Matemáticas de Selectividad

Un fabricante de complementos alimenticios elabora dos tipos de bebidas energéticas a partir de tres componentes: taurina, cafeína y L-carnitina. Un envase del primer tipo de bebida precisa 30 g de taurina, 40 g de cafeína y 20 g de L-carnitina, mientras que uno del segundo necesita 40 g de taurina, 30 g de cafeína y 10 g de L-carnitina. Sabiendo que dispone de 52 kg de taurina, 46 kg de cafeína y 20 kg de L-carnitina, que cada envase del primer tipo se vende por 1,5€ y cada envase del segundo tipo por 1€, ¿cuántos envases de cada tipo de bebida tendría que elaborar para obtener la ganancia máxima? ¿A cuánto ascendería esta ganancia?

Una empresa quiere invertir en productos financieros un mínimo de un millón de euros y un máximo de seis millones de euros. La rentabilidad que obtiene viene dada en función de la cantidad invertida, 𝑥, por la siguiente expresión: 𝑅(𝑥)={𝑥−2,si 1≤𝑥<2,−𝑥2+10𝑥−16,si 2≤𝑥≤6, donde tanto 𝑥, como 𝑅(𝑥), están expresadas en millones de euros.

1. Estudie la continuidad de la función 𝑅.
2. Esboce la gráfica de la función.
3. ¿Qué cantidad debe invertir para obtener la máxima rentabilidad y a cuánto asciende esta? ¿Para qué valores de 𝑥 la rentabilidad es positiva?

En un estudio sobre los niveles de audiencia de dos cadenas de radio, se obtuvo que el 50% de la población escucha la cadena A, el 40% escucha la cadena B y el 20% oye ambas.

1. Halle el porcentaje de la población que escucha alguna de las dos cadenas.
2. Calcule el porcentaje de la población que escucha solo la cadena B.
3. Halle el porcentaje de la población que escucha solo una de las dos cadenas.

En un centro docente hay 160 alumnos matriculados en 1° de ESO, 120 en 2°, 120 en 3°, 80 en 4°, 240 en 1° de Bachillerato y 200 en 2°. Se quiere constituir una comisión en la que todos los cursos estén representados de forma proporcional.

1. ¿Cuántos alumnos debe haber en la comisión y cuántos de cada curso si dicha comisión está formada por el 5% del total del alumnado?
2. ¿Cuál sería la composición de la comisión si queremos que haya 9 alumnos de 2° de ESO?

Sea el recinto definido por las siguientes inecuaciones: 𝑦≤2𝑥+1,𝑦≤13−4𝑥,𝑥≥4−𝑦.

1. Razone si el punto de coordenadas (1,1;2,8) pertenece al recinto.
2. ¿En qué puntos alcanza la función 𝐹(𝑥,𝑦) = −3𝑥 +1,5𝑦 sus valores extremos y cuáles son estos?
3. Razone si existe algún punto del recinto en el que la función 𝐹 se anule.

Se considera la función 𝑓(𝑥)={𝑎𝑥−3𝑥2,si 𝑥≤1,2𝑥2+𝑏,si 𝑥>1.

1. Calcule los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓 sea derivable en 𝑥 =1.
2. Para 𝑎 =3 y 𝑏 = −2, estudie la monotonía y curvatura de la función 𝑓.

A una asamblea en la Universidad asisten 420 alumnos de los cuales 180 son de Empresariales, 72 de Relaciones Laborales y el resto de Derecho. Un tercio de los alumnos de Empresariales, dos tercios de los de Derecho y 16 alumnos de Relaciones Laborales votan NO a la huelga. El resto ha votado SÍ.

1. Calcule la probabilidad de que elegido un alumno al azar, sea de Empresariales y haya votado SÍ a la huelga.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que elegido un alumno al azar haya votado SÍ a la huelga?
3. Si elegido un alumno al azar, resulta que ha votado NO a la huelga, ¿cuál es la probabilidad de que sea de Relaciones Laborales?

El tiempo diario, en horas, que dedican los alumnos de una Facultad a las redes sociales sigue una ley Normal de desviación típica 2 horas. Se toma una muestra aleatoria de 10 alumnos con los siguientes tiempos en horas 6,576,2575,57,256,756,2566,5.

1. Determine el intervalo de confianza, al 90%, para el tiempo medio diario dedicado por los alumnos de esa Facultad a las redes sociales.
2. Utilizando el mismo nivel de confianza anterior, calcule el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el tiempo medio diario, para un error de estimación máximo de 0,1 horas.