Icono Matemáticas de Selectividad

Buscar GitHub

📋 Reserva 3 de 2021

Ejercicio 1

  1. Una frutería vende dos tipos de surtidos de frutos rojos, A y B. El surtido de tipo A contiene 75 g de arándanos, 100 g de frambuesas y se vende a 2,40 euros, mientras que el de tipo B contiene 75 g de arándanos, 50 g de frambuesas y se vende a 1,80 euros. La frutería dispone de un total de 3,75 kg de arándanos y 4 kg de frambuesas y el número de surtidos que vende del tipo A, siempre es menor o igual al doble de los del tipo B. Formule, sin resolver, el problema que permite obtener el número de surtidos de cada tipo que debe vender para que el beneficio sea máximo.
  2. Represente el recinto limitado por las siguientes restricciones, calculando sus vértices: 𝑥+4𝑦≥5,𝑥+2𝑦≥4,7𝑥+5𝑦≤35,𝑥≥0. ¿En qué punto de la región anterior la función 𝐹(𝑥,𝑦) =2𝑥 +𝑦 alcanza el mínimo y cuál es dicho valor?

Resolución
  1. Llamamos 𝑥 al número de surtidos de tipo A e 𝑦 al de tipo B. Podemos organizar la información en una tabla.
    Arándanos (g) Frambuesas (g) Precio (€)
    Surtido A 75 100 2,40
    Surtido B 75 50 1,80
    Máximo 3.750 4.000
    Las restricciones del problema son: ⎧{ { {⎨{ { {⎩75𝑥+75𝑦≤3.750,100𝑥+50𝑦≤4.000,𝑥≤2𝑦,𝑥≥0⇔⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥+𝑦≤50,2𝑥+𝑦≤80,𝑥≤2𝑦,𝑥≥0. La función objetivo a maximizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=2,4𝑥+1,8𝑦.
  2. Representamos la región factible. Figura Los vértices son: 𝐴(0,2),𝐵(0,7),𝐶(5,0)y𝐷(3,12). Por el teorema fundamental de la programación lineal, el mínimo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(0,2)=2,𝐹(𝐵)=𝐹(0,7)=7,𝐹(𝐶)=𝐹(5,0)=10,𝐹(𝐷)=𝐹(3,12)=132. Por tanto, el mínimo se alcanza en el punto 𝐴(0,2) con un valor de 2.

Ejercicio 2

Se considera la ecuación matricial (10𝐼3 −𝐴)𝑋 =𝐵, donde 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝210420225⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ y 𝐵 es una matriz con tres filas y una columna.

  1. Razone qué dimensión ha de tener la matriz 𝑋.
  2. ¿Tiene solución la ecuación matricial anterior para cualquier matriz 𝐵 de orden 3 ×1? ¿Por qué?
  3. Resuelva dicha ecuación matricial si 𝐵 =(520−3)𝑡.

Resolución
  1. Las matrices 𝐼3 y 𝐴 son cuadradas de orden 3, así que 10𝐼3 −𝐴 es también una matriz cuadrada de orden 3. Para que el producto (10𝐼3 −𝐴)𝑋 se pueda realizar, es necesario que 𝑋 tenga 3 filas. Por otro lado, para que el resultado de ese producto sea de dimensión 3 ×1, la matriz 𝑋 debe tener 1 columna. Por tanto, la matriz 𝑋 tiene dimensión 3 ×1.
  2. En primer lugar, hallamos la matriz 10𝐼3 −𝐴. 10𝐼3−𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝100001000010⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝210420225⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝8−10−480−2−25⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Comprobamos si la matriz (10𝐼3 −𝐴) es invertible. |10𝐼3−𝐴|=∣8−10−480−2−25∣=300. Como det(10𝐼3 −𝐴) ≠0, la matriz es invertible. Despejamos la ecuación matricial. (10𝐼3−𝐴)𝑋=𝐵⇔𝑋=(10𝐼3−𝐴)−1𝐵. Por tanto, la ecuación tiene solución para cualquier matriz 𝐵 de tamaño 3 ×1.
  3. Para hallar la inversa de 10𝐼3 −𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(10𝐼3−𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝8−10−480−2−25⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa de la forma: (10𝐼3−𝐴)−1=1|10𝐼3−𝐴|Adj⁡(10𝐼3−𝐴)𝑡=1300⎛⎜ ⎜ ⎜⎝8−4−2−18−2005⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=(10𝐼3−𝐴)−1𝐵=1300⎛⎜ ⎜ ⎜⎝8−4−2−18−2005⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝520−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=1300⎛⎜ ⎜ ⎜⎝300900300⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝131⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 3

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−2𝑥+2𝑎,si −4≤𝑥≤−2,−2𝑥2−4𝑎,si −2<𝑥≤2,−8𝑥+𝑏,si 2<𝑥≤3.

