el tiempo medio de fabricación de una puerta con un nivel de confianza del 97%. Determine el error máximo cometido al realizar la estimación.

Resolución
  1. La distribución de las medias muestrales ――𝑋 sigue una distribución normal 𝑁(𝜇,𝜎√𝑛) con 𝜇 =60, 𝜎 =30 y 𝑛 =100. Es decir, ――𝑋 ∼𝑁(60,3). La probabilidad de que el tiempo medio de fabricación de las mesas de esa muestra sea superior a 54 minutos es: 𝑃(――𝑋>54)=𝑃(𝑍>54−603)=𝑃(𝑍>−2)=𝑃(𝑍<2)=0,9772.
  2. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: 𝛼=1−0,97=0,03⇒1−𝛼2=1−0,032=0,985⇒𝑧𝛼/2=2,17. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar el tiempo medio de fabricación de una puerta con un nivel de confianza del 97% es: 𝐼=(40−2,17⋅20√25,40+2,17⋅20√25)=(31,32;48,68). El error máximo cometido es: 𝐸=48,68−31,322=8,68.

Ejercicio 7: Reserva 3 de 2024

  1. Para estimar la proporción de mujeres matriculadas en carreras STEM en Andalucía, se realiza una encuesta a 2.000 universitarias andaluzas elegidas al azar y se obtiene que 710 de ellas están matriculadas en carreras STEM. Con un nivel de confianza del 96,5%, calcule un intervalo de confianza para estimar la proporción de mujeres matriculadas en carreras STEM en Andalucía.
  2. En otra comunidad autónoma, al seleccionar una muestra de universitarias, se observa que el porcentaje de mujeres matriculadas en carreras STEM es del 37%. Con un nivel de confianza del 98%, calcule el tamaño mínimo de esa nueva muestra para que el error máximo cometido sea del 1,5%.

Resolución
  1. Como 710 universitarias de 𝑛 =2.000 están matriculadas en carreras STEM, la proporción muestral es: 𝑝=7102.000=0,355. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 96,5%, entonces: 𝛼=1−0,965=0,035⇒1−𝛼2=1−0,0352=0,9825⇒𝑧𝛼/2=2,11. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de universitarias que están matriculadas en carreras STEM con un nivel de confianza del 96,5% es: 𝐼=(0,355−2,11⋅√0,355⋅(1−0,355)2.000,0,355+2,11⋅√0,355⋅(1−0,355)2.000)≈(0,3324;0,3776).
  2. La proporción muestral es 𝑝 =0,37. Si además el nivel de confianza es del 98%, entonces: 𝛼=1−0,90=0,02⇒1−𝛼2=1−0,022=0,99⇒𝑧𝛼/2=2,33. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=2,33⋅√0,37⋅(1−0,37)𝑛=2,33⋅√0,2331𝑛. Si se quiere el error máximo sea de 0,015, entonces: 2,33⋅√0,2331𝑛=0,015⇔√0,2331𝑛=0,0152,33⇔0,2331𝑛=0,01522,332⇔𝑛=0,2331⋅2,3320,0152=5.624,3404. Por tanto, el número mínimo de personas de la muestra debe ser 5.625.

Ejercicio 8: Reserva 3 de 2024

La cuota mensual de las hipotecas en una ciudad es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica igual a 140€.

  1. Se toma una muestra aleatoria de hipotecas en dicha ciudad y se obtiene que el intervalo de confianza al 95% para la media de las cuotas mensuales es (517,65; 551,95). Calcule el valor de la media muestral y el tamaño de la muestra elegida.
  2. Escogida otra muestra de 78 hipotecas en esa ciudad y con un nivel de confianza del 97%, calcule el error máximo cometido para estimar la cuota mensual media.
  3. Si en otra ciudad la cuota mensual de las hipotecas sigue una distribución Normal de media 540€ y desviación típica de 150€, calcule la probabilidad de que la cuota de una hipoteca elegida al azar en dicha ciudad esté comprendida entre 600 y 700 euros.

Resolución
  1. En primer lugar, la media muestral viene dada por el punto medio del intervalo. ――𝑥=517,65+551,952=534,8. Por otro lado, el error cometido viene dado por la mitad de la amplitud del intervalo. 𝐸=551,95−517,652=17,15. Como el nivel de confianza es del 95%, entonces: 𝛼=1−0,95=0,05⇒1−𝛼2=1−0,052=0,975⇒𝑧𝛼/2=1,96. El error máximo cometido viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛=1,96⋅140√𝑛=274,4√𝑛. Como el error cometido es 17,15, se tiene que verificar: 274,4√𝑛=17,15⇔√𝑛=274,417,15⇔𝑛=(274,417,15)2=256. Por tanto, el tamaño de la muestra es 256.
  2. Si el nivel de confianza es del 97%, entonces 𝛼=1−0,97=0,03⇒1−𝛼2=1−0,032=0,985⇒𝑧𝛼/2=2,17. El error máximo cometido viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛=2,17⋅140√78≈34,3986.
  3. La cuota mensual de las hipotecas 𝑋 sigue una distribución 𝑁(540,150). La probabilidad de que la cuota de una hipoteca esté comprendida entre 600 y 700 euros es: 𝑃(600≤𝑋≤700)=𝑃(600−540150≤𝑍≤700−540150)=𝑃(0,4<𝑍<1,07)==𝑃(𝑍<1,07)−𝑃(𝑍<0,4)=0,8577−0,6554=0,2023.

Ejercicio 7: Reserva 4 de 2024

En un invernadero de Almería se realiza un estudio sobre dos de sus productos, melones y sandías.

  1. De los 4.000 melones recolectados en un determinado periodo, 1.420 son de la variedad A, 980 de la B, 720 de la C y el resto de la D. Si se selecciona una muestra de 200 de estos melones, ¿cuál debe ser la composición que debe tener dicha muestra si se realiza mediante muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional?
  2. El peso de las sandías sigue una distribución Normal de media 3,85 kg y desviación típica 1,32 kg. Se selecciona, de forma aleatoria, una muestra de 121 sandías.
    1. Indique la distribución que sigue la media muestral del peso de las sandías.
    2. Calcule la probabilidad de que el peso medio de la muestra esté comprendido entre 3,6 kg y 4 kg.

Resolución
  1. Llamamos 𝑥 al número de melones en la muestra de la variedad A, 𝑦 al de la variedad B, 𝑧 al de la variedad C y 𝑡 al de la variedad D. Como se usa afijación proporcional, 4.000200=1.420𝑥=980𝑦=720𝑧=880𝑡. Despejamos estos valores. 4.000200=1.420𝑥⇔𝑥=200⋅1.4204.000=71,4.000200=980𝑦⇔𝑦=200⋅9804.000=49,4.000200=7200𝑧⇔𝑧=200⋅72004.000=36,4.000200=880𝑡⇔𝑡=200⋅8804.000=44. Por tanto, para la muestra se seleccionan 71 melones de la variedad A, 49 de la variedad B, 36 de la variedad C y 44 de la variedad D.
    1. La distribución de la media muestral ――𝑋 sigue una normal 𝑁(𝜇,𝜎√𝑛) con 𝜇 =3,85, 𝜎 =1,32 y 𝑛 =121. Por tanto, ――𝑋 ∼𝑁(3,85; 0,12).
    2. Calculamos la probabilidad. 𝑃(3,6<――𝑋<4)=𝑃(3,6−3,850,12<𝑍<4−3,850,12)=𝑃(−2,08<𝑍<1,25)==𝑃(𝑍<1,25)−𝑃(𝑍<−2,08)=𝑃(𝑍<1,25)−(1−𝑃(𝑍<2,08))==𝑃(𝑍<1,25)+𝑃(𝑍<2,08)−1=0,8944+0,9812−1=0,8756.

Ejercicio 8: Reserva 4 de 2024

Una empresa farmacéutica desea revisar la efectividad de un nuevo medicamento antipirético (reduce la fiebre). Se conoce que el tiempo en el que este medicamento comienza a hacer efecto sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica de 5 minutos. Para estimar la media poblacional, se ha seleccionado una muestra aleatoria de 10 individuos con fiebre y tras administrarse el medicamento, se han anotado los tiempos en los que comienza a remitir. Los tiempos obtenidos, en minutos, fueron: 20253035352020253030.

  1. Determine un intervalo, con un nivel de confianza del 98%, para estimar el tiempo medio de respuesta de este medicamento. Según el intervalo obtenido, razone si puede admitirse que el tiempo medio en el que el medicamento comienza a hacer efecto es superior a 35 minutos.
  2. Un estudio posterior ha revelado que el tiempo de respuesta a este medicamento sigue una ley Normal de media 27,2 minutos y desviación típica de 5 minutos. Determine la probabilidad de que a un paciente con fiebre que ha ingerido el medicamento no le haya hecho efecto hasta pasados 20 minutos.

Resolución
  1. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Calculamos la media muestral. ――𝑥=20+25+30+35+35+20+20+25+30+3010=27010=27. Como el nivel de confianza es del 98%, entonces: 𝛼=1−0,98=0,02⇒1−𝛼2=1−0,022=0,99⇒𝑧𝛼/2=2,325. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar el tiempo medio de respuesta del medicamento con un nivel de confianza del 98% es: 𝐼=(27−2,325⋅5√10,27+2,325⋅5√10)=(23,3239;30,6761).
  2. Llamamos 𝑋 ∼𝑁(27,2; 5) a la distribución del tiempo de respuesta al medicamento. La probabilidad de que a un paciente no le haya hecho efecto el medicamento hasta pasados 20 minutos es: 𝑃(𝑋>20)=𝑃(𝑍>20−27,55)=𝑃(𝑍>−1,5)=𝑃(𝑍<1,5)=0,9332.

Ejercicio 7: Julio de 2024

La altura de un cierto tipo de plantas de maíz sigue una distribución Normal de media 145 cm y desviación típica 22 cm.

  1. ¿Qué porcentaje de plantas tiene una altura comprendida entre 135 cm y 155 cm?
  2. ¿Qué altura, como mínimo, debe tener una planta para estar entre el 50% de las más altas?
  3. Se selecciona una muestra aleatoria de 16 plantas. Halle la probabilidad de que la altura media de las plantas de esta muestra esté comprendida entre 140 cm y 151 cm.

Resolución

Llamamos 𝑋 ∼𝑁(145,22) a la distribución de la altura de las plantas.

  1. Calculamos la probabilidad de que la altura esté entre 135 cm y 155 cm. 𝑃(135≤𝑋≤155)=𝑃(135−14522≤𝑍≤155−14522)=𝑃(−511≤𝑍≤511)==𝑃(𝑍≤511)−𝑃(𝑍≤−511)=𝑃(𝑍≤511)−(1−𝑃(𝑍≤511))=2𝑃(𝑍≤511)−1≈0,3472. Así que un 34,72% de las plantas tiene una altura comprendida entre 135 cm y 155 cm.
  2. Como la altura de las plantas sigue una distribución normal, el centro de la distribución se encuentra en la media. Por tanto, una planta debe tener al menos una altura de 145 cm para estar entre el 50% de las más altas.
  3. La distribución de las medias muestrales ――𝑋 sigue una normal 𝑁(𝜇,𝜎√𝑛) con 𝜇 =145, 𝜎 =22 y 𝑛 =16. Es decir, ――𝑋 ∼𝑁(145; 5,5). Calculamos la probabilidad. 𝑃(140≤――𝑋≤151)=𝑃(140−1455,5≤𝑍≤151−1455,5)=𝑃(−1011≤𝑍≤1211)==𝑃(𝑍≤1211)−𝑃(𝑍≤−1011)=𝑃(𝑍≤1211)−(1−𝑃(𝑍≤1011))≈0,6807.

Ejercicio 8: Julio de 2024

Se desea estimar la proporción de personas que viajan en tren con su mascota. Para ello, se selecciona una muestra aleatoria de 300 viajeros, obteniéndose que 12 de ellos viajan con su mascota.

  1. Obtenga un intervalo, con un nivel de confianza del 97%, para estimar la proporción de personas que viajan en tren con su mascota.
  2. Manteniendo la misma proporción muestral y con un nivel de confianza del 95%, ¿cuántas personas que viajan en tren deberán seleccionarse aleatoriamente como mínimo para que la proporción muestral difiera de la proporción poblacional a lo sumo en un 2%?

Resolución
  1. Como 12 personas de 𝑛 =300 viajan con su mascota, la proporción muestral es: 𝑝=12300=0,04. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: 𝛼=1−0,97=0,03⇒1−𝛼2=1−0,032=0,985⇒𝑧𝛼/2=2,17. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de personas que viajan con su mascota con un nivel de confianza del 97% es: 𝐼=(0,04−2,17⋅√0,04⋅(1−0,04)300,0,04+2,17⋅√0,04⋅(1−0,04)300)≈(0,0154;0,0646).
  2. Si el nivel de confianza es del 95%, entonces: 𝛼=1−0,95=0,05⇒1−𝛼2=1−0,052=0,975⇒𝑧𝛼/2=1,96. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=1,96⋅√0,04⋅(1−0,04)𝑛=1,96⋅√0,0384𝑛. Si se quiere el error no sea mayor que 0,02, entonces: 1,96⋅√0,0384𝑛=0,02⇔√0,0384𝑛=0,021,96⇔0,0384𝑛=0,0221,962⇔𝑛=0,0384⋅1,9620,022=368,7936. Por tanto, el número mínimo de viajeros de la muestra debe ser 369.

Ejercicio 7: Junio de 2023

  1. Una población está dividida en cuatro estratos de 250, 300, 400 y 350 individuos. Realizado un muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional se han seleccionado 20 individuos del primer estrato. Determine el tamaño de la población, el tamaño de la muestra y el número de individuos seleccionados de los tres restantes estratos.
  2. En un centro de enseñanza la calificación media de los estudiantes fue de 6,4 puntos con una desviación típica de 0,7 puntos. Se seleccionó aleatoriamente una muestra de 49 estudiantes.
    1. Indique la distribución que sigue la media de las muestras de tamaño 49.
    2. Calcule la probabilidad de que la media de las calificaciones de los estudiantes de una de esas muestras esté comprendida entre 6,3 y 6,8 puntos.

Resolución
  1. El tamaño de la población es 250+300+400+350=1.300. Llamamos 𝑥 al número de individuos en la muestra del segundo estrato, 𝑦 en la muestra del tercer estrato y 𝑧 en la muestra del cuarto estrato. Como se usa afijación proporcional y se seleccionan 20 individuos del primer estrato, 25020=300𝑥=400𝑦=350𝑧. Despejamos estos valores. 25020=300𝑥⇔𝑥=20⋅300250=24,25020=400𝑦⇔𝑦=20⋅400250=32,25020=350𝑧⇔𝑧=20⋅350250=28. Por tanto, se seleccionan 24 individuos del segundo estrato, 32 del tercer estrato y 28 del cuarto estrato. Así que el tamaño de la muestra es 20+24+32+28=104.
    1. La distribución de las medias muestrales ――𝑋 sigue una normal 𝑁(𝜇,𝜎√𝑛) con 𝜇 =6,4, 𝜎 =0,7 y 𝑛 =49. Es decir, ――𝑋 ∼𝑁(6,4;0,1).
    2. Calculamos la probabilidad. 𝑃(6,3≤――𝑋≤6,8)=𝑃(6,3−6,40,1≤𝑍≤6,8−6,40,1)=𝑃(−1≤𝑍≤4)=𝑃(𝑍≤4)−𝑃(𝑍≤−1)==𝑃(𝑍≤4)−(1−𝑃(𝑍≤1))≈0,8413.

Ejercicio 8: Junio de 2023

Se desea estimar la proporción de donantes de sangre en una universidad. Para ello se toma una muestra aleatoria de 400 personas de esa universidad, resultando que 64 son donantes de sangre.

  1. Calcule un intervalo de confianza, con un nivel del 98%, para estimar la proporción poblacional de donantes de sangre.
  2. Si el nivel de confianza es del 95%, calcule el error máximo cometido. Razone si este error será mayor o menor al disminuir el nivel de confianza.

Resolución
  1. Como 64 personas de 𝑛 =400 son donantes de sangre, la proporción muestral es: 𝑝=64400=0,16. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 98%, entonces: 𝛼=1−0,98=0,02⇒1−𝛼2=1−0,022=0,99⇒𝑧𝛼/2=2,325. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional de donantes de sangre con un nivel de confianza del 98% es: 𝐼=(0,16−2,325⋅√0,16⋅(1−0,16)400,0,16+2,325⋅√0,16⋅(1−0,16)400)≈(0,1174;0,2026).
  2. Si el nivel de confianza es del 95%, entonces: 𝛼=1−0,95=0,05⇒1−𝛼2=1−0,052=0,975⇒𝑧𝛼/2=1,96. Por tanto, el error máximo cometido es: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=1,96⋅√0,16⋅(1−0,16)400≈0,0359. El error máximo cometido disminuye al reducir el nivel de confianza, porque el intervalo tiene una menor amplitud.

Ejercicio 7: Reserva 1 de 2023

  1. Utilizando los números naturales del 1 al 6, ¿cuántas muestras de tamaño 2 pueden formarse aplicando un muestreo aleatorio simple? Si se elige una de estas muestras al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la media de los números obtenidos sea como máximo 2?
  2. Se ha diseñado una encuesta para estimar qué proporción de adolescentes de una zona están suscritos a una determinada red social. ¿Qué tamaño debemos tomar para estimar dicha proporción por un intervalo de confianza al 95% con un error máximo de 0,15?

Resolución
  1. Con los números naturales del 1 al 6 se pueden formar 6 ⋅6 =36 muestras de tamaño 2. La media de los números es menor o igual a 2 en las muestras (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2) y (3,1). Por tanto, la probabilidad es: 𝑝=636=16.
  2. Si el nivel de confianza es del 95%, entonces: 𝛼=1−0,95=0,05⇒1−𝛼2=1−0,052=0,975⇒𝑧𝛼/2=1,96. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=1,96⋅√0,5⋅(1−0,5)𝑛=1,96⋅√0,25𝑛. Si se quiere que el error máximo sea de 0,15, entonces: 1,96⋅√0,25𝑛=0,15⇔√0,25𝑛=0,151,96⇔0,25𝑛=0,1521,962⇔𝑛=0,25⋅1,9620,152≈42,6844. Por tanto, el tamaño mínimo de la nueva muestra debe ser de 43 personas.

