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Ejercicio 1: Junio de 2024

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11−2𝑎−3𝑎−1102𝑎⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=(−132)y𝐶=(−214), siendo 𝑎 un número real.

  1. Obtenga los valores de 𝑎 para los que la matriz 𝐴 tenga inversa.
  2. Para 𝑎 =1, resuelva la ecuación 𝑋𝐴 −𝐵 =𝐶𝐴.
  3. Determine razonadamente la dimensión de la matriz 𝐷 que permita realizar la operación 𝐵𝐴+𝐷𝐶𝑡𝐵.

Resolución
  1. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣11−2𝑎−3𝑎−1102𝑎∣=𝑎(𝑎−1)−4(𝑎−3)−2−𝑎(𝑎−3)=𝑎2−𝑎−4𝑎+12−𝑎2+3𝑎=−2𝑎+10. La inversa de 𝐴 existe si y solo si su determinante es no nulo. |𝐴|=0⇔−2𝑎+10=0⇔𝑎=5. Por tanto, la matriz 𝐴 tiene inversa si 𝑎 ≠5.
  2. Si 𝑎 =1, por el apartado anterior 𝐴 es invertible con det(𝐴) =8. Despejamos la ecuación matricial. 𝑋𝐴−𝐵=𝐶𝐴⇔𝑋𝐴=𝐶𝐴+𝐵⇔𝑋=(𝐶𝐴+𝐵)𝐴−1=𝐶+𝐵𝐴−1. Para hallar la inversa de 𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−22−4−51−2132⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=18⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−2−51213−4−22⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=𝐶+𝐵𝐴−1=(−214)+18(−132)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−2−51213−4−22⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==(−214)+18(0412)=(−214)+(01232)=(−232112).
  3. Para que el producto 𝐷𝐶𝑡 se pueda realizar, es necesario que 𝐷 tenga 3 columnas. Por otro lado, para que el resultado de ese producto sea de dimensión 1 ×3, la matriz 𝐷 debe tener 1 fila. Por tanto, la matriz 𝑋 tiene dimensión 1 ×3.

Ejercicio 1: Reserva 2 de 2024

Se consideran las matrices 𝑀=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101210111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝑁=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝322521740⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑉=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝5−𝑎2𝑎−1𝑎2⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠, siendo 𝑎 un número real.

  1. Halle el valor de 𝑎 para que se verifique que 𝑀𝑡𝑉=(515)𝑡.
  2. Calcule 𝑀−1 y resuelva la ecuación matricial 𝑋𝑀 −𝐼3 =𝑁.
  3. Razone si las operaciones 2𝑉𝑁𝑡 y (𝑁 +𝑀𝑡)𝑉 se pueden realizar y, en aquellos casos en que sea posible, indique la dimensión de la matriz resultante.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos 𝑀𝑡𝑉. 𝑀𝑡𝑉=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝121011101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝5−𝑎2𝑎−1𝑎2⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝5−𝑎2+2𝑎−2+𝑎2𝑎−1+𝑎25−𝑎2+𝑎2⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2𝑎+3𝑎2+𝑎−15⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Así que: 𝑀𝑡𝑉=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝515⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⇔⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2𝑎+3𝑎2+𝑎−15⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝515⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⇔⎧{ {⎨{ {⎩2𝑎+3=5⇔𝑎=1,𝑎2+𝑎−1=1⇔{𝑎=−2,𝑎=1. Por tanto, se verifica para 𝑎 =1.
  2. Hallamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝑀. |𝑀|=∣101210111∣=2. Como det(𝑀) ≠0, la matriz es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝑀)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−2110−1−121⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa como: 𝑀−1=1|𝑀|Adj⁡(𝑀)𝑡=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11−1−2021−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Despejamos la ecuación matricial. 𝑋𝑀−𝐼3=𝑁⇔𝑋𝑀=𝑁+𝐼3⇔𝑋=(𝑁+𝐼3)𝑀−1. Por tanto, 𝑋=(𝑁+𝐼3)𝑀−1=12⎡⎢ ⎢⎣⎛⎜ ⎜ ⎜⎝322521740⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜⎝100010001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎤⎥ ⎥⎦⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11−1−2021−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝422531741⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11−1−2021−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝222042062⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝111021031⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
    • 𝑉 es de dimensión 3 ×1 y 𝑁𝑡 es 3 ×3, así que el producto no se puede realizar.
    • 𝑁 y 𝑀𝑡 son matrices cuadradas de orden 3, por lo que se pueden sumar y 𝑁 +𝑀𝑡 es también una matriz cuadrada de orden 3. Por otro lado, como 𝑉 es de dimensión 3 ×1, se pueden multiplicar y da como resultado una matriz de dimensión 3 ×1.