  1. Calcule los valores 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua en su dominio. Para esos valores, ¿es 𝑓 derivable?
  2. Para 𝑎 = −2 y 𝑏 =16, estudie la monotonía de la función 𝑓 y calcule sus extremos relativos y absolutos.
  3. Para 𝑎 = −2 y 𝑏 =16, calcule el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑂𝑋 y las rectas 𝑥 = −2 y 𝑥 =2.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad de 𝑓.
    • Si 𝑥 ∈[ −4,3] con 𝑥 ≠ −2 y 𝑥 ≠2, 𝑓 es continua.
    • Estudiamos su continuidad en 𝑥 = −2. lím𝑥→−2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−2−⁡(−2𝑥+2𝑎)=4+2𝑎,lím𝑥→−2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−2+⁡(−2𝑥2−4𝑎)=−8−4𝑎,𝑓(−2)=4+2𝑎. Para que 𝑓 sea continua en 𝑥 = −2, ha de verificarse que: 4+2𝑎=−8−4𝑎⇔6𝑎=−12⇔𝑎=−2.
    • Estudiamos su continuidad en 𝑥 =2. lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−⁡(−2𝑥2+8)=0,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡(−8𝑥+𝑏)=−16+𝑏,𝑓(2)=0. Para que 𝑓 sea continua en 𝑥 =2, ha de verificarse que: 0=−16+𝑏⇔𝑏=16.
    Por tanto, 𝑓 es continua si 𝑎 = −2 y 𝑏 =16. Estudiamos su derivabilidad para estos valores.
    • Si 𝑥 ∈[ −4,3] con 𝑥 ≠ −2 y 𝑥 ≠2, 𝑓 es derivable con: 𝑓′(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−2,si −4≤𝑥<−2,−4𝑥,si −2<𝑥<2,−8,si 2<𝑥≤3.
    • Estudiamos su derivabilidad en 𝑥 = −2. 𝑓′−(−2)=lím𝑥→−2−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→−2−−2=−2,𝑓′+(−2)=lím𝑥→−2+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→−2+−4𝑥=8. Como 𝑓′−( −2) ≠𝑓′+( −2), 𝑓 no es derivable en 𝑥 = −2.
    • Estudiamos su derivabilidad en 𝑥 =2. 𝑓′−(2)=lím𝑥→2−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2−−4𝑥=−8,𝑓′+(2)=lím𝑥→2+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2+−8=−8. Como 𝑓′−(2) =𝑓′+(2), 𝑓 es derivable en 𝑥 =2.
    Por tanto, 𝑓 es derivable en [ −4, −2) ∪( −2,3].
  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las tres ramas de la derivada a cero.
    • Si −4 <𝑥 < −2, 𝑓′(𝑥) = −2 ≠0.
    • Si −2 <𝑥 <3, 𝑓′(𝑥)=0⇔−4𝑥=0⇔𝑥=0.
    • Si 2 <𝑥 <3, 𝑓′(𝑥) = −8 ≠0.
    Así que el único punto crítico es 𝑥 =0. Consideramos también 𝑥 = −2 por no ser derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    ( −4, −2) ( −2,0) (0,3)
    signo de 𝑓′ − + −
    monotonía de 𝑓 → → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en ( −2,0) y decreciente en ( −4, −2) ∪(0,3). Además, los puntos ( −4,4) y (0,8) son máximos relativos y los puntos ( −2,0) y (3, −8) son mínimos relativos. Así que (0,8) es el máximo absoluto y (3, −8) es el mínimo absoluto.
  3. Podemos representar el recinto. Figura Como el recinto es simétrico, podemos calcular su área como: 2∫20(−2𝑥2+8)𝑑𝑥=2[−23𝑥3+8𝑥]20=2(−163+16)=643𝑢2.

Ejercicio 4

  1. Calcule la derivada de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=(5𝑥3+4𝑥−2)4ln⁡(2𝑥5−4𝑥3+𝑥),𝑔(𝑥)=𝑒3𝑥2−5𝑥(6𝑥2+2)3.
  2. Halle la función ℎ(𝑥), sabiendo que su derivada es ℎ′(𝑥) =4𝑥3 +𝑥2 −4𝑥 −1 y que ℎ(2) =113.