Ejercicio 8: Reserva 1 de 2023

El gasto mensual por vivienda en electricidad de los inquilinos de la zona centro de una determinada ciudad sigue una ley Normal con desviacion tipica 18,25€. Se ha tomado una muestra aleatoria de 361 de estas viviendas obteniendo como resultado un gasto medio de 97€.

  1. Obtenga el intervalo de confianza del 93% para el gasto medio mensual en electricidad por vivienda.
  2. ¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener una muestra para que el error cometido al estimar la media, con un nivel de confianza del 91%, sea un tercio del error cometido en el intervalo (95,5;98,5)?

Resolución
  1. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Como el nivel de confianza es del 93%, entonces: 𝛼=1−0,93=0,07⇒1−𝛼2=1−0,072=0,965⇒𝑧𝛼/2=1,815. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar el gasto medio mensual en electricidad por vivienda con un nivel de confianza del 93% es: 𝐼=(97−1,815⋅18,25√361,97+1,815⋅18,25√361)≈(95,2567;98,7434).
  2. En primer lugar, el error cometido en el intervalo (95,5; 98,5) es: 98,5−95,52=32. Por otro lado, si el nivel de confianza es del 91%, entonces: 𝛼=1−0,91=0,09⇒1−𝛼2=1−0,092=0,955⇒𝑧𝛼/2=1,695. El error máximo cometido viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛=1,695⋅18,25√𝑛=30,93375√𝑛. Si se quiere que el error máximo sea un tercio del error cometido en el intervalo dado, entonces: 30,93375√𝑛=13⋅32⇔30,93375√𝑛=12⇔61,8675=√𝑛⇔𝑛=61,86752≈3.827,5876. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 3.828 viviendas.

Ejercicio 7: Reserva 2 de 2023

Se sabe que la vida útil en meses de una batería de coche sigue una distribución Normal de media desconocida y varianza 8 meses2. Se seleccionan al azar 100 clientes que habían comprado una de estas baterías y se les pregunta cuándo las reemplazaron, obteniéndose una media de 4 años y 2 meses.

  1. Determine, con un nivel de confianza del 94%, un intervalo de confianza para estimar la vida media de estas baterías.
  2. Manteniendo el mismo nivel de confianza, determine el tamaño muestral mínimo que debe tomarse para que el error cometido al estimar la vida media de estas baterías sea menor que 0,1 meses.

Resolución
  1. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Como el nivel de confianza es del 94%, entonces: 𝛼=1−0,94=0,06⇒1−𝛼2=1−0,062=0,97⇒𝑧𝛼/2=1,885. Además, la media muestral es de 4 años y 2 meses, es decir, de 50 meses. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la vida media de las baterías con un nivel de confianza del 94% es: 𝐼=(50−1,885⋅√8√100,50+1,885⋅√8√100)≈(49,4668;50,5332).
  2. El error máximo cometido viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛=1,885⋅√8√𝑛=1,885√8√𝑛. Si se quiere que el error máximo sea menor que 0,1, entonces: 1,885√8√𝑛=0,1⇔√𝑛=1,885√80,1⇔𝑛=1,8852⋅80,12≈2.842,58. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 2.843 personas.

Ejercicio 8: Reserva 2 de 2023

El tiempo de adaptación al uso de unas gafas progresivas depende de la persona, de la graduación de las lentes y del tipo de progresivo elegido. No obstante, se sabe que el tiempo de adaptación sigue una ley Normal de media 12,5 días y desviación típica 2,5 días.

  1. Si se toma una muestra aleatoria de 16 individuos que han comenzado a utilizar este tipo de gafas, ¿qué distribución sigue la media muestral del tiempo de adaptación? ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de adaptación a las gafas progresivas para dicha muestra supere los 12 días?
  2. Si la muestra elegida es de tamaño 25, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio muestral de adaptación a las gafas progresivas diste de 12 días a lo sumo 1 día?

Resolución
  1. La distribución de la media muestral ――𝑋 sigue una normal 𝑁(𝜇,𝜎√𝑛) con 𝜇 =12,5, 𝜎 =2,5 y 𝑛 =16. Es decir, ――𝑋∼𝑁(12,5;0,625). La probabilidad de que el tiempo medio de adaptación para la muestra supere los 12 días es 𝑃(――𝑋>12)=𝑃(𝑍>12−12,50,625)=𝑃(𝑍>−0,8)=𝑃(𝑍≤0,8)=0,7881.
  2. Si la muestra es de tamaño 25, la distribución de la media muestral verifica ――𝑋∼𝑁(12,5;2,5√5)=𝑁(12,5;0,5). La probabilidad de que el tiempo medio de adaptación para la muestra diste de 12 días a lo sumo 1 es 𝑃(11≤――𝑋≤13)=𝑃(11−12,50,5≤𝑍≤13−12,50,5)=𝑃(−3≤𝑍≤1)=𝑃(𝑍≤1)−𝑃(𝑍≤−3)==𝑃(𝑍≤1)−(1−𝑃(𝑍≤3))≈0,84.

Ejercicio 7: Reserva 3 de 2023

El peso de la gamba roja de Garrucha, en gramos, sigue una distribución Normal de media poblacional desconocida y desviación típica 5 gramos.

  1. Se elige una muestra aleatoria de 100 gambas obteniéndose una media de 53 gramos. Calcule un intervalo de confianza al 97,5% para estimar el peso medio de la gamba roja.
  2. Sabiendo que la media poblacional es 53 gramos y escogiendo una muestra aleatoria de 64 gambas, calcule la probabilidad de que el peso medio de la muestra sea superior a 53,25 gramos.

Resolución
  1. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Como el nivel de confianza es del 97,5%, entonces: 𝛼=1−0,975=0,025⇒1−𝛼2=1−0,0252=0,9875⇒𝑧𝛼/2=2,24. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar el peso medio de la gamba roja en gramos con un nivel de confianza del 97,5% es: 𝐼=(53−2,24⋅5√100,53+2,24⋅5√100)=(51,88;54,12).
  2. La distribución de las medias muestrales ――𝑋 sigue una normal 𝑁(𝜇,𝜎√𝑛) con 𝜇 =53, 𝜎 =5 y 𝑛 =64. Es decir, ――𝑋 ∼𝑁(53; 0,625). La probabilidad de que el peso medio de la muestra sea superior a 53,25 es: 𝑃(――𝑋>53,25)=𝑃(𝑍>53,25−530,625)=𝑃(𝑍>0,4)=1−𝑃(𝑍≤0,4)=0,3446.

Ejercicio 8: Reserva 3 de 2023

Se desea estimar la proporcion de clientes de una compañía de seguros que han requerido el servicio de asistencia en carretera. Para ello, se ha recogido una muestra aleatoria de 300 asegurados resultando que 90 han requerido este servicio.

  1. Obtenga un intervalo de confianza al 97% para estimar la proporción de asegurados que han solicitado este servicio.
  2. Con la proporción muestral facilitada y con un nivel de confianza del 95%, ¿cuál es el número mínimo de asegurados que se deberán seleccionar aleatoriamente para que la proporción muestral y la poblacional no difieran en más de un 3%?

Resolución
  1. Como 90 asegurados de 𝑛 =300 han requerido el servicio de asistencia en carretera, la proporción muestral es: 𝑝=90300=0,3. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: 𝛼=1−0,97=0,03⇒1−𝛼2=1−0,032=0,985⇒𝑧𝛼/2=2,17. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de asegurados que ha solicitado el servicio con un nivel de confianza del 97% es: 𝐼=(0,3−2,17⋅√0,3⋅(1−0,3)300,0,3+2,17⋅√0,3⋅(1−0,3)300)≈(0,2426;0,3574).
  2. Si el nivel de confianza es del 95%, entonces: 𝛼=1−0,95=0,05⇒1−𝛼2=1−0,052=0,975⇒𝑧𝛼/2=1,96. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=1,96⋅√0,3⋅(1−0,3)𝑛=1,96⋅√0,21𝑛. Si se quiere el error no sea mayor que 0,03, entonces: 1,96⋅√0,21𝑛=0,03⇔√0,21𝑛=0,031,96⇔0,21𝑛=0,0321,962⇔𝑛=0,21⋅1,9620,032≈896,3733. Por tanto, el número mínimo de asegurados de la muestra debe ser 897.

Ejercicio 7: Reserva 4 de 2023

Una empresa fabrica piezas cuyo diámetro sigue una distribución Normal de media desconocida y varianza 9 mm2.

  1. Se seleccionan al azar 144 piezas obteniéndose un diámetro medio de 81 mm. Determine un intervalo de confianza al 98,5% para estimar el diámetro medio de las piezas fabricadas por la empresa.
  2. Con el mismo nivel de confianza del apartado anterior, ¿de qué tamaño mínimo habría que tomar la muestra para obtener un intervalo de confianza con una amplitud máxima de 0,9?
  3. Suponiendo que la media poblacional es de 80,4 mm y tomando muestras aleatorias de 64 piezas, ¿qué distribución de probabilidad sigue la variable aleatoria diámetro medio muestral? ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro medio muestral esté comprendido entre 79,5 mm y 80,7 mm?

Resolución
  1. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Como el nivel de confianza es del 98,5%, entonces: 𝛼=1−0,985=0,015⇒1−𝛼2=1−0,0152=0,9925⇒𝑧𝛼/2=2,43. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar el diámetro medio de las piezas con un nivel de confianza del 98,5% es: 𝐼=(81−2,43⋅√9√144,81+2,43⋅√9√144)≈(80,3925;81,6075).
  2. El error máximo cometido viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛=2,43⋅√9√𝑛=7,29√𝑛. Si se quiere que el intervalo de confianza tenga una amplitud máxima de 0,9, 𝐸=0,92=0,45. Así que: 7,29√𝑛=0,45⇔√𝑛=7,290,45⇔𝑛=7,2920,452=262,44. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 263 piezas.
  3. La distribución del diámetro medio muestral ――𝑋 sigue una normal 𝑁(𝜇,𝜎√𝑛) con 𝜇 =80,4, 𝜎 =√9 =3 y 𝑛 =64. Es decir, ――𝑋 ∼𝑁(80,4; 0,375). La probabilidad de que el diámetro medio muestral esté comprendido entre 79,5 mm y 80,7 mm es: 𝑃(79,5≤――𝑋≤80,7)=𝑃(79,5−80,40,375≤𝑍≤80,7−80,40,375)=𝑃(−2,4≤𝑍≤0,8)==𝑃(𝑍≤0,8)−𝑃(𝑍≤−2,4)=𝑃(𝑍≤0,8)−(1−𝑃(𝑍≤2,4))≈0,7799.

Ejercicio 8: Reserva 4 de 2023

Se selecciona una muestra aleatoria de 300 habitantes de una ciudad, a los que se les pregunta si creen que llevan una dieta saludable. De las personas encuestadas, 180 han contestado afirmativamente, mientras que el resto ha respondido que no.

  1. Calcule un intervalo de confianza al 95% para la proporción de personas que creen seguir una dieta saludable.
  2. ¿Cuál sería el número de habitantes mínimo necesario en este estudio de opinión para que se reduzca a un tercio del error cometido en el intervalo (0,54; 0,66) con el mismo nivel de confianza?

Resolución
  1. Como 180 personas de 𝑛 =300 creen que siguen una media saludable, la proporción muestral es: 𝑝=180300=0,6. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 95%, entonces: 𝛼=1−0,95=0,05⇒1−𝛼2=1−0,052=0,975⇒𝑧𝛼/2=1,96. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional de personas que creen seguir una dieta saludable con un nivel de confianza del 95% es: 𝐼=(0,6−1,96⋅√0,6⋅(1−0,6)300,0,6+1,96⋅√0,6⋅(1−0,6)300)≈(0,5446;0,6554).
  2. En primer lugar, el error cometido en el intervalo (0,54; 0,66) es: 0,66−0,542=0,06. Por otro lado, el error máximo cometido viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=1,96⋅√0,6⋅(1−0,6)𝑛=1,96⋅√0,24√𝑛. Si se quiere que el error máximo sea un tercio del error cometido en el intervalo dado, entonces: 1,96⋅√0,24√𝑛=13⋅0,06⇔1,96⋅√0,24√𝑛=0,02⇔√𝑛=1,96⋅√0,240,02⇔𝑛=1,962⋅0,240,022=2.304,96. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 2.305 habitantes.

Ejercicio 7: Julio de 2023

  1. Un gimnasio establece sus tarifas por grupos de edad: juvenil, adulto y senior. Tiene matriculados 25 juveniles, 75 adultos y 50 seniors. Se quiere seleccionar una muestra de 30 personas del gimnasio utilizando un muestreo estratificado con afijación proporcional. ¿Cuál será la composición que debe tener dicha muestra?
  2. Dada la población {9,11,13,18,20}, calcule la varianza de la distribución de las medias muestrales de tamaño 2 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple.

Resolución
  1. El tamaño de la población es 25+75+50=150. Llamamos 𝑥 al número de juveniles en la muestra, 𝑦 al de adultos y 𝑧 al de seniors. Como se usa afijación proporcional y se selecciona una muestra de 30 personas, 15030=25𝑥=75𝑦=50𝑧. Despejamos estos valores. 15030=25𝑥⇔𝑥=30⋅25150=5,15030=75𝑦⇔𝑦=30⋅75150=15,15030=50𝑧⇔𝑧=30⋅50150=10. Por tanto, se seleccionan 5 juveniles, 15 adultos y 10 seniors.
  2. En primer lugar, hallamos la media 𝜇 y la varianza 𝜎2 de la población. 𝜇=9+11+13+18+205=14,2,𝜎2=(9−14,2)2+(11−14,2)2+(13−14,2)2+(18−14,2)2+(20−14,2)25=17,36. Por tanto, la distribución de las medias muestrales de tamaño 2 tiene varianza 𝜎22=17,362=8,68.

Ejercicio 8: Julio de 2023

En el otoño de 2021, el municipio de El Paso en la Isla de La Palma sufrio la erupcion del volcan Cumbre Vieja. Al finalizar la erupción, se escogió una muestra de 500 casas resultando que 325 de ellas estaban afectadas por la erupción.

  1. Calcule un intervalo, con un nivel de confianza del 97%, para estimar la proporción de casas afectadas por la erupción del volcán. Según el resultado obtenido, ¿se puede admitir que el porcentaje de casas afectadas por el volcán es del 64%?
  2. Para un nivel de confianza del 92% y manteniendo la proporción muestral, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error máximo de estimación sea del 2%?

Resolución
  1. Como 325 casas de 𝑛 =500 estaban afectadas por la erupción, la proporción muestral es: 𝑝=325500=0,65. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: 𝛼=1−0,97=0,03⇒1−𝛼2=1−0,032=0,985⇒𝑧𝛼/2=2,17. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional de donantes de sangre con un nivel de confianza del 98% es: 𝐼=(0,65−2,17⋅√0,65⋅(1−0,65)500,0,65+2,17⋅√0,65⋅(1−0,65)500)≈(0,6037;0,6963). Como 0,64 pertenece a este intervalo, se puede admitir como la proporción poblacional de casas afectadas.
  2. Si el nivel de confianza es del 92%, entonces: 𝛼=1−0,92=0,08⇒1−𝛼2=1−0,082=0,96⇒𝑧𝛼/2=1,75. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=1,75⋅√0,65⋅(1−0,65)𝑛=1,75⋅√0,2275𝑛. Si se quiere que el error máximo sea de 0,02, entonces: 1,75⋅√0,2275𝑛=0,02⇔√0,2275𝑛=0,021,75⇔0,2275𝑛=0,0221,752⇔𝑛=0,2275⋅1,7520,022≈1741,7969. Por tanto, el tamaño mínimo de la nueva muestra debe ser de 1742 casas.

Ejercicio 7: Junio de 2022

La resistencia media a la ruptura de una nueva gama de herramientas sigue una distribución Normal de desviación típica 15MPa (megapascales). Se seleccionan al azar 100 herramientas forjadas en la misma máquina durante el mismo proceso de producción, obteniéndose una resistencia media de 800MPa.

  1. Realizando la estimación con un nivel de confianza del 92%, ¿entre qué valores se estima la resistencia media poblacional de esta gama de herramientas?
  2. Manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error máximo en la estimación de la resistencia media a la ruptura sea menor que 2MPa?

Resolución
  1. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Como el nivel de confianza es del 92%, entonces: 𝛼=1−0,92=0,08⇒1−𝛼2=1−0,082=0,96⇒𝑧𝛼/2=1,75. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la resistencia media de las herramientas con un nivel de confianza del 92% es: 𝐼=(800−1,75⋅15√100,800+1,75⋅15√100)=(797,375;802,625).
  2. El error máximo cometido viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛=1,75⋅15√𝑛=26,25√𝑛. Si se quiere que el error máximo sea menor que 2, entonces: 26,25√𝑛=2⇔√𝑛=26,252⇔𝑛=26,2524≈172,27. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 173 herramientas.

Ejercicio 8: Junio de 2022

Se quiere estudiar la proporción de perros que están vacunados en Andalucía. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 400 perros de los que 320 resultan estar vacunados.

  1. Obtenga un intervalo con un nivel de confianza del 92% para estimar la proporción de perros vacunados en Andalucía y calcule el error máximo cometido.
  2. En una nueva muestra, manteniendo el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, ¿cuántos perros, como mínimo, hay que elegir para que el error sea menor que 0,02?