Ejercicio 1: Reserva 3 de 2024

Se consideran las matrices 𝐴=(1−11−210),𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝0−110−12⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝132111031⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Resuelva la siguiente ecuación 𝐴𝐵𝑋𝐶=(100010).
  2. Halle las dimensiones de las matrices 𝐷 y 𝐸 para que tenga sentido la igualdad 𝐴𝐷 =𝐸𝐵.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos la matriz 𝐴𝐵. 𝐴𝐵=(1−11−210)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝0−110−12⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=(−2112).
    • Calculamos el determinante de 𝐴𝐵. |𝐴𝐵|=∣−2112∣=−5≠0. Así que 𝐴𝐵 es invertible con det(𝐴𝐵) = −5.
    • Calculamos el determinante de 𝐶. |𝐶|=∣132111031∣=1≠0. Así que 𝐶 es invertible con det(𝐶) =1.
    Despejamos la ecuación matricial. 𝐴𝐵𝑋𝐶=(100010)⇔𝑋=(𝐴𝐵)−1(100010)𝐶−1.
    • Para hallar la inversa de 𝐴𝐵, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴𝐵)=(2−1−1−2). Calculamos su inversa de la forma: (𝐴𝐵)−1=1|𝐴𝐵|Adj⁡(𝐴𝐵)𝑡=−15(2−1−1−2)=15(−2112).
    • Para hallar la inversa de 𝐶, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐶)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−2−1331−311−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa de la forma: 𝐶−1=1|𝐶|Adj⁡(𝐶)𝑡=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−231−1113−3−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
    Por tanto, 𝑋=(𝐴𝐵)−1(100010)𝐶−1=15(−2112)(100010)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−231−1113−3−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==15(−210120)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−231−1113−3−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=15(3−5−1−453).
  2. Llamamos 𝑚 ×𝑛 a la dimensión de 𝐷 y 𝑝 ×𝑞 a la de 𝐸. Como la matriz 𝐴 es de dimensión 2 ×3, 𝐷 debe tener 3 filas para poder multiplicarse con ella y el producto 𝐴𝐷 tiene dimensión 2 ×𝑛. Por otro lado, como 𝐵 es de dimensión 3 ×2, 𝐸 debe tener 3 columnas para poder multiplicarse y el producto 𝐸𝐵 tiene dimensión 𝑝 ×2. Por último, para que se cumpla la igualdad se tiene que verificar que 𝑛 =2 y 𝑝 =2. Por tanto, 𝐷 tiene dimensión 3 ×2 y 𝐸 dimensión 2 ×3.

Ejercicio 1: Reserva 4 de 2024

Se consideran las matrices 𝐴=(0110),𝐵=(3220)y𝐶=(1011).

  1. Determine las matrices 𝑋 e 𝑌 que satisfacen simultáneamente las ecuaciones 2𝑋−𝑌=4𝐴,𝑋+𝑌=𝐵.
  2. Calcule la matriz 𝐶2024.
  3. Si 𝐷 es una matriz de dimensión 2 ×3, razone si las siguientes operaciones se pueden realizar y, en aquellos casos en los que sea posible, indique la dimensión de la matriz resultante: 𝐴𝑡𝐵+𝐷𝐷𝑡,𝐷𝐵𝑡+𝐴,𝐷𝑡𝐴𝑡+𝐷.