Resolución
  1. Calculamos las derivadas. 𝑓′(𝑥)=4(5𝑥3+4𝑥−2)3⋅(15𝑥2+4)⋅ln⁡(2𝑥5−4𝑥3+𝑥)+(5𝑥3+4𝑥−2)4⋅10𝑥4−12𝑥2+12𝑥5−4𝑥3+𝑥,𝑔′(𝑥)=𝑒3𝑥2−5𝑥⋅(6𝑥−5)⋅(6𝑥2+2)3−𝑒3𝑥2−5𝑥⋅3(6𝑥2+2)2⋅12𝑥(6𝑥2+2)6=𝑒3𝑥2−5𝑥[(6𝑥−5)(6𝑥2+2)−36𝑥](6𝑥2+2)4==𝑒3𝑥2−5𝑥(36𝑥3−30𝑥2−24𝑥−10)(6𝑥2+2)4.
  2. Como ℎ′ es la derivada de ℎ, entonces: ℎ(𝑥)=∫ℎ′(𝑥)𝑑𝑥=∫(4𝑥3+𝑥2−4𝑥−1)𝑑𝑥=𝑥4+13𝑥3−2𝑥2−𝑥+𝐶. Además, se tiene que verificar que: ℎ(2)=113⇔16+83−8−2+𝐶=113⇔𝐶=−5. Por tanto, la función es: ℎ(𝑥)=𝑥4+13𝑥3−2𝑥2−𝑥−5.

Ejercicio 5

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos de un mismo experimento aleatorio de los que se sabe que: 𝑃(𝐴−𝐵)=0,3,𝑃(𝐴𝑐)=0,35y𝑃(𝐵)=0,55.

  1. Calcule la probabilidad de que suceda al menos uno de ellos.
  2. Calcule la probabilidad de que ocurra 𝐵, sabiendo que no ha ocurrido 𝐴.
  3. Calcule la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos.
  4. Razone si los sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes.

Resolución

En primer lugar, calculamos algunas probabilidades. 𝑃(𝐴)=1−𝑃(𝐴𝑐)=1−0,35=0,65,𝑃(𝐴−𝐵)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴∩𝐵)⇒𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴−𝐵)=0,65−0,3=0,35.

  1. La probabilidad de que suceda al menos uno de ellos es: 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)=0,65+0,55−0,35=0,85.
  2. La probabilidad de que ocurra 𝐵 sabiendo que no ha ocurrido 𝐴 es: 𝑃(𝐵|𝐴𝑐)=𝑃(𝐵∩𝐴𝑐)𝑃(𝐴𝑐)=𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)𝑃(𝐴𝑐)=0,55−0,350,35≈0,5714.
  3. La probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos es: 𝑃(𝐴𝑐∩𝐵𝑐)=𝑃((𝐴∪𝐵)𝑐)=1−𝑃(𝐴∪𝐵)=1−0,85=0,15.
  4. Como 𝑃(𝐵) ≠𝑃(𝐵|𝐴𝑐), los sucesos no son independientes.

Ejercicio 6

En una determinada muestra de suelo se han aislado dos tipos de bacterias, A y B, de las cuales el 70% son de A y el 30% de B. La probabilidad de que una bacteria de tipo A reaccione a la prueba del nitrato es 0,15 y para la bacteria B es 0,8. De las bacterias aisladas se selecciona una al azar.

  1. Calcule la probabilidad de que reaccione a la prueba del nitrato.
  2. Si la bacteria ha reaccionado a la prueba del nitrato, calcule la probabilidad de que sea del tipo B.
  3. Calcule la probabilidad de que la bacteria sea del tipo A y no reaccione a la prueba del nitrato.

