Ejercicios de sociales

Ejercicio 7: Reserva 1 de 2025

Se desea estimar la proporción de personas de una determinada localidad que se muestran favorables a la celebración de las fiestas locales durante el mes de mayo. Para ello, se ha tomado una muestra aleatoria de 200 personas resultando que 130 de ellas están a favor.

Obtenga un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 96,5%, para estimar la proporción de personas de esta localidad que está a favor de celebrar las fiestas locales durante el mes de mayo.
Manteniendo la misma proporción muestral y con un nivel de confianza del 99%, ¿cuál es el número mínimo de personas que deberán seleccionarse aleatoriamente para que la proporción muestral y la poblacional no difieran en más de un 2%?
Manteniendo el tamaño de la muestra y la proporción muestral, si se aumenta el nivel de confianza, razone cómo influye en el error máximo de estimación.

Ejercicio 7: Reserva 2 de 2025

En un invernadero de Palos de la Frontera (Huelva), se cultivan fresas y frambuesas. Se desea estimar la proporción de fresas y frambuesas que se recolectan. Para ello, se ha tomado una muestra aleatoria de 300 kg, obteniéndose que 180 kg de ellos son fresas y el resto frambuesas.

Obtenga, con un nivel de confianza del 97%, un intervalo para estimar la proporción de fresas recolectadas en el invernadero y otro intervalo para estimar la proporción de frambuesas recolectadas.
Con las proporciones muestrales iniciales y con un nivel de confianza del 95%, ¿cuántos kilogramos de frutos deberían seleccionarse aleatoriamente como mínimo para que las proporciones muestrales difieran de las proporciones poblacionales a lo sumo en un 2%?

Ejercicio 6: Reserva 4 de 2025

Se selecciona una muestra aleatoria de 600 familias a las que se les pregunta si tienen mascota, resultando que 240 de esas familias contestaron afirmativamente. Con un nivel de confianza del 95%,

Obtenga el correspondiente intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional de familias que tienen mascota. ¿Puede suponerse que la mitad de las familias de esta población tiene mascota?
¿Qué tamaño muestral mínimo se debe tomar para que el error máximo al estimar esta proporción sea 0,025?
Explique razonadamente el efecto que tendría sobre la amplitud del intervalo de confianza de la proporción poblacional el aumento del tamaño de la muestra elegida.

Ejercicio 6: Julio de 2025

A partir de un estudio muestral se sabe que, con un nivel de confianza del 95%, la proporción de estudiantes de una universidad que tienen carnet de conducir pertenece al intervalo $(0, 5616; 0, 7184)$ .

Calcule la proporción muestral de estudiantes que tienen carnet de conducir.
Calcule el error máximo cometido en la estimación de la proporción poblacional.
Calcule el tamaño de la muestra seleccionada.
Razone qué efecto producirá sobre la amplitud del intervalo un aumento del tamaño muestral.

Resolución

La proporción muestral viene dada por el punto medio del intervalo. $𝑝 = 0, 5616 + 0, 7184 2 = 0, 64 .$
El error cometido viene dado por la mitad de la amplitud del intervalo. $𝐸 = 0, 7184 - 0, 5616 2 = 0, 0784 .$
Como el nivel de confianza es del 95%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 95 = 0, 05 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 05 2 = 0, 975 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 1, 96 .$ El error máximo cometido viene dado por: $𝐸 = 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛 .$ Despejando en la ecuación, podemos calcular el tamaño de la muestra como: $𝑛 = 𝑧 2 𝛼 / 2 \cdot 𝑝 \cdot (1 - 𝑝) 𝐸 2 = 1, 962 \cdot 0, 64 \cdot (1 - 0, 64) 0, 07842 = 144 .$
La amplitud del intervalo disminuye al aumentar el tamaño de la muestra, porque el error máximo cometido se reduce.

Ejercicio 8: Junio de 2024

Se desea conocer la proporción de habitantes de una determinada ciudad que realizan turismo sostenible durante sus vacaciones. Para ello se selecciona al azar una muestra de 2.500 habitantes, resultando que 1.825 realizan turismo sostenible.

Calcule un intervalo, con un nivel de confianza del 95%, para estimar la proporción de habitantes de la ciudad que realizan turismo sostenible.
Para un nivel de confianza del 97% y manteniendo la proporción muestral, ¿cuál sería el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea inferior al 1%?
Razone qué efecto producirá sobre la amplitud del intervalo una disminución del tamaño de la muestra.

Resolución

Como 1.825 habitantes de $𝑛 = 2.500$ realizan turismo sostenible, la proporción muestral es: $𝑝 = 1.825 2.500 = 0, 73 .$ El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza $1 - 𝛼$ viene dado por: $𝐼 = (𝑝 - 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛, 𝑝 + 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛) .$ Como el nivel de confianza es del 95%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 95 = 0, 05 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 05 2 = 0, 975 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 1, 96 .$ Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de habitantes que realizan turismo sostenible con un nivel de confianza del 95% es: $𝐼 = (0, 73 - 1, 96 \cdot \sqrt 0, 73 \cdot (1 - 0, 73) 2.500, 0, 73 + 1, 96 \cdot \sqrt 0, 73 \cdot (1 - 0, 73) 2.500) \approx (0, 7126; 0, 7474) .$
Si el nivel de confianza es del 97%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 97 = 0, 03 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 03 2 = 0, 985 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 2, 17 .$ El error máximo de estimación viene dado por: $𝐸 = 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛 = 2, 17 \cdot \sqrt 0, 73 \cdot (1 - 0, 73) 𝑛 = 2, 17 \cdot \sqrt 0, 1971 𝑛 .$ Si se quiere el error sea inferior a 0,01, entonces: $2, 17 \cdot \sqrt 0, 1971 𝑛 = 0, 01 \Leftrightarrow \sqrt 0, 1971 𝑛 = 0, 01 2, 17 \Leftrightarrow 0, 1971 𝑛 = 0, 012 2, 172 \Leftrightarrow 𝑛 = 0, 1971 \cdot 2, 172 0, 012 = 9.281, 2419 .$ Por tanto, el número mínimo de personas de la muestra debe ser 9.282.
La amplitud del intervalo aumenta al reducir el tamaño de la muestra, porque el error máximo cometido se incrementa.

Ejercicio 7: Reserva 1 de 2024

Se ha administrado un determinado medicamento a una muestra de 220 enfermos de una población que padece una cierta enfermedad y se ha observado una respuesta positiva en 165 de ellos.

Estime, mediante un intervalo de confianza del 97,5%, la proporción de enfermos que responderían positivamente si este medicamento se administrase a la población de la que se ha extraído la muestra. Según el intervalo obtenido, razone si puede admitirse que el porcentaje de enfermos que responderían positivamente al medicamento administrado es del 70%.
Con el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea menor que el 2,5%?

Resolución

Como 165 enfermos de $𝑛 = 220$ ha tenido una respuesta positiva al medicamento, la proporción muestral es: $𝑝 = 165220 = 0, 75 .$ El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza $1 - 𝛼$ viene dado por: $𝐼 = (𝑝 - 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛, 𝑝 + 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛) .$ Como el nivel de confianza es del 97,5%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 975 = 0, 025 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 025 2 = 0, 9875 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 2, 24 .$ Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de enfermos que responden positivamente al medicamento con un nivel de confianza del 97,5% es: $𝐼 = (0, 75 - 2, 24 \cdot \sqrt 0, 75 \cdot (1 - 0, 75) 220, 0, 75 + 2, 24 \cdot \sqrt 0, 75 \cdot (1 - 0, 75) 220) \approx (0, 6846; 0, 8154) .$ Como 0,7 pertenece al intervalo de confianza, puede admitirse como proporción poblacional.
El error máximo de estimación viene dado por: $𝐸 = 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛 = 2, 24 \cdot \sqrt 0, 75 \cdot (1 - 0, 75) 𝑛 = 2, 24 \cdot \sqrt 0, 1875 \sqrt 𝑛 .$ Si se quiere que el error sea menor que 0,025, entonces: $2, 24 \cdot \sqrt 0, 1875 \sqrt 𝑛 = 0, 025 \Leftrightarrow \sqrt 𝑛 = 2, 24 \cdot \sqrt 0, 1875 0, 025 \Leftrightarrow 𝑛 = 2, 242 \cdot 0, 1875 0, 0252 = 1.505, 28 .$ Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 1.506 enfermos.