Resolución
  1. Como 320 perros de 𝑛 =400 están vacunados, la proporción muestral es: 𝑝=320400=0,8. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 92%, entonces: 𝛼=1−0,92=0,08⇒1−𝛼2=1−0,082=0,96⇒𝑧𝛼/2=1,75. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional de perros vacunados con un nivel de confianza del 92% es: 𝐼=(0,8−1,75⋅√0,8⋅(1−0,8)400,0,8+1,75⋅√0,8⋅(1−0,8)400)=(0,765;0,835). El error máximo cometido es: 𝐸=0,835−0,7652=0,035.
  2. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=1,75⋅√0,8⋅(1−0,8)𝑛=0,7√𝑛. Si se quiere que el error máximo sea de 0,02, entonces: 0,7√𝑛=0,02⇔√𝑛=0,70,02⇔𝑛=0,720,022=1.225. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 1.225 perros.

Ejercicio 7: Reserva 1 de 2022

  1. Se divide una población en cuatro estratos de tamaño 60.000, 20.000, 24.000 y 16.000 personas. En dicha población se realiza un muestreo estratificado por afijación proporcional, seleccionándose 144 personas del tercer estrato. Determine el tamaño total de la muestra y su composición.
  2. Dada la población {1,4,7}, establezca todas las muestras posibles de tamaño 2 que se puedan formar mediante muestreo aleatorio simple y determinar la media y la desviación típica de las medias muestrales obtenidas con todas estas muestras.

Resolución
  1. Llamamos 𝑥 al número de individuos en la muestra del primer estrato, 𝑦 en la muestra del segundo estrato y 𝑧 en la muestra del cuarto estrato. Como se usa afijación proporcional y se seleccionan 144 individuos del tercer estrato, 60.000𝑥=20.000𝑦=24.000144=16.000𝑧. Despejamos estos valores. 24.000144=60.000𝑥⇔𝑥=144⋅60.00024.000=360,24.000144=20.000𝑦⇔𝑦=144⋅20.00024.000=120,24.000144=16.000𝑧⇔𝑧=144⋅16.00024.000=96. Por tanto, la muestra está compuesta por 360 individuos del primer estrato, 120 del segundo estrato, 144 del tercer estrato y 96 del cuarto estrato. Así que el tamaño de la muestra es 360+120+144+96=720.
  2. Las muestras posibles de tamaño 2 son (1,1)(1,4)(1,7)(4,1)(4,4)(4,7)(7,1)(7,4)(7,7). Hallamos la media 𝜇 y la varianza 𝜎2 de la población. 𝜇=1+4+73=4,𝜎2=(1−4)2+(4−4)2+(7−4)23=6. Por tanto, la distribución de medias muestrales de tamaño 2 tiene media 𝜇 =4 y desviación típica 𝜎√2=√6√2=√3.

Ejercicio 8: Reserva 1 de 2022

Se desea estimar la proporción de estudiantes de una universidad que proceden de otras provincias, para ello se selecciona una muestra de tamaño 2.100 de los que 630 lo cumplen.

  1. Calcule un intervalo de confianza con un nivel del 97,5% para estimar la proporción poblacional de estudiantes de esa universidad procedentes de otras provincias.
  2. En una nueva muestra que mantiene la misma proporción muestral, y con el mismo nivel de confianza, queremos que el error máximo cometido sea de 0,01. Halle su tamaño mínimo.

Resolución
  1. Como 630 estudiantes de 𝑛 =2.100 provienen de otras provincias, la proporción muestral es: 𝑝=6302.100=0,3. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 97,5%, entonces: 𝛼=1−0,975=0,025⇒1−𝛼2=1−0,0252=0,9875⇒𝑧𝛼/2=2,24. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional de estudiantes que proceden de otras provincias con un nivel de confianza del 97,5% es: 𝐼=(0,3−2,24⋅√0,3⋅(1−0,3)2.100,0,3+2,24⋅√0,3⋅(1−0,3)2.100)=(0,2776;0,3224).
  2. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=2,24⋅√0,3⋅(1−0,3)𝑛=2,24⋅√0,21√𝑛. Si se quiere que el error máximo sea de 0,01, entonces: 2,24⋅√0,21√𝑛=0,01⇔√𝑛=2,24⋅√0,210,01⇔𝑛=2,242⋅0,210,012=10.536,96. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 10.537 estudiantes.

Ejercicio 7: Reserva 2 de 2022

Se desea estimar la proporción de jóvenes de una localidad que están suscritos a una determinada plataforma de televisión. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 100 jóvenes de los que 36 afirman estar suscritos a dicha plataforma.

  1. Determine un intervalo de confianza, con un nivel del 92%, para la proporción de jóvenes que están suscritos a esta plataforma.
  2. Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño muestral mínimo que se debería tomar si se quisiera que el error máximo fuera 0,025.

Resolución
  1. Como 36 jóvenes de 𝑛 =100 están suscritos a la plataforma, la proporción muestral es: 𝑝=36100=0,36. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 92%, entonces: 𝛼=1−0,92=0,08⇒1−𝛼2=1−0,082=0,96⇒𝑧𝛼/2=1,75. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional de jóvenes suscritos a la plataforma con un nivel de confianza del 92% es: 𝐼=(0,36−1,75⋅√0,36⋅(1−0,36)100,0,36+1,75⋅√0,36⋅(1−0,36)100)=(0,276;0,444).
  2. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=1,75⋅√0,36⋅(1−0,36)𝑛=0,84√𝑛. Si se quiere que el error máximo sea de 0,025, entonces: 0,84√𝑛=0,025⇔√𝑛=0,840,025⇔𝑛=0,8420,0252=1.128,96. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 1.129 jóvenes.

Ejercicio 8: Reserva 2 de 2022

La vida útil de un determinado modelo de teléfono móvil (en meses) se distribuye según una ley Normal de varianza 9,61 meses2. En una muestra de 10 teléfonos, la vida útil de los mismos ha sido: 30,63031,329,732,33232,831,531,230,5.

  1. Determine un intervalo de confianza para estimar la vida útil de este modelo de teléfono móvil con un nivel de confianza del 97%.
  2. Determine el tamaño mínimo muestral para que, con el mismo nivel de confianza, el error que se comete al estimar la duración media de la vida útil de este modelo de teléfono móvil sea inferior a 0,15 meses.

Resolución
  1. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Calculamos la media muestral. ――𝑥=30,6+30+31,3+29,7+32,3+32+32,8+31,5+31,2+30,510=31,19. Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: 𝛼=1−0,97=0,03⇒1−𝛼2=1−0,032=0,985⇒𝑧𝛼/2=2,17. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la vida media en meses del teléfono con un nivel de confianza del 97% es: 𝐼=(31,19−2,17⋅√9,61√10,31,19+2,17⋅√9,61√10)≈(29,0627;33,3173).
  2. El error máximo cometido viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛=2,17⋅√9,61√𝑛=6,727√𝑛. Si se quiere que el error máximo sea inferior a 0,15, entonces: 6,727√𝑛=0,15⇔√𝑛=6,7270,15⇔𝑛=6,72720,152≈2.011,2235. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 2.012 teléfonos.

Ejercicio 7: Reserva 3 de 2022

Un taller desea estimar el grado de satisfacción de sus clientes. Para ello, a 120 clientes seleccionados al azar, les pregunta si volverían a solicitar sus servicios en caso de necesitarlo, de los que 96 respondieron que sí lo harian.

  1. Determine, con un nivel de confianza del 95%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de clientes de este taller que volverían a solicitar sus servicios.
  2. Mediante una nueva muestra queremos estimar la proporción de clientes de ese taller que volverían a solicitar sus servicios con un error máximo del 5% y un nivel de confianza del 97%. Suponiendo que se mantiene la proporción muestral, ¿qué tamaño mínimo debe tener dicha muestra?

Resolución
  1. Como 96 clientes de 𝑛 =120 volverían a solicitar los servicios del taller, la proporción muestral es: 𝑝=96120=0,8. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 95%, entonces: 𝛼=1−0,95=0,05⇒1−𝛼2=1−0,052=0,975⇒𝑧𝛼/2=1,96. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de clientes que volverían a solicitar sus servicios con un nivel de confianza del 95% es: 𝐼=(0,8−1,96⋅√0,8⋅(1−0,8)120,0,8+1,96⋅√0,8⋅(1−0,8)120)≈(0,7284;0,8716).
  2. Si el nivel de confianza es del 97%, entonces: 𝛼=1−0,97=0,03⇒1−𝛼2=1−0,032=0,985⇒𝑧𝛼/2=2,17. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=2,17⋅√0,8⋅(1−0,8)𝑛=0,868√𝑛. Si se quiere el error máximo sea de 0,05, entonces: 0,868√𝑛=0,05⇔√𝑛=0,8680,05⇔𝑛=0,86820,052=301,3696. Por tanto, el número mínimo de personas de la muestra debe ser 302.

Ejercicio 8: Reserva 3 de 2022

El consumo de energía eléctrica mensual por vivienda medido en kilovatios hora (kWh) sigue una distribución Normal con varianza 4.225 (kWh)2.

  1. Se toma una muestra aleatoria de 100 viviendas, obteniéndose un consumo total de 26.830 kWh. Calcule un intervalo de confianza al 92% para estimar el consumo medio poblacional.
  2. Calcule el tamaño mínimo de la muestra necesario para estimar el consumo medio de energía eléctrica mensual por vivienda, con un error máximo de 5 kWh y con un nivel de confianza del 98%.
  3. Tras una campaña para incentivar el ahorro energético se toma una nueva muestra y el intervalo de confianza para el consumo medio que se obtiene es (224,08; 255,92). Calcule la media del consumo de energía eléctrica mensual por vivienda para dicha muestra.

Resolución
  1. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Calculamos la media muestral. ――𝑥=26.830100=268,3. Como el nivel de confianza es del 92%, entonces: 𝛼=1−0,92=0,08⇒1−𝛼2=1−0,082=0,96⇒𝑧𝛼/2=1,75. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar el consumo medio de energía en kilovatios hora con un nivel de confianza del 92% es: 𝐼=(268,3−1,75⋅√4.225√100,268,3+1,75⋅√4.225√100)=(256,925;279,675).
  2. Si el nivel de confianza es del 98%, entonces: 𝛼=1−0,98=0,02⇒1−𝛼2=1−0,022=0,99⇒𝑧𝛼/2=2,325. El error máximo cometido viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛=2,325⋅√4.225√𝑛=151,125√𝑛. Si se quiere que el error máximo sea de 5, entonces: 151,125√𝑛=5⇔√𝑛=151,1255⇔𝑛=151,125252≈913,5506. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 914 viviendas.
  3. La media poblacional viene dada por el punto medio del intervalo de confianza. ――𝑥=224,08+255,922=240. Por tanto, la media del consumo de energía mensual por vivienda es de 240 kWh.

Ejercicio 7: Reserva 4 de 2022

Se desea estimar la proporción de personas mayores de 45 años de una determinada ciudad que tienen presbicia (vista cansada). Para ello, se toma una muestra aleatoria de 540 personas mayores de 45 años, obteniéndose que 378 tienen presbicia.

  1. Obtenga un intervalo, con un nivel de confianza del 97%, para estimar la proporción poblacional de personas mayores de 45 años con presbicia en dicha ciudad.
  2. Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, ¿cuántas personas se deberán seleccionar como mínimo para que la proporción muestral difiera de la proporción poblacional a lo sumo en un 3%?

Resolución
  1. Como 378 personas de 𝑛 =540 tienen vista cansada, la proporción muestral es: 𝑝=378540=0,7. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: 𝛼=1−0,97=0,03⇒1−𝛼2=1−0,032=0,985⇒𝑧𝛼/2=2,17. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de personas mayores de 45 años con vista cansada en la ciudad con un nivel de confianza del 97% es: 𝐼=(0,7−2,17⋅√0,7⋅(1−0,7)540,0,7+2,17⋅√0,7⋅(1−0,7)540)≈(0,6572;0,7428).
  2. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=2,17⋅√0,7⋅(1−0,7)𝑛=2,17⋅√0,21𝑛. Si se quiere el error no sea mayor que 0,03, entonces: 2,17⋅√0,21𝑛=0,03⇔√0,21𝑛=0,032,17⇔0,21𝑛=0,0322,172⇔𝑛=0,21⋅2,1720,032≈1.098,7433. Por tanto, el número mínimo de personas de la muestra debe ser 1.099.

Ejercicio 8: Reserva 4 de 2022

El peso en gramos de las tortugas terrestres de una reserva natural sigue una ley Normal de varianza 121g2. Para estimar el peso medio de las tortugas de la reserva, se toma una muestra de 10 tortugas, obteniéndose los siguientes datos: 98010029509851100108589510009121006.

  1. Halle un intervalo de confianza para el peso medio de las tortugas con un nivel de confianza del 97%.
  2. ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para asegurar con un nivel de confianza del 94% que el error máximo cometido sea de 5g?

Resolución
  1. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Calculamos la media muestral. ――𝑥=980+1002+950+985+1100+1085+895+1000+912+100610=991,5. Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: 𝛼=1−0,97=0,03⇒1−𝛼2=1−0,032=0,985⇒𝑧𝛼/2=2,17. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar el peso medio de las tortugas con un nivel de confianza del 97% es: 𝐼=(991,5−2,17⋅√121√10,991,5+2,17⋅√121√10)≈(983,9516;999,0484).
  2. Si el nivel de confianza es del 94%, entonces: 𝛼=1−0,94=0,06⇒1−𝛼2=1−0,062=0,97⇒𝑧𝛼/2=1,885. El error máximo cometido viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛=1,885⋅√121√𝑛=20,735√𝑛. Si se quiere que el error máximo cometido sea de 5, entonces: 20,735√𝑛=5⇔√𝑛=20,7355⇔𝑛=20,735225≈17,1976. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 18 tortugas.

Ejercicio 7: Julio de 2022

Una fábrica de tornillos quiere hacer un estudio sobre la proporción de tornillos que cumplen las especificaciones del fabricante. Para ello ha seleccionado una muestra aleatoria de 1.500 tornillos, resultando que 1.425 cumplen las especificaciones del fabricante.

  1. Determine un intervalo de confianza para la proporción de tornillos que cumplen con las especificaciones del fabricante con un nivel de confianza del 97%.
  2. Manteniendo la proporción muestral y el nivel de confianza del apartado anterior, ¿cuál tendría que ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea inferior al 1%?

Resolución
  1. Como 1.425 tornillos de 𝑛 =1.500 han cumplido las especificaciones del fabricante, la proporción muestral es: 𝑝=1.4251.500=0,95. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: 𝛼=1−0,97=0,03⇒1−𝛼2=1−0,032=0,985⇒𝑧𝛼/2=2,17. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de tornillos que cumplen las especificaciones del fabricante con un nivel de confianza del 97% es: 𝐼=(0,95−2,17⋅√0,95⋅(1−0,95)1.500,0,95+2,17⋅√0,95⋅(1−0,95)1.500)≈(0,9378;0,9622).
  2. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=2,17⋅√0,95⋅(1−0,95)𝑛=2,17⋅√0,0475𝑛. Si se quiere el error no sea mayor que 0,01, entonces: 2,17⋅√0,0475𝑛=0,01⇔√0,0475𝑛=0,012,17⇔0,0475𝑛=0,0122,172⇔𝑛=0,0475⋅2,1720,012=2.236,7275. Por tanto, el número mínimo de tornillos de la muestra debe ser 2.237.

Ejercicio 8: Julio de 2022

El número de días que los titulados en un cierto máster tardan en encontrar su primer trabajo sigue una distribución Normal de media 𝜇 desconocida y desviación típica 3 días.

  1. Se elige una muestra aleatoria de 100 titulados obteniéndose una media muestral de 8,1 días. Calcule un intervalo de confianza al 97% para estimar la media poblacional.
  2. Con un nivel de confianza del 92%, calcule el tamaño muestral mínimo necesario para que el error cometido, al estimar el número medio de días que estos titulados tardan en encontrar trabajo, sea inferior a un día.
  3. Suponiendo 𝜇 =7,61 días y tomando muestras aleatorias de 36 titulados, ¿qué distribución de probabilidad sigue la variable aleatoria media muestral? ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea superior a 8 días?

Resolución
  1. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: 𝛼=1−0,97=0,03⇒1−𝛼2=1−0,032=0,985⇒𝑧𝛼/2=2,17. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar el número medio de días que los titulados en un cierto máster tardan en encontrar su primer trabajo con un nivel de confianza del 97% es: 𝐼=(8,1−2,17⋅3√100,8,1+2,17⋅3√100)=(7,449;8,751).
  2. Si el nivel de confianza es del 92%, entonces: 𝛼=1−0,92=0,08⇒1−𝛼2=1−0,082=0,96⇒𝑧𝛼/2=1,75. El error máximo cometido viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛=1,75⋅3√𝑛=5,25√𝑛. Si se quiere que el error máximo sea menor que 1, entonces: 5,25√𝑛=1⇔√𝑛=5,25⇔𝑛=5,252=27,5625. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 28 personas.
  3. La distribución de la media muestral ――𝑋 sigue una normal 𝑁(𝜇,𝜎√𝑛) con 𝜇 =7,61, 𝜎 =3 y 𝑛 =36. Es decir, ――𝑋 ∼𝑁(7,61; 0,5). La probabilidad de que la media muestral sea superior a 8 días es: 𝑃(――𝑋>8)=𝑃(𝑍>8−7,610,5)=𝑃(𝑍>0,78)=1−𝑃(𝑍≤0,78)≈0,2177.

Ejercicio 7: Junio de 2021

  1. En una Escuela Politécnica hay matriculados en el último curso 60 estudiantes de Ingeniería Eléctrica, 40 de Ingeniería Informática, 30 de Ingeniería Civil, 50 de Ingeniería Mecánica y 20 de Ingeniería Aeronáutica. Se quiere hacer una encuesta al 20% de estos estudiantes, de manera proporcional al número de matriculados en cada titulación.
    1. ¿Qué tipo de muestreo se debe emplear?
    2. ¿Cuántos alumnos debe haber en la muestra y cuántos de cada titulación?
  2. Dada la población {𝑎,10,12,11,18}, ¿cuánto debe valer 𝑎, sabiendo que la media de las medias muestrales de tamaño 3, obtenidas mediante muestreo aleatorio simple, es 13,2?

