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📋 Reserva 1 de 2024

Ejercicio 1

Se consideran las matrices 𝑃=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1010101−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐽=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21002000−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Halle la matriz 𝐴 que satisface la ecuación 𝑃−1𝐴𝑃 =𝐽.
  2. Compruebe que 𝐴3 =𝑃𝐽3𝑃−1.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos el determinante de 𝑃. |𝑃|=∣1010101−1−1∣=−2. Así que 𝑃 es invertible con det(𝑃) = −2. Despejamos la ecuación matricial. 𝑃−1𝐴𝑃=𝐽⇔𝐴=𝑃𝐽𝑃−1. Para hallar la inversa de 𝑃, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝑃)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−10−1−1−21−101⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Ahora podemos calcular su inversa como 𝑃−1=1|𝑃|Adj⁡(𝑃)𝑡=−12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−1−1−10−20−111⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1110201−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝐴=𝑃𝐽𝑃−1=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1010101−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21002000−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1110201−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21−10202−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1110201−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1530403−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
  2. Calculamos la matriz 𝐴3. 𝐴2=𝐴⋅𝐴=14⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1530403−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1530403−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=14⎛⎜ ⎜ ⎜⎝10226016061010⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝5113080355⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐴3=𝐴2⋅𝐴=14⎛⎜ ⎜ ⎜⎝5113080355⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1530403−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=14⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1466180320183014⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝733901609157⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por otro lado, calculamos la matriz 𝐽3. 𝐽2=𝐽⋅𝐽=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21002000−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21002000−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝440040001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐽3=𝐽2⋅𝐽=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝440040001⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21002000−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝812008000−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto 𝑃𝐽3𝑃−1=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1010101−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝812008000−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1110201−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠==12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝812−1080841⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1110201−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝733901609157⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Así que 𝐴3 =𝑃𝐽3𝑃−1.

Ejercicio 2

A una tienda de decoración le han encargado decorar las mesas de un salón de celebraciones con centros florales y candelabros. En el salón se montan siempre entre 12 y 40 mesas. En cada mesa solo se puede colocar un centro floral o un candelabro y, además, el número de candelabros no puede ser superior a una tercera parte de los centros florales. Si el precio de cada centro floral es de 32€ y el de cada candelabro de 35€, ¿cuántos artículos de cada tipo debe seleccionar la tienda para maximizar sus ingresos? ¿A cuánto ascenderán dichos ingresos?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de centros florales e 𝑦 al de candelabros. Las restricciones del problema son: ⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥+𝑦≥12,𝑥+𝑦≤40,𝑦≤𝑥3,𝑦≥0⇔⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥+𝑦≥12,𝑥+𝑦≤40,3𝑦≤𝑥,𝑦≥0. La función objetivo a maximizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=32𝑥+35𝑦.

Representamos la región. Figura Los vértices son: 𝐴(12,0),𝐵(9,3),𝐶(30,10)y𝐷(40,0).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(12,0)=384,𝐹(𝐵)=𝐹(9,3)=393,𝐹(𝐶)=𝐹(30,10)=1.310,𝐹(𝐷)=𝐹(40,0)=1.280. Por tanto, el valor máximo de los ingresos se alcanza seleccionando 30 centros florales y 10 candelabros, con unas ganancias de 1.310€.

Ejercicio 3

La superficie de ampliación de un parque de atracciones, en decámetros cuadrados, coincide con el área de la region delimitada por las graficas de las funciones 𝑓(𝑥)=−𝑥2+6𝑥y𝑔(𝑥)=𝑥25.

  1. Represente gráficamente la superficie de ampliación del parque de atracciones.
  2. Si el coste para acondicionar el nuevo suelo es de 75€/m2, calcule el área de ampliación del parque y el coste total del acondicionamiento.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos los puntos de corte de 𝑓 y 𝑔. 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔−𝑥2+6𝑥=𝑥25⇔−5𝑥2+30𝑥=𝑥2⇔⇔6𝑥2−30𝑥=0⇔6𝑥(𝑥−5)=0⇔{𝑥=0,𝑥−5=0⇔𝑥=5. Así que los puntos de corte son (0,0) y (5,5). Observamos además que las funciones 𝑓 y 𝑔 son parábolas con vértices (3,9) y (0,0), respectivamente. Representamos la región delimitada por ambas funciones. Figura
  2. Calculamos el área de la región. ∫50(𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥))𝑑𝑥=∫50(−𝑥2+6𝑥−𝑥25)𝑑𝑥=∫50(−65𝑥2+6𝑥)𝑑𝑥==[−615𝑥3+3𝑥2]50=−50+75=25𝑢2. Si el coste es de 75€/m2, entonces el coste será de 25 ⋅75 =1.875€.

Ejercicio 4

Se consideran las funciones 𝑓(𝑥)={2−𝑥2,si −1≤𝑥≤1,(𝑥−2)2,si 1<𝑥≤3y𝑔(𝑥)=1,si −1≤𝑥≤3.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de 𝑓 y 𝑔 en sus dominios.
  2. Represente el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y calcule su área.