Ejercicio 7: Reserva 2 de 2024

Una tienda decide evaluar a su empresa de transporte para determinar si está cumpliendo con sus estándares de calidad. Para ello, se analizan 400 de sus envíos y se comprueba que 370 han sido entregados a tiempo.

Si los estándares de calidad de dicha empresa requieren que al menos el 88% de los envíos sean entregados a tiempo, estime, mediante un intervalo de confianza al 93%, si la empresa de transporte cumple con los estándares de calidad.
Si se mantiene la misma proporción muestral y se aumenta el nivel de confianza al 95%, ¿cuántos envíos, como mínimo, habrá que analizar para que la amplitud del intervalo de confianza sea inferior a 0,03?

Resolución

Como 370 envíos de $𝑛 = 400$ han sido entregados a tiempo, la proporción muestral es: $𝑝 = 370400 = 0, 925 .$ El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza $1 - 𝛼$ viene dado por: $𝐼 = (𝑝 - 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛, 𝑝 + 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛) .$ Como el nivel de confianza es del 93%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 93 = 0, 07 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 07 2 = 0, 965 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 1, 815 .$ Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de envíos que han sido entregados a tiempo con un nivel de confianza del 93% es: $𝐼 = (0, 925 - 1, 815 \cdot \sqrt 0, 925 \cdot (1 - 0, 925) 400, 0, 925 + 1, 815 \cdot \sqrt 0, 925 \cdot (1 - 0, 925) 400) \approx (0, 9011; 0, 9489) .$ Como el intervalo de confianza solo abarca valores mayores que 0,88, se puede admitir que la empresa cumple con los estándares de calidad.
Si el nivel de confianza es del 95%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 95 = 0, 05 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 05 2 = 0, 975 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 1, 96 .$ El error máximo de estimación viene dado por: $𝐸 = 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛 = 1, 96 \cdot \sqrt 0, 925 \cdot (1 - 0, 925) 𝑛 = 1, 96 \cdot \sqrt 0, 069375 𝑛 .$ El error máximo cometido en un intervalo de confianza es la mitad de su amplitud, así que se quiere que el error sea inferior a 0,015. Entonces: $1, 96 \cdot \sqrt 0, 069375 𝑛 = 0, 015 \Leftrightarrow \sqrt 0, 069375 𝑛 = 0, 015 1, 96 \Leftrightarrow 0, 069375 𝑛 = 0, 0152 1, 962 \Leftrightarrow \Leftrightarrow 𝑛 = 0, 069375 \cdot 1, 962 0, 0152 \approx 1.184, 4933 .$ Por tanto, el número mínimo de envíos de la muestra debe ser 1.185.

Ejercicio 7: Reserva 3 de 2024

Para estimar la proporción de mujeres matriculadas en carreras STEM en Andalucía, se realiza una encuesta a 2.000 universitarias andaluzas elegidas al azar y se obtiene que 710 de ellas están matriculadas en carreras STEM. Con un nivel de confianza del 96,5%, calcule un intervalo de confianza para estimar la proporción de mujeres matriculadas en carreras STEM en Andalucía.
En otra comunidad autónoma, al seleccionar una muestra de universitarias, se observa que el porcentaje de mujeres matriculadas en carreras STEM es del 37%. Con un nivel de confianza del 98%, calcule el tamaño mínimo de esa nueva muestra para que el error máximo cometido sea del 1,5%.

Resolución

Como 710 universitarias de $𝑛 = 2.000$ están matriculadas en carreras STEM, la proporción muestral es: $𝑝 = 710 2.000 = 0, 355 .$ El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza $1 - 𝛼$ viene dado por: $𝐼 = (𝑝 - 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛, 𝑝 + 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛) .$ Como el nivel de confianza es del 96,5%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 965 = 0, 035 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 035 2 = 0, 9825 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 2, 11 .$ Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de universitarias que están matriculadas en carreras STEM con un nivel de confianza del 96,5% es: $𝐼 = (0, 355 - 2, 11 \cdot \sqrt 0, 355 \cdot (1 - 0, 355) 2.000, 0, 355 + 2, 11 \cdot \sqrt 0, 355 \cdot (1 - 0, 355) 2.000) \approx (0, 3324; 0, 3776) .$
La proporción muestral es $𝑝 = 0, 37 .$ Si además el nivel de confianza es del 98%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 90 = 0, 02 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 02 2 = 0, 99 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 2, 33 .$ El error máximo de estimación viene dado por: $𝐸 = 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛 = 2, 33 \cdot \sqrt 0, 37 \cdot (1 - 0, 37) 𝑛 = 2, 33 \cdot \sqrt 0, 2331 𝑛 .$ Si se quiere el error máximo sea de 0,015, entonces: $2, 33 \cdot \sqrt 0, 2331 𝑛 = 0, 015 \Leftrightarrow \sqrt 0, 2331 𝑛 = 0, 015 2, 33 \Leftrightarrow 0, 2331 𝑛 = 0, 0152 2, 332 \Leftrightarrow 𝑛 = 0, 2331 \cdot 2, 332 0, 0152 = 5.624, 3404 .$ Por tanto, el número mínimo de personas de la muestra debe ser 5.625.

Ejercicio 8: Julio de 2024

Se desea estimar la proporción de personas que viajan en tren con su mascota. Para ello, se selecciona una muestra aleatoria de 300 viajeros, obteniéndose que 12 de ellos viajan con su mascota.

Obtenga un intervalo, con un nivel de confianza del 97%, para estimar la proporción de personas que viajan en tren con su mascota.
Manteniendo la misma proporción muestral y con un nivel de confianza del 95%, ¿cuántas personas que viajan en tren deberán seleccionarse aleatoriamente como mínimo para que la proporción muestral difiera de la proporción poblacional a lo sumo en un 2%?

Resolución

Como 12 personas de $𝑛 = 300$ viajan con su mascota, la proporción muestral es: $𝑝 = 12300 = 0, 04 .$ El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza $1 - 𝛼$ viene dado por: $𝐼 = (𝑝 - 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛, 𝑝 + 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛) .$ Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 97 = 0, 03 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 03 2 = 0, 985 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 2, 17 .$ Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de personas que viajan con su mascota con un nivel de confianza del 97% es: $𝐼 = (0, 04 - 2, 17 \cdot \sqrt 0, 04 \cdot (1 - 0, 04) 300, 0, 04 + 2, 17 \cdot \sqrt 0, 04 \cdot (1 - 0, 04) 300) \approx (0, 0154; 0, 0646) .$
Si el nivel de confianza es del 95%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 95 = 0, 05 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 05 2 = 0, 975 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 1, 96 .$ El error máximo de estimación viene dado por: $𝐸 = 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛 = 1, 96 \cdot \sqrt 0, 04 \cdot (1 - 0, 04) 𝑛 = 1, 96 \cdot \sqrt 0, 0384 𝑛 .$ Si se quiere el error no sea mayor que 0,02, entonces: $1, 96 \cdot \sqrt 0, 0384 𝑛 = 0, 02 \Leftrightarrow \sqrt 0, 0384 𝑛 = 0, 02 1, 96 \Leftrightarrow 0, 0384 𝑛 = 0, 022 1, 962 \Leftrightarrow 𝑛 = 0, 0384 \cdot 1, 962 0, 022 = 368, 7936 .$ Por tanto, el número mínimo de viajeros de la muestra debe ser 369.

Ejercicio 8: Junio de 2023

Se desea estimar la proporción de donantes de sangre en una universidad. Para ello se toma una muestra aleatoria de 400 personas de esa universidad, resultando que 64 son donantes de sangre.

Calcule un intervalo de confianza, con un nivel del 98%, para estimar la proporción poblacional de donantes de sangre.
Si el nivel de confianza es del 95%, calcule el error máximo cometido. Razone si este error será mayor o menor al disminuir el nivel de confianza.