Resolución
  1. Resolvemos el sistema por sustitución. Despejando en la segunda ecuación, 𝑋+𝑌=𝐵⇔𝑌=𝐵−𝑋. Sustituyendo y despejando en la primera ecuación, obtenemos que: 2𝑋−(𝐵−𝑋)=4𝐴⇔3𝑋=4𝐴+𝐵⇔𝑋=13(4𝐴+𝐵)=13[(0440)+(3220)]=13(3660)=(1220). Sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos que: 𝑌=𝐵−𝑋=(3220)−(1220)=(2000).
  2. Calculamos las primeras potencias de 𝐶. 𝐶2=𝐶⋅𝐶=(1011)(1011)=(1021),𝐶3=𝐶2⋅𝐶=(1021)(1011)=(1031),𝐶4=𝐶3⋅𝐶=(1031)(1011)=(1041). Por tanto, 𝐶2024=(1020241).
    • 𝐴𝑡 y 𝐵 son matrices cuadradas de orden 2, así que se pueden multiplicar y 𝐴𝑡𝐵 es también una matriz cuadrada de orden 2. Por otro lado, como 𝐷 es de dimensión 2 ×3 y 𝐷𝑡 es 3 ×2, se pueden multiplicar y 𝐷𝐷𝑡 es una matriz cuadrada de orden 2. Por tanto, la suma se puede realizar y da como resultado una matriz cuadrada de orden 2.
    • 𝐷 es de dimensión 2 ×3 y 𝐵 es 2 ×2, así que el producto no se puede realizar.
    • 𝐷𝑡 es dimensión 3 ×2 y 𝐴𝑡 es 2 ×2, así que se pueden multiplicar y 𝐷𝑡𝐴𝑡 tiene dimensión 3 ×2. Como 𝐷 es de dimensión 2 ×3, la suma no se puede realizar.

Ejercicio 2: Reserva 4 de 2023

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝5−7670403−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝12−9−201104−7⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝12−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Halle las dimensiones de las siguientes matrices: 𝐶𝑡𝐴𝐶, 𝐴𝐶𝐶𝑡𝐵.
  2. Calcule, en caso de existir, las inversas de las matrices 𝐴 y 𝐵.
  3. Resuelva el siguiente sistema matricial: {2𝑋+3𝑌=𝐴,−3𝑋+4𝑌=𝐵.

Resolución
    • 𝐶𝑡 es de dimensión 1 ×3 y 𝐴 es 3 ×3, así que 𝐶𝑡𝐴 es de dimensión 1 ×3. Como 𝐶 es 3 ×1, la matriz 𝐶𝑡𝐴𝐶 es de dimensión 1 ×1.
    • 𝐴 es de dimensión 3 ×3 y 𝐶 es 3 ×1, así que 𝐴𝐶 es de dimensión 3 ×1. Como 𝐶𝑡 es 1 ×3, 𝐴𝐶𝐶𝑡 es de dimensión 3 ×3. Por último, como 𝐵 es 3 ×3, la matriz 𝐴𝐶𝐶𝑡𝐵 es de dimensión 3 ×3.
    • Hallamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣5−7670403−1∣=126−49−60=17. Como det(𝐴) ≠0, la matriz 𝐴 es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1272111−5−15−282249⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=117⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1211−287−52221−1549⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
    • Hallamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐵. |𝐵|=∣12−9−201104−7∣=72−44−28=0. Como det(𝐵) =0, 𝐵 no es invertible.
  3. Resolvemos el sistema por reducción para evitar arrastrar fracciones. Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2. {2𝑋+3𝑌=𝐴,−3𝑋+4𝑌=𝐵⇒{6𝑋+9𝑌=3𝐴,−6𝑋+8𝑌=2𝐵. Si sumamos ambas ecuaciones, obtenemos que 17𝑌=3𝐴+2𝐵⇔𝑌=117⎡⎢ ⎢⎣⎛⎜ ⎜ ⎜⎝15−21182101209−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜⎝24−18−402208−14⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎤⎥ ⎥⎦=117⎛⎜ ⎜ ⎜⎝17−17017034017−17⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−1010201−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Sustituyendo en la primera ecuación, 2𝑋+3𝑌=𝐴⇔𝑋=12(𝐴−3𝑌)=12⎡⎢ ⎢⎣⎛⎜ ⎜ ⎜⎝5−7670403−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3−3030603−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎤⎥ ⎥⎦=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−4640−2002⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−2320−1001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−2320−1001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠e𝑌=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−1010201−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 1: Julio de 2023

