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📋 Reserva 3 de 2022

Ejercicio 1

Se consideran las matrices 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101−1−112−10⎞⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−11−1−1−11−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠y𝐶=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3−7−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

  1. Razone si se pueden efectuar las siguientes operaciones y realice las que sean posibles: 𝐶𝐴,𝐴+𝐵,𝐶𝑡𝐵𝑡.
  2. Resuelva la ecuación matricial 𝐴𝑋 =𝐵𝑋 +𝐶.

Resolución
    • 𝐶 es de dimensión 3 ×1 y 𝐴 es 3 ×3, así que el producto 𝐶𝐴 no se puede efectuar.
    • 𝐴 y 𝐵 son matrices cuadradas de orden 3, así que se pueden sumar. 𝐴+𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101−1−112−10⎞⎟ ⎟ ⎟⎠+⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−11−1−1−11−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝2−12−2−203−21⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.
    • 𝐶𝑡 es de dimensión 1 ×3 y 𝐵𝑡 es 3 ×3, así que se pueden multiplicar. 𝐶𝑡⋅𝐵𝑡=(3−7−2)⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−11−1−1−11−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=(868).
  2. Despejamos la ecuación matricial. 𝐴𝑋=𝐵𝑋+𝐶⇔𝐴𝑋−𝐵𝑋=𝐶⇔(𝐴−𝐵)𝑋=𝐶⇔𝑋=(𝐴−𝐵)−1𝐶. En primer lugar, calculamos la matriz 𝐴 −𝐵 y hallamos su determinante. 𝐴−𝐵=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝101−1−112−10⎞⎟ ⎟ ⎟⎠−⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1−11−1−1−11−11⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝01000210−1⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⇒|𝐴−𝐵|=∣01000210−1∣=2. Como det(𝐴 −𝐵) ≠0, la matriz 𝐴 −𝐵 es invertible. Para hallar su inversa, calculamos primero su matriz adjunta. Adj⁡(𝐴−𝐵)=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝020101200⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Calculamos su inversa como (𝐴−𝐵)−1=1|𝐴−𝐵|Adj⁡(𝐴−𝐵)𝑡=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝012200010⎞⎟ ⎟ ⎟⎠. Por tanto, 𝑋=(𝐴−𝐵)−1𝐶=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝012200010⎞⎟ ⎟ ⎟⎠⎛⎜ ⎜ ⎜⎝3−7−2⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=12⎛⎜ ⎜ ⎜⎝−116−7⎞⎟ ⎟ ⎟⎠.

Ejercicio 2

Una papelería quiere vender 400 cuadernos de vacaciones y 300 estuches de lápices de colores. Para ello ha preparado dos lotes de esos productos a precios especiales. Los lotes de tipo A contienen 2 cuadernos y 2 estuches; los lotes de tipo B contienen 3 cuadernos y 1 estuche. No es posible vender más de 100 lotes de tipo B. Cada lote de tipo A se vende a 35€ y cada lote de tipo B a 45€. Calcule cuántos lotes de cada tipo debe vender la papelería para conseguir el máximo valor de ventas. ¿A cuánto asciende dicho valor?

Resolución

Llamamos 𝑥 al número de lotes vendidos de tipo A e 𝑦 al de tipo B. Podemos organizar la información en una tabla.

Cuadernos Estuches Precio (€)
Tipo A 2 2 35
Tipo B 3 1 45
Máximo 400 300

Las restricciones del problema son: ⎧{ { { {⎨{ { { {⎩2𝑥+3𝑦≤400,2𝑥+𝑦≥300,𝑦≤100,𝑥≥0,𝑦≥0. La función objetivo a maximizar es: 𝐹(𝑥,𝑦)=35𝑥+45𝑦.

Representamos la región factible. Figura Los vértices son: 𝐴(0,0),𝐵(0,100),𝐶(50,100),𝐷(125,50)y𝐸(150,0).

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de la función se alcanza en uno de los vértices de la región en caso de existir. Evaluamos la función en los vértices. 𝐹(𝐴)=𝐹(0,0)=0,𝐹(𝐵)=𝐹(0,100)=4.500,𝐹(𝐶)=𝐹(50,100)=6.250,𝐹(𝐷)=𝐹(125,50)=6.625,𝐹(𝐸)=𝐹(150,0)=5.250. Por tanto, el valor máximo de las ventas se alcanza vendiendo 125 lotes de tipo A y 50 de tipo B, con unos beneficios de 6.625€.