Resolución

Como 64 personas de $𝑛 = 400$ son donantes de sangre, la proporción muestral es: $𝑝 = 64400 = 0, 16 .$ El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza $1 - 𝛼$ viene dado por: $𝐼 = (𝑝 - 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛, 𝑝 + 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛) .$ Como el nivel de confianza es del 98%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 98 = 0, 02 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 02 2 = 0, 99 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 2, 325 .$ Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional de donantes de sangre con un nivel de confianza del 98% es: $𝐼 = (0, 16 - 2, 325 \cdot \sqrt 0, 16 \cdot (1 - 0, 16) 400, 0, 16 + 2, 325 \cdot \sqrt 0, 16 \cdot (1 - 0, 16) 400) \approx (0, 1174; 0, 2026) .$
Si el nivel de confianza es del 95%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 95 = 0, 05 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 05 2 = 0, 975 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 1, 96 .$ Por tanto, el error máximo cometido es: $𝐸 = 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛 = 1, 96 \cdot \sqrt 0, 16 \cdot (1 - 0, 16) 400 \approx 0, 0359 .$ El error máximo cometido disminuye al reducir el nivel de confianza, porque el intervalo tiene una menor amplitud.

Ejercicio 7: Reserva 1 de 2023

Utilizando los números naturales del 1 al 6, ¿cuántas muestras de tamaño 2 pueden formarse aplicando un muestreo aleatorio simple? Si se elige una de estas muestras al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la media de los números obtenidos sea como máximo 2?
Se ha diseñado una encuesta para estimar qué proporción de adolescentes de una zona están suscritos a una determinada red social. ¿Qué tamaño debemos tomar para estimar dicha proporción por un intervalo de confianza al 95% con un error máximo de 0,15?

Resolución

Con los números naturales del 1 al 6 se pueden formar $6 \cdot 6 = 36$ muestras de tamaño 2. La media de los números es menor o igual a 2 en las muestras $(1, 1)$ , $(1, 2)$ , $(1, 3)$ , $(2, 1)$ , $(2, 2)$ y $(3, 1) .$ Por tanto, la probabilidad es: $𝑝 = 636 = 16 .$
Si el nivel de confianza es del 95%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 95 = 0, 05 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 05 2 = 0, 975 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 1, 96 .$ El error máximo de estimación viene dado por: $𝐸 = 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛 = 1, 96 \cdot \sqrt 0, 5 \cdot (1 - 0, 5) 𝑛 = 1, 96 \cdot \sqrt 0, 25 𝑛 .$ Si se quiere que el error máximo sea de 0,15, entonces: $1, 96 \cdot \sqrt 0, 25 𝑛 = 0, 15 \Leftrightarrow \sqrt 0, 25 𝑛 = 0, 15 1, 96 \Leftrightarrow 0, 25 𝑛 = 0, 152 1, 962 \Leftrightarrow 𝑛 = 0, 25 \cdot 1, 962 0, 152 \approx 42, 6844 .$ Por tanto, el tamaño mínimo de la nueva muestra debe ser de 43 personas.

Ejercicio 8: Reserva 3 de 2023

Se desea estimar la proporcion de clientes de una compañía de seguros que han requerido el servicio de asistencia en carretera. Para ello, se ha recogido una muestra aleatoria de 300 asegurados resultando que 90 han requerido este servicio.

Obtenga un intervalo de confianza al 97% para estimar la proporción de asegurados que han solicitado este servicio.
Con la proporción muestral facilitada y con un nivel de confianza del 95%, ¿cuál es el número mínimo de asegurados que se deberán seleccionar aleatoriamente para que la proporción muestral y la poblacional no difieran en más de un 3%?

Resolución

Como 90 asegurados de $𝑛 = 300$ han requerido el servicio de asistencia en carretera, la proporción muestral es: $𝑝 = 90300 = 0, 3 .$ El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza $1 - 𝛼$ viene dado por: $𝐼 = (𝑝 - 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛, 𝑝 + 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛) .$ Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 97 = 0, 03 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 03 2 = 0, 985 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 2, 17 .$ Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de asegurados que ha solicitado el servicio con un nivel de confianza del 97% es: $𝐼 = (0, 3 - 2, 17 \cdot \sqrt 0, 3 \cdot (1 - 0, 3) 300, 0, 3 + 2, 17 \cdot \sqrt 0, 3 \cdot (1 - 0, 3) 300) \approx (0, 2426; 0, 3574) .$
Si el nivel de confianza es del 95%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 95 = 0, 05 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 05 2 = 0, 975 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 1, 96 .$ El error máximo de estimación viene dado por: $𝐸 = 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛 = 1, 96 \cdot \sqrt 0, 3 \cdot (1 - 0, 3) 𝑛 = 1, 96 \cdot \sqrt 0, 21 𝑛 .$ Si se quiere el error no sea mayor que 0,03, entonces: $1, 96 \cdot \sqrt 0, 21 𝑛 = 0, 03 \Leftrightarrow \sqrt 0, 21 𝑛 = 0, 03 1, 96 \Leftrightarrow 0, 21 𝑛 = 0, 032 1, 962 \Leftrightarrow 𝑛 = 0, 21 \cdot 1, 962 0, 032 \approx 896, 3733 .$ Por tanto, el número mínimo de asegurados de la muestra debe ser 897.

Ejercicio 8: Reserva 4 de 2023

Se selecciona una muestra aleatoria de 300 habitantes de una ciudad, a los que se les pregunta si creen que llevan una dieta saludable. De las personas encuestadas, 180 han contestado afirmativamente, mientras que el resto ha respondido que no.

Calcule un intervalo de confianza al 95% para la proporción de personas que creen seguir una dieta saludable.
¿Cuál sería el número de habitantes mínimo necesario en este estudio de opinión para que se reduzca a un tercio del error cometido en el intervalo $(0, 54; 0, 66)$ con el mismo nivel de confianza?

Resolución

Como 180 personas de $𝑛 = 300$ creen que siguen una media saludable, la proporción muestral es: $𝑝 = 180300 = 0, 6 .$ El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza $1 - 𝛼$ viene dado por: $𝐼 = (𝑝 - 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛, 𝑝 + 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛) .$ Como el nivel de confianza es del 95%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 95 = 0, 05 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 05 2 = 0, 975 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 1, 96 .$ Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional de personas que creen seguir una dieta saludable con un nivel de confianza del 95% es: $𝐼 = (0, 6 - 1, 96 \cdot \sqrt 0, 6 \cdot (1 - 0, 6) 300, 0, 6 + 1, 96 \cdot \sqrt 0, 6 \cdot (1 - 0, 6) 300) \approx (0, 5446; 0, 6554) .$
En primer lugar, el error cometido en el intervalo $(0, 54; 0, 66)$ es: $0, 66 - 0, 54 2 = 0, 06 .$ Por otro lado, el error máximo cometido viene dado por: $𝐸 = 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛 = 1, 96 \cdot \sqrt 0, 6 \cdot (1 - 0, 6) 𝑛 = 1, 96 \cdot \sqrt 0, 24 \sqrt 𝑛 .$ Si se quiere que el error máximo sea un tercio del error cometido en el intervalo dado, entonces: $1, 96 \cdot \sqrt 0, 24 \sqrt 𝑛 = 13 \cdot 0, 06 \Leftrightarrow 1, 96 \cdot \sqrt 0, 24 \sqrt 𝑛 = 0, 02 \Leftrightarrow \sqrt 𝑛 = 1, 96 \cdot \sqrt 0, 24 0, 02 \Leftrightarrow 𝑛 = 1, 962 \cdot 0, 24 0, 022 = 2.304, 96 .$ Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 2.305 habitantes.

Ejercicio 8: Julio de 2023

En el otoño de 2021, el municipio de El Paso en la Isla de La Palma sufrio la erupcion del volcan Cumbre Vieja. Al finalizar la erupción, se escogió una muestra de 500 casas resultando que 325 de ellas estaban afectadas por la erupción.

Calcule un intervalo, con un nivel de confianza del 97%, para estimar la proporción de casas afectadas por la erupción del volcán. Según el resultado obtenido, ¿se puede admitir que el porcentaje de casas afectadas por el volcán es del 64%?
Para un nivel de confianza del 92% y manteniendo la proporción muestral, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error máximo de estimación sea del 2%?