Se considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1000200−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Pruebe que se verifica que 𝐴−1 =12(𝐴2 −4𝐴 +5𝐼3).
  2. Dada la ecuación matricial 𝑋𝑡𝐴=(1203−11), determine la dimensión de 𝑋 y resuelva la ecuación.

Resolución
  1. Comprobemos en primer lugar que la matriz 𝐴 es invertible. Calculamos su determinante. |𝐴|=∣1000200−11∣=2. Como det(𝐴) ≠0, la matriz 𝐴 es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝200011002⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝200010012⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por otro lado, calculamos 𝐴2−4𝐴+5𝐼3=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1000200−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1000200−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝4000800−44⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜⎝500050005⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1000400−31⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝4000800−44⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜⎝500050005⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝200010012⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝐴−1=12(𝐴2−4𝐴+5𝐼3).
  2. Para que el producto 𝑋𝑡𝐴 se pueda realizar, es necesario que 𝑋𝑡 tenga 3 columnas. Así que 𝑋 tiene 3 filas. Por otro lado, para que el resultado de dicho producto sea de tamaño 2 ×3, la matriz 𝑋𝑡 debe tener 2 filas. Luego 𝑋 tiene 2 columnas. Por tanto, la matriz 𝑋 es de tamaño 3 ×2.
    Resolvemos la ecuación matricial. 𝑋𝑡𝐴=(1203−11)⇔𝑋𝑡=(1203−11)𝐴−1=12(1203−11)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝200010012⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=(110301). Por tanto, 𝑋=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝131001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 1: Reserva 3 de 2022

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101−1−112−10⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−11−1−1−11−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3−7−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Razone si se pueden efectuar las siguientes operaciones y realice las que sean posibles: 𝐶𝐴,𝐴+𝐵,𝐶𝑡𝐵𝑡.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 =𝐵𝑋 +𝐶.

Resolución
    • 𝐶 es de dimensión 3 ×1 y 𝐴 es 3 ×3, así que el producto 𝐶𝐴 no se puede efectuar.
    • 𝐴 y 𝐵 son matrices cuadradas de orden 3, así que se pueden sumar. 𝐴+𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101−1−112−10⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−11−1−1−11−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−12−2−203−21⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
    • 𝐶𝑡 es de dimensión 1 ×3 y 𝐵𝑡 es 3 ×3, así que se pueden multiplicar. 𝐶𝑡⋅𝐵𝑡=(3−7−2)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−11−1−1−11−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=(868).
  2. Despejamos la ecuación matricial. 𝐴𝑋=𝐵𝑋+𝐶⇔𝐴𝑋−𝐵𝑋=𝐶⇔(𝐴−𝐵)𝑋=𝐶⇔𝑋=(𝐴−𝐵)−1𝐶. En primer lugar, calculamos la matriz 𝐴 −𝐵 y hallamos su determinante. 𝐴−𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101−1−112−10⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−11−1−1−11−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝01000210−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⇒|𝐴−𝐵|=∣01000210−1∣=2. Como det(𝐴 −𝐵) ≠0, la matriz 𝐴 −𝐵 es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴−𝐵)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝020101200⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa como (𝐴−𝐵)−1=1|𝐴−𝐵|Adj⁡(𝐴−𝐵)𝑡=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝012200010⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=(𝐴−𝐵)−1𝐶=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝012200010⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3−7−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−116−7⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 1: Julio de 2022