Resolución

Llamamos 𝐴 a ser del tipo A, 𝐵 a ser del tipo B y 𝑁 a reaccionar con la prueba del nitrato. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝑁
0,15←←←←←←←←←←←→
𝐴
0,7←←←←←←←←←←→ 0,85←←←←←←←←←←←→
𝑁𝑐
𝑁
0,3←←←←←←←←←←→ 0,8←←←←←←←←←←→
𝐵
0,2←←←←←←←←←←→
𝑁𝑐
  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que reaccione a la prueba del nitrato es: 𝑃(𝑁)=𝑃(𝑁∩𝐴)+𝑃(𝑁∩𝐵)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝑁|𝐴)+𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝑁|𝐵)=0,7⋅0,15+0,3⋅0,8=0,345.
  2. La probabilidad de que la bacteria sea del tipo B sabiendo que ha reaccionado a la prueba del nitrato es: 𝑃(𝐵|𝑁)=𝑃(𝐵∩𝑁)𝑃(𝑁)=𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝑁|𝐵)𝑃(𝑁)=0,3⋅0,80,345≈0,6957.
  3. La probabilidad de que la bateria sea del tipo A y no reaccione a la prueba del nitrato es: 𝑃(𝐴∩𝑁𝑐)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝑁𝑐|𝐴)=0,7⋅0,85=0,595.

Ejercicio 7

  1. Se desea tomar una muestra aleatoria estratificada de las personas de un municipio, cuyos estratos son los siguientes tramos de edad: de 0 a 25 años, de 26 a 45, de 46 a 60 y de 61 años o más. En el primer tramo hay 15.000 personas, en el segundo hay 16.800, en el tercero 11.400 y en el cuarto 6.000. Sabiendo que el muestreo se hace con afijación proporcional y se han elegido al azar 375 personas del primer tramo, calcule el tamaño de la muestra total y su composición.
  2. Dada la población {1,3,5}, establezca todas las muestras posibles de tamaño 2 que se puedan formar mediante muestreo aleatorio simple y determine la media y la desviación típica de las medias muestrales obtenidas con todas estas muestras.

Resolución
  1. Llamamos 𝑦 al número de personas en la muestra del tramo 2, 𝑦 al del tramo 3 y 𝑧 al del tramo 4. Como se usa afijación proporcional, se verifica que: 15.000375=16.800𝑥=11.400𝑦=6.000𝑧. Despejamos estos valores. 15.000375=16.800𝑥⇔𝑥=375⋅16.80015.000=42015.000375=11.400𝑦⇔𝑦=375⋅11.40015.000=28515.000375=6.000𝑧⇔𝑧=375⋅6.00015.000=150. Por tanto, para la muestra se seleccionan 375 personas del tramo 1, 420 del tramo 2, 285 del tramo 3 y 150 del tramo 4. Así que el tamaño de la muestra es: 375+420+285+150=1.230.
  2. Las muestras posibles de tamaño 2 son: (1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5). Hallamos la media 𝜇 y la varianza 𝜎2 de la población. 𝜇=1+3+53=3,𝜎2=(1−3)2+(3−3)2+(5−3)23=83. Por tanto, la distribución de medias muestrales de tamaño 2 tiene media 𝜇 =3 y desviación típica: 𝜎√2=√83√2=2√3.

Ejercicio 8

Se quiere estimar la proporción de imprentas de una región que incluyen el uso de celulosa reciclada en los libros que imprimen. Para ello, se ha tomado una muestra aleatoria de 50 imprentas de esa región y en ella hay 12 que usan dicho material.

  1. Obtenga un intervalo de confianza al 95%, para estimar la proporción real de imprentas que usan celulosa reciclada.
  2. Determine el tamaño mínimo de la muestra de imprentas de esa región que se deben seleccionar para que, manteniendo el mismo nivel de confianza y proporción muestral anteriores, la amplitud del intervalo sea como máximo de 0,2.

Resolución
  1. Como 12 imprentas de 𝑛 =50 usan celulosa reciclada, la proporción muestral es: 𝑝=1250=0,24. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 95%, entonces: 𝛼=1−0,95=0,05⇒1−𝛼2=1−0,052=0,975⇒𝑧𝛼/2=1,96. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de imprentas que usan celulosa reciclada con un nivel de confianza del 95% es: 𝐼=(0,24−1,96⋅√0,24⋅(1−0,24)50,0,24+1,96⋅√0,24⋅(1−0,24)50)≈(0,1216;0,3584).
  2. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=1,96⋅√0,24⋅(1−0,24)𝑛=1,96⋅√0,1824𝑛. Si se quiere que el intervalo de confianza tenga una amplitud máxima de 0,2, 𝐸=0,22=0,1. Así que: 1,96⋅√0,1824𝑛=0,1⇔√0,1824𝑛=0,11,96⇔0,1824𝑛=0,121,962⇔𝑛=0,1824⋅1,9620,12≈70,0708. Por tanto, el número mínimo de imprentas de la muestra debe ser 71.