Resolución

Como 325 casas de $𝑛 = 500$ estaban afectadas por la erupción, la proporción muestral es: $𝑝 = 325500 = 0, 65 .$ El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza $1 - 𝛼$ viene dado por: $𝐼 = (𝑝 - 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛, 𝑝 + 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛) .$ Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 97 = 0, 03 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 03 2 = 0, 985 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 2, 17 .$ Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional de donantes de sangre con un nivel de confianza del 98% es: $𝐼 = (0, 65 - 2, 17 \cdot \sqrt 0, 65 \cdot (1 - 0, 65) 500, 0, 65 + 2, 17 \cdot \sqrt 0, 65 \cdot (1 - 0, 65) 500) \approx (0, 6037; 0, 6963) .$ Como 0,64 pertenece a este intervalo, se puede admitir como la proporción poblacional de casas afectadas.
Si el nivel de confianza es del 92%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 92 = 0, 08 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 08 2 = 0, 96 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 1, 75 .$ El error máximo de estimación viene dado por: $𝐸 = 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛 = 1, 75 \cdot \sqrt 0, 65 \cdot (1 - 0, 65) 𝑛 = 1, 75 \cdot \sqrt 0, 2275 𝑛 .$ Si se quiere que el error máximo sea de 0,02, entonces: $1, 75 \cdot \sqrt 0, 2275 𝑛 = 0, 02 \Leftrightarrow \sqrt 0, 2275 𝑛 = 0, 02 1, 75 \Leftrightarrow 0, 2275 𝑛 = 0, 022 1, 752 \Leftrightarrow 𝑛 = 0, 2275 \cdot 1, 752 0, 022 \approx 1741, 7969 .$ Por tanto, el tamaño mínimo de la nueva muestra debe ser de 1742 casas.

Ejercicio 8: Junio de 2022

Se quiere estudiar la proporción de perros que están vacunados en Andalucía. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 400 perros de los que 320 resultan estar vacunados.

Obtenga un intervalo con un nivel de confianza del 92% para estimar la proporción de perros vacunados en Andalucía y calcule el error máximo cometido.
En una nueva muestra, manteniendo el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, ¿cuántos perros, como mínimo, hay que elegir para que el error sea menor que 0,02?

Resolución

Como 320 perros de $𝑛 = 400$ están vacunados, la proporción muestral es: $𝑝 = 320400 = 0, 8 .$ El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza $1 - 𝛼$ viene dado por: $𝐼 = (𝑝 - 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛, 𝑝 + 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛) .$ Como el nivel de confianza es del 92%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 92 = 0, 08 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 08 2 = 0, 96 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 1, 75 .$ Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional de perros vacunados con un nivel de confianza del 92% es: $𝐼 = (0, 8 - 1, 75 \cdot \sqrt 0, 8 \cdot (1 - 0, 8) 400, 0, 8 + 1, 75 \cdot \sqrt 0, 8 \cdot (1 - 0, 8) 400) = (0, 765; 0, 835) .$ El error máximo cometido es: $𝐸 = 0, 835 - 0, 765 2 = 0, 035 .$
El error máximo de estimación viene dado por: $𝐸 = 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛 = 1, 75 \cdot \sqrt 0, 8 \cdot (1 - 0, 8) 𝑛 = 0, 7 \sqrt 𝑛 .$ Si se quiere que el error máximo sea de 0,02, entonces: $0, 7 \sqrt 𝑛 = 0, 02 \Leftrightarrow \sqrt 𝑛 = 0, 7 0, 02 \Leftrightarrow 𝑛 = 0, 72 0, 022 = 1.225 .$ Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 1.225 perros.

Ejercicio 8: Reserva 1 de 2022

Se desea estimar la proporción de estudiantes de una universidad que proceden de otras provincias, para ello se selecciona una muestra de tamaño 2.100 de los que 630 lo cumplen.

Calcule un intervalo de confianza con un nivel del 97,5% para estimar la proporción poblacional de estudiantes de esa universidad procedentes de otras provincias.
En una nueva muestra que mantiene la misma proporción muestral, y con el mismo nivel de confianza, queremos que el error máximo cometido sea de 0,01. Halle su tamaño mínimo.

Resolución

Como 630 estudiantes de $𝑛 = 2.100$ provienen de otras provincias, la proporción muestral es: $𝑝 = 630 2.100 = 0, 3 .$ El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza $1 - 𝛼$ viene dado por: $𝐼 = (𝑝 - 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛, 𝑝 + 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛) .$ Como el nivel de confianza es del 97,5%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 975 = 0, 025 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 025 2 = 0, 9875 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 2, 24 .$ Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional de estudiantes que proceden de otras provincias con un nivel de confianza del 97,5% es: $𝐼 = (0, 3 - 2, 24 \cdot \sqrt 0, 3 \cdot (1 - 0, 3) 2.100, 0, 3 + 2, 24 \cdot \sqrt 0, 3 \cdot (1 - 0, 3) 2.100) = (0, 2776; 0, 3224) .$
El error máximo de estimación viene dado por: $𝐸 = 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛 = 2, 24 \cdot \sqrt 0, 3 \cdot (1 - 0, 3) 𝑛 = 2, 24 \cdot \sqrt 0, 21 \sqrt 𝑛 .$ Si se quiere que el error máximo sea de 0,01, entonces: $2, 24 \cdot \sqrt 0, 21 \sqrt 𝑛 = 0, 01 \Leftrightarrow \sqrt 𝑛 = 2, 24 \cdot \sqrt 0, 21 0, 01 \Leftrightarrow 𝑛 = 2, 242 \cdot 0, 21 0, 012 = 10.536, 96 .$ Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 10.537 estudiantes.

Ejercicio 7: Reserva 2 de 2022

Se desea estimar la proporción de jóvenes de una localidad que están suscritos a una determinada plataforma de televisión. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 100 jóvenes de los que 36 afirman estar suscritos a dicha plataforma.

Determine un intervalo de confianza, con un nivel del 92%, para la proporción de jóvenes que están suscritos a esta plataforma.
Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño muestral mínimo que se debería tomar si se quisiera que el error máximo fuera 0,025.

Resolución

Como 36 jóvenes de $𝑛 = 100$ están suscritos a la plataforma, la proporción muestral es: $𝑝 = 36100 = 0, 36 .$ El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza $1 - 𝛼$ viene dado por: $𝐼 = (𝑝 - 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛, 𝑝 + 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛) .$ Como el nivel de confianza es del 92%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 92 = 0, 08 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 08 2 = 0, 96 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 1, 75 .$ Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional de jóvenes suscritos a la plataforma con un nivel de confianza del 92% es: $𝐼 = (0, 36 - 1, 75 \cdot \sqrt 0, 36 \cdot (1 - 0, 36) 100, 0, 36 + 1, 75 \cdot \sqrt 0, 36 \cdot (1 - 0, 36) 100) = (0, 276; 0, 444) .$
El error máximo de estimación viene dado por: $𝐸 = 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛 = 1, 75 \cdot \sqrt 0, 36 \cdot (1 - 0, 36) 𝑛 = 0, 84 \sqrt 𝑛 .$ Si se quiere que el error máximo sea de 0,025, entonces: $0, 84 \sqrt 𝑛 = 0, 025 \Leftrightarrow \sqrt 𝑛 = 0, 84 0, 025 \Leftrightarrow 𝑛 = 0, 842 0, 0252 = 1.128, 96 .$ Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 1.129 jóvenes.

Ejercicio 7: Reserva 3 de 2022

Un taller desea estimar el grado de satisfacción de sus clientes. Para ello, a 120 clientes seleccionados al azar, les pregunta si volverían a solicitar sus servicios en caso de necesitarlo, de los que 96 respondieron que sí lo harian.

Determine, con un nivel de confianza del 95%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de clientes de este taller que volverían a solicitar sus servicios.
Mediante una nueva muestra queremos estimar la proporción de clientes de ese taller que volverían a solicitar sus servicios con un error máximo del 5% y un nivel de confianza del 97%. Suponiendo que se mantiene la proporción muestral, ¿qué tamaño mínimo debe tener dicha muestra?

Resolución

Como 96 clientes de $𝑛 = 120$ volverían a solicitar los servicios del taller, la proporción muestral es: $𝑝 = 96120 = 0, 8 .$ El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza $1 - 𝛼$ viene dado por: $𝐼 = (𝑝 - 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛, 𝑝 + 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛) .$ Como el nivel de confianza es del 95%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 95 = 0, 05 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 05 2 = 0, 975 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 1, 96 .$ Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de clientes que volverían a solicitar sus servicios con un nivel de confianza del 95% es: $𝐼 = (0, 8 - 1, 96 \cdot \sqrt 0, 8 \cdot (1 - 0, 8) 120, 0, 8 + 1, 96 \cdot \sqrt 0, 8 \cdot (1 - 0, 8) 120) \approx (0, 7284; 0, 8716) .$
Si el nivel de confianza es del 97%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 97 = 0, 03 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 03 2 = 0, 985 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 2, 17 .$ El error máximo de estimación viene dado por: $𝐸 = 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛 = 2, 17 \cdot \sqrt 0, 8 \cdot (1 - 0, 8) 𝑛 = 0, 868 \sqrt 𝑛 .$ Si se quiere el error máximo sea de 0,05, entonces: $0, 868 \sqrt 𝑛 = 0, 05 \Leftrightarrow \sqrt 𝑛 = 0, 868 0, 05 \Leftrightarrow 𝑛 = 0, 8682 0, 052 = 301, 3696 .$ Por tanto, el número mínimo de personas de la muestra debe ser 302.

