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Ejercicio 1: Junio de 2026

En un festival de cine con tres sesiones se venden tres tipos de entradas: Estándar, Premium y VIP. En la sesión inaugural se vendieron 5 entradas Premium, 20 Estándar y 20 VIP, obteniéndose una recaudación de 1.800€. En la sesión nocturna se vendieron 10 VIP, 10 Estándar y 5 Premium, recaudándose 1.000€. El día de la proyección de clausura, el número de entradas Premium superó en 4 al resto de entradas, que fueron 12 VIP y 4 Estándar, arrojando una recaudación de 1.560€.

  1. Calcule el precio de cada tipo de entrada y la recaudación total obtenida.
  2. Determine el tipo de entrada con la que se obtuvo una mayor recaudación y el valor de dicha recaudación.

Resolución
  1. Llamamos 𝑥 al precio de una entrada Estándar, 𝑦 al de una entrada Premium y 𝑧 al de una entrada VIP. Planteamos el sistema de ecuaciones. ⎧{ {⎨{ {⎩20𝑥+5𝑦+20𝑧=1800,10𝑥+5𝑦+10𝑧=1000,4𝑥+20𝑦+12𝑧=1560⇒⎧{ {⎨{ {⎩4𝑥+𝑦+4𝑧=360,2𝑥+𝑦+2𝑧=200,𝑥+5𝑦+3𝑧=390. Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝414360212200153390⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1−𝐹2←←←←←←←←←←←→𝐹3−5𝐹2⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝202160212200−90−7−610⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹1/2←←←←←←←←←←←→𝐹3⋅(−1)⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝10180212200907610⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹3−7𝐹1←←←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝1018021220020050⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema escalonado resultante es: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑧=80,2𝑥+𝑦+2𝑧=200,2𝑥=50⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=25,𝑦=40,𝑧=55. Por tanto, el precio de la entrada Estándar es de 25€, el de la Premium es 40€ y el de la VIP es 55€. La recaudación total es 1800 +1000 +1560 =4.360€.
    • Con las entradas Estándar se recaudan 54 ⋅25 =850€.
    • Con las entradas Premium se recaudan 30 ⋅40 =1.200€.
    • Con las entradas VIP se recaudan 42 ⋅55 =2.310€.
    Por tanto, se obtuvo una mayor recaudación con las entradas VIP, con un beneficio de 2.310€.

Ejercicio 1: Reserva 2 de 2025

  1. En un festival gastronómico gaditano se han vendido entradas para tres eventos culinarios. Concretamente, 120 entradas para un taller de repostería, 50 para una demostración de cocina gourmet y 150 para una cata de vinos de la tierra de Cádiz. El total recaudado por la venta de entradas ha sido de 6.460€. Se sabe que el precio de 10 entradas para el taller de repostería coincide con el coste de la suma de 2 entradas para la cata de vinos y 1 entrada para la demostración de cocina gourmet. Además, el coste de 2 entradas para el taller y 1 entrada para la cata de vinos supera en 6€ al de 2 entradas para la demostración de cocina gourmet. ¿Cuánto cuesta la entrada de cada evento?
  2. Dada la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝10−1−123121⎞⎟ ⎟ ⎟⎠, calcule el rango de 𝐴 y 𝐴2.

Ejercicio 1: Reserva 3 de 2025

En una empresa de diseño gráfico, tres personas empleadas, Ana, Bruno y Carla, trabajan en un proyecto conjunto.

  1. Se sabe que Ana ha dedicado un tercio del total de horas que ha necesitado el proyecto. Además, la suma de las horas trabajadas por Ana y Bruno excede en 6 horas a las que ha dedicado Carla, quien a su vez ha trabajado 4 horas más que Bruno. ¿Cuántas horas ha trabajado cada persona involucrada en el proyecto?
  2. Si la empresa paga 25€ por cada hora de trabajo en el proyecto y de seguros sociales el 23,60% del salario, ¿cuánto tiene que abonar la empresa para pagar los costes de este proyecto?

Ejercicio 1: Reserva 4 de 2025

  1. La suma de tres números naturales es 113; al dividir el mayor entre el menor se obtiene de cociente 6 y resto 4 y al dividir el mayor entre el intermedio se obtiene de cociente 2 y resto 6. Halle dichos números.
  2. Dadas las matrices 𝐴=(1−123)y𝐵=(0121), compruebe si la inversa de la suma de dichas matrices coincide con la suma de las inversas de cada una.

