Matemáticas de Selectividad

Sean las matrices 𝐵=(−5046)y𝐶=(−1−8−1−936).

1. Determine la dimensión que debe tener una matriz 𝐴 para que se verifique la igualdad 𝐴𝐵 =2𝐶𝑡.
2. Halle la matriz 𝐴 anterior, sabiendo que de ella se conocen los elementos 𝑎31 =2, 𝑎12 = −3 y 𝑎22 =1.

Sea la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥3 +𝑎𝑒−𝑥 +𝑏𝑥 −1.

1. Halle los valores de 𝑎 y 𝑏 sabiendo que la función tiene un mínimo en 𝑥 =0 y que la gráfica de la función pasa por el punto (0,0).
2. Para 𝑎 =0 y 𝑏 =1, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa 𝑥 = −1.

Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos aleatorios independientes de los que se conoce que 𝑃(𝐴) =0,5 y 𝑃(𝐵) =0,3.

1. Diga, razonadamente, si 𝐴 y 𝐵 son sucesos incompatibles.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que suceda 𝐴 y no suceda 𝐵?
3. Calcule 𝑃(𝐴|𝐵𝑐).

Una panadería produce barras de pan cuya longitud, medida en centímetros, sigue una distribución Normal con una desviación típica de 5 centímetros.

1. A partir de una muestra de 100 barras de pan se ha calculado el intervalo de confianza para la media poblacional, resultando ser (31,2; 33,4). Halle la media muestral y el error de estimación.
2. Para un nivel de confianza del 96%, halle el tamaño muestral mínimo necesario para que el error de estimación máximo sea 1,5.

Un nutricionista receta a una de sus pacientes una dieta semanal especial basada en lácteos y pescado. Cada kg de lácteos cuesta 6€ y proporciona 3 unidades de proteínas y 1 de calorías; cada kg de pescado cuesta 12€, aportando 1 unidad de proteínas y 2 de calorías. La dieta le exige no tomar más de 4 kg, conjuntamente, de lácteos y pescado, y un aporte mínimo de 4 unidades de proteínas y 3 de calorías.

1. Plantee el problema para obtener la combinación de ambos alimentos que tenga el coste mínimo.
2. Dibuje la región factible y determine la solución óptima del problema.

Sea la función 𝑓, definida por 𝑓(𝑥)={𝑥2−𝑎𝑥+5,si 𝑥<0,−𝑥2+𝑏,si 𝑥≥0. Determine los valores que han de tomar 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓 sea derivable en 𝑥 =0.

Un estudio estadístico de la producción de una fábrica de batidoras determina que el 4,5% de las batidoras presenta defectos eléctricos, el 3,5% presenta defectos mecánicos y el 1% presenta ambos defectos. Se escoge al azar una batidora.

1. Calcule la probabilidad de que no tenga ninguno de los dos defectos.
2. Calcule la probabilidad de que tenga un defecto mecánico sabiendo que tiene un defecto eléctrico.
3. Justifique si los sucesos "tener un defecto eléctrico" y "tener un defecto mecánico" son independientes. ¿Son incompatibles?

Queremos estudiar la proporción de personas de una población que usan una determinada marca de ropa; para ello se hace una encuesta a 950 personas y se obtiene que 215 de ellas usan esa marca. Utilizamos un contraste de hipótesis (𝐻0 :𝑝 ≥0,25).

1. ¿Podemos afirmar con estos datos y con un nivel de significación del 5% que al menos el 25% de toda la población usa esa marca de ropa?
2. ¿Y con un nivel de significación del 1%?