Ejercicio 7: Reserva 4 de 2022

Se desea estimar la proporción de personas mayores de 45 años de una determinada ciudad que tienen presbicia (vista cansada). Para ello, se toma una muestra aleatoria de 540 personas mayores de 45 años, obteniéndose que 378 tienen presbicia.

Obtenga un intervalo, con un nivel de confianza del 97%, para estimar la proporción poblacional de personas mayores de 45 años con presbicia en dicha ciudad.
Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, ¿cuántas personas se deberán seleccionar como mínimo para que la proporción muestral difiera de la proporción poblacional a lo sumo en un 3%?

Resolución

Como 378 personas de $𝑛 = 540$ tienen vista cansada, la proporción muestral es: $𝑝 = 378540 = 0, 7 .$ El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza $1 - 𝛼$ viene dado por: $𝐼 = (𝑝 - 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛, 𝑝 + 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛) .$ Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 97 = 0, 03 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 03 2 = 0, 985 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 2, 17 .$ Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de personas mayores de 45 años con vista cansada en la ciudad con un nivel de confianza del 97% es: $𝐼 = (0, 7 - 2, 17 \cdot \sqrt 0, 7 \cdot (1 - 0, 7) 540, 0, 7 + 2, 17 \cdot \sqrt 0, 7 \cdot (1 - 0, 7) 540) \approx (0, 6572; 0, 7428) .$
El error máximo de estimación viene dado por: $𝐸 = 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛 = 2, 17 \cdot \sqrt 0, 7 \cdot (1 - 0, 7) 𝑛 = 2, 17 \cdot \sqrt 0, 21 𝑛 .$ Si se quiere el error no sea mayor que 0,03, entonces: $2, 17 \cdot \sqrt 0, 21 𝑛 = 0, 03 \Leftrightarrow \sqrt 0, 21 𝑛 = 0, 03 2, 17 \Leftrightarrow 0, 21 𝑛 = 0, 032 2, 172 \Leftrightarrow 𝑛 = 0, 21 \cdot 2, 172 0, 032 \approx 1.098, 7433 .$ Por tanto, el número mínimo de personas de la muestra debe ser 1.099.

Ejercicio 7: Julio de 2022

Una fábrica de tornillos quiere hacer un estudio sobre la proporción de tornillos que cumplen las especificaciones del fabricante. Para ello ha seleccionado una muestra aleatoria de 1.500 tornillos, resultando que 1.425 cumplen las especificaciones del fabricante.

Determine un intervalo de confianza para la proporción de tornillos que cumplen con las especificaciones del fabricante con un nivel de confianza del 97%.
Manteniendo la proporción muestral y el nivel de confianza del apartado anterior, ¿cuál tendría que ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea inferior al 1%?

Resolución

Como 1.425 tornillos de $𝑛 = 1.500$ han cumplido las especificaciones del fabricante, la proporción muestral es: $𝑝 = 1.425 1.500 = 0, 95 .$ El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza $1 - 𝛼$ viene dado por: $𝐼 = (𝑝 - 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛, 𝑝 + 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛) .$ Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 97 = 0, 03 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 03 2 = 0, 985 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 2, 17 .$ Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de tornillos que cumplen las especificaciones del fabricante con un nivel de confianza del 97% es: $𝐼 = (0, 95 - 2, 17 \cdot \sqrt 0, 95 \cdot (1 - 0, 95) 1.500, 0, 95 + 2, 17 \cdot \sqrt 0, 95 \cdot (1 - 0, 95) 1.500) \approx (0, 9378; 0, 9622) .$
El error máximo de estimación viene dado por: $𝐸 = 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛 = 2, 17 \cdot \sqrt 0, 95 \cdot (1 - 0, 95) 𝑛 = 2, 17 \cdot \sqrt 0, 0475 𝑛 .$ Si se quiere el error no sea mayor que 0,01, entonces: $2, 17 \cdot \sqrt 0, 0475 𝑛 = 0, 01 \Leftrightarrow \sqrt 0, 0475 𝑛 = 0, 01 2, 17 \Leftrightarrow 0, 0475 𝑛 = 0, 012 2, 172 \Leftrightarrow 𝑛 = 0, 0475 \cdot 2, 172 0, 012 = 2.236, 7275 .$ Por tanto, el número mínimo de tornillos de la muestra debe ser 2.237.

Ejercicio 8: Junio de 2021

Se desea estimar la proporción de individuos mayores de edad de una localidad que están en contra de la construcción de una central nuclear en su término municipal. Para ello, se pregunta a 100 individuos mayores de edad de esa localidad, elegidos de forma aleatoria, resultando que 45 de ellos rechazan la construcción de la central.

Calcule un intervalo de confianza al 92% para estimar la proporción real de individuos de esa localidad que están en contra de la construcción de la central.
Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño mínimo de la muestra que hay que tomar, para que al estimar la proporción de individuos de esa localidad que rechazan la construcción de la central, el error cometido sea inferior al 5%.

Resolución

Como 45 personas de $𝑛 = 100$ están en contra de la construcción de una central nuclear, la proporción muestral es: $𝑝 = 45100 = 0, 45 .$ El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza $1 - 𝛼$ viene dado por: $𝐼 = (𝑝 - 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛, 𝑝 + 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛) .$ Como el nivel de confianza es del 92%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 92 = 0, 08 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 08 2 = 0, 96 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 1, 75 .$ Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional de personas que están en contra de la construcción de una central nuclear con un nivel de confianza del 92% es: $𝐼 = (0, 45 - 1, 75 \cdot \sqrt 0, 45 \cdot (1 - 0, 45) 100, 0, 45 + 1, 75 \cdot \sqrt 0, 45 \cdot (1 - 0, 45) 100) \approx (0, 3629; 0, 5371) .$
El error máximo de estimación viene dado por: $𝐸 = 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛 = 1, 75 \cdot \sqrt 0, 45 \cdot (1 - 0, 45) 𝑛 = 1, 75 \cdot \sqrt 0, 2475 \sqrt 𝑛 .$ Si se quiere que el error cometido sea inferior a 0,05, entonces: $1, 75 \cdot \sqrt 0, 2475 \sqrt 𝑛 = 0, 05 \Leftrightarrow \sqrt 𝑛 = 1, 75 \cdot \sqrt 0, 2475 0, 05 \Leftrightarrow 𝑛 = 1, 752 \cdot 0, 2475 0, 052 = 303, 1875 .$ Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 304 personas.

Ejercicio 7: Reserva 1 de 2021

Para un estudio acerca del uso del transporte público en una ciudad, se selecciona una muestra aleatoria de 500 individuos, obteniéndose que 175 de ellos lo usan.

Halle un intervalo de confianza al 94% para estimar la proporción real de individuos que usan el transporte público en esa ciudad.
Manteniendo la proporción muestral, ¿cuántos individuos se deberían seleccionar como mínimo, para que, con un nivel de confianza del 97%, la proporción muestral difiera de la proporción real a lo sumo en un 2%?