Resolución
    1. Se debe emplear un muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional.
    2. El tamaño de la población es 60+40+30+50+20=200. Como se quiere tomar una muestra compuesta por el 20% de la población, debe estar formada por 200 ⋅0,2 =40 estudiantes.
      • De Ingeniería Eléctrica se deben tomar 60 ⋅0,2 =12 estudiantes.
      • De Ingeniería Informática se deben tomar 40 ⋅0,2 =8 estudiantes.
      • De Ingeniería Civil se deben tomar 30 ⋅0,2 =6 estudiantes.
      • De Ingeniería Mecánica se deben tomar 50 ⋅0,2 =10 estudiantes.
      • De Ingeniería Aeronáutica se deben tomar 20 ⋅0,2 =4 estudiantes.
  2. La media 𝜇 de la población viene dada por 𝜇=𝑎+10+12+11+185=51+𝑎5. Como la media de las medias muestrales coincide con la media poblacional 𝜇, entonces 𝜇=13,2⇔51+𝑎5=13,2⇔51+𝑎=66⇔𝑎=15.

Ejercicio 8: Junio de 2021

Se desea estimar la proporción de individuos mayores de edad de una localidad que están en contra de la construcción de una central nuclear en su término municipal. Para ello, se pregunta a 100 individuos mayores de edad de esa localidad, elegidos de forma aleatoria, resultando que 45 de ellos rechazan la construcción de la central.

  1. Calcule un intervalo de confianza al 92% para estimar la proporción real de individuos de esa localidad que están en contra de la construcción de la central.
  2. Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño mínimo de la muestra que hay que tomar, para que al estimar la proporción de individuos de esa localidad que rechazan la construcción de la central, el error cometido sea inferior al 5%.

Resolución
  1. Como 45 personas de 𝑛 =100 están en contra de la construcción de una central nuclear, la proporción muestral es: 𝑝=45100=0,45. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 92%, entonces: 𝛼=1−0,92=0,08⇒1−𝛼2=1−0,082=0,96⇒𝑧𝛼/2=1,75. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional de personas que están en contra de la construcción de una central nuclear con un nivel de confianza del 92% es: 𝐼=(0,45−1,75⋅√0,45⋅(1−0,45)100,0,45+1,75⋅√0,45⋅(1−0,45)100)≈(0,3629;0,5371).
  2. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=1,75⋅√0,45⋅(1−0,45)𝑛=1,75⋅√0,2475√𝑛. Si se quiere que el error cometido sea inferior a 0,05, entonces: 1,75⋅√0,2475√𝑛=0,05⇔√𝑛=1,75⋅√0,24750,05⇔𝑛=1,752⋅0,24750,052=303,1875. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 304 personas.

Ejercicio 7: Reserva 1 de 2021

Para un estudio acerca del uso del transporte público en una ciudad, se selecciona una muestra aleatoria de 500 individuos, obteniéndose que 175 de ellos lo usan.

  1. Halle un intervalo de confianza al 94% para estimar la proporción real de individuos que usan el transporte público en esa ciudad.
  2. Manteniendo la proporción muestral, ¿cuántos individuos se deberían seleccionar como mínimo, para que, con un nivel de confianza del 97%, la proporción muestral difiera de la proporción real a lo sumo en un 2%?

Resolución
  1. Como 175 individuos de 𝑛 =500 usan el transporte público, la proporción muestral es: 𝑝=175500=0,35. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 94%, entonces: 𝛼=1−0,94=0,06⇒1−𝛼2=1−0,062=0,97⇒𝑧𝛼/2=1,885. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de individuos que usan el transporte público con un nivel de confianza del 94% es: 𝐼=(0,35−1,885⋅√0,35⋅(1−0,35)500,0,35+1,885⋅√0,35⋅(1−0,35)500)≈(0,3098;0,3902).
  2. Si el nivel de confianza es del 97%, entonces: 𝛼=1−0,97=0,03⇒1−𝛼2=1−0,032=0,985⇒𝑧𝛼/2=2,17. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=2,17⋅√0,35⋅(1−0,35)𝑛=2,17⋅√0,2275𝑛. Si se quiere el error sea inferior a 0,02, entonces: 2,17⋅√0,2275𝑛=0,02⇔√0,2275𝑛=0,022,17⇔0,2275𝑛=0,0222,172⇔𝑛=0,2275⋅2,1720,022≈2.678,1869. Por tanto, el número mínimo de individuos de la muestra debe ser 2.679.

Ejercicio 8: Reserva 1 de 2021

La estatura de las mujeres de una población sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica 7 cm.

  1. Se toma una muestra aleatoria de 300 mujeres de esta población, que da una estatura media de 168 cm. Construya un intervalo de confianza al 97% para estimar la estatura media de las mujeres de esta población.
  2. Calcule el tamaño mínimo que debe tener una muestra de esta población para que, con un nivel de confianza del 94%, el error máximo cometido al estimar la estatura media de las mujeres de esa población sea inferior a 1,2 cm.

Resolución
  1. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: 𝛼=1−0,97=0,03⇒1−𝛼2=1−0,032=0,985⇒𝑧𝛼/2=2,17. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la estatura media de las mujeres con un nivel de confianza del 97% es: 𝐼=(168−2,17⋅7√300,168+2,17⋅7√300)≈(167,1230;168,8770).
  2. Si el nivel de confianza es del 94%, entonces: 𝛼=1−0,94=0,06⇒1−𝛼2=1−0,062=0,97⇒𝑧𝛼/2=1,885. El error máximo cometido viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛=1,885⋅7√𝑛=13,195√𝑛. Si se quiere que el error máximo sea inferior a 1,2, entonces: 13,195√𝑛=1,2⇔√𝑛=13,1951,2⇔𝑛=13,19521,22≈120,9084. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 121 personas.

Ejercicio 7: Reserva 2 de 2021

  1. En una población constituida por los números naturales del 1 al 9, ¿cuántas muestras de tamaño 2 se pueden formar por muestreo aleatorio simple? Si se elige al azar una de esas muestras, ¿cuál es la probabilidad de que el valor medio de los dos números de esa muestra sea 5?
  2. Para estimar la proporción de andaluces contagiados por una enfermedad infecciosa en un momento determinado, se ha tomado una muestra de 10.000 personas, resultando que 500 de ellas estaban infectadas.
    1. Con ese dato, establezca un intervalo, al 97% de confianza, para la proporción real de infectados en la población andaluza.
    2. A la vista del intervalo obtenido, razone si se podría aceptar que el 6% de la población andaluza estaba infectada.
    3. Se toma una nueva muestra de mayor tamaño y resulta que hay la misma proporción de positivos en la nueva muestra. Con estos nuevos datos, razone si el nuevo intervalo al 97% de confianza contiene al intervalo anterior o está contenido en él.

Resolución
  1. Con los números naturales del 1 al 9 se pueden formar 9 ⋅9 =81 muestras de tamaño 2. La media de los números es 5 en las muestras (1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5), (6,4), (7,3), (8,2) y (9,1). Por tanto la probabilidad es: 𝑝=981=19.
    1. Como 500 personas de 𝑛 =10.000 estaban infectadas, la proporción muestral es: 𝑝=50010.000=0,05. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: 𝛼=1−0,97=0,03⇒1−𝛼2=1−0,032=0,985⇒𝑧𝛼/2=2,17. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de infectados con un nivel de confianza del 97% es: 𝐼=(0,05−2,17⋅√0,05⋅(1−0,05)10.000,0,05+2,17⋅√0,05⋅(1−0,05)10.000)≈(0,0453;0,0547).
    2. Como 0,06 no pertenece al intervalo de confianza, no puede admitirse como proporción poblacional.
    3. La amplitud del intervalo disminuye al aumentar el tamaño de la muestra, porque el error máximo cometido se reduce. Por tanto, el nuevo intervalo estará contenido en el anterior.

Ejercicio 8: Reserva 2 de 2021

El tiempo, en horas, que los alumnos de un instituto dedican a estudiar para los exámenes finales, se distribuye siguiendo una ley Normal de media desconocida y varianza 81. Se toma una muestra aleatoria de 16 alumnos de dicho instituto, obteniéndose los siguientes tiempos: 30423845526021263344284932514940.

  1. Obtenga un intervalo, con un 95% de confianza, para estimar el tiempo medio de estudio de los alumnos de ese instituto.
  2. Calcule el mínimo tamaño de la muestra que se ha de tomar, para estimar el tiempo medio de estudio de esos alumnos con un error inferior a 2 horas y un nivel de confianza del 98%.

Resolución
  1. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Calculamos la media muestral. ――𝑥=30+42+38+45+52+60+21+26+33+44+28+49+32+51+49+4016=40. Como el nivel de confianza es del 95%, entonces: 𝛼=1−0,95=0,05⇒1−𝛼2=1−0,052=0,975⇒𝑧𝛼/2=1,96. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar el tiempo medio en minutos de estudio de los alumnos con un nivel de confianza del 95% es: 𝐼=(40−1,96⋅√81√16,40+1,96⋅√81√16)=(35,59;44,41).
  2. Si el nivel de confianza es del 98%, entonces: 𝛼=1−0,98=0,02⇒1−𝛼2=1−0,022=0,99⇒𝑧𝛼/2=2,325. El error máximo cometido viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛=2,325⋅√81√𝑛=20,925√𝑛. Si se quiere que el error máximo sea inferior a 2, entonces: 20,925√𝑛=2⇔√𝑛=20,9252⇔𝑛=20,925222≈109,4639. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 110 alumnos.

Ejercicio 7: Reserva 3 de 2021

  1. Se desea tomar una muestra aleatoria estratificada de las personas de un municipio, cuyos estratos son los siguientes tramos de edad: de 0 a 25 años, de 26 a 45, de 46 a 60 y de 61 años o más. En el primer tramo hay 15.000 personas, en el segundo hay 16.800, en el tercero 11.400 y en el cuarto 6.000. Sabiendo que el muestreo se hace con afijación proporcional y se han elegido al azar 375 personas del primer tramo, calcule el tamaño de la muestra total y su composición.
  2. Dada la población {1,3,5}, establezca todas las muestras posibles de tamaño 2 que se puedan formar mediante muestreo aleatorio simple y determine la media y la desviación típica de las medias muestrales obtenidas con todas estas muestras.

Resolución
  1. Llamamos 𝑦 al número de personas en la muestra del tramo 2, 𝑦 al del tramo 3 y 𝑧 al del tramo 4. Como se usa afijación proporcional, se verifica que: 15.000375=16.800𝑥=11.400𝑦=6.000𝑧. Despejamos estos valores. 15.000375=16.800𝑥⇔𝑥=375⋅16.80015.000=42015.000375=11.400𝑦⇔𝑦=375⋅11.40015.000=28515.000375=6.000𝑧⇔𝑧=375⋅6.00015.000=150. Por tanto, para la muestra se seleccionan 375 personas del tramo 1, 420 del tramo 2, 285 del tramo 3 y 150 del tramo 4. Así que el tamaño de la muestra es: 375+420+285+150=1.230.
  2. Las muestras posibles de tamaño 2 son: (1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5). Hallamos la media 𝜇 y la varianza 𝜎2 de la población. 𝜇=1+3+53=3,𝜎2=(1−3)2+(3−3)2+(5−3)23=83. Por tanto, la distribución de medias muestrales de tamaño 2 tiene media 𝜇 =3 y desviación típica: 𝜎√2=√83√2=2√3.

Ejercicio 8: Reserva 3 de 2021

Se quiere estimar la proporción de imprentas de una región que incluyen el uso de celulosa reciclada en los libros que imprimen. Para ello, se ha tomado una muestra aleatoria de 50 imprentas de esa región y en ella hay 12 que usan dicho material.

  1. Obtenga un intervalo de confianza al 95%, para estimar la proporción real de imprentas que usan celulosa reciclada.
  2. Determine el tamaño mínimo de la muestra de imprentas de esa región que se deben seleccionar para que, manteniendo el mismo nivel de confianza y proporción muestral anteriores, la amplitud del intervalo sea como máximo de 0,2.

Resolución
  1. Como 12 imprentas de 𝑛 =50 usan celulosa reciclada, la proporción muestral es: 𝑝=1250=0,24. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 95%, entonces: 𝛼=1−0,95=0,05⇒1−𝛼2=1−0,052=0,975⇒𝑧𝛼/2=1,96. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de imprentas que usan celulosa reciclada con un nivel de confianza del 95% es: 𝐼=(0,24−1,96⋅√0,24⋅(1−0,24)50,0,24+1,96⋅√0,24⋅(1−0,24)50)≈(0,1216;0,3584).
  2. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=1,96⋅√0,24⋅(1−0,24)𝑛=1,96⋅√0,1824𝑛. Si se quiere que el intervalo de confianza tenga una amplitud máxima de 0,2, 𝐸=0,22=0,1. Así que: 1,96⋅√0,1824𝑛=0,1⇔√0,1824𝑛=0,11,96⇔0,1824𝑛=0,121,962⇔𝑛=0,1824⋅1,9620,12≈70,0708. Por tanto, el número mínimo de imprentas de la muestra debe ser 71.

Ejercicio 7: Reserva 4 de 2021

Se quiere estudiar la proporción de ciudadanos enfermos de COVID-19 en una determinada población. Para ello, se elige una muestra al azar de 1.000 ciudadanos, revelándose que el 15% de ellos están enfermos.

  1. Calcule un intervalo de confianza al 95%, para estimar la proporción real de enfermos de COVID-19 en dicha población.
  2. Determine el tamaño muestral mínimo para que, con el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral anteriores, el error que se cometa al estimar la proporción de ciudadanos enfermos de COVID-19 en esa población sea inferior al 1%.

Ejercicio 8: Reserva 4 de 2021

El peso de los paquetes de arroz de una marca comercial concreta sigue una ley Normal de media 1.000 g y varianza 256 g2.

  1. Calcule la probabilidad de que el peso medio de las muestras de tamaño 64 sea menor que 996 g.
  2. Tras varias denuncias presentadas por falta de peso en los citados paquetes, una organización de consumidores ha procedido a tomar una muestra de 64 paquetes, resultando que la suma de los pesos ha sido de 63.744 g. Halle un intervalo de confianza al 90% para estimar el peso medio real de los paquetes de arroz de esa marca.
  3. A la vista del intervalo obtenido y teniendo en cuenta que el peso que marca el paquete es de 1.000 g, ¿cree que la denuncia tiene base?

Ejercicio 7: Julio de 2021

Para estimar la proporción de residentes británicos en España que están a favor de la salida del Reino Unido de la Unión Europea (UE), se toma una muestra aleatoria de 250 de estos residentes, obteniéndose que 115 estaban a favor de dejar de pertenecer a la UE.

  1. Calcule un intervalo de confianza al 99,5%, para estimar la proporción real de esos residentes que está a favor de la salida del Reino Unido de la UE.
  2. Manteniendo la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño mínimo necesario de la muestra, para estimar la proporción de residentes británicos en España que están a favor de la salida del Reino Unido de la UE, con un error inferior al 5%.

Resolución
  1. Como 115 residentes de 𝑛 =250 están a favor de la salida de Reino Unido de la Unión Europea, la proporción muestral es: 𝑝=115250=0,46. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 99,5%, entonces: 𝛼=1−0,995=0,005⇒1−𝛼2=1−0,0052=0,9975⇒𝑧𝛼/2=2,81. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de residentes que están a favor de la salida de Reino Unido de la Unión Europea con un nivel de confianza del 99,5% es: 𝐼=(0,46−2,81⋅√0,46⋅(1−0,46)250,0,46+2,81⋅√0,46⋅(1−0,46)250)≈(0,3714;0,5486).
  2. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=2,81⋅√0,46⋅(1−0,46)𝑛=2,81⋅√0,2484𝑛. Si se quiere el error sea inferior a 0,05, entonces: 2,81⋅√0,2484𝑛=0,05⇔√0,2484𝑛=0,052,81⇔0,2484𝑛=0,0522,812⇔𝑛=0,2484⋅2,8120,052≈784,5565. Por tanto, el número mínimo de personas de la muestra debe ser 785.

Ejercicio 8: Julio de 2021

Sea 𝑋 una variable aleatoria que sigue una ley Normal de media poblacional desconocida y desviación típica 4.

  1. ¿Cuál es la desviación típica de la distribución de las medias de las muestras de tamaño 12 de la variable aleatoria 𝑋?
  2. Para estimar la media poblacional de la variable 𝑋, se toma una muestra aleatoria de tamaño 12, obteniéndose los siguientes resultados: 11,8109,8129,710,89,611,310,412,29,110,5. Con los datos obtenidos de la muestra, determine un intervalo de confianza al 97% para estimar la media poblacional.
  3. Calcule el tamaño mínimo que debe tener una muestra, para que, con el mismo nivel de confianza, el error cometido al estimar la media poblacional sea menor que 1,2.

Resolución
  1. La distribución de medias muestrales de tamaño 𝑛 =12 tiene desviación típica: 𝜎√𝑛=4√12=2√3.
  2. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Calculamos la media muestral. ――𝑥=11,8+10+9,8+12+9,7+10,8+9,6+11,3+10,4+12,2+9,1+10,512=10,6. Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: 𝛼=1−0,97=0,03⇒1−𝛼2=1−0,032=0,985⇒𝑧𝛼/2=2,17. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la media poblacional con un nivel de confianza del 97% es: 𝐼=(10,6−2,17⋅4√12,10,6+2,17⋅4√12)≈(8,0943;13,1057).
  3. El error máximo cometido viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛=2,17⋅4√𝑛=8,68√𝑛. Si se quiere que el error máximo sea menor que 1,2, entonces: 8,68√𝑛=1,2⇔√𝑛=8,681,2⇔𝑛=8,6821,22≈52,3211. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser 53.

