Matemáticas de Selectividad

En una encuesta realizada a 600 trabajadoras de una empresa, 250 de ellas manifiestan estar insatisfechas con su salario. La dirección de la empresa afirma que la proporción de trabajadoras que están insatisfechas con su salario no es superior a 0,3. Plantee un contraste de hipótesis para dicha proporción, con hipótesis nula 𝐻0 :𝑝 ≤0,3. Con un nivel de significación del 4%, determine la región de rechazo y razone si se puede aceptar la afirmación de la dirección de la empresa.

En un artículo de Internet se afirma que el número medio de mensajes de WhatsApp que mandan los jóvenes al día no es inferior a 40. Para contrastar dicha información se elige una muestra aleatoria de 100 jóvenes y se observa que envían una media de 38 mensajes al día. Se sabe que el número de mensajes enviados diariamente sigue una distribución Normal de desviación típica 2. Con un nivel de significación del 5% plantee un contraste, (𝐻0 :𝜇 ≥40), determine la región de rechazo y concluya si se puede aceptar la afirmación del artículo de Internet.

Se sabe que el diámetro de las estrellas de mar de una región sigue una ley Normal con varianza 2,25 cm². Se sospecha que, igual que ocurre en otras regiones, su diámetro no supera los 11,7 cm (𝐻0 :𝜇 ≤11,7). Para confirmarlo se extrae una muestra aleatoria de estrellas de mar de esa región, obteniéndose los siguientes diámetros: 12,511,813,114,311,712,612,712,113,511,5.

1. Plantee un contraste de hipótesis y, para un nivel de significación del 5%, obtenga la región de rechazo del contraste. ¿Se puede confirmar la sospecha?
2. ¿Y para un nivel de significación del 3% se puede confirmar la sospecha?

La proporción de nacimientos que ocurren con luna llena en los hospitales de una ciudad se consideraba no inferior a 0,45, pero un estudio afirma que en la actualidad esta proporción ha descendido. Para contrastar esta hipótesis se han elegido al azar, en estos hospitales, a 200 recién nacidos, de los cuales 70 nacieron con luna llena. Decida mediante un contraste de hipótesis, con 𝐻0 :𝑝 ≥0,45, si la afirmación del estudio es correcta con un nivel de significación del 1%, indicando la región de rechazo.

La calificación en Matemáticas de los alumnos de un centro docente es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal de desviación típica 1,2. Una muestra de 10 alumnos ha dado las siguientes calificaciones: 3863917756.

1. Se tiene la creencia de que la calificación media de los alumnos del centro en Matemáticas es a lo sumo 5 puntos. Con un nivel de significación del 5%, plantee el contraste unilateral correspondiente (𝐻0 :𝜇 ≤5), determine la región crítica y razone si la creencia es fundada o no.
2. ¿Obtendría la misma respuesta si el nivel de significación fuese del 15%?

La talla media de los alumnos de una Universidad sigue una distribución Normal de media 170 cm y desviación típica 6 cm. Estudios recientes hacen sospechar que dicha talla media ha aumentado. Para confirmar, o no, esa sospecha se ha tomado una muestra de 64 estudiantes de esa Universidad, cuya talla media ha resultado ser de 172 cm. Con un nivel de significación del 1%, plantee un contraste de hipótesis (𝐻0 :𝜇 ≤170), determine la región crítica de ese contraste y razone si se puede concluir que la talla media poblacional ha aumentado.

Una característica poblacional X sigue una distribución Normal 𝑁(𝜇;2,1). Sobre ella se formula un contraste de hipótesis bilateral con 𝐻0 :𝜇 =5,5 a un nivel de significación del 8%. Se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño 25 que proporciona una media muestral de 6,3. Plantee dicho contraste, determine su región crítica y razone si se puede aceptar la hipótesis nula.

El servicio de atención al cliente de una empresa funciona eficazmente si el tiempo medio de atención es inferior o igual a 7 minutos. Se toma una muestra de 36 clientes atendidos y se observa que el tiempo medio es de 8 minutos. Suponiendo que el tiempo empleado en atender a un cliente sigue una distribución Normal con varianza 16, plantee un contraste de hipótesis (𝐻0 :𝜇 ≤7), con un nivel de significación de 0,05, determine la región crítica de este contraste y razone si se puede aceptar que ese servicio funciona de forma eficaz.