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝112−2010−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−213102⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝12−1−1−23⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Determine la matriz 𝑋 que verifica 𝐴𝑋 +𝐵 =𝐴2𝐶.
  2. Determine las dimensiones de dos matrices 𝑃 y 𝑄 sabiendo que 𝐴𝑃𝑡+𝐶=𝐶(𝑄𝐵).

Resolución
  1. Comprobamos en primer lugar que la matriz 𝐴 es invertible. |𝐴|=∣112−2010−1−1∣=4−2+1=3≠0. Por tanto, 𝐴 es invertible. Resolvemos la ecuación matricial. 𝐴𝑋+𝐵=𝐴2𝐶⇔𝐴𝑋=𝐴2𝐶−𝐵⇔𝑋=𝐴−1(𝐴2𝐶−𝐵)=𝐴𝐶−𝐴−1𝐵. Para hallar la inversa de 𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−22−1−111−52⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−11−2−1−5212⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por último, calculamos la matriz 𝑋 operando. 𝑋=𝐴𝐶−𝐴−1𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝112−2010−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝12−1−1−23⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−11−2−1−5212⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−213102⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−47−4−13−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−521−13−17⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝−73193−133103103−133⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠.
    • 𝐶 es de dimensión 3 ×2, así que 𝐴𝑃𝑡 debe tener la misma dimensión para poder sumarse con ella. Como 𝐴 es 3 ×3, 𝑃𝑡 debe tener 3 filas para poder multiplicarse y 2 columnas para dar como resultado una matriz de dimensión 3 ×2. Por tanto, 𝑃 es de dimensión 2 ×3.
    • 𝐵 y 𝐶 son de dimensión 3 ×2, así que 𝑄 debe tener 2 filas y 3 columnas para poder multiplicarse con ellas. Por tanto, 𝑄 es de dimensión 2 ×3. Observamos que entonces el producto 𝐶(𝑄𝐵) es de dimensión 3 ×2, por lo que coincide con el otro lado de la igualdad.

Ejercicio 2: Reserva 3 de 2021

Se considera la ecuación matricial (10𝐼3 −𝐴)𝑋 =𝐵, donde 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝210420225⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ y 𝐵 es una matriz con tres filas y una columna.

  1. Razone qué dimensión ha de tener la matriz 𝑋.
  2. ¿Tiene solución la ecuación matricial anterior para cualquier matriz 𝐵 de orden 3 ×1? ¿Por qué?
  3. Resuelva dicha ecuación matricial si 𝐵 =(520−3)𝑡.

Resolución
  1. Las matrices 𝐼3 y 𝐴 son cuadradas de orden 3, así que 10𝐼3 −𝐴 es también una matriz cuadrada de orden 3. Para que el producto (10𝐼3 −𝐴)𝑋 se pueda realizar, es necesario que 𝑋 tenga 3 filas. Por otro lado, para que el resultado de ese producto sea de dimensión 3 ×1, la matriz 𝑋 debe tener 1 columna. Por tanto, la matriz 𝑋 tiene dimensión 3 ×1.
  2. En primer lugar, hallamos la matriz 10𝐼3 −𝐴. 10𝐼3−𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝100001000010⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝210420225⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝8−10−480−2−25⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Comprobamos si la matriz (10𝐼3 −𝐴) es invertible. |10𝐼3−𝐴|=∣8−10−480−2−25∣=300. Como det(10𝐼3 −𝐴) ≠0, la matriz es invertible. Despejamos la ecuación matricial. (10𝐼3−𝐴)𝑋=𝐵⇔𝑋=(10𝐼3−𝐴)−1𝐵. Por tanto, la ecuación tiene solución para cualquier matriz 𝐵 de tamaño 3 ×1.
  3. Para hallar la inversa de 10𝐼3 −𝐴, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(10𝐼3−𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝8−10−480−2−25⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa de la forma: (10𝐼3−𝐴)−1=1|10𝐼3−𝐴|Adj⁡(10𝐼3−𝐴)𝑡=1300⎛⎜ ⎜ ⎜⎝8−4−2−18−2005⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=(10𝐼3−𝐴)−1𝐵=1300⎛⎜ ⎜ ⎜⎝8−4−2−18−2005⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝520−3⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=1300⎛⎜ ⎜ ⎜⎝300900300⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝131⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 2: Reserva 3 de 2020

