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Ejercicio 2: Junio de 2026

Una empresa maderera fabrica tableros de dos tipos, DM y aglomerado, a partir de madera triturada. Para producir 1 m2 de tablero DM se consumen 10 m3 de madera triturada y se obtiene un beneficio de 10€. Para producir 1 m2 de tablero aglomerado se consumen 30 m3 de madera triturada y se obtiene un beneficio de 20€. La empresa puede fabricar diariamente como máximo 12 m2 de tableros DM y 18 m2 de tableros de aglomerado. Además, la capacidad total de la empresa limita la producción conjunta a 26 m2 diarios y dispone de 600 m3 de madera triturada al día. Determine cuántos metros cuadrados de cada tipo de tablero deben producirse diariamente para maximizar el beneficio total y calcule cuál es ese beneficio.

Ejercicio 2: Reserva 1 de 2025

Una empresa de catering dispone semanalmente de 58 horas de cocina, 50 horas de empaquetado y 60 dm3 de almacenamiento en cámaras frigoríficas para elaborar dos tipos de menús: premium y estándar. Ambos menús requieren tiempo, tanto de preparación como de empaquetado, y espacio de almacenamiento en frigoríficos. Concretamente, el menú premium requiere de 2 horas de cocina, 2 horas de empaquetado y ocupa 1 dm3 en frigoríficos. Por su parte, el menú estándar requiere de 3 horas de cocina, 1 hora de empaquetado y ocupa 4 dm3 en frigoríficos. El beneficio obtenido por cada menú premium es de 10,50€ y por cada menú estándar es de 5,50€. La empresa sabe que venderá todos los menús producidos. Determine cuántos menús de cada tipo deben elaborarse semanalmente para maximizar el beneficio total y a cuánto asciende este beneficio.

Ejercicio 2: Reserva 2 de 2025

Un servicio técnico recibe un encargo para revisar lavadoras y frigoríficos de una empresa de apartahoteles. La revisión de cada lavadora requiere 100 minutos de trabajo, mientras que cada frigorífico requiere 50 minutos. El servicio técnico dispone de 26 horas y 40 minutos para hacer las revisiones. Por política de empresa, no se aceptan encargos de más de 12 lavadoras ni de más de 16 frigoríficos. Sabiendo que las revisiones se pagan a 50€ la hora, en ambos tipos de electrodomésticos, ¿cuántos electrodomésticos de cada clase debe revisar el servicio técnico para maximizar el ingreso con el encargo? ¿A cuánto asciende este ingreso máximo?

Ejercicio 2: Reserva 3 de 2025

Una agricultora vende en su tienda online frutas y hortalizas envasándolas en cajas de dos tipos diferentes. La caja "El regalo de la tierra" la vende a 19,75€ y contiene 3 kg de frutas y 3,5 kg de hortalizas. La caja "El tesoro de la huerta" contiene 2 kg de frutas y 4 kg de hortalizas y la vende a 18,50€. La agricultora dispone semanalmente de 210 kg de hortalizas y 150 kg de frutas. Debe vender al menos 12 cajas de "El regalo de la tierra" y no menos de 15 cajas de "El tesoro de la huerta". ¿Cuántas cajas de cada tipo debe vender a la semana para que el ingreso por la venta sea máximo? ¿A cuánto asciende este ingreso?

Ejercicio 2: Reserva 4 de 2025

Un fabricante produce mensualmente dos tipos de abonos ecológicos, A y B, que vende en su totalidad, obteniendo unos beneficios de 15 y 10 euros por kilogramo (kg), respectivamente. La producción de abono del tipo A no puede superar los 200 kg; el doble de la producción de B menos el triple de la producción de A es a lo sumo 100 kg. Además, la producción de A más el doble de la producción de B es como mucho de 500 kg. Obtenga las cantidades que este fabricante debe producir de sendos abonos para obtener el máximo beneficio e indique el valor de este beneficio.

Ejercicio 2: Julio de 2025

Un agricultor cultiva dos tipos de lechuga: iceberg y romana. Por razones de demanda, en cada ciclo de cultivo, la cantidad de iceberg debe ser al menos la mitad de la de romana, pero no puede superar las 1.500 unidades. Además, deben cultivarse en total entre 900 y 2.400 lechugas. El cultivo de iceberg requiere 15 litros de agua por unidad, mientras que el de romana necesita 18 litros de agua por unidad. ¿Cuántas unidades de cada tipo de lechuga deben cultivarse para minimizar el consumo total de agua?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de unidades de lechuga iceberg e 𝑦 al de lechuga romana.

Las restricciones del problema son: ⎧{ { { { {⎨{ { { { {⎩𝑥≥𝑦2,𝑥≤1.500,𝑥+𝑦≥900,𝑥+𝑦≤2.400,𝑥≥0,𝑦≥0⇔⎧{ { { {⎨{ { { {⎩2𝑥≥𝑦,𝑥≤1.500,𝑥+𝑦≥900,𝑥+𝑦≤2.400,𝑥≥0,𝑦≥0. La función objetivo a minimizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=15𝑥+18𝑦.

Representamos la región. Figura Hallamos los vértices desconocidos.

  • Para determinar el vértice 𝐴, resolvemos el sistema: {2𝑥=𝑦,𝑥+𝑦=900⇔{𝑥=300,𝑦=600.
  • Para determinar el vértice 𝐵, resolvemos el sistema: {2𝑥=𝑦,𝑥+𝑦=2.400⇔{𝑥=800,𝑦=1.600.
  • Para determinar el vértice 𝐶, resolvemos el sistema: {𝑥=1.500,𝑥+𝑦=2.400⇔{𝑥=1.500,𝑦=900.
  • Para determinar el vértice 𝐸, resolvemos el sistema: {𝑥+𝑦=900,𝑦=0⇔{𝑥=900,𝑦=0.
Por tanto, los vértices son: 𝐴(300,600),𝐵(800,1.600),𝐶(1.500,900),𝐷(1.500,0)y𝐸(900,0).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el mínimo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(300,600)=15.300,𝐹(𝐵)=𝐹(800,1.600)=40.800,𝐹(𝐶)=𝐹(1.500,900)=38.700,𝐹(𝐷)=𝐹(1.500,0)=22.500,𝐹(𝐸)=𝐹(900,0)=13.500. Por tanto, el consumo de agua mínimo se alcanza cultivando 900 lechugas iceberg y ninguna lechuga romana.

Ejercicio 2: Junio de 2024

Un agricultor posee una finca con un olivar intensivo de secano y desea transformar una parte de la misma en regadío, pero manteniendo un mínimo de 20 hectáreas de cultivo de secano. Para ello, anualmente dispone de 30.000 m3 de agua, de 5.500 kg de abono y de 3.000 kg de productos fitosanitarios. Cada hectárea de olivar de regadío necesita 1.500 m3 de agua, 110 kg de abono y 80 kg de productos fitosanitarios; mientras que cada hectárea de olivar de secano precisa de 100 kg de abono y 50 kg de productos fitosanitarios. Se sabe que la producción anual por hectárea es de 5.000 kg en secano y de 10.000 kg en regadío. Determine el número de hectáreas de olivar de secano y de regadío que el agricultor debe cultivar para maximizar su producción, así como la producción maxima esperada.

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de hectáreas de secano e 𝑦 al de regadío. Podemos organizar la información en una tabla.

Agua (m3) Abono (kg) Productos (kg) Costes (€)
Secano 0 100 50 5.000
Regadío 1.500 110 80 10.000
Máximo 30.000 5.500 3.000

Las restricciones del problema son: ⎧{ { { {⎨{ { { {⎩𝑥≥20,1.500𝑦≤30.000,100𝑥+110𝑦≤5.500,50𝑥+80𝑦≤3.000,𝑦≥0⇔⎧{ { { {⎨{ { { {⎩𝑥≥20,𝑦≤20,10𝑥+11𝑦≤550,5𝑥+8𝑦≤300,𝑦≥0. La función objetivo a maximizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=5.000𝑥+10.000𝑦.

Representamos la región. Figura Hallamos los vértices desconocidos.

  • Para determinar el vértice 𝐶, planteamos el sistema: {𝑦=20,5𝑥+8𝑦=300⇔{𝑥=28,𝑦=20.
  • Para determinar el vértice 𝐷, planteamos el sistema: {10𝑥+11𝑦=550,5𝑥+8𝑦=300⇔{𝑥=44,𝑦=10.
Por tanto, los vértices son: 𝐴(20,0),𝐵(20,20),𝐶(28,20),𝐷(44,10)y𝐸(55,0).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(20,0)=100.000,𝐹(𝐵)=𝐹(20,20)=300.000,𝐹(𝐶)=𝐹(28,20)=340.000,𝐹(𝐷)=𝐹(44,10)=320.000,𝐹(𝐸)=𝐹(55,0)=275.000. Por tanto, el valor máximo de la producción se alcanza cultivando 28 hectáreas de secano y 20 de regadío, con una producción de 340.000 kg.

Ejercicio 2: Reserva 1 de 2024

A una tienda de decoración le han encargado decorar las mesas de un salón de celebraciones con centros florales y candelabros. En el salón se montan siempre entre 12 y 40 mesas. En cada mesa solo se puede colocar un centro floral o un candelabro y, además, el número de candelabros no puede ser superior a una tercera parte de los centros florales. Si el precio de cada centro floral es de 32€ y el de cada candelabro de 35€, ¿cuántos artículos de cada tipo debe seleccionar la tienda para maximizar sus ingresos? ¿A cuánto ascenderán dichos ingresos?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de centros florales e 𝑦 al de candelabros. Las restricciones del problema son: ⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥+𝑦≥12,𝑥+𝑦≤40,𝑦≤𝑥3,𝑦≥0⇔⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥+𝑦≥12,𝑥+𝑦≤40,3𝑦≤𝑥,𝑦≥0. La función objetivo a maximizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=32𝑥+35𝑦.

Representamos la región. Figura Los vértices son: 𝐴(12,0),𝐵(9,3),𝐶(30,10)y𝐷(40,0).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(12,0)=384,𝐹(𝐵)=𝐹(9,3)=393,𝐹(𝐶)=𝐹(30,10)=1.310,𝐹(𝐷)=𝐹(40,0)=1.280. Por tanto, el valor máximo de los ingresos se alcanza seleccionando 30 centros florales y 10 candelabros, con unas ganancias de 1.310€.