El peso medio de los pájaros de una determinada especie que habita en un parque natural se consideraba no inferior a 110 g, pero los biólogos del parque sostienen ahora la hipótesis de que dicho peso medio ha disminuido a consecuencia del cambio climático. Se ha tomado una muestra de 100 pájaros de esta especie y se ha obtenido un peso medio de 108 g. Se sabe que la variable que mide el peso de los pájaros de esta especie sigue una distribución Normal con desviación típica igual a 6 g. Plantee un contraste de hipótesis (𝐻0 :𝜇 ≥110), con un nivel de significación del 5%, determine la región crítica de este contraste y, utilizando ésta, razone si con ese nivel se puede aceptar que los biólogos del parque están en lo cierto.

La concentración de arsénico en los moluscos de una zona costera sigue una ley Normal con desviación típica 6 mg/kg. Para verificar la calidad de estos moluscos se toma una muestra aleatoria de tamaño 36 para contrastar si la media poblacional no supera el límite máximo de 80 mg/kg permitido por la normativa sanitaria (𝐻0 :𝜇 ≤80).

1. Determine la región crítica de este contraste a un nivel de significación del 5%.
2. ¿Debe rechazarse esta hipótesis nula, al nivel del 5%, si en esa muestra de 36 moluscos se encuentra una concentración media de arsénico de 82 mg/kg?

Un titular de prensa afirma que el 70% de los jóvenes de una ciudad utilizan las redes sociales para comunicarse. Para contrastar la veracidad de tal afirmación se toma una muestra aleatoria de 500 jóvenes de esa ciudad, y se obtiene que 340 de ellos utilizan la red para comunicarse. Analice mediante un contraste de hipótesis bilateral, (𝐻0 :𝑝 =0,7), si se puede aceptar, con un nivel de significación del 1%, que dicha afirmación es cierta.

Queremos estudiar la proporción de personas de una población que usan una determinada marca de ropa; para ello se hace una encuesta a 950 personas y se obtiene que 215 de ellas usan esa marca. Utilizamos un contraste de hipótesis (𝐻0 :𝑝 ≥0,25).

1. ¿Podemos afirmar con estos datos y con un nivel de significación del 5% que al menos el 25% de toda la población usa esa marca de ropa?
2. ¿Y con un nivel de significación del 1%?

Los responsables de tráfico de una ciudad trabajan con la hipótesis de que, al menos, el 65% de sus habitantes son favorables a la creación de una red de carril-bici en esa ciudad. Encuestados 950 habitantes, elegidos al azar, 590 están a favor de tal medida.

1. Mediante un contraste de hipótesis, (𝐻0 :𝑝 ≥0,65), con un nivel de significación del 10%, ¿se puede decir que tienen razón los responsables de tráfico de esa ciudad?
2. ¿Se concluiría lo mismo si el nivel de significación fuera del 1%?

La concejalía de Educación de una determinada localidad afirma que el tiempo medio dedicado a la lectura por los jóvenes de entre 15 y 20 años de edad es, a lo sumo, de 8 horas semanales. Para contrastar esta hipótesis, (𝐻0 :𝜇 ≤8), se escoge al azar una muestra de 100 jóvenes, de entre 15 y 20 años, y se obtiene una media de 8,3 horas de dedicación a la lectura. Supuesto que el tiempo dedicado a la lectura sigue una ley Normal con desviación típica igual a 1 hora, ¿qué se puede decir, a un nivel de significación del 5%, sobre la afirmación de la concejalía?

Un director sanitario sostiene que el Índice de Masa Corporal (IMC) medio de los adolescentes de su distrito no supera el nivel 25 (sobrepeso). Para contrastar su afirmación toma una muestra aleatoria de 225 adolescentes que da como resultado un IMC medio de 26. Sabiendo que el IMC sigue una distribucion Normal con desviación típica 5 discuta, mediante un contraste de hipótesis con 𝐻0 :𝜇 ≤25, si la afirmación del director sanitario es correcta, con un nivel de significación del 5%.

