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Ejercicio 6: Julio de 2023

Dados dos sucesos 𝐴 y 𝐵 de un experimento aleatorio, se sabe que 𝑃(𝐴) =0,6, 𝑃(𝐵) =0,3 y 𝑃(𝐴|𝐵) =0,6. Se pide:

  1. 𝑃(𝐴 ∪𝐵).
  2. 𝑃(𝐴 −𝐵) +𝑃(𝐵 −𝐴).
  3. 𝑃(𝐵|𝐴𝑐).
  4. Razone si los sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes. ¿Son incompatibles?

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos la probabilidad de la intersección. 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴|𝐵)⋅𝑃(𝐵)=0,6⋅0,3=0,18. Por tanto, 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)=0,6+0,3−0,18=0,72.
  2. Observamos que 𝑃(𝐴−𝐵)+𝑃(𝐵−𝐴)+𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴∪𝐵). Por tanto, 𝑃(𝐴−𝐵)+𝑃(𝐵−𝐴)=𝑃(𝐴∪𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)=0,72−0,18=0,54.
  3. Para hallar la probabilidad condicionada, en primer lugar calculamos 𝑃(𝐵∩𝐴𝑐)=𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)=0,3−0,18=0,12. Por tanto, 𝑃(𝐵|𝐴𝑐)=𝑃(𝐵∩𝐴𝑐)𝑃(𝐴𝑐)=0,121−0,6=0,3.
  4. Como 𝑃(𝐴) =𝑃(𝐴|𝐵), los sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes. Por otro lado, como 𝑃(𝐴 ∩𝐵) >0, los sucesos no son incompatibles.

Ejercicio 5: Reserva 3 de 2022

De los sucesos 𝐴 y 𝐵 de un mismo experimento aleatorio se conocen las siguientes probabilidades: 𝑃(𝐴)=0,7,𝑃(𝐵)=0,6y𝑃(𝐴∪𝐵)=0,8. Calcule la probabilidad de que:

  1. Ocurra 𝐴 y 𝐵.
  2. No ocurra ni 𝐴 ni 𝐵.
  3. Ocurra 𝐴 pero no 𝐵.
  4. Ocurra 𝐴 sabiendo que no ha ocurrido 𝐵.

Resolución
  1. La probabilidad de que ocurra 𝐴 y 𝐵 es 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∪𝐵)=0,7+0,6−0,8=0,5.
  2. La probabilidad de que no ocurra ni 𝐴 ni 𝐵 es 𝑃(𝐴𝑐∩𝐵𝑐)=𝑃((𝐴∪𝐵)𝑐)=1−𝑃(𝐴∪𝐵)=1−0,8=0,2.
  3. La probabilidad de que ocurra 𝐴 pero no 𝐵 es 𝑃(𝐴∩𝐵𝑐)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴∩𝐵)=0,7−0,5=0,2.
  4. La probabilidad de que ocurra 𝐴 sabiendo que no ha ocurrido 𝐵 es 𝑃(𝐴|𝐵𝑐)=𝑃(𝐴∩𝐵𝑐)𝑃(𝐵𝑐)=0,21−0,6=0,5.

Ejercicio 6: Julio de 2022

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos del mismo espacio muestral tales que: 𝑃(𝐴∪𝐵)=37,𝑃(𝐴𝑐)=57y𝑃(𝐵𝑐)=23.

  1. ¿Son 𝐴 y 𝐵 independientes? ¿Son 𝐴 y 𝐵 incompatibles?
  2. Calcule 𝑃(𝐴𝑐 ∩𝐵𝑐).
  3. Calcule 𝑃(𝐵|𝐴𝑐).

Resolución

Sabemos que: 𝑃(𝐴𝑐)=57⇒𝑃(𝐴)=27y𝑃(𝐵𝑐)=23⇒𝑃(𝐵)=13.

  1. En primer lugar, calculamos la probabilidad de la intersección. Sabemos que la probabilidad de la unión viene dada por: 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵). Así que, despejando en la expresión anterior, la probabilidad de la intersección es: 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∪𝐵)=27+13−37=421. Como 𝑃(𝐴 ∩𝐵) >0, los sucesos no son incompatibles. Por otro lado, observamos que: 𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐵)=27⋅13=221,𝑃(𝐴∩𝐵)=421. Como 𝑃(𝐴) ⋅𝑃(𝐵) ≠𝑃(𝐴 ∩𝐵), los sucesos no son independientes.
  2. Calculamos: 𝑃(𝐴𝑐∩𝐵𝑐)=𝑃((𝐴∪𝐵)𝑐)=1−𝑃(𝐴∪𝐵)=1−37=47.
  3. Calculamos: 𝑃(𝐵|𝐴𝑐)=𝑃(𝐵∩𝐴𝑐)𝑃(𝐴𝑐)=𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)𝑃(𝐴𝑐)=13−42157=15.