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101𝑘−321𝑘1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=(3−2−1011)y𝐶=(−2413).

  1. Razone si las siguientes operaciones se pueden realizar y en aquellos casos en que sea posible, indique la dimensión de la matriz resultante: 𝐵𝑡𝐴,𝐶𝐵,𝐵𝐴+𝐵y𝐵2.
  2. Calcule los valores del parámetro 𝑘 para los que la matriz 𝐴 es invertible.
  3. Para 𝑘 = −1, calcule la inversa de la matriz 𝐴.

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2018

Se consideran las matrices 𝐴=(−12−34),𝐵=(−121302)y𝐶=(3012−1−1).

  1. Razone qué dimensiones deben tener las matrices 𝑃 y 𝑄 para que los productos 𝐴𝑃𝐵𝑡 y 𝑄𝐴𝐶 den coomo resultado una matriz cuadrada.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 −2𝐵𝐶𝑡 =𝐴2.

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2018

  1. Resuelva la ecuación matricial (231−5)𝑋=(110−1)2(41).
  2. Si 𝐴 es una matriz con tres filas y dos columnas, determine razonadamente la dimensión que deben tener las matrices 𝐵, 𝐶 y 𝐷 para que se puedan efectuar las siguientes operaciones: 2𝐴−3𝐵,𝐴𝐴𝑡−𝐶2,𝐴𝐷.

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2016

Sean las matrices 𝐴=(24−2−6)y𝐵=(1011−20).

  1. Resuelva la ecuación matricial 𝑋(𝐵𝐵𝑡) =12𝐴 −2𝐴𝑡.
  2. Razone cuáles de las siguientes operaciones pueden realizarse e indique, en su caso, la dimensión de la matriz resultante: 𝐴𝐵,𝐴𝐵𝑡,𝐵𝐴−1,𝐵𝑡𝐴+𝐴−1.

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2016

  1. Si 𝐴 es una matriz de dimensión 𝑚 ×𝑛, indique la dimensión de una matriz 𝑋 si se verifica que (𝐴𝑡𝐴)𝑋 =𝐼𝑛.
  2. Calcule dicha matriz 𝑋 en el caso en que 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝111−111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
  3. Calcule, si es posible, el producto 𝐴(𝐴𝑡𝐴).

Ejercicio A1: Septiembre de 2016

Sean las matrices 𝐴=(12−1−3),𝐵=(2−13401)y𝐶=(−11023−2).

  1. Resuelva la ecuación matricial 𝐴2𝑋 +𝐶 =2𝐵.
  2. ¿Qué dimensiones deben tener las matrices 𝑃 y 𝑄 para que las matrices (𝐵 +𝐶)𝑃 y 𝐵𝑄𝐶𝑡 sean cuadradas?

Ejercicio B1: Junio de 2015

Sean las matrices 𝐴=(23−11),𝐵=(2−351)y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝200230⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Calcule las matrices 𝑋 e 𝑌 si 𝑋 +𝑌 =2𝐴 y 𝑋 +𝐵 =2𝑌.
  2. Analice cuáles de las siguientes operaciones con matrices se pueden realizar, indicando en los casos afirmativos las dimensiones de la matriz 𝐷: 𝐴+𝐷=𝐶,𝐴𝐷=𝐶𝑡,𝐷𝐴=𝐶,𝐷𝐴=𝐶𝑡.