Los representantes de un partido político creen que la proporción de sus votantes será al menos del 35%. Para confirmarlo eligen una muestra al azar de 1.200 votantes y obtienen que 336 de ellos son partidarios de votarles. Mediante un contraste de hipótesis, con 𝐻0 :𝑝 ≥0,35, y a un nivel de significación del 0,01, ¿se puede admitir como cierta la creencia de los representantes del partido político?

En una bodega utilizan una máquina que debe envasar el vino en botellas con un contenido de 750 ml. Para comprobar si esa maquina funciona correctamente, se toma una muestra de 36 botellas y se observa que el contenido medio de las mismas es de 748 ml. Suponiendo que la variable "contenido" sigue una distribucion Normal con varianza 25, analice mediante un contraste de hipótesis bilateral (𝐻0 :𝑝 =750) si se puede aceptar, con un nivel de significación de 0,05, que la máquina envasadora funciona correctamente.

Se considera que, a lo sumo, el 5% de los artículos guardados en un almacén son defectuosos. Pasado un tiempo, la persona encargada del mantenimiento del almacén decide investigar si esa estimación es adecuada. Para ello, escoge aleatoriamente 300 artículos de los que 35 están defectuosos.

1. Plantee un contraste de hipótesis (𝐻0 :𝑝 ≤0,05) para determinar si ha aumentado la proporción de artículos defectuosos. Obtenga la región crítica del contraste para un nivel de significación del 5%.
2. ¿Qué conclusión se obtiene con los datos muestrales observados?

Un informe de un Ayuntamiento afirma que al menos el 26% de los usuarios del carril bici habrían utilizado el coche particular para sus desplazamientos de no haber existido dicho carril. Sin embargo, un periódico local anuncia la falsedad del dato, informando que una encuesta propia indica que solo 240 de los 1.000 usuarios encuestados afirman que habrían utilizado el coche particular.

1. Establezca un contraste, con hipótesis nula 𝐻0 :𝑝 ≥0,26, para verificar la afirmación del Ayuntamiento e indique la región crítica de dicho contraste para un nivel de significación del 5%.
2. Con este nivel de significación ¿podría aceptarse el informe del Ayuntamiento?

Se cree que al menos el 25% de los usuarios de teléfonos móviles son de contrato. De una encuesta realizada a 950 personas, elegida al azar, 200 de ellas manifestaron que tenían teléfono móvil de contrato. A la vista de estos resultados y con un nivel de significación del 5%, ¿puede admitirse que la proporción de personas con contrato en su teléfono móvil ha disminuido? Utilice para la resolución del problema un contraste de hipótesis con hipótesis nula "la proporción 𝑝 es mayor o igual que 0,25".

Un índice para calibrar la madurez lectora de los alumnos de primaria se distribuye según una ley Normal con desviación típica 2. Elegida una muestra de 18 alumnos en un centro de primaria, se obtiene una media muestral de 10,8 en dicho índice. Mediante el uso de un contraste de hipótesis, ¿se puede aceptar, con un nivel de significación del 1%, la hipótesis nula de que la media del índice de madurez lectora de los alumnos de este centro no es inferior a 11?

En una caja de ahorros se sabe que el porcentaje de los nuevos clientes que contratan un plan de pensiones no supera el 23%. El director de una de las sucursales decide hacer un regalo a cualquier nuevo cliente que contrate uno de esos planes y, tras un mes, comprueba que 110 de los 470 nuevos clientes han contratado un plan de pensiones.

1. Plantee un contraste de hipótesis, con 𝐻0 :𝑝 ≤0,23, para decidir si, con los datos dados, se puede afirmar que la medida del director ha aumentado la contratación de estos planes de pensiones. Halle la región de aceptación de este contraste de hipótesis para un nivel de significación del 5%.
2. Según el resultado del apartado anterior, ¿qué conclusión podemos obtener sobre la medida tomada por el director de esta sucursal?