Ejercicio 7: Julio de 2020

La vida útil, en años, de las lavadoras de un determinado modelo, se distribuye según una ley Normal de varianza 7,84. En una muestra de 12 lavadoras, la vida útil en años ha sido: 9,5910,28,611,410,812,61111,814,510,49,8.

  1. Con estos datos, determine un intervalo de confianza al 93,5% para estimar la vida útil media de estas lavadoras.
  2. Calcule el error máximo que se puede cometer al estimar la vida útil media de este modelo de lavadoras, si se toma una muestra de 50 lavadoras y asumimos un nivel de confianza del 99%.

Ejercicio 8: Julio de 2020

La renta anual de los hogares andaluces, en miles de euros, se distribuye según una ley Normal con desviación típica 5 y media desconocida 𝜇.

  1. Si se desea que en el 99% de las posibles muestras del mismo tamaño, elegidas de entre los hogares andaluces, la media muestral no difiera de la renta media anual poblacional de dichos hogares en más de una unidad, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de las muestras?
  2. Si se consideran muestras de hogares andaluces de tamaño 100, ¿qué distribución de probabilidad sigue la variable aleatoria "Renta media anual muestral"?
  3. Suponiendo que la renta media anual poblacional de los hogares andaluces es 𝜇 =24, ¿cuál es la probabilidad de que en una muestra de tamaño 100 la renta media anual muestral sea superior a 25?

Ejercicio 7: Reserva 1 de 2020

El precio de venta al público del kilogramo de frambuesas sigue una ley Normal de media desconocida y varianza 9. En una localidad se eligen 10 comercios de manera aleatoria, obteniéndose los siguientes precios en euros: 12,3109,11110,511,89,911,510,913.

  1. ¿Qué distribución siguen las medias de las muestras de tamaño 10?
  2. Con los datos obtenidos de la muestra, determine un intervalo de confianza al 97% para el precio medio del kilogramo de frambuesas.
  3. Con el mismo nivel de confianza, calcule el tamaño mínimo que debe tener una muestra para que el error cometido al estimar el precio medio del kilogramo de frambuesas sea menor a 1,5 euros.

Ejercicio 8: Reserva 1 de 2020

Se sabe que la longitud, en centímetros, de una especie de estrella de mar en una determinada zona sigue una ley Normal con desviación típica 3. Para estimar la longitud media de esa especie de estrella de mar, se extrae una muestra de tamaño 36 y se obtiene el intervalo de confianza (6,04;8) al 95%. Se pide:

  1. Calcule la media muestral.
  2. Calcule el error de estimación máximo cometido.
  3. Si aumentamos el tamaño muestral a 49, ¿qué efecto produce sobre el error máximo cometido? Calcule este error.
  4. Si aumentamos el nivel de confianza, ¿qué efecto produce sobre el error de estimación máximo? Justifique la respuesta.

Ejercicio 7: Reserva 2 de 2020

La distancia en kilómetros recorrida al día por los vehículos de una empresa de coches de alquiler sigue una distribución Normal de media desconocida y varianza 225. Se toma una muestra aleatoria simple de 36 coches y se obtiene el intervalo de confianza (153,65;162,35) para la media poblacional.

  1. Calcule la media muestral y el error máximo de estimación para ese intervalo de confianza.
  2. Si con el mismo nivel de confianza, aumentamos el tamaño muestral, ¿cómo se vería afectado el error?
  3. Con un nivel de confianza del 95%, ¿cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error cometido sea inferior a 3 km?

Ejercicio 8: Reserva 2 de 2020

El tiempo de espera para ser atendido en un servicio hospitalario es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal con desviación típica de 2 meses. Tomada una muestra al azar de 9 pacientes que han utilizado ese servicio, se han registrado los siguientes tiempos de espera en meses: 8,5,3,7,4,3,3,6,5,6,4,8,1,0,1,4,6,0.

  1. Determine un intervalo de confianza al 95% para el tiempo de espera medio poblacional.
  2. Con un nivel de confianza del 97%, ¿qué tamaño muestral mínimo se ha de tomar para que el error máximo cometido en la estimación del tiempo de espera medio poblacional no exceda de un mes?

Ejercicio 7: Reserva 3 de 2020

El tiempo de desfase, en minutos, entre la hora de paso programada de un antobús por cierta parada y la hora real a la que pasa, sigue una distribución Normal de media desconocida y varianza 4. Se observa el paso del autobús por la parada en 10 ocasiones elegidas al azar, registrándose los siguientes desfases: 4,72,13,65,40,04,24,0−0,21,95,2.

  1. Obtenga un intervalo de confianza al 97% para el desfase medio en la hora de paso del autobús.
  2. ¿Qué tamaño muestral mínimo sería necesario para estimar el desfase medio con un error inferior a 30 segundos y un nivel de confianza del 95%? ¿Cómo variaría dicho tamaño muestral si se aumentara el nivel de confianza?

Ejercicio 8: Reserva 3 de 2020

Una tienda de ropa quiere estudiar la aceptación de un nuevo sistema de pago a través del teléfono móvil. Para ello realiza una encuesta entre 200 de sus clientes elegidos al azar, resultando que 150 de ellos sí estarían dispuestos a usar el nuevo sistema de pago.

  1. Determine un intervalo de confianza al 97% para estimar la proporción de clientes de esa tienda que estarían dispuestos a usar el nuevo sistema de pago.
  2. Mediante una nueva encuesta se quiere estimar la proporción de clientes de esa tienda que usarían el nuevo sistema de pago, con un error máximo del 3% y un nivel de confianza del 94%. Suponiendo que se mantiene la proporción muestral del apartado anterior, ¿a cuántos clientes como mínimo habría que realizar la encuesta?

Ejercicio 7: Reserva 4 de 2020

Tomada al azar una muestra de 600 alumnos de una universidad española, se encontró que 23 de los mismos podían expresarse en inglés con fluidez.

  1. Calcule un intervalo de confianza al 98% para estimar la proporción de alumnos de esa universidad que pueden expresarse en inglés con fluidez. ¿Se podría admitir a ese nivel de confianza que la proporción de alumnos de esa universidad que pueden expresarse en inglés con fluidez es 1320?
  2. Teniendo en cuenta el intervalo anterior, ¿qué error máximo se cometería en dicha estimación?
  3. Si se mantienen la misma proporción muestral y la misma confianza, ¿cuántos alumnos como mínimo habría de tener una muestra para que el error de estimación sea inferior al 2%?

Ejercicio 8: Reserva 4 de 2020

La cantidad de café por taza que suministra una máquina de café sigue una distribución Normal con media desconocida y desviación típica 0,8 cm3. En una muestra de 45 tazas suministradas por esa máquina, se ha medido un total de 5.400 cm3 de café.

  1. Calcule el estimador puntual para la cantidad media de café por taza que suministra la máquina.
  2. Calcule un intervalo de confianza al 97% para estimar la cantidad media de café por taza que suministra la máquina.
  3. Calcule, con el mismo nivel de confianza, el tamaño muestral mínimo que se ha de tomar para que, al estimar la cantidad media de café por taza, el error cometido sea inferior a 0,2 cm3.

Ejercicio 7: Septiembre de 2020

  1. Una población de 25.000 personas se ha dividido en cuatro estratos con tamaños 15.000, 5.000, 3.000 y 2.000 personas respectivamente. En esa población se ha realizado un muestreo estratificado con afijación proporcional, en el que se han elegido al azar 36 personas del tercer estrato. Determine el tamaño de la muestra total obtenida con este muestreo y su composición.
  2. Dada la población 𝑃 ={2,4,6}, construya todas las muestras posibles de tamaño 2 que se puedan formar mediante muestreo aleatorio simple y halle la desviación típica de las medias muestrales obtenidas con todas esas muestras.

Ejercicio 8: Septiembre de 2020

Se ha tomado una muestra de 16 pacientes tratados por un especialista y se ha observado que el tiempo de espera en su consulta, en minutos, ha sido de: 89,2108,512911,378,58,37,699,410,58,96,8.

  1. Halle un intervalo de confianza al 97,5% para estimar el tiempo medio de espera de los pacientes tratados por este especialista.
  2. ¿Cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para asegurar, con un nivel de confianza del 90%, que el error cometido sea, a lo sumo, de 0,3 minutos?

Ejercicio A4: Junio de 2019

Se desea estimar la proporción de individuos que piensan votar a un cierto partido político en una determinada ciudad. Para ello se toma una muestra aleatoria de 300 individuos de la ciudad, resultando que 135 de ellos piensan votar a ese partido.

  1. Calcule un intervalo de confianza al 97% para la proporción de individuos que piensan votar a ese partido en dicha ciudad.
  2. Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño mínimo de la muestra para estimar la proporción con un error inferior al 2%.

Ejercicio B4: Junio de 2019

Los directivos de una empresa desean estimar el tiempo medio que tardan los empleados en llegar al puesto de trabajo desde sus domicilios. Admitimos que dicho tiempo sigue una distribución Normal de desviación típica 8 minutos. Se elige al azar una muestra de 9 empleados de esa empresa, obteniéndose los siguientes resultados, expresados en minutos: 10178276932521.

  1. Determine un intervalo de confianza al 92% para la media poblacional.
  2. Con una confianza del 95,5%, ¿qué tamaño muestral mínimo sería necesario para estimar el tiempo medio con un error inferior a 1,5 minutos?

Ejercicio A4: Reserva 1 de 2019

La cantidad de azúcar que añade un fabricante de refrescos a sus productos sigue una ley Normal cuya varianza es 225 mg2. Se ha seleccionado al azar una muestra de 25 refrescos de ese fabricante, en la que se ha obtenido una media de 175 mg de azúcar añadido por refresco.

  1. Determine un intervalo de confianza al 90% para la cantidad media de azúcar añadida a cada refresco.
  2. ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el intervalo de confianza correspondiente al 80% tenga una amplitud como máximo de 5 mg?

Ejercicio B4: Reserva 1 de 2019

La Consejería de Educación elige una muestra de 5.000 estudiantes de 1° de Bachillerato de Ciencias Sociales y los encuesta para conocer la opinión que tienen sobre la elección de cierta materia entre las optativas para cursar 2° de Bachillerato. El resultado de la encuesta revela que 2.250 estudiantes piensan elegir dicha materia optativa.

  1. Halle un intervalo de confianza al 97,5% para estimar la proporción de estudiantes que piensan elegir esa materia optativa.
  2. Si en otra muestra la proporción de estudiantes que piensa elegir esa materia es de 0,5 y el error cometido en la estimación ha sido inferior a 0,03 con un nivel de confianza del 92,5%, calcule el tamaño muestral mínimo de esa muestra.

Ejercicio A4: Reserva 2 de 2019

A la salida de una heladería se realizó una encuesta para comprobar si los clientes habían probado un nuevo sabor en promocion. Se observo que de 125 personas encuestadas, 20 no lo habian probado y el resto sí.

  1. Determine, con un nivel de confianza del 97%, un intervalo para estimar la proporción de clientes de esa heladería que no habían probado el nuevo helado.
  2. Mediante una nueva muestra se desea estimar la proporción de clientes de esa heladería que no habían probado el nuevo helado, con un error inferior al 5% y un nivel de confianza del 94%. Suponiendo que se mantiene la proporción muestral del apartado anterior, ¿qué tamaño mínimo debe tener dicha muestra?

Ejercicio B4: Reserva 2 de 2019

La vida útil de los filtros de las máquinas de agua por ósmosis se distribuye según una ley Normal de media desconocida y desviación típica de 2.000 horas. En una prueba realizada en 9 máquinas elegidas al azar, se obtuvieron los siguientes resultados: 9.50010.0008.50010.50016.50010.00012.00014.00017.000.

  1. Calcule un intervalo de confianza al 99% para la vida útil media de los filtros de las máquinas.
  2. ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo que debería tener una muestra, para que el error cometido en la estimación de la vida útil media de los filtros sea inferior a 500 horas, con un nivel de confianza del 95%?

Ejercicio A4: Reserva 3 de 2019

Para estimar la proporción de empleados de una empresa que usan lentillas, se toma una muestra al azar de 60 empleados de la misma y se observa que 16 usan lentillas.

  1. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo para estimar la proporción.
  2. Con el mismo nivel de confianza del apartado anterior y manteniendo la misma proporción muestral, determine el tamaño mínimo de la muestra para que el error cometido en la estimación de la proporción sea inferior a 0,1.

Ejercicio B4: Reserva 3 de 2019

El tiempo de duración, en horas, de un modelo de bombilla LED, sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica 150 horas. Con una muestra de bombillas de ese modelo y a un nivel de confianza del 98,5% se ha obtenido que el intervalo de confianza para la media es (18.475,7;18.524,3).

  1. Calcule el valor que se obtuvo para la media de la muestra y el tamaño de la muestra utilizado.
  2. ¿Cuál será el error máximo de estimación de la media si se hubiese utilizado una muestra de tamaño 100 y un nivel de confianza del 96,6%?

Ejercicio A4: Reserva 4 de 2019

La producción en kilogramos por árbol de aguacates de una comarca sigue una distribución Normal de desviación típica 4 y media desconocida.

  1. Obtenga el tamaño muestral mínimo necesario para estimar la media poblacional con un error de estimación inferior a 2,1 kg y una confianza del 97%.
  2. Se toma una muestra aleatoria de 9 árboles, cuyas producciones en kilogramos han sido: 151205040546524810. Obtenga el intervalo de confianza al 97% para estimar la producción media de aguacates por árbol y calcule el error máximo de estimación.

Ejercicio B4: Reserva 4 de 2019

En una muestra de 320 personas jubiladas elegidas al azar en un distrito de una ciudad, resultó que 96 de ellas realizaban alguna actividad física.

  1. Construya un intervalo de confianza al 95% para la proporción de personas jubiladas que realizan alguna actividad física en ese distrito.
  2. Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral, halle el tamaño mínimo de la muestra para que el error cometido sea inferior a 0,1 con un nivel de confianza del 98%.

Ejercicio A4: Septiembre de 2019

Las puntuaciones obtenidas por los participantes en un concurso se distribuyen siguiendo una ley Normal de varianza 36 y media desconocida. Se toma una muestra aleatoria de 64 concursantes, cuya puntuación media es 35 puntos.

  1. Obtenga un intervalo, con un 92% de confianza, para la puntuación media de los participantes en dicho concurso.
  2. Calcule el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar para estimar la puntuación media del total de concursantes, con un error inferior a 2 puntos y un nivel de confianza del 98%.

Ejercicio B4: Septiembre de 2019

Se quiere estimar la proporción de enfermos hospitalizados por causas relacionadas con el consumo de tabaco. Para ello se escoge aleatoriamente una muestra de 50 expedientes sanitarios de enfermos hospitalizados, resultando que el 22% de ellos revelan que la enfermedad fue causada por el tabaco.

  1. Para un nivel de confianza del 92%, calcule un intervalo de confianza para la proporción de enfermos hospitalizados por causas relacionadas con el consumo de tabaco.
  2. Determine cuántos expedientes hay que elegir como mínimo para que, con el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral anteriores, el error que se cometa al estimar la proporción de los enfermos hospitalizados por causas debidas al tabaco sea inferior al 3%.

Ejercicio A4: Junio de 2018

Se dispone de cuatro tornillos de 1, 2, 3 y 4 gramos de peso respectivamente.

  1. Mediante muestreo aleatorio simple, exprese todas las muestras posibles de tamaño 2.
  2. Determine la media y la varianza de los pesos medios muestrales.

Ejercicio B4: Junio de 2018

En un estudio sobre la utilización de nuevas tecnologías entre los estudiantes de Bachillerato, se ha realizado una encuesta a 500 estudiantes elegidos mediante muestreo aleatorio simple, resultando que 380 de ellos son usuarios de una determinada red social.

  1. Calcule un intervalo de confianza al 97% para la proporción de estudiantes que son usuarios de esa red social.
  2. Suponiendo que se mantiene la proporción muestral, determine el número mínimo de estudiantes a los que sería preciso entrevistar para que, con un nivel de confianza del 96%, el error cometido al estimar la proporción de usuarios de la citada red social no supere el 2%.

Ejercicio A4: Reserva 1 de 2018

A la salida de unos grandes almacenes se ha tomado una muestra aleatoria simple de 100 clientes, a los que se les ha preguntado por el gasto que han realizado, obteniéndose una media muestral de 110 euros. Se sabe que el gasto sigue una distribución Normal con desviación típica 20 euros.

  1. ¿Qué distribución de probabilidad sigue la media muestral?
  2. Obtenga un intervalo de confianza al 90%, para el gasto medio de todos los clientes que han comprado ese día.
  3. Si deseamos que el error máximo cometido, con el mismo nivel de confianza, sea 2 euros, ¿cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra?

Ejercicio B4: Reserva 1 de 2018

Se quiere estimar la proporción de estudiantes que asiste de forma regular al cine. Para ello, se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 300 y se obtiene que de ellos, 210 acuden con regularidad al cine.

  1. Calcule un intervalo de confianza al 92% para estimar la proporción de estudiantes que va al cine regularmente. ¿Qué error máximo se cometería si se diera como estimación de dicha proporción 0,7?
  2. Con el mismo nivel de confianza, siendo la proporción muestral la misma, si queremos que el error sea menor que 0,02, ¿cuántos alumnos como mínimo hay que elegir en la muestra?

Ejercicio A4: Reserva 2 de 2018

El peso de las ciruelas de una determinada variedad sigue una distribución Normal con media desconocida y desviación típica 3 gramos. Se eligen al azar 25 ciruelas de esa variedad y se pesan, resultando un peso medio de 60 gramos.

  1. Calcule un intervalo al 95% de confianza para estimar el peso medio de las ciruelas de esa variedad.
  2. Calcule el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar, para que al estimar el peso medio de esa variedad de ciruelas con un nivel de confianza del 99%, el error cometido sea inferior a 1 gramo.

