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Ejercicio 2: Junio de 2025

Un periódico digital ha publicado una noticia de última hora. El número de personas que han visto la noticia 𝑡 horas después de su lanzamiento viene modelado por la función: 𝑁(𝑡)=500.000⋅(1−𝑒−0,2𝑡),𝑡>0.

  1. Estudie la monotonía y curvatura de la función 𝑁.
  2. Represente gráficamente la función 𝑁 y describa su tendencia a lo largo del tiempo.
  3. ¿Cuánto tiempo ha debido de pasar para que la noticia haya sido vista por 450.000 personas?
  4. La velocidad de difusión de la noticia (número de personas por hora que han visto la publicación) es 𝑁′(𝑡). ¿Qué conclusión se obtiene al comparar 𝑁′(𝑡) en los instantes 𝑡 =1 y 𝑡 =10?

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos las dos primeras derivadas de la función 𝑁. 𝑁′(𝑡)=500.000⋅(−𝑒−0,2𝑡)⋅(−0,2)=100.000𝑒−0,2𝑡,𝑁″(𝑡)=100.000𝑒−0,2𝑡⋅(−0,2)=−20.000𝑒−0,2𝑡.
    • Observamos que 𝑁′(𝑡) >0 para 𝑡 >0, así que 𝑁 es creciente en todo su dominio.
    • Observamos que 𝑁″(𝑡) <0 para 𝑡 >0, así que 𝑁 es cóncava en todo su dominio.
  2. Veamos si la gráfica de la función tiene asíntota horizontal para estudiar su tendencia. lím𝑡→+∞⁡𝑁(𝑡)=lím𝑡→+∞⁡500.000(1−𝑒−0,2𝑡)=500.000. Por tanto, la recta 𝑦 =500.000 es una asíntota horizontal. Representamos gráficamente la función usando esta información. Figura Podemos observar que el número de personas que ven la noticia aumenta rápidamente en las primeras horas y se va acercando a 500.000, cada vez con menor velocidad.
  3. Para que la noticia haya sido vista por 450.000 personas ha de verificarse que: 𝑁(𝑡)=450.000⇔500.000(1−𝑒−0,2𝑡)=450.000⇔1−𝑒−0,2𝑡=910⇔𝑒−0,2𝑡=110⇔⇔−0,2𝑡=ln⁡(110)⇔𝑡=−ln⁡(110)0,2=5ln⁡(10)≈11,5129. Por tanto, han debido de pasar un poco más de 11 horas y media.
  4. Calculamos el valor de la derivada en los dos instantes. 𝑁′(1)≈81.873,0753,𝑁′(10)≈13.533,5283. Observamos que la velocidad de difusión de la noticia se reduce en gran medida con el paso de las horas.

Ejercicio 3: Junio de 2025

A un paciente con diabetes se le monitoriza durante un día completo, suministrándole un medicamento a mediodía para observar su reacción. La cantidad de glucosa en sangre (mg/dl) del paciente, en cada instante 𝑡 (horas), es: 𝑓(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩56(𝑡33−12𝑡2+108𝑡+108),si 0≤𝑡≤12,𝑡2−40𝑡+546,si 12<𝑡≤24.

  1. Halle en qué periodos de tiempo el nivel de glucosa va aumentando.
  2. ¿En qué momentos del día el paciente tiene los niveles más alto y más bajo de glucosa en sangre y a cuánto ascienden?
  3. ¿En qué momentos, después del mediodía, el paciente tiene 155 mg/dl?

Resolución
  1. Si 𝑡 ≠12, la función es continua y derivable con: 𝑓′(𝑡)={56(𝑡2−24𝑡+108),si 0≤𝑡<12,2𝑡−40,si 12<𝑡≤24. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si 0 <𝑡 <12, 𝑓′(𝑡)=0⇔56(𝑡2−24𝑡+108)=0⇔𝑡2−24𝑡+108=0⇔{𝑡=6,𝑡=18∉(0,12).
    • Si 12 <𝑡 <24, 𝑓′(𝑡)=0⇔2𝑡−40=0⇔2𝑡=40⇔𝑡=20.
    Así que los puntos críticos son 𝑡 =6 y 𝑡 =20. También consideramos 𝑡 =12 por ser el punto de ruptura. Estudiamos el signo de la derivada.
    (0,6) (6,12) (12,20) (20,24)
    signo de 𝑓′ + − − +
    monotonía de 𝑓 → → → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en (0,6) y (20,24). Es decir, la glucosa aumenta a lo largo de las seis primeras horas y a partir de las 20 horas.
  2. Los puntos (6,330) y (24,162) son máximos relativos y los puntos (0,90) y (20,146) son mínimos relativos. Por tanto, (6,330) es el máximo absoluto y (0,90) es el mínimo absoluto. Es decir, el nivel más alto se alcanza a las seis horas, con 330 mg/dl, y el nivel más bajo lo tiene al principio del día, con 90 mg/dl.
  3. Si 𝑡 >6, 𝑓(𝑡)=155⇔𝑡2−40𝑡+546=155⇔𝑡2−40𝑡+391=0⇔{𝑡=17,𝑡=23. Por tanto, el paciente alcanza una cantidad de glucosa de 155 mg/dl a las 17 horas y a las 23 horas.

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2025

El nivel de concentración de un alumno universitario durante un examen viene dado por la siguiente función: 𝑓(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩−𝑡2+2𝑡+10,si 0≤𝑡≤2,5,𝑡2+𝑎𝑡+𝑏𝑡2+𝑎𝑡+𝑏,si 2,5<𝑡≤5, donde 𝑡 es el tiempo en horas y 𝑎 y 𝑏 números reales.

  1. ¿Con qué nivel de concentración el alumno comienza el examen? Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓 sea continua y derivable en 𝑡 =2,5.
  2. Para 𝑎 = −8 y 𝑏 =22,5, esboce la gráfica de la función 𝑓, estudiando previamente la monotonía y calculando en qué momentos se alcanzan los niveles máximo y mínimo de concentración.

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2025

  1. El índice de audiencia de un programa de radio se puede modelizar por una función del tipo: 𝑓(𝑡)=𝑎𝑡2+𝑏𝑡+𝑐,𝑡∈[0,60], donde 𝑡 es el tiempo medido en minutos y 𝑎,𝑏,𝑐 ∈ℝ. Se sabe que cuando comienza el programa el índice de audiencia es 20 puntos y que a los 40 minutos se alcanza el máximo índice de audiencia, que es 36 puntos. Determine 𝑎, 𝑏 y 𝑐 y represente gráficamente la función obtenida.
  2. Calcule la derivada de las siguientes funciones: 𝑔(𝑥)=ln⁡(𝑥2−1𝑥2+1),ℎ(𝑥)=(2𝑥−1)𝑒𝑥2−𝑥.

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2025

Un grupo de emprendedores valora crear una empresa y, para ello, ha encargado un estudio de mercado en el que se estima que los beneficios para los próximos 10 años, en millones de euros, vendrán dados por la función: 𝐵(𝑡)=3𝑡𝑡+2−1,0≤𝑡≤10, donde 𝑡 representa los años transcurridos desde la apertura de la empresa.

  1. ¿En qué intervalo de tiempo la empresa no tendrá beneficios?
  2. ¿En qué momento se alcanza el máximo beneficio y a cuánto asciende su valor?
  3. ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que la empresa obtenga un beneficio de 800.000€?
  4. Si la función de beneficios se mantuviera y transcurrieran los años de manera indefinida, ¿a que valor tendería el beneficio de la empresa?

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2025

Las ventas de un producto (en miles de euros), en los 6 primeros años desde que se lanzó una campaña de publicidad, evolucionan de acuerdo con la siguiente función: 𝑉(𝑡)=4𝑡3−24𝑡2+36𝑡+100,0≤𝑡≤6, siendo 𝑡 el tiempo transcurrido en años.

  1. Estudie el crecimiento y decrecimiento de las ventas a lo largo de los 6 años. Calcule los extremos.
  2. Represente gráficamente la función 𝑉.
  3. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de 𝑉, la recta 𝑡 =6 y los ejes de coordenadas.

Ejercicio 3: Julio de 2025

Trinidad, una persona ahorradora, deposita 5.000€ en un fondo de inversión y el capital final que obtiene cuando transcurren 𝑡 años viene dado por la siguiente función: 𝑓(𝑡)={5.000⋅(1+0,05𝑡),si 0≤𝑡≤1,5.000⋅1,05𝑡,si 𝑡>1.

  1. ¿Cuánto tiempo debe mantener invertido el dinero si el capital final que se obtiene es de 5.931,10€?
  2. Calcule los intereses que obtiene Trinidad entre el año 2 y el año 4, si se conoce que los intereses que genera esta inversión entre el año 𝑡1 y el año 𝑡2 vienen dados por 𝐼 =𝑓(𝑡2) −𝑓(𝑡1).
  3. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓.
  4. Estudie la monotonía de la función 𝑓 y esboce su gráfica.

Resolución
    • Si 0 ≤𝑡 ≤1, 𝑓(𝑡)=5.931,10⇔5.000⋅(1+0,05𝑡)=5.931,10⇔1+0,05𝑡=1,1862⇔0,05𝑡=0,1862⇔⇔𝑡=3,724∉[0,1].
    • Si 𝑡 >1, 𝑓(𝑡)=5.931,10⇔5.000⋅1,05𝑡=5.931,10⇔1,05𝑡=1,1862⇔𝑡=log1,05⁡(1,1862)≈3,5.
    Por tanto, debe mantener invertido el dinero alrededor de 3 años y medio.
  2. Calculamos los intereses. 𝐼=𝑓(4)−𝑓(2)=5.000⋅1,054−5.000⋅1,052≈565,0313€.
  3. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
    • Si 𝑡 ∈[0, +∞) con 𝑡 ≠1, 𝑓 es continua y derivable con: 𝑓′(𝑡)={250,si 0<𝑡<1,5.000ln⁡(1,05)⋅1,05𝑡,si 𝑡>1.

    • Estudiamos la continuidad en 𝑡 =1. lím𝑡→1−⁡𝑓(𝑡)=lím𝑡→1−⁡5.000⋅(1+0,05𝑡)=5.250,lím𝑡→1+⁡𝑓(𝑡)=lím𝑡→1+⁡5.000⋅1,05𝑡=5.250,𝑓(1)=5.250. Observamos que: lím𝑡→1−⁡𝑓(𝑡)=lím𝑡→1+⁡𝑓(𝑡)=𝑓(1). Así que 𝑓 es continua en 𝑡 =1.

      Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(1)=lím𝑡→1−⁡𝑓′(𝑡)=lím𝑡→1−⁡250=250,𝑓′+(1)=lím𝑡→1+⁡𝑓′(𝑡)=lím𝑡→1+⁡5.000⋅1,05𝑡⋅ln⁡(1,05)=5.250ln⁡(1,05)≈256,1484. Observamos que 𝑓′−(1) ≠𝑓′+(1), así que 𝑓 no es derivable en 𝑡 =1.

    Por tanto, 𝑓 es continua en [0, +∞] y derivable en [0,1) ∪(1, +∞).
  4. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si 0 ≤𝑡 <1, 𝑓′(𝑡) =250 ≠0.
    • Si 𝑡 >1, 𝑓′(𝑡)=5.000⋅1,05𝑡⋅ln⁡(1,05)≠0.
    Así que la función no tiene ningún punto crítico. Consideramos 𝑡 =1 por ser no derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    (0,1) (1, +∞)
    signo de 𝑓′ + +
    monotonía de 𝑓 → →

    Por tanto, 𝑓 es creciente en todo su dominio.

    Representamos gráficamente la función.

    Figura

Ejercicio 4: Junio de 2024

La velocidad media del viento en la zona de Sierra Nevada, prevista para cierto día, viene dada por la función 𝑣(𝑡) expresada en km/h, donde 𝑡 es el tiempo expresado en horas: 𝑣(𝑡)={𝑡2−8𝑡+60,si 0≤𝑡≤10,−𝑡2+32𝑡−140,si 10<𝑡≤24.

  1. Compruebe que la función 𝑣 es continua y derivable.
  2. Represente gráficamente la función, estudiando previamente la monotonía y calculando los extremos absolutos.
  3. La Agencia Estatal de Meteorología emite avisos de alerta por vientos siguiendo el código de colores: naranja para vientos entre 100 y 140 km/h, y rojo para vientos de más de 140 km/h. Según la previsión, indique si se debe emitir alguna alerta naranja en Sierra Nevada ese día y durante qué horas estaría activa. ¿Se emitiría alerta roja?

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑣.
    • Si 𝑡 ∈[0,24] con 𝑡 ≠10, 𝑣 es continua y derivable con 𝑣′(𝑡)={2𝑡−8,si 0≤𝑡<10,−2𝑡+32,si 10<𝑡≤24.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑡 =10. lím𝑡→10−⁡𝑣(𝑡)=lím𝑡→10−⁡(𝑡2−8𝑡+60)=80,lím𝑡→10+⁡𝑣(𝑡)=lím𝑡→10+⁡(−𝑡2+32𝑡−140)=80,𝑣(10)=80. Observamos que lím𝑡→10−⁡𝑣(𝑡)=lím𝑡→10+⁡𝑣(𝑡)=𝑣(10). Así que 𝑣 es continua en 𝑡 =10. Pasamos a estudiar su derivabilidad. 𝑣′−(10)=12,𝑣′+(10)=12. Observamos que 𝑣′−(10)=𝑣′+(10). Así que 𝑣 es derivable en 𝑡 =10.
    Por tanto, 𝑣 es continua y derivable en [0,24].
  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si 0 ≤𝑡 ≤10, 𝑣′(𝑡)=0⇔2𝑡−8=0⇔𝑡=4.
    • Si 10 <𝑡 ≤24, 𝑣′(𝑡)=0⇔−2𝑡+32=0⇔𝑡=16.
    Así que los puntos críticos son 𝑡 =4 y 𝑡 =16. Estudiamos el signo de la derivada.
    (0,4) (4,16) (16,24)
    signo de 𝑣′ − + −
    monotonía de 𝑣 → → →
    Por tanto, 𝑣 es creciente en (4,16) y es decreciente en (0,4) ∪(16,24). Los puntos (0,60) y (16,116) son máximos relativos y los puntos (4,44) y (24,52) son mínimos relativos. Por tanto, (16,116) es el máximo absoluto y (4,44) es el mínimo absoluto.
    Representamos gráficamente la función usando la información obtenida. Figura
  3. Podemos observar en la gráfica que solo se superan velocidades de 100 km/h en la segunda rama de la función. 𝑣(𝑡)=100⇔−𝑡2+32𝑡−140=100⇔−𝑡2+32𝑡−240=0⇔{𝑡=12,𝑡=20. Por tanto, la alerta naranja estaría activa entre las horas 12 y 20. Por otro lado, como por el apartado anterior el máximo absoluto es 116, no se emitiría alerta roja.

