Matemáticas de Selectividad

1. Se consideran las matrices 𝐴=(3152)y𝐵=(2132). Determine la matriz 𝑋 que verifica 𝐵𝑋 =3𝐴 +𝐴𝑡.
2. Calcule la matriz 𝑌 que verifica ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝251−52−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠𝑌=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝6−12−6⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥2−12,si 𝑥<−3,−𝑥+3,si −3≤𝑥≤2,𝑥−1,si 𝑥>2.

1. Estudie la continuidad y derivabilidad de 𝑓(𝑥) en su dominio.
2. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
3. Calcule los extremos relativos.

En una urna A hay 10 bolas verdes y 10 rojas, y en otra urna B hay 15 verdes y 5 rojas. Se lanza un dado, de forma que si sale múltiplo de 3 se extrae una bola de la urna A y en el resto de casos se extrae una bola de la urna B.

1. Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea roja.
2. Si la bola extraída resulta ser de color verde, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B?

El peso de los sobres de café que fabrica una empresa sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica 0,3 g. Se quiere construir un intervalo de confianza para estimar dicha media, con un nivel de confianza del 98%, y para ello se toma una muestra de 9 sobres.

1. ¿Qué amplitud tendrá dicho intervalo?
2. ¿Cómo afectaría a dicha amplitud un aumento del tamaño de la muestra, manteniendo el mismo nivel de confianza?
3. Obtenga el intervalo de confianza sabiendo que los pesos, en gramos, de los sobres de la muestra son: 77,176,937,0277,016,57,1.

Se considera el recinto 𝑅 del plano determinado por las siguientes inecuaciones: 5𝑥−4𝑦≤20,𝑥+8𝑦≤48,𝑥≥2,𝑦≥0.

1. Represente gráficamente el recinto 𝑅 y calcule sus vértices.
2. Halle los valores máximo y mínimo que alcanza la función 𝐹(𝑥,𝑦) =2𝑥 +12𝑦 en este recinto e indique dónde se alcanzan.
3. Razone si existen valores (𝑥,𝑦) pertenecientes al recinto para los que 𝐹(𝑥,𝑦) =100.

Sea la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −24𝑥2 +4𝑥.

1. Halle los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión.
2. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓(𝑥) en el punto de abscisa 𝑥 = −2.
3. En el punto de abscisa 𝑥 =1, ¿la función es creciente o decreciente?

En una empresa, el 65% de sus empleados habla inglés, y de éstos, el 40% habla también alemán. De los que no hablan inglés, el 25% habla alemán. Se escoge un empleado al azar.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que hable ambos idiomas?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que hable alemán?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que, sabiendo que habla alemán, hable también inglés?

Los representantes de un partido político creen que la proporción de sus votantes será al menos del 35%. Para confirmarlo eligen una muestra al azar de 1.200 votantes y obtienen que 336 de ellos son partidarios de votarles. Mediante un contraste de hipótesis, con 𝐻0 :𝑝 ≥0,35, y a un nivel de significación del 0,01, ¿se puede admitir como cierta la creencia de los representantes del partido político?