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📋 Reserva 4 de 2021

Ejercicio 1

Se considera la matriz 𝐴=(10−11).

  1. Calcule 𝐴40 y (𝐴𝑡)30.
  2. Calcule (𝐴−1 +𝐴)2.
  3. Resuelva la ecuación matricial (𝐴𝑡 +𝐼2)𝑋 =𝐴𝑡 −𝐼2.

Ejercicio 2

Se consideran las siguientes inecuaciones: 5𝑥−3𝑦≥−9,𝑥+𝑦≤11,6𝑥+𝑦≤36,𝑥+2𝑦≥6.

  1. Represente la región factible definida por las inecuaciones anteriores y determine sus vértices.
  2. ¿Pertenece el punto (5,7) a la región factible anterior?
  3. Calcule los valores máximo y mínimo de la función 𝐹(𝑥,𝑦) =10𝑥 −6𝑦 en la región anterior y determine los puntos en los que se alcanzan.

Ejercicio 3

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩1𝑥,si 𝑥≤−1,−3𝑥2+4,si −1<𝑥<1,2𝑥−1,si 𝑥≥1.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓 en todo su dominio.
  2. Represente gráficamente la función 𝑓.
  3. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función 𝑓, el eje de abscisas y las rectas 𝑥 =0 y 𝑥 =3.

Ejercicio 4

Una fábrica estima que sus costes de producción, expresados en miles de euros, vienen dados por la función 𝑓(𝑥) =𝑥2 −6𝑥 +10, donde 𝑥 es la cantidad semanal a producir expresada en miles de kilogramos.

  1. ¿Cuál debe ser la producción semanal para que el coste sea mínimo? ¿Cuál es dicho coste?
  2. Calcule la recta tangente a la función de costes en el punto de abscisa 𝑥 =4. Represente gráficamente la función de costes y la recta tangente hallada.

Ejercicio 5

Una determinada ciudad tiene en la plantilla del ayuntamiento 1.000 agentes de la policía local, 600 bomberos y 400 funcionarios de protección civil. En esta plantilla, el 42% de policías, el 20% de bomberos y el 50% de funcionarios de protección civil son mujeres. Se elige una persona al azar de la plantilla.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?
  2. Si la persona elegida es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que sea bombero?

Resolución

Llamamos 𝐿 a ser agente de la policía local, 𝐵 a ser bombero, 𝐶 a ser funcionario de protección civil, 𝑀 a ser mujer y 𝐻 a ser hombre. Sabemos que: 𝑃(𝐿)=1.0002.000=0,5,𝑃(𝐵)=6002.000=0,3y𝑃(𝐶)=4002.000=0,2.

𝑀
0,42←←←←←←←←←←←→
𝐿
0,5←←←←←←←←←←→ 0,58←←←←←←←←←←←→
𝐻
𝑀
0,2←←←←←←←←←←→
0,3←←←←←←←←←←→ 𝐵
0,8←←←←←←←←←←→
𝐻
𝑀
0,2←←←←←←←←←←→ 0,5←←←←←←←←←←→
𝐶
0,5←←←←←←←←←←→
𝐻
  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que sea mujer es: 𝑃(𝑀)=𝑃(𝑀∩𝐿)+𝑃(𝑀∩𝐵)+𝑃(𝑀∩𝐶)=𝑃(𝐿)⋅𝑃(𝑀|𝐿)+𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝑀|𝐵)+𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝑀|𝐶)==0,5⋅0,42+0,3⋅0,2+0,2⋅0,5=0,37.
  2. La probabilidad de que sea bombero sabiendo que es hombre es: 𝑃(𝐵|𝐻)=𝑃(𝐵∩𝐻)𝑃(𝐻)=𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐻|𝐵)1−𝑃(𝑀)=0,3⋅0,81−0,37≈0,3810.

Ejercicio 6

Una urna A contiene 4 bolas rojas y 5 verdes y otra urna B contiene 6 bolas rojas y 3 verdes. Lanzamos dos dados y si la suma es mayor o igual a 9, extraemos una bola de la urna A y en caso contrario, la extraemos de la urna B.

  1. Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea verde y de la urna B.
  2. Halle la probabilidad de que la bola extraída sea roja.

Ejercicio 7

Se quiere estudiar la proporción de ciudadanos enfermos de COVID-19 en una determinada población. Para ello, se elige una muestra al azar de 1.000 ciudadanos, revelándose que el 15% de ellos están enfermos.

  1. Calcule un intervalo de confianza al 95%, para estimar la proporción real de enfermos de COVID-19 en dicha población.
  2. Determine el tamaño muestral mínimo para que, con el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral anteriores, el error que se cometa al estimar la proporción de ciudadanos enfermos de COVID-19 en esa población sea inferior al 1%.

Ejercicio 8

El peso de los paquetes de arroz de una marca comercial concreta sigue una ley Normal de media 1.000 g y varianza 256 g2.

  1. Calcule la probabilidad de que el peso medio de las muestras de tamaño 64 sea menor que 996 g.
  2. Tras varias denuncias presentadas por falta de peso en los citados paquetes, una organización de consumidores ha procedido a tomar una muestra de 64 paquetes, resultando que la suma de los pesos ha sido de 63.744 g. Halle un intervalo de confianza al 90% para estimar el peso medio real de los paquetes de arroz de esa marca.
  3. A la vista del intervalo obtenido y teniendo en cuenta que el peso que marca el paquete es de 1.000 g, ¿cree que la denuncia tiene base?