Ejercicio B4: Reserva 2 de 2018

Se desea estimar el porcentaje de jóvenes que utilizan una determinada red social. Para ello se escoge una muestra aleatoria simple de 500 jóvenes y de ellos 410 afirman utilizarla.

  1. Calcule el intervalo de confianza para la proporción de jóvenes que usa esa red social con un nivel de confianza del 95%.
  2. Manteniendo la proporción muestral, determine el tamaño mínimo de la muestra necesario para que, con un nivel de confianza del 97%, el error máximo que se cometa al estimar la proporción de esa población sea inferior a 0,04.

Ejercicio A4: Reserva 3 de 2018

El gasto que tienen los jóvenes durante un fin de semana es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal de media 𝜇 desconocida y desviación típica igual a 6 euros.

  1. Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene que el intervalo de confianza al 95% para la media 𝜇 es (24,47;26,43). Calcule el valor de la media muestral y el tamaño de la muestra elegida.
  2. Escogida otra muestra de tamaño 49 para estimar 𝜇, calcule el error máximo cometido para esa estimación con un nivel de confianza del 97%.

Ejercicio B4: Reserva 3 de 2018

La Delegación de Tráfico de una ciudad desea estudiar la influencia del uso del teléfono móvil en los accidentes de tráfico. Elegida una muestra aleatoria simple de 250 accidentes registrados el año pasado, se observó que 90 de ellos se produjeron por distracciones debidas al uso del móvil.

  1. Determine un intervalo de confianza al 97% para estimar la proporción de accidentes de tráfico debidos al uso del móvil mientras se conduce.
  2. Usando la estimación anterior, calcule el tamaño mínimo que debe tener una muestra para estimar la proporción de accidentes con un error máximo del 5% y un nivel de confianza del 99%.

Ejercicio A4: Reserva 4 de 2018

La calificación que obtiene el alumnado en una determinada asignatura sigue una distribución Normal de media 𝜇 y desviación típica 3 puntos.

  1. Se toma una muestra aleatoria simple de 100 alumnos, resultando una calificación media de 5,7 puntos. Calcule un intervalo de confianza para estimar 𝜇 a un nivel de confianza del 95%.
  2. Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria para poder estimar 𝜇 con un error máximo de 0,5 puntos y un nivel de confianza del 99%.

Ejercicio B4: Reserva 4 de 2018

Una cadena de supermercados desea estimar la proporción de clientes que adquiere un determinado producto. Para ello ha tomado una muestra aleatoria simple de 1.000 clientes y ha observado que 300 compraban ese producto.

  1. Halle, con un nivel de confianza del 95%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de clientes del supermercado que compra ese producto.
  2. Si en otra muestra la proporción de clientes que compra ese producto es de 0,25 y el error cometido en la estimación ha sido inferior a 0,03, con un nivel de confianza del 92,5%, calcule el tamaño mínimo de la muestra.

Ejercicio A4: Septiembre de 2018

En una zona escolar formada por tres centros de secundaria, se desea estimar la proporción del alumnado que lleva teléfono móvil al instituto. Se toma una muestra aleatoria simple de 121 estudiantes, de los cuales 74 lo llevan.

  1. Determine un intervalo de confianza al 97% para la proporción de este alumnado que lleva el móvil al instituto. ¿Entre qué dos porcentajes varía esa proporción a ese nivel de confianza?
  2. Si con la misma muestra se disminuye el nivel de confianza, ¿qué efecto tendrá esta disminución en el error de estimación?
  3. Si en la misma zona se elige mediante muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional otra muestra de 121 estudiantes, considerando que el segundo centro escolar tiene el doble de alumnos que el primero y el tercero tiene el triple que el primero, ¿cuántos alumnos de cada centro se deben tomar para constituir la muestra?

Ejercicio B4: Septiembre de 2018

La edad de los empleados de una empresa sigue una ley Normal de varianza 64 y media desconocida. Se toma una muestra aleatoria simple de 16 empleados de dicha empresa, obteniéndose las siguientes edades 30423845526021263344284937413840.

  1. Obtenga un intervalo de confianza para estimar la edad media de los empleados, con un nivel de confianza del 97%.
  2. Calcule el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar para estimar la edad media de los empleados, con un error inferior a 2 años y un nivel de confianza del 99%.

Ejercicio A4: Junio de 2017

La altura de los estudiantes de 2° de Bachillerato de un centro sigue una ley Normal de media 165 cm y desviación típica 10 cm.

  1. ¿Qué distribución sigue la altura media de las muestras de tamaño 25?
  2. Se elige al azar una muestra de 25 estudiantes y se les mide la altura. ¿Cuál es la probabilidad de que la altura media de esa muestra supere 160 cm?

Ejercicio B4: Junio de 2017

La puntuación obtenida por los participantes en una prueba es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal con una desviación típica de 6 puntos. Se toma una muestra aleatoria de 64 participantes en esa prueba, resultando una puntuación media de 35 puntos.

  1. Calcule un intervalo de confianza, al 95%, para la calificación media del total de participantes en la citada prueba.
  2. Halle el tamaño mínimo de la muestra necesaria para estimar la puntuación media del total de participantes, con un error inferior a 0,5 puntos y un nivel de confianza del 99%.

Ejercicio A4: Reserva 1 de 2017

Se desea estimar la proporción de jóvenes que ven una serie de televisión. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 100 jóvenes, de los que 36 ven la serie.

  1. Determine un intervalo de confianza, al 96%, para la proporción de jóvenes que ven la serie.
  2. Con el mismo nivel de confianza, si queremos que el error máximo sea inferior a 0,03, ¿qué tamaño muestral mínimo debemos tomar?

Ejercicio B4: Reserva 1 de 2017

El peso de los paquetes de levadura de una marca sigue una ley Normal de desviación típica 0,3 g. Se desea construir un intervalo de confianza, al 98%, para estimar la media. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 9 paquetes.

  1. ¿Qué amplitud tendrá dicho intervalo?
  2. Obtenga el intervalo sabiendo que los pesos, en gramos, de los paquetes son: 109,910,049,510,19,810,21010,3.

Ejercicio A4: Reserva 2 de 2017

Se desea estimar la proporción de bares y restaurantes que en el camino de Santiago ofertan el menú del peregrino con un precio máximo de 12€. Para ello se eligen aleatoriamente 120 establecimientos que ofrecen este menú, de los que 80 tienen un precio máximo de 12€.

  1. Con un nivel de confianza del 92%, obtenga el intervalo de confianza para proporción de establecimientos que tienen un precio máximo de 12€.
  2. Si aumentamos el nivel de confianza al 99%, ¿qué efecto se produce en el error de estimación?
  3. ¿Cuántos establecimientos, como mínimo, deberíamos seleccionar para que, con un nivel de confianza del 99%, el error de la estimación no sea superior a 0,04?

Ejercicio B4: Reserva 2 de 2017

El precio de un determinado producto se distribuye según una ley Normal de desviación típica 5€ y media desconocida. Se toman 10 comercios al azar y se observa en ellos el precio de este producto, resultando los siguientes valores en euros: 9610897112991061051009899.

  1. ¿Cuál es la distribución del precio medio del producto en las muestras de tamaño 10?
  2. Determine un intervalo de confianza, al 97%, para la media poblacional.
  3. Con el mismo nivel de confianza, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra de esa población para que el error cometido sea menor que 2?

Ejercicio A4: Reserva 3 de 2017

Se desea estimar el porcentaje de alumnos de un determinado instituto que lleva gafas. Para ello se eligen 300 alumnos, de los que 210 llevan gafas.

  1. Calcule el intervalo de confianza para la proporción de alumnos que lleva gafas, con un nivel de confianza del 97%.
  2. Si por estudios en otros institutos se sabe que la proporción de alumnos que lleva gafas es del 70%, determine el tamaño mínimo de la muestra necesario para que, con una confianza del 97%, el error máximo que se cometa sea inferior a 0,06.

Ejercicio B4: Reserva 3 de 2017

Se sabe que el peso de los tarros de mermelada que fabrica una empresa sigue una distribución Normal con desviación típica 25 g. Con objeto de estimar el peso medio de los tarros fabricados por esa empresa se selecciona una muestra aleatoria de 100 tarros de esa fábrica obteniéndose un peso medio de 230 g.

  1. Calcule un intervalo de confianza, al 96%, para la media de la población.
  2. ¿Qué error máximo se ha cometido en el intervalo anterior?
  3. Determine el tamaño muestral mínimo para que el error máximo cometido al construir un intervalo de confianza, con el mismo nivel de confianza, sea 2 g.

Ejercicio A4: Reserva 4 de 2017

En un centro docente hay 160 alumnos matriculados en 1° de ESO, 120 en 2°, 120 en 3°, 80 en 4°, 240 en 1° de Bachillerato y 200 en 2°. Se quiere constituir una comisión en la que todos los cursos estén representados de forma proporcional.

  1. ¿Cuántos alumnos debe haber en la comisión y cuántos de cada curso si dicha comisión está formada por el 5% del total del alumnado?
  2. ¿Cuál sería la composición de la comisión si queremos que haya 9 alumnos de 2° de ESO?

Ejercicio B4: Reserva 4 de 2017

El tiempo diario, en horas, que dedican los alumnos de una Facultad a las redes sociales sigue una ley Normal de desviación típica 2 horas. Se toma una muestra aleatoria de 10 alumnos con los siguientes tiempos en horas 6,576,2575,57,256,756,2566,5.

  1. Determine el intervalo de confianza, al 90%, para el tiempo medio diario dedicado por los alumnos de esa Facultad a las redes sociales.
  2. Utilizando el mismo nivel de confianza anterior, calcule el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el tiempo medio diario, para un error de estimación máximo de 0,1 horas.

Ejercicio A4: Septiembre de 2017

El tiempo de vida de una determinada especie de tortuga es una variable aleatoria que sigue una ley Normal de desviación típica 10 años. Se toma una muestra aleatoria simple de 10 tortugas y se obtienen los siguientes valores: 46385929343238214434.

  1. Determine un intervalo de confianza, al 95%, para la vida media de dicha especie de tortugas.
  2. Calcule el tamaño mínimo que debe tener una muestra para que el error de estimación de la vida media no sea superior a 5 años, con un nivel de confianza del 98%.

Ejercicio B4: Septiembre de 2017

En una muestra, elegida al azar, de 100 estudiantes de una Universidad, se ha observado que 25 desayunan en la cafetería del campus.

  1. Determine, con un nivel de confianza del 95%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de estudiantes de esa Universidad que desayunan en la cafetería.
  2. Si la proporción de estudiantes de esa Universidad que desayunan en la cafetería del campus en una muestra aleatoria es de 0,2, y el error cometido en la estimación ha sido inferior a 0,03, con un nivel de confianza del 92,5% calcule el tamaño mínimo de la muestra.

Ejercicio A4: Junio de 2016

Se desea estimar la media de una variable aleatoria Normal cuya desviación típica es 2,5. Para ello, se toma una muestra aleatoria, obteniéndose los siguientes datos: 1818,51416,5192020,51718,518.

  1. Determine un intervalo de confianza al 96% para la media poblacional.
  2. ¿Cuál es el error máximo cometido con esa estimación?
  3. Con el mismo nivel de confianza, si queremos que el error máximo sea inferior a 1, ¿qué tamaño muestral mínimo debemos tomar?

Ejercicio B4: Junio de 2016

El peso de los habitantes de una determinada ciudad sigue una ley Normal de media 65 kg y desviación típica 8 kg.

  1. ¿Qué distribución sigue la media de los pesos de las muestras de habitantes de tamaño 64 extraídas de esa ciudad?
  2. Si se extrae una muestra aleatoria de tamaño 100 de esa ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que el peso medio de esa muestra esté comprendido entre 64 y 65 kg?

Ejercicio A4: Reserva 1 de 2016

El número de pulsaciones por minuto (p/m) de los pacientes de un centro de salud de una cierta población sigue una ley Normal de desviación típica 9.

  1. Se elige una muestra aleatoria de 100 pacientes que da como número medio de p/m 68. Con un nivel del 97%, determine un intervalo de confianza para el número medio de las p/m de los pacientes de ese centro.
  2. Con el mismo nivel de confianza, ¿cuántos pacientes, como mínimo, se necesitan en la muestra para estimar el número medio de p/m con un error no superior a 1?

Ejercicio B4: Reserva 1 de 2016

En una encuesta realizada a 600 trabajadoras de una empresa, 250 de ellas manifiestan estar insatisfechas con su salario. La dirección de la empresa afirma que la proporción de trabajadoras que están insatisfechas con su salario no es superior a 0,3. Plantee un contraste de hipótesis para dicha proporción, con hipótesis nula 𝐻0 :𝑝 ≤0,3. Con un nivel de significación del 4%, determine la región de rechazo y razone si se puede aceptar la afirmación de la dirección de la empresa.

Ejercicio A4: Reserva 2 de 2016

  1. La talla de los individuos de una población sigue una distribución Normal con desviación típica 8 cm y media desconocida. A partir de una muestra aleatoria se ha obtenido un intervalo de confianza al 95% para estimar la talla media poblacional, que ha resultado ser (164,86;171,14) en cm. Calcule la talla media de la muestra y el tamaño muestral mínimo necesario para reducir a la mitad el error máximo de estimación anterior.
  2. En un club privado con 243 usuarios se ha seleccionado una muestra para hacer un sondeo, según la actividad realizada y por muestreo aleatorio estratificado. En esa muestra, 5 usuarios practican Yoga, 7 Pilates y 15 Mantenimiento, ¿cuántos usuarios están inscritos en cada actividad en ese club?

Ejercicio B4: Reserva 2 de 2016

En un artículo de Internet se afirma que el número medio de mensajes de WhatsApp que mandan los jóvenes al día no es inferior a 40. Para contrastar dicha información se elige una muestra aleatoria de 100 jóvenes y se observa que envían una media de 38 mensajes al día. Se sabe que el número de mensajes enviados diariamente sigue una distribución Normal de desviación típica 2. Con un nivel de significación del 5% plantee un contraste, (𝐻0 :𝜇 ≥40), determine la región de rechazo y concluya si se puede aceptar la afirmación del artículo de Internet.

Ejercicio A4: Reserva 3 de 2016

Se sabe que el diámetro de las estrellas de mar de una región sigue una ley Normal con varianza 2,25 cm2. Se sospecha que, igual que ocurre en otras regiones, su diámetro no supera los 11,7 cm (𝐻0 :𝜇 ≤11,7). Para confirmarlo se extrae una muestra aleatoria de estrellas de mar de esa región, obteniéndose los siguientes diámetros: 12,511,813,114,311,712,612,712,113,511,5.

  1. Plantee un contraste de hipótesis y, para un nivel de significación del 5%, obtenga la región de rechazo del contraste. ¿Se puede confirmar la sospecha?
  2. ¿Y para un nivel de significación del 3% se puede confirmar la sospecha?

Ejercicio B4: Reserva 3 de 2016

El peso de los paquetes de azúcar de una marca, medido en gramos, sigue una distribución Normal con desviación típica de 16 gramos. A partir de una muestra de 100 paquetes de azúcar de dicha marca, se obtuvo un peso medio de 247 gramos.

  1. Obtenga un intervalo de confianza para el peso medio de los paquetes de azúcar de esa marca, con un nivel de confianza del 97%.
  2. Determine el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el peso medio con un error máximo de 0,5 gramos, a un nivel de confianza del 95%.

Ejercicio A4: Reserva 4 de 2016

Para estudiar el número de personas que van al cine mensualmente en una ciudad, se ha seleccionado una muestra aleatoria de 10 meses y se ha registrado el número de entradas al cine vendidas en cada mes. Los datos son los siguientes: 682553555666657649522568700552.

  1. Suponiendo que el número de entradas vendidas mensualmente sigue una distribución Normal con desviación típica 50 entradas, calcule un intervalo de confianza, con un nivel del 95%, para el número medio de personas que van al cine mensualmente en esa ciudad.
  2. ¿Cuál es el error máximo que se comete al estimar esta media con este intervalo?

Ejercicio B4: Reserva 4 de 2016

La proporción de nacimientos que ocurren con luna llena en los hospitales de una ciudad se consideraba no inferior a 0,45, pero un estudio afirma que en la actualidad esta proporción ha descendido. Para contrastar esta hipótesis se han elegido al azar, en estos hospitales, a 200 recién nacidos, de los cuales 70 nacieron con luna llena. Decida mediante un contraste de hipótesis, con 𝐻0 :𝑝 ≥0,45, si la afirmación del estudio es correcta con un nivel de significación del 1%, indicando la región de rechazo.

Ejercicio A4: Septiembre de 2016

Una cadena de hipermercados decide estudiar la proporción de artículos de un determinado tipo que tienen defectos en su envoltorio. Para ello, selecciona aleatoriamente 2.000 artículos de este tipo entre sus hipermercados y encuentra que 19 de ellos tienen defectos en su envoltorio.

  1. Determine un intervalo, al 95% de confianza, para la proporción real de artículos con este tipo de defecto e interprete el resultado obtenido.
  2. ¿Cuántos artículos, como mínimo, deberá seleccionar para que, con un nivel de confianza del 99%, la proporción muestral difiera de la proporción real a lo sumo en un 1%?

Ejercicio B4: Septiembre de 2016

  1. Se desea tomar una muestra aleatoria estratificada de las personas mayores de edad de un municipio, cuyos estratos son los siguientes intervalos de edades, en años: de 18 a 30, de 31 a 45, de 46 a 60 y mayores de 60. En el primer intervalo hay 7.500 personas, en el segundo hay 8.400, en el tercero 5.700 y en el cuarto 3.000. Calcule el tamaño de la muestra total y su composición, sabiendo que el muestreo se hace con afijación proporcional y se han elegido al azar 375 personas del primer estrato.
  2. Dada la población {2,4,6} construya todas las muestras posibles de tamaño 2, que se puedan formar mediante muestreo aleatorio simple, y halle la varianza de las medias muestrales de todas las muestras.