Ejercicio 2: Reserva 2 de 2024

Para un proyecto de software libre se dispone de 150 desarrolladores de JavaScript y 120 de Python. Es necesario formar equipos de trabajo de dos tipos. El primer tipo estará compuesto por 2 desarrolladores de JavaScript y 3 de Python, y el segundo tipo por 6 de JavaScript y 4 de Python. Se requieren al menos 6 equipos del segundo tipo. Determine cuántos equipos de cada tipo se podrán formar para obtener el mayor número de equipos posible. En tal caso, ¿cuántos desarrolladores de JavaScript y Python se utilizarán?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de equipos del primer tipo e 𝑦 al de equipos del segundo tipo. Podemos organizar la información en una tabla.

JavaScript Python
Primer tipo 2 3
Segundo tipo 6 4
Máximo 150 120

Las restricciones del problema son: ⎧{ { {⎨{ { {⎩2𝑥+6𝑦≤150,3𝑥+4𝑦≤120,𝑦≥6,𝑥≥0⇔⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥+3𝑦≤75,3𝑥+4𝑦≤120,𝑦≥6,𝑥≥0. La función objetivo a maximizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=𝑥+𝑦.

Representamos la región. Figura Los vértices son: 𝐴(0,6),𝐵(0,25),𝐶(12,21)y𝐷(32,6).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(0,6)=6,𝐹(𝐵)=𝐹(0,25)=25,𝐹(𝐶)=𝐹(12,21)=32,𝐹(𝐷)=𝐹(32,6)=38. Por tanto, el número máximo de equipos se obtiene con 32 del primer tipo y 6 del segundo tipo, utilizando 2 ⋅32 +6 ⋅6 =100 desarrolladores de JavaScript y 3 ⋅32 +6 =120 desarrolladores de Python.

Ejercicio 2: Reserva 3 de 2024

Un centro de bricolaje, que almacena bidones de pintura de interior y de exterior, cuenta con una capacidad máxima de almacenaje de 160 bidones. Por una cuestión logística, en el almacén deben mantenerse al menos 60 bidones, siendo como mínimo 20 bidones de pintura interior. Además, el número de bidones de pintura exterior almacenados no podrá ser inferior al de pintura interior. Se sabe que el gasto diario por almacenar cada bidón de pintura interior es de 1,50€ y por cada bidón de pintura exterior es de 0,90€. Calcule cuántos bidones de cada tipo se deben almacenar para que el gasto diario sea mínimo e indique cuánto supone ese gasto mínimo.

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de bidones de pintura de interior e 𝑦 al de bidones de pintura de exterior. Las restricciones del problema son: ⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥+𝑦≤160,𝑥+𝑦≥60,𝑥≥20,𝑦≥𝑥. La función objetivo a minimizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=1,5𝑥+0,9𝑦.

Representamos la región factible. Figura Los vértices son: 𝐴(20,40),𝐵(20,140),𝐶(60,60)y𝐷(30,30).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el mínimo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(20,40)=66,𝐹(𝐵)=𝐹(20,140)=156,𝐹(𝐶)=𝐹(60,60)=192,𝐹(𝐷)=𝐹(30,30)=72. Por tanto, el coste diario mínimo se alcanza almacenando 20 bidones de pintura de interior y 40 de exterior, con unos gastos de 66€.

Ejercicio 2: Reserva 4 de 2024

Un joyero desea fabricar dos tipos de pulseras, A y B, y para ello dispone de 50 g de oro, 40 g de platino y 25 g de plata. Para fabricar las del tipo A necesita 1 g de oro y 2 g de platino, mientras que para las del tipo B requiere 2 g de oro, 1 g de platino y 1 g de plata. Cada pulsera del tipo A se vende por 150€ y cada una del tipo B por 200€. Si se vende toda la producción, ¿cuántas pulseras de cada tipo debe fabricar para maximizar los ingresos y a cuánto ascienden éstos? ¿Qué cantidad de cada metal sobrará cuando se fabrique el número de joyas que proporciona el máximo beneficio?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de pulseras del tipo A e 𝑦 al número de pulseras del tipo B. Podemos organizar la información en una tabla.

Oro (g) Platino (g) Plata (g) Precio (€)
Tipo A 1 2 0 150
Tipo B 2 1 1 200
Máximo 50 40 25

Las restricciones del problema son: ⎧{ { { {⎨{ { { {⎩𝑥+2𝑦≤50,2𝑥+𝑦≤40,𝑦≤25,𝑥≥0,𝑦≥0. La función objetivo a maximizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=150𝑥+200𝑦.

Representamos la región factible. Figura Los vértices son: 𝐴(0,0),𝐵(0,25),𝐶(10,20)y𝐷(20,0).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(0,0)=0,𝐹(𝐵)=𝐹(0,25)=5.000,𝐹(𝐶)=𝐹(10,20)=5.500,𝐹(𝐷)=𝐹(20,0)=3.000. Por tanto, el máximo de los ingresos se alcanza fabricando 10 pulseras de tipo A y 20 de tipo B, con unos beneficios de 5.500€. Se gastarán 10 +2 ⋅20 =50 gramos de oro, 2 ⋅10 +20 =40 gramos de platino y 20 gramos de plata, así que solo sobrarán 5 gramos de plata.

Ejercicio 2: Julio de 2024

Una empresa tiene un presupuesto de 78.000€ para promocionar un producto y quiere contratar la emisión de anuncios por radio y televisión. El coste de emisión de un anuncio de radio es de 2.400€ y de un anuncio de televisión de 3.600€. La empresa quiere que la diferencia entre el número de anuncios emitidos de cada tipo no sea mayor que 10 y que se emitan un mínimo de 10 anuncios en total. Si la emisión de un anuncio de radio llega a 34.000 personas y de un anuncio de televisión a 72.000 personas, ¿cuántas emisiones de cada tipo debe contratar para que la audiencia sea la mayor posible? ¿A cuánto ascendería dicha audiencia?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de emisiones de anuncios por radio e 𝑦 al de anuncios por televisión. Las restricciones del problema son: ⎧{ { {⎨{ { {⎩2.400𝑥+3.600𝑦≤78.000,𝑥−𝑦≤10,𝑦−𝑥≤10,𝑥+𝑦≥10⇔⎧{ { {⎨{ { {⎩6𝑥+9𝑦≤195,𝑥−𝑦≤10,𝑦−𝑥≤10,𝑥+𝑦≥10. La función objetivo a maximizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=34.000𝑥+72.000𝑦.

Representamos la región. Figura Los vértices son: 𝐴(0,10),𝐵(7,17),𝐶(19,9)y𝐷(10,0).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(0,10)=720.000,𝐹(𝐵)=𝐹(7,17)=1.462.000,𝐹(𝐶)=𝐹(19,9)=1.294.000,𝐹(𝐷)=𝐹(10,0)=340.000. Por tanto, el valor máximo de audiencia se alcanza contratando 7 emisiones de radio y 17 de televisión, con una audiencia de 1.462.000 personas.

Ejercicio 1: Junio de 2023

Sean la función 𝐹(𝑥,𝑦) =5𝑥 −3𝑦 y la región del plano 𝑅 definida mediante las inecuaciones 2𝑥−3𝑦≤1,4𝑥+𝑦≤9,𝑥+𝑦≤5,9𝑥−𝑦≥0,𝑦≥0.

  1. Dibuje la región 𝑅 y calcule sus vértices.
  2. Indique razonadamente si los puntos 𝐴(2,2) y 𝐵(1;3,5) pertenecen a la región 𝑅.
  3. Obtenga los puntos de la región 𝑅 donde 𝐹 alcanza el máximo y el mínimo y calcula sus correspondientes valores.

Resolución
  1. Dibujamos la región 𝑅. Figura Los vértices son 𝐴(0,0),𝐵(0,5;4,5),𝐶(43,113),𝐷(2,1)y𝐸(0,5;0).
  2. Un punto pertenece a la región 𝑅 si verifica todas las inecuaciones que la definen.
    • Veamos si el punto (2,2) pertenece a 𝑅. 2⋅2−3⋅2=−2≤1,4⋅2+2=10≰9. Como no verifica la segunda inecuación, no pertenece a la región.
    • Veamos si el punto (1;3,5) pertenece a 𝑅. 2⋅1−3⋅3,5=−8,5≤1,4⋅1+3,5=7.5≤9,1+3,5=4,5≤5,9⋅1−3,5=5,5≥0,3,5≥0. Como verifica todas las inecuaciones, pertenece a la región.
  3. Para hallar los valores máximos y mínimos de la función 𝐹, la evaluamos en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(0,0)=0,𝐹(𝐵)=𝐹(0,5;4,5)=−11,𝐹(𝐶)=𝐹(43,113)=−133≈−4,33,𝐹(𝐷)=𝐹(2,1)=7,𝐹(𝐸)=𝐹(0,5;0)=2,5. Por tanto, el máximo se alcanza en el punto 𝐷(2,1) y el valor de la función es 7, mientras que el mínimo se alcanza en el punto 𝐵(0,5;4,5) y el valor es -11.

Ejercicio 2: Reserva 1 de 2023

Una empresa de material informático dispone de dos cadenas de fabricación, A y B, en las que quiere aumentar su producción realizando horas extraordinarias. En una hora extraordinaria de trabajo, la cadena A prepara 15 portátiles y 6 tablets, y la cadena B prepara 10 portátiles y 10 tablets. Los costes de producción por hora extraordinaria de A y B son de 300€ y 600€ respectivamente. La cadena B puede realizar, como máximo, el triple de horas extraordinarias que la cadena A. Si para la próxima semana se debe producir adicionalmente un máximo de 360 portátiles y al menos 216 tablets, formule y resuelva el problema que permita obtener la planificación de la empresa que minimice los costes de producción. ¿A cuánto ascienden dichos costes?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de horas extraordinarias de la cadena A la próxima semana e 𝑦 al número de horas extraordinarias de la cadena B. Podemos organizar la información en una tabla.

Portátiles Tablets Costes (€)
Cadena A 15 6 300
Cadena B 10 10 600
Máximo 360 216

Las restricciones del problema son: ⎧{ { { {⎨{ { { {⎩15𝑥+10𝑦≤360,6𝑥+10𝑦≥216,𝑦≤3𝑥,𝑥≥0,𝑦≥0⇔⎧{ { { {⎨{ { { {⎩3𝑥+2𝑦≤72,3𝑥+5𝑦≥108,𝑦≤3𝑥,𝑥≥0,𝑦≥0, La función objetivo a minimizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=300𝑥+600𝑦.

Representamos la región factible. Figura Los vértices son: 𝐴(6,18),𝐵(8,24)y𝐶(16,12).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el mínimo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(6,18)=12.600,𝐹(𝐵)=𝐹(8,24)=16.800,𝐹(𝐶)=𝐹(16,12)=12.000. Por tanto, el valor mínimo de los costes se alcanza realizando 16 horas extraordinarias de la cadena A y 12 de la cadena B, con unos costes de 12.000€.

