Matemáticas de Selectividad

Sea el siguiente sistema de inecuaciones: ⎧{ { { {⎨{ { { {⎩𝑥+2𝑦≤11,𝑥≥2𝑦−5,3𝑥+𝑦≤18,𝑥≥0,𝑦≥0.

1. Represente gráficamente la región que definen y calcule sus vértices.
2. Halle los puntos de esa región en los que la función 𝐹(𝑥,𝑦) =2𝑥 +3𝑦 alcanza los valores máximo y mínimo y calcule dichos valores.
3. Justifique si el punto (5,5;2) pertenece a la región factible.

El consumo de cereales en una ciudad, en miles de toneladas, viene dado por la función 𝑐(𝑡) =𝑡3 −15𝑡2 +63𝑡 +10, para 0 ≤𝑡 ≤12, donde 𝑡 representa el tiempo.

1. ¿En qué instante se alcanza el máximo consumo de cereales y cuántas toneladas se consumen en ese momento?
2. ¿En qué intervalo de tiempo decrece el consumo de cereales?
3. Represente gráficamente la función.

En una localidad, el 25% de los habitantes asiste periódicamente a la consulta del dentista, el 10% se hace una analítica y el 8% hace ambas cosas.

1. Razone si los sucesos "Asistir a la consulta del dentista" y "Hacerse una analítica" son independientes.
2. ¿Qué porcentaje de habitantes ni se hace una analítica ni va al dentista?
3. Si elegimos un habitante al azar de esa localidad de entre los que no van al dentista, ¿cuál es la probabilidad de que se haga una analítica?

En una zona escolar formada por tres centros de secundaria, se desea estimar la proporción del alumnado que lleva teléfono móvil al instituto. Se toma una muestra aleatoria simple de 121 estudiantes, de los cuales 74 lo llevan.

1. Determine un intervalo de confianza al 97% para la proporción de este alumnado que lleva el móvil al instituto. ¿Entre qué dos porcentajes varía esa proporción a ese nivel de confianza?
2. Si con la misma muestra se disminuye el nivel de confianza, ¿qué efecto tendrá esta disminución en el error de estimación?
3. Si en la misma zona se elige mediante muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional otra muestra de 121 estudiantes, considerando que el segundo centro escolar tiene el doble de alumnos que el primero y el tercero tiene el triple que el primero, ¿cuántos alumnos de cada centro se deben tomar para constituir la muestra?

Sean las matrices 𝐴=(101−1)y𝐵=(10−1210).

1. Calcule 𝐴2018 +𝐴2019.
2. Resuelva la ecuación matricial 𝑋𝐴 +𝐵𝐵𝑡 =2𝐴.

El beneficio, en miles de euros, que ha obtenido una almazara a lo largo de 50 años viene dado por la expresión 𝐵(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩−0,04𝑡2+2,4𝑡,si 0≤𝑡<40,40𝑡−320𝑡,si 40≤𝑡≤50, donde 𝑡 es el tiempo transcurrido.

1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función 𝐵(𝑡) en el intervalo [0,50].
2. Estudie la monotonía de la función 𝐵(𝑡) y determine en qué momento fueron mayores los beneficios de la almazara, así como el beneficio máximo.
3. Represente la gráfica de la función y explique la evolución del beneficio.

Un hotel dispone de tres lavadoras industriales 𝐿1, 𝐿2 y 𝐿3 para el servicio de lavandería. El 50% e los lavados los realiza 𝐿1, el 30% los hace 𝐿2 y el resto 𝐿3. La lavadora 𝐿1 produce un 5% de lavados defectuosos, 𝐿2 produce un 15% y 𝐿3 un 20%. Se elige al azar un lavado del hotel.

1. Calcule la probabilidad de que no sea defectuoso.
2. Calcule la probabilidad de que el lavado haya sido realizado por 𝐿1, sabiendo que ha sido defectuoso.

La edad de los empleados de una empresa sigue una ley Normal de varianza 64 y media desconocida. Se toma una muestra aleatoria simple de 16 empleados de dicha empresa, obteniéndose las siguientes edades 30423845526021263344284937413840.

1. Obtenga un intervalo de confianza para estimar la edad media de los empleados, con un nivel de confianza del 97%.
2. Calcule el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar para estimar la edad media de los empleados, con un error inferior a 2 años y un nivel de confianza del 99%.