Resolución

Como 175 individuos de $𝑛 = 500$ usan el transporte público, la proporción muestral es: $𝑝 = 175500 = 0, 35 .$ El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza $1 - 𝛼$ viene dado por: $𝐼 = (𝑝 - 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛, 𝑝 + 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛) .$ Como el nivel de confianza es del 94%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 94 = 0, 06 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 06 2 = 0, 97 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 1, 885 .$ Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de individuos que usan el transporte público con un nivel de confianza del 94% es: $𝐼 = (0, 35 - 1, 885 \cdot \sqrt 0, 35 \cdot (1 - 0, 35) 500, 0, 35 + 1, 885 \cdot \sqrt 0, 35 \cdot (1 - 0, 35) 500) \approx (0, 3098; 0, 3902) .$
Si el nivel de confianza es del 97%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 97 = 0, 03 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 03 2 = 0, 985 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 2, 17 .$ El error máximo de estimación viene dado por: $𝐸 = 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛 = 2, 17 \cdot \sqrt 0, 35 \cdot (1 - 0, 35) 𝑛 = 2, 17 \cdot \sqrt 0, 2275 𝑛 .$ Si se quiere el error sea inferior a 0,02, entonces: $2, 17 \cdot \sqrt 0, 2275 𝑛 = 0, 02 \Leftrightarrow \sqrt 0, 2275 𝑛 = 0, 02 2, 17 \Leftrightarrow 0, 2275 𝑛 = 0, 022 2, 172 \Leftrightarrow 𝑛 = 0, 2275 \cdot 2, 172 0, 022 \approx 2.678, 1869 .$ Por tanto, el número mínimo de individuos de la muestra debe ser 2.679.

Ejercicio 7: Reserva 2 de 2021

En una población constituida por los números naturales del 1 al 9, ¿cuántas muestras de tamaño 2 se pueden formar por muestreo aleatorio simple? Si se elige al azar una de esas muestras, ¿cuál es la probabilidad de que el valor medio de los dos números de esa muestra sea 5?
Para estimar la proporción de andaluces contagiados por una enfermedad infecciosa en un momento determinado, se ha tomado una muestra de 10.000 personas, resultando que 500 de ellas estaban infectadas.
1. Con ese dato, establezca un intervalo, al 97% de confianza, para la proporción real de infectados en la población andaluza.
2. A la vista del intervalo obtenido, razone si se podría aceptar que el 6% de la población andaluza estaba infectada.
3. Se toma una nueva muestra de mayor tamaño y resulta que hay la misma proporción de positivos en la nueva muestra. Con estos nuevos datos, razone si el nuevo intervalo al 97% de confianza contiene al intervalo anterior o está contenido en él.

Resolución

Con los números naturales del 1 al 9 se pueden formar $9 \cdot 9 = 81$ muestras de tamaño 2. La media de los números es 5 en las muestras $(1, 9)$ , $(2, 8)$ , $(3, 7)$ , $(4, 6)$ , $(5, 5)$ , $(6, 4)$ , $(7, 3)$ , $(8, 2)$ y $(9, 1) .$ Por tanto la probabilidad es: $𝑝 = 981 = 19 .$
1. Como 500 personas de $𝑛 = 10.000$ estaban infectadas, la proporción muestral es: $𝑝 = 500 10.000 = 0, 05 .$ El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza $1 - 𝛼$ viene dado por: $𝐼 = (𝑝 - 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛, 𝑝 + 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛) .$ Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 97 = 0, 03 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 03 2 = 0, 985 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 2, 17 .$ Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de infectados con un nivel de confianza del 97% es: $𝐼 = (0, 05 - 2, 17 \cdot \sqrt 0, 05 \cdot (1 - 0, 05) 10.000, 0, 05 + 2, 17 \cdot \sqrt 0, 05 \cdot (1 - 0, 05) 10.000) \approx (0, 0453; 0, 0547) .$
2. Como 0,06 no pertenece al intervalo de confianza, no puede admitirse como proporción poblacional.
3. La amplitud del intervalo disminuye al aumentar el tamaño de la muestra, porque el error máximo cometido se reduce. Por tanto, el nuevo intervalo estará contenido en el anterior.

Ejercicio 8: Reserva 3 de 2021

Se quiere estimar la proporción de imprentas de una región que incluyen el uso de celulosa reciclada en los libros que imprimen. Para ello, se ha tomado una muestra aleatoria de 50 imprentas de esa región y en ella hay 12 que usan dicho material.

Obtenga un intervalo de confianza al 95%, para estimar la proporción real de imprentas que usan celulosa reciclada.
Determine el tamaño mínimo de la muestra de imprentas de esa región que se deben seleccionar para que, manteniendo el mismo nivel de confianza y proporción muestral anteriores, la amplitud del intervalo sea como máximo de 0,2.

Resolución

Como 12 imprentas de $𝑛 = 50$ usan celulosa reciclada, la proporción muestral es: $𝑝 = 1250 = 0, 24 .$ El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza $1 - 𝛼$ viene dado por: $𝐼 = (𝑝 - 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛, 𝑝 + 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛) .$ Como el nivel de confianza es del 95%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 95 = 0, 05 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 05 2 = 0, 975 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 1, 96 .$ Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de imprentas que usan celulosa reciclada con un nivel de confianza del 95% es: $𝐼 = (0, 24 - 1, 96 \cdot \sqrt 0, 24 \cdot (1 - 0, 24) 50, 0, 24 + 1, 96 \cdot \sqrt 0, 24 \cdot (1 - 0, 24) 50) \approx (0, 1216; 0, 3584) .$
El error máximo de estimación viene dado por: $𝐸 = 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛 = 1, 96 \cdot \sqrt 0, 24 \cdot (1 - 0, 24) 𝑛 = 1, 96 \cdot \sqrt 0, 1824 𝑛 .$ Si se quiere que el intervalo de confianza tenga una amplitud máxima de 0,2, $𝐸 = 0, 2 2 = 0, 1 .$ Así que: $1, 96 \cdot \sqrt 0, 1824 𝑛 = 0, 1 \Leftrightarrow \sqrt 0, 1824 𝑛 = 0, 1 1, 96 \Leftrightarrow 0, 1824 𝑛 = 0, 12 1, 962 \Leftrightarrow 𝑛 = 0, 1824 \cdot 1, 962 0, 12 \approx 70, 0708 .$ Por tanto, el número mínimo de imprentas de la muestra debe ser 71.

Ejercicio 7: Reserva 4 de 2021

Se quiere estudiar la proporción de ciudadanos enfermos de COVID-19 en una determinada población. Para ello, se elige una muestra al azar de 1.000 ciudadanos, revelándose que el 15% de ellos están enfermos.

Calcule un intervalo de confianza al 95%, para estimar la proporción real de enfermos de COVID-19 en dicha población.
Determine el tamaño muestral mínimo para que, con el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral anteriores, el error que se cometa al estimar la proporción de ciudadanos enfermos de COVID-19 en esa población sea inferior al 1%.

Ejercicio 7: Julio de 2021

Para estimar la proporción de residentes británicos en España que están a favor de la salida del Reino Unido de la Unión Europea (UE), se toma una muestra aleatoria de 250 de estos residentes, obteniéndose que 115 estaban a favor de dejar de pertenecer a la UE.

Calcule un intervalo de confianza al 99,5%, para estimar la proporción real de esos residentes que está a favor de la salida del Reino Unido de la UE.
Manteniendo la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño mínimo necesario de la muestra, para estimar la proporción de residentes británicos en España que están a favor de la salida del Reino Unido de la UE, con un error inferior al 5%.

Resolución

Como 115 residentes de $𝑛 = 250$ están a favor de la salida de Reino Unido de la Unión Europea, la proporción muestral es: $𝑝 = 115250 = 0, 46 .$ El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza $1 - 𝛼$ viene dado por: $𝐼 = (𝑝 - 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛, 𝑝 + 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛) .$ Como el nivel de confianza es del 99,5%, entonces: $𝛼 = 1 - 0, 995 = 0, 005 \Rightarrow 1 - 𝛼 2 = 1 - 0, 005 2 = 0, 9975 \Rightarrow 𝑧 𝛼 / 2 = 2, 81 .$ Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de residentes que están a favor de la salida de Reino Unido de la Unión Europea con un nivel de confianza del 99,5% es: $𝐼 = (0, 46 - 2, 81 \cdot \sqrt 0, 46 \cdot (1 - 0, 46) 250, 0, 46 + 2, 81 \cdot \sqrt 0, 46 \cdot (1 - 0, 46) 250) \approx (0, 3714; 0, 5486) .$
El error máximo de estimación viene dado por: $𝐸 = 𝑧 𝛼 / 2 \cdot \sqrt 𝑝 (1 - 𝑝) 𝑛 = 2, 81 \cdot \sqrt 0, 46 \cdot (1 - 0, 46) 𝑛 = 2, 81 \cdot \sqrt 0, 2484 𝑛 .$ Si se quiere el error sea inferior a 0,05, entonces: $2, 81 \cdot \sqrt 0, 2484 𝑛 = 0, 05 \Leftrightarrow \sqrt 0, 2484 𝑛 = 0, 05 2, 81 \Leftrightarrow 0, 2484 𝑛 = 0, 052 2, 812 \Leftrightarrow 𝑛 = 0, 2484 \cdot 2, 812 0, 052 \approx 784, 5565 .$ Por tanto, el número mínimo de personas de la muestra debe ser 785.