Ejercicio 2: Reserva 2 de 2023

Una compañía de transporte marítimo de mercancías dispone de dos barcos 𝐵1 y 𝐵2 para realizar una determinada ruta, durante un año, entre dos ciudades costeras europeas. El barco 𝐵1 no puede realizar más de 14 viajes y debe realizar tantos viajes o más que el barco 𝐵2. Entre los dos barcos deben realizar al menos 10 viajes y como mucho 24. La compañía obtiene unos beneficios de 15.000€ por cada viaje del barco 𝐵1 y 17.000€ por cada viaje del barco 𝐵2. Halle el número de viajes que debe realizar cada barco para que el beneficio obtenido por la empresa sea máximo y obtenga dicho beneficio.

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de viajes realizados por el barco 𝐵1 en un año e 𝑦 al de los realizados por 𝐵2.

Las restricciones del problema son: ⎧{ { { {⎨{ { { {⎩𝑥≤14,𝑥≥𝑦,𝑥+𝑦≥10,𝑥+𝑦≤24,𝑦≥0. La función objetivo a maximizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=15.000𝑥+17.000𝑦.

Representamos la región factible. Figura Los vértices son: 𝐴(10,0),𝐵(5,5),𝐶(12,12),𝐷(14,10),𝐸(14,0).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(10,0)=150.000,𝐹(𝐵)=𝐹(5,5)=160.000,𝐹(𝐶)=𝐹(12,12)=384.000,𝐹(𝐷)=𝐹(14,10)=380.000,𝐹(𝐸)=𝐹(14,0)=210.000. Por tanto, el valor máximo de los beneficios se alcanza realizando 12 viajes con cada barco en un año, con unas ganancias de 384.000€.

Ejercicio 1: Reserva 3 de 2023

El aforo de un campo de fútbol es de 10.000 personas. Según el reglamento establecido por la federación de fútbol, como máximo deben ponerse a la venta 3.000 entradas para los aficionados del equipo visitante y por cada aficionado visitante debe haber dos aficionados locales como mínimo y cuatro aficionados locales como máximo. Si el precio de la entrada es de 50€ pero el aficionado local tiene un descuento del 20%, ¿cuántos aficionados locales y visitantes deben asistir para obtener el mayor importe con la venta de las entradas?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de aficionados del equipo local que asisten al partido e 𝑦 al de aficionados del equipo visitante.

Las restricciones del problema son: ⎧{ { { {⎨{ { { {⎩𝑥+𝑦≤10.000,𝑦≤3.000,𝑥≥2𝑦,𝑥≤4𝑦,𝑦≥0. Como el precio de la entrada para los aficionados del equipo local es de 50 ⋅0,8 =40€, la función objetivo a maximizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=40𝑥+50𝑦.

Representamos la región factible. Figura Los vértices son: 𝐴(0,0),𝐵(6.000,3.000),𝐶(7.000,3.000),𝐷(8.000,2.000).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(0,0)=0,𝐹(𝐵)=𝐹(6.000,3.000)=390.000,𝐹(𝐶)=𝐹(7.000,3.000)=430.000,𝐹(𝐷)=𝐹(8.000,2.000)=420.000. Por tanto, el valor máximo de los beneficios se alcanza con 7.000 aficionados del equipo local y 3.000 del equipo visitante, con un importe de 430.000€.

Ejercicio 1: Reserva 4 de 2023

Una empresa de pinturas quiere elaborar botes de pintura de dos colores nuevos: Júpiter y Minerva. Para ello, dispone de 1.000 kg de pintura de color verde, 800 kg de color morado y 300 kg de color naranja. Para elaborar un bote de color Júpiter se necesitan 10 kg de pintura verde, 5 kg de morada y 5 kg de naranja. Para elaborar un bote de color Minerva se necesitan 5 kg de pintura verde y 5 kg de morada. Sabiendo que se obtiene un beneficio de 30€ por cada bote de pintura Júpiter y 20€ por un bote de pintura Minerva, ¿cuántos botes de cada tipo deberá fabricar la empresa para obtener un beneficio máximo? ¿Cuál será el valor de ese beneficio?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de botes de pintura de color Júpiter e 𝑦 al de Minerva. Podemos organizar la información en una tabla.

Verde (kg) Morado (kg) Naranja (kg) Beneficio (€)
Júpiter 10 5 5 30
Minerva 5 5 0 20
Total 1.000 800 300

Las restricciones del problema son: ⎧{ { { {⎨{ { { {⎩10𝑥+5𝑦≤1.000,5𝑥+5𝑦≤800,5𝑥≤300,𝑥≥0,𝑦≥0.⇔⎧{ { { {⎨{ { { {⎩2𝑥+𝑦≤200,𝑥+𝑦≤160,𝑥≤60,𝑥≥0,𝑦≥0. La función objetivo a maximizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=30𝑥+20𝑦.

Representamos la región factible. Figura Los vértices son: 𝐴(0,0),𝐵(0,160),𝐶(40,120),𝐷(60,80)y𝐸(60,0).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(0,0)=0,𝐹(𝐵)=𝐹(0,160)=3.200,𝐹(𝐶)=𝐹(40,120)=3.600,𝐹(𝐷)=𝐹(60,80)=3.400,𝐹(𝐸)=𝐹(60,0)=1.800. Por tanto, el valor máximo de los beneficios se alcanza fabricando 40 botes de pintura de color Júpiter y 120 de Minerva, con unas ganancias de 3.600€.

Ejercicio 2: Julio de 2023

Un artesano decide montar dos tipos de anillos utilizando dos tipos de piedras semipreciosas, una de mayor calidad que otra. Para montar uno de los anillos tarda 20 minutos y utiliza 1 de las piedras de mayor calidad y 2 de las de menor calidad. Para el otro tarda 50 minutos y utiliza 3 piedras de mayor calidad y 1 de menor calidad. Semanalmente, el artesano dispone de 200 piedras de mayor calidad y 150 de menor calidad. Además, quiere trabajar al menos 1.900 minutos a la semana. Sabiendo que el primer tipo de anillo se vende a 21€, el segundo a 50€ y que deben fabricarse al menos 20 anillos del primer tipo a la semana, determine cuántos anillos de cada tipo deben montarse para maximizar el valor de la venta. ¿A cuánto asciende dicho valor?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de anillos a la semana del primer tipo y 𝑦 al del segundo tipo. Podemos organizar la información en una tabla.

Tiempo (min) Piedras de mayor calidad Piedras de menor calidad Precio (€)
Anillo de tipo 1 20 1 2 21
Anillo de tipo 2 50 3 1 50
Total 1.900 200 150

Las restricciones del problema son: ⎧{ { { {⎨{ { { {⎩20𝑥+50𝑦≥1.900,𝑥+3𝑦≤200,2𝑥+𝑦≤150,𝑥≥20,𝑦≥0⇔⎧{ { { {⎨{ { { {⎩2𝑥+5𝑦≥190,𝑥+3𝑦≤200,2𝑥+𝑦≤150,𝑥≥20,𝑦≥0. La función objetivo a maximizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=21𝑥+50𝑦.

Representamos la región factible. Figura Los vértices son: 𝐴(20,30),𝐵(20,60),𝐶(50,50)y𝐷(70,10).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(20,30)=1.920,𝐹(𝐵)=𝐹(20,60)=3.420,𝐹(𝐶)=𝐹(50,50)=3.550,𝐹(𝐷)=𝐹(70,10)=1.970. Por tanto, el valor máximo de la venta se alcanza fabricando 50 anillos de cada tipo a la semana, con un beneficio de 3.550€.

Ejercicio 1: Junio de 2022

Una pastelería decide preparar dos tipos de cajas de pastelitos para regalar a los clientes en su inauguración. En total dispone de 120 piononos y 150 pestiños. En la caja del primer tipo habrá 3 piononos y 2 pestiños y en la del segundo tipo 4 piononos y 6 pestiños. Deben preparar al menos 9 cajas del segundo tipo. Determine cuántas cajas de cada tipo deberá preparar para realizar el máximo número de regalos posible. En este caso, indique cuántos piononos y cuántos pestiños se utilizarán.

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de cajas del primer tipo e 𝑦 al del segundo tipo. Podemos organizar la información en una tabla.

Piononos Pestiños
Caja de tipo 1 3 2
Caja de tipo 2 4 6
Total 120 150

Las restricciones del problema son: ⎧{ { {⎨{ { {⎩3𝑥+4𝑦≤120,2𝑥+6𝑦≤150,𝑦≥9,𝑥≥0⇔⎧{ { {⎨{ { {⎩3𝑥+4𝑦≤120,𝑥+3𝑦≤75,𝑦≥9,𝑥≥0. La función objetivo a maximizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=𝑥+𝑦.

Representamos la región factible. Figura Los vértices son: 𝐴(0,9),𝐵(0,25),𝐶(12,21)y𝐷(28,9).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(0,9)=9,𝐹(𝐵)=𝐹(0,25)=25,𝐹(𝐶)=𝐹(12,21)=33,𝐹(𝐷)=𝐹(28,9)=37. Por tanto, el número máximo de regalos se alcanza preparando 28 cajas del primer tipo y 9 del segundo tipo. Se realizarán 28 ⋅3 +9 ⋅4 =120 piononos y 28 ⋅2 +9 ⋅6 =110 pestiños.

Ejercicio 2: Reserva 1 de 2022

Una sastrería dispone de 70 m2 de tela de lino y de 150 m2 de tela de algodón. En la confección de un traje se emplea 1 m2 de tela de lino y 3 m2 de tela de algodón, y en un vestido se necesitan 2 m2 de tela de cada tipo. Se obtienen 60 euros de beneficio por cada traje y 70 euros por cada vestido. Determine el número de trajes y vestidos que se deben confeccionar para obtener el máximo beneficio, así como dicho beneficio máximo.

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de trajes e 𝑦 al número de vestidos. Podemos organizar la información en una tabla.

Lino (m2) Algodón (m2) Beneficios (€)
Traje 1 3 60
Vestido 2 2 70
Total 70 150

Las restricciones del problema son: ⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥+2𝑦≤70,3𝑥+2𝑦≤150,𝑥≥0,𝑦≥0. La función objetivo a maximizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=60𝑥+70𝑦.

Representamos la región factible. Figura Los vértices son: 𝐴(0,0),𝐵(0,35),𝐶(40,15)y𝐷(50,0).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(0,0)=0,𝐹(𝐵)=𝐹(0,35)=2.450,𝐹(𝐶)=𝐹(40,15)=3.450,𝐹(𝐷)=𝐹(50,0)=3.000. Por tanto, el valor máximo de los beneficios se alcanza confeccionando 40 trajes y 15 vestidos, con unas ganancias de 3.450€.