Ejercicio A4: Junio de 2015

La calificación en Matemáticas de los alumnos de un centro docente es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal de desviación típica 1,2. Una muestra de 10 alumnos ha dado las siguientes calificaciones: 3863917756.

  1. Se tiene la creencia de que la calificación media de los alumnos del centro en Matemáticas es a lo sumo 5 puntos. Con un nivel de significación del 5%, plantee el contraste unilateral correspondiente (𝐻0 :𝜇 ≤5), determine la región crítica y razone si la creencia es fundada o no.
  2. ¿Obtendría la misma respuesta si el nivel de significación fuese del 15%?

Ejercicio B4: Junio de 2015

Un fabricante de tuberías de PVC sabe que la distribución de los diámetros interiores de los tubos de conducción de agua que produce sigue una ley Normal con varianza 𝜎2 =0,25 mm2. Para estimar el diámetro medio de esas tuberías, toma una muestra aleatoria de 64 tubos y comprueba que el diámetro medio de esa muestra es de 20 mm.

  1. Calcule un intervalo de confianza, con un nivel del 98%, para la media de los diámetros de los tubos que fabrica.
  2. Halle el tamaño mínimo que debe tener una muestra de esa distribución para que la amplitud de un intervalo de confianza, con ese mismo nivel de confianza, sea inferior a 2 mm.

Ejercicio A4: Reserva 1 de 2015

La talla media de los alumnos de una Universidad sigue una distribución Normal de media 170 cm y desviación típica 6 cm. Estudios recientes hacen sospechar que dicha talla media ha aumentado. Para confirmar, o no, esa sospecha se ha tomado una muestra de 64 estudiantes de esa Universidad, cuya talla media ha resultado ser de 172 cm. Con un nivel de significación del 1%, plantee un contraste de hipótesis (𝐻0 :𝜇 ≤170), determine la región crítica de ese contraste y razone si se puede concluir que la talla media poblacional ha aumentado.

Ejercicio B4: Reserva 1 de 2015

El tiempo en horas dedicado cada día al uso de una aplicación de mensajería instantánea por los estudiantes de bachillerato de una ciudad, es una variable aleatoria que sigue una ley Normal con desviación típica 0,5 horas. Se toma una muestra aleatoria de 10 estudiantes y se obtienen los siguientes tiempos de uso en horas: 3,54,252,253,754,22,751,251,21,752,1.

  1. Determine un intervalo de confianza al 90% para el tiempo medio diario dedicado al uso de esta aplicación por los estudiantes.
  2. Calcule el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el tiempo medio diario dedicado al uso de esta aplicación, para un error de estimación no superior a 0,1 horas y mismo nivel de confianza anterior.

Ejercicio A4: Reserva 2 de 2015

Una característica poblacional X sigue una distribución Normal 𝑁(𝜇;2,1). Sobre ella se formula un contraste de hipótesis bilateral con 𝐻0 :𝜇 =5,5 a un nivel de significación del 8%. Se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño 25 que proporciona una media muestral de 6,3. Plantee dicho contraste, determine su región crítica y razone si se puede aceptar la hipótesis nula.

Ejercicio B4: Reserva 2 de 2015

Se ha lanzado un dado 400 veces, y en 72 de ellas ha salido un tres.

  1. Calcule un intervalo de confianza, al 99,2%, para la proporción de veces que se obtiene un tres.
  2. Calcule el error máximo admisible cometido con ese intervalo.

Ejercicio A4: Reserva 3 de 2015

El servicio de atención al cliente de una empresa funciona eficazmente si el tiempo medio de atención es inferior o igual a 7 minutos. Se toma una muestra de 36 clientes atendidos y se observa que el tiempo medio es de 8 minutos. Suponiendo que el tiempo empleado en atender a un cliente sigue una distribución Normal con varianza 16, plantee un contraste de hipótesis (𝐻0 :𝜇 ≤7), con un nivel de significación de 0,05, determine la región crítica de este contraste y razone si se puede aceptar que ese servicio funciona de forma eficaz.

Ejercicio B4: Reserva 3 de 2015

De una población Normal de media desconocida 𝜇 y desviación típica 2 se extrae la siguiente muestra aleatoria simple de tamaño 10: 3,8,6,3,4,3,,6,6,2,5,8,1,5,3,3,3,4,2,9.

  1. Estime, mediante un intervalo de confianza, la media poblacional para un nivel de confianza del 92%. Obtenga su error de estimación.
  2. ¿Qué tamaño muestral mínimo sería necesario para reducir ese error a la mitad, con el mismo nivel de confianza?

Ejercicio A4: Reserva 4 de 2015

El capital de las hipotecas constituidas sobre fincas urbanas en Andalucía es una variable aleatoria Normal con desviación típica 10.000€.

  1. Se toma una muestra aleatoria de 9 hipotecas con los siguientes capitales (en euros): 95.00099.000105.000106.000108.000111.000112.000115.000120.000. Construya un intervalo de confianza, al 95%, para el capital medio de dichas hipotecas.
  2. ¿Qué número mínimo de hipotecas deberíamos considerar en una muestra para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo en la estimación del capital medio sea de 4.000€?

Ejercicio B4: Reserva 4 de 2015

El peso medio de los pájaros de una determinada especie que habita en un parque natural se consideraba no inferior a 110 g, pero los biólogos del parque sostienen ahora la hipótesis de que dicho peso medio ha disminuido a consecuencia del cambio climático. Se ha tomado una muestra de 100 pájaros de esta especie y se ha obtenido un peso medio de 108 g. Se sabe que la variable que mide el peso de los pájaros de esta especie sigue una distribución Normal con desviación típica igual a 6 g. Plantee un contraste de hipótesis (𝐻0 :𝜇 ≥110), con un nivel de significación del 5%, determine la región crítica de este contraste y, utilizando ésta, razone si con ese nivel se puede aceptar que los biólogos del parque están en lo cierto.

Ejercicio A4: Septiembre de 2015

  1. En una muestra aleatoria de 100 botellas de agua mineral se encontró un contenido medio de 48 cl. Sabiendo que la variable "contenido de agua en una botella" sigue una ley Normal con desviación típica 5 cl, determine un intervalo de confianza para la media poblacional, con un nivel de confianza del 95%.
  2. ¿Qué tamaño muestral mínimo debería considerarse para estimar esta media con el mismo nivel de confianza y un error inferior a 0,5 cl?

Ejercicio B4: Septiembre de 2015

La concentración de arsénico en los moluscos de una zona costera sigue una ley Normal con desviación típica 6 mg/kg. Para verificar la calidad de estos moluscos se toma una muestra aleatoria de tamaño 36 para contrastar si la media poblacional no supera el límite máximo de 80 mg/kg permitido por la normativa sanitaria (𝐻0 :𝜇 ≤80).

  1. Determine la región crítica de este contraste a un nivel de significación del 5%.
  2. ¿Debe rechazarse esta hipótesis nula, al nivel del 5%, si en esa muestra de 36 moluscos se encuentra una concentración media de arsénico de 82 mg/kg?

Ejercicio A4: Junio de 2014

Se quiere hacer un estudio de mercado para conocer el precio medio de los libros de narrativa que se venden en la actualidad. Para ello se elige una muestra aleatoria de 121 libros, encontrando que tienen un precio medio de 23€. Se sabe que el precio de los libros de narrativa sigue una distribución Normal con media desconocida y desviación típica 5€.

  1. Obtenga un intervalo de confianza, al 98,8%, para el precio medio de esos libros.
  2. ¿Cuántos libros habría que elegir como muestra para que, con la misma confianza, el error máximo de la estimación no excediera de 1€?

Ejercicio B4: Junio de 2014

Un titular de prensa afirma que el 70% de los jóvenes de una ciudad utilizan las redes sociales para comunicarse. Para contrastar la veracidad de tal afirmación se toma una muestra aleatoria de 500 jóvenes de esa ciudad, y se obtiene que 340 de ellos utilizan la red para comunicarse. Analice mediante un contraste de hipótesis bilateral, (𝐻0 :𝑝 =0,7), si se puede aceptar, con un nivel de significación del 1%, que dicha afirmación es cierta.

Ejercicio A4: Reserva 1 de 2014

Para estimar la proporción de balances contables incorrectos de un banco, se seleccionan aleatoriamente 200 balances, y se encuentra que 19 de ellos son incorrectos.

  1. Obtenga un intervalo de confianza, al 95%, para la proporción de balances incorrectos.
  2. ¿Cuántos balances se deberán seleccionar para que, con un nivel de confianza del 99%, el error de la estimación no sea superior a 0,02?

Ejercicio B4: Reserva 1 de 2014

  1. Determine todas las muestras de tamaño 2 que, mediante muestreo aleatorio simple, se pueden extraer del conjunto {6,9,12} y calcule la varianza de las medias de estas muestras.
  2. Una empresa fabrica cuatro productos A, B, C y D, de los que elabora diariamente 40, 15, 25 y 120 unidades respectivamente. Si un día se quiere elaborar una muestra de 40 unidades con los productos fabricados por muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional, ¿qué número de unidades de cada producto se debe elegir?

Ejercicio A4: Reserva 2 de 2014

Una panadería produce barras de pan cuya longitud, medida en centímetros, sigue una distribución Normal con una desviación típica de 5 centímetros.

  1. A partir de una muestra de 100 barras de pan se ha calculado el intervalo de confianza para la media poblacional, resultando ser (31,2; 33,4). Halle la media muestral y el error de estimación.
  2. Para un nivel de confianza del 96%, halle el tamaño muestral mínimo necesario para que el error de estimación máximo sea 1,5.

Ejercicio B4: Reserva 2 de 2014

Queremos estudiar la proporción de personas de una población que usan una determinada marca de ropa; para ello se hace una encuesta a 950 personas y se obtiene que 215 de ellas usan esa marca. Utilizamos un contraste de hipótesis (𝐻0 :𝑝 ≥0,25).

  1. ¿Podemos afirmar con estos datos y con un nivel de significación del 5% que al menos el 25% de toda la población usa esa marca de ropa?
  2. ¿Y con un nivel de significación del 1%?

Ejercicio A4: Reserva 3 de 2014

Con el fin de estudiar el precio medio del litro de gasolina en una provincia en un determinado día, se seleccionan al azar ese día 9 estaciones de servicio y se observan los siguientes precios, en euros, de un litro de gasolina: 1,31,21,41,271,251,321,371,381,23. Se sabe que el precio del litro de gasolina se distribuye según una ley Normal con desviación típica igual a 0,18 euros.

  1. Obtenga un intervalo de confianza, al 95%, para estimar el precio medio del litro de gasolina.
  2. Calcule el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el precio medio del litro de gasolina con un error no superior a 0,08 euros, con el mismo nivel de confianza.

Ejercicio B4: Reserva 3 de 2014

  1. En un centro docente la tercera parte de los alumnos estudia el idioma A, la mitad el idioma B y el resto el idioma C (cada alumno estudia sólo uno de estos idiomas).
    1. Se desea seleccionar una muestra de 60 alumnos, mediante muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional al número de los alumnos de cada idioma. ¿Cómo debería estar conformada la muestra?
    2. En otra muestra seleccionada por el procedimiento anterior, el número de alumnos tomados del idioma A es 14. Determine cuántos se han elegido de los otros dos idiomas.
  2. Una población tiene 5 elementos. Mediante muestreo aleatorio simple se seleccionan muestras de tamaño 3, siendo la desviación típica de sus medias 2 y la media de las medias muestrales 7. ¿Cuánto valen la media y la varianza de la población?

Ejercicio A4: Reserva 4 de 2014

Los responsables de tráfico de una ciudad trabajan con la hipótesis de que, al menos, el 65% de sus habitantes son favorables a la creación de una red de carril-bici en esa ciudad. Encuestados 950 habitantes, elegidos al azar, 590 están a favor de tal medida.

  1. Mediante un contraste de hipótesis, (𝐻0 :𝑝 ≥0,65), con un nivel de significación del 10%, ¿se puede decir que tienen razón los responsables de tráfico de esa ciudad?
  2. ¿Se concluiría lo mismo si el nivel de significación fuera del 1%?

Ejercicio B4: Reserva 4 de 2014

Para estimar la proporción de habitantes que es favorable a la construcción de un centro comercial en un municipio, se ha obtenido el intervalo de confianza (0,31; 0,39) al 94%.

  1. ¿Cuál ha sido el valor de la proporción muestral?
  2. Si la muestra aleatoria elegida de esa población para el estudio fue de 500 personas, ¿cuántas de ellas deseaban la construcción del centro comercial?
  3. Se desea repetir el estudio para obtener un intervalo de confianza con un error máximo de 0,03 y el mismo nivel de confianza. ¿Cuántas personas, como mínimo, debe tener la nueva muestra aleatoria?

Ejercicio A4: Septiembre de 2014

La concejalía de Educación de una determinada localidad afirma que el tiempo medio dedicado a la lectura por los jóvenes de entre 15 y 20 años de edad es, a lo sumo, de 8 horas semanales. Para contrastar esta hipótesis, (𝐻0 :𝜇 ≤8), se escoge al azar una muestra de 100 jóvenes, de entre 15 y 20 años, y se obtiene una media de 8,3 horas de dedicación a la lectura. Supuesto que el tiempo dedicado a la lectura sigue una ley Normal con desviación típica igual a 1 hora, ¿qué se puede decir, a un nivel de significación del 5%, sobre la afirmación de la concejalía?

Ejercicio B4: Septiembre de 2014

El peso de los huevos de una granja sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica 1,23 gramos. Para estimar la media poblacional se ha tomado una muestra de dos docenas de huevos que han dado un peso total de 1.615,2 gramos.

  1. Halle un intervalo de confianza, al 96%, para la media poblacional.
  2. Con el mismo nivel de confianza anterior, si nos exigieran que el intervalo tuviera una amplitud máxima de 0,8, ¿de qué tamaño, como mínimo, habría que tomar la muestra?

Ejercicio A4: Junio de 2013

Se quiere estimar la proporción de hembras entre los peces de una piscifactoría; para ello se ha tomado una muestra aleatoria de 500 peces, y en ella hay 175 hembras.

  1. Calcule un intervalo de confianza para la proporción de hembras en esta población de peces, con un nivel de confianza del 94%.
  2. A la vista del resultado del muestreo se quiere repetir la experiencia para conseguir un intervalo de confianza con el mismo nivel y un error máximo de 0,02, ¿cuál es el tamaño mínimo que debe tener la nueva muestra?

Ejercicio B4: Junio de 2013

El tiempo que los españoles dedican a ver la televisión los domingos es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica 75 minutos. Elegida una muestra aleatoria de españoles se ha obtenido, para la media de esa distribución, el intervalo de confianza (188,18; 208,82), con un nivel del 99%.

  1. Calcule la media muestral y el tamaño de la muestra.
  2. Calcule el error máximo permitido si se hubiese utilizado una muestra de tamaño 500 y un nivel de confianza del 96%.

Ejercicio A4: Reserva 1 de 2013

Un director sanitario sostiene que el Índice de Masa Corporal (IMC) medio de los adolescentes de su distrito no supera el nivel 25 (sobrepeso). Para contrastar su afirmación toma una muestra aleatoria de 225 adolescentes que da como resultado un IMC medio de 26. Sabiendo que el IMC sigue una distribucion Normal con desviación típica 5 discuta, mediante un contraste de hipótesis con 𝐻0 :𝜇 ≤25, si la afirmación del director sanitario es correcta, con un nivel de significación del 5%.

Ejercicio B4: Reserva 1 de 2013

En una población próxima a un puerto deportivo se quiere estimar la proporción de habitantes que navegan al menos una vez a la semana. Se toma una muestra, al azar, de 400 habitantes de la población, de los que 160 afirman navegar al menos una vez en semana.

  1. Halle el intervalo de confianza del 90% para la proporción de habitantes que navegan al menos una vez en semana.
  2. A la vista del resultado, se pretende repetir la experiencia para conseguir una cota del error de 0,1 con el mismo nivel de confianza del apartado anterior. ¿Cuántos individuos debe tener al menos la muestra?

Ejercicio A4: Reserva 2 de 2013

Queremos estudiar la proporción de personas de una población que acceden a internet a través de teléfono móvil. Para ello hacemos una encuesta a una muestra aleatoria de 400 personas de esa poblacion, y obtenemos que 240 de ellas acceden a internet a traves del móvil.

  1. Determine un intervalo de confianza, al 98,5%, para la proporción de personas de esa población que acceden a internet a través del teléfono móvil.
  2. Razone el efecto que tendría sobre la amplitud del intervalo de confianza el aumento o disminución del tamaño de la muestra, suponiendo que se mantuvieran la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza.

Ejercicio B4: Reserva 2 de 2013

  1. Una población de 6.000 personas se ha dividido en 3 estratos, uno con 1.000 personas, otro con 3.500 y otro con 1.500. En esa población se ha realizado un muestreo estratificado con afijación proporcional, en el que se han elegido al azar 15 personas del tercer estrato. Determine el tamaño de la muestra total obtenida con este muestreo y su composición.
  2. Dada la población {1,4,7}, construya todas las muestras posibles de tamaño 2 que puedan formarse mediante muestreo aleatorio simple, y halle la varianza de las medias muestrales de todas esas muestras.

Ejercicio A4: Reserva 3 de 2013

El peso de los sobres de café que fabrica una empresa sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica 0,3 g. Se quiere construir un intervalo de confianza para estimar dicha media, con un nivel de confianza del 98%, y para ello se toma una muestra de 9 sobres.

  1. ¿Qué amplitud tendrá dicho intervalo?
  2. ¿Cómo afectaría a dicha amplitud un aumento del tamaño de la muestra, manteniendo el mismo nivel de confianza?
  3. Obtenga el intervalo de confianza sabiendo que los pesos, en gramos, de los sobres de la muestra son: 77,176,937,0277,016,57,1.

