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📋 Reserva 2 de 2024

Ejercicio 1

Se consideran las matrices 𝑀=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101210111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝑁=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝322521740⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝑉=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝5−𝑎2𝑎−1𝑎2⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠, siendo 𝑎 un número real.

  1. Halle el valor de 𝑎 para que se verifique que 𝑀𝑡𝑉=(515)𝑡.
  2. Calcule 𝑀−1 y resuelva la ecuación matricial 𝑋𝑀 −𝐼3 =𝑁.
  3. Razone si las operaciones 2𝑉𝑁𝑡 y (𝑁 +𝑀𝑡)𝑉 se pueden realizar y, en aquellos casos en que sea posible, indique la dimensión de la matriz resultante.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos 𝑀𝑡𝑉. 𝑀𝑡𝑉=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝121011101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝5−𝑎2𝑎−1𝑎2⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝5−𝑎2+2𝑎−2+𝑎2𝑎−1+𝑎25−𝑎2+𝑎2⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2𝑎+3𝑎2+𝑎−15⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Así que: 𝑀𝑡𝑉=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝515⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⇔⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2𝑎+3𝑎2+𝑎−15⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝515⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⇔⎧{ {⎨{ {⎩2𝑎+3=5⇔𝑎=1,𝑎2+𝑎−1=1⇔{𝑎=−2,𝑎=1. Por tanto, se verifica para 𝑎 =1.
  2. Hallamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝑀. |𝑀|=∣101210111∣=2. Como det(𝑀) ≠0, la matriz es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝑀)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−2110−1−121⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa como: 𝑀−1=1|𝑀|Adj⁡(𝑀)𝑡=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11−1−2021−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Despejamos la ecuación matricial. 𝑋𝑀−𝐼3=𝑁⇔𝑋𝑀=𝑁+𝐼3⇔𝑋=(𝑁+𝐼3)𝑀−1. Por tanto, 𝑋=(𝑁+𝐼3)𝑀−1=12⎡⎢ ⎢⎣⎛⎜ ⎜ ⎜⎝322521740⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜⎝100010001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎤⎥ ⎥⎦⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11−1−2021−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝422531741⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11−1−2021−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝222042062⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝111021031⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
    • 𝑉 es de dimensión 3 ×1 y 𝑁𝑡 es 3 ×3, así que el producto no se puede realizar.
    • 𝑁 y 𝑀𝑡 son matrices cuadradas de orden 3, por lo que se pueden sumar y 𝑁 +𝑀𝑡 es también una matriz cuadrada de orden 3. Por otro lado, como 𝑉 es de dimensión 3 ×1, se pueden multiplicar y da como resultado una matriz de dimensión 3 ×1.

Ejercicio 2

Para un proyecto de software libre se dispone de 150 desarrolladores de JavaScript y 120 de Python. Es necesario formar equipos de trabajo de dos tipos. El primer tipo estará compuesto por 2 desarrolladores de JavaScript y 3 de Python, y el segundo tipo por 6 de JavaScript y 4 de Python. Se requieren al menos 6 equipos del segundo tipo. Determine cuántos equipos de cada tipo se podrán formar para obtener el mayor número de equipos posible. En tal caso, ¿cuántos desarrolladores de JavaScript y Python se utilizarán?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de equipos del primer tipo e 𝑦 al de equipos del segundo tipo. Podemos organizar la información en una tabla.

JavaScript Python
Primer tipo 2 3
Segundo tipo 6 4
Máximo 150 120

Las restricciones del problema son: ⎧{ { {⎨{ { {⎩2𝑥+6𝑦≤150,3𝑥+4𝑦≤120,𝑦≥6,𝑥≥0⇔⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥+3𝑦≤75,3𝑥+4𝑦≤120,𝑦≥6,𝑥≥0. La función objetivo a maximizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=𝑥+𝑦.

Representamos la región. Figura Los vértices son: 𝐴(0,6),𝐵(0,25),𝐶(12,21)y𝐷(32,6).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(0,6)=6,𝐹(𝐵)=𝐹(0,25)=25,𝐹(𝐶)=𝐹(12,21)=32,𝐹(𝐷)=𝐹(32,6)=38. Por tanto, el número máximo de equipos se obtiene con 32 del primer tipo y 6 del segundo tipo, utilizando 2 ⋅32 +6 ⋅6 =100 desarrolladores de JavaScript y 3 ⋅32 +6 =120 desarrolladores de Python.

Ejercicio 3

Se considera la función 𝑓(𝑥)=1−43+𝑥.