Ejercicio 1: Reserva 2 de 2022

Se considera el recinto definido por las siguientes inecuaciones: 𝑥+2𝑦≥7,2𝑥−𝑦≤4,4𝑥−𝑦≥1,3𝑥+2𝑦≤20.

  1. Represente dicho recinto y calcule sus vértices.
  2. Obtenga el valor máximo de la función 𝐹(𝑥,𝑦) =𝑥 +3𝑦 en el recinto anterior, así como el punto donde se alcanza.

Resolución
  1. Representamos el recinto. Figura Los vértices son 𝐴(1,3),𝐵(2,7),𝐶(4,4)y𝐷(3,2).
  2. Para hallar el valor máximo de la función 𝐹, la evaluamos en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(1,3)=10,𝐹(𝐵)=𝐹(2,7)=23,𝐹(𝐶)=𝐹(4,4)=16,𝐹(𝐷)=𝐹(3,2)=9. Por tanto, el máximo se alcanza en el punto 𝐵(2,7) y el valor de la función es 23.

Ejercicio 2: Reserva 3 de 2022

Una papelería quiere vender 400 cuadernos de vacaciones y 300 estuches de lápices de colores. Para ello ha preparado dos lotes de esos productos a precios especiales. Los lotes de tipo A contienen 2 cuadernos y 2 estuches; los lotes de tipo B contienen 3 cuadernos y 1 estuche. No es posible vender más de 100 lotes de tipo B. Cada lote de tipo A se vende a 35€ y cada lote de tipo B a 45€. Calcule cuántos lotes de cada tipo debe vender la papelería para conseguir el máximo valor de ventas. ¿A cuánto asciende dicho valor?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de lotes vendidos de tipo A e 𝑦 al de tipo B. Podemos organizar la información en una tabla.

Cuadernos Estuches Precio (€)
Tipo A 2 2 35
Tipo B 3 1 45
Máximo 400 300

Las restricciones del problema son: ⎧{ { { {⎨{ { { {⎩2𝑥+3𝑦≤400,2𝑥+𝑦≥300,𝑦≤100,𝑥≥0,𝑦≥0. La función objetivo a maximizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=35𝑥+45𝑦.

Representamos la región factible. Figura Los vértices son: 𝐴(0,0),𝐵(0,100),𝐶(50,100),𝐷(125,50)y𝐸(150,0).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(0,0)=0,𝐹(𝐵)=𝐹(0,100)=4.500,𝐹(𝐶)=𝐹(50,100)=6.250,𝐹(𝐷)=𝐹(125,50)=6.625,𝐹(𝐸)=𝐹(150,0)=5.250. Por tanto, el valor máximo de las ventas se alcanza vendiendo 125 lotes de tipo A y 50 de tipo B, con unos beneficios de 6.625€.

Ejercicio 1: Reserva 4 de 2022

Una fábrica de juguetes educativos produce juegos de ajedrez y dominó. Para fabricar un ajedrez se necesitan 2kg de madera y 4 horas de trabajo, mientras que para fabricar un dominó se necesita 1kg de madera y 1 hora de trabajo. Para que la producción sea rentable hay que hacer al día al menos 3 juegos y emplear como máximo 7kg de madera y 9 horas de trabajo. Cada ajedrez se vende por 40€ y cada dominó por 15€. ¿Cuántos juegos de ajedrez y dominó deben fabricarse diariamente para que la ganancia obtenida sea máxima? ¿Cuál será esa ganancia?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de juegos de ajedrez e 𝑦 al de dominó. Podemos organizar la información en una tabla.

Madera (kg) Trabajo (h) Precio (€)
Ajedrez 2 4 40
Dominó 1 1 15
Máximo 7 9

Las restricciones del problema son: ⎧{ { { {⎨{ { { {⎩2𝑥+𝑦≤7,4𝑥+𝑦≤9,𝑥+𝑦≤3,𝑥≥0,𝑦≥0. La función objetivo a maximizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=40𝑥+15𝑦.

Representamos la región factible. Figura Los vértices son: 𝐴(0,3),𝐵(0,7),𝐶(1,5)y𝐷(2,1).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(0,3)=45,𝐹(𝐵)=𝐹(0,7)=105,𝐹(𝐶)=𝐹(1,5)=115,𝐹(𝐷)=𝐹(2,1)=95. Por tanto, la ganancia máxima se alcanza fabricando 1 juego de ajedrez y 5 juegos de dominó diarios, con unos beneficios de 115€.

Ejercicio 2: Julio de 2022

Se considera el recinto limitado por las siguientes inecuaciones: 𝑦−2𝑥≤7,−𝑥+3𝑦≤21,𝑥+2𝑦≤19,𝑥+𝑦≤14.

  1. Represente dicho recinto y determine sus vértices.
  2. Calcule los valores máximo y mínimo de la función 𝐹(𝑥,𝑦) =𝑥 +4𝑦 en el recinto anterior, así como los puntos donde se alcanzan.
  3. ¿Podría tomar la función objetivo 𝐹 el valor 40 en algún punto de la región factible? ¿Y el valor 20? Justifique las respuestas.

Resolución
  1. Dibujamos la región. Figura Los vértices son 𝐴(0,7),𝐵(3,8)y𝐶(9,5).
  2. El recinto no está acotado inferiormente, así que la función objetivo no tiene mínimo. Para hallar el valor máximo de 𝐹, la evaluamos en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(0,7)=28,𝐹(𝐵)=𝐹(3,8)=35y𝐹(𝐶)=𝐹(9,5)=29. Por tanto, el máximo es 35 y se alcanza en el punto 𝐵(3,8).
  3. Como el valor máximo de la función objetivo en la región factible es 35, ningún punto de la región puede alcanzar el valor 40. En cambio, el valor 20 sí puede tomarse puesto que la función no tiene mínimo en la región.

Ejercicio 1: Junio de 2021

Una empresa de recambios industriales produce dos tipos de baterías, A y B. Su producción semanal debe ser de al menos 10 baterías en total y el número de baterías de tipo B no puede superar en más de 10 unidades a las fabricadas de tipo A. Cada batería de tipo A tiene unos gastos de producción de 150 euros y cada batería de tipo B de 100 euros, disponiendo de un máximo de 6.000 euros a la semana para el coste total de producción. Si la empresa vende todo lo que produce y cada batería de tipo A genera un beneficio de 130 euros y la de tipo B de 140 euros, ¿cuántas baterías de cada tipo tendrán que producir a la semana para que el beneficio total sea máximo? ¿Cuál es ese beneficio?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de baterías de tipo A e 𝑦 al de tipo B.

Las restricciones del problema son: ⎧{ { { {⎨{ { { {⎩𝑥+𝑦≥10,𝑦≤𝑥+10,150𝑥+100𝑦≤6.000,𝑥≥0,𝑦≥0⇔⎧{ { { {⎨{ { { {⎩𝑥+𝑦≥10,𝑦≤𝑥+10,3𝑥+2𝑦≤120,𝑥≥0,𝑦≥0. La función objetivo a maximizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=130𝑥+140𝑦.

Representamos la región factible. Figura Los vértices son: 𝐴(10,0),𝐵(0,10),𝐶(20,30)y𝐷(40,0).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(10,0)=1.300,𝐹(𝐵)=𝐹(0,10)=1.400,𝐹(𝐶)=𝐹(20,30)=6.800,𝐹(𝐷)=𝐹(40,0)=5.200. Por tanto, el beneficio máximo se alcanza produciendo semanalmente 20 baterías de tipo A y 30 de tipo B, con unas ganancias de 6.800€.

Ejercicio 1: Reserva 1 de 2021

La Agencia Espacial Europea contará con un presupuesto de 2,4 millones de euros para financiar misiones sobre Observación de la Tierra y para financiar programas de Transporte Espacial. Cada misión supone una inversión de 200.000 euros y cada programa, 100.000 euros. Teniendo en cuenta que en la decisión final deben superarse los 2 millones de euros de inversión y el número de misiones debe ser al menos 4, pero no más de la mitad del número de programas, ¿cuántas misiones y cuántos programas se deben llevar a cabo para obtener el máximo de la función 𝐹(𝑥,𝑦) =0,6𝑥 +0,4𝑦, con 𝑥 misiones e 𝑦 programas?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número misiones e 𝑦 al número de programas. Las restricciones del problema son: ⎧{ { {⎨{ { {⎩200.000𝑥+100.000𝑦≤2.400.000,200.000𝑥+100.000𝑦≥2.000.000,𝑥≥4,𝑥≤𝑦2⇔⎧{ { {⎨{ { {⎩2𝑥+𝑦≤24,2𝑥+𝑦≥20,𝑥≥4,2𝑥≤𝑦. La función objetivo a maximizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=0,6𝑥+0,4𝑦.

Representamos la región factible. Figura Los vértices son: 𝐴(4,12),𝐵(4,16),𝐶(6,12)y𝐷(5,10).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(4,12)=7,2,𝐹(𝐵)=𝐹(4,16)=8,8,𝐹(𝐶)=𝐹(6,12)=8,4,𝐹(𝐷)=𝐹(5,10)=7. Por tanto, el máximo de la función se alcanza llevando a cabo 4 misiones y 16 programas.

Ejercicio 1: Reserva 2 de 2021

Un laboratorio farmacéutico tiene una línea de producción con dos medicamentos A y B, con marca comercial y genérico respectivamente, de los cuales, entre los dos como máximo puede fabricar 10 unidades a la hora. Desde el punto de vista del rendimiento, se han de producir al menos 4 unidades por hora entre los dos y por motivos de política sanitaria, la producción de A ha de ser como mucho 2 unidades más que la de B. Cada unidad de tipo A que vende le produce un beneficio de 60 euros, mientras que cada unidad de tipo B le produce un beneficio de 25 euros. Si se vende todo lo que se produce, determine las unidades de cada medicamento que deberá fabricar por hora para maximizar su beneficio y obtenga el valor de dicho beneficio.

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de unidades del medicamento A e 𝑦 al número de unidades del medicamento B. Las restricciones del problema son: ⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥+𝑦≤10,𝑥+𝑦≥4,𝑥≤𝑦+2,𝑥≥0. La función objetivo a maximizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=60𝑥+25𝑦.

Representamos la región factible. Figura Los vértices son: 𝐴(0,4),𝐵(0,10),𝐶(6,4)y𝐷(3,1).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(0,4)=100,𝐹(𝐵)=𝐹(0,10)=250,𝐹(𝐶)=𝐹(6,4)=460,𝐹(𝐷)=𝐹(3,1)=205. Por tanto, el beneficio máximo se alcanza fabricando 6 unidades del medicamento A y 4 del medicamento B por hora, con unas ganancias de 460€.