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2024

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−12𝑥2+𝑥+1,si 𝑥≤2,1𝑥−1,si 𝑥>2.

  1. Estudie la continuidad, derivabilidad y monotonía de 𝑓. Represente gráficamente dicha función.
  2. Calcule el area del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 =0, 𝑥 =4 y el eje 𝑂𝑋.

Resolución
    • Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
      • Si 𝑥 ≠2, 𝑓 es continua y derivable con: 𝑓′(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−𝑥+1,si 𝑥<2,−1(𝑥−1)2,si 𝑥>2.
      • Estudiamos la continuidad en el punto de ruptura 𝑥 =2. lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−−12𝑥2+𝑥+1=1,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡1𝑥−1=1,𝑓(2)=1. Observamos que: lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(2). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =2. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(2)=lím𝑥→2−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2−−𝑥+1=−1,𝑓′+(2)=lím𝑥→2+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2+−1(𝑥−1)2=−1. Observamos que 𝑓′−(2) =𝑓′+(2), así que 𝑓 es derivable en 𝑥 =2.
      Por tanto, 𝑓 es continua y derivable en ℝ.
    • Estudiamos la monotonía de 𝑓. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
      • Si 𝑥 <2, 𝑓′(𝑥)=0⇔−𝑥+1=0⇔𝑥=1.
      • Si 𝑥 >2, 𝑓′(𝑥)=−1(𝑥−1)2≠0.
      Así que el único punto crítico es 𝑥 =1. Estudiamos el signo de la derivada.
      ( −∞,1) (1, +∞)
      signo de 𝑓′ + −
      monotonía de 𝑓 → →
      Por tanto, 𝑓 es creciente en ( −∞,1) y decreciente en (1, +∞). Además, el punto (1,32) es un máximo relativo.
    • Representamos la función. Figura
  2. Podemos representar el recinto. Figura Calculamos el área. ∫20(−12𝑥2+𝑥+1)𝑑𝑥+∫421𝑥−1𝑑𝑥=[−16𝑥3+12𝑥2+𝑥]20+[ln⁡(𝑥−1)]42==−43+2+2+ln⁡(3)=83+ln⁡(3)𝑢2.

Ejercicio 3: Julio de 2024

Dada la función 𝑓(𝑥)=2𝑥−62−𝑥.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de dicha función. Calcule sus asíntotas.
  2. Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como la existencia de extremos relativos.
  3. Halle los puntos de corte con los ejes de coordenadas y represente gráficamente la función.

Resolución
  1. En primer lugar, observamos que Dom⁡(𝑓) =ℝ ∖{2}. La función 𝑓 es racional, así que es continua y derivable en todo su dominio. Estudiamos las asíntotas.
    • El denominador se anula en 𝑥 =2 y observamos que lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−⁡2𝑥−62−𝑥=−∞,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡2𝑥−62−𝑥=+∞. Por tanto, la recta 𝑥 =2 es una asíntota vertical.
    • Veamos si tiene una asíntota horizontal. lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→+∞⁡2𝑥−62−𝑥=−2. Por tanto, la recta 𝑦 = −2 es una asíntota horizontal.
  2. En primer lugar, calculamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=2(2−𝑥)+2𝑥−6(2−𝑥)2=−2(2−𝑥)2. Observamos que 𝑓′(𝑥) <0 para 𝑥 ≠2, así que 𝑓 es decreciente en todo su dominio y no tiene extremos.
    • Hallamos los puntos de corte con el eje 𝑋, es decir, aquellos puntos con 𝑦 =0. 𝑓(𝑥)=0⇔2𝑥−62−𝑥=0⇔2𝑥−6=0⇔𝑥=3. Luego el único punto de corte con el eje 𝑋 es (3,0).
    • Hallamos ahora el punto de corte con el eje 𝑌. 𝑓(0)=−62=−3. Así que el punto de corte con el eje 𝑌 es (0, −3).
    Representamos gráficamente la función usando los puntos de corte y la información de los apartados anteriores. Figura

Ejercicio 4: Julio de 2024

Se considera la función 𝑓(𝑥)={−𝑥2+4𝑥+3,si 𝑥<4,2𝑥−5,si 𝑥≥4.

  1. Estudie su continuidad y derivabilidad.
  2. Estudie su monotonía y calcule sus extremos relativos.
  3. Represente la región del plano limitada por la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 =3, 𝑥 =5 y el eje de abscisas. Calcule su área.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
    • Si 𝑥 ≠4, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)={−2𝑥+4,si 𝑥<4,2,si 𝑥>4.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =4. lím𝑥→4−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→4−⁡(−𝑥2+4𝑥+3)=3,lím𝑥→4+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→4+⁡(2𝑥−5)=3,𝑓(4)=3. Observamos que lím𝑥→4−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→4+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(4). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =4. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(4)=lím𝑥→4−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→4−⁡(−2𝑥+4)=−4,𝑓′+(4)=lím𝑥→4+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→4+⁡2=2. Así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =4.
    Por tanto, 𝑓 es continua en ℝ y derivable en ℝ ∖{4}.
  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si 𝑥 <4, 𝑓′(𝑥)=0⇔−2𝑥+4=0⇔𝑥=2.
    • Si 𝑥 >4, 𝑓′(𝑥)=2≠0.
    Así que el único punto crítico es 𝑥 =2. También consideramos 𝑥 =4 por no ser derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    ( −∞,2) (2,4) (4, +∞)
    signo de 𝑓′ + − +
    monotonía de 𝑓 → → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en ( −∞,2) ∪(4, +∞) y decreciente en (2,4). Además, el punto (2,7) es un máximo relativo y el punto (4,3) es un mínimo relativo.
  3. Representamos el recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑋 y las rectas 𝑥 =3 y 𝑥 =5. Observamos que la parábola tiene vértice (2,7). Figura Calculamos el área. ∫43(−𝑥2+4𝑥+3)𝑑𝑥+∫54(2𝑥−5)𝑑𝑥=[−13𝑥3+2𝑥2+3𝑥]43+[𝑥2−5𝑥]54=−643+32+12−(−9+18+9)+25−25−(16−20)=263𝑢2.

Ejercicio 3: Junio de 2023

Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −3𝑥2 +2𝑥.

  1. Halle los puntos de corte con los ejes, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos de 𝑓 y su curvatura.
  2. Represente gráficamente la función 𝑓.
  3. Calcule el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de 𝑓 y el eje de abscisas.

Resolución
    • Hallamos los puntos de corte con el eje 𝑋, es decir, aquellos puntos con 𝑦 =0. 𝑓(𝑥)=0⇔𝑥3−3𝑥2+2𝑥=0⇔𝑥(𝑥2−3𝑥+2)=0⇔⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=0,𝑥2−3𝑥+2=0⇔{𝑥=1,𝑥=2. Luego los puntos de corte con el eje 𝑋 son (0,0), (1,0) y (2,0). Observamos que (0,0) es por tanto el punto de corte con el eje 𝑌.
    • Estudiamos la monotonía y los extremos. En primer lugar, calculamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=3𝑥2−6𝑥+2. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔3𝑥2−6𝑥+2=0⇔𝑥=3±√33=1±√33. Estudiemos el signo de la derivada.
      (−∞,1−√33) (1−√33,1+√33) (1+√33,+∞)
      signo de 𝑓′ + − +
      monotonía de 𝑓 → → →
      Por tanto, 𝑓 es creciente en (−∞,1−√33) ∪(1+√33,+∞) y es decreciente en (1−√33,1+√33). Además, tiene un máximo relativo en 𝑥 =1 −√33 y un mínimo relativo en 1 +√33. Es decir, el punto (0,42; 0,38) es un máximo relativo y el punto (1,58; −0,38) es un mínimo relativo.
    • Estudiamos la curvatura. Para ello, calculamos la segunda derivada de 𝑓. 𝑓″(𝑥)=6𝑥−6. Para hallar los candidatos a puntos de inflexión, igualamos la segunda derivada a cero. 𝑓″(𝑥)=0⇔6𝑥−6=0⇔𝑥=1. Estudiemos el signo de la segunda derivada.
      ( −∞,1) (1, +∞)
      signo de 𝑓″ − +
      curvatura de 𝑓 ⌢ ⌣
      Por tanto, 𝑓 es convexa en (1, +∞) y es cóncava en ( −∞,1). Además, tiene un punto de inflexión en 𝑥 =1, es decir, el punto (1,0).
  2. Representamos gráficamente la función usando la información del apartado anterior. Figura
  3. Podemos representar el recinto acotado limitado por la gráfica de 𝑓 y el eje 𝑋. Figura Calculamos el área. ∫10𝑓(𝑥)𝑑𝑥+∫21−𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫10(𝑥3−3𝑥2+2𝑥)𝑑𝑥+∫21−(𝑥3−3𝑥2+2𝑥)𝑑𝑥==[14𝑥4−𝑥3+𝑥2]10−[14𝑥4−𝑥3+𝑥2]21=14−(−14)=12𝑢2.

Ejercicio 4: Junio de 2023

Se desea analizar el valor de las acciones de una empresa en un día. La función 𝑣(𝑡) nos indica el valor, en euros, de cada acción de la empresa en función del tiempo 𝑡, medido en horas, a partir de la hora de apertura del mercado. De la función 𝑣(𝑡) se conoce que su variación instantánea es 𝑣′(𝑡)=𝑡2−5𝑡+6,𝑡∈[0,6].

  1. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑣.
  2. Si en el momento de la apertura del mercado se conoce que 𝑣(0) =10, halle la función 𝑣.
  3. Si un inversor compró 3.000 de estas acciones en el instante 𝑡 =2 y posteriormente las vendió en el instante 𝑡 =4, indique a cuánto ascendió la ganancia o la pérdida que obtuvo el inversor con esta gestión.
  4. ¿En qué momentos debería haber realizado este inversor las gestiones de compra y de venta para que la ganancia hubiese sido máxima? Justifique su respuesta.

Resolución
  1. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑣 a cero. 𝑣′(𝑡)=0⇔𝑡2−5𝑡+6=0⇔{𝑡=2,𝑡=3. Así que los puntos críticos se encuentran en 𝑡 =2 y 𝑡 =3. Estudiemos el signo de la derivada.
    (0,2) (2,3) (3,6)
    signo de 𝑣′ + − +
    monotonía de 𝑣 → → →
    Por tanto, 𝑣 es creciente en (0,2) ∪(3,6) y es decreciente en (2,3).
  2. Como 𝑣′ es la derivada de 𝑣, entonces 𝑣(𝑡)=∫𝑣′(𝑡)𝑑𝑡=∫(𝑡2−5𝑡+6)𝑑𝑡=13𝑡3−52𝑡2+6𝑡+𝐶. Además, 𝑣(0)=10⇔𝐶=10. Por tanto, 𝑣(𝑡)=13𝑡3−52𝑡2+6𝑡+10.
  3. Calculamos los valores de cada acción de la empresa en los instantes 𝑡 =2 y 𝑡 =4. 𝑣(2)=83−10+12+10=443,𝑣(4)=643−40+24+10=463. Así que el incremento de valor de cada acción es de 𝑣(4)−𝑣(2)=463−443=23. Por tanto, la ganancia obtenida por la compra de 3.000 acciones es de 3.000 ⋅23 =2.000€.
  4. Por el primer apartado, sabemos que la función 𝑣 tiene máximos relativos en 𝑡 =2 y 𝑡 =6 y tiene mínimos relativos en 𝑡 =0 y 𝑡 =3. Observamos que 𝑣(0)=10,𝑣(2)=443≈14,67,𝑣(3)=292=14,5,𝑣(6)=28. Así que el máximo absoluto se encuentra en 𝑡 =6 y el mínimo absoluto en 𝑡 =0. Por tanto, el mejor momento para comprar acciones es a la apertura del mercado (el instante 𝑡 =0) y el mejor momento para venderlas es a las seis horas.

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2023

  1. Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑎𝑥2+𝑏𝑥+6,si 𝑥≤2,5,−1,4𝑥+7,si 𝑥>2,5, con 𝑎 y 𝑏 números reales. Calcule el valor de los parámetros 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua y tenga un máximo en 𝑥 =1.
  2. Represente gráficamente la función 𝑔(𝑥) = −2𝑥2 +2𝑥 +4 y calcule el área de la región acotada, limitada por la gráfica de dicha función y el eje de abscisas.

