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Ejercicio 1: Reserva 4 de 2024

Se consideran las matrices 𝐴=(0110),𝐵=(3220)y𝐶=(1011).

  1. Determine las matrices 𝑋 e 𝑌 que satisfacen simultáneamente las ecuaciones 2𝑋−𝑌=4𝐴,𝑋+𝑌=𝐵.
  2. Calcule la matriz 𝐶2024.
  3. Si 𝐷 es una matriz de dimensión 2 ×3, razone si las siguientes operaciones se pueden realizar y, en aquellos casos en los que sea posible, indique la dimensión de la matriz resultante: 𝐴𝑡𝐵+𝐷𝐷𝑡,𝐷𝐵𝑡+𝐴,𝐷𝑡𝐴𝑡+𝐷.

Resolución
  1. Resolvemos el sistema por sustitución. Despejando en la segunda ecuación, 𝑋+𝑌=𝐵⇔𝑌=𝐵−𝑋. Sustituyendo y despejando en la primera ecuación, obtenemos que: 2𝑋−(𝐵−𝑋)=4𝐴⇔3𝑋=4𝐴+𝐵⇔𝑋=13(4𝐴+𝐵)=13[(0440)+(3220)]=13(3660)=(1220). Sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos que: 𝑌=𝐵−𝑋=(3220)−(1220)=(2000).
  2. Calculamos las primeras potencias de 𝐶. 𝐶2=𝐶⋅𝐶=(1011)(1011)=(1021),𝐶3=𝐶2⋅𝐶=(1021)(1011)=(1031),𝐶4=𝐶3⋅𝐶=(1031)(1011)=(1041). Por tanto, 𝐶2024=(1020241).
    • 𝐴𝑡 y 𝐵 son matrices cuadradas de orden 2, así que se pueden multiplicar y 𝐴𝑡𝐵 es también una matriz cuadrada de orden 2. Por otro lado, como 𝐷 es de dimensión 2 ×3 y 𝐷𝑡 es 3 ×2, se pueden multiplicar y 𝐷𝐷𝑡 es una matriz cuadrada de orden 2. Por tanto, la suma se puede realizar y da como resultado una matriz cuadrada de orden 2.
    • 𝐷 es de dimensión 2 ×3 y 𝐵 es 2 ×2, así que el producto no se puede realizar.
    • 𝐷𝑡 es dimensión 3 ×2 y 𝐴𝑡 es 2 ×2, así que se pueden multiplicar y 𝐷𝑡𝐴𝑡 tiene dimensión 3 ×2. Como 𝐷 es de dimensión 2 ×3, la suma no se puede realizar.

Ejercicio 1: Reserva 1 de 2022

Considere la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−3−𝑎−1−1𝑎𝑎+11−3−𝑎⎞⎟ ⎟ ⎟⎠, donde 𝑎 es un número real. Determine de manera justificada:

  1. Los valores de 𝑎 para los que la matriz 𝐴 tiene inversa.
  2. Las matrices 𝐴2, 𝐴3 y 𝐴2022 para 𝑎 =4.
  3. La matriz 𝑋 que verifica que 𝑋𝐴 =𝐼3 para 𝑎 =3.

Resolución
  1. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣2−3−𝑎−1−1𝑎𝑎+11−3−𝑎∣=−2𝑎2−3(𝑎+1)−3(𝑎+1)+𝑎(𝑎+1)+3𝑎+6(𝑎+1)=−𝑎2+4𝑎. La inversa de 𝐴 existe si y solo si su determinante es no nulo. |𝐴|=0⇔−𝑎2+4𝑎=0⇔𝑎(−𝑎+4)=0⇔{𝑎=0,−𝑎+4=0⇔𝑎=4. Por tanto, la matriz 𝐴 tiene inversa si 𝑎 ≠0 y 𝑎 ≠4.
  2. Si 𝑎 =4, 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−3−5−1451−3−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos la matriz 𝐴2. 𝐴2=𝐴⋅𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−3−5−1451−3−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−3−5−1451−3−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−3−5−1451−3−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=𝐴. Como 𝐴2 =𝐴, 𝐴3=𝐴2⋅𝐴=𝐴⋅𝐴=𝐴. En general, 𝐴𝑛 =𝐴. Por tanto, 𝐴2022=𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−3−5−1451−3−4⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
  3. Si 𝑎 =3, por el primer apartado 𝐴 es invertible y det(𝐴) =3. Resolvemos la ecuación matricial. 𝑋𝐴=𝐼3⇔𝑋=𝐴−1. Para hallar la inversa de 𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3103−230−43⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3301−2−4033⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=𝐴−1=13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3301−2−4033⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 2: Reserva 1 de 2021

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101010101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝10211−1210⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−31⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcule 𝐴2, 𝐴3, 𝐴4 y deduzca la expresión de 𝐴𝑛, con 𝑛 un número natural.
  2. Razone si existe la inversa de la matriz 𝐵.
  3. Razone si la ecuación matricial 𝐵𝑋 =𝐶 tiene solución y resuélvala en caso de que sea posible.

