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📋 Julio de 2021

Ejercicio 1

Se considera la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝21010202𝑎⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Determine para qué valores del parámetro 𝑎, la matriz 𝐴 tiene inversa.
  2. Para 𝑎 =1, calcule la inversa de 𝐴.
  3. Para 𝑎 =1, resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 =𝐵𝑡, siendo 𝐵 =(01−1).

Resolución
  1. Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz 𝐴. |𝐴|=∣21010202𝑎∣=−8−𝑎. La inversa de 𝐴 existe si y solo si su determinante es no nulo. |𝐴|=0⇔−8−𝑎=0⇔𝑎=−8. Por tanto, la matriz 𝐴 tiene inversa si 𝑎 ≠ −8.
  2. Si 𝑎 =1, por el apartado anterior 𝐴 es invertible con det(𝐴) = −9. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−4−12−12−42−4−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa como 𝐴−1=1|𝐴|Adj⁡(𝐴)𝑡=−19⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−4−12−12−42−4−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=19⎛⎜ ⎜ ⎜⎝41−21−24−241⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
  3. Despejamos la ecuación matricial y resolvemos. 𝐴𝑋=𝐵𝑡⇔𝑋=𝐴−1𝐵𝑡=19⎛⎜ ⎜ ⎜⎝41−21−24−241⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝01−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=19⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3−63⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=13⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−21⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 2

Se consideran las siguientes inecuaciones: 5𝑥−4𝑦≤−19,3𝑥−4𝑦≤−13,𝑥≥−7,−𝑥−𝑦≥2.

  1. Represente la región factible definida por las inecuaciones anteriores y determine sus vértices.
  2. ¿Cuáles son los puntos en los que se alcanzan el mínimo y el máximo de la función 𝐺(𝑥,𝑦) = −15𝑥 +52𝑦 en la citada región factible? ¿Cuál es su valor?
  3. Responda de forma razonada si la función 𝐺(𝑥,𝑦) = −15𝑥 +52𝑦 puede alcanzar el valor 473 en la región factible hallada.

Resolución
  1. Representamos la región factible. Figura Los vértices son: 𝐴(−7,−2),𝐵(−7,5)y𝐶(−3,1).
  2. Por el teorema fundamental de la programación lineal, tanto el máximo como el mínimo de la función se alcanzan en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐺(𝐴)=𝐺(−7,−2)=−185,𝐺(𝐵)=𝐺(−7,5)=13910,𝐺(𝐶)=𝐺(−3,1)=3110. Por tanto, el máximo de la función se alcanza en el punto 𝐵( −7,5) con un valor de 13910, mientras que el mínimo se alcanza en 𝐴( −7, −2) con un valor de −185.
  3. Como el valor máximo que alcanza la función en la región factible es 13910 y se verifica que 473 >13910, la función no puede alcanzar el valor 473.

Ejercicio 3

Se considera la función 𝑓(𝑥)={2𝑥+1,si 𝑥<0,𝑥2−2𝑥,si 𝑥≥0.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓 en su dominio.
  2. Estudie la monotonía de la función 𝑓 y calcule el mínimo.
  3. Calcule ∫2−2𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
    • Si 𝑥 ≠0, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)={2𝑥+1ln⁡(2),si 𝑥<0,2𝑥−2,si 𝑥>0.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =0. lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0−⁡2𝑥+1=2,lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→0+⁡(𝑥2−2𝑥)=0,𝑓(0)=0. Observamos que lím𝑥→0−⁡𝑓(𝑥)≠lím𝑥→0+⁡𝑓(𝑥)≠𝑓(0). Así que 𝑓 no es continua ni derivable en 𝑥 =0.
    Por tanto, 𝑓 es continua y derivable en ℝ ∖{0}.
  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las dos ramas de la derivada a cero.
    • Si 𝑥 <0, 𝑓′(𝑥)=2𝑥+1ln⁡(2)≠0.
    • Si 𝑥 >0, 𝑓′(𝑥)=0⇔2𝑥−2=0⇔𝑥=1.
    Así que el único punto crítico es 𝑥 =1. También consideramos 𝑥 =0 por no ser derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    ( −∞,0) (0,1) (1, +∞)
    signo de 𝑓′ + − +
    monotonía de 𝑓 → → →
    Por tanto, 𝑓 es creciente en ( −∞,0) ∪(1, +∞) y decreciente en (0,1). Además, el punto (1, −1) es un mínimo relativo.
  3. Calculamos la integral. ∫2−2𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫0−22𝑥+1𝑑𝑥+∫20(𝑥2−2𝑥)𝑑𝑥=[2𝑥+1ln⁡(2)]0−2+[13𝑥3−𝑥2]20==2ln⁡(2)−12ln⁡(2)+83−4=32ln⁡(2)−43.