Resolución
    • Si 𝑥 ≠2,5, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)={2𝑎𝑥+𝑏,si 𝑥<2,5,−1,4,si 𝑥>2,5.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =2,5. lím𝑥→2,5−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2,5−⁡(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+6)=6,25𝑎+2,5𝑏+6,lím𝑥→2,5+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2,5+⁡(−1,4𝑥+7)=3,5,𝑓(2,5)=6,25𝑎+2,5𝑏+6. Para que 𝑓 sea continua, ha de verificarse 6,25𝑎+2,5𝑏+6=3,5⇔6,25𝑎+2,5𝑏=−2,5⇔25𝑎+10𝑏=−10⇔5𝑎+2𝑏=−2.
    Además, para que 𝑓 tenga un máximo en 𝑥 =1 ha de ocurrir que 𝑓′(1) =0. 𝑓′(1)=0⇔2𝑎+𝑏=0. Con estas dos condiciones, planteamos el sistema de ecuaciones {5𝑎+2𝑏=−2,2𝑎+𝑏=0. Resolvemos el sistema por sustitución. Como 2𝑎 +𝑏 =0 ⇔𝑏 = −2𝑎, 5𝑎+2𝑏=−2𝑏=−2𝑎←←←←←←←←→5𝑎−4𝑎=−2⇔𝑎=−2. Así que 𝑏=−2𝑎𝑎=−2←←←←←←←→𝑏=4. Por tanto, 𝑎 = −2 y 𝑏 =4.
  2. En primer lugar, hallamos los puntos de corte de la función 𝑔 con el eje 𝑋. 𝑔(𝑥)=0⇔−2𝑥2+2𝑥+4=0⇔𝑥2−𝑥−2=0⇔{𝑥=−1,𝑥=2. Así que los puntos de corte son ( −1,0) y (2,0). Además, observamos que 𝑔 es una parábola con vértice (12,92). Representamos la función y el recinto acotado. Figura Calculamos el área del recinto. ∫2−1𝑔(𝑥)𝑑𝑥=∫2−1(−2𝑥2+2𝑥+4)𝑑𝑥=[−23𝑥3+𝑥2+4𝑥]2−1=−163+4+8−(23+1−4)=9𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2023

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥23,si 0≤𝑥≤2,4𝑥+1,si 𝑥>2.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓.
  2. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, el máximo de la función y represente gráficamente la función 𝑓.

Resolución
    • Si 𝑥 ≥0 y 𝑥 ≠2, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩23𝑥,si 0≤𝑥<2,−4(𝑥+1)2,si 𝑥>2.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =2. lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−⁡𝑥23=43,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡4𝑥+1=43,𝑓(2)=43. Observamos que lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(2). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =2.
      Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(2)=lím𝑥→2−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2−⁡23𝑥=43,𝑓′+(2)=lím𝑥→2+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2+−4(𝑥+1)2=−49. Observamos que 𝑓′−(2) ≠𝑓′+(2), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =2.
    Por tanto, 𝑓 es continua en [0, +∞) y derivable en [0,2) ∪(2, +∞).

  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.

    • Si 0 ≤𝑥 <2, 𝑓(𝑥)=0⇔23𝑥=0⇔𝑥=0.
    • Si 𝑥 >2, 𝑓′(𝑥)=−4(𝑥+1)2≠0.

    Así que el único punto crítico es 𝑥 =0. También consideramos 𝑥 =2 por ser el punto de ruptura. Estudiemos el signo de la derivada.

    (0,2) (2, +∞)
    signo de 𝑓′ + −
    monotonía de 𝑓 → →

    Por tanto, 𝑓 es creciente en (0,2) y es decreciente en (2, +∞). Además, el punto (2,43) es un máximo relativo.

    Representamos gráficamente la función usando la información obtenida.

    Figura

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2023

La función 𝐵(𝑡) = −𝑡2 +21𝑡 −20 con 0 ≤𝑡 ≤15 representa el beneficio, en miles de euros, de una empresa en función de los años, 𝑡.

  1. Si la función 𝐼(𝑡) = −𝑡2 +48𝑡 representa los ingresos de esta empresa, en miles de euros, para el mismo intervalo de tiempo, ¿cuál es la función de gastos de dicha empresa? ¿Cuáles son los gastos iniciales?
  2. Calcule el momento a partir del cual el beneficio fue positivo.
  3. Calcule en qué momento el beneficio fue máximo y el valor del mismo.
  4. Represente gráficamente la función beneficio.

Resolución
  1. Los gastos vienen dados por la diferencia entre los ingresos y el beneficio. La función que representa los gastos en miles de euros en función de los años es: 𝐺(𝑡)=𝐼(𝑡)−𝐵(𝑡)=−𝑡2+48𝑡−(−𝑡2+21𝑡−20)=27𝑡+20. Como 𝐺(0) =20, los gastos iniciales son 20.000€.
  2. Hallamos los puntos de corte de 𝐵 con el eje 𝑋, es decir, aquellos puntos con 𝑦 =0. 𝐵(𝑡)=0⇔−𝑡2+21𝑡−20=0⇔{𝑡=1,𝑡=20. Así que el único punto de corte con el eje en el dominio [0,15] está en 𝑡 =1. Observamos además que 𝐵(𝑡) >0 para 1 <𝑡 ≤15. Por tanto, el beneficio es positivo a partir del primer año.
  3. Como la función 𝐵 es una parábola cóncava, su máximo se alcanza en el vértice (10,5; 90,25). Es decir, el beneficio máximo se alcanza a los diez años y medio, con un valor de 90.250€.
  4. Representamos gráficamente la función usando la información del apartado anterior. Figura

Ejercicio 4: Julio de 2023

Sea la función 𝑓(𝑡)=12𝑡−24𝑡+3,𝑡≥0.

  1. Represente gráficamente la función 𝑓, determinando los puntos de corte con los ejes coordenados y las ecuaciones de las asíntotas, y estudiando la monotonía y la curvatura de 𝑓.
  2. Si la función 𝑓 representa los beneficios de una empresa, en millones de euros, donde 𝑡 indica los años de vida de la empresa:
    1. ¿A partir de qué año la empresa deja de tener pérdidas? Justifique la respuesta.
    2. A medida que pasan los años, ¿están limitados los beneficios? En caso afirmativo, ¿cuál es su límite y por qué?

Resolución
    • Hallamos los puntos de corte con el eje 𝑋, es decir, aquellos puntos con 𝑦 =0. 𝑓(𝑡)=0⇔12𝑡−24𝑡+3=0⇔12𝑡−24=0⇔𝑡=2. Luego el punto de corte con el eje 𝑋 es (2,0).
    • Hallamos ahora el punto de corte con el eje 𝑌. 𝑓(0)=−243=−8. Así que el punto de corte con el eje 𝑌 es (0, −8).
    • Estudiamos las asíntotas. El denominador solo se anula en 𝑡 = −3. Sin embargo, la función no está definida en un entorno cercano, así que no tiene ninguna asíntota vertical. Veamos si 𝑓 tiene alguna asíntota horizontal. lím𝑡→+∞⁡12𝑡−24𝑡+3=12. Por tanto, la recta 𝑦 =12 es una asíntota horizontal.
    • Estudiamos la monotonía. En primer lugar, calculamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑡)=12(𝑡+3)−(12𝑡−24)(𝑡+3)2=60(𝑡+3)2. Observamos que la derivada nunca se anula y siempre es positiva, así que no tiene puntos críticos y es creciente en todo su dominio.
    • Estudiamos la curvatura. Para ello, calculamos la segunda derivada de 𝑓. 𝑓″(𝑡)=−120(𝑡+3)3. Observamos que la segunda derivada nunca se anula y es siempre negativa para 𝑡 ≥0, así que no tiene puntos de inflexión y es cóncava en todo su dominio.
    Representamos gráficamente la función usando esta información. Figura
    1. Los beneficios de la empresa empiezan a ser positivos a partir del segundo año, donde se encuentra el punto de corte (2,0).
    2. A pesar de que los beneficios aumentan con el paso de los años, tienen como límite 12 millones de euros, representado en la gráfica por la asíntota horizontal 𝑦 =12.

Ejercicio 3: Junio de 2022

  1. Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐, con 𝑎, 𝑏 y 𝑐 números reales. Calcule los valores 𝑎, 𝑏 y 𝑐 sabiendo que la gráfica de 𝑓 posee un extremo relativo en el punto de abscisa 𝑥 =3 y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto 𝑃(0,18) es -3.
  2. Calcule el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función 𝑔(𝑥) =𝑥3 −4𝑥2 −3𝑥 +18 y el eje de abscisas.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=3𝑥2+2𝑎𝑥+𝑏.
    • Si la función tiene un extremo en 𝑥 =3, entonces 𝑓′(3) =0. 𝑓′(3)=0⇔27+6𝑎+𝑏=0.
    • Si la pendiente de la recta tangente en 𝑥 =0 es -3, entonces 𝑓′(0) = −3. 𝑓′(0)=−3⇔𝑏=−3. Por otro lado, si (0,18) es un punto de la función, entonces 𝑓(0) =18. 𝑓(0)=18⇔𝑐=18.
    Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, 27+6𝑎+𝑏=0⇔𝑎=−𝑏+276𝑏=−3←←←←←←←→𝑎=−4. Por tanto, 𝑎 = −4, 𝑏 = −3 y 𝑐 =18.
  2. En primer lugar, hallamos los puntos de corte de la función 𝑔 con el eje 𝑋. 𝑔(𝑥)=0⇔𝑥3−4𝑥2−3𝑥+18=0⇔(𝑥+2)(𝑥−3)2=0⇔{𝑥=−2,𝑥=3. Así que los puntos de corte son ( −2,0) y (3,0).
    Podemos representar el recinto acotado limitado por la gráfica de 𝑔 y el eje 𝑋. Figura Calculamos el área. ∫3−2𝑔(𝑥)𝑑𝑥=∫3−2(𝑥3−4𝑥2−3𝑥+18)𝑑𝑥=[14𝑥4−43𝑥3−32𝑥2+18𝑥]3−2==814−36−272+54−(4+323−6−36)=62512𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2022

Se considera la función 𝑓(𝑥)=𝑥−3𝑥+2.

  1. Determine el dominio de la función y estudie su monotonía y curvatura.
  2. Calcule las ecuaciones de las asíntotas de 𝑓 si existen. Calcule los puntos de corte de la gráfica de 𝑓 con los ejes de coordenadas.
  3. Represente la gráfica de la función 𝑓.

Resolución
    • La función 𝑓 es una función racional, así que los puntos que no pertenecen al dominio son aquellos que anulan al denominador. 𝑥+2=0⇔𝑥=−2. Por tanto, Dom⁡(𝑓) =ℝ ∖{ −2}.
    • Estudiamos la monotonía. En primer lugar, calculamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=𝑥+2−(𝑥−3)(𝑥+2)2=5(𝑥+2)2. Observamos que 𝑓′(𝑥) >0 para 𝑥 ≠ −2, así que 𝑓 es creciente en todo su dominio y no tiene extremos.
    • Estudiamos la curvatura. Para ello, calculamos la segunda derivada de 𝑓. 𝑓″(𝑥)=−10(𝑥+2)3. Observamos que 𝑓″(𝑥) ≠0 para 𝑥 ≠ −2, así que no tiene puntos de inflexión. Estudiamos el signo de la segunda derivada, considerando 𝑥 = −2 por no pertenecer al dominio.
      ( −∞, −2) ( −2, +∞)
      signo de 𝑓″ + −
      curvatura de 𝑓 ⌣ ⌢
      Por tanto, la función es convexa en ( −∞,2) y cóncava en (2, +∞).
    • El denominador se anula en 𝑥 = −2 y observamos que lím𝑥→−2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−2−⁡𝑥−3𝑥+2=+∞,lím𝑥→−2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−2+⁡𝑥−3𝑥+2=−∞. Por tanto, la recta 𝑥 = −2 es una asíntota vertical.
    • Veamos si tiene una asíntota horizontal. lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→+∞⁡𝑥−3𝑥+2=1. Por tanto, la recta 𝑦 =1 es una asíntota horizontal.
    • Hallamos los puntos de corte con el eje 𝑋, es decir, aquellos puntos con 𝑦 =0. 𝑓(𝑥)=0⇔𝑥−3𝑥+2=0⇔𝑥−3=0⇔𝑥=3. Luego el único punto de corte con el eje 𝑋 es (3,0).
    • Hallamos ahora el punto de corte con el eje 𝑌. 𝑓(0)=−32. Así que el punto de corte con el eje 𝑌 es (0,−32).
  3. Representamos gráficamente la función usando la información de los apartados anteriores. Figura

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2022

Los ingresos (𝐼) y los costes (𝐶) de una discoteca, en miles de euros, en función del número de horas diarias que permanece abierta, vienen dados por las funciones: 𝐼(𝑥)=𝑥3−𝑥y𝐶(𝑥)=𝑥3−𝑥2+6, respectivamente. Sabiendo que la licencia del ayuntamiento no permite que este tipo de local permanezca abierto más de 8 horas diarias, halle:

  1. La función beneficio en función del número de horas diarias que la discoteca permanece abierta.
  2. El número de horas que debe permanecer abierta para obtener beneficios.
  3. En qué momento se tienen las mayores pérdidas y a cuánto ascienden.
  4. El tiempo que debe permanecer abierta para obtener el máximo beneficio y a cuánto asciende.

Resolución
  1. Los beneficios viene dados por la diferencia entre los ingresos y los costes. La función que representa los beneficios en miles de euros en función del número de horas diarias es 𝐵(𝑥)=𝐼(𝑥)−𝐶(𝑥)=𝑥3−𝑥−(𝑥3−𝑥2+6)=𝑥2−𝑥−6,0≤𝑥≤8. Podemos representar la función Figura
  2. Hallamos los puntos de corte de 𝐵 con el eje 𝑋, es decir, aquellos puntos con 𝑦 =0. 𝐵(𝑥)=0⇔𝑥2−𝑥−6=0⇔{𝑥=−2,𝑥=3. Así que el único punto de corte con el eje en el dominio [0,8] está en 𝑥 =3. Observamos además que 𝐵(𝑥) >0 para 𝑥 >3. Por tanto, la discoteca obtiene beneficios a partir de la tercera hora.
  3. La función 𝐵 es una parábola cóncava con vértice (0,5; −6,25), por lo que este es su mínimo absoluto. Por tanto, la discoteca tiene las mayores pérdidas a la media hora y estas ascienden a 6.250€.
  4. El máximo absoluto de la función es el punto (8,50). Por tanto, se obtiene el máximo beneficio a las ocho horas y este asciende a 50.000€.