Ejercicio B4: Reserva 3 de 2013

Los representantes de un partido político creen que la proporción de sus votantes será al menos del 35%. Para confirmarlo eligen una muestra al azar de 1.200 votantes y obtienen que 336 de ellos son partidarios de votarles. Mediante un contraste de hipótesis, con 𝐻0 :𝑝 ≥0,35, y a un nivel de significación del 0,01, ¿se puede admitir como cierta la creencia de los representantes del partido político?

Ejercicio A4: Reserva 4 de 2013

Se conoce que la acidez de una solución es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal con desviación típica 0,2. Se ha tomado una muestra aleatoria de cinco soluciones y se han obtenido las siguientes medidas de la acidez: 7,927,957,917,97,94.

  1. Halle el intervalo de confianza, al 99%, para la media poblacional.
  2. ¿Qué error máximo se ha cometido en el intervalo anterior?
  3. Para el mismo nivel de confianza, calcule el tamaño mínimo muestral que permita reducir el error anterior a la mitad.

Ejercicio B4: Reserva 4 de 2013

  1. Se considera la población {2,4,6}. Escriba todas las posibles muestras de tamaño dos elegidas mediante muestreo aleatorio simple y determine la desviación típica de las medias muestrales.
  2. En una ciudad se seleccionó una muestra aleatoria de 500 alumnos de Bachillerato a los que se les preguntó si poseían una determinada marca de teléfono móvil, resultando que 80 de ellos contestaron afirmativamente. Obtenga un intervalo de confianza, al 92%, para estimar la proporción de estudiantes de Bachillerato que poseen esa marca de teléfono móvil.

Ejercicio A4: Septiembre de 2013

En una bodega utilizan una máquina que debe envasar el vino en botellas con un contenido de 750 ml. Para comprobar si esa maquina funciona correctamente, se toma una muestra de 36 botellas y se observa que el contenido medio de las mismas es de 748 ml. Suponiendo que la variable "contenido" sigue una distribucion Normal con varianza 25, analice mediante un contraste de hipótesis bilateral (𝐻0 :𝑝 =750) si se puede aceptar, con un nivel de significación de 0,05, que la máquina envasadora funciona correctamente.

Ejercicio B4: Septiembre de 2013

El gasto mensual de las familias de un municipio se distribuye segun una variable Normal con desviación típica igual a 180 euros. Seleccionadas 30 familias al azar, han tenido un gasto medio mensual de 900 euros.

  1. Calcule un intervalo de confianza para el gasto medio mensual de las familias de ese municipio con un nivel de confianza del 98%.
  2. Calcule el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el gasto medio mensual de las familias con un error no superior a 60 euros, con el mismo nivel de confianza.

Ejercicio A4: Junio de 2012

De una muestra aleatoria de 120 alumnos presentados a las Pruebas de Acceso, sólo 15 han resultado no aptos.

  1. Calcule un intervalo de confianza, al 99%, para estimar la proporción de alumnos que han resultado aptos en dicha prueba.
  2. Manteniendo la misma confianza, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para estimar la proporción de alumnos aptos, cometiendo un error inferior al 5%?

Ejercicio B4: Junio de 2012

Se considera que, a lo sumo, el 5% de los artículos guardados en un almacén son defectuosos. Pasado un tiempo, la persona encargada del mantenimiento del almacén decide investigar si esa estimación es adecuada. Para ello, escoge aleatoriamente 300 artículos de los que 35 están defectuosos.

  1. Plantee un contraste de hipótesis (𝐻0 :𝑝 ≤0,05) para determinar si ha aumentado la proporción de artículos defectuosos. Obtenga la región crítica del contraste para un nivel de significación del 5%.
  2. ¿Qué conclusión se obtiene con los datos muestrales observados?

Ejercicio A4: Reserva 1 de 2012

La variable “tiempo de reacción de un conductor ante un obstáculo imprevisto” sigue una distribución Normal con desviación típica 0,05 segundos. Al medir dicho tiempo en 50 conductores se ha obtenido un tiempo medio de 0,85 segundos.

  1. Halle el intervalo de confianza para el tiempo medio de reacción, con un nivel de confianza del 99%.
  2. ¿De qué tamaño mínimo ha de tomarse una muestra para que el error de estimación no supere 0,01 segundos, con un nivel de confianza del 95%?

Ejercicio B4: Reserva 1 de 2012

Un informe de un Ayuntamiento afirma que al menos el 26% de los usuarios del carril bici habrían utilizado el coche particular para sus desplazamientos de no haber existido dicho carril. Sin embargo, un periódico local anuncia la falsedad del dato, informando que una encuesta propia indica que solo 240 de los 1.000 usuarios encuestados afirman que habrían utilizado el coche particular.

  1. Establezca un contraste, con hipótesis nula 𝐻0 :𝑝 ≥0,26, para verificar la afirmación del Ayuntamiento e indique la región crítica de dicho contraste para un nivel de significación del 5%.
  2. Con este nivel de significación ¿podría aceptarse el informe del Ayuntamiento?

Ejercicio A4: Reserva 2 de 2012

Una característica de una determinada población se distribuye según una variable aleatoria Normal 𝑋 de media desconocida y desviación típica 0,9. Extraída al azar una muestra de tamaño 9 de esa población y observada 𝑋, dio como resultados: 10,5108,510,511,513,59,51312.

  1. Halle un intervalo de confianza, al 99%, para la media de la variable 𝑋.
  2. Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra de esa población, para que el error máximo que se cometa en la determinación de un intervalo de confianza para la media de 𝑋 sea, a lo sumo, 0,3, con un nivel de confianza del 90%.

Ejercicio B4: Reserva 2 de 2012

Se cree que al menos el 25% de los usuarios de teléfonos móviles son de contrato. De una encuesta realizada a 950 personas, elegida al azar, 200 de ellas manifestaron que tenían teléfono móvil de contrato. A la vista de estos resultados y con un nivel de significación del 5%, ¿puede admitirse que la proporción de personas con contrato en su teléfono móvil ha disminuido? Utilice para la resolución del problema un contraste de hipótesis con hipótesis nula "la proporción 𝑝 es mayor o igual que 0,25".

Ejercicio A4: Reserva 3 de 2012

Se acepta que los rendimientos anuales, medidos en porcentajes, que producen los depósitos bancarios a plazo, se distribuyen según una ley Normal con desviación típica 1,8 y se pretende realizar una estimación del rendimiento medio de los mismos. Para ello, se tiene una muestra de 36 entidades bancarias en la que se observa que el rendimiento medio de los depósitos es del 2,5.

  1. Calcule un intervalo de confianza, al 96%, para el rendimiento medio de los depósitos a plazo. ¿Cuál es el error máximo cometido en la estimación?
  2. Manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para estimar el rendimiento medio de los depósitos con un error máximo de 0,5?

Ejercicio B4: Reserva 3 de 2012

  1. En una ciudad viven 400 hombres y 320 mujeres y se quiere seleccionar una muestra de tamaño 54 utilizando muestreo estratificado por sexos, con afijación proporcional. ¿Cuál sería la composición de la muestra?
  2. A partir de una población de elementos 1, 2, 3, 4 se seleccionan, mediante muestreo aleatorio simple, todas las muestras de tamaño 2. Escriba dichas muestras y calcule la varianza de las medias muestrales.

Ejercicio A4: Reserva 4 de 2012

Un índice para calibrar la madurez lectora de los alumnos de primaria se distribuye según una ley Normal con desviación típica 2. Elegida una muestra de 18 alumnos en un centro de primaria, se obtiene una media muestral de 10,8 en dicho índice. Mediante el uso de un contraste de hipótesis, ¿se puede aceptar, con un nivel de significación del 1%, la hipótesis nula de que la media del índice de madurez lectora de los alumnos de este centro no es inferior a 11?

Ejercicio B4: Reserva 4 de 2012

La velocidad a la que circulan los conductores por una autopista sigue una distribución 𝑁(𝜇,20). En un control efectuado a 100 conductores elegidos al azar ha resultado una velocidad media de 110 km/h.

  1. Determine el intervalo de confianza para 𝜇, con un nivel del 99%.
  2. ¿Cuál es el máximo error cometido en esta estimación?

Ejercicio A4: Septiembre de 2012

En una caja de ahorros se sabe que el porcentaje de los nuevos clientes que contratan un plan de pensiones no supera el 23%. El director de una de las sucursales decide hacer un regalo a cualquier nuevo cliente que contrate uno de esos planes y, tras un mes, comprueba que 110 de los 470 nuevos clientes han contratado un plan de pensiones.

  1. Plantee un contraste de hipótesis, con 𝐻0 :𝑝 ≤0,23, para decidir si, con los datos dados, se puede afirmar que la medida del director ha aumentado la contratación de estos planes de pensiones. Halle la región de aceptación de este contraste de hipótesis para un nivel de significación del 5%.
  2. Según el resultado del apartado anterior, ¿qué conclusión podemos obtener sobre la medida tomada por el director de esta sucursal?

Ejercicio B4: Septiembre de 2012

El peso de las calabazas de una determinada plantación sigue una ley Normal con desviación típica 1.200 g.

  1. Halle el tamaño mínimo de la muestra que se ha de elegir para, con un nivel de confianza del 95%, estimar el peso medio con un error menor de 450 g.
  2. Para el mismo nivel de confianza, indique, razonando la respuesta, si el error aumenta o disminuye al aumentar el tamaño de la muestra.

Ejercicio A4: Junio de 2011

Una máquina está preparada para fabricar piezas de, a lo sumo, 10 cm de longitud. Se toma una muestra de 1.000 piezas, comprobándose que la media sus longitudes es de 10,0037 cm. La longitud de las piezas fabricadas por esa máquina sigue una ley Normal con desviación típica 0,2 cm.

  1. Plantee un contraste de hipótesis unilateral para comprobar si con los datos de esa muestra es posible afirmar que la media de la longitud de las piezas fabricadas por la máquina es de más de 10 cm.
  2. Determine la región de aceptación de la hipótesis nula de ese contraste para un nivel de significación 𝛼 =0,025.
  3. Con los datos de la muestra y usando el contraste de hipótesis del primer apartado, ¿qué conclusión se obtendría sobre la longitud media de las piezas fabricadas?

Ejercicio B4: Junio de 2011

  1. Una población de tamaño 1.000 se ha dividido en 4 estratos de tamaño 150, 400, 250 y 200. Utilizando muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional se han seleccionado 10 individuos del tercer estrato, ¿cuál es el tamaño de la muestra?
  2. El peso de los individuos de una población se distribuye según una ley Normal de desviación típica 6 kg. Calcule el tamaño mínimo de la muestra para estimar, con un nivel de confianza del 95%, el peso medio en la población con un error no superior a 1 kg.

Ejercicio A4: Reserva 1 de 2011

El director de una televisión afirma que un nuevo programa que va a emitirse será visto, al menos, por un 30% de personas. Una vez emitido se realizó una encuesta a 500 personas, elegidas al azar, y esta reveló que 130 de ellas habían visto ese programa.

  1. Formule la hipótesis nula y la alternativa del contraste de hipótesis que permite determinar si los datos de la encuesta realizada son compatibles con la afirmación del director.
  2. Halle la región crítica de ese contraste para un nivel de significación del 5,5%.
  3. Según el dato obtenido en el apartado anterior ¿qué conclusión se obtiene sobre la afirmación realizada por el director de esa televisión?

Ejercicio B4: Reserva 1 de 2011

El peso neto de las tabletas de chocolate de una determinada marca es una variable aleatoria Normal con media 𝜇 y desviación típica 7 gramos. Se sabe que 36 tabletas, elegidas al azar, han dado un peso total de 5.274 gramos.

  1. Calcule un intervalo con un nivel de confianza del 94% para la media 𝜇.
  2. Con el mismo nivel de confianza, ¿cuántas tabletas, como mínimo, habrá que tomar como muestra para que la amplitud del intervalo que se obtenga sea, como máximo, de 3 gramos?

Ejercicio A4: Reserva 2 de 2011

El director de un banco afirma que la cantidad media de dinero extraído, por cliente, de un cajero automático de su sucursal no supera los 120 euros. Para contrastar esta hipótesis elige al azar 100 extracciones de este cajero y obtiene una media muestral de 130 euros. Se sabe que la cantidad de dinero extraído por un cliente en un cajero automático se distribuye según una ley Normal de media desconocida y desviación típica 67 euros.

  1. Plantee el contraste de hipótesis asociado al enunciado.
  2. Determine la región de aceptación, para un nivel de significación 𝛼 =0,05.
  3. Con los datos muestrales tomados, ¿existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis de este director, con el mismo nivel de significación anterior?

Ejercicio B4: Reserva 2 de 2011

Se sabe que la estatura de las personas de una población es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal cuya desviación típica es de 0,04 m. Para estimar la media de esta variable se ha tomado una muestra aleatoria de 60 personas de esa población y se ha encontrado una estatura media de 1,73 m.

  1. Obtenga un intervalo de confianza, con un nivel del 97%, para la media de la distribución de estaturas.
  2. Halle el tamaño mínimo que debe tener una muestra de esta población, para que la amplitud de un intervalo de la media con este nivel de confianza sea inferior a 0,08 m.

Ejercicio A4: Reserva 3 de 2011

En un distrito universitario, la calificación de los alumnos sigue una distribución Normal de media 6,2 puntos y desviación típica de 1 punto. Se seleccionó, aleatoriamente, una muestra de tamaño 25.

  1. Indique la distribución de la media de las muestras de tamaño 25.
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de las calificaciones de los alumnos de una de esas muestras esté comprendida entre 6 y 6,6 puntos?

Ejercicio B4: Reserva 3 de 2011

Un estudio sociológico afirma que el 70% de las familias cena viendo la televisión. Se desea contrastar la veracidad de esta afirmación y, para ello, se toma una muestra de 500 familias, en la que se observa que 340 ven la televisión mientras cenan. Decida, mediante un contraste de hipótesis, si la afirmación es cierta con un nivel de significación de 0,01.

Ejercicio A4: Reserva 4 de 2011

El peso de los adultos de una determinada población sigue una distribución Normal de media 70 kg y desviación típica 16 kg. Si elegimos al azar muestras de tamaño 4:

  1. ¿Cuál es la distribución de la media muestral?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio de una de esas muestras esté comprendido entre 65 y 72 kg?
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que ese peso medio sea menor que 70 kg?

Ejercicio B4: Reserva 4 de 2011

Con el fin de estudiar el peso medio de los perros recién nacidos de una determinada raza, se tomó una muestra en una clínica veterinaria y se obtuvieron los siguientes pesos, medidos en kg: 1,20,91,11,21,10,81,1. Se sabe que el peso de los cachorros de esta raza se distribuye según una ley Normal con desviación típica 0,25 kg.

  1. Obtenga un intervalo de confianza para estimar la media poblacional, al 95%.
  2. Halle el error máximo que se cometería usando el intervalo anterior.
  3. Razone cómo variaría la amplitud del intervalo de confianza si, manteniendo el mismo nivel de confianza, aumentásemos el tamaño de la muestra.

Ejercicio A4: Septiembre de 2011

Suponiendo que la variable “años de vida de los individuos de un país” sigue una distribución Normal con desviación típica 8,9 años, se desea contrastar la hipótesis de que la vida media de los mismos no supera los 70 años. A partir de una muestra aleatoria de 100 individuos se ha obtenido que su vida media ha sido 71,8 años.

  1. Formule el contraste de hipótesis que indica el enunciado.
  2. Determine la región crítica a un nivel de significación del 5%.
  3. Con los datos muestrales, ¿existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis a ese nivel de significación?

Ejercicio B4: Septiembre de 2011

Sea 𝑋 una variable aleatoria Normal de media 50 y desviación típica 4. Se toman muestras de tamaño 16.

  1. ¿Cuál es la distribución de la media muestral?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 47,5 y 52,5?

Ejercicio A4: Junio de 2010

Una empresa consultora quiere estudiar algunos aspectos de la vida laboral de los trabajadores de una ciudad. Para ello selecciona una muestra aleatoria de 500 trabajadores, de los que 118 afirman residir en otra ciudad. Con un nivel de confianza del 93%,

  1. Calcule un intervalo de confianza para la proporción de trabajadores que residen fuera.
  2. Calcule el error cometido en el intervalo anterior.

Ejercicio B4: Junio de 2010

Un agricultor piensa que la producción media por naranjo, en su finca, es de 88 kg o más. Para confirmar su creencia selecciona, al azar, 10 de sus naranjos, pesa su producción y obtiene como resultado, en kg, para cada uno de ellos: 80838795869285838495. Se acepta que la producción de un naranjo sigue una distribución Normal con desviación típica 5 kg.

  1. Plantee el contraste de hipótesis unilateral que responda a las condiciones del problema y determine la región crítica para un nivel de significación 𝛼 =0,05.
  2. Con los datos de esta muestra, ¿qué conclusión debe obtener el agricultor sobre la producción media por naranjo de su finca, utilizando ese mismo nivel de significación?

Ejercicio A4: Septiembre de 2010

En una determinada especie animal el porcentaje de mortalidad debida a una enfermedad vírica es de al menos un 40%. Se está realizando un estudio para probar la eficacia de un fármaco que permite tratar esa enfermedad y, consecuentemente, reducir el porcentaje de mortalidad en esa especie. Para ello, se suministró el fármaco a 50 sujetos enfermos, elegidos al azar, de los que murieron 14. A la vista de estos datos, y tomando como nivel de significación 0,015, ¿se puede afirmar que existe evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis 𝐻0 :𝑝 ≥0,4, donde 𝑝 es la proporción, y por lo tanto aceptar la eficacia del fármaco?

Ejercicio B4: Septiembre de 2010

  1. La altura de los alumnos de una Universidad sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica 11 cm. Calcule el tamaño mínimo que ha de tener una muestra aleatoria de esos alumnos para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a 1cm, con un nivel de confianza del 98%.
  2. Dada la población {10,12,17}, escriba todas las muestras de tamaño 2 mediante muestreo aleatorio simple y calcule la media y la desviación típica de las medias muestrales.