Matemáticas de Selectividad

1. Dada la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝156017001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠, calcule (𝐼3 −𝐴)3.
2. Dadas las matrices 𝐵=(1𝑎𝑏3),𝐶=(−13),𝐷=(510), determine 𝑎 y 𝑏 de manera que 𝐵⋅𝐶−𝐷=𝑂, siendo 𝑂 la matriz nula.

Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad 𝑅(𝑥), en miles de euros, viene dada en función de la cantidad, 𝑥, que se invierte, también en miles de euros, por la siguiente expresión: 𝑅(𝑥)=−0,001𝑥2+0,4𝑥+3,5,con 𝑥≥10.

1. Calcule la rentabilidad para una inversión de 100.000 euros.
2. Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener la máxima rentabilidad.
3. ¿Qué rentabilidad máxima se obtendría?

Un jugador lanza a la vez un dado y una moneda.

1. Construya el espacio muestral de este experimento aleatorio.
2. Determine la probabilidad del suceso 𝐴: "El jugador obtiene un número par en el dado y cruz en la moneda".
3. Si sabemos que en la moneda ha salido cara, ¿cuál es la probabilidad de que en el dado haya salido más de 3 puntos?

En un distrito universitario, la calificación de los alumnos sigue una distribución Normal de media 6,2 puntos y desviación típica de 1 punto. Se seleccionó, aleatoriamente, una muestra de tamaño 25.

1. Indique la distribución de la media de las muestras de tamaño 25.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de las calificaciones de los alumnos de una de esas muestras esté comprendida entre 6 y 6,6 puntos?

1. Dibuje el recinto del plano definido por el siguiente sistema de inecuaciones y determine sus vértices: 𝑦≥200−2𝑥,𝑥−100≤3𝑦,𝑥+2𝑦≤600,𝑥≥0.
2. Sabiendo que 𝐴(0,2), 𝐵(1,4), 𝐶(3,4), 𝐷(4,2) y 𝐸(2,1) son los vértices de una región factible, determine en ella el mínimo y el máximo de la función: 𝐹(𝑥,𝑦)=10𝑥+5𝑦+21. Indique los puntos donde se alcanzan.

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩1−2𝑥2,si 𝑥≤1,𝑥2−2𝑎𝑥+3,si 1<𝑥≤3,−𝑥2+8𝑥−15,si 𝑥>3.

1. Calcule el valor de 𝑎 para que 𝑓 sea continua en 𝑥 =1.
2. Para 𝑎 =2, estudie la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.

Una bolsa contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 4 negras. Ana y Manolo practican el siguiente juego: Ana saca una bola, anota su color y la devuelve a la bolsa, a continuación Manolo extrae una bola y anota su color. Si las dos bolas extraídas tienen el mismo color, gana Ana; si sólo hay una bola blanca, gana Manolo, y en otro caso hay empate.

1. Calcule la probabilidad de que gane Ana.
2. Calcule la probabilidad de que gane Manolo.
3. Calcule la probabilidad de que haya empate.

Un estudio sociológico afirma que el 70% de las familias cena viendo la televisión. Se desea contrastar la veracidad de esta afirmación y, para ello, se toma una muestra de 500 familias, en la que se observa que 340 ven la televisión mientras cenan. Decida, mediante un contraste de hipótesis, si la afirmación es cierta con un nivel de significación de 0,01.