Matemáticas de Selectividad

Sean las matrices 𝐴=(2−1𝑎𝑏)y𝐵=(−1130).

1. Obtenga 𝑎 y 𝑏 sabiendo que 𝐴2=(5−2−21). ¿Es 𝐴 simétrica?
2. Para los valores 𝑎 =3 y 𝑏 =1, calcule la matriz 𝑋 tal que 𝐴𝐵 =2(𝑋 −3𝐼2).

Los beneficios de una empresa en sus primeros 8 años vienen dados, en millones de euros, por la función 𝐵(𝑡)=𝑡34−3𝑡2+9𝑡,0≤𝑡≤8, donde la variable 𝑡 indica el tiempo transcurrido, en años, desde su fundación.

1. Estudie la monotonía y los extremos de 𝐵(𝑡).
2. Dibuje la gráfica de 𝐵(𝑡) en el intervalo [0,8] y explique, a partir de ella, la evolución de los beneficios de esta empresa en sus 8 años de existencia.

El 55% de los alumnos de un centro docente utiliza en su desplazamiento transporte público, el 30% usa vehículo propio y el resto va andando. El 65% de los que utilizan transporte público son mujeres, el 70% de los que usan vehículo propio son hombres y el 52% de los que van andando son mujeres.

1. Elegido al azar un alumno de ese centro, calcule la probabilidad de que sea hombre.
2. Elegido al azar un hombre, alumno de ese centro, ¿cuál es la probabilidad de que vaya andando?

Se quiere estimar la proporción de hembras entre los peces de una piscifactoría; para ello se ha tomado una muestra aleatoria de 500 peces, y en ella hay 175 hembras.

1. Calcule un intervalo de confianza para la proporción de hembras en esta población de peces, con un nivel de confianza del 94%.
2. A la vista del resultado del muestreo se quiere repetir la experiencia para conseguir un intervalo de confianza con el mismo nivel y un error máximo de 0,02, ¿cuál es el tamaño mínimo que debe tener la nueva muestra?

Un fabricante de tapices dispone de 500 kg de hilo de seda, 400 kg de hilo de plata y 225 kg de hilo de oro. Desea fabricar dos tipos de tapices: A y B. Para los del tipo A se necesita 1 kg de hilo de seda y 2 kg de hilo de plata, y para los del tipo B, 2 kg de hilo de seda, 1 kg de hilo de plata y 1 kg de hilo de oro. Cada tapiz del tipo A se vende a 2.000 euros y cada tapiz del tipo B a 3.000 euros.

1. Si se vende todo lo que se fabrica, ¿cuántos tapices de cada tipo ha de fabricar para que el beneficio sea máximo y cuál es ese beneficio?
2. ¿Qué cantidad de hilo de cada clase quedará cuando se fabrique el número de tapices que proporciona el máximo beneficio?

Sea 𝑓(𝑥) una función cuya función derivada, 𝑓′(𝑥), tiene por gráfica una parábola que corta al eje 𝑂𝑋 en los puntos ( −1,0) y (5,0) y con vértice (2, −4).

1. Estudie razonadamente la monotonía de 𝑓(𝑥).
2. Determine las abscisas de los extremos relativos de la función 𝑓(𝑥).
3. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓(𝑥) en el punto de abscisa 𝑥 =2, sabiendo que 𝑓(2) =5.

De los sucesos aleatorios independientes 𝐴 y 𝐵 se sabe que 𝑃(𝐴) =0,3 y que 𝑃(𝐵) =0,25. Calcule las siguientes probabilidades:

1. 𝑃(𝐴 ∪𝐵).
2. 𝑃(𝐴𝑐 ∩𝐵𝑐).
3. 𝑃(𝐴|𝐵𝑐).

El tiempo que los españoles dedican a ver la televisión los domingos es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica 75 minutos. Elegida una muestra aleatoria de españoles se ha obtenido, para la media de esa distribución, el intervalo de confianza (188,18; 208,82), con un nivel del 99%.

1. Calcule la media muestral y el tamaño de la muestra.
2. Calcule el error máximo permitido si se hubiese utilizado una muestra de tamaño 500 y un nivel de confianza del 96%.