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2022

Una empresa de fumigación sabe que los beneficios, en miles de euros, que obtiene en función de las hectáreas que le encargan fumigar mensualmente viene dada por la expresión 𝐵(𝑥)=−𝑥2+16𝑥−48. Además, por problemas de personal, la empresa no puede fumigar más de 10 hectáreas al mes.

  1. ¿Cuántas hectáreas tiene que fumigar al mes para que la empresa tenga beneficios?
  2. ¿Cuántas hectáreas tiene que fumigar para obtener el máximo beneficio mensual? ¿A cuánto asciende dicho beneficio?
  3. Si un mes ha obtenido un beneficio de 7.000€, ¿cuántas hectáreas ha fumigado?

Resolución

Como la empresa no puede fumigar más de 10 hectáreas al mes, Dom⁡(𝐵) =[0,10].

  1. Hallamos los puntos de corte de la función 𝐵 con el eje 𝑋, es decir, aquellos en los que el beneficio es cero. 𝐵(𝑥)=0⇔−𝑥2+16𝑥−48=0⇔{𝑥=4,𝑥=12. Así que el único punto de corte con el eje en el dominio [0,10] está en 𝑥 =4. Observamos además que 𝐵(𝑥) >0 si 4 <𝑥 ≤10. Por tanto, la empresa obtendrá beneficios si fumiga entre 4 y 10 hectáreas al mes.
  2. La función es cuadrática y su gráfica es cóncava, así que el máximo se alcanza en el vértice de la parábola. Como el vértice es el punto (8,16), la empresa tendrá que fumigar 8 hectáreas al mes para obtener el beneficio máximo, que asciende a 16.000€.
  3. Se obtiene un beneficio de 7.000€ si 𝐵(𝑥) =7. 𝐵(𝑥)=7⇔−𝑥2+16𝑥−48=7⇔−𝑥2+16𝑥−55=0⇔{𝑥=5,𝑥=11. Como 𝑥 =11 no pertenece al dominio, la función solo alcanza un valor de 7 en 𝑥 =5. Por tanto, la empresa ha fumigado 5 hectáreas.

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2022

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1,si 𝑥≤1,2𝑥,si 𝑥>1, con 𝑎 y 𝑏 números reales.

  1. ¿Para qué valores de 𝑎 y 𝑏 la función es continua y derivable en 𝑥 =1?
  2. Para 𝑎 = −3 y 𝑏 =4, calcule los extremos relativos de 𝑓.
  3. Para 𝑎 = −2 y 𝑏 =3, calcule el valor de la integral ∫3−1𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Resolución
    • Si 𝑥 ≠1, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)={2𝑎𝑥+𝑏,si 𝑥<1,−2𝑥2,si 𝑥>1.
    • Estudiamos la continuidad para 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1)=𝑎+𝑏+1,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡2𝑥=2,𝑓(1)=𝑎+𝑏+1. Para que 𝑓 sea continua en 𝑥 =1, ha de verificarse 𝑎+𝑏+1=2⇔𝑎+𝑏=1. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(2𝑎𝑥+𝑏)=2𝑎+𝑏,𝑓′+(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+−2𝑥2=−2. Para que 𝑓 sea derivable en 𝑥 =1, ha de verificarse 2𝑎+𝑏=−2.
    Con estas dos condiciones, planteamos el sistema de ecuaciones {𝑎+𝑏=1,2𝑎+𝑏=−2. Resolvemos el sistema por reducción. Si restamos las ecuaciones, obtenemos que −𝑎=3⇔𝑎=−3. Despejando y sustituyendo en la primera ecuación, 𝑎+𝑏=1⇔𝑏=1−𝑎𝑎=−3←←←←←←←→𝑏=4. Por tanto, 𝑎 = −3 y 𝑏 =4.
  2. Si 𝑎 = −3 y 𝑏 =4, por el apartado anterior 𝑓 es continua y derivable en ℝ con 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−3𝑥2+4𝑥+1,si 𝑥<1,2𝑥,si 𝑥≥1y𝑓′(𝑥)={−6𝑥+4,si 𝑥<1,−2𝑥2,si 𝑥≥1. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si 𝑥 <1, 𝑓′(𝑥)=0⇔−6𝑥+4=0⇔𝑥=23.
    • Si 𝑥 ≥1, 𝑓′(𝑥)=−2𝑥2≠0.
    Así que el único punto crítico es 𝑥 =23. Estudiamos el signo de la derivada.
    (−∞,23) (23,+∞)
    signo de 𝑓′ + −
    monotonía de 𝑓 → →
    Por tanto, el punto (23,73) es un máximo relativo.
  3. Si 𝑎 = −2 y 𝑏 =3, 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−2𝑥2+3𝑥+1,si 𝑥<1,2𝑥,si 𝑥≥1. Calculamos la integral. ∫3−1𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫1−1(−2𝑥2+3𝑥+1)𝑑𝑥+∫312𝑥𝑑𝑥=[−23𝑥3+32𝑥2+𝑥]1−1+[2ln⁡(𝑥)]31==−23+32+1−(23+32−1)+2ln⁡(3)=23+2ln⁡(3).

Ejercicio 3: Julio de 2022

  1. Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑏𝑥2 +𝑐𝑥 −1 donde 𝑏 y 𝑐 son números reales. Determine el valor de 𝑏 y 𝑐 para que la función 𝑓 presente un extremo en el punto de abscisa 𝑥 =13 y además la gráfica de la función 𝑓 pase por el punto ( −2, −3).
  2. Dada la función 𝑔(𝑥) = −𝑥3 −𝑥2 +𝑥 +1, realice el esbozo de su gráfica, estudiando los puntos de corte con los ejes coordenados y su monotonía. Determine el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función 𝑔 y el eje de abscisas.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=3𝑥2+2𝑏𝑥+𝑐.
    • Si la función tiene un extremo en 𝑥 =13, entonces 𝑓′(13) =0. 𝑓′(13)=0⇔13+23𝑏+𝑐=0⇔1+2𝑏+3𝑐=0⇔2𝑏+3𝑐=−1.
    • Si la función pasa por el punto ( −2, −3), entonces 𝑓( −2) = −3. 𝑓(−2)=−3⇔−8+4𝑏−2𝑐−1=−3⇔4𝑏−2𝑐=6⇔2𝑏−𝑐=3.
    Planteamos el sistema de ecuaciones {2𝑏+3𝑐=−1,2𝑏−𝑐=3. Resolvemos el sistema por reducción. Si restamos las dos ecuaciones, obtenemos que 4𝑐=−4⇔𝑐=−1. Despejando y sustituyendo en la segunda ecuación, 2𝑏−𝑐=3⇔𝑏=3+𝑐2𝑐=−1←←←←←←←→𝑏=1.
    • Hallamos los puntos de corte de la función 𝑔 con el eje 𝑋, es decir, aquellos puntos con 𝑦 =0. 𝑔(𝑥)=0⇔−𝑥3−𝑥2+𝑥+1=0⇔−(𝑥−1)(𝑥+1)2=0⇔{𝑥=−1,𝑥=1. Luego los puntos de corte con el eje 𝑋 son ( −1,0) y (1,0).
    • Hallamos el punto de corte con el eje 𝑌, es decir, aquel con 𝑥 =0. 𝑔(0)=1. Luego el punto de corte con el eje 𝑌 es (0,1).
    • Estudiamos la monotonía. En primer lugar, calculamos la derivada de la función 𝑔. 𝑔′(𝑥)=−3𝑥2−2𝑥+1. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de la función 𝑔. 𝑔′(𝑥)=0⇔−3𝑥2−2𝑥+1=0⇔{𝑥=−1,𝑥=13. Estudiemos el signo de la derivada.
      ( −∞, −1) (−1,13) (13,+∞)
      signo de 𝑔′ − + −
      monotonía de 𝑔 → → →
      Por tanto, 𝑓 es creciente en (−1,13) y decreciente en ( −∞, −1) ∪(13,+∞). Además, el punto (13,3227) es un máximo relativo y el punto ( −1,0) es un mínimo relativo.
    Representamos gráficamente la función usando esta información. Figura Podemos representar gráficamente el recinto acotado limitado por la gráfica de 𝑔 y el eje 𝑋. Figura Calculamos el área. ∫1−1𝑔(𝑥)𝑑𝑥=∫1−1(−𝑥3−𝑥2+𝑥+1)𝑑𝑥=[−14𝑥4−13𝑥3+12𝑥2+𝑥]1−1==−14−13+12+1−(−14+13+12−1)=43𝑢2.

Ejercicio 4: Julio de 2022

El beneficio, en miles de euros, que se obtiene en una pequeña finca familiar por la venta de aceitunas, en miles de kilogramos, viene dado por la siguiente función: 𝐵(𝑥)=−0,02𝑥2+1,3𝑥−15,𝑥≥0.

  1. Represente la función beneficio y calcule los puntos de corte con el eje 𝑂𝑋.
  2. ¿Para qué valores de 𝑥 la finca no tiene pérdidas?
  3. ¿Para qué número de kilogramos el beneficio será máximo? ¿Cuánto vale dicho beneficio?
  4. ¿Cuántos kilogramos debe vender para obtener un beneficio de 5.000€?

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos los puntos de corte de la función 𝐵 con el eje 𝑋. 𝐵(𝑥)=0⇔−0,02𝑥2+1,3𝑥−15=0⇔𝑥2−65𝑥+750=0⇔{𝑥=15,𝑥=50. Luego los puntos de corte con el eje 𝑋 son (15,0) y (50,0). Además, observamos que 𝑓 es una parábola con vértice (652,498) =(32,5; 6,125). Representamos la función con esta información. Figura
  2. La finca no tiene pérdidas cuando 𝐵(𝑥) ≥0, es decir, si 15 ≤𝑥 ≤50.
  3. La función 𝐵 alcanza el máximo en el vértice (32,5; 6,125). Por tanto, el beneficio será máximo para 32.500 kg y ascenderá a 6.125€.
  4. Se obtiene un beneficio de 5.000€ si 𝐵(𝑥) =5. 𝐵(𝑥)=5⇔−0,02𝑥2+1,3𝑥−15=5⇔−0,02𝑥2+1,3𝑥−20=0⇔{𝑥=25,𝑥=40. Por tanto, se deben vender 25.000 kg o 40.000 kg para obtener dicho beneficio.

Ejercicio 3: Junio de 2021

Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −4𝑥2 +4𝑥.

  1. Estudie su monotonía y calcule sus extremos.
  2. Represente gráficamente la función.
  3. Calcule ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
  4. Calcule el área del recinto acotado limitado por la gráfica de 𝑓 y el eje de abscisas.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=3𝑥2−8𝑥+4. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑓 a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔3𝑥2−8𝑥+4=0⇔{𝑥=23,𝑥=2. Estudiamos el signo de $la derivada.
    (−∞,23) (23,2) (2, +∞)
    signo de 𝑓′ + − +
    monotonía de 𝑓 → → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en (−∞,23) ∪(2, +∞) y decreciente en (23,2). Además, el punto (23,3227) es un máximo relativo y (2,0) es un mínimo relativo.
  2. Representamos gráficamente la función usando la información del apartado anterior. Figura
  3. Calculamos la integral indefinida. ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫(𝑥3−4𝑥2+4𝑥)𝑑𝑥=14𝑥4−43𝑥2+2𝑥2+𝐶.
  4. Podemos representar el recinto acotado limitado por la gráfica de 𝑓 y el eje 𝑋. Figura Calculamos el área. ∫20(𝑥3−4𝑥2+4𝑥)𝑑𝑥=[14𝑥4−43𝑥2+2𝑥2]20=4−323+8=43𝑢2.

Ejercicio 3: Reserva 1 de 2021

Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑎𝑥+𝑏,si 𝑥<1,𝑥2−𝑏𝑥+𝑎,si 𝑥≥1.