Ejercicio 6: Reserva 2 de 2021

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos asociados a un mismo espacio muestral con 𝑃(𝐴𝑐) =0,4 y 𝑃(𝐴 ∩𝐵𝑐) =0,12.

  1. Calcule 𝑃(𝐴) y 𝑃(𝐴 ∩𝐵).
  2. Determina 𝑃(𝐵) para que 𝐴 y 𝐵 sean independientes.
  3. Si 𝑃(𝐵𝑐) =0,2, calcule 𝑃(𝐴 ∪𝐵), 𝑃(𝐴𝑐 ∪𝐵𝑐) y 𝑃(𝐴|𝐵𝑐).

Resolución
  1. Calculamos: 𝑃(𝐴)=1−𝑃(𝐴𝑐)=1−0,4=0,6,𝑃(𝐴∩𝐵𝑐)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴∩𝐵)⇒𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴∩𝐵𝑐)=0,6−0,12=0,48.
  2. Para que 𝐴 y 𝐵 sean independientes, ha de verificarse que: 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐵)⇔𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴∩𝐵)𝑃(𝐴)=0,480,6=0,8.
  3. Como 𝑃(𝐵𝑐) =0,2 ⇔𝑃(𝐵) =0,8, por el apartado anterior sabemos que 𝐴 y 𝐵 son independientes. Calculamos: 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)=0,6+0,8−0,48=0,92,𝑃(𝐴𝑐∪𝐵𝑐)=𝑃((𝐴∩𝐵)𝑐)=1−𝑃(𝐴∩𝐵)=1−0,48=0,52,𝑃(𝐴|𝐵𝑐)=𝑃(𝐴)=0,6.

Ejercicio 5: Reserva 3 de 2021

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos de un mismo experimento aleatorio de los que se sabe que: 𝑃(𝐴−𝐵)=0,3,𝑃(𝐴𝑐)=0,35y𝑃(𝐵)=0,55.

  1. Calcule la probabilidad de que suceda al menos uno de ellos.
  2. Calcule la probabilidad de que ocurra 𝐵, sabiendo que no ha ocurrido 𝐴.
  3. Calcule la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos.
  4. Razone si los sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes.

Resolución

En primer lugar, calculamos algunas probabilidades. 𝑃(𝐴)=1−𝑃(𝐴𝑐)=1−0,35=0,65,𝑃(𝐴−𝐵)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴∩𝐵)⇒𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴−𝐵)=0,65−0,3=0,35.

  1. La probabilidad de que suceda al menos uno de ellos es: 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)=0,65+0,55−0,35=0,85.
  2. La probabilidad de que ocurra 𝐵 sabiendo que no ha ocurrido 𝐴 es: 𝑃(𝐵|𝐴𝑐)=𝑃(𝐵∩𝐴𝑐)𝑃(𝐴𝑐)=𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)𝑃(𝐴𝑐)=0,55−0,350,35≈0,5714.
  3. La probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos es: 𝑃(𝐴𝑐∩𝐵𝑐)=𝑃((𝐴∪𝐵)𝑐)=1−𝑃(𝐴∪𝐵)=1−0,85=0,15.
  4. Como 𝑃(𝐵) ≠𝑃(𝐵|𝐴𝑐), los sucesos no son independientes.

Ejercicio 5: Reserva 3 de 2020

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos de un mismo experimento aleatorio.

  1. Si 𝑃(𝐴) ≠0 y 𝑃(𝐵) ≠0, ¿pueden ser los sucesos 𝐴 y 𝐵 independientes e incompatibles a la vez? Justifique la respuesta.
  2. Sabiendo que 𝑃(𝐴) =0,3, 𝑃(𝐵) =0,5 y 𝑃(𝐴|𝐵) =0,2, calcule las siguientes probabilidades: 𝑃(𝐴∩𝐵),𝑃(𝐴∪𝐵),𝑃(𝐴𝑐∪𝐵𝑐)y𝑃(𝐴−𝐵).

Ejercicio B3: Reserva 1 de 2019

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos de un experimento aleatorio dado. Se sabe que 𝑃(𝐴) =0,5, 𝑃(𝐴 ∪𝐵) =0,75 y 𝑃(𝐴 −𝐵) =0,3.