Resolución
  1. En primer lugar, observamos que Dom⁡(𝑓) =Dom⁡(𝑔) =[ −1,3]. La función 𝑔 es continua y derivable en todo su dominio por ser constante. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑓.
    • Si 𝑥 ∈[ −1,3] con 𝑥 ≠1, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)={−2𝑥,si −1≤𝑥<1,2(𝑥−2),si 1<𝑥≤3.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =1. lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1−⁡(2−𝑥2)=1,lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡(𝑥−2)2=1,𝑓(1)=1. Observamos que lím𝑥→1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→1+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(1). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 =1. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(1)=lím𝑥→1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1−−2𝑥=−2,𝑓′+(1)=lím𝑥→1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→1+⁡2(𝑥−2)=−2. Observamos que 𝑓′−(1) =𝑓′+(1), así que 𝑓 es derivable en 𝑥 =1.
    Por tanto, 𝑓 también es continua y derivable en todo su dominio.
  2. En primer lugar, hallamos los puntos de corte de 𝑓 y 𝑔.
    • Si −1 ≤𝑥 ≤1, 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔2−𝑥2=1⇔𝑥2=1⇔𝑥=±1.
    • Si 1 <𝑥 ≤3, 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⇔(𝑥−2)2=1⇔{𝑥−2=1⇔𝑥=3,𝑥−2=−1⇔𝑥=1.
    Así que los puntos de corte son ( −1,1), (1,1) y (3,1). Observamos además que las dos ramas de 𝑓 son parábolas con vértices (0,2) y (2,0), respectivamente. Representamos los recintos limitados por ambas funciones. Figura Como los dos recintos tienen la misma superficie, podemos calcular el área como 2∫1−1(𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥))𝑑𝑥=2∫1−1(2−𝑥2−1)𝑑𝑥=2∫1−1(−𝑥2+1)𝑑𝑥=2[−13𝑥3+𝑥]1−1==2(−13+1−(13−1))=83𝑢2.

Ejercicio 5

En una encuesta realizada en una librería se ha determinado que el 45% de sus clientes compran novelas históricas, mientras que el 40% no compra novelas de fantasía. Además, de los clientes que compran novelas de fantasía, solo el 30% compran también novelas históricas. Elegido un cliente al azar, calcule la probabilidad de que:

  1. Compre novelas históricas y de fantasía.
  2. No compre novelas históricas y tampoco de fantasía.
  3. Compre una novela de fantasía, sabiendo que no ha comprado ninguna novela histórica.

Resolución

Llamamos 𝐻 a comprar novelas históricas y 𝐹 a comprar novelas de fantasía. Sabemos que: 𝑃(𝐻)=0,45,𝑃(𝐹𝑐)=0,4⇒𝑃(𝐹)=0,6y𝑃(𝐻|𝐹)=0,3.

  1. La probabilidad de que un cliente compre novelas históricas y de fantasía es: 𝑃(𝐻∩𝐹)=𝑃(𝐹)⋅𝑃(𝐻|𝐹)=0,6⋅0,3=0,18.
  2. La probabilidad de que no compre novelas ni históricas ni de fantasía es: 𝑃(𝐻𝑐∩𝐹𝑐)=𝑃((𝐻∪𝐹)𝑐)=1−𝑃(𝐻∪𝐹)==1−(𝑃(𝐻)+𝑃(𝐹)−𝑃(𝐻∩𝐹))=1−(0,45+0,6−0,18)=0,13.
  3. La probabilidad de que compre una novela de fantasía sabiendo que no ha comprado ninguna novela histórica es: 𝑃(𝐹|𝐻𝑐)=𝑃(𝐹∩𝐻𝑐)𝑃(𝐻𝑐)=𝑃(𝐹)−𝑃(𝐻∩𝐹)1−𝑃(𝐻)=0,6−0,181−0,45≈0,7636.

Ejercicio 6

Una fábrica dispone de 3 máquinas A, B y C para la fabricación de una cierta pieza. El 25% de las piezas son fabricadas por la máquina A, el 35% por B y el resto por C. Tras un estudio se determina que el 2,05% del total de las piezas fabricadas son defectuosas y que el 1% de las piezas fabricadas por B son defectuosas.

  1. Se selecciona una pieza al azar y resulta no ser defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que fuera fabricada por la máquina B?
  2. Si A y C tienen la misma probabilidad de fabricar una pieza defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que una pieza sea fabricada por A sabiendo que es defectuosa?

