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📋 Junio de 2026

Ejercicio 1

En un festival de cine con tres sesiones se venden tres tipos de entradas: Estándar, Premium y VIP. En la sesión inaugural se vendieron 5 entradas Premium, 20 Estándar y 20 VIP, obteniéndose una recaudación de 1.800€. En la sesión nocturna se vendieron 10 VIP, 10 Estándar y 5 Premium, recaudándose 1.000€. El día de la proyección de clausura, el número de entradas Premium superó en 4 al resto de entradas, que fueron 12 VIP y 4 Estándar, arrojando una recaudación de 1.560€.

  1. Calcule el precio de cada tipo de entrada y la recaudación total obtenida.
  2. Determine el tipo de entrada con la que se obtuvo una mayor recaudación y el valor de dicha recaudación.

Resolución
  1. Llamamos 𝑥 al precio de una entrada Estándar, 𝑦 al de una entrada Premium y 𝑧 al de una entrada VIP. Planteamos el sistema de ecuaciones. ⎧{ {⎨{ {⎩20𝑥+5𝑦+20𝑧=1800,10𝑥+5𝑦+10𝑧=1000,4𝑥+20𝑦+12𝑧=1560⇒⎧{ {⎨{ {⎩4𝑥+𝑦+4𝑧=360,2𝑥+𝑦+2𝑧=200,𝑥+5𝑦+3𝑧=390. Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝414360212200153390⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1−𝐹2←←←←←←←←←←←→𝐹3−5𝐹2⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝202160212200−90−7−610⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1/2←←←←←←←←←←←→𝐹3⋅(−1)⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝10180212200907610⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹3−7𝐹1←←←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1018021220020050⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema escalonado resultante es: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑧=80,2𝑥+𝑦+2𝑧=200,2𝑥=50⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=25,𝑦=40,𝑧=55. Por tanto, el precio de la entrada Estándar es de 25€, el de la Premium es 40€ y el de la VIP es 55€. La recaudación total es 1800 +1000 +1560 =4.360€.
    • Con las entradas Estándar se recaudan 54 ⋅25 =850€.
    • Con las entradas Premium se recaudan 30 ⋅40 =1.200€.
    • Con las entradas VIP se recaudan 42 ⋅55 =2.310€.
    Por tanto, se obtuvo una mayor recaudación con las entradas VIP, con un beneficio de 2.310€.

Ejercicio 2

Una empresa maderera fabrica tableros de dos tipos, DM y aglomerado, a partir de madera triturada. Para producir 1 m2 de tablero DM se consumen 10 m3 de madera triturada y se obtiene un beneficio de 10€. Para producir 1 m2 de tablero aglomerado se consumen 30 m3 de madera triturada y se obtiene un beneficio de 20€. La empresa puede fabricar diariamente como máximo 12 m2 de tableros DM y 18 m2 de tableros de aglomerado. Además, la capacidad total de la empresa limita la producción conjunta a 26 m2 diarios y dispone de 600 m3 de madera triturada al día. Determine cuántos metros cuadrados de cada tipo de tablero deben producirse diariamente para maximizar el beneficio total y calcule cuál es ese beneficio.

Ejercicio 3

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { { {⎨{ { { {⎩𝑥220,si 0≤𝑥<20,𝑎+𝑏𝑥,si 20≤𝑥<50,36−𝑥2100,si 50≤𝑥≤60.

  1. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓 sea continua en todo su dominio.
  2. Para 𝑎 =26 y 𝑏 = −310:
    1. Calcule los extremos relativos de 𝑓.
    2. Represente gráficamente 𝑓.
    3. Calcule el área del recinto acotado limitado por el eje 𝑂𝑋 y la gráfica de la función 𝑓.

Ejercicio 4

  1. Dada la población { −5, −2,13,18,20}, se consideran todas las muestras de tamaño 3 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple. Calcule la media y la varianza de la distribución de la variable media muestral.
  2. Dados dos sucesos 𝐴 y 𝐵 de un mismo espacio muestral, se sabe que 𝑃(𝐴) =0,75, 𝑃(𝐵𝑐) =0,8 y 𝑃(𝐴|𝐵) =0,6. Calcule las siguientes probabilidades: 𝑃(𝐴∩𝐵),𝑃(𝐵−𝐴),𝑃(𝐴∪𝐵),𝑃(𝐴𝑐−𝐵).

