Matemáticas de Selectividad

Sean las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−1201−1102⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=(1211−20),𝐶=(21)y𝐷=(1−12).

1. Estudie cuáles de los siguientes productos de matrices se pueden realizar, indicando las dimensiones de la matriz resultante: 𝐴𝐵𝑡,𝐶𝑡𝐷,𝐵𝑡𝐷,𝐷𝐵𝑡.
2. Despeje la matriz 𝑋 en la ecuación 𝑋𝐴−1 +2𝐵 =3𝐶𝑡𝐷, sin calcular sus elementos.
3. Calcule la matriz 𝐴(𝐵𝑡 −2𝐷𝑡𝐶).

La mosca común solamente vive si la temperatura media de su entorno está comprendida entre 4ºC y 36ºC. La vida en días, en función de la temperatura media 𝑇, medida en grados centígrados, viene dada por la función: 𝑉(𝑇)=−116(𝑇2−40𝑇+16),𝑇∈[4,36].

1. Determine la vida máxima que puede alcanzar la mosca común.
2. Calcule la vida mínima e indique la temperatura media a la que se alcanza.
3. Si sabemos que una mosca ha vivido 15 días, ¿a qué temperatura media ha estado el entorno donde ha habitado?

El 70% de los clientes de un supermercado realizan las compras en el local y el resto de los clientes las realizan por internet. De las compras realizadas en el local, sólo el 30% supera los 100€, mientras que de las realizadas por internet el 80% supera esa cantidad.

1. Elegida una compra al azar, ¿cuál es la probabilidad de que supere los 100€?
2. Si se sabe que una compra supera los 100€, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hecho en el local?

Una característica poblacional X sigue una distribución Normal 𝑁(𝜇;2,1). Sobre ella se formula un contraste de hipótesis bilateral con 𝐻0 :𝜇 =5,5 a un nivel de significación del 8%. Se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño 25 que proporciona una media muestral de 6,3. Plantee dicho contraste, determine su región crítica y razone si se puede aceptar la hipótesis nula.

Un supermercado tiene almacenados 600 kg de manzanas y 400 kg de naranjas. Para incentivar su venta elabora dos tipos de bolsas: A y B. Las bolsas de tipo A contienen 3 kg de manzanas y 1 kg de naranjas; las bolsas de tipo B incluyen 2 kg de cada uno de los productos. El precio de venta de la bolsa A es de 4€ y de 3€ el de la bolsa de tipo B. Suponiendo que vende todas las bolsas preparadas, ¿cuántas bolsas de cada tipo debe haber elaborado para maximizar los ingresos? ¿A cuánto asciende el ingreso máximo?

1. Calcule la derivada de la función 𝑓(𝑥)=2(1−3𝑥2)1+3𝑥.
2. Calcule la derivada de la función 𝑔(𝑥)=(𝑥2−𝑥+1)𝑒5𝑥.
3. Calcule la derivada de la función ℎ(𝑥)=log⁡(𝑥2+𝑥+1).

Sean dos sucesos 𝐴 y 𝐵 tales que 𝑃(𝐴) =0,25, 𝑃(𝐵) =0,6 y 𝑃(𝐴 ∩𝐵𝑐) =0,1.

1. Calcule la probabilidad de que ocurra 𝐴 y ocurra 𝐵.
2. Calcule la probabilidad de que no ocurra 𝐴 pero sí ocurra 𝐵.
3. Calcule la probabilidad de que ocurra 𝐴 sabiendo que ha ocurrido 𝐵.
4. ¿Son independientes 𝐴 y 𝐵?

Se ha lanzado un dado 400 veces, y en 72 de ellas ha salido un tres.

1. Calcule un intervalo de confianza, al 99,2%, para la proporción de veces que se obtiene un tres.
2. Calcule el error máximo admisible cometido con ese intervalo.