Resolución

Llamamos 𝐴 a fabricar una pieza con la máquina A, 𝐵 con la máquina B, 𝐶 con la máquina C y 𝐷 a fabricar una pieza defectuosa. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝐷
𝑝←←←←←←←←←→
𝐴
0,25←←←←←←←←←←←→ 1−𝑝←←←←←←←←←←←→
𝐷𝑐
𝐷
0,01←←←←←←←←←←←→
0,35←←←←←←←←←←←→ 𝐵
0,99←←←←←←←←←←←→
𝐷𝑐
𝐷
0,4←←←←←←←←←←→ 𝑝←←←←←←←←←→
𝐶
1−𝑝←←←←←←←←←←←→
𝐷𝑐

También sabemos que 𝑃(𝐷) =0,0205.

  1. La probabilidad de que una pieza sea fabricada por la máquina B sabiendo que no es defectuosa es: 𝑃(𝐵|𝐷𝑐)=𝑃(𝐵∩𝐷𝑐)𝑃(𝐷𝑐)=𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐷𝑐|𝐵)1−𝑃(𝐷)=0,35⋅0,991−0,0205≈0,3538.
  2. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que una pieza sea defectuosa viene dada por: 𝑃(𝐷)=𝑃(𝐷∩𝐴)+𝑃(𝐷∩𝐵)+𝑃(𝐷∩𝐶)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐷|𝐴)+𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐷|𝐵)+𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝐷|𝐶)==0,25𝑝+0,35⋅0,01+0,4𝑝=0,65𝑝+0,0035. Como 𝑃(𝐷) =0,0205, 0,0205=0,65𝑝+0,0035⇔0,65𝑝=0,0205−0,0035⇔𝑝=0,0205−0,00350,65≈0,0262. Por tanto, la probabilidad de que una pieza sea fabricada por la máquina A sabiendo que es defectuosa es: 𝑃(𝐴|𝐷)=𝐴∩𝐷𝑃(𝐷)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐷|𝐴)𝑃(𝐷)=0,25⋅0,02620,0205≈0,3195.

Ejercicio 7

Se ha administrado un determinado medicamento a una muestra de 220 enfermos de una población que padece una cierta enfermedad y se ha observado una respuesta positiva en 165 de ellos.

  1. Estime, mediante un intervalo de confianza del 97,5%, la proporción de enfermos que responderían positivamente si este medicamento se administrase a la población de la que se ha extraído la muestra. Según el intervalo obtenido, razone si puede admitirse que el porcentaje de enfermos que responderían positivamente al medicamento administrado es del 70%.
  2. Con el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea menor que el 2,5%?

Resolución
  1. Como 165 enfermos de 𝑛 =220 ha tenido una respuesta positiva al medicamento, la proporción muestral es: 𝑝=165220=0,75. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 97,5%, entonces: 𝛼=1−0,975=0,025⇒1−𝛼2=1−0,0252=0,9875⇒𝑧𝛼/2=2,24. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de enfermos que responden positivamente al medicamento con un nivel de confianza del 97,5% es: 𝐼=(0,75−2,24⋅√0,75⋅(1−0,75)220,0,75+2,24⋅√0,75⋅(1−0,75)220)≈(0,6846;0,8154). Como 0,7 pertenece al intervalo de confianza, puede admitirse como proporción poblacional.
  2. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=2,24⋅√0,75⋅(1−0,75)𝑛=2,24⋅√0,1875√𝑛. Si se quiere que el error sea menor que 0,025, entonces: 2,24⋅√0,1875√𝑛=0,025⇔√𝑛=2,24⋅√0,18750,025⇔𝑛=2,242⋅0,18750,0252=1.505,28. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 1.506 enfermos.

Ejercicio 8

Un atleta obtiene los siguientes tiempos, en minutos, de 10 repeticiones cronometradas de una prueba: 2,713,843,262,282,863,083,072,462,542,58. Por experiencias anteriores se sabe que el tiempo en cada repetición sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica 0,36 minutos.

  1. Calcule un intervalo de confianza para el tiempo medio de estas repeticiones con un 93,5% de confianza.
  2. ¿Cuántas repeticiones como mínimo se tendrán que cronometrar si se quiere obtener un error en la estimación del tiempo medio inferior a 0,05 minutos manteniendo el mismo nivel de confianza?

Resolución
  1. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Calculamos la media muestral. ――𝑥=2,71+3,84+3,26+2,28+2,86+3,08+3,07+2,46+2,54+2,5810=2,868. Como el nivel de confianza es del 93,5%, entonces: 𝛼=1−0,935=0,065⇒1−𝛼2=1−0,0652=0,9675⇒𝑧𝛼/2=1,845. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar el tiempo medio en minutos de las repeticiones con un nivel de confianza del 93,5% es: 𝐼=(2,868−1,845⋅0,36√10,2,868+1,845⋅0,36√10)≈(2,6580;3,0780).
  2. El error máximo cometido viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛=1,845⋅0,36√𝑛=0,6642√𝑛. Si se quiere que el error máximo sea inferior a 0,05, entonces: 0,6642√𝑛=0,05⇔√𝑛=0,66420,05⇔𝑛=0,664220,052≈176,4647. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 177 repeticiones.