  1. Halle el valor de 𝑏 para que 𝑓 sea continua en ℝ.
  2. Para 𝑏 =12, halle el valor de 𝑎 para que 𝑓 sea derivable en ℝ.
  3. Para 𝑎 <0 y 𝑏 =12, estudie el crecimiento y halle las abscisas de los extremos de la función 𝑓.
  4. Para 𝑎 =0 y 𝑏 =12, represente la región del plano delimitada por la gráfica de 𝑓, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 =0 y 𝑥 =2. Calcule el área de dicha región.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad.
    • Si 𝑥 ≠1, 𝑓 es continua para cualquier valor de 𝑎 y 𝑏.
    • Estudiamos la continuidad en el punto de ruptura 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(𝑎𝑥+𝑏)=𝑎+𝑏,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡(𝑥2−𝑏𝑥+𝑎)=1−𝑏+𝑎,𝑓(1)=1−𝑏+𝑎. Para que 𝑓 sea continua, ha de verificarse que: lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(1)⇔𝑎+𝑏=1−𝑏+𝑎⇔2𝑏=1⇔𝑏=12.
  2. Estudiamos la derivabilidad.
    • Si 𝑥 ≠1, 𝑓 es derivable para cualquier valor de 𝑎 con: 𝑓′(𝑥)={𝑎,si 𝑥<1,2𝑥−12,si 𝑥>1.
    • Estudiamos la derivabilidad en el punto de ruptura 𝑥 =1. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−⁡𝑎=𝑎,𝑓′+(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+⁡2𝑥−12=32. Para que 𝑓 sea derivable, ha de verificarse que: 𝑓′−(1)=𝑓′+(1)⇔𝑎=32.
  3. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si 𝑥 <1, 𝑓′(𝑥)=𝑎≠0.
    • Si 𝑥 >1, 𝑓′(𝑥)=0⇔2𝑥−12=0⇔𝑥=14∉(1,+∞).
    Así que la función no tiene ningún punto crítico. Consideramos 𝑥 =1 por ser no derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    ( −∞,1) (1, +∞)
    signo de 𝑓′ − +
    monotonía de 𝑓 → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en (1, +∞) y decreciente en ( −∞,1). Además, tiene un mínimo relativo en 𝑥 =1.
  4. Representamos la región. Figura Calculamos el área. ∫1012𝑑𝑥+∫21(𝑥2−12𝑥)𝑑𝑥=[12𝑥]10+[13𝑥3−14𝑥2]21=12+83−1−(13−14)=2512𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2021

La cotización en bolsa de una empresa en un determinado dia viene expresada, en euros, por la función 𝑐(𝑡), con 𝑡 ∈[0,24], medido en horas. La variación instantánea de esta función es la derivada de 𝑐, que viene dada por 𝑐′(𝑡) =0,03𝑡2 −0,9𝑡 +6, con 𝑡 ∈(0,24).

  1. Estudie los intervalos en los que la función 𝑐 es creciente.
  2. Analice los puntos críticos de la función 𝑐, indicando en cuáles se alcanza el máximo y el mínimo relativos.
  3. Halle la expresión analítica de la función 𝑐, sabiendo que la cotización en bolsa de la empresa era de 50 euros en el instante inicial.

Resolución
  1. Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada de 𝑐 a cero. 𝑐′(𝑡)=0⇔0,03𝑡2−0,9𝑡+6=0⇔𝑡2−30𝑡+200=0⇔{𝑡=10,𝑡=20. Estudiamos el signo de la derivada.
    (0,10) (10,20) (20,24)
    signo de 𝑐′ + − +
    monotonía de 𝑐 → → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en (0,10) ∪(20,24).
  2. Los puntos críticos de 𝑐 se encuentran en 𝑡 =10 y 𝑡 =20. El máximo relativo se alcanza en 𝑡 =10 y el mínimo relativo en 𝑡 =20.
  3. En primer lugar, hallamos la función 𝑐 integrando. 𝑐(𝑡)=∫𝑐′(𝑡)𝑑𝑡=∫(0,03𝑡2−0,9𝑡+6)𝑑𝑡=0,01𝑡3−0,45𝑡2+6𝑡+𝐾. Como la cotización al inicio era de 50 euros, ha de verificarse que: 𝑐(0)=50⇔𝐾=50. Por tanto, 𝑐(𝑡)=0,01𝑡3−0,45𝑡2+6𝑡+50.

Ejercicio 3: Reserva 2 de 2021

Se considera la función 𝑓(𝑥)={(𝑥+1)2,si −2≤𝑥<0,(𝑥−1)2,si 0≤𝑥≤2.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓 en todo su dominio.
  2. Calcule los extremos de la función 𝑓.
  3. Represente el recinto que encierra la gráfica de 𝑓, las rectas 𝑥 = −1, 𝑥 =1 y el eje 𝑂𝑋. Calcule el área de dicho recinto.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad.
    • Si 𝑥 ∈[ −2,2] con 𝑥 ≠0, 𝑓 es continua y derivable con: 𝑓′(𝑥)={2(𝑥+1),si −2≤𝑥<0,2(𝑥−1),si 0<𝑥≤2.
    • Estudiamos la continuidad en 𝑥 =0. lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0−⁡(𝑥+1)2=1,lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡(𝑥−1)2=1,𝑓(0)=1. Observamos que: lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(0). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =0. Pasamos a estudiar su derivabilidad. 𝑓′−(0)=lím𝑥→0−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0−⁡2(𝑥+1)=2,𝑓′+(0)=lím𝑥→0+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→0+⁡2(𝑥−1)=−2. Como 𝑓′−(0) ≠𝑓′+(0), 𝑓 no es derivable en 𝑥 =0.
    Por tanto, 𝑓 es continua en [ −2,2] y derivable en [ −2,0) ∪(0,2].
  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si −2 ≤𝑥 <0, 𝑓′(𝑥)=0⇔2(𝑥+1)=0⇔𝑥=−1.
    • Si 0 <𝑥 ≤2, 𝑓′(𝑥)=0⇔2(𝑥−1)=0⇔𝑥=1.
    Así que los puntos críticos son 𝑥 = −1 y 𝑥 =1. Consideramos también 𝑥 =0 por no ser derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    ( −2, −1) ( −1,0) (0,1) (1,2)
    signo de 𝑓′ − + − +
    monotonía de 𝑓 → → → →
    Por tanto, los puntos ( −2,1), (0,1) y (2,1) son máximos relativos y los puntos ( −1,0) y (1,0) son mínimos relativos.
  3. Representamos el recinto. Figura Como el recinto es simétrico, podemos calcular su área como: 2∫10(𝑥−1)2𝑑𝑥=2[13(𝑥−1)3]10=2⋅13=23𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2021

  1. Sea 𝑓 una función de la que sabemos que la gráfica de su derivada, 𝑓′, es una parábola con vértice en el punto (0,8), que corta al eje de abscisas en los puntos ( −4,0) y (4,0).
    1. Dibuje la gráfica de 𝑓′.
    2. A partir de dicha gráfica, halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento de 𝑓, así como las abscisas de los extremos relativos de 𝑓.
    3. Sabiendo que la gráfica de 𝑓 pasa por el origen de coordenadas, calcule la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.
  2. Calcule la derivada de la función 𝑔(𝑥) =( −3 +𝑥2)𝑒2𝑥−1.

Resolución
    1. Representamos la gráfica. Figura
    2. La derivada de 𝑓 se anula en 𝑥 = −4 y 𝑥 =4, así que estos son sus puntos críticos. Estudiamos el signo de la derivada.
      ( −∞, −4) ( −4,4) (4, +∞)
      signo de 𝑓′ − + −
      monotonía de 𝑓 → → →
      Por tanto, 𝑓 es creciente en (4,4) y decreciente en ( −∞, −4) y (4,∞). Además, tiene un máximo relativo en 𝑥 =4 y un mínimo relativo en 𝑥 = −4.
    3. Sabemos que 𝑓(0) =0 y 𝑓′(0) =8. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =0 viene dada por: 𝑦−𝑓(0)=𝑓′(0)(𝑥−0)⇔𝑦=8𝑥.
  2. Calculamos la derivada. 𝑔′(𝑥)=2𝑥𝑒2𝑥−1+(−3+𝑥2)𝑒2𝑥−1⋅2=2(𝑥2+𝑥−3)𝑒2𝑥−1.

Ejercicio 3: Reserva 3 de 2021

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−2𝑥+2𝑎,si −4≤𝑥≤−2,−2𝑥2−4𝑎,si −2<𝑥≤2,−8𝑥+𝑏,si 2<𝑥≤3.

  1. Calcule los valores 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua en su dominio. Para esos valores, ¿es 𝑓 derivable?
  2. Para 𝑎 = −2 y 𝑏 =16, estudie la monotonía de la función 𝑓 y calcule sus extremos relativos y absolutos.
  3. Para 𝑎 = −2 y 𝑏 =16, calcule el área del recinto limitado por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑂𝑋 y las rectas 𝑥 = −2 y 𝑥 =2.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad de 𝑓.
    • Si 𝑥 ∈[ −4,3] con 𝑥 ≠ −2 y 𝑥 ≠2, 𝑓 es continua.
    • Estudiamos su continuidad en 𝑥 = −2. lím𝑥→−2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−2−⁡(−2𝑥+2𝑎)=4+2𝑎,lím𝑥→−2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−2+⁡(−2𝑥2−4𝑎)=−8−4𝑎,𝑓(−2)=4+2𝑎. Para que 𝑓 sea continua en 𝑥 = −2, ha de verificarse que: 4+2𝑎=−8−4𝑎⇔6𝑎=−12⇔𝑎=−2.
    • Estudiamos su continuidad en 𝑥 =2. lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−⁡(−2𝑥2+8)=0,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡(−8𝑥+𝑏)=−16+𝑏,𝑓(2)=0. Para que 𝑓 sea continua en 𝑥 =2, ha de verificarse que: 0=−16+𝑏⇔𝑏=16.
    Por tanto, 𝑓 es continua si 𝑎 = −2 y 𝑏 =16. Estudiamos su derivabilidad para estos valores.
    • Si 𝑥 ∈[ −4,3] con 𝑥 ≠ −2 y 𝑥 ≠2, 𝑓 es derivable con: 𝑓′(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−2,si −4≤𝑥<−2,−4𝑥,si −2<𝑥<2,−8,si 2<𝑥≤3.
    • Estudiamos su derivabilidad en 𝑥 = −2. 𝑓′−(−2)=lím𝑥→−2−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→−2−−2=−2,𝑓′+(−2)=lím𝑥→−2+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→−2+−4𝑥=8. Como 𝑓′−( −2) ≠𝑓′+( −2), 𝑓 no es derivable en 𝑥 = −2.
    • Estudiamos su derivabilidad en 𝑥 =2. 𝑓′−(2)=lím𝑥→2−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2−−4𝑥=−8,𝑓′+(2)=lím𝑥→2+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2+−8=−8. Como 𝑓′−(2) =𝑓′+(2), 𝑓 es derivable en 𝑥 =2.
    Por tanto, 𝑓 es derivable en [ −4, −2) ∪( −2,3].
  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las tres ramas de la derivada a cero.
    • Si −4 <𝑥 < −2, 𝑓′(𝑥) = −2 ≠0.
    • Si −2 <𝑥 <3, 𝑓′(𝑥)=0⇔−4𝑥=0⇔𝑥=0.
    • Si 2 <𝑥 <3, 𝑓′(𝑥) = −8 ≠0.
    Así que el único punto crítico es 𝑥 =0. Consideramos también 𝑥 = −2 por no ser derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    ( −4, −2) ( −2,0) (0,3)
    signo de 𝑓′ − + −
    monotonía de 𝑓 → → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en ( −2,0) y decreciente en ( −4, −2) ∪(0,3). Además, los puntos ( −4,4) y (0,8) son máximos relativos y los puntos ( −2,0) y (3, −8) son mínimos relativos. Así que (0,8) es el máximo absoluto y (3, −8) es el mínimo absoluto.
  3. Podemos representar el recinto. Figura Como el recinto es simétrico, podemos calcular su área como: 2∫20(−2𝑥2+8)𝑑𝑥=2[−23𝑥3+8𝑥]20=2(−163+16)=643𝑢2.

Ejercicio 4: Reserva 4 de 2021

Una fábrica estima que sus costes de producción, expresados en miles de euros, vienen dados por la función 𝑓(𝑥) =𝑥2 −6𝑥 +10, donde 𝑥 es la cantidad semanal a producir expresada en miles de kilogramos.

  1. ¿Cuál debe ser la producción semanal para que el coste sea mínimo? ¿Cuál es dicho coste?
  2. Calcule la recta tangente a la función de costes en el punto de abscisa 𝑥 =4. Represente gráficamente la función de costes y la recta tangente hallada.

Ejercicio 3: Julio de 2021

Se considera la función 𝑓(𝑥)={2𝑥+1,si 𝑥<0,𝑥2−2𝑥,si 𝑥≥0.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓 en su dominio.
  2. Estudie la monotonía de la función 𝑓 y calcule el mínimo.
  3. Calcule ∫2−2𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
    • Si 𝑥 ≠0, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)={2𝑥+1ln⁡(2),si 𝑥<0,2𝑥−2,si 𝑥>0.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =0. lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0−⁡2𝑥+1=2,lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡(𝑥2−2𝑥)=0,𝑓(0)=0. Observamos que lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)≠lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)≠𝑓(0). Así que 𝑓 no es continua ni derivable en 𝑥 =0.
    Por tanto, 𝑓 es continua y derivable en ℝ ∖{0}.
  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si 𝑥 <0, 𝑓′(𝑥)=2𝑥+1ln⁡(2)≠0.
    • Si 𝑥 >0, 𝑓′(𝑥)=0⇔2𝑥−2=0⇔𝑥=1.
    Así que el único punto crítico es 𝑥 =1. También consideramos 𝑥 =0 por no ser derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    ( −∞,0) (0,1) (1, +∞)
    signo de 𝑓′ + − +
    monotonía de 𝑓 → → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en ( −∞,0) ∪(1, +∞) y decreciente en (0,1). Además, el punto (1, −1) es un mínimo relativo.
  3. Calculamos la integral. ∫2−2𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫0−22𝑥+1𝑑𝑥+∫20(𝑥2−2𝑥)𝑑𝑥=[2𝑥+1ln⁡(2)]0−2+[13𝑥3−𝑥2]20==2ln⁡(2)−12ln⁡(2)+83−4=32ln⁡(2)−43.

Ejercicio 4: Julio de 2021

El número de diagnosticados de COVID-19 por PCR en Andalucía, medido en miles de personas, se aproxima por la siguiente función: 𝑓(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩−𝑡2+2𝑡−0,3,si 0,2≤𝑡≤1,8,0,1𝑡−0,12,si 1,8<𝑡≤5,−0,5𝑡2+8,3𝑡−28,62,si 5<𝑡≤10, donde 𝑡 es el tiempo, medido en meses, a partir del inicio de conteo en el mes de marzo de 2020.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑓 en su dominio.
  2. ¿En qué instante o instantes es máximo el número de diagnosticados? ¿Cuál es ese número?