Ejercicio 3

Se considera la función 𝑓(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩4𝑥2+16𝑥+17,si 𝑥<−1,13(10−5𝑥),si −1≤𝑥≤2,32,si 𝑥>2.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de 𝑓.
  2. Represente gráficamente la función 𝑓.
  3. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de 𝑓 y el eje de abscisas entre 𝑥 = −2 y 𝑥 =2.

Resolución
  1. Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de 𝑓.
    • Si 𝑥 ≠ −1 y 𝑥 ≠2, 𝑓 es continua y derivable con 𝑓′(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩8𝑥+16,si 𝑥<−1,−53,si −1<𝑥<2,0,si 𝑥>2.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 = −1. lím𝑥→−1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−1−⁡(4𝑥2+16𝑥+17)=5,lím𝑥→−1+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−1+⁡13(10−5𝑥)=5,𝑓(−1)=5. Observamos que lím𝑥→−1−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→−1+⁡𝑓(𝑥)=𝑓(−1). Así que 𝑓 es continua en 𝑥 = −1. Pasamos a estudiar la derivabilidad. 𝑓′−(−1)=lím𝑥→−1−⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→−1−⁡(8𝑥+16)=8,𝑓′+(−1)=lím𝑥→−1+⁡𝑓′(𝑥)=lím𝑥→−1+−53=−53. Observamos que 𝑓′−( −1) ≠𝑓′+( −1), así que 𝑓 no es derivable en 𝑥 = −1.
    • Estudiamos la continuidad para el punto de ruptura 𝑥 =2. lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2−⁡13(10−5𝑥)=0,lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)=lím𝑥→2+⁡32=32,𝑓(2)=0. Observamos que lím𝑥→2−⁡𝑓(𝑥)≠lím𝑥→2+⁡𝑓(𝑥)≠𝑓(2). Así que 𝑓 es no continua ni derivable en 𝑥 =2.
    Por tanto, 𝑓 es continua en ℝ ∖{2} y derivable en ℝ ∖{ −1,2}.
  2. Representamos gráficamente la función. Observamos que la primera rama es una parábola con vértice ( −2,1). Figura
  3. Podemos representar el recinto limitado por la gráfica de 𝑓 y el eje 𝑋 entre 𝑥 = −2 y 𝑥 =2. Figura Calculamos el área del recinto. ∫−1−2(4𝑥2+16𝑥+17)𝑑𝑥+∫2−113(10−5𝑥)𝑑𝑥=[43𝑥3+8𝑥2+17𝑥]−1−2+13[10𝑥−52𝑥2]2−1==−43+8−17−(−323+32−34)+13(20−10−(−10−52))=596𝑢2.

Ejercicio 4

Se considera la función 𝑓(𝑥) =3𝑥3 −6𝑥2 +5.

  1. Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a 𝑓 que sean paralelas a la recta de ecuación 𝑦 = −3𝑥 +1.
  2. Calcule la función 𝐹 que verifique que 𝐹′(𝑥) =𝑓(𝑥) y 𝐹(2) =4.

Resolución
  1. En primer lugar, hallamos la derivada de la función 𝑓. 𝑓′(𝑥)=9𝑥2−12𝑥. La recta 𝑦 = −3𝑥 +1 y todas sus paralelas tienen pendiente -3. Por otro lado, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en un punto 𝑎 viene dada por el valor de 𝑓′(𝑎). Hallamos los puntos en los que la pendiente de la recta tangente es -3. 𝑓′(𝑥)=−3⇔9𝑥2−12𝑥=−3⇔3𝑥2−4𝑥+1=0⇔{𝑥=13,𝑥=1.
    • La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =13 es 𝑦−𝑓(13)=𝑓′(13)(𝑥−13)⇔𝑦−409=−3(𝑥−13)⇔𝑦=−3𝑥+499.
    • La ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en 𝑥 =1 es 𝑦−𝑓(1)=𝑓′(1)(𝑥−1)⇔𝑦−2=−3(𝑥−1)⇔𝑦=−3𝑥+5.
  2. Como 𝑓 es la derivada de 𝐹, entonces 𝐹(𝑥)=∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫(3𝑥3−6𝑥2+5)𝑑𝑥=34𝑥4−2𝑥3+5𝑥+𝐶. Además, 𝐹(2)=4⇔12−16+10+𝐶=4⇔𝐶=−2. Por tanto, la función es 𝐹(𝑥)=34𝑥4−2𝑥3+5𝑥−2.