Resolución
  1. Hallamos la media 𝜇𝑝 y la varianza 𝜎2𝑝 de la población. 𝜇𝑝=−5+(−2)+13+18+205=8,8,𝜎2𝑝=(−5)2+(−2)2+132+182+2025−8,82=106,96. Por tanto, la distribución de medias muestrales de tamaño 3 tiene media 𝜇𝑚 =8,8 y varianza 𝜎2𝑚=𝜎2𝑝3=106,963≈35,6533.
    • 𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴∩𝐵)𝑃(𝐵) ⇒𝑃(𝐴 ∩𝐵) =𝑃(𝐵) ⋅𝑃(𝐴|𝐵) =0,2 ⋅0,6 =0,12.
    • 𝑃(𝐵 −𝐴) =𝑃(𝐵) −𝑃(𝐴 ∩𝐵) =0,2 −0,12 =0,08.
    • 𝑃(𝐴 ∪𝐵) =𝑃(𝐴) +𝑃(𝐵) −𝑃(𝐴 ∩𝐵) =0,75 +0,2 −0,12 =0,83.
    • 𝑃(𝐴𝑐 −𝐵) =𝑃(𝐴𝑐) −𝑃(𝐴𝑐 ∩𝐵) =𝑃(𝐴𝑐) −𝑃(𝐵 −𝐴) =0,25 −0,08 =0,17.

Ejercicio 5

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos del espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Se sabe que 𝑃(𝐴) es el doble de 𝑃(𝐵), 𝑃(𝐵𝑐|𝐴) =0,75 y 𝑃(𝐴 ∩𝐵) =0,2.

  1. Calcule la probabilidad de que ocurra 𝐵.
  2. Calcule la probabilidad de que no ocurra ni 𝐴 ni 𝐵. ¿Son los sucesos 𝐴 y 𝐵 incompatibles?
  3. Si el experimento se realiza 1.350 veces de forma independiente:
    1. Determine la distribución de la variable aleatoria 𝑋: "Número de veces que ocurre 𝐵".
    2. Calcule la probabilidad de que 𝐵 ocurra a lo sumo 580 veces, pero más de 499 veces.

Resolución
  1. En primer lugar, calculamos la probabilidad de 𝐵 sabiendo que ha ocurrido 𝐴. 𝑃(𝐵|𝐴)=1−𝑃(𝐵𝑐|𝐴)=1−0,75=0,25. Despejando en la expresión de la probabilidad condicionada, obtenemos que: 𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴∩𝐵)𝑃(𝐴)⇒𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴∩𝐵)𝑃(𝐵|𝐴)=0,20,25=0,8. Por tanto, la probabilidad de que ocurra 𝐵 es: 𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴)2=0,82=0,4.
  2. La probabilidad de que no ocurra ni 𝐴 ni 𝐵 viene dada por: 𝑃(𝐴𝑐∩𝐵𝑐)=𝑃((𝐴∪𝐵)𝑐)=1−𝑃(𝐴∪𝐵). Calculamos la probabilidad de la unión. 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)=0,8+0,4−0,2=1. Por tanto, la probabilidad de que no ocurra ni 𝐴 ni 𝐵 es: 𝑃(𝐴𝑐∩𝐵𝑐)=1−𝑃(𝐴∪𝐵)=1−1=0. Así que los sucesos 𝐴 y 𝐵 son incompatibles.
    1. 𝑋 sigue una distribución Bi⁡(𝑛 =1.350, 𝑝 =0,4).
    2. La probabilidad de que 𝐵 ocurra a lo sumo 580 veces y más de 499 veces viene dada por 𝑃(500 ≤𝑋 ≤580). Observamos que: 𝑛𝑝=1350⋅0,4=540≥5,𝑛𝑞=1350⋅0,6=810≥5. Así que podemos aproximar 𝑋 por una distribución normal con: 𝜇=𝑛𝑝=540,𝜎=√𝑛𝑝𝑞=√1350⋅0,4⋅0,6=18. Es decir, podemos aproximar 𝑋 por una variable ˜𝑋 ∼𝑁(540,18). Por tanto, la probabilidad de que 𝐵 ocurra entre 500 y 580 veces es: 𝑃(500≤𝑋≤580)≈𝑃(499,5≤˜𝑋≤580,5)=(499,5−54018≤𝑍≤580,5−54018)==𝑃(−2,25≤𝑍≤2,25)=𝑃(𝑍≤2,25)−𝑃(𝑍≤−2,25)=𝑃(𝑍≤2,25)−[1−𝑃(𝑍≤2,25)]==2𝑃(𝑍≤2,25)−1=2⋅0,9878−1=0,9756.

Ejercicio 6

Una empresa de transporte contrata una consultora para optimizar sus recursos. La consultora estudia la distancia en kilómetros que recorren en cada viaje los camiones de la empresa, sabiendo que la variable que mide dicha distancia se distribuye según una Normal de varianza 225 km2 y media desconocida. Para ello, toma aleatoriamente una muestra de 49 viajes y obtiene una media de 325 km recorridos por viaje.

  1. Calcule un intervalo de confianza al 97% para que la consultora pueda estimar la distancia media que recorren por viaje los camiones de la empresa.
  2. A la vista del intervalo obtenido, razone si la consultora puede considerar que los camiones de la empresa recorren por término medio 310 km por viaje que realizan.
  3. ¿Cuántos viajes, como mínimo, tendría que seleccionar aleatoriamente la consultora para estimar la distancia media que recorren por viaje los camiones de la empresa mediante un intervalo de confianza del 99% que tuviera una amplitud inferior a 4 km?