Resolución
  1. Calculamos las primeras potencias de 𝐴. 𝐴2=𝐴⋅𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101010101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101010101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝202010202⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐴3=𝐴2⋅𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝202010202⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101010101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝404010404⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐴4=𝐴3⋅𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝404010404⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101010101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝808010808⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝐴𝑛=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝2𝑛−102𝑛−10102𝑛−102𝑛−1⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠.
  2. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐵. |𝐵|=∣10211−1210∣=−1. Como det(𝐵) ≠0, la matriz 𝐵 es invertible.
  3. Por el apartado anterior, 𝐵 es invertible con det(𝐵) = −1. Despejamos la ecuación matricial. 𝐵𝑋=𝐶⇔𝑋=𝐵−1𝐶. Para hallar la inversa de 𝐵, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐵)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−2−12−4−1−231⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa de la forma: 𝐵−1=1|𝐵|Adj⁡(𝐵)𝑡=−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝12−2−2−43−1−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1−2224−311−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=𝐵−1𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1−2224−311−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−31⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝7−13−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 2: Reserva 2 de 2021

Se consideran las matrices 𝐴=(𝑎468),𝐵=(2233)y𝐶=(12).

  1. Calcule el valor del parámetro 𝑎 para que la matriz 𝐴 no tenga inversa.
  2. Para 𝑎 =3, resuelva la ecuación matricial 𝑋𝐴 −𝑋𝐵 =𝐶.
  3. Para 𝑎 =3, compruebe que 𝐴2 =11𝐴 y exprese 𝐴8 en función de la matriz 𝐴.

Resolución
  1. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣𝑎468∣=8𝑎−24. La inversa de 𝐴 existe si y solo si su determinante es no nulo. Observamos que: |𝐴|=0⇔8𝑎−24=0⇔𝑎=3. Por tanto, 𝐴 no tiene inversa cuando 𝑎 =3.
  2. Despejamos la ecuación matricial. 𝑋𝐴−𝑋𝐵=𝐶⇔𝑋(𝐴−𝐵)=𝐶⇔𝑋=𝐶(𝐴−𝐵)−1. En primer lugar, calculamos la matriz 𝐴 −𝐵 y hallamos su determinante. 𝐴−𝐵=(3468)−(2233)=(1235)⇒|𝐴−𝐵|=∣1235∣=−1. Como det(𝐴 −𝐵) ≠0, la matriz 𝐴 −𝐵 es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴−𝐵)=(5−3−21). Calculamos su inversa de la forma: (𝐴−𝐵)−1=1|𝐴−𝐵|Adj⁡(𝐴−𝐵)𝑡=−(5−2−31)=(−523−1). Por tanto, 𝑋=𝐶(𝐴−𝐵)−1=(12)(−523−1)=(10).
  3. Calculamos la matriz 𝐴2: 𝐴2=𝐴⋅𝐴=(3468)(3468)=(33446688)=11𝐴. Por tanto, 𝐴8=(𝐴2)4=(11𝐴)4=114𝐴4=114⋅(𝐴2)2=114⋅(11𝐴)2=114⋅112𝐴2=116⋅11𝐴=117𝐴.

Ejercicio 1: Reserva 4 de 2021

Se considera la matriz 𝐴=(10−11).

  1. Calcule 𝐴40 y (𝐴𝑡)30.
  2. Calcule (𝐴−1 +𝐴)2.
  3. Resuelva la ecuación matricial (𝐴𝑡 +𝐼2)𝑋 =𝐴𝑡 −𝐼2.

Ejercicio B1: Septiembre de 2018

Sean las matrices 𝐴=(101−1)y𝐵=(10−1210).

  1. Calcule 𝐴2018 +𝐴2019.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝑋𝐴 +𝐵𝐵𝑡 =2𝐴.

Ejercicio A1: Junio de 2017

Sean las matrices 𝐴=(120−1)y𝐵=(3−102).

  1. Calcule la matriz 𝐴2017.
  2. ¿Se verifica la expresión (𝐵 +𝐴)(𝐵 −𝐴) =𝐵2 −𝐴2?

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2016

Sean las matrices 𝐴=(120−1),𝐵=(122−1−12)y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝12−102−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcule 𝐴2 y 𝐴2016.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 −𝐵 =𝐶𝑡.

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2015

Sean las matrices 𝐴=(0−110),𝐵=(1111)y𝐶=(2132).

  1. Resuelva la ecuación 𝐴𝑋 +𝐵𝑋 =𝐶.
  2. Calcule 𝐴4 y 𝐴80.

Ejercicio A1: Junio de 2014

Se consideran las matrices 𝐴=(1𝑎01)y𝐵=(120340), siendo 𝑎 un número real cualquiera.

  1. Obtenga la matriz 𝐴2014.
  2. Para 𝑎 =2, resuelva la ecuación matricial 𝐴3𝑋 −4𝐵 =𝑂.

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2013

Sean las matrices 𝐴=(0110)y𝐵=(1231).

  1. Calcule 𝐴2 y 𝐴2013.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 +𝐼2 =5𝐵𝑡 −𝐴2.