Ejercicio 5

De los sucesos 𝐴 y 𝐵 de un mismo experimento aleatorio se conocen las siguientes probabilidades: 𝑃(𝐴)=0,7,𝑃(𝐵)=0,6y𝑃(𝐴∪𝐵)=0,8. Calcule la probabilidad de que:

  1. Ocurra 𝐴 y 𝐵.
  2. No ocurra ni 𝐴 ni 𝐵.
  3. Ocurra 𝐴 pero no 𝐵.
  4. Ocurra 𝐴 sabiendo que no ha ocurrido 𝐵.

Resolución
  1. La probabilidad de que ocurra 𝐴 y 𝐵 es 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∪𝐵)=0,7+0,6−0,8=0,5.
  2. La probabilidad de que no ocurra ni 𝐴 ni 𝐵 es 𝑃(𝐴𝑐∩𝐵𝑐)=𝑃((𝐴∪𝐵)𝑐)=1−𝑃(𝐴∪𝐵)=1−0,8=0,2.
  3. La probabilidad de que ocurra 𝐴 pero no 𝐵 es 𝑃(𝐴∩𝐵𝑐)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴∩𝐵)=0,7−0,5=0,2.
  4. La probabilidad de que ocurra 𝐴 sabiendo que no ha ocurrido 𝐵 es 𝑃(𝐴|𝐵𝑐)=𝑃(𝐴∩𝐵𝑐)𝑃(𝐵𝑐)=0,21−0,6=0,5.

Ejercicio 6

El porcentaje de conductores que consumen alcohol durante la madrugada del sábado es del 5%. La policía realiza controles de alcoholemia mediante un test del que se sabe que da positivo en un 96% si la persona ha bebido alcohol y en un 10% si la persona no ha bebido alcohol. Elegido al azar un conductor en la madrugada del sábado y realizado este test de alcoholemia, halle la probabilidad de que:

  1. Si el test da positivo, el conductor haya consumido alcohol.
  2. El test dé negativo y el conductor no haya consumido alcohol.
  3. Si el test ha dado negativo, el conductor no haya consumido alcohol.

Resolución

Llamamos 𝐴 a consumir alcohol y 𝑇 a dar positivo en el test. Podemos hacer un diagrama de árbol.

𝑇
0,96←←←←←←←←←←←→
𝐴
0,05←←←←←←←←←←←→ 0,04←←←←←←←←←←←→
𝑇𝑐
𝑇
0,95←←←←←←←←←←←→ 0,1←←←←←←←←←←→
𝐴𝑐
0,9←←←←←←←←←←→
𝑇𝑐
  1. Por el teorema de la probabilidad, la probabilidad de que el test dé positivo es: 𝑃(𝑇)=𝑃(𝑇∩𝐴)+𝑃(𝑇∩𝐴𝑐)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝑇|𝐴)+𝑃(𝐴𝑐)⋅𝑃(𝑇|𝐴𝑐)=0,05⋅0,96+0,95⋅0,1=0,143. Por tanto, la probabilidad de que el conductor haya consumido alcohol sabiendo que el test da positivo es: 𝑃(𝐴|𝑇)=𝑃(𝐴∩𝑇)𝑃(𝑇)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝑇|𝐴)𝑃(𝑇)=0,05⋅0,960,143≈0,3357.
  2. La probabilidad de que el test dé negativo y el conductor no haya consumido alcohol es: 𝑃(𝑇𝑐∩𝐴𝑐)=𝑃(𝐴𝑐)⋅𝑃(𝑇𝑐|𝐴𝑐)=0,95⋅0,9=0,855.
  3. La probabilidad de que el conductor no haya consumido alcohol sabiendo que el test ha dado negativo es: 𝑃(𝐴𝑐|𝑇𝑐)=𝑃(𝐴𝑐∩𝑇𝑐)𝑃(𝑇𝑐)=0,8551−0,143≈0,9977.

