Matemáticas de Selectividad

Sean las matrices 𝐴=(210−1),𝐵=(1−120),𝐶=(−241−1)y𝐷=(101010).

1. Razone si se pueden efectuar las siguientes operaciones: 𝐴𝐷+𝐵𝐶,𝐷𝑡𝐵−𝐴2.
2. Halle la matriz 𝑋 que verifica la ecuación matricial 𝐴𝑋 =𝐵 −𝐶.

Sea la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 −12𝑥 +1.

1. Estudie su monotonía y determine sus extremos relativos.
2. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 𝑥 =1.

De los sucesos 𝐴 y 𝐵 se sabe que 𝑃(𝐴) =0,6, 𝑃(𝐴|𝐵) =0,8 y 𝑃(𝐵|𝐴𝑐) =0,1.

1. Calcule las probabilidades 𝑃(𝐵), 𝑃(𝐴 ∩𝐵) y 𝑃(𝐴 ∪𝐵).
2. ¿Son los sucesos 𝐴 y 𝐵 independientes?

Se desea estimar la proporción de bares y restaurantes que en el camino de Santiago ofertan el menú del peregrino con un precio máximo de 12€. Para ello se eligen aleatoriamente 120 establecimientos que ofrecen este menú, de los que 80 tienen un precio máximo de 12€.

1. Con un nivel de confianza del 92%, obtenga el intervalo de confianza para proporción de establecimientos que tienen un precio máximo de 12€.
2. Si aumentamos el nivel de confianza al 99%, ¿qué efecto se produce en el error de estimación?
3. ¿Cuántos establecimientos, como mínimo, deberíamos seleccionar para que, con un nivel de confianza del 99%, el error de la estimación no sea superior a 0,04?

Sea el siguiente sistema de inecuaciones: ⎧{ { { {⎨{ { { {⎩𝑥+2𝑦≤11,𝑥≥2𝑦−5,3𝑥+𝑦≤18,𝑥≥0,𝑦≥0.

1. Dibuje la región que definen y calcule sus vértices.
2. ¿Pertenece el punto (5,5;2) a la región anterior?
3. Calcule los puntos de esa región en los que la función 𝐹(𝑥,𝑦) =2𝑥 +3𝑦 alcanza los valores máximo y mínimo y determine dichos valores.

1. Calcule los valores de los parámetros 𝑎 y 𝑏 para que la gráfica de la función 𝑓(𝑥) =𝑥3 +𝑎𝑥2 +𝑏 presente un extremo relativo en el punto (2,6).
2. Para 𝑎 =1 y 𝑏 =1, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa 𝑥 =1.

E1 10% de las personas que acuden a un servicio de urgencias lo hace por problemas respiratorios, de estos el 80% son fumadores, mientras que de los que acuden por otros problemas solo el 5% son fumadores. Se elige, al azar, una persona de las que acuden al servicio de urgencias.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que haya acudido por problemas respiratorios y no sea fumador?
2. Si la persona elegida es fumadora, ¿cuál es la probabilidad de que haya acudido por problemas que no son respiratorios?

El precio de un determinado producto se distribuye según una ley Normal de desviación típica 5€ y media desconocida. Se toman 10 comercios al azar y se observa en ellos el precio de este producto, resultando los siguientes valores en euros: 9610897112991061051009899.

1. ¿Cuál es la distribución del precio medio del producto en las muestras de tamaño 10?
2. Determine un intervalo de confianza, al 97%, para la media poblacional.
3. Con el mismo nivel de confianza, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra de esa población para que el error cometido sea menor que 2?