  1. Halle el dominio de 𝑓 y los puntos de corte de su gráfica con los ejes de coordenadas.
  2. Calcule las asíntotas de la función 𝑓.
  3. Obtenga los puntos donde la recta tangente a la gráfica de 𝑓 tiene pendiente 1.
  4. Estudie la curvatura de la función 𝑓.

Resolución
    • La función 𝑓 es una función racional, así que los puntos que no pertenecen al dominio son aquellos que anulan el denominador. 3+𝑥=0⇔𝑥=−3. Por tanto, Dom⁡(𝑓) =ℝ ∖{ −3}.
    • Hallamos los puntos de corte con el eje 𝑋, es decir, aquellos puntos con 𝑦 =0. 𝑓(𝑥)=0⇔1−43+𝑥=0⇔1=43+𝑥⇔3+𝑥=4⇔𝑥=1. Luego el único punto de corte con el eje 𝑋 es (1,0).
    • Hallamos ahora el punto de corte con el eje 𝑌. 𝑓(0)=1−43=−13. Así que el punto de corte con el eje 𝑌 es (0,−13).
    • El denominador se anula en 𝑥 = −3 y observamos que lím𝑥→−3−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−3−⁡(1−43+𝑥)=+∞,lím𝑥→−3+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−3+⁡(1−43+𝑥)=−∞. Por tanto, la recta 𝑥 = −3 es una asíntota vertical.
    • Veamos si tiene una asíntota horizontal. lím𝑥→+∞⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→+∞⁡(1−43+𝑥)=1. Por tanto, la recta 𝑦 =1 es una asíntota horizontal.
  3. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=4(3+𝑥)2. La pendiente de la recta tangente viene dada por el valor de la derivada. Así que: 𝑓′(𝑥)=1⇔4(3+𝑥)2=1⇔4=(3+𝑥)2⇔{3+𝑥=2⇔𝑥=−1,3+𝑥=−2⇔𝑥=−5. Por tanto, la recta tangente tiene pendiente 1 en los puntos de abscisa 𝑥 = −1 y 𝑥 = −5.
  4. En primer lugar, hallamos la segunda derivada de la función 𝑓. 𝑓″(𝑥)=−8(3+𝑥)3. Observamos que 𝑓″(𝑥) ≠0 para 𝑥 ≠ −3, así que no tiene puntos de inflexión. Estudiamos el signo de 𝑓″ considerando 𝑥 = −3 por no pertenecer al dominio.
    • Si 𝑥 < −3, 𝑓″(𝑥) >0. Así que 𝑓 es convexa.
    • Si 𝑥 > −3, 𝑓″(𝑥) <0. Así que 𝑓 es cóncava.
    Por tanto, 𝑓 es convexa en ( −∞, −3) y cóncava en ( −3, +∞).

Ejercicio 4

Se considera la función 𝑓(𝑥)={−𝑥2+2𝑥,si 𝑥<2,𝑥2−2𝑥,si 𝑥≥2.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
  2. Represente el recinto limitado por las rectas 𝑦 =2𝑥, 𝑥 = −1, 𝑥 =1 y la gráfica de 𝑓. Calcule su área.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
    • Si 𝑥 ≠2, 𝑓 es continua y derivable con: 𝑓′(𝑥)={−2𝑥+2,si 𝑥<2,2𝑥−2,si 𝑥>2.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =2. lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−⁡(−𝑥2+2𝑥)=0,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡(𝑥2−2𝑥)=0,𝑓(2)=0. Observamos que: lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(2). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =2. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(2)=lím𝑥→2−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2−⁡(−2𝑥+2)=−2,𝑓′+(2)=lím𝑥→2+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→2+⁡(2𝑥−2)=2. Observamos que 𝑓′−(2) =𝑓′+(2), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 =2.
    Por tanto, 𝑓 es continua en ℝ y derivable en ℝ ∖{2}.
  2. Representamos el recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y las rectas 𝑦 =2𝑥, 𝑥 = −1 y 𝑥 =1. Observamos que la primera rama de la función es una parábola con vértice (1,1). Figura Calculamos el área. ∫1−1(2𝑥−(𝑥2+2𝑥))𝑑𝑥=∫1−1𝑥2𝑑𝑥=[13𝑥3]1−1=13−(−13)=23𝑢2.

Ejercicio 5

Un grupo de 15 amigas se van a pasar un fin de semana a una casa rural. Al llegar reparten las tareas: 3 irán al mercado, 2 a comprar leña y el resto se quedarán en la casa. Para realizar el reparto de las tareas se introducen 15 papeletas en una urna de las que 3 tienen la palabra "mercado", 2 la palabra "leña" y el resto la palabra "casa". Cada una coge una papeleta de forma ordenada y sin reposición. Calcule la probabilidad de los siguientes sucesos:

  1. Las dos primeras papeletas extraídas tienen escrita la palabra "mercado".
  2. Las dos primeras papeletas extraídas no tienen escrita la palabra "casa".
  3. Si la segunda papeleta extraída tiene escrita "leña", ¿cuál es la probabilidad de que la primera también tenga escrita "leña"?

