Matemáticas de Selectividad

Sea la región factible definida por las siguientes inecuaciones: 𝑥+𝑦≤20,𝑥−𝑦≥0,5𝑥−13𝑦+8≤0.

1. Represéntela gráficamente y calcule sus vértices.
2. Razone si el punto (3;2,5) está en la región factible.
3. Determine el valor máximo y el mínimo de la función 𝐹(𝑥,𝑦) =𝑥 −𝑦 +6 en esa región y los puntos en los que se alcanzan.

1. Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 𝑓(𝑥)=(𝑥2−1)(3𝑥3+5𝑥)3,𝑔(𝑥)=ln⁡(3𝑥)𝑒2𝑥.
2. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ℎ(𝑥)=3𝑥+62𝑥+1 en el punto de abscisa 𝑥 =1.
3. Determine, si existen, las ecuaciones de las asíntotas de la función ℎ(𝑥).

En un centro de estudios que tiene 250 estudiantes, hay 50 que tienen problemas visuales y 20 que tienen problemas auditivos. Los sucesos "tener problemas visuales" y "tener problemas auditivos" son independientes. Se elige un estudiante al azar, calcule las probabilidades de los sucesos siguientes:

1. Tener problemas visuales y auditivos.
2. No tener problemas visuales ni auditivos.
3. Tener algún problema auditivo si no tiene problemas visuales.

Se sabe que el diámetro de las estrellas de mar de una región sigue una ley Normal con varianza 2,25 cm². Se sospecha que, igual que ocurre en otras regiones, su diámetro no supera los 11,7 cm (𝐻0 :𝜇 ≤11,7). Para confirmarlo se extrae una muestra aleatoria de estrellas de mar de esa región, obteniéndose los siguientes diámetros: 12,511,813,114,311,712,612,712,113,511,5.

1. Plantee un contraste de hipótesis y, para un nivel de significación del 5%, obtenga la región de rechazo del contraste. ¿Se puede confirmar la sospecha?
2. ¿Y para un nivel de significación del 3% se puede confirmar la sospecha?

Sean las matrices 𝐴=(24−2−6)y𝐵=(1011−20).

1. Resuelva la ecuación matricial 𝑋(𝐵𝐵𝑡) =12𝐴 −2𝐴𝑡.
2. Razone cuáles de las siguientes operaciones pueden realizarse e indique, en su caso, la dimensión de la matriz resultante: 𝐴𝐵,𝐴𝐵𝑡,𝐵𝐴−1,𝐵𝑡𝐴+𝐴−1.

La función de costes de una fábrica, 𝑓(𝑥), en miles de euros, viene dada por la expresión: 𝑓(𝑥)=2𝑥2−36𝑥+200, donde 𝑥 es la cantidad fabricada del producto en miles de kilogramos.

1. Determine la cantidad a fabricar para minimizar el coste y calcule este coste mínimo.
2. A partir del signo de 𝑓′(7), ¿qué se puede decir del coste para una producción de siete mil kilogramos?
3. Dibuje la gráfica de la función de costes. ¿Para qué cantidad o cantidades fabricadas el coste es de 200.000€?

En un aeropuerto internacional operaron 300.000 vuelos en un determinado año, distribuidos de la siguiente forma: 150.000 en la terminal A, 100.000 en la B y 50.000 en la C. En ese año se sabe que sufrieron retrasos el 10% de los vuelos de la terminal A, el 8% de la B y el 5% de la C. Determine, para un vuelo elegido al azar, las probabilidades de los siguientes sucesos:

1. Que no sufriera retraso.
2. Que operase en la terminal A, sabiendo que tuvo retraso.

El peso de los paquetes de azúcar de una marca, medido en gramos, sigue una distribución Normal con desviación típica de 16 gramos. A partir de una muestra de 100 paquetes de azúcar de dicha marca, se obtuvo un peso medio de 247 gramos.

1. Obtenga un intervalo de confianza para el peso medio de los paquetes de azúcar de esa marca, con un nivel de confianza del 97%.
2. Determine el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el peso medio con un error máximo de 0,5 gramos, a un nivel de confianza del 95%.