Ejercicio 1: Julio de 2025

  1. Un fabricante de paneles fotovoltaicos está analizando la eficiencia de tres modelos de placas (A, B y C). En un día determinado se realizaron tres pruebas. En la primera, utilizando 2 placas del modelo A, 1 placa del modelo B y 3 placas del modelo C, se generó una potencia efectiva total de 2.960 W. En la segunda, al combinar 1 placa del modelo A, 3 placas del modelo B y 2 placas del modelo C, se obtuvo una potencia efectiva total de 2.990 W. En la tercera, una configuración con 3 placas del modelo A, 2 placas del modelo B y 1 placa del modelo C produjo una potencia efectiva total de 2.870 W. Exprese el problema en forma matricial y discuta, a partir de la matriz del sistema, si se puede obtener la potencia efectiva que generó individualmente cada modelo de placa fotovoltaica. En caso afirmativo, obtenga dichas potencias efectivas.
  2. Resuelva la ecuación matricial 2𝑋=(110−1)2⋅(41).

Resolución

  1. Llamamos 𝑥, 𝑦 y 𝑧 a la potencia efectiva que generan los modelos A, B y C, respectivamente. Planteamos el sistema de ecuaciones. ⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥+𝑦+3𝑧=2.960,𝑥+3𝑦+2𝑧=2.990,3𝑥+2𝑦+𝑧=2.870. De forma matricial, el sistema se puede escribir de la forma: ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝213132321⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⏟__⏟__⏟𝐴⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑥𝑦𝑧⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2.9602.9902.870⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Para discutir el sistema, estudiamos en primer lugar el rango de la matriz de coeficientes calculando su determinante. |𝐴|=∣213132321∣=−18≠0⇒rang⁡(𝐴)=3. Como el rango de la matriz de coeficientes es máximo, el sistema es compatible determinado. Por tanto, se puede obtener la potencia efectiva de cada modelo de placa.

    Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss. ⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝2132.9601322.9903212.870⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2−3𝐹1←←←←←←←←←←←→𝐹3−2𝐹1⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝2132.960−50−7−5.890−10−5−3.050⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠𝐹2−5𝐹1←←←←←←←←←←←→⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝2132.96000189.360−10−5−3.050⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠. El sistema escalonado resultante es: ⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥+𝑦+3𝑧=2.960,18𝑧=9.360,−𝑥−5𝑧=−3.050⇔⎧{ {⎨{ {⎩2𝑥+𝑦+3𝑧=2.960,18𝑧=9.360,𝑥+5𝑧=3.050⇒⎧{ {⎨{ {⎩𝑥=450,𝑦=500,𝑧=520. Por tanto, las potencias efectivas de los modelos A, B y C son 450 W, 500 W y 520 W, respectivamente.

  2. Despejamos y resolvemos la ecuación matricial. 2𝑋=(110−1)2(41)⇔𝑋=12(110−1)2(41)=12(1001)(41)=(212).

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2009

  1. En un comercio de bricolaje se venden listones de madera de tres longitudes: 0,90 m, 1,50 m y 2,40 m, cuyos precios respectivos son 4 euros, 6 euros y 10 euros. Un cliente ha comprado 19 listones, con una longitud total de 30 m, que le han costado 126 euros en total. Plantee, sin resolver, el sistema de ecuaciones necesario para determinar cuántos listones de cada longitud ha comprado el cliente.
  2. Clasifique el siguiente sistema de ecuaciones y resuélvalo, si es posible: ⎧{ {⎨{ {⎩3𝑥−𝑦−𝑧=0,2𝑥−2𝑦+𝑧=18,𝑥−3𝑧=0.

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2009

Una tienda dispone de latas de conserva de tomate de tres fabricantes: A, B y C. El fabricante A envasa el tomate en latas de 250 g, el fabricante B lo envasa en latas de 500 g y el fabricante C en latas de 1 kg. Esas latas de tomate se venden a 1, 1,8 y 3,3 euros, respectivamente. Compramos en total 20 latas, que pesan un total de 10 kg y nos cuestan 35,6 euros. Queremos saber cuántas latas de cada fabricante hemos comprado.