Una máquina está preparada para fabricar piezas de, a lo sumo, 10 cm de longitud. Se toma una muestra de 1.000 piezas, comprobándose que la media sus longitudes es de 10,0037 cm. La longitud de las piezas fabricadas por esa máquina sigue una ley Normal con desviación típica 0,2 cm.

1. Plantee un contraste de hipótesis unilateral para comprobar si con los datos de esa muestra es posible afirmar que la media de la longitud de las piezas fabricadas por la máquina es de más de 10 cm.
2. Determine la región de aceptación de la hipótesis nula de ese contraste para un nivel de significación 𝛼 =0,025.
3. Con los datos de la muestra y usando el contraste de hipótesis del primer apartado, ¿qué conclusión se obtendría sobre la longitud media de las piezas fabricadas?

El director de una televisión afirma que un nuevo programa que va a emitirse será visto, al menos, por un 30% de personas. Una vez emitido se realizó una encuesta a 500 personas, elegidas al azar, y esta reveló que 130 de ellas habían visto ese programa.

1. Formule la hipótesis nula y la alternativa del contraste de hipótesis que permite determinar si los datos de la encuesta realizada son compatibles con la afirmación del director.
2. Halle la región crítica de ese contraste para un nivel de significación del 5,5%.
3. Según el dato obtenido en el apartado anterior ¿qué conclusión se obtiene sobre la afirmación realizada por el director de esa televisión?

El director de un banco afirma que la cantidad media de dinero extraído, por cliente, de un cajero automático de su sucursal no supera los 120 euros. Para contrastar esta hipótesis elige al azar 100 extracciones de este cajero y obtiene una media muestral de 130 euros. Se sabe que la cantidad de dinero extraído por un cliente en un cajero automático se distribuye según una ley Normal de media desconocida y desviación típica 67 euros.

1. Plantee el contraste de hipótesis asociado al enunciado.
2. Determine la región de aceptación, para un nivel de significación 𝛼 =0,05.
3. Con los datos muestrales tomados, ¿existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis de este director, con el mismo nivel de significación anterior?

Un estudio sociológico afirma que el 70% de las familias cena viendo la televisión. Se desea contrastar la veracidad de esta afirmación y, para ello, se toma una muestra de 500 familias, en la que se observa que 340 ven la televisión mientras cenan. Decida, mediante un contraste de hipótesis, si la afirmación es cierta con un nivel de significación de 0,01.

Suponiendo que la variable “años de vida de los individuos de un país” sigue una distribución Normal con desviación típica 8,9 años, se desea contrastar la hipótesis de que la vida media de los mismos no supera los 70 años. A partir de una muestra aleatoria de 100 individuos se ha obtenido que su vida media ha sido 71,8 años.

1. Formule el contraste de hipótesis que indica el enunciado.
2. Determine la región crítica a un nivel de significación del 5%.
3. Con los datos muestrales, ¿existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis a ese nivel de significación?

Un agricultor piensa que la producción media por naranjo, en su finca, es de 88 kg o más. Para confirmar su creencia selecciona, al azar, 10 de sus naranjos, pesa su producción y obtiene como resultado, en kg, para cada uno de ellos: 80838795869285838495. Se acepta que la producción de un naranjo sigue una distribución Normal con desviación típica 5 kg.

1. Plantee el contraste de hipótesis unilateral que responda a las condiciones del problema y determine la región crítica para un nivel de significación 𝛼 =0,05.
2. Con los datos de esta muestra, ¿qué conclusión debe obtener el agricultor sobre la producción media por naranjo de su finca, utilizando ese mismo nivel de significación?

En una determinada especie animal el porcentaje de mortalidad debida a una enfermedad vírica es de al menos un 40%. Se está realizando un estudio para probar la eficacia de un fármaco que permite tratar esa enfermedad y, consecuentemente, reducir el porcentaje de mortalidad en esa especie. Para ello, se suministró el fármaco a 50 sujetos enfermos, elegidos al azar, de los que murieron 14. A la vista de estos datos, y tomando como nivel de significación 0,015, ¿se puede afirmar que existe evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis 𝐻0 :𝑝 ≥0,4, donde 𝑝 es la proporción, y por lo tanto aceptar la eficacia del fármaco?