  1. Calcule 𝑃(𝐴 ∩𝐵).
  2. Calcule 𝑃(𝐴|𝐵𝑐).
  3. ¿Son independientes los sucesos 𝐴 y 𝐵? ¿Son los sucesos 𝐴 y 𝐵 incompatibles?

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2019

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos asociados a un experimento aleatorio tales que 𝑃(𝐵) =0,4, 𝑃(𝐴|𝐵) =0,25 y 𝑃(𝐴 −𝐵) =0,4.

  1. Calcule 𝑃(𝐴 ∩𝐵).
  2. Calcule 𝑃(𝐴) y 𝑃(𝐴 ∪𝐵).
  3. ¿Son 𝐴 y 𝐵 independientes? ¿Son incompatibles?

Ejercicio B3: Septiembre de 2019

De dos sucesos 𝐴 y 𝐵 de un mismo espacio muestral se sabe que: 𝑃(𝐴∩𝐵)=0,2,𝑃(𝐴∪𝐵)=0,4y𝑃(𝐴|𝐵)=0,8.

  1. Calcule 𝑃(𝐵) y 𝑃(𝐴).
  2. ¿Son los sucesos 𝐴 y 𝐵 independientes? Razone la respuesta.
  3. Calcule 𝑃(𝐴𝑐 ∪𝐵𝑐).

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2018

Sean 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 y 𝐹 sucesos de un experimento aleatorio.

  1. Se sabe que 𝑃(𝐴) =0,5, 𝑃(𝐴 ∪𝐵) =0,7 y 𝑃(𝐴 ∩𝐵) =0,4. Halle la probabilidad de que ocurra 𝐵.
  2. Se sabe que 𝑃(𝐶) =0,4, 𝑃(𝐷) =0,3 y 𝑃(𝐶 ∪𝐷) =0,5. Halle la probabilidad de que ocurra 𝐶 sabiendo que no ocurre 𝐷.
  3. Se sabe que los sucesos 𝐸 y 𝐹 son independientes, que 𝑃(𝐸) =0,6 y que 𝑃(𝐹) =0,8. Calcule la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos.

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2017

De los sucesos 𝐴 y 𝐵 se sabe que 𝑃(𝐴) =0,6, 𝑃(𝐴|𝐵) =0,8 y 𝑃(𝐵|𝐴𝑐) =0,1.

  1. Calcule las probabilidades 𝑃(𝐵), 𝑃(𝐴 ∩𝐵) y 𝑃(𝐴 ∪𝐵).
  2. ¿Son los sucesos 𝐴 y 𝐵 independientes?

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2017

Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 tres sucesos de los que se sabe que 𝐴 y 𝐵 son independientes, 𝐴 y 𝐶 son incompatibles, 𝑃(𝐴) =0,4, 𝑃(𝐴 ∩𝐵) =0,1 y 𝑃(𝐶) =0,2. Calcule las probabilidades de los siguientes sucesos:

  1. Que suceda 𝐴 si no sucede 𝐵.
  2. Que no suceda ni 𝐴 ni 𝐶.
  3. Que si no sucede 𝐵 tampoco suceda 𝐴.

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2016

De los sucesos 𝐴 y 𝐵 de un experimento aleatorio se conocen las siguientes probabilidades: 𝑃(𝐴)=0,4,𝑃(𝐵)=0,5y𝑃((𝐴∪𝐵)𝑐)=0,1.

  1. Razone si 𝐴 y 𝐵 son sucesos compatibles.
  2. Razone si 𝐴 y 𝐵 son sucesos independientes.
  3. Calcule 𝑃(𝐴 ∩𝐵𝑐).
  4. Calcule 𝑃(𝐴|𝐵𝑐).

Ejercicio A3: Septiembre de 2016

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos aleatorios tales que 𝑃(𝐴)=0,3,𝑃(𝐵)=0,6y𝑃(𝐴𝑐∩𝐵𝑐)=0,28.

  1. Halle la probabilidad de que ocurran ambos sucesos a la vez.
  2. Calcule la probabilidad de que ocurra 𝐴 sabiendo que no ha ocurrido 𝐵.
  3. ¿Son 𝐴 y 𝐵 independientes?

Ejercicio B3: Reserva 2 de 2015

Sean dos sucesos 𝐴 y 𝐵 tales que 𝑃(𝐴) =0,25, 𝑃(𝐵) =0,6 y 𝑃(𝐴 ∩𝐵𝑐) =0,1.

