Matemáticas de Selectividad

Se quiere elaborar dos suplementos alimenticios UNAL y DOSAL con idea de completar la dieta de ciertos individuos. Cada comprimido de UNAL aporta 5 unidades de calcio, 5 de proteínas y 1 caloría y tiene un coste 0,6 euros, mientras que un comprimido de DOSAL aporta 2 unidades de calcio, 5 de proteínas y 3 calorias, siendo su coste de 1 euro. Sabiendo que los mínimos diarios requeridos son 10 unidades de calcio, 20 de proteínas y 6 calorías, encuentre la combinación de comprimidos de los dos suplementos que satisfacen las necesidades diarias con el menor coste.

Se considera la función 𝑓(𝑥)=𝑥−3𝑥−1𝑥+1.

1. Indique el dominio de 𝑓 y calcule 𝑓′(𝑥).
2. Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =23.
3. Halle los puntos de la gráfica de 𝑓 en los que la recta tangente a dicha gráfica es horizontal.

Para tratar cierta enfermedad, en un hospital se utilizan tres fármacos distintos, A, B y C, administrándose a cada enfermo un solo fármaco. El 30% de los pacientes es tratado con el fármaco A, el 50% es tratado con el B y el resto con el fármaco C. La probabilidad de que la enfermedad se cure con el farmaco A es de 0,6, de que se cure con el farmaco B es de 0,8 y de que se cure con el farmaco C es de 0,7. Se elige al azar un paciente de ese hospital con esa enfermedad.

1. Calcule la probabilidad de que el paciente se cure.
2. Sabiendo que el paciente se ha curado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido tratado con el fármaco A?

La producción en kilogramos por árbol de aguacates de una comarca sigue una distribución Normal de desviación típica 4 y media desconocida.

1. Obtenga el tamaño muestral mínimo necesario para estimar la media poblacional con un error de estimación inferior a 2,1 kg y una confianza del 97%.
2. Se toma una muestra aleatoria de 9 árboles, cuyas producciones en kilogramos han sido: 151205040546524810. Obtenga el intervalo de confianza al 97% para estimar la producción media de aguacates por árbol y calcule el error máximo de estimación.

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝11312−11−1−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝230⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

1. Justifique que la matriz 𝐴 tiene inversa y calcule 𝐴−1.
2. Calcule, si existe, la matriz 𝑋 que satisface la ecuación matricial 𝐴𝑋 =𝐵.

Se considera la función 𝑓(𝑥) =13𝑥3 −2𝑥2 +3𝑥 +1.

1. Estudie su monotonía y halle sus extremos relativos.
2. Determine los intervalos de concavidad y convexidad. Calcule su punto de inflexión.
3. Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 =0.
4. Calcule ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos asociados a un experimento aleatorio tales que 𝑃(𝐵) =0,4, 𝑃(𝐴|𝐵) =0,25 y 𝑃(𝐴 −𝐵) =0,4.

1. Calcule 𝑃(𝐴 ∩𝐵).
2. Calcule 𝑃(𝐴) y 𝑃(𝐴 ∪𝐵).
3. ¿Son 𝐴 y 𝐵 independientes? ¿Son incompatibles?

En una muestra de 320 personas jubiladas elegidas al azar en un distrito de una ciudad, resultó que 96 de ellas realizaban alguna actividad física.

1. Construya un intervalo de confianza al 95% para la proporción de personas jubiladas que realizan alguna actividad física en ese distrito.
2. Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral, halle el tamaño mínimo de la muestra para que el error cometido sea inferior a 0,1 con un nivel de confianza del 98%.