Ejercicio 8: Reserva 3 de 2020

Una tienda de ropa quiere estudiar la aceptación de un nuevo sistema de pago a través del teléfono móvil. Para ello realiza una encuesta entre 200 de sus clientes elegidos al azar, resultando que 150 de ellos sí estarían dispuestos a usar el nuevo sistema de pago.

Determine un intervalo de confianza al 97% para estimar la proporción de clientes de esa tienda que estarían dispuestos a usar el nuevo sistema de pago.
Mediante una nueva encuesta se quiere estimar la proporción de clientes de esa tienda que usarían el nuevo sistema de pago, con un error máximo del 3% y un nivel de confianza del 94%. Suponiendo que se mantiene la proporción muestral del apartado anterior, ¿a cuántos clientes como mínimo habría que realizar la encuesta?

Ejercicio 7: Reserva 4 de 2020

Tomada al azar una muestra de 600 alumnos de una universidad española, se encontró que $23$ de los mismos podían expresarse en inglés con fluidez.

Calcule un intervalo de confianza al 98% para estimar la proporción de alumnos de esa universidad que pueden expresarse en inglés con fluidez. ¿Se podría admitir a ese nivel de confianza que la proporción de alumnos de esa universidad que pueden expresarse en inglés con fluidez es $1320$ ?
Teniendo en cuenta el intervalo anterior, ¿qué error máximo se cometería en dicha estimación?
Si se mantienen la misma proporción muestral y la misma confianza, ¿cuántos alumnos como mínimo habría de tener una muestra para que el error de estimación sea inferior al 2%?

Ejercicio A4: Junio de 2019

Se desea estimar la proporción de individuos que piensan votar a un cierto partido político en una determinada ciudad. Para ello se toma una muestra aleatoria de 300 individuos de la ciudad, resultando que 135 de ellos piensan votar a ese partido.

Calcule un intervalo de confianza al 97% para la proporción de individuos que piensan votar a ese partido en dicha ciudad.
Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño mínimo de la muestra para estimar la proporción con un error inferior al 2%.

Ejercicio B4: Reserva 1 de 2019

La Consejería de Educación elige una muestra de 5.000 estudiantes de 1° de Bachillerato de Ciencias Sociales y los encuesta para conocer la opinión que tienen sobre la elección de cierta materia entre las optativas para cursar 2° de Bachillerato. El resultado de la encuesta revela que 2.250 estudiantes piensan elegir dicha materia optativa.

Halle un intervalo de confianza al 97,5% para estimar la proporción de estudiantes que piensan elegir esa materia optativa.
Si en otra muestra la proporción de estudiantes que piensa elegir esa materia es de 0,5 y el error cometido en la estimación ha sido inferior a 0,03 con un nivel de confianza del 92,5%, calcule el tamaño muestral mínimo de esa muestra.

Ejercicio A4: Reserva 2 de 2019

A la salida de una heladería se realizó una encuesta para comprobar si los clientes habían probado un nuevo sabor en promocion. Se observo que de 125 personas encuestadas, 20 no lo habian probado y el resto sí.

Determine, con un nivel de confianza del 97%, un intervalo para estimar la proporción de clientes de esa heladería que no habían probado el nuevo helado.
Mediante una nueva muestra se desea estimar la proporción de clientes de esa heladería que no habían probado el nuevo helado, con un error inferior al 5% y un nivel de confianza del 94%. Suponiendo que se mantiene la proporción muestral del apartado anterior, ¿qué tamaño mínimo debe tener dicha muestra?

Ejercicio A4: Reserva 3 de 2019

Para estimar la proporción de empleados de una empresa que usan lentillas, se toma una muestra al azar de 60 empleados de la misma y se observa que 16 usan lentillas.

Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo para estimar la proporción.
Con el mismo nivel de confianza del apartado anterior y manteniendo la misma proporción muestral, determine el tamaño mínimo de la muestra para que el error cometido en la estimación de la proporción sea inferior a 0,1.

Ejercicio B4: Reserva 4 de 2019

En una muestra de 320 personas jubiladas elegidas al azar en un distrito de una ciudad, resultó que 96 de ellas realizaban alguna actividad física.

Construya un intervalo de confianza al 95% para la proporción de personas jubiladas que realizan alguna actividad física en ese distrito.
Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral, halle el tamaño mínimo de la muestra para que el error cometido sea inferior a 0,1 con un nivel de confianza del 98%.

Ejercicio B4: Septiembre de 2019

Se quiere estimar la proporción de enfermos hospitalizados por causas relacionadas con el consumo de tabaco. Para ello se escoge aleatoriamente una muestra de 50 expedientes sanitarios de enfermos hospitalizados, resultando que el 22% de ellos revelan que la enfermedad fue causada por el tabaco.

Para un nivel de confianza del 92%, calcule un intervalo de confianza para la proporción de enfermos hospitalizados por causas relacionadas con el consumo de tabaco.
Determine cuántos expedientes hay que elegir como mínimo para que, con el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral anteriores, el error que se cometa al estimar la proporción de los enfermos hospitalizados por causas debidas al tabaco sea inferior al 3%.

Ejercicio B4: Junio de 2018

En un estudio sobre la utilización de nuevas tecnologías entre los estudiantes de Bachillerato, se ha realizado una encuesta a 500 estudiantes elegidos mediante muestreo aleatorio simple, resultando que 380 de ellos son usuarios de una determinada red social.

Calcule un intervalo de confianza al 97% para la proporción de estudiantes que son usuarios de esa red social.
Suponiendo que se mantiene la proporción muestral, determine el número mínimo de estudiantes a los que sería preciso entrevistar para que, con un nivel de confianza del 96%, el error cometido al estimar la proporción de usuarios de la citada red social no supere el 2%.

Ejercicio B4: Reserva 1 de 2018

Se quiere estimar la proporción de estudiantes que asiste de forma regular al cine. Para ello, se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 300 y se obtiene que de ellos, 210 acuden con regularidad al cine.

Calcule un intervalo de confianza al 92% para estimar la proporción de estudiantes que va al cine regularmente. ¿Qué error máximo se cometería si se diera como estimación de dicha proporción 0,7?
Con el mismo nivel de confianza, siendo la proporción muestral la misma, si queremos que el error sea menor que 0,02, ¿cuántos alumnos como mínimo hay que elegir en la muestra?

Ejercicio B4: Reserva 2 de 2018

Se desea estimar el porcentaje de jóvenes que utilizan una determinada red social. Para ello se escoge una muestra aleatoria simple de 500 jóvenes y de ellos 410 afirman utilizarla.

Calcule el intervalo de confianza para la proporción de jóvenes que usa esa red social con un nivel de confianza del 95%.
Manteniendo la proporción muestral, determine el tamaño mínimo de la muestra necesario para que, con un nivel de confianza del 97%, el error máximo que se cometa al estimar la proporción de esa población sea inferior a 0,04.

Ejercicio B4: Reserva 3 de 2018

La Delegación de Tráfico de una ciudad desea estudiar la influencia del uso del teléfono móvil en los accidentes de tráfico. Elegida una muestra aleatoria simple de 250 accidentes registrados el año pasado, se observó que 90 de ellos se produjeron por distracciones debidas al uso del móvil.

Determine un intervalo de confianza al 97% para estimar la proporción de accidentes de tráfico debidos al uso del móvil mientras se conduce.
Usando la estimación anterior, calcule el tamaño mínimo que debe tener una muestra para estimar la proporción de accidentes con un error máximo del 5% y un nivel de confianza del 99%.

Ejercicio B4: Reserva 4 de 2018

Una cadena de supermercados desea estimar la proporción de clientes que adquiere un determinado producto. Para ello ha tomado una muestra aleatoria simple de 1.000 clientes y ha observado que 300 compraban ese producto.

Halle, con un nivel de confianza del 95%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de clientes del supermercado que compra ese producto.
Si en otra muestra la proporción de clientes que compra ese producto es de 0,25 y el error cometido en la estimación ha sido inferior a 0,03, con un nivel de confianza del 92,5%, calcule el tamaño mínimo de la muestra.