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2015

Sean las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−1201−1102⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=(1211−20),𝐶=(21)y𝐷=(1−12).

  1. Estudie cuáles de los siguientes productos de matrices se pueden realizar, indicando las dimensiones de la matriz resultante: 𝐴𝐵𝑡,𝐶𝑡𝐷,𝐵𝑡𝐷,𝐷𝐵𝑡.
  2. Despeje la matriz 𝑋 en la ecuación 𝑋𝐴−1 +2𝐵 =3𝐶𝑡𝐷, sin calcular sus elementos.
  3. Calcule la matriz 𝐴(𝐵𝑡 −2𝐷𝑡𝐶).

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2014

Sean las matrices 𝐵=(−5046)y𝐶=(−1−8−1−936).

  1. Determine la dimensión que debe tener una matriz 𝐴 para que se verifique la igualdad 𝐴𝐵 =2𝐶𝑡.
  2. Halle la matriz 𝐴 anterior, sabiendo que de ella se conocen los elementos 𝑎31 =2, 𝑎12 = −3 y 𝑎22 =1.

Ejercicio B1: Septiembre de 2013

Sean las matrices 𝐴=(150−2535),𝐵=(35−14545)y𝐶=(10−1213).

  1. Resuelva la ecuación matricial (2𝐴 +𝐵)𝑋 =3𝐴 −𝐵.
  2. Determine en cada caso la dimensión de la matriz 𝐷 para que se puedan realizar las siguientes operaciones: 𝐶𝐷+𝐴,𝐶𝑡𝐷𝐶,𝐷𝐶𝑡,𝐶𝐷𝐶𝑡.

Ejercicio B1: Junio de 2012

Sea la matriz 𝐴=(1−12−1).

  1. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 +𝐴𝑡 =𝐼2.
  2. ¿Qué requisitos mínimos debe cumplir una matriz 𝐵 para que pueda efectuarse el producto 𝐴𝐵?
  3. ¿Y para el producto 3𝐵𝐴?

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2011

  1. Dadas las matrices 𝑀=(03−110−2),𝑁𝑡=(23−1−110), razone cuáles de las siguientes operaciones tienen sentido y efectúe las que puedan realizarse: 𝑀+𝑁𝑡,𝑀𝑡⋅𝑁,𝑀⋅𝑁.
  2. Un industrial cafetero produce dos tipos de café, natural y descafeinado, en tres modalidades cada uno: A, B y C. Se han anotado en la matriz 𝑃 los pesos, en kg, del café que el industrial produce de cada una de las modalidades de cada tipo, y en la matriz 𝑄 los precios a los que vende el kg de cada producto final: 𝑃=(550400240260200100),𝑄=(2,202,752,503,203,903,60). Efectúe el producto 𝑃 ⋅𝑄𝑡 y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante.

Ejercicio B1: Septiembre de 2011

Sean las matrices 𝐴=(010101),𝐵=(3−112).

  1. Efectúe, si es posible, los siguientes productos: 𝐴 ⋅𝐴𝑡, 𝐴𝑡 ⋅𝐴, 𝐴 ⋅𝐵.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴 ⋅𝐴𝑡 ⋅𝑋 =𝐵.

Ejercicio B1: Septiembre de 2010

Sean las matrices: 𝑃=(12𝑎0),𝑄=(11584𝑏)y𝑅=(𝑐𝑑6101050).

  1. Calcule, si es posible, 𝑃 ⋅𝑄 y 𝑄 ⋅𝑃, razonando la respuesta.
  2. ¿Cuánto deben valer las constantes 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 para que 𝑃 ⋅2𝑄 =𝑅?