Ejercicio 4

El número de diagnosticados de COVID-19 por PCR en Andalucía, medido en miles de personas, se aproxima por la siguiente función: 𝑓(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩−𝑡2+2𝑡−0,3,si 0,2≤𝑡≤1,8,0,1𝑡−0,12,si 1,8<𝑡≤5,−0,5𝑡2+8,3𝑡−28,62,si 5<𝑡≤10, donde 𝑡 es el tiempo, medido en meses, a partir del inicio de conteo en el mes de marzo de 2020.

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑓 en su dominio.
  2. ¿En qué instante o instantes es máximo el número de diagnosticados? ¿Cuál es ese número?

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
    • Si 𝑡 ∈[0,2; 10] con 𝑡 ≠1,8 y 𝑡 ≠5, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑡)=⎧{ {⎨{ {⎩−2𝑡+2,si 0,2≤𝑡<1,8,0,1,si 1,8<𝑡<5,−𝑡+8,3,si 5<𝑡<10.
    • Estudiamos la continuidad para 𝑡 =1,8. lím𝑡→1,8−⁡𝑓(𝑡)=lím𝑡→1,8−⁡(−𝑡2+2𝑡−0,3)=0,06,lím𝑡→1,8+⁡𝑓(𝑡)=lím𝑡→1,8+⁡(0,1𝑡−0,12)=0,06,𝑓(1,8)=0,06. Observamos que lím𝑡→1,8−⁡𝑓(𝑡)=lím𝑡→1,8+⁡𝑓(𝑡)=𝑓(1,8). Así que 𝑓 es continua en 𝑡 =1,8. Pasamos a estudiar su derivabilidad. 𝑓′−(1,8)=lím𝑡→1,8−⁡𝑓′(𝑡)=lím𝑡→1,8−⁡(−2𝑡+2)=−1,6,𝑓′+(1,8)=lím𝑡→1,8+⁡𝑓′(𝑡)=lím𝑡→1,8+⁡0,1=0,1. Observamos que 𝑓′−(1,8) ≠𝑓′+(1,8), así que 𝑓 no es derivable en 𝑡 =1,8.
    • Estudiamos la continuidad para 𝑡 =5. lím𝑡→5−⁡𝑓(𝑡)=lím𝑡→5−⁡(0,1𝑡−0,12)=0,38,lím𝑡→5+⁡𝑓(𝑡)=lím𝑡→5+⁡(−0,5𝑡2+8,3𝑡−28,62)=0,38,𝑓(5)=0,38. Observamos que lím𝑡→5−⁡𝑓(𝑡)=lím𝑡→5+⁡𝑓(𝑡)=𝑓(5). Así que 𝑓 es continua en 𝑡 =5. Pasamos a estudiar su derivabilidad. 𝑓′−(5)=lím𝑡→5−⁡𝑓′(𝑡)=lím𝑡→5−⁡0,1=0,1,𝑓′+(5)=lím𝑡→5+⁡𝑓′(𝑡)=lím𝑡→5+⁡(−𝑡+8,3)=3,3. Observamos que 𝑓′−(5) ≠𝑓′+(5), así que 𝑓 no es derivable en 𝑡 =5.
    Por tanto, 𝑓 es continua en [0,2; 10] y derivable en [0,2; 1,8) ∪(1,8; 5) ∪(5,10].
  2. Para hallar los puntos críticos, igualamos las tres ramas de la derivada a cero.
    • Si 0,2 ≤𝑡 <1,8, 𝑓′(𝑡)=0⇔−2𝑡+2=0⇔𝑡=1.
    • Si 1,8 <𝑡 <5, 𝑓′(𝑡)=0,1≠0.
    • Si 5 <𝑡 ≤10, 𝑓′(𝑡)=0⇔−𝑡+8,3=0⇔𝑡=8,3.
    Así que los puntos críticos son 𝑡 =1 y 𝑡 =8,3. También consideramos 𝑡 =1,8 y 𝑡 =5 por no ser derivable. Estudiamos el signo de la derivada.
    (0,2; 1) (1; 1,8) (1,8; 5) (5; 8,3) (8,3; 10)
    signo de 𝑓′ + − + + −
    monotonía de 𝑓 → → → → →
    Por tanto, los puntos (1; 0,7) y (8,3; 5,825) son máximos relativos, así que (8,3; 5,825) es el máximo absoluto. Esto significa que 5.825 fue el número máximo de diagnosticados y se alcanzó a los 8 meses y 9 días.