Ejercicio A4: Septiembre de 2018

En una zona escolar formada por tres centros de secundaria, se desea estimar la proporción del alumnado que lleva teléfono móvil al instituto. Se toma una muestra aleatoria simple de 121 estudiantes, de los cuales 74 lo llevan.

Determine un intervalo de confianza al 97% para la proporción de este alumnado que lleva el móvil al instituto. ¿Entre qué dos porcentajes varía esa proporción a ese nivel de confianza?
Si con la misma muestra se disminuye el nivel de confianza, ¿qué efecto tendrá esta disminución en el error de estimación?
Si en la misma zona se elige mediante muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional otra muestra de 121 estudiantes, considerando que el segundo centro escolar tiene el doble de alumnos que el primero y el tercero tiene el triple que el primero, ¿cuántos alumnos de cada centro se deben tomar para constituir la muestra?

Ejercicio A4: Reserva 1 de 2017

Se desea estimar la proporción de jóvenes que ven una serie de televisión. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 100 jóvenes, de los que 36 ven la serie.

Determine un intervalo de confianza, al 96%, para la proporción de jóvenes que ven la serie.
Con el mismo nivel de confianza, si queremos que el error máximo sea inferior a 0,03, ¿qué tamaño muestral mínimo debemos tomar?

Ejercicio A4: Reserva 2 de 2017

Se desea estimar la proporción de bares y restaurantes que en el camino de Santiago ofertan el menú del peregrino con un precio máximo de 12€. Para ello se eligen aleatoriamente 120 establecimientos que ofrecen este menú, de los que 80 tienen un precio máximo de 12€.

Con un nivel de confianza del 92%, obtenga el intervalo de confianza para proporción de establecimientos que tienen un precio máximo de 12€.
Si aumentamos el nivel de confianza al 99%, ¿qué efecto se produce en el error de estimación?
¿Cuántos establecimientos, como mínimo, deberíamos seleccionar para que, con un nivel de confianza del 99%, el error de la estimación no sea superior a 0,04?

Ejercicio A4: Reserva 3 de 2017

Se desea estimar el porcentaje de alumnos de un determinado instituto que lleva gafas. Para ello se eligen 300 alumnos, de los que 210 llevan gafas.

Calcule el intervalo de confianza para la proporción de alumnos que lleva gafas, con un nivel de confianza del 97%.
Si por estudios en otros institutos se sabe que la proporción de alumnos que lleva gafas es del 70%, determine el tamaño mínimo de la muestra necesario para que, con una confianza del 97%, el error máximo que se cometa sea inferior a 0,06.

Ejercicio B4: Septiembre de 2017

En una muestra, elegida al azar, de 100 estudiantes de una Universidad, se ha observado que 25 desayunan en la cafetería del campus.

Determine, con un nivel de confianza del 95%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de estudiantes de esa Universidad que desayunan en la cafetería.
Si la proporción de estudiantes de esa Universidad que desayunan en la cafetería del campus en una muestra aleatoria es de 0,2, y el error cometido en la estimación ha sido inferior a 0,03, con un nivel de confianza del 92,5% calcule el tamaño mínimo de la muestra.

Ejercicio A4: Septiembre de 2016

Una cadena de hipermercados decide estudiar la proporción de artículos de un determinado tipo que tienen defectos en su envoltorio. Para ello, selecciona aleatoriamente 2.000 artículos de este tipo entre sus hipermercados y encuentra que 19 de ellos tienen defectos en su envoltorio.

Determine un intervalo, al 95% de confianza, para la proporción real de artículos con este tipo de defecto e interprete el resultado obtenido.
¿Cuántos artículos, como mínimo, deberá seleccionar para que, con un nivel de confianza del 99%, la proporción muestral difiera de la proporción real a lo sumo en un 1%?

Ejercicio B4: Reserva 2 de 2015

Se ha lanzado un dado 400 veces, y en 72 de ellas ha salido un tres.

Calcule un intervalo de confianza, al 99,2%, para la proporción de veces que se obtiene un tres.
Calcule el error máximo admisible cometido con ese intervalo.

Ejercicio A4: Reserva 1 de 2014

Para estimar la proporción de balances contables incorrectos de un banco, se seleccionan aleatoriamente 200 balances, y se encuentra que 19 de ellos son incorrectos.

Obtenga un intervalo de confianza, al 95%, para la proporción de balances incorrectos.
¿Cuántos balances se deberán seleccionar para que, con un nivel de confianza del 99%, el error de la estimación no sea superior a 0,02?

Ejercicio B4: Reserva 4 de 2014

Para estimar la proporción de habitantes que es favorable a la construcción de un centro comercial en un municipio, se ha obtenido el intervalo de confianza $(0, 31; 0, 39)$ al 94%.

¿Cuál ha sido el valor de la proporción muestral?
Si la muestra aleatoria elegida de esa población para el estudio fue de 500 personas, ¿cuántas de ellas deseaban la construcción del centro comercial?
Se desea repetir el estudio para obtener un intervalo de confianza con un error máximo de 0,03 y el mismo nivel de confianza. ¿Cuántas personas, como mínimo, debe tener la nueva muestra aleatoria?

Ejercicio A4: Junio de 2013

Se quiere estimar la proporción de hembras entre los peces de una piscifactoría; para ello se ha tomado una muestra aleatoria de 500 peces, y en ella hay 175 hembras.

Calcule un intervalo de confianza para la proporción de hembras en esta población de peces, con un nivel de confianza del 94%.
A la vista del resultado del muestreo se quiere repetir la experiencia para conseguir un intervalo de confianza con el mismo nivel y un error máximo de 0,02, ¿cuál es el tamaño mínimo que debe tener la nueva muestra?

Ejercicio B4: Reserva 1 de 2013

En una población próxima a un puerto deportivo se quiere estimar la proporción de habitantes que navegan al menos una vez a la semana. Se toma una muestra, al azar, de 400 habitantes de la población, de los que 160 afirman navegar al menos una vez en semana.

Halle el intervalo de confianza del 90% para la proporción de habitantes que navegan al menos una vez en semana.
A la vista del resultado, se pretende repetir la experiencia para conseguir una cota del error de 0,1 con el mismo nivel de confianza del apartado anterior. ¿Cuántos individuos debe tener al menos la muestra?

Ejercicio A4: Reserva 2 de 2013

Queremos estudiar la proporción de personas de una población que acceden a internet a través de teléfono móvil. Para ello hacemos una encuesta a una muestra aleatoria de 400 personas de esa poblacion, y obtenemos que 240 de ellas acceden a internet a traves del móvil.

Determine un intervalo de confianza, al 98,5%, para la proporción de personas de esa población que acceden a internet a través del teléfono móvil.
Razone el efecto que tendría sobre la amplitud del intervalo de confianza el aumento o disminución del tamaño de la muestra, suponiendo que se mantuvieran la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza.

Ejercicio B4: Reserva 4 de 2013

Se considera la población ${2, 4, 6} .$ Escriba todas las posibles muestras de tamaño dos elegidas mediante muestreo aleatorio simple y determine la desviación típica de las medias muestrales.
En una ciudad se seleccionó una muestra aleatoria de 500 alumnos de Bachillerato a los que se les preguntó si poseían una determinada marca de teléfono móvil, resultando que 80 de ellos contestaron afirmativamente. Obtenga un intervalo de confianza, al 92%, para estimar la proporción de estudiantes de Bachillerato que poseen esa marca de teléfono móvil.

Ejercicio A4: Junio de 2012

De una muestra aleatoria de 120 alumnos presentados a las Pruebas de Acceso, sólo 15 han resultado no aptos.

Calcule un intervalo de confianza, al 99%, para estimar la proporción de alumnos que han resultado aptos en dicha prueba.
Manteniendo la misma confianza, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para estimar la proporción de alumnos aptos, cometiendo un error inferior al 5%?

Ejercicio A4: Junio de 2010

Una empresa consultora quiere estudiar algunos aspectos de la vida laboral de los trabajadores de una ciudad. Para ello selecciona una muestra aleatoria de 500 trabajadores, de los que 118 afirman residir en otra ciudad. Con un nivel de confianza del 93%,

Calcule un intervalo de confianza para la proporción de trabajadores que residen fuera.
Calcule el error cometido en el intervalo anterior.