  1. Plantee el sistema de ecuaciones que resolvería el problema anterior.
  2. Resuelva el problema.

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2007

Resuelva y clasifique el sistema de ecuaciones: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦=1+𝑧,2𝑥+𝑧=2+𝑦,𝑦=𝑧.

Ejercicio A1: Reserva 3 de 2007

Un taller de carpintería ha vendido 15 muebles, entre sillas, sillones y butacas, por un total de 1.600 euros. Se sabe que cobra 50 euros por cada silla, 150 euros por cada sillón y 200 euros por cada butaca, y que el número de butacas es la cuarta parte del número que suman los demás muebles. Plantee, sin resolver, el sistema de ecuaciones adecuado que permite calcular cuántos muebles de cada clase ha vendido ese taller.

Ejercicio B1: Septiembre de 2007

Clasifique y resuelva el sistema formado por las tres ecuaciones siguientes: 𝑥−3𝑦+2𝑧=0,−2𝑥+𝑦−𝑧=0,𝑥−8𝑦+5𝑧=0.

Ejercicio A1: Reserva 4 de 2006

Plantee, sin resolver, el sistema de ecuaciones que permita encontrar la solución del siguiente problema: "En un examen de Matemáticas que constaba de tres problemas, un alumno obtuvo una calificación total de 7,2. La puntuación del primer problema fue un 40% más que la del segundo, y la del tercero fue el doble de la suma de las puntuaciones del primero y el segundo. ¿Cuál fue la puntuación de cada problema?"

Ejercicio B1: Septiembre de 2006

El cajero de un banco solo dispone de billetes de 10, 20 y 50 euros. Hemos sacado 290 euros del banco y el cajero nos ha entregado exactamente 8 billetes. El número de billetes de 10 euros es el doble del de 20 euros. Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones lineales asociado a este problema para obtener el número de billetes de cada tipo que nos ha entregado el cajero.

Ejercicio A1: Reserva 1 de 2005

  1. Resuelva el siguiente sistema y clasifíquelo atendiendo al número de soluciones: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=0,2𝑥+3𝑦−𝑧=17,4𝑥+5𝑦+𝑧=17.
  2. A la vista del resultado anterior, ¿podemos afirmar que hay una ecuación que es combinación lineal de las otras dos?

Ejercicio B1: Reserva 2 de 2005

Sea el sistema de ecuaciones: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦−𝑧=−2,2𝑥−𝑧=0,−2𝑦+𝑧=4.

  1. Resuélvalo y clasifíquelo en cuanto a sus soluciones.
  2. ¿Tiene inversa la matriz de coeficientes del sistema? Justifíquelo.
  3. Obtenga, si existe, una solución del sistema que verifique 𝑥 =2𝑦.

Ejercicio A1: Reserva 2 de 2004

Sabemos que el precio del kilo de tomates es la mitad que el del kilo de carne. Además, el precio del kilo de gambas es el doble que el de carne. Si pagamos 18 euros por 3 kilos de tomates, 1 kilo de carne y 250 gramos de gambas, ¿cuánto pagaríamos por 2 kilos de carne, 1 kilo de tomates y 500 gramos de gambas?

Ejercicio B1: Reserva 3 de 2004

  1. Plantee, sin resolver, un sistema de ecuaciones asociado al siguiente problema: "Un monedero contiene 1 euro en monedas de 2, 5 y 10 centimos; en total hay 22 monedas. Sabiendo que el número de monedas de 5 y 10 céntimos juntas excede en 2 unidades al número de monedas de 2 centimos, obtenga el numero de monedas de cada tipo que hay en el monedero".
  2. Resuelva el sistema formado por las ecuaciones: ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥+𝑦+𝑧=6,2𝑥−𝑦+2𝑧=3,3𝑥+2𝑦−3𝑧=3.

Ejercicio B1: Reserva 4 de 2004

Sea el sistema de ecuaciones lineales ⎧{ {⎨{ {⎩𝑥−𝑦−𝑧=−2,2𝑥+3𝑦−𝑧=2,4𝑥+𝑦−3𝑧=−2.

  1. Clasifique y resuelva el sistema.
  2. Escriba la matriz de coeficientes de este sistema y, si es posible, calcule su matriz inversa.