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Ejercicio 1: Reserva 1 de 2025

Se considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝210012222⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Resuelva el sistema de ecuaciones matriciales: (𝐴+𝐼3)⋅𝑋+𝑌=𝐴−𝐼3,𝑋−𝑌=𝐼3.
  2. Halle el rango de las matrices 𝐴 +𝐼3 y 𝐴 −𝐼3. ¿Son matrices invertibles?

Ejercicio 1: Reserva 4 de 2024

Se consideran las matrices 𝐴=(0110),𝐵=(3220)y𝐶=(1011).

  1. Determine las matrices 𝑋 e 𝑌 que satisfacen simultáneamente las ecuaciones 2𝑋−𝑌=4𝐴,𝑋+𝑌=𝐵.
  2. Calcule la matriz 𝐶2024.
  3. Si 𝐷 es una matriz de dimensión 2 ×3, razone si las siguientes operaciones se pueden realizar y, en aquellos casos en los que sea posible, indique la dimensión de la matriz resultante: 𝐴𝑡𝐵+𝐷𝐷𝑡,𝐷𝐵𝑡+𝐴,𝐷𝑡𝐴𝑡+𝐷.

Resolución
  1. Resolvemos el sistema por sustitución. Despejando en la segunda ecuación, 𝑋+𝑌=𝐵⇔𝑌=𝐵−𝑋. Sustituyendo y despejando en la primera ecuación, obtenemos que: 2𝑋−(𝐵−𝑋)=4𝐴⇔3𝑋=4𝐴+𝐵⇔𝑋=13(4𝐴+𝐵)=13[(0440)+(3220)]=13(3660)=(1220). Sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos que: 𝑌=𝐵−𝑋=(3220)−(1220)=(2000).
  2. Calculamos las primeras potencias de 𝐶. 𝐶2=𝐶⋅𝐶=(1011)(1011)=(1021),𝐶3=𝐶2⋅𝐶=(1021)(1011)=(1031),𝐶4=𝐶3⋅𝐶=(1031)(1011)=(1041). Por tanto, 𝐶2024=(1020241).
    • 𝐴𝑡 y 𝐵 son matrices cuadradas de orden 2, así que se pueden multiplicar y 𝐴𝑡𝐵 es también una matriz cuadrada de orden 2. Por otro lado, como 𝐷 es de dimensión 2 ×3 y 𝐷𝑡 es 3 ×2, se pueden multiplicar y 𝐷𝐷𝑡 es una matriz cuadrada de orden 2. Por tanto, la suma se puede realizar y da como resultado una matriz cuadrada de orden 2.
    • 𝐷 es de dimensión 2 ×3 y 𝐵 es 2 ×2, así que el producto no se puede realizar.
    • 𝐷𝑡 es dimensión 3 ×2 y 𝐴𝑡 es 2 ×2, así que se pueden multiplicar y 𝐷𝑡𝐴𝑡 tiene dimensión 3 ×2. Como 𝐷 es de dimensión 2 ×3, la suma no se puede realizar.

Ejercicio 2: Reserva 4 de 2023

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝5−7670403−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝12−9−201104−7⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝12−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Halle las dimensiones de las siguientes matrices: 𝐶𝑡𝐴𝐶, 𝐴𝐶𝐶𝑡𝐵.
  2. Calcule, en caso de existir, las inversas de las matrices 𝐴 y 𝐵.
  3. Resuelva el siguiente sistema matricial: {2𝑋+3𝑌=𝐴,−3𝑋+4𝑌=𝐵.

Resolución
    • 𝐶𝑡 es de dimensión 1 ×3 y 𝐴 es 3 ×3, así que 𝐶𝑡𝐴 es de dimensión 1 ×3. Como 𝐶 es 3 ×1, la matriz 𝐶𝑡𝐴𝐶 es de dimensión 1 ×1.
    • 𝐴 es de dimensión 3 ×3 y 𝐶 es 3 ×1, así que 𝐴𝐶 es de dimensión 3 ×1. Como 𝐶𝑡 es 1 ×3, 𝐴𝐶𝐶𝑡 es de dimensión 3 ×3. Por último, como 𝐵 es 3 ×3, la matriz 𝐴𝐶𝐶𝑡𝐵 es de dimensión 3 ×3.
    • Hallamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣5−7670403−1∣=126−49−60=17. Como det(𝐴) ≠0, la matriz 𝐴 es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1272111−5−15−282249⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=117⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1211−287−52221−1549⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
    • Hallamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐵. |𝐵|=∣12−9−201104−7∣=72−44−28=0. Como det(𝐵) =0, 𝐵 no es invertible.
  3. Resolvemos el sistema por reducción para evitar arrastrar fracciones. Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2. {2𝑋+3𝑌=𝐴,−3𝑋+4𝑌=𝐵⇒{6𝑋+9𝑌=3𝐴,−6𝑋+8𝑌=2𝐵. Si sumamos ambas ecuaciones, obtenemos que 17𝑌=3𝐴+2𝐵⇔𝑌=117⎡⎢ ⎢⎣⎛⎜ ⎜ ⎜⎝15−21182101209−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜⎝24−18−402208−14⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎤⎥ ⎥⎦=117⎛⎜ ⎜ ⎜⎝17−17017034017−17⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−1010201−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Sustituyendo en la primera ecuación, 2𝑋+3𝑌=𝐴⇔𝑋=12(𝐴−3𝑌)=12⎡⎢ ⎢⎣⎛⎜ ⎜ ⎜⎝5−7670403−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3−3030603−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎤⎥ ⎥⎦=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−4640−2002⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−2320−1001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−2320−1001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠e𝑌=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−1010201−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2018

  1. Resuelva el sistema de ecuaciones matriciales: ⎧{ { {⎨{ { {⎩2𝐴−5𝐵=(7278),3𝐴−𝐵=(434−1).
  2. Dadas las matrices 𝐶=(3−211)y𝐷=(01−12), resuelva la ecuación matricial 𝑋𝐶 −𝐷2 =𝐼2.

Ejercicio A1: Septiembre de 2014

Sean las matrices 𝐴=(1−72−1)y𝐵=(10−52).

  1. Calcule las matrices 𝑋 e 𝑌 para las que se verifica 𝑋+𝑌=𝐴y3𝑋+𝑌=𝐵.
  2. Halle la matriz 𝑍 que verifica 𝐵𝑍 +𝐵𝑡 =2𝐼2.