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
    • Si 𝑡 ∈[0,2; 10] con 𝑡 ≠1,8 y 𝑡 ≠5, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩−2𝑡+2,si 0,2≤𝑡<1,8,0,1,si 1,8<𝑡<5,−𝑡+8,3,si 5<𝑡<10.
    • Estudiamos la continuidad para 𝑡 =1,8. lím𝑡→1,8−⁡𝑓(𝑡)=lím𝑡→1,8−⁡(−𝑡2+2𝑡−0,3)=0,06,lím𝑡→1,8+⁡𝑓(𝑡)=lím𝑡→1,8+⁡(0,1𝑡−0,12)=0,06,𝑓(1,8)=0,06. Observamos que lím𝑡→1,8−⁡𝑓(𝑡)=lím𝑡→1,8+⁡𝑓(𝑡)=𝑓(1,8). Así que 𝑓 es continua en 𝑡 =1,8. Pasamos a estudiar su derivabilidad. 𝑓′−(1,8)=lím𝑡→1,8−⁡𝑓′(𝑡)=lím𝑡→1,8−⁡(−2𝑡+2)=−1,6,𝑓′+(1,8)=lím𝑡→1,8+⁡𝑓′(𝑡)=lím𝑡→1,8+⁡0,1=0,1. Observamos que 𝑓′−(1,8) ≠𝑓′+(1,8), así que 𝑓 no es derivable en 𝑡 =1,8.
    • Estudiamos la continuidad para 𝑡 =5. lím𝑡→5−⁡𝑓(𝑡)=lím𝑡→5−⁡(0,1𝑡−0,12)=0,38,lím𝑡→5+⁡𝑓(𝑡)=lím𝑡→5+⁡(−0,5𝑡2+8,3𝑡−28,62)=0,38,𝑓(5)=0,38. Observamos que lím𝑡→5−⁡𝑓(𝑡)=lím𝑡→5+⁡𝑓(𝑡)=𝑓(5). Así que 𝑓 es continua en 𝑡 =5. Pasamos a estudiar su derivabilidad. 𝑓′−(5)=lím𝑡→5−⁡𝑓′(𝑡)=lím𝑡→5−⁡0,1=0,1,𝑓′+(5)=lím𝑡→5+⁡𝑓′(𝑡)=lím𝑡→5+⁡(−𝑡+8,3)=3,3. Observamos que 𝑓′−(5) ≠𝑓′+(5), así que 𝑓 no es derivable en 𝑡 =5.
    Por tanto, 𝑓 es continua en [0,2; 10] y derivable en [0,2; 1,8) ∪(1,8; 5) ∪(5,10].
  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las tres ramas de la derivada a cero.
    • Si 0,2 ≤𝑡 <1,8, 𝑓′(𝑡)=0⇔−2𝑡+2=0⇔𝑡=1.
    • Si 1,8 <𝑡 <5, 𝑓′(𝑡)=0,1≠0.
    • Si 5 <𝑡 ≤10, 𝑓′(𝑡)=0⇔−𝑡+8,3=0⇔𝑡=8,3.
    Así que los puntos críticos son 𝑡 =1 y 𝑡 =8,3. También consideramos 𝑡 =1,8 y 𝑡 =5 por no ser derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    (0,2; 1) (1; 1,8) (1,8; 5) (5; 8,3) (8,3; 10)
    signo de 𝑓′ + − + + −
    monotonía de 𝑓 → → → → →
    Por tanto, los puntos (1; 0,7) y (8,3; 5,825) son máximos relativos, así que (8,3; 5,825) es el máximo absoluto. Esto significa que 5.825 fue el número máximo de diagnosticados y se alcanzó a los 8 meses y 9 días.

Ejercicio 3: Julio de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥3 +𝑏𝑥 +4, con 𝑎 y 𝑏 números reales.

  1. Determine los valores 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓 tenga un extremo relativo en el punto (2,36).
  2. Para 𝑎 =4 y 𝑏 = −3, estudie la monotonía de 𝑓 y determine sus extremos relativos.
  3. Para 𝑎 =4 y 𝑏 = −3, calcule la función 𝐹(𝑥) que verifica 𝐹′(𝑥) =𝑓(𝑥) y 𝐹(2) =10.

Ejercicio 4: Reserva 1 de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2+𝑥+1,si 𝑥≤0,11−𝑥,si 𝑥>0.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de 𝑓 en 𝑥 =0.
  2. Estudie la monotonía y curvatura de 𝑓 en su dominio.
  3. Calcule las ecuaciones de las asíntotas de 𝑓.

Ejercicio 4: Reserva 2 de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑎𝑥+12,si 𝑥≤−1,𝑥+1𝑥+3,si −1<𝑥≤1,𝑥2−𝑏𝑥,si 𝑥>1.

  1. Halle 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua en todo su dominio. Para esos valores de 𝑎 y 𝑏, ¿es 𝑓 derivable en 𝑥 = −1? ¿Y en 𝑥 =1?
  2. Para 𝑎 = −1 y 𝑏 =4, estudie la monotonía de la función 𝑓.
  3. Para 𝑎 = −1 y 𝑏 =4, calcule ∫21𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Ejercicio 4: Reserva 3 de 2020

El número de bacterias en un determinado cultivo viene dado por la función 𝐵(𝑡), donde 𝑡 representa el tiempo en horas, con 0 ≤𝑡 ≤7. La variación instantánea en la población de bacterias en el cultivo viene dada por la derivada de la función 𝐵, cuya expresión es 𝐵′(𝑡) =50.000𝑒2𝑡.

  1. ¿Existe algún instante 𝑡 en el que el número de bacterias en el cultivo comience a decrecer?
  2. Obtenga la expresión de la función 𝐵(𝑡), sabiendo que en el instante 𝑡 =0 el número de bacterias en el cultivo era de 40.000.
  3. ¿Cuál es el número de bacterias en el cultivo a la hora y media?

Ejercicio 3: Reserva 4 de 2020

De una función 𝑓 sabemos que su gráfica pasa por el punto (1,3) y que su derivada es 𝑓′(𝑥) =2𝑥 −6.

  1. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.
  2. Estudie la monotonía y la existencia de extremos de la función 𝑓.
  3. Determine la función 𝑓 y represéntela gráficamente.

Ejercicio 3: Septiembre de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥)={2+𝑎𝑥−1,si 𝑥<0,𝑎+𝑏𝑒𝑥,si 𝑥≥0.

  1. Calcule los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua y derivable en su dominio.
  2. Para 𝑎 =2 y 𝑏 = −2, estudie la monotonía de la función 𝑓 y calcule sus extremos relativos.
  3. Para 𝑎 =2 y 𝑏 = −2, determine las ecuaciones de las asíntotas de 𝑓, si existen.

Ejercicio 4: Septiembre de 2020

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩−𝑥+2,si 𝑥≤2,−𝑥2+6𝑥−8,si 2<𝑥<4,𝑥−3𝑥,si 𝑥≥4.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de 𝑓 en su dominio.
  2. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑓.
  3. Calcule ∫32𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Ejercicio A2: Junio de 2019

Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −9𝑥 +2.

  1. Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función que sean paralelas a la recta 𝑦 =3𝑥 −3.
  2. Estudie la monotonía y la curvatura de la función 𝑓.
  3. Calcule ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Ejercicio B2: Junio de 2019

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩1𝑥−1,si 𝑥<0,𝑥2+𝑎,si 𝑥≥0.

  1. Determine el valor del parámetro 𝑎 para que 𝑓 sea continua en todo su dominio. Para ese valor de 𝑎, estudie la derivabilidad de 𝑓.
  2. Para 𝑎 = −2, estudie la monotonía y curvatura de la función 𝑓. ¿Tiene algún punto de inflexión?

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2019

Se considera la función 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥, con 𝑥 ≠0, siendo 𝑎 y 𝑏 dos parámetros reales.

  1. Determine el valor de los parámetros 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓(𝑥) tenga un extremo relativo en el punto (1,3).
  2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =2, razone si en el punto (1,3) la función presenta un máximo o un mínimo.
  3. Calcule ∫(𝑥2+2𝑥)𝑑𝑥.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2019

Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑥2+2𝑥,si −2≤𝑥<1,𝑎𝑥2+4𝑥,si 1≤𝑥≤4.

  1. Calcule el valor de 𝑎 para que la función sea continua en todo su dominio.
  2. Para 𝑎 = −1, compruebe si es derivable en 𝑥 =1.
  3. Para 𝑎 = −1, determine los extremos relativos de la función y el valor de la función en dichos extremos.
  4. Para 𝑎 = −1, represente gráficamente la función en su dominio.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2019

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑓(𝑥)={𝑥2+4𝑥+1,si 𝑥<0,𝑒−𝑥,si 𝑥≥0.
  2. Dada la función 𝑔(𝑥) =𝑥3 +𝑏𝑥2 +𝑐, calcule los valores de 𝑏 y 𝑐 sabiendo que 𝑔 tiene un extremo relativo en 𝑥 = −1 y que su gráfica pasa por el punto ( −1,3).

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2019

Sea la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +1.

  1. Halle 𝑎 y 𝑏 de forma que 𝑓 tenga un extremo relativo en 𝑥 =1 y la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0 tenga pendiente 𝑚 = −1.
  2. Para 𝑎 = −1 y 𝑏 = −1, estudie la monotonía y la curvatura de la función 𝑓.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2019

Unos productores de cereales realizan un estudio para conocer la posible demanda de su producto. Concluyen que la función de demanda de dichos cereales tiene la forma 𝐷(𝑥) = −200𝑥3 +2100𝑥2 −7200𝑥 +10000, para 0 ≤𝑥 ≤4, donde 𝑥 es el precio en euros por kilogramo de producto y 𝐷(𝑥) es la cantidad de kilogramos de cereales que los consumidores están dispuestos a comprar a dicho precio 𝑥.

  1. ¿Cuál es la cantidad de cereales demandada si el precio es de 0,50 euros por kilogramo?
  2. Calcule para qué precio se alcanza una demanda mínima del producto y determine dicha demanda.

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2019

Se considera la función 𝑓(𝑥) =13𝑥3 −2𝑥2 +3𝑥 +1.

  1. Estudie su monotonía y halle sus extremos relativos.
  2. Determine los intervalos de concavidad y convexidad. Calcule su punto de inflexión.
  3. Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.
  4. Calcule ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Ejercicio A2: Septiembre de 2019

El coste de producción de un bien en una fábrica viene dado por 𝐶(𝑥) =2(2𝑥 −1)2 +1, con 0 ≤𝑥 ≤2, donde 𝑥 es la cantidad producida en millones de kilogramos.

  1. Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función 𝐶(𝑥).
  2. Determine la cantidad a producir para que el coste de producción sea mínimo. ¿Cuál es dicho coste?
  3. Realice un esbozo de la gráfica de la función 𝐶(𝑥).

Ejercicio B2: Septiembre de 2019

De una cierta función 𝑓, sabemos que su función derivada es 𝑓′(𝑥) =3𝑥2 −3.

  1. Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de 𝑓, y calcule la abscisa de sus extremos relativos.
  2. Determine la curvatura de 𝑓 y halle la abscisa de su punto de inflexión.
  3. Calcule la función 𝑓, sabiendo que su gráfica pasa por el punto ( −1,3).

Ejercicio A2: Junio de 2018

La función de costes de una empresa se puede determinar mediante la expresión 𝑓(𝑥)=40−6𝑥+𝑥2, para 𝑥 ≥0, donde 𝑥 representa la cantidad producida de un determinado artículo.

  1. ¿Disminuye el coste alguna vez? Determine la cantidad producida de dicho artículo cuando el coste es mínimo y cuál es dicho coste.
  2. ¿Cuál sería el coste si no se produjese nada de ese artículo? Si el coste fuese 80, ¿cuántas serían las unidades producidas?
  3. Represente gráficamente la función.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2018

La velocidad que lleva un móvil, en función del tiempo 𝑡, viene dada por la siguiente función: 𝑣(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩7𝑡2,si 0≤𝑡<1,2𝑡+𝑎,si 1≤𝑡≤5,−𝑡2+12𝑡+𝑏,si 5<𝑡≤10.

  1. Determine 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua en los instantes 𝑡 =1 y 𝑡 =5.
  2. Para 𝑎 =5 y 𝑏 = −20, estudie la derivabilidad en los instantes 𝑡 =1 y 𝑡 =5. ¿En qué momento el móvil alcanza la velocidad máxima?

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2018

Dada la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥+11−2𝑥,si 𝑥<0,𝑥2−𝑥−𝑎,si 𝑥≥0.

  1. Obtenga el valor de 𝑎 para que la función sea continua en 𝑥 =0. Para ese valor de 𝑎, ¿sería derivable en 𝑥 =0?
  2. Para 𝑎 =2, estudie su monotonía y extremos relativos.

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2018

Los costes de producción de una empresa, en miles de euros, dependen de la cantidad de producto fabricada 𝑥, medida en toneladas, según la función 𝑓(𝑥) =30 −9𝑥 +6𝑥2 −𝑥3. La capacidad máxima de producción es de 2 toneladas.

  1. Obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función de costes de la empresa.
  2. Determine la cantidad que la empresa debe producir para minimizar los costes. ¿Cuál sería dicho coste mínimo?
  3. ¿Con qué producción la empresa tiene unos costes de producción máximos?

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2018

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑎𝑥+1,si 𝑥≤−1,𝑥𝑥+2,si −1<𝑥≤0,𝑥2−𝑏𝑥,si 𝑥>0.

  1. Calcule 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua y derivable en 𝑥 = −1 y 𝑥 =0.
  2. Para 𝑎 =2 y 𝑏 = −12 estudie su monotonía.

Ejercicio A2: Septiembre de 2018

El consumo de cereales en una ciudad, en miles de toneladas, viene dado por la función 𝑐(𝑡) =𝑡3 −15𝑡2 +63𝑡 +10, para 0 ≤𝑡 ≤12, donde 𝑡 representa el tiempo.

  1. ¿En qué instante se alcanza el máximo consumo de cereales y cuántas toneladas se consumen en ese momento?
  2. ¿En qué intervalo de tiempo decrece el consumo de cereales?
  3. Represente gráficamente la función.

Ejercicio B2: Septiembre de 2018

El beneficio, en miles de euros, que ha obtenido una almazara a lo largo de 50 años viene dado por la expresión 𝐵(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩−0,04𝑡2+2,4𝑡,si 0≤𝑡<40,40𝑡−320𝑡,si 40≤𝑡≤50, donde 𝑡 es el tiempo transcurrido.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función 𝐵(𝑡) en el intervalo [0,50].
  2. Estudie la monotonía de la función 𝐵(𝑡) y determine en qué momento fueron mayores los beneficios de la almazara, así como el beneficio máximo.
  3. Represente la gráfica de la función y explique la evolución del beneficio.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2017

En una especie animal la contracción del iris, en décimas de milímetro, después de exponer el ojo a una luz brillante durante un determinado tiempo, viene dada por 𝑓(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑡2,si 0≤𝑡≤2,4𝑡−1,si 𝑡>2, donde 𝑡 es el tiempo, en segundos, que transcurre desde que se concentra la luz en el ojo.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑓.
  2. Represente gráficamente la función 𝑓, determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus asíntotas, en caso de que existan.
  3. Determine en qué instante se obtiene la máxima contracción y su valor.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2017

Sea la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −12𝑥 +1.

  1. Estudie su monotonía y determine sus extremos relativos.
  2. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2017

  1. Calcule los valores de los parámetros 𝑎 y 𝑏 para que la gráfica de la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏 presente un extremo relativo en el punto (2,6).
  2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =1, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2017

El beneficio en euros que obtiene una empresa al vender 𝑥 unidades de un artículo viene dado por la función 𝐵(𝑥) = −𝑥2 +360𝑥 −18.000, 50 ≤𝑥 ≤350.

  1. ¿Cuál es el beneficio obtenido si vende 100 unidades? ¿Cuántas unidades debe vender para obtener un beneficio de 13.500€?
  2. ¿Cuál es el número de unidades que debe vender para que el beneficio sea máximo? ¿A cuánto asciende ese beneficio?
  3. Represente gráficamente la función y determine cuántas unidades hay que vender para no obtener pérdidas.

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2017

Una empresa quiere invertir en productos financieros un mínimo de un millón de euros y un máximo de seis millones de euros. La rentabilidad que obtiene viene dada en función de la cantidad invertida, 𝑥, por la siguiente expresión: 𝑅(𝑥)={𝑥−2,si 1≤𝑥<2,−𝑥2+10𝑥−16,si 2≤𝑥≤6, donde tanto 𝑥, como 𝑅(𝑥), están expresadas en millones de euros.

  1. Estudie la continuidad de la función 𝑅.
  2. Esboce la gráfica de la función.
  3. ¿Qué cantidad debe invertir para obtener la máxima rentabilidad y a cuánto asciende esta? ¿Para qué valores de 𝑥 la rentabilidad es positiva?

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2017

Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑎𝑥−3𝑥2,si 𝑥≤1,2𝑥2+𝑏,si 𝑥>1.

  1. Calcule los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓 sea derivable en 𝑥 =1.
  2. Para 𝑎 =3 y 𝑏 = −2, estudie la monotonía y curvatura de la función 𝑓.

Ejercicio A2: Septiembre de 2017

Sea la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏𝑥.

  1. Halle 𝑎 y 𝑏 sabiendo que la función tiene un mínimo en el punto de abscisa 𝑥 = −1 y un punto de inflexion en el punto de abscisa 𝑥 = −2.
  2. Para 𝑎 =6 y 𝑏 =9, halle los puntos de corte con los ejes, estudie la monotonía y extremos y esboce la gráfica de la función.

Ejercicio A2: Junio de 2016

  1. Calcule los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑏2−𝑥,si 𝑥≤1,𝑎𝑥2−3𝑥+1,si 𝑥>1 sea derivable en el punto de abscisa 𝑥 =1.
  2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =2, estudie su monotonía y determine las ecuaciones de sus asíntotas, si existen.

Ejercicio B2: Junio de 2016

La cantidad, 𝐶, que una entidad bancaria dedica a créditos depende de su liquidez, 𝑥, según la función 𝐶(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩150+5𝑥100,si 10≤𝑥≤50,200+10𝑥25+3𝑥,si 𝑥>50, donde 𝐶 y 𝑥 están expresadas en miles de euros.

  1. Justifique que 𝐶 es una función continua.
  2. ¿A partir de qué liquidez decrece la cantidad dedicada a créditos? ¿Cuál es el valor máximo de 𝐶?
  3. Calcule la asíntota horizontal e interprétela en el contexto del problema.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2016

En un ensayo clínico de 10 meses de duración, el porcentaje de células de un determinado tejido afectadas por un tipo de enfermedad en el paciente de estudio, viene dado por la función 𝑃(𝑡)={8𝑡−𝑡2,si 0≤𝑡≤6,2𝑡,si 6<𝑡≤10, donde 𝑡 es el tiempo en meses.

  1. Represente gráficamente la función 𝑃(𝑡).
  2. ¿En qué mes empieza a decrecer el porcentaje de células afectadas de dicho tejido? ¿Qué porcentaje hay justo en ese momento? ¿En algún otro mes del ensayo se alcanza ese mismo porcentaje?
  3. ¿En qué mes el porcentaje de células afectadas es máximo? ¿Cuál es el porcentaje en ese momento?

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2016

Una fábrica produce entre 1.000 y 6.000 bombillas al día. El coste diario de producción, en euros, de 𝑥 bombillas viene dado por la función 𝐶(𝑥)=9.000+0,08𝑥+2.000.000𝑥, con 1.000 ≤𝑥 ≤6.000. ¿Cuántas bombillas deberían producirse diariamente para minimizar costes? ¿Cuál sería dicho coste?

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2016

Los beneficios de una empresa, en miles de euros, han evolucionado en los 25 años de su existencia según una función del tiempo, en años, dada por la siguiente expresión: 𝐵(𝑡)={4𝑡,si 0≤𝑡<10,−15𝑡2+8𝑡−20,si 10≤𝑡≤25.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de 𝐵 en el intervalo [0,25].
  2. Estudie la monotonía de esta función y determine en qué año fueron mayores los beneficios de esta empresa y cuál fue su beneficio máximo.
  3. Represente gráficamente esta función.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2016

La función de costes de una fábrica, 𝑓(𝑥), en miles de euros, viene dada por la expresión: 𝑓(𝑥)=2𝑥2−36𝑥+200, donde 𝑥 es la cantidad fabricada del producto en miles de kilogramos.

  1. Determine la cantidad a fabricar para minimizar el coste y calcule este coste mínimo.
  2. A partir del signo de 𝑓′(7), ¿qué se puede decir del coste para una producción de siete mil kilogramos?
  3. Dibuje la gráfica de la función de costes. ¿Para qué cantidad o cantidades fabricadas el coste es de 200.000€?

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2016

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩4𝑥,si 𝑥≤2,𝑥2−2𝑥+2,si 𝑥>2.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de esta función.
  2. Estudie su monotonía y su curvatura para 𝑥 >0.

Ejercicio A2: Septiembre de 2016

De una función continua y derivable, 𝑓, se sabe que la gráfica de la función derivada, 𝑓′, es una parábola que pasa por los puntos ( −1,0) y (3,0) y que tiene su vértice en el punto (1, −2).

  1. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑓, así como la existencia de extremos.
  2. Si 𝑓(1) =2, encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Ejercicio B2: Septiembre de 2016

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2−4𝑥+𝑎,si 𝑥<2,1𝑥−1,si 𝑥≥2.

  1. Calcule el valor de 𝑎 para que la función sea continua en 𝑥 =2. Para ese valor de 𝑎 obtenido, ¿es derivable la función en 𝑥 =2?
  2. Para 𝑎 =4, estudie la monotonía y calcule las ecuaciones de las asíntotas, si existen.

Ejercicio B2: Junio de 2015

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2+2,si 0≤𝑥≤2,8𝑥+𝑎𝑥−1,si 𝑥>2.

  1. Determine el valor de 𝑎 para que la función sea continua.
  2. ¿Para 𝑎 = −10, es creciente la función en 𝑥 =3?
  3. Halle sus asíntotas para 𝑎 = −10.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2015

Una entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, 𝑅(𝑥), en miles de euros, viene dada por la función 𝑅(𝑥)=−0,001𝑥2+0,5𝑥+2,5,1≤𝑥≤500, donde 𝑥 es la cantidad de dinero invertida en miles de euros.

  1. Determine qué cantidad de dinero se debe invertir para obtener la máxima rentabilidad.
  2. ¿Qué rentabilidad se obtendría con dicha inversión?
  3. ¿Cuál es la cantidad de dinero para la que se obtiene menor rentabilidad?

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2015

La mosca común solamente vive si la temperatura media de su entorno está comprendida entre 4ºC y 36ºC. La vida en días, en función de la temperatura media 𝑇, medida en grados centígrados, viene dada por la función: 𝑉(𝑇)=−116(𝑇2−40𝑇+16),𝑇∈[4,36].

  1. Determine la vida máxima que puede alcanzar la mosca común.
  2. Calcule la vida mínima e indique la temperatura media a la que se alcanza.
  3. Si sabemos que una mosca ha vivido 15 días, ¿a qué temperatura media ha estado el entorno donde ha habitado?

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2015

Se considera la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −2𝑥2 +𝑥.

  1. Halle el máximo, el mínimo y el punto de inflexión de la función.
  2. Calcule los puntos de corte con los ejes.
  3. Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de 𝑓 en los puntos de abscisas 𝑥 =0 y 𝑥 =1.

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2015

Se considera la función 𝑓, definida a trozos por la expresión 𝑓(𝑥)={−𝑥2+𝑥+6si 𝑥≤2,𝑥+2si 𝑥>2.

  1. Estudie la continuidad de la función.
  2. Analice la derivabilidad de la función.
  3. Represéntela gráficamente, determinando los extremos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos de corte con los ejes.

Ejercicio B2: Septiembre de 2015

Sea la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −9𝑥2 +8.

  1. Halle las coordenadas de sus extremos relativos y de su punto de inflexión, si existen.
  2. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Ejercicio A2: Junio de 2014

La función de beneficios 𝑓, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida 𝑥, en miles de euros, en un determinado proyecto de innovación y viene dada por 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 +36𝑥 +138, 𝑥 ≥0.

  1. Determine la inversión que maximiza el beneficio de la empresa y calcule dicho beneficio óptimo.
  2. Calcule 𝑓′(7) e interprete el signo del resultado.
  3. Dibuje la función de beneficios 𝑓(𝑥). ¿Para qué valor o valores de la inversión, 𝑥, el beneficio es de 138 mil euros?

Ejercicio B2: Junio de 2014

Sea la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−𝑏𝑥2−𝑏𝑥+𝑎,si 𝑥≤2,60𝑥,si 𝑥>2.

  1. Obtenga los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua y derivable.
  2. Para 𝑎 =48 y 𝑏 =3, estudie la monotonía de 𝑓(𝑥) y calcule sus extremos.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2014

Sea la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −3𝑥2 +3𝑥.

  1. Estudie la monotonía de 𝑓 y halle los extremos relativos que posea.
  2. Estudie su curvatura y calcule su punto de inflexión.
  3. Represente la gráfica de la función 𝑓.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2014

Sea la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥3 +𝑎𝑒−𝑥 +𝑏𝑥 −1.

  1. Halle los valores de 𝑎 y 𝑏 sabiendo que la función tiene un mínimo en 𝑥 =0 y que la gráfica de la función pasa por el punto (0,0).
  2. Para 𝑎 =0 y 𝑏 =1, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 𝑥 = −1.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2014

El porcentaje de personas que sintonizan un programa de radio que se emite entre las 6 y las 12 horas viene dado, según la hora 𝑡, mediante la función 𝑆(𝑡)=660−231𝑡+27𝑡2−𝑡3,6≤𝑡≤12.

  1. ¿Qué porcentaje de personas sintonizan el programa al comenzar la emisión? ¿Y al cierre?
  2. ¿A qué hora tiene máxima y mínima audiencia? ¿Qué porcentaje de personas sintonizan el programa a dichas horas?

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2014

Represente gráficamente la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −6𝑥2 +12𝑥, estudiando previamente su dominio, puntos de corte con los ejes, intervalos de monotonía, extremos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.

Ejercicio A2: Septiembre de 2014

Una empresa ha realizado un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, que ha obtenido en los últimos 10 años. La función a la que se ajustan dichos beneficios viene dada por 𝐵(𝑡) =2𝑡3 −36𝑡2 +162𝑡 −6, con 0 ≤𝑡 ≤10.

  1. ¿Qué beneficios obtuvo al inicio del periodo (𝑡 =0) y al final del décimo año (𝑡 =10)?
  2. ¿En qué momentos se obtiene el máximo y el mínimo beneficio y cuáles fueron sus cuantías?

Ejercicio B2: Septiembre de 2014

Sea la función 𝑓(𝑥) = −𝑥2 +𝑝𝑥 +𝑞.

  1. Calcule los valores que deben tener 𝑝 y 𝑞 para que la gráfica de la función 𝑓 pase por el punto ( −4, −5) y presente un máximo en el punto de abscisa 𝑥 = −1. Determine el valor de 𝑓(𝑥) en ese punto.
  2. Represente la gráfica de 𝑓 para 𝑝 =2 y 𝑞 = −1 y halle la ecuación de la recta tangente a esta gráfica en el punto de abscisa 𝑥 = −2.

Ejercicio A2: Junio de 2013

Los beneficios de una empresa en sus primeros 8 años vienen dados, en millones de euros, por la función 𝐵(𝑡)=𝑡34−3𝑡2+9𝑡,0≤𝑡≤8, donde la variable 𝑡 indica el tiempo transcurrido, en años, desde su fundación.

  1. Estudie la monotonía y los extremos de 𝐵(𝑡).
  2. Dibuje la gráfica de 𝐵(𝑡) en el intervalo [0,8] y explique, a partir de ella, la evolución de los beneficios de esta empresa en sus 8 años de existencia.

Ejercicio B2: Junio de 2013

Sea 𝑓(𝑥) una función cuya función derivada, 𝑓′(𝑥), tiene por gráfica una parábola que corta al eje 𝑂𝑋 en los puntos ( −1,0) y (5,0) y con vértice (2, −4).

  1. Estudie razonadamente la monotonía de 𝑓(𝑥).
  2. Determine las abscisas de los extremos relativos de la función 𝑓(𝑥).
  3. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓(𝑥) en el punto de abscisa 𝑥 =2, sabiendo que 𝑓(2) =5.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2013

Consideremos la función 𝑓(𝑥)={−𝑥2+6𝑥−5,si 2≤𝑥≤4,−2𝑥+11,si 4<𝑥≤5.

  1. Estudie la derivabilidad de la función 𝑓(𝑥) en el punto de abscisa 𝑥 =4.
  2. Represente gráficamente la función 𝑓(𝑥) e indique dónde alcanza su máximo y su mínimo absolutos. ¿Cuál es el valor del máximo? ¿Y del mínimo?

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2013

Sea la función 𝑓(𝑥) =13𝑥3 +12𝑥2 −2𝑥 +3.

  1. Determine sus máximos y mínimos relativos.
  2. Consideremos la función 𝑔(𝑥) =𝑓′(𝑥). Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑔(𝑥), en el punto de abscisa 𝑥 =2.
  3. Dibuje la gráfica de 𝑔(𝑥) y de la recta tangente calculada en (b).

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2013

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥2−12,si 𝑥<−3,−𝑥+3,si −3≤𝑥≤2,𝑥−1,si 𝑥>2.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de 𝑓(𝑥) en su dominio.
  2. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
  3. Calcule los extremos relativos.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2013

Sea la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −24𝑥2 +4𝑥.

  1. Halle los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión.
  2. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓(𝑥) en el punto de abscisa 𝑥 = −2.
  3. En el punto de abscisa 𝑥 =1, ¿la función es creciente o decreciente?

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2013

Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑥3−1,si 𝑥<1,−𝑥2+4𝑥−3,si 𝑥≥1.

  1. Determine el dominio y estudie la continuidad de la función.
  2. Obtenga los extremos de la función.
  3. Estudie su curvatura.

Ejercicio A2: Septiembre de 2013

En una empresa de montajes, el número de montajes diarios realizados por un trabajador depende de los días trabajados segun la funcion 𝑀(𝑡)=11𝑡+172𝑡+12,𝑡≥1, donde 𝑡 es el número de días trabajados.

  1. ¿Cuántos montajes realiza el primer día? ¿Cuántos días necesitará para realizar cinco montajes diarios?
  2. ¿Qué ocurriría con el número de montajes diarios si trabajara indefinidamente?
  3. El dueño de la empresa cree que el número de montajes diarios aumenta con los días de trabajo. Estudiando la función, justifique si es cierta dicha creencia.
  4. Dibuje la gráfica de la función.

Ejercicio B2: Septiembre de 2013

Sea la función 𝑓(𝑥)={𝑥2−𝑏𝑥+1,si 𝑥≤2,2𝑥+𝑎,si 𝑥>2.

  1. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que dicha función sea continua en 𝑥 =2 y, ademas, tenga un mínimo en 𝑥 =1.
  2. Para 𝑎 =2 y 𝑏 =6, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 𝑥 = −2.

Ejercicio B2: Junio de 2012

Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los próximos 10 años viene dado por la función 𝐵(𝑡)={𝑎𝑡−𝑡2,si 0≤𝑡≤6,2𝑡,si 6<𝑡≤10, siendo 𝑡 el tiempo transcurrido en años.

  1. Calcule el valor del parámetro 𝑎 para que 𝐵 sea una función continua.
  2. Para 𝑎 =8 represente su gráfica e indique en qué períodos de tiempo la función crecerá o decrecerá.
  3. Para 𝑎 =8 indique en qué momento se obtiene el máximo beneficio en los primeros 6 años y a cuánto asciende su valor.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2012

De la función 𝑓 se sabe que su función derivada es 𝑓′(𝑥) =3𝑥2 −8𝑥 +5.

  1. Estudie la monotonía y la curvatura de 𝑓.
  2. Sabiendo que la gráfica de 𝑓 pasa por el punto (1,1), calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto.

Ejercicio B2: Reserva 1 de 2012

  1. Dada la función 𝑓(𝑥) =2𝑥2 +𝑎𝑥 +𝑏, determine los valores de 𝑎 y 𝑏 sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1,3) y alcanza un extremo en 𝑥 = −2.
  2. Calcule la ecuación de la recta tangente a la función 𝑔(𝑥) =3𝑥2 −2𝑥 +1, en el punto de abscisa 𝑥 =1.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2012

  1. Para la función 𝑓 definida de la forma 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥𝑥+𝑏, determine, razonadamente, los valores de 𝑎 y 𝑏 sabiendo que tiene como asíntota vertical la recta de ecuación 𝑥 = −2 y como asíntota horizontal la de ecuación 𝑦 =3.
  2. Para la función 𝑔, definida de la forma 𝑔(𝑥) =𝑥3 −3𝑥2 +2, determine: su dominio, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Con esos datos haga un esbozo de su gráfica.

Ejercicio B2: Reserva 2 de 2012

Sea la función 𝑓(𝑥)={𝑎𝑥2−2𝑥,si 𝑥≤2,𝑥2−𝑏,si 𝑥>2.

  1. Calcule 𝑎 y 𝑏 para que la función sea continua en todo su dominio y presente un mínimo en 𝑥 =1.
  2. Represente gráficamente la función para 𝑎 =1,5 y 𝑏 =0,5.

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2012

Se considera la función 𝑓(𝑥)=1−2𝑥+2.

  1. Determine la monotonía y curvatura de la función.
  2. Calcule sus asíntotas.
  3. Represéntela gráficamente.

Ejercicio B2: Reserva 3 de 2012

Sea 𝑃(𝑡) el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de enfermedad transcurrido un tiempo 𝑡, medido en meses: 𝑃(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑡2,si 0≤𝑡≤5,100𝑡−250𝑡+5,si 𝑡>5.

  1. Estudie la continuidad de la función 𝑃.
  2. Estudie la derivabilidad de 𝑃 en 𝑡 =5.
  3. Estudie la monotonía de dicha función e interprete la evolución del porcentaje de células afectadas.
  4. ¿En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50?

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2012

Sean dos funciones, 𝑓 y 𝑔, tales que las expresiones de sus funciones derivadas son, respectivamente, 𝑓′(𝑥) =𝑥 +2 y 𝑔′(𝑥) =2.

  1. Estudie la monotonía de las funciones 𝑓 y 𝑔.
  2. De las dos funciones 𝑓 y 𝑔, indique, razonadamente, cuál de ellas tiene algún punto en el que su derivada es nula.
  3. ¿Cuál de las funciones 𝑓 y 𝑔 es una función polinómica de primer grado? ¿Por qué?

Ejercicio B2: Septiembre de 2012

En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina. La superficie afectada, en km2, viene dada por la función 𝑓(𝑡)=11𝑡+20𝑡+2, siendo 𝑡 el tiempo transcurrido desde que empezamos a observarla.

  1. ¿Cuál es la superficie afectada inicialmente, cuando empezamos a medirla?
  2. Estudie si la mancha crece o decrece con el tiempo.
  3. ¿Tiene algún límite la extensión de la superficie de la mancha?

Ejercicio A2: Junio de 2011

  1. Calcule la función derivada de 𝑓(𝑥)=𝑒−2𝑥(−𝑥2+2)2.
  2. Se sabe que la expresión que representa el número medio de clientes 𝑁(𝑡) que acude un día a una cadena de almacenes, en función del número de horas 𝑡 que llevan abiertos, es 𝑁(𝑡)=𝑎⋅𝑡2+𝑏⋅𝑡,0≤𝑡≤8,𝑎,𝑏∈ℝ. Sabiendo que el máximo de clientes que han acudido ese día ha sido de 160 y que se ha producido a las 4 horas de abrir, calcule 𝑎 y 𝑏.

Ejercicio B2: Junio de 2011

Las funciones 𝐼(𝑡) = −2𝑡2 +51𝑡 y 𝐺(𝑡) =𝑡2 −3𝑡 +96 con 0 ≤𝑡 ≤18 representan, respectivamente, los ingresos y gastos de una empresa, en miles de euros, en función de los años, 𝑡, transcurridos desde su inicio y en los últimos 18 años.

  1. ¿Para qué valores de 𝑡, desde su entrada en funcionamiento, los ingresos coincidieron con los gastos?
  2. Determine la función que refleje los beneficios (ingresos menos gastos) en función de 𝑡 y represéntela gráficamente.
  3. ¿Al cabo de cuántos años, desde su entrada en funcionamiento, los beneficios fueron máximos? Calcule el valor de ese beneficio.

Ejercicio A2: Reserva 1 de 2011

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩−𝑥+4,si 𝑥<2,4,si 2≤𝑥<4,−𝑥2−4𝑥+1,si 𝑥≥4.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
  2. Determine los extremos locales de 𝑓.
  3. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 𝑥 =3.

Ejercicio A2: Reserva 2 de 2011

Tras un test realizado a un nuevo modelo de automóvil, se ha observado que el consumo de gasolina, 𝑐(𝑥), expresado en litros, viene dado por la función: 𝑐(𝑥)=7,5−0,05𝑥+0,00025𝑥2, siendo 𝑥 la velocidad en km/h y 25 ≤𝑥 ≤175.

  1. Determine el consumo de gasolina a las velocidades de 50 km/h y 150 km/h.
  2. Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función 𝑐(𝑥).
  3. ¿A qué velocidades de ese intervalo se obtiene el mínimo consumo y el máximo consumo y cuáles son éstos?

Ejercicio A2: Reserva 3 de 2011

Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad 𝑅(𝑥), en miles de euros, viene dada en función de la cantidad, 𝑥, que se invierte, también en miles de euros, por la siguiente expresión: 𝑅(𝑥)=−0,001𝑥2+0,4𝑥+3,5,con 𝑥≥10.

  1. Calcule la rentabilidad para una inversión de 100.000 euros.
  2. Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener la máxima rentabilidad.
  3. ¿Qué rentabilidad máxima se obtendría?

Ejercicio A2: Reserva 4 de 2011

El beneficio, en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa el pasado año está dado por la función: 𝐵(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑡2−𝑡+5,0≤𝑡≤6,𝑡+12,6<𝑡≤12,, donde 𝑡 es el tiempo transcurrido en meses.

  1. Estudie la derivabilidad de la función al cabo de 6 meses.
  2. ¿Cuándo fue mínimo el beneficio? ¿Cuál fue dicho beneficio?
  3. Represente gráficamente la función 𝐵(𝑡). ¿Cuándo fue máximo el beneficio? ¿A cuánto ascendió?

Ejercicio B2: Reserva 4 de 2011

  1. La gráfica de la función derivada, 𝑓′, de una función 𝑓 es una parábola que corta al eje 𝑂𝑋 en los puntos ( −1,0) y (3,0), y tiene su vértice en (1, −4). Estudie, a partir de ella, la monotonía de la función 𝑓 e indique la abscisa de cada extremo relativo.
  2. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función: 𝑔(𝑥)=−2𝑒3𝑥 en el punto de abscisa 𝑥 =0.

Ejercicio A2: Septiembre de 2011

  1. Halle el dominio, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la función: 𝑓(𝑥)=4𝑥2𝑥+1.
  2. Halle los intervalos de monotonía, los extremos relativos, los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión de la función: 𝑔(𝑥)=𝑥3+3𝑥2+3𝑥.

Ejercicio A2: Junio de 2010

Sea la función 𝑓(𝑥) =2𝑥2 −13𝑥3. Calcule:

  1. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
  2. Las coordenadas de sus extremos relativos.
  3. El punto de la gráfica en el que la pendiente de la recta tangente a dicha gráfica es 4.

Ejercicio A2: Septiembre de 2010

Un consultorio médico abre a las 5 de la tarde y cierra cuando no hay pacientes. La expresión que representa el número medio de pacientes en función del tiempo en horas, 𝑡, que lleva abierto el consultorio es 𝑁(𝑡) =4𝑡 −𝑡2.

  1. ¿A qué hora el número medio de pacientes es máximo? ¿Cuál es ese máximo?
  2. Sabiendo que el consultorio cierra cuando no hay pacientes, ¿a qué hora cerrará?
  3. Represente gráficamente 𝑁(𝑡) =4𝑡 −𝑡2, con 𝑁(𝑡) ≥0.

Ejercicio B2: Septiembre de 2010

Sea la función 𝑓(𝑥)={−𝑥2−2𝑎𝑥+3,si 𝑥≤1,𝑎𝑥2−6𝑥+5,si 𝑥>1.

  1. Calcule el valor de 𝑎 para que 𝑓 sea continua en 𝑥 =1.
  2. Para 𝑎 =1, represente su gráfica y, a la vista de ella, indique su monotonía y las coordenadas de sus extremos locales.