Resolución

Llamamos 𝑀 a tener escrita la palabra "mercado", 𝐿 la palabra "leña" y 𝐶 la palabra casa. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝑀2
2/14←←←←←←←←←←←←→
𝑀1 2/14←←←←←←←←←←←←→ 𝐿2
3/15←←←←←←←←←←←←→ 10/14←←←←←←←←←←←←←→
𝐶2
𝑀2
3/14←←←←←←←←←←←←→
2/15←←←←←←←←←←←←→ 𝐿1 1/14←←←←←←←←←←←←→ 𝐿2
10/14←←←←←←←←←←←←←→
𝐶2
𝑀2
10/15←←←←←←←←←←←←←→ 3/14←←←←←←←←←←←←→
𝐶1 2/14←←←←←←←←←←←←→ 𝐿2
9/14←←←←←←←←←←←←→
𝐶2
  1. La probabilidad de que las dos primeras papeletas tengan escrita la palabra "mercado" es: 𝑃(𝑀1∩𝑀2)=𝑃(𝑀1)⋅𝑃(𝑀2|𝑀1)=315⋅214=135.
  2. La probabilidad de que ninguna de las dos primeras papeletas tenga escrita la palabra "casa" es: 𝑃(𝐶𝑐1∩𝐶𝑐2)=𝑃(𝑀1)⋅𝑃(𝑀2|𝑀1)+𝑃(𝑀1)⋅𝑃(𝐿1|𝑀1)+𝑃(𝐿1)⋅𝑃(𝑀2|𝐿1)+𝑃(𝐿1)⋅𝑃(𝐿2|𝐿1)==315⋅214+315⋅214+215⋅314+215⋅114=221.
  3. La probabilidad de que la primera papaleta tenga escrita la palabra "leña" sabiendo que la segunda la tiene es: 𝑃(𝐿1|𝐿2)=𝑃(𝐿1∩𝐿2)𝑃(𝐿2)=𝑃(𝐿1)⋅𝑃(𝐿2|𝐿1)𝑃(𝐿2)=215⋅114315⋅214+215⋅114+1015⋅214=114.

Ejercicio 6

Una empresa ha instalado 50 alarmas de las que 30 son de tipo básico y el resto de tipo superior. Se sabe que el 80% de todas las alarmas no presentan incidencias y que de las de tipo básico un 30% presentan alguna incidencia. Se elige al azar una de estas alarmas. Calcule la probabilidad de que:

  1. Sea de tipo básico y no presente incidencias.
  2. No presente incidencias siendo de tipo superior.
  3. Teniendo incidencias sea de tipo básico.
  4. Sea de "tipo básico y tenga incidencias" o sea de "tipo superior y no tenga incidencias".

Resolución

Llamamos 𝐵 a ser de tipo básico, 𝑆 a ser de tipo superior e 𝐼 a presentar alguna incidencia. Sabemos que: 𝑃(𝐵)=3050=0,6y𝑃(𝑆)=2050=0,4. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝐼
0,3←←←←←←←←←←→
𝐵
0,6←←←←←←←←←←→ 0,7←←←←←←←←←←→
𝐼𝑐
𝐼
0,4←←←←←←←←←←→ 𝑝←←←←←←←←←→
𝑆
1−𝑝←←←←←←←←←←←→
𝐼𝑐

También sabemos que: 𝑃(𝐼𝑐)=0,8⇒𝑃(𝐼)=0,2.

