Matemáticas de Selectividad

Una confitería elabora dos tipos de tartas, unas de chocolate y otras de merengue y chocolate. Para ello dispone de 100 kg de bizcocho, 80 kg de crema de chocolate y 46 kg de merengue. Para elaborar una tarta de chocolate, se requieren 1 kg de bizcocho y 2 kg de crema de chocolate y para la tarta de chocolate y merengue se requieren 2 kg de bizcocho, 1 kg de crema de chocolate y 1 kg de merengue. Por cada tarta de chocolate se obtiene un beneficio de 10 euros y de 12 euros por cada una de merengue y chocolate. Suponiendo que se vende todo lo que se elabora, ¿cuántas tartas de cada tipo debe preparar para obtener un beneficio máximo? ¿Cuál es dicho beneficio?

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101𝑘−321𝑘1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=(3−2−1011)y𝐶=(−2413).

1. Razone si las siguientes operaciones se pueden realizar y en aquellos casos en que sea posible, indique la dimensión de la matriz resultante: 𝐵𝑡𝐴,𝐶𝐵,𝐵𝐴+𝐵y𝐵2.
2. Calcule los valores del parámetro 𝑘 para los que la matriz 𝐴 es invertible.
3. Para 𝑘 = −1, calcule la inversa de la matriz 𝐴.

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2+𝑎𝑥+2,si 𝑥≤0,𝑥+𝑏𝑥−1,si 𝑥>0.

1. Halle 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓 sea continua y derivable en 𝑥 =0.
2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 = −2, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.
3. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =1, halle, si existen, las ecuaciones de las asíntotas de 𝑓.

El número de bacterias en un determinado cultivo viene dado por la función 𝐵(𝑡), donde 𝑡 representa el tiempo en horas, con 0 ≤𝑡 ≤7. La variación instantánea en la población de bacterias en el cultivo viene dada por la derivada de la función 𝐵, cuya expresión es 𝐵′(𝑡) =50.000𝑒2𝑡.

1. ¿Existe algún instante 𝑡 en el que el número de bacterias en el cultivo comience a decrecer?
2. Obtenga la expresión de la función 𝐵(𝑡), sabiendo que en el instante 𝑡 =0 el número de bacterias en el cultivo era de 40.000.
3. ¿Cuál es el número de bacterias en el cultivo a la hora y media?

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos de un mismo experimento aleatorio.

1. Si 𝑃(𝐴) ≠0 y 𝑃(𝐵) ≠0, ¿pueden ser los sucesos 𝐴 y 𝐵 independientes e incompatibles a la vez? Justifique la respuesta.
2. Sabiendo que 𝑃(𝐴) =0,3, 𝑃(𝐵) =0,5 y 𝑃(𝐴|𝐵) =0,2, calcule las siguientes probabilidades: 𝑃(𝐴∩𝐵),𝑃(𝐴∪𝐵),𝑃(𝐴𝑐∪𝐵𝑐)y𝑃(𝐴−𝐵).

El censo de una población andaluza está compuesto en total por 15.000 personas, de las cuales 8.500 son mujeres. Se sabe que el 15% de las mujeres y el 20% de los hombres censados en dicha población han viajado alguna vez a un país extranjero. Se elige al azar una persona censada en dicha población.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que haya viajado al extranjero?
2. Si se sabe que esta persona no ha viajado al extranjero, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?

El tiempo de desfase, en minutos, entre la hora de paso programada de un antobús por cierta parada y la hora real a la que pasa, sigue una distribución Normal de media desconocida y varianza 4. Se observa el paso del autobús por la parada en 10 ocasiones elegidas al azar, registrándose los siguientes desfases: 4,72,13,65,40,04,24,0−0,21,95,2.

1. Obtenga un intervalo de confianza al 97% para el desfase medio en la hora de paso del autobús.
2. ¿Qué tamaño muestral mínimo sería necesario para estimar el desfase medio con un error inferior a 30 segundos y un nivel de confianza del 95%? ¿Cómo variaría dicho tamaño muestral si se aumentara el nivel de confianza?

Una tienda de ropa quiere estudiar la aceptación de un nuevo sistema de pago a través del teléfono móvil. Para ello realiza una encuesta entre 200 de sus clientes elegidos al azar, resultando que 150 de ellos sí estarían dispuestos a usar el nuevo sistema de pago.

1. Determine un intervalo de confianza al 97% para estimar la proporción de clientes de esa tienda que estarían dispuestos a usar el nuevo sistema de pago.
2. Mediante una nueva encuesta se quiere estimar la proporción de clientes de esa tienda que usarían el nuevo sistema de pago, con un error máximo del 3% y un nivel de confianza del 94%. Suponiendo que se mantiene la proporción muestral del apartado anterior, ¿a cuántos clientes como mínimo habría que realizar la encuesta?