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Ejercicio 7: Reserva 1 de 2025

Los rodamientos de las ruedas de un coche se configuran con unas bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media 13 mm y desviación típica 0,1 mm. Para que el funcionamiento del rodamiento sea óptimo el diámetro debe estar entre 12,9 mm y 13,15 mm. No obstante, la máquina que los elabora es muy sensible a los cambios de temperatura y pierde eficacia cuando ésta sube considerablemente. El 15 de julio, tras una rotura del sistema de refrigeración, la máquina configura bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media 12,9 mm y desviación típica 0,2 mm.

  1. En circunstancias ideales, ¿cuál es la probabilidad de que la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que el 15 de julio la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?

Resolución
  1. Llamamos 𝑋 a los diámetros de las bolas elaboradas por la máquina en condiciones normales, con 𝑋 ∼𝑁(13; 0,1). La probabilidad de que la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo es: 𝑃(12,9≤𝑋≤13,15)=𝑃(12,9−130,1≤𝑍≤13,15−130,1)=𝑃(−1≤𝑍≤1,5)==𝑃(𝑍≤1,5)−𝑃(𝑍≤−1)=𝑃(𝑍≤1,5)−(1−𝑃(𝑍≤1))==0,9332−(1−0,8413)=0,7745.
  2. Llamamos 𝑌 a los diámetros de las bolas elaboradas por la máquina el 15 de julio, con 𝑌 ∼𝑁(12,9; 0,2). La probabilidad de que la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo es: 𝑃(12,9≤𝑋≤13,15)=𝑃(12,9−12,90,2≤𝑍≤13,15−12,90,2)=𝑃(0≤𝑍≤1,25)==𝑃(𝑍≤1,25)−𝑃(𝑍≤0)=0,8944−0,5=0,3944.

Ejercicio 7: Reserva 4 de 2025

El peso de las manzanas producidas en una granja sigue una distribución normal de media 200 gramos y desviación típica desconocida.

  1. Si el 33% de las manzanas pesan más de 230 gramos, calcula la desviación típica del peso de las manzanas.
  2. Si la desviación típica es de 50 gramos, calcula el porcentaje de manzanas que pesen entre 160 y 220 gramos.

Ejercicio 7: Julio de 2025

La velocidad máxima a la que puede circular un vehículo sobre un determinado puente del río Guadalete es de 70 km/h.

  1. En uno de los sentidos de circulación, la velocidad de los vehículos sigue una distribución normal de media 64 km/h y desviación típica 4 km/h. Si el radar de control salta a partir de 72 km/h, ¿cuál es el porcentaje de vehículos que se sancionan?
  2. En el sentido contrario, también sigue una distribución normal de la que sabemos que la velocidad media es de 63,6 km/h y que el 5,05% de todos los vehículos viaja a más de 80 km/h. En este caso, ¿cuánto vale la desviación típica?

Resolución
  1. Llamamos 𝑋 a la velocidad de los vehículos, con 𝑋 ∼𝑁(64,4). La probabilidad de que un vehículo circule a una velocidad superior a 72 km/h es: 𝑃(𝑋>72)=𝑃(𝑍>72−644)=𝑃(𝑍>2)=1−𝑃(𝑍≤2)=1−0,9772=0,0228. Por tanto, son sancionados el 2,28% de los vehículos.
  2. Llamamos 𝑌 a la velocidad de los vehículos en sentido contrario, con 𝑌 ∼𝑁(63,6; 𝜎). Como el 5,05% de los vehículos viaja a más de 80 km/h, ha de verificarse que: 𝑃(𝑌>80)=0,0505⇔𝑃(𝑌≤80)=1−0,0505=0,9495. Observamos que: 𝑃(𝑌≤80)=𝑃(𝑍≤80−63,6𝜎)=𝑃(𝑍≤16,4𝜎). Así que: 𝑃(𝑌≤80)=0,9495⇔𝑃(𝑍≤16,4𝜎)=0,9495⇔16,4𝜎=1,64⇔𝜎=10. Por tanto, la desviación típica es de 10 km/h.

Ejercicio 25: Modelo de prueba

La altura de los individuos de una población sigue una distribución normal de media 175 cm y desviación típica 4 cm.

  1. Calcula la probabilidad de que un individuo elegido al azar mida más de 170 cm.
  2. Calcula qué porcentaje de la población mide entre 170 y 185 cm.
  3. Calcula la altura máxima que es superada por el 33% de la población.

Ejercicio 26: Modelo de prueba

La edad de los habitantes de cierta ciudad se distribuye normalmente, con una media de 40 años. Se sabe además que el 2,28% de los habitantes de esa ciudad tiene más de 60 años.

  1. Calcula la desviación típica de la distribución.
  2. Si la edad de la población siguiera una distribución 𝑁(40,10), calcula el porcentaje de habitantes con menos de 35 años.

Ejercicio 27: Modelo de prueba

El peso de los estudiantes de determinada localidad sigue una distribución Normal de media 75 kg y varianza 36 kg2.

  1. Calcula el porcentaje de alumnado cuyo peso está comprendido entre 68 y 80 kg.
  2. Si se sabe que uno de los estudiantes pesa más de 76 kg, ¿cuál es la probabilidad de que pese más de 80 kg?

Ejercicio 28: Modelo de prueba

El peso de las lubinas vendidas en una cadena de hipermercados sigue una distribución normal de media 6.706 gramos. Sabiendo que el 20% de las lubinas pesan más de 7.386 gramos, calcula el porcentaje de lubinas que pesan entre 6 y 8 kg.

Ejercicio 29: Modelo de prueba

El peso de una población de elefantes africanos macho sigue una distribución normal de media 6 toneladas y desviación típica 1.500 kg.

  1. Calcula la probabilidad de que un individuo elegido al azar pese exactamente 6 toneladas.
  2. Calcula qué porcentaje de la población pesa entre 5 y 8 toneladas.
  3. Calcula qué peso es superado por el 33% de la población.

Ejercicio 30: Modelo de prueba

Estudