Matemáticas de Selectividad

1. Resuelva la ecuación matricial (2112)𝑋+(1−102)=𝐼2.
2. Dadas las matrices 𝑀=(0110)y𝐴=(𝑎𝑏21), calcule los valores de 𝑎 y 𝑏 para que se verifique la ecuación 𝑀𝐴 =𝐴.

Sea la función 𝑓(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥−5𝑥+4,si 𝑥<2,𝑥3−3𝑥2,si 𝑥≥2.

1. Determine y represente gráficamente sus asíntotas. Calcule el punto donde la gráfica de la función 𝑓 corta al eje de ordenadas.
2. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 = −3.

Un estudio estadístico determina que la noche del 31 de diciembre conduce el 5% de la población, el 20% consume alcohol esa noche y el 2% conduce y consume alcohol.

1. ¿Son independientes los sucesos "conducir" y "consumir alcohol"?
2. ¿Qué porcentaje de la población no conduce ni consume alcohol esa noche?
3. De las personas que consumen alcohol, ¿qué porcentaje conduce esa noche?

El capital de las hipotecas constituidas sobre fincas urbanas en Andalucía es una variable aleatoria Normal con desviación típica 10.000€.

1. Se toma una muestra aleatoria de 9 hipotecas con los siguientes capitales (en euros): 95.00099.000105.000106.000108.000111.000112.000115.000120.000. Construya un intervalo de confianza, al 95%, para el capital medio de dichas hipotecas.
2. ¿Qué número mínimo de hipotecas deberíamos considerar en una muestra para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo en la estimación del capital medio sea de 4.000€?

Se desea invertir 100.000€ en dos productos financieros A y B que tienen una rentabilidad del 2% y del 2,5% respectivamente. Se sabe que el producto B exige una inversión mínima de 10.000€ y, por cuestiones de riesgo, no se desea que la inversión en B supere el triple de lo invertido en A. ¿Cuánto se debe invertir en cada producto para que el beneficio sea máximo y cuál sería dicho beneficio?

Se considera la función 𝑓, definida a trozos por la expresión 𝑓(𝑥)={−𝑥2+𝑥+6si 𝑥≤2,𝑥+2si 𝑥>2.

1. Estudie la continuidad de la función.
2. Analice la derivabilidad de la función.
3. Represéntela gráficamente, determinando los extremos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos de corte con los ejes.

Una enfermedad puede estar provocada por solo una de estas tres causas: A, B o C. La probabilidad de que la causa sea A es 0,3, la de que sea B es 0,2 y la de que sea C es 0,5. El tratamiento de esta enfermedad requiere hospitalización en el 20% de los casos si está provocada por A, en el 55% si la causa es B y en el 10% si la causa es C.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un enfermo con la citada enfermedad no necesite hospitalización?
2. Si un enfermo está hospitalizado debido a esta enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que la causa haya sido A?

El peso medio de los pájaros de una determinada especie que habita en un parque natural se consideraba no inferior a 110 g, pero los biólogos del parque sostienen ahora la hipótesis de que dicho peso medio ha disminuido a consecuencia del cambio climático. Se ha tomado una muestra de 100 pájaros de esta especie y se ha obtenido un peso medio de 108 g. Se sabe que la variable que mide el peso de los pájaros de esta especie sigue una distribución Normal con desviación típica igual a 6 g. Plantee un contraste de hipótesis (𝐻0 :𝜇 ≥110), con un nivel de significación del 5%, determine la región crítica de este contraste y, utilizando ésta, razone si con ese nivel se puede aceptar que los biólogos del parque están en lo cierto.