  1. Calcule la probabilidad de que ocurra 𝐴 y ocurra 𝐵.
  2. Calcule la probabilidad de que no ocurra 𝐴 pero sí ocurra 𝐵.
  3. Calcule la probabilidad de que ocurra 𝐴 sabiendo que ha ocurrido 𝐵.
  4. ¿Son independientes 𝐴 y 𝐵?

Ejercicio A3: Reserva 3 de 2015

  1. Calcule la probabilidad de que al lanzar dos dados, la suma de sus puntuaciones sea un múltiplo de 4.
  2. De un experimento aleatorio se conocen las siguientes probabilidades: 𝑃(𝐴𝑐)=0,8,𝑃(𝐵𝑐)=0,7y𝑃(𝐴∪𝐵)=0,5. ¿Son A y B incompatibles?

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2014

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos aleatorios independientes de los que se conoce que 𝑃(𝐴) =0,5 y 𝑃(𝐵) =0,3.

  1. Diga, razonadamente, si 𝐴 y 𝐵 son sucesos incompatibles.
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que suceda 𝐴 y no suceda 𝐵?
  3. Calcule 𝑃(𝐴|𝐵𝑐).

Ejercicio B3: Junio de 2013

De los sucesos aleatorios independientes 𝐴 y 𝐵 se sabe que 𝑃(𝐴) =0,3 y que 𝑃(𝐵) =0,25. Calcule las siguientes probabilidades:

  1. 𝑃(𝐴 ∪𝐵).
  2. 𝑃(𝐴𝑐 ∩𝐵𝑐).
  3. 𝑃(𝐴|𝐵𝑐).

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2013

En un experimento aleatorio, la probabilidad de que ocurra un suceso 𝐴 es 0,68, la de que ocurra otro suceso 𝐵 es 0,2, y la de que no ocurra ninguno de los dos es 0,27. Halle la probabilidad de que:

  1. Ocurran los dos a la vez.
  2. Ocurra 𝐵 pero no 𝐴.
  3. Ocurra 𝐵, sabiendo que no ha ocurrido 𝐴.

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2013

De los sucesos independientes 𝐴 y 𝐵 se sabe que 𝑃(𝐴𝑐) =0,4 y 𝑃(𝐴 ∪𝐵) =0,8.

  1. Halle la probabilidad de 𝐵.
  2. Halle la probabilidad de que no se verifique 𝐵 si se ha verificado 𝐴.
  3. ¿Son incompatibles los sucesos 𝐴 y 𝐵?

Ejercicio B3: Reserva 4 de 2012

Se consideran dos sucesos 𝐴 y 𝐵 asociados a un experimento aleatorio. Se sabe que 𝑃(𝐴) =0,8, 𝑃(𝐵) =0,7 y 𝑃(𝐴 ∪𝐵) =0,94.

  1. ¿Son 𝐴 y 𝐵 sucesos independientes?
  2. Calcule 𝑃(𝐴|𝐵).
  3. Calcule 𝑃(𝐴|𝐵𝑐).

Ejercicio B3: Septiembre de 2012

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos de un espacio muestral, de los que se conocen las probabilidades 𝑃(𝐴) =0,60 y 𝑃(𝐵) =0,25. Determine las probabilidades que deben asignarse a los sucesos 𝐴 ∪𝐵 y 𝐴 ∩𝐵 en cada uno de los siguientes supuestos:

  1. Si 𝐴 y 𝐵 fuesen incompatibles.
  2. Si 𝐴 y 𝐵 fueran independientes.
  3. Si 𝑃(𝐴|𝐵) =0,40.

Ejercicio A3: Reserva 2 de 2011

Sean dos sucesos, 𝐴 y 𝐵, tales que 𝑃(𝐴) =0,5, 𝑃(𝐵) =0,4 y 𝑃(𝐴|𝐵) =0,5.

  1. Halle la probabilidad de que se verifique alguno de los dos sucesos.
  2. Calcule la probabilidad de que no se verifique 𝐵 si se ha verificado 𝐴.
  3. ¿Son independientes los sucesos 𝐴 y 𝐵? Razone la respuesta.

Ejercicio B3: Septiembre de 2011

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos aleatorios tales que: 𝑃(𝐴)=0,4,𝑃(𝐵)=0,5,𝑃(𝐴∩𝐵)=0,2.

  1. Calcule las siguientes probabilidades: 𝑃(𝐴 ∪𝐵), 𝑃(𝐴|𝐵) y 𝑃(𝐵|𝐴𝐶).
  2. Razone si 𝐴 y 𝐵 son sucesos incompatibles.
  3. Razone si 𝐴 y 𝐵 son independientes.