Ejercicio 1: Reserva 3 de 2021

  1. Una frutería vende dos tipos de surtidos de frutos rojos, A y B. El surtido de tipo A contiene 75 g de arándanos, 100 g de frambuesas y se vende a 2,40 euros, mientras que el de tipo B contiene 75 g de arándanos, 50 g de frambuesas y se vende a 1,80 euros. La frutería dispone de un total de 3,75 kg de arándanos y 4 kg de frambuesas y el número de surtidos que vende del tipo A, siempre es menor o igual al doble de los del tipo B. Formule, sin resolver, el problema que permite obtener el número de surtidos de cada tipo que debe vender para que el beneficio sea máximo.
  2. Represente el recinto limitado por las siguientes restricciones, calculando sus vértices: 𝑥+4𝑦≥5,𝑥+2𝑦≥4,7𝑥+5𝑦≤35,𝑥≥0. ¿En qué punto de la región anterior la función 𝐹(𝑥,𝑦) =2𝑥 +𝑦 alcanza el mínimo y cuál es dicho valor?

Resolución
  1. Llamamos 𝑥 al número de surtidos de tipo A e 𝑦 al de tipo B. Podemos organizar la información en una tabla.
    Arándanos (g) Frambuesas (g) Precio (€)
    Surtido A 75 100 2,40
    Surtido B 75 50 1,80
    Máximo 3.750 4.000
    Las restricciones del problema son: ⎧{ { {⎨{ { {⎩75𝑥+75𝑦≤3.750,100𝑥+50𝑦≤4.000,𝑥≤2𝑦,𝑥≥0⇔⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥+𝑦≤50,2𝑥+𝑦≤80,𝑥≤2𝑦,𝑥≥0. La función objetivo a maximizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=2,4𝑥+1,8𝑦.
  2. Representamos la región factible. Figura Los vértices son: 𝐴(0,2),𝐵(0,7),𝐶(5,0)y𝐷(3,12). Por el teorema fundamental de la programación lineal, el mínimo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(0,2)=2,𝐹(𝐵)=𝐹(0,7)=7,𝐹(𝐶)=𝐹(5,0)=10,𝐹(𝐷)=𝐹(3,12)=132. Por tanto, el mínimo se alcanza en el punto 𝐴(0,2) con un valor de 2.

Ejercicio 2: Reserva 4 de 2021

Se consideran las siguientes inecuaciones: 5𝑥−3𝑦≥−9,𝑥+𝑦≤11,6𝑥+𝑦≤36,𝑥+2𝑦≥6.

  1. Represente la región factible definida por las inecuaciones anteriores y determine sus vértices.
  2. ¿Pertenece el punto (5,7) a la región factible anterior?
  3. Calcule los valores máximo y mínimo de la función 𝐹(𝑥,𝑦) =10𝑥 −6𝑦 en la región anterior y determine los puntos en los que se alcanzan.

Ejercicio 2: Julio de 2021

Se consideran las siguientes inecuaciones: 5𝑥−4𝑦≤−19,3𝑥−4𝑦≤−13,𝑥≥−7,−𝑥−𝑦≥2.

  1. Represente la región factible definida por las inecuaciones anteriores y determine sus vértices.
  2. ¿Cuáles son los puntos en los que se alcanzan el mínimo y el máximo de la función 𝐺(𝑥,𝑦) = −15𝑥 +52𝑦 en la citada región factible? ¿Cuál es su valor?
  3. Responda de forma razonada si la función 𝐺(𝑥,𝑦) = −15𝑥 +52𝑦 puede alcanzar el valor 473 en la región factible hallada.

Resolución
  1. Representamos la región factible. Figura Los vértices son: 𝐴(−7,−2),𝐵(−7,5)y𝐶(−3,1).
  2. Por el teorema fundamental de la programación lineal, tanto el máximo como el mínimo de la función se alcanzan en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐺(𝐴)=𝐺(−7,−2)=−185,𝐺(𝐵)=𝐺(−7,5)=13910,𝐺(𝐶)=𝐺(−3,1)=3110. Por tanto, el máximo de la función se alcanza en el punto 𝐵( −7,5) con un valor de 13910, mientras que el mínimo se alcanza en 𝐴( −7, −2) con un valor de −185.
  3. Como el valor máximo que alcanza la función en la región factible es 13910 y se verifica que 473 >13910, la función no puede alcanzar el valor 473.

Ejercicio 2: Julio de 2020

  1. Una fábrica de electrodomésticos dispone de dos cadenas de montaje. En una hora de trabajo, la cadena A produce 10 lavadoras y 5 frigoríficos, mientras que la cadena B produce 7 lavadoras y 6 frigoríficos. El coste de cada hora de trabajo en las cadenas A y B es de 1.200 y 1.500 euros, respectivamente. La cadena A puede funcionar, como máximo, el doble de horas que la cadena B. Si deben producir como mínimo 400 lavadoras y 280 frigoríficos, formule, sin resolver, el problema que permite obtener las horas de funcionamiento de las cadenas A y B para minimizar el coste de producción de esos electrodomésticos.
  2. Represente el recinto definido por las siguientes inecuaciones y calcule sus vértices: 𝑥+2𝑦≥7,4𝑥−𝑦≥1,2𝑥−𝑦≤4,3𝑥+2𝑦≤20,𝑥≥0,𝑦≥0. Obtenga el valor mínimo de la función 𝐹(𝑥,𝑦) =2𝑥 +𝑦 en el recinto anterior, así como el punto en el que se alcanza.

Ejercicio 1: Reserva 1 de 2020

Con el fin de recaudar dinero para el viaje de fin de curso, los alumnos de un instituto van a poner a la venta dos tipos de bolsas de merienda. El primer tipo contendrá dos bocadillos, un refresco y una pieza de fruta y el segundo tipo tendrá un bocadillo, un refresco y dos piezas de fruta. Por cada bolsa del primer tipo cobrarán 6 euros y por las del segundo tipo 5 euros. Sabiendo que disponen de 120 bocadillos, 70 refrescos y 110 piezas de fruta y que se tiene garantizada la venta de todas las bolsas, ¿cuántas convendría preparar de cada tipo para que la cantidad de dinero obtenida por su venta sea máxima y a cuánto asciende la misma? ¿Es posible que vendan 40 bolsas de cada tipo? ¿Hay alguna posibilidad de que el importe de las ventas sea de 410 euros?

Ejercicio 1: Reserva 2 de 2020

Un cocinero tiene que hacer el postre para una cena y le han encargado dos de sus mejores creaciones: Delicia Roja y Delicia Negra. Para elaborar 1 kg de Delicia Roja son necesarias 3 tarrinas de fresas y 1 tableta de chocolate y para elaborar 1 kg de Delicia Negra se necesita 1 tarrina de fresas y 2 tabletas de chocolate. Dispone de 15 tarrinas de fresas y 10 tabletas de chocolate. Además, la cantidad de Delicia Negra no debe ser inferior a 1,5 kg y tampoco debe ser superior al doble de Delicia Roja. Si cada kilogramo de Delicia Roja le reporta un beneficio de 3 euros y el de Delicia Negra 5 euros, averigüe qué cantidad de cada postre debe elaborar para conseguir un beneficio máximo y a cuánto asciende ese beneficio.

Ejercicio 1: Reserva 3 de 2020

Una confitería elabora dos tipos de tartas, unas de chocolate y otras de merengue y chocolate. Para ello dispone de 100 kg de bizcocho, 80 kg de crema de chocolate y 46 kg de merengue. Para elaborar una tarta de chocolate, se requieren 1 kg de bizcocho y 2 kg de crema de chocolate y para la tarta de chocolate y merengue se requieren 2 kg de bizcocho, 1 kg de crema de chocolate y 1 kg de merengue. Por cada tarta de chocolate se obtiene un beneficio de 10 euros y de 12 euros por cada una de merengue y chocolate. Suponiendo que se vende todo lo que se elabora, ¿cuántas tartas de cada tipo debe preparar para obtener un beneficio máximo? ¿Cuál es dicho beneficio?

Ejercicio 2: Reserva 4 de 2020

Se considera la región del plano definida por las siguientes inecuaciones: 𝑥+𝑦≤4,𝑥−𝑦≥−2,𝑥+3𝑦≥2,𝑦≤2.

  1. Represéntela gráficamente y determine sus vértices.
  2. Indique razonadamente si el punto (4; −0,75) pertenece a dicha región.
  3. ¿En qué puntos de la región anterior la función 𝐹(𝑥,𝑦) =𝑥 +𝑦 alcanza los valores máximo y mínimo y cuáles son estos valores?

Ejercicio 2: Septiembre de 2020

  1. Represente la región factible definida por las siguientes inecuaciones y determine sus vértices: 𝑥+2𝑦≤13,𝑥−𝑦≤4,𝑥−2𝑦≥−7,𝑥+𝑦≥5.
  2. Calcule los valores máximo y mínimo de la función objetivo 𝐹(𝑥,𝑦) =𝑥 +𝑦 en la región anterior y determine los puntos en los que se alcanzan.

Ejercicio A1: Junio de 2019

Una empresa textil quiere fabricar dos tipos de camisetas, lisas y estampadas. Para fabricar una camiseta lisa necesita 70 g de algodón y 20 g de poliéster y para cada camiseta estampada 60 g de algodón y 10 g de poliéster. La empresa dispone para ello de 4.200 g de algodón y 800 g de poliéster. Para que sea rentable debe fabricar al menos 10 estampadas y además, el doble de las estampadas debe ser al menos igual al número de lisas. Sabiendo que cada camiseta lisa da un beneficio de 5 euros y cada estampada de 4 euros, ¿cuántas camisetas de cada tipo debería fabricar para obtener el máximo beneficio? ¿Cuál es ese beneficio?

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2019

Consideremos el recinto definido por las siguientes desigualdades: 7𝑦≤15+3𝑥,𝑦≥𝑥−3,3𝑦≥−𝑥+11.

  1. Represente gráficamente el recinto anterior y calcule sus vértices.
  2. Calcule en qué puntos se alcanzan los valores máximo y mínimo de la función 𝐻(𝑥,𝑦) =4𝑥 −𝑦 −16 restringida al anterior recinto y obtenga dichos valores.