Ejercicio 7

Un taller desea estimar el grado de satisfacción de sus clientes. Para ello, a 120 clientes seleccionados al azar, les pregunta si volverían a solicitar sus servicios en caso de necesitarlo, de los que 96 respondieron que sí lo harian.

  1. Determine, con un nivel de confianza del 95%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de clientes de este taller que volverían a solicitar sus servicios.
  2. Mediante una nueva muestra queremos estimar la proporción de clientes de ese taller que volverían a solicitar sus servicios con un error máximo del 5% y un nivel de confianza del 97%. Suponiendo que se mantiene la proporción muestral, ¿qué tamaño mínimo debe tener dicha muestra?

Resolución
  1. Como 96 clientes de 𝑛 =120 volverían a solicitar los servicios del taller, la proporción muestral es: 𝑝=96120=0,8. El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(𝑝−𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛,𝑝+𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛). Como el nivel de confianza es del 95%, entonces: 𝛼=1−0,95=0,05⇒1−𝛼2=1−0,052=0,975⇒𝑧𝛼/2=1,96. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar la proporción de clientes que volverían a solicitar sus servicios con un nivel de confianza del 95% es: 𝐼=(0,8−1,96⋅√0,8⋅(1−0,8)120,0,8+1,96⋅√0,8⋅(1−0,8)120)≈(0,7284;0,8716).
  2. Si el nivel de confianza es del 97%, entonces: 𝛼=1−0,97=0,03⇒1−𝛼2=1−0,032=0,985⇒𝑧𝛼/2=2,17. El error máximo de estimación viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅√𝑝(1−𝑝)𝑛=2,17⋅√0,8⋅(1−0,8)𝑛=0,868√𝑛. Si se quiere el error máximo sea de 0,05, entonces: 0,868√𝑛=0,05⇔√𝑛=0,8680,05⇔𝑛=0,86820,052=301,3696. Por tanto, el número mínimo de personas de la muestra debe ser 302.

Ejercicio 8

El consumo de energía eléctrica mensual por vivienda medido en kilovatios hora (kWh) sigue una distribución Normal con varianza 4.225 (kWh)2.

  1. Se toma una muestra aleatoria de 100 viviendas, obteniéndose un consumo total de 26.830 kWh. Calcule un intervalo de confianza al 92% para estimar el consumo medio poblacional.
  2. Calcule el tamaño mínimo de la muestra necesario para estimar el consumo medio de energía eléctrica mensual por vivienda, con un error máximo de 5 kWh y con un nivel de confianza del 98%.
  3. Tras una campaña para incentivar el ahorro energético se toma una nueva muestra y el intervalo de confianza para el consumo medio que se obtiene es (224,08; 255,92). Calcule la media del consumo de energía eléctrica mensual por vivienda para dicha muestra.

Resolución
  1. El intervalo de confianza para estimar la media poblacional con nivel de confianza 1 −𝛼 viene dado por: 𝐼=(――𝑥−𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛,――𝑥+𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛). Calculamos la media muestral. ――𝑥=26.830100=268,3. Como el nivel de confianza es del 92%, entonces: 𝛼=1−0,92=0,08⇒1−𝛼2=1−0,082=0,96⇒𝑧𝛼/2=1,75. Por tanto, el intervalo de confianza para estimar el consumo medio de energía en kilovatios hora con un nivel de confianza del 92% es: 𝐼=(268,3−1,75⋅√4.225√100,268,3+1,75⋅√4.225√100)=(256,925;279,675).
  2. Si el nivel de confianza es del 98%, entonces: 𝛼=1−0,98=0,02⇒1−𝛼2=1−0,022=0,99⇒𝑧𝛼/2=2,325. El error máximo cometido viene dado por: 𝐸=𝑧𝛼/2⋅𝜎√𝑛=2,325⋅√4.225√𝑛=151,125√𝑛. Si se quiere que el error máximo sea de 5, entonces: 151,125√𝑛=5⇔√𝑛=151,1255⇔𝑛=151,125252≈913,5506. Por tanto, el tamaño mínimo de la muestra debe ser de 914 viviendas.
  3. La media poblacional viene dada por el punto medio del intervalo de confianza. ――𝑥=224,08+255,922=240. Por tanto, la media del consumo de energía mensual por vivienda es de 240 kWh.