Ejercicio 5

En una población, se sabe que el 15% de las personas padece una determinada enfermedad. Si la persona está enferma, un test da positivo en el 92% de los casos, mientras que si la persona está sana, el test da positivo en el 4% de los casos (falso positivo). Se elige una persona al azar de esa población.

  1. Calcule la probabilidad de que, habiendo dado positivo el test, la persona esté enferma.
  2. Calcule la probabilidad de que la persona esté enferma y el test salga negativo.
  3. Calcule la probabilidad de que saliendo el test negativo, la persona esté enferma.

Resolución

Llamamos 𝐸 a estar enfermo y 𝑇 a dar positivo en el test. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝑇
0,92←←←←←←←←←←←→
𝐸
0,15←←←←←←←←←←←→ 0,08←←←←←←←←←←←→
𝑇𝑐
𝑇
0,85←←←←←←←←←←←→ 0,04←←←←←←←←←←←→
𝐸𝑐
0,96←←←←←←←←←←←→
𝑇𝑐
  1. Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de dar positivo en el test es: 𝑃(𝑇)=𝑃(𝑇∩𝐸)+𝑃(𝑇∩𝐸𝑐)=𝑃(𝐸)⋅𝑃(𝑇|𝐸)+𝑃(𝐸𝑐)⋅𝑃(𝑇|𝐸𝑐)=0,15⋅0,92+0,85⋅0,04=0,172. Por tanto, la probabilidad de que la persona esté enferma sabiendo que ha dado positivo el test es: 𝑃(𝐸|𝑇)=𝑃(𝐸∩𝑇)𝑃(𝑇)=𝑃(𝐸)⋅𝑃(𝑇|𝐸)𝑃(𝑇)=0,15⋅0,920,172≈0,8023.
  2. La probabilidad de que la persona esté enferma y el test salga negativo es: 𝑃(𝐸∩𝑇𝑐)=𝑃(𝐸)⋅𝑃(𝑇𝑐|𝐸)=0,15⋅0,08=0,012.
  3. La probabilidad de que la persona esté enferma sabiendo que ha salido negativo el test es: 𝑃(𝐸|𝑇𝑐)=𝑃(𝐸∩𝑇𝑐)𝑃(𝑇𝑐)=0,0121−0,172=0,0145.

Ejercicio 6

En una comunidad de vecinos, el 90% de sus miembros tiene vehículo propio, el 40% hace uso del transporte público y un 3% ni tiene vehículo propio ni usa el transporte público. Se elige al azar un miembro de esa comunidad.

  1. Calcule la probabilidad de que tenga vehículo propio o use el transporte público.
  2. Calcule la probabilidad de que use el transporte público y no tenga vehículo propio.
  3. Calcule la probabilidad de que use el transporte público, sabiendo que no tiene vehículo propio.

Resolución

Llamamos 𝑉 a tener vehículo propio y 𝑇 a usar transporte público. Sabemos que: 𝑃(𝑉)=0,9,𝑃(𝑇)=0,4y𝑃(𝑉𝑐∩𝑇𝑐)=0,03. Observamos que: 𝑃(𝑉𝑐∩𝑇𝑐)=𝑃((𝑉∪𝑇)𝑐)=1−𝑃(𝑉∪𝑇)⇒𝑃(𝑉∪𝑇)=1−𝑃(𝑉𝑐∩𝑇𝑐)=1−0,03=0,97.