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2019

Una granja elabora una dieta mezclando dos tipos de pienso A y B. El pienso A aporta 2 unidades de Calcio y 1 de Hierro por cada kilogramo, mientras que el B aporta 1 de Calcio y 2 de Hierro. El coste por kilogramo tanto del pienso A como del pienso B es 1 euro por kilogramo. La dieta deberá aportar al menos 2 unidades de Calcio y 2 de Hierro. Determine los kilogramos que se han de mezclar de cada tipo de pienso para que el coste de la dieta sea mínimo. ¿Cuál sería dicho coste? ¿Cuántas unidades de Hierro y de Calcio se administrarían a los animales con esta dieta?

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2019

  1. Se considera el recinto cuadrado de vértices (1,0), (0,1), ( −1,0) y (0,1). Indique en qué puntos del recinto se alcanzan el valor máximo de la función 𝐹(𝑥,𝑦) =3𝑥 +2𝑦 +7 y el valor mínimo de la función 𝐺(𝑥,𝑦) =𝑥 +𝑦 +6, calculando dichos valores.
  2. Resuelva la ecuación matricial (𝐴 −𝐴𝑡)𝑋 =𝐵, siendo 𝐴 y 𝐵 las matrices 𝐴=(5−231)y𝐵=(−132−1).

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2019

Se quiere elaborar dos suplementos alimenticios UNAL y DOSAL con idea de completar la dieta de ciertos individuos. Cada comprimido de UNAL aporta 5 unidades de calcio, 5 de proteínas y 1 caloría y tiene un coste 0,6 euros, mientras que un comprimido de DOSAL aporta 2 unidades de calcio, 5 de proteínas y 3 calorias, siendo su coste de 1 euro. Sabiendo que los mínimos diarios requeridos son 10 unidades de calcio, 20 de proteínas y 6 calorías, encuentre la combinación de comprimidos de los dos suplementos que satisfacen las necesidades diarias con el menor coste.

Ejercicio B1: Septiembre de 2019

Una empresa comercializa dos tipos de concentrado de café, A y B, que se obtienen a partir de tres tipos de grano: de Colombia, de Etiopía y de Costa Rica. Para elaborar 1 kg de concentrado A se necesitan 4,5 kg de grano de Colombia y 3 kg de grano de Etiopía. Por otra parte, se requieren 7,5 kg de grano de Colombia y 1,5 kg de grano de Costa Rica para elaborar 1 kg de concentrado B. Actualmente la empresa dispone de un máximo de 67,5 kg de grano de Colombia, 30 kg de grano de Etiopía y 9 kg de grano de Costa Rica. Además, se exige que el número de kilogramos de concentrado A producidos debe ser mayor o igual que la mitad de los kilogramos de concentrado B.

  1. Represente la región factible que describe el problema anterior y determine sus vértices.
  2. Indique de manera razonada si con las condiciones dadas sería posible producir 7 kg del concentrado A y 5 kg del concentrado B.
  3. Sabiendo que el beneficio obtenido por la venta de cada kilogramo de concentrado del tipo A es 2 euros y de cada kilogramo del tipo B es 4 euros, ¿cuántos kilogramos del tipo A y cuántos del tipo B se habrán de producir para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es ese beneficio?

Ejercicio A1: Junio de 2018

  1. Plantee, sin resolver, las restricciones de este problema e indique la función a optimizar. Un ganadero alimenta a sus ovejas con maíz y pienso. Cada kilogramo de maíz aporta 600 g de hidratos de carbono y 200 g de proteínas, mientras que cada kilogramo de pienso aporta 300 g de hidratos de carbono y 600 g de proteínas. Cada oveja necesita diariamente como mínimo 1.800 g de hidratos de carbono y 2.400 g de proteínas. Si 1 kg de maíz cuesta 0,50 euros y 1 kg de pienso cuesta 0,25 euros, calcule cuántos kilogramos de cada producto tendría que comprar el ganadero para alimentar cada día a una oveja con un gasto mínimo.
  2. Represente el recinto limitado por las siguientes restricciones, calculando sus vértices: 𝑥≥0,𝑥≤2𝑦+2,𝑥+𝑦≤5. Calcule el máximo de 𝐹(𝑥,𝑦) =4𝑥 +3𝑦 en ese recinto, así como el punto donde se alcanza.

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2018

Se considera la región definida por las siguientes ineacuaciones: 2𝑥−𝑦≥2,−𝑥+2𝑦≤2,3𝑥+𝑦≤15,𝑦≥0.

  1. Represéntela gráficamente y determine sus vértices.
  2. Indique razonadamente si el punto (3,3) pertenece a dicha región.
  3. ¿En qué puntos de la región anterior la función 𝐹(𝑥,𝑦) =3𝑥 −2𝑦 alcanza los valores máximo y mínimo y cuáles son estos?

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2018

La capacidad máxima de trabajo de un taller que se dedica a la confección de pañuelos y corbatas es de 60 horas semanales. Cada pañuelo que confecciona le supone 2 horas de trabajo y le reporta un beneficio de 4 euros. En el caso de las corbatas son 3 horas y 6 euros respectivamente por unidad. Contrae el compromiso de que el número de corbatas confeccionadas más el doble del número de pañuelos debe ser, como mínimo, 28. Con estas condiciones, ¿cuántas unidades de cada tipo de prenda debe confeccionar para obtener un beneficio económico máximo?

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2018

Una joyería elabora dos tipos de collares a partir de perlas blancas, grises y negras. Para un collar de tipo A hacen falta 20 perlas blancas, 20 grises y 30 negras, mientras que para un collar del tipo B, 10 perlas blancas, 20 grises y 60 negras. Se dispone de un máximo de 900 perlas blancas y 1.400 grises, mientras que es necesario que se utilicen al menos 1.800 perlas negras. Sabiendo que cada collar del tipo A le supone a la joyería un beneficio de 600 euros y cada collar del tipo B, 500 euros, calcule cuál debe ser la producción para obtener el máximo beneficio, así como a cuánto asciende el mismo. ¿Es posible fabricar 40 collares del tipo A y 20 del tipo B?

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2018

Una fábrica de palas de pádel produce dos modelos A y B con los que obtiene un beneficio por cada pala de 30 y 20 euros respectivamente. Para la elaboración de una pala del modelo A se necesitan 90 g de fibra de carbono y 100 g de goma EVA, mientras que para una pala del modelo B son necesarios 100 g de fibra de carbono y 50 g de goma EVA. La fábrica dispone diariamente de 7,5 kg de fibra de carbono y 6,5 kg de goma EVA y quiere producir como máximo 60 unidades diarias del modelo A. Calcule cuántas palas de cada modelo tiene que fabricar para que el beneficio sea máximo y determine su importe. ¿Sería posible una producción diaria de 49 palas del modelo A y 32 palas del modelo B?

Ejercicio A1: Septiembre de 2018

Sea el siguiente sistema de inecuaciones: ⎧{ { { {⎨{ { { {⎩𝑥+2𝑦≤11,𝑥≥2𝑦−5,3𝑥+𝑦≤18,𝑥≥0,𝑦≥0.

  1. Represente gráficamente la región que definen y calcule sus vértices.
  2. Halle los puntos de esa región en los que la función 𝐹(𝑥,𝑦) =2𝑥 +3𝑦 alcanza los valores máximo y mínimo y calcule dichos valores.
  3. Justifique si el punto (5,5;2) pertenece a la región factible.

Ejercicio B1: Junio de 2017

Un distribuidor de software informático tiene en su cartera de clientes tanto a empresas como a particulares. Ha de conseguir al menos 25 empresas como clientes y el número de clientes particulares deberá ser como mínimo el doble que el de empresas. Por razones de eficiencia del servicio postventa, tiene estipulado un límite global de 120 clientes anuales. Cada empresa le produce 386€ de beneficio, mientras que cada particular le produce 229€. ¿Qué combinación de empresas y particulares le proporcionará el máximo beneficio? ¿A cuánto ascenderá ese beneficio?

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2017

Una empresa envasa y comercializa leche entera y leche desnatada. El litro de leche entera envasado genera un beneficio diario a la empresa de 0,4€ y el de leche desnatada de 0,1€. La tecnología de la empresa impone que el número de litros de leche entera que se envasan diariamente no supere el doble del número de litros de leche desnatada. Además, la cantidad máxima de leche que se puede envasar diariamente es un total de 3.000 litros y solo se dispone de 1.200 litros diarios de leche entera para envasar. ¿Cuánto debe envasar de cada producto para obtener el beneficio máximo? ¿A cuánto ascendería este beneficio?

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2017

Sea el siguiente sistema de inecuaciones: ⎧{ { { {⎨{ { { {⎩𝑥+2𝑦≤11,𝑥≥2𝑦−5,3𝑥+𝑦≤18,𝑥≥0,𝑦≥0.

  1. Dibuje la región que definen y calcule sus vértices.
  2. ¿Pertenece el punto (5,5;2) a la región anterior?
  3. Calcule los puntos de esa región en los que la función 𝐹(𝑥,𝑦) =2𝑥 +3𝑦 alcanza los valores máximo y mínimo y determine dichos valores.

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2017

  1. Represente el recinto dado por las siguientes inecuaciones: 𝑦≤𝑥+3,𝑥+5𝑦≥3,2𝑥+7𝑦≤30,𝑦≥0.
  2. Razone si el punto (5,3) pertenece al recinto anterior.
  3. Obtenga los valores mínimo y máximo de la función 𝐹(𝑥,𝑦) =𝑥 −𝑦 en ese recinto, indicando en qué puntos se alcanzan.

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2017

Un fabricante de complementos alimenticios elabora dos tipos de bebidas energéticas a partir de tres componentes: taurina, cafeína y L-carnitina. Un envase del primer tipo de bebida precisa 30 g de taurina, 40 g de cafeína y 20 g de L-carnitina, mientras que uno del segundo necesita 40 g de taurina, 30 g de cafeína y 10 g de L-carnitina. Sabiendo que dispone de 52 kg de taurina, 46 kg de cafeína y 20 kg de L-carnitina, que cada envase del primer tipo se vende por 1,5€ y cada envase del segundo tipo por 1€, ¿cuántos envases de cada tipo de bebida tendría que elaborar para obtener la ganancia máxima? ¿A cuánto ascendería esta ganancia?

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2017

Sea el recinto definido por las siguientes inecuaciones: 𝑦≤2𝑥+1,𝑦≤13−4𝑥,𝑥≥4−𝑦.

  1. Razone si el punto de coordenadas (1,1;2,8) pertenece al recinto.
  2. ¿En qué puntos alcanza la función 𝐹(𝑥,𝑦) = −3𝑥 +1,5𝑦 sus valores extremos y cuáles son estos?
  3. Razone si existe algún punto del recinto en el que la función 𝐹 se anule.

Ejercicio B1: Septiembre de 2017

Represente el recinto definido por las siguientes inecuaciones: 𝑥+𝑦≤3,2𝑥+𝑦≥4,𝑦≥−1.