  1. La probabilidad de que sea de tipo básico y no presente incidencias es: 𝑃(𝐵∩𝐼𝑐)=𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐼𝑐|𝐵)=0,6⋅0,7=0,42.
  2. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que presente alguna incidencia viene dada por: 𝑃(𝐼)=𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐼|𝐵)+𝑃(𝑆)⋅𝑃(𝐼|𝑆)=0,6⋅0,3+0,4⋅𝑝=0,18+0,4𝑝. Como 𝑃(𝐼) =0,2, 0,18+0,4𝑝=0,2⇔0,4𝑝=0,02⇔𝑝=0,05. Por tanto, la probabilidad de que no presente incidencias siendo de tipo superior es: 𝑃(𝐼𝑐|𝑆)=1−𝑃(𝐼|𝑆)=1−0,05=0,95.
  3. La probabilidad de que teniendo incidencias sea de tipo básico es: 𝑃(𝐵|𝐼)=𝑃(𝐵∩𝐼)𝑃(𝐼)=𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐼|𝐵)𝑃(𝐼)=0,6⋅0,30,2=0,9.
  4. La probabilidad de que sea de "tipo básico y tenga incidencias" o sea de "tipo superior y no tenga incidencias" es: 𝑃((𝐵∩𝐼)∪(𝑆∩𝐼𝑐))=𝑃(𝐵∩𝐼)+𝑃(𝑆∩𝐼𝑐)=𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐼|𝐵)+𝑃(𝑆)⋅𝑃(𝐼𝑐|𝑆)==0,6⋅0,3+0,4⋅0,95=0,56.

Ejercicio 7

Una tienda decide evaluar a su empresa de transporte para determinar si está cumpliendo con sus estándares de calidad. Para ello, se analizan 400 de sus envíos y se comprueba que 370 han sido entregados a tiempo.

  1. Si los estándares de calidad de dicha empresa requieren que al menos el 88% de los envíos sean entregados a tiempo, estime, mediante un intervalo de confianza al 93%, si la empresa de transporte cumple con los estándares de calidad.
  2. Si se mantiene la misma proporción muestral y se aumenta el nivel de confianza al 95%, ¿cuántos envíos, como mínimo, habrá que analizar para que la amplitud del intervalo de confianza sea inferior a 0,03?

Resolución
  1. Como 370 envíos de 𝑛 =400 han sido entregados a tiempo, la proporción muestral es: 𝑝=370400=0,925. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 93%, entonces: 𝛼=1−0,93=0,07⇒1−𝛼2=1−0,072=0,965⇒𝑧𝛼/2=1,815. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de envíos que han sido entregados a tiempo con un nivel de confianza del 93% es: 𝐼=(0,925−1,815⋅√0,925⋅(1−0,925)400,0,925+1,815⋅√0,925⋅(1−0,925)400)≈(0,9011;0,9489). Como el intervalo de confianza solo abarca valores mayores que 0,88, se puede admitir que la empresa cumple con los estándares de calidad.
  2. Si el nivel de confianza es del 95%, entonces: 𝛼=1−0,95=0,05⇒1−𝛼2=1−0,052=0,975⇒𝑧𝛼/2=1,96. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=1,96⋅√0,925⋅(1−0,925)𝑛=1,96⋅√0,069375𝑛. El error máximo cometido en un intervalo de confianza es la mitad de su amplitud, así que se quiere que el error sea inferior a 0,015. Entonces: 1,96⋅√0,069375𝑛=0,015⇔√0,069375𝑛=0,0151,96⇔0,069375𝑛=0,01521,962⇔⇔𝑛=0,069375⋅1,9620,0152≈1.184,4933. Por tanto, el número mínimo de envíos de la muestra debe ser 1.185.

Ejercicio 8

  1. El tiempo que un carpintero necesita para fabricar una mesa sigue una distribución Normal de media 60 minutos y desviación típica de 30 minutos. Si en un mes ese carpintero ha fabricado 100 mesas, calcule la probabilidad de que el tiempo medio de fabricación de las mesas de esa muestra sea superior a 54 minutos.
  2. El tiempo que un carpintero necesita para fabricar una puerta sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica de 20 minutos. En un mes ese carpintero ha fabricado 25 puertas, obteniendo un tiempo medio de fabricación de 40 minutos. Halle un intervalo de confianza para el tiempo medio de fabricación de una puerta con un nivel de confianza del 97%. Determine el error máximo cometido al realizar la estimación.

Resolución
  1. La distribución de las medias muestrales ――𝑋 sigue una distribución normal 𝑁(𝜇,𝜎√𝑛) con 𝜇 =60, 𝜎 =30 y 𝑛 =100. Es decir, ――𝑋 ∼𝑁(60,3). La probabilidad de que el tiempo medio de fabricación de las mesas de esa muestra sea superior a 54 minutos es: 𝑃(――𝑋>54)=𝑃(𝑍>54−603)=𝑃(𝑍>−2)=𝑃(𝑍<2)=0,9772.
  2. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: 𝛼=1−0,97=0,03⇒1−𝛼2=1−0,032=0,985⇒𝑧𝛼/2=2,17. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar el tiempo medio de fabricación de una puerta con un nivel de confianza del 97% es: 𝐼=(40−2,17⋅20√25,40+2,17⋅20√25)=(31,32;48,68). El error máximo cometido es: 𝐸=48,68−31,322=8,68.