  1. La probabilidad de que tenga vehículo propio o use el transporte público es: 𝑃(𝑉∪𝑇)=0,97.
  2. La probabilidad de la intersección es: 𝑃(𝑉∩𝑇)=𝑃(𝑉)+𝑃(𝑇)−𝑃(𝑉∪𝑇)=0,9+0,4−0,97=0,33. Por tanto, la probabilidad de que use el transporte público y no tenga vehículo propio es: 𝑃(𝑇∩𝑉𝑐)=𝑃(𝑇)−𝑃(𝑇∩𝑉)=0,4−0,33=0,07.
  3. La probabilidad de que use el transporte público sabiendo que no tiene vehículo propio es: 𝑃(𝑇|𝑉𝑐)=𝑃(𝑇∩𝑉𝑐)𝑃(𝑉𝑐)=0,071−0,9=0,7.

Ejercicio 7

Para estimar la proporción de residentes británicos en España que están a favor de la salida del Reino Unido de la Unión Europea (UE), se toma una muestra aleatoria de 250 de estos residentes, obteniéndose que 115 estaban a favor de dejar de pertenecer a la UE.

  1. Calcule un intervalo de confianza al 99,5%, para estimar la proporción real de esos residentes que está a favor de la salida del Reino Unido de la UE.
  2. Manteniendo la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño mínimo necesario de la muestra, para estimar la proporción de residentes británicos en España que están a favor de la salida del Reino Unido de la UE, con un error inferior al 5%.

Resolución
  1. Como 115 residentes de 𝑛 =250 están a favor de la salida de Reino Unido de la Unión Europea, la proporción muestral es: 𝑝=115250=0,46. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 99,5%, entonces: 𝛼=1−0,995=0,005⇒1−𝛼2=1−0,0052=0,9975⇒𝑧𝛼/2=2,81. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de residentes que están a favor de la salida de Reino Unido de la Unión Europea con un nivel de confianza del 99,5% es: 𝐼=(0,46−2,81⋅√0,46⋅(1−0,46)250,0,46+2,81⋅√0,46⋅(1−0,46)250)≈(0,3714;0,5486).
  2. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=2,81⋅√0,46⋅(1−0,46)𝑛=2,81⋅√0,2484𝑛. Si se quiere el error sea inferior a 0,05, entonces: 2,81⋅√0,2484𝑛=0,05⇔√0,2484𝑛=0,052,81⇔0,2484𝑛=0,0522,812⇔𝑛=0,2484⋅2,8120,052≈784,5565. Por tanto, el número mínimo de personas de la muestra debe ser 785.

Ejercicio 8

Sea 𝑋 una variable aleatoria que sigue una ley Normal de media poblacional desconocida y desviación típica 4.

  1. ¿Cuál es la desviación típica de la distribución de las medias de las muestras de tamaño 12 de la variable aleatoria 𝑋?
  2. Para estimar la media poblacional de la variable 𝑋, se toma una muestra aleatoria de tamaño 12, obteniéndose los siguientes resultados: 11,8109,8129,710,89,611,310,412,29,110,5. Con los datos obtenidos de la muestra, determine un intervalo de confianza al 97% para estimar la media poblacional.
  3. Calcule el tamaño mínimo que debe tener una muestra, para que, con el mismo nivel de confianza, el error cometido al estimar la media poblacional sea menor que 1,2.

Resolución
  1. La distribución de medias muestrales de tamaño 𝑛 =12 tiene desviación típica: 𝜎√𝑛=4√12=2√3.
  2. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Calculamos la media muestral. ――𝑥=11,8+10+9,8+12+9,7+10,8+9,6+11,3+10,4+12,2+9,1+10,512=10,6. Como el nivel de confianza es del 97%, entonces: 𝛼=1−0,97=0,03⇒1−𝛼2=1−0,032=0,985⇒𝑧𝛼/2=2,17. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la media poblacional con un nivel de confianza del 97% es: 𝐼=(10,6−2,17⋅4√12,10,6+2,17⋅4√12)≈(8,0943;13,1057).
  3. El error máximo cometido viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛=2,17⋅4√𝑛=8,68√𝑛. Si se quiere que el error máximo sea menor que 1,2, entonces: 8,68√𝑛=1,2⇔√𝑛=8,681,2⇔𝑛=8,6821,22≈52,3211. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser 53.