  1. Razone si el punto (2,1) pertenece al recinto anterior.
  2. Obtenga los vértices del recinto y los valores mínimo y máximo de la función 𝐹(𝑥,𝑦) =5𝑥 +4𝑦 en ese recinto, indicando en qué puntos se alcanzan.
  3. Razone si la función 𝐹 puede alcanzar el valor 9 en el recinto anterior.

Ejercicio B1: Junio de 2016

Un taller fabrica y vende dos tipos de alfombras, de seda y de lana. Para la elaboración de una unidad se necesita un trabajo manual de 2 horas para el primer tipo y de 3 horas para el segundo y de un trabajo de máquina de 2 horas para el primer tipo y de 1 hora para el segundo. Por cuestiones laborales y de planificación, se dispone de hasta 600 horas al mes para el trabajo manual y de hasta 480 horas al mes para el destinado a la máquina. Si el beneficio por unidad para cada tipo de alfombra es de 150€ y 100€, respectivamente, ¿cuántas alfombras de cada tipo debe elaborar para obtener el máximo beneficio? ¿A cuánto asciende el mismo?

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2016

Una empresa fabrica dos tipos de productos A y B, y vende todo lo que produce obteniendo un beneficio unitario de 500€ y 600€, respectivamente. Cada producto pasa por dos procesos de fabricación, P1 y P2. Una unidad del producto A necesita 3 horas en el proceso P1, mientras que una del producto B necesita 5 horas en ese proceso. La mano de obra contratada permite disponer, como máximo, de 150 horas semanales en P1 y de 120 en P2. Además, son necesarias 3 horas en P2 para fabricar una unidad de cada uno de los tipos de productos.

  1. Plantee el problema de maximización de la función del beneficio semanal de la empresa, dibuje la región factible y obtenga sus vértices.
  2. ¿Cuál es el máximo beneficio semanal que puede obtener la empresa? ¿Cuánto debe fabricar de cada producto para obtener ese beneficio?

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2016

Una empresa fabrica dos tipos de agua de colonia, A y B. La colonia A contiene un 5% de extracto de rosas y un 10% de alcohol, mientras que la B se fabrica con un 10% de extracto de rosas y un 15% de alcohol. El precio de venta de la colonia A es de 24€/litro y el de la B es de 40€/litro. Se dispone de 70 litros de extracto de rosas y de 120 litros de alcohol. ¿Cuántos litros de cada colonia convendría fabricar para que el importe de la venta de la producción sea máximo?

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2016

Sea la región factible definida por las siguientes inecuaciones: 𝑥+𝑦≤20,𝑥−𝑦≥0,5𝑥−13𝑦+8≤0.

  1. Represéntela gráficamente y calcule sus vértices.
  2. Razone si el punto (3;2,5) está en la región factible.
  3. Determine el valor máximo y el mínimo de la función 𝐹(𝑥,𝑦) =𝑥 −𝑦 +6 en esa región y los puntos en los que se alcanzan.

Ejercicio B1: Septiembre de 2016

  1. Represente la región definida por las siguientes inecuaciones y determine sus vértices: 2𝑥−𝑦≤−2,4𝑥−2𝑦≥−10,5𝑥−𝑦≤4,𝑥≥0.
  2. Calcule los valores extremos de la función 𝐹(𝑥,𝑦) =6𝑥 −3𝑦 en la región anterior y determine los puntos en los que se alcanzan.

Ejercicio A1: Junio de 2015

Con motivo de su inauguración, una heladería quiere repartir dos tipos de tarrinas de helados. El primer tipo de tarrina está compuesto por 100 g de helado de chocolate, 200 g de helado de straciatella y 1 barquillo. El segundo tipo llevará 150 g de helado de chocolate, 150 g de helado de straciatella y 2 barquillos. Sólo se dispone de 8 kg de helado de chocolate, 10 kg de helado de straciatella y 100 barquillos. ¿Cuántas tarrinas de cada tipo se deben preparar para repartir el máximo número posible de tarrinas?

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2015

  1. Represente gráficamente la región factible definida por las siguientes restricciones: 4𝑥+2𝑦≥5,2𝑥+5𝑦≤10,2𝑥+2𝑦≤6,𝑥≥0,𝑦≥0 y calcule sus vértices.
  2. Calcule los valores máximo y mínimo de la función objetivo 𝐹(𝑥,𝑦) =𝑥 +2𝑦 en la región anterior y los puntos donde se alcanzan.

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2015

Un supermercado tiene almacenados 600 kg de manzanas y 400 kg de naranjas. Para incentivar su venta elabora dos tipos de bolsas: A y B. Las bolsas de tipo A contienen 3 kg de manzanas y 1 kg de naranjas; las bolsas de tipo B incluyen 2 kg de cada uno de los productos. El precio de venta de la bolsa A es de 4€ y de 3€ el de la bolsa de tipo B. Suponiendo que vende todas las bolsas preparadas, ¿cuántas bolsas de cada tipo debe haber elaborado para maximizar los ingresos? ¿A cuánto asciende el ingreso máximo?

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2015

Sea el siguiente conjunto de inecuaciones: 𝑥−3𝑦≥8,3𝑥+2𝑦≥15,𝑥+3𝑦≤12,𝑥≥0,𝑦≥0.

  1. Dibuje el recinto del plano determinado por estas inecuaciones.
  2. Determine los vértices de este recinto.
  3. Maximice la función 𝐹(𝑥,𝑦) =5𝑥 +9𝑦 en este recinto, indicando el punto o puntos donde se alcanza ese máximo.

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2015

Se desea invertir 100.000€ en dos productos financieros A y B que tienen una rentabilidad del 2% y del 2,5% respectivamente. Se sabe que el producto B exige una inversión mínima de 10.000€ y, por cuestiones de riesgo, no se desea que la inversión en B supere el triple de lo invertido en A. ¿Cuánto se debe invertir en cada producto para que el beneficio sea máximo y cuál sería dicho beneficio?

Ejercicio B1: Septiembre de 2015

Se dispone de 160 m de tejido de pana y 240 m de tejido de lana para hacer trajes y abrigos. Se usa 1 m de pana y 2 m de lana para cada traje, y 2 m de pana y 2 m de lana para cada abrigo. Cada traje se vende a 250€ y cada abrigo a 350€.

  1. ¿Cuántos trajes y abrigos se deben confeccionar para obtener el máximo beneficio? ¿A cuánto asciende dicho beneficio?
  2. ¿Pueden hacerse 60 trajes y 50 abrigos con esas cantidades de tejido? En caso afirmativo, ¿obtendría el máximo beneficio al venderlo todo?

Ejercicio B1: Junio de 2014

  1. Dadas las inecuaciones 𝑦≤𝑥+5,2𝑥+𝑦≥−4,4𝑥≤10−𝑦,𝑦≥0, represente el recinto que limitan y calcule sus vértices.
  2. Obtenga el máximo y el mínimo de la función 𝑓(𝑥,𝑦) =𝑥 +12𝑦 en el recinto anterior, así como los puntos en los que se alcanzan.

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2014

  1. Represente la región del plano determinada por las siguientes inecuaciones: 2𝑥+5𝑦≤15,𝑥+𝑦≤6,5𝑥−7𝑦≤42,𝑥≥0.
  2. Halle los vértices de la región anterior.
  3. En esa región, halle el valor mínimo de la función 𝐹(𝑥,𝑦) = −2𝑥 −2𝑦 +3 y dónde lo alcanza.

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2014

Un nutricionista receta a una de sus pacientes una dieta semanal especial basada en lácteos y pescado. Cada kg de lácteos cuesta 6€ y proporciona 3 unidades de proteínas y 1 de calorías; cada kg de pescado cuesta 12€, aportando 1 unidad de proteínas y 2 de calorías. La dieta le exige no tomar más de 4 kg, conjuntamente, de lácteos y pescado, y un aporte mínimo de 4 unidades de proteínas y 3 de calorías.

  1. Plantee el problema para obtener la combinación de ambos alimentos que tenga el coste mínimo.
  2. Dibuje la región factible y determine la solución óptima del problema.

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2014

  1. Represente gráficamente la región definida por las siguientes inecuaciones y calcule sus vértices: 𝑥+2𝑦≤3,𝑥−𝑦≤1,𝑥≥−1,𝑦≥0.
  2. Calcule los valores máximo y mínimo de la función objetivo 𝐹(𝑥,𝑦) =2𝑥 +4𝑦 en la región anterior y los puntos donde se alcanzan.

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2014

  1. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 =2(𝐶 −𝐷𝑡), siendo 𝐴=(0120),𝐶=(02−12)y𝐷=(1−12−1).
  2. Si 𝐴(0,2), 𝐵(2,0), 𝐶(4,0), 𝐷(6,3) y 𝐸(3,6) son los vértices de una región factible, determine, en esa región, el valor mínimo y el valor máximo de la función 𝐹(𝑥,𝑦) =4𝑥 −3𝑦 +8 e indique los puntos donde se alcanzan.

Ejercicio B1: Septiembre de 2014

  1. Plantee, sin resolver, el siguiente problema: "Un mayorista vende productos congelados que presenta en envases de dos tamaños, pequeños y grandes. La capacidad de sus congeladores no le permite almacenar más de 1.000 envases en total. En función de la demanda sabe que debe mantener un stock mínimo de 100 envases pequeños y 200 envases grandes. La demanda de envases grandes es igual o superior a la de envases pequeños. El coste por almacenaje es de 10 céntimos de euro por cada envase pequeño y de 20 céntimos de euro por cada envase grande. ¿Qué número de envases de cada tipo proporciona el mínimo coste de almacenaje?"
  2. Represente el recinto que determinan las inecuaciones 2𝑥≥10+𝑦,𝑥≤2(5−𝑦),𝑥≥0,𝑦≥0.

Ejercicio B1: Junio de 2013

Un fabricante de tapices dispone de 500 kg de hilo de seda, 400 kg de hilo de plata y 225 kg de hilo de oro. Desea fabricar dos tipos de tapices: A y B. Para los del tipo A se necesita 1 kg de hilo de seda y 2 kg de hilo de plata, y para los del tipo B, 2 kg de hilo de seda, 1 kg de hilo de plata y 1 kg de hilo de oro. Cada tapiz del tipo A se vende a 2.000 euros y cada tapiz del tipo B a 3.000 euros.

  1. Si se vende todo lo que se fabrica, ¿cuántos tapices de cada tipo ha de fabricar para que el beneficio sea máximo y cuál es ese beneficio?
  2. ¿Qué cantidad de hilo de cada clase quedará cuando se fabrique el número de tapices que proporciona el máximo beneficio?

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2013

  1. Plantee, sin resolver, el siguiente problema: "Un barco puede transportar vehículos de dos tipos: coches y motos. Las condiciones de la nave obligan a que el numero de motos no pueda ser inferior a la cuarta parte del de coches ni superior a su doble; además, la suma del número de motos más el doble del número de coches no puede ser mayor que 100. ¿Cuántos vehículos, como máximo, puede transportar este barco?"
  2. Dado el recinto limitado por las inecuaciones 𝑦≥30,3𝑥−𝑦≥150,6𝑥+7𝑦≤840, halle en qué puntos de ese recinto la función 𝐹(𝑥,𝑦) =6𝑥 −2𝑦 alcanza su valor mínimo.

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2013

Un fabricante elabora dos tipos de anillos a base de oro y plata. Cada anillo del primer tipo precisa 4 g de oro y 2 de plata, mientras que cada uno del segundo necesita 3 g de oro y 1 de plata. Sabiendo que dispone de 48 g de oro y 20 de plata y que los precios de venta de cada tipo de anillo son 150 euros el primero y 100 euros el segundo, ¿cuántos anillos de cada tipo tendría que producir para obtener los ingresos máximos? ¿A cuánto ascenderían estos ingresos?

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2013

  1. En un problema de programación lineal, la región factible es la región acotada cuyos vértices son 𝐴(2, −1), 𝐵( −1,2), 𝐶(1,4) y 𝐷(5,0). La función objetivo es la función 𝑓(𝑥,𝑦) =2𝑥 +3𝑦 +𝑘, cuyo valor máximo, en dicha región, es igual a 19. Calcule el valor de 𝑘 e indique dónde se alcanza el máximo y dónde el mínimo.
  2. Sean las matrices 𝐴=(1−23),𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝20−111−1132⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Resuelva, si es posible, la ecuación matricial 𝐵𝐴 +2𝑋 =𝐶.

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2013

Se considera el recinto 𝑅 del plano determinado por las siguientes inecuaciones: 5𝑥−4𝑦≤20,𝑥+8𝑦≤48,𝑥≥2,𝑦≥0.

  1. Represente gráficamente el recinto 𝑅 y calcule sus vértices.
  2. Halle los valores máximo y mínimo que alcanza la función 𝐹(𝑥,𝑦) =2𝑥 +12𝑦 en este recinto e indique dónde se alcanzan.
  3. Razone si existen valores (𝑥,𝑦) pertenecientes al recinto para los que 𝐹(𝑥,𝑦) =100.

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2013

Se desea maximizar la función 𝐹(𝑥,𝑦) =14𝑥 +8𝑦 en el recinto dado por: 𝑦+3𝑥≥9,𝑦≤−47𝑥+14,5𝑥−2𝑦≤15,𝑥≥0.

  1. Represente la región factible del problema.
  2. ¿Cuál es el valor máximo de 𝐹 y la solución óptima del problema?
  3. Obtenga un punto de la región factible que no sea el óptimo.

Ejercicio A1: Septiembre de 2013

Sea 𝑅 la región factible definida por las siguientes inecuaciones: 𝑥≥3𝑦,𝑥≤5,𝑦≥1.

  1. Razone si el punto (4,5; 1,55) pertenece a 𝑅.
  2. Dada la función objetivo 𝐹(𝑥,𝑦) =2𝑥 −3𝑦, calcule sus valores extremos en 𝑅.
  3. Razone si hay algún punto de 𝑅 donde la función 𝐹 valga 3,5. ¿Y 7,5?

Ejercicio A1: Junio de 2012

Sea el recinto limitado por las siguientes inecuaciones: 𝑦+2𝑥≥2,2𝑦−3𝑥≥−3,3𝑦−𝑥≤6.

  1. Represente gráficamente dicho recinto.
  2. Calcule sus vértices.
  3. Obtenga el valor mínimo de la función 𝐹(𝑥,𝑦) =2𝑥 −𝑦 en el recinto anterior, así como dónde lo alcanza.

Ejercicio B1: Reserva 1 de 2012

Sea el recinto determinado por las siguientes inecuaciones: 3𝑥+4𝑦≥28,5𝑥+2𝑦≤42,𝑥−𝑦≥0.

  1. Razone si el punto de coordenadas (7,3) pertenece al recinto.
  2. Represente dicho recinto y halle sus vértices.
  3. Calcule el valor máximo de la función 𝐹(𝑥,𝑦) =3𝑥 −2𝑦 +6 en el recinto, indicando el punto o puntos donde se alcanza ese máximo.

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2012

Un comerciante dispone de 1.200 euros para comprar dos tipos de manzanas 𝐴 y 𝐵. Las del tipo 𝐴 las compra a 0,60 euros/kg y las vende a 0,90 euros/kg, mientras que las del tipo 𝐵 las compra a 1 euro/kg y las vende a 1,35 euros/kg. Sabiendo que su vehículo a lo sumo puede transportar 1.500 kg de manzanas, ¿cuántos kilogramos de cada tipo deberá adquirir para que el beneficio que obtenga sea máximo? ¿Cuál sería ese beneficio?

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2012

  1. Represente la región definida por las siguientes inecuaciones: 7𝑥−𝑦≤−10,𝑥+𝑦≤2,3𝑥−5𝑦≤14 y determine sus vértices.
  2. Calcule los valores máximo y mínimo que alcanza la función: 𝐹(𝑥,𝑦)=2𝑥+3𝑦 en dicha región.

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2012

En una carpintería se construyen dos tipos de estanterías: grandes y pequeñas, y se tienen para ello 60 m2 de tableros de madera. Las grandes necesitan 4 m2 de tablero y las pequeñas 3 m2. El carpintero debe hacer como mínimo 3 estanterías grandes, y el número de pequeñas que haga debe ser, al menos, el doble del número de las grandes. Si la ganancia por cada estantería grande es de 60 euros y por cada una de las pequeñas es de 40 euros, ¿cuántas debe fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

Ejercicio A1: Septiembre de 2012

Un empresario fabrica camisas y pantalones para jóvenes. Para hacer una camisa se necesitan 2 metros de tela y 5 botones, y para hacer un pantalón hacen falta 3 metros de tela, 2 botones y 1 cremallera. La empresa dispone de 1.050 metros de tela, 1.250 botones y 300 cremalleras. El beneficio que se obtiene por la venta de una camisa es de 30 euros y el de un pantalón es de 50 euros. Suponiendo que se vende todo lo que se fabrica, calcule el número de camisas y de pantalones que debe confeccionar para obtener el máximo beneficio, y determine este beneficio máximo.

Ejercicio B1: Junio de 2011

Sea el recinto determinado por las siguientes inecuaciones: 𝑥+𝑦≤20,3𝑥+5𝑦≤70,𝑥≥0,𝑦≥0.

  1. Razone si el punto de coordenadas (4,1; 11,7) pertenece al recinto.
  2. Represente dicho recinto y calcule sus vértices.
  3. ¿Dónde alcanzará la función 𝐹(𝑥,𝑦) =0,6𝑥 +𝑦 sus valores extremos y cuáles serán estos?

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2011

  1. Represente gráficamente el recinto determinado por las siguientes inecuaciones: 6𝑥−𝑦+9≥0,2𝑥+5𝑦−13≤0,2𝑥−3𝑦−5≤0.
  2. Determine los vértices del recinto anterior.
  3. Halle los valores máximo y mínimo de la función 𝐹(𝑥,𝑦)=3𝑥−2𝑦+3 en el recinto del primer apartado, y especifique en qué puntos los alcanza.

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2011

Una empresa elabora dos productos, A y B. Cada unidad de A requiere 2 horas en una máquina y 5 horas en una segunda máquina. Cada unidad de B necesita 4 horas en la primera máquina y 3 horas en la segunda máquina. Semanalmente se dispone de 100 horas en la primera máquina y de 110 horas en la segunda. Si la empresa obtiene un beneficio de 70 euros por cada unidad de A, y de 50 euros por cada unidad de B:

  1. ¿Qué cantidad semanal de cada producto debe producir con objeto de maximizar el beneficio total?
  2. ¿Cuál es ese beneficio?

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2011

  1. Dibuje el recinto del plano definido por el siguiente sistema de inecuaciones y determine sus vértices: 𝑦≥200−2𝑥,𝑥−100≤3𝑦,𝑥+2𝑦≤600,𝑥≥0.
  2. Sabiendo que 𝐴(0,2), 𝐵(1,4), 𝐶(3,4), 𝐷(4,2) y 𝐸(2,1) son los vértices de una región factible, determine en ella el mínimo y el máximo de la función: 𝐹(𝑥,𝑦)=10𝑥+5𝑦+21. Indique los puntos donde se alcanzan.

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2011

Se considera el recinto R del plano determinado por las siguientes inecuaciones: 13𝑥+8𝑦≤600,3(𝑥−2)≥2(𝑦−3),𝑥−4𝑦≤0.

  1. Represente gráficamente el recinto 𝑅 y calcule sus vértices.
  2. Calcule el valor máximo en dicho recinto de la función: 𝐹(𝑥,𝑦)=65𝑥+40𝑦, indicando dónde se alcanza.

Ejercicio A1: Septiembre de 2011

Se considera el recinto 𝑅 del plano, determinado por las siguientes inecuaciones: 𝑥+𝑦≥2,𝑥+3𝑦≤15,3𝑥−𝑦≤15,𝑥≥0,𝑦≥0.

  1. Represente gráficamente el recinto 𝑅 y calcule sus vértices.
  2. Halle los valores máximo y mínimo que alcanza la función 𝐹(𝑥,𝑦) =3𝑥 +𝑦 en dicho recinto.
  3. Razone si existen puntos (𝑥,𝑦) del recinto para los que 𝐹(𝑥,𝑦) =30.

Ejercicio A1: Junio de 2010

Sea el recinto definido por las inecuaciones siguientes: 𝑥+𝑦≤15,𝑥≤2𝑦,0≤𝑦≤6,𝑥≥0.

  1. Represente gráficamente dicho recinto.
  2. Calcule sus vértices.
  3. Determine el máximo valor de la función 𝐹(𝑥,𝑦) =8𝑥 +5𝑦 en el recinto anterior y dónde se alcanza.

Ejercicio A1: Septiembre de 2010

Sea el recinto del plano definido por el siguiente sistema de inecuaciones: 3𝑥+𝑦≥4,𝑥+𝑦≤6,0≤𝑦≤5.

  1. Represéntelo gráficamente.
  2. Calcule los vértices de dicho recinto.
  3. En el recinto anterior, halle los valores máximo y mínimo de la función 𝐹(𝑥,𝑦) =5𝑥 +3𝑦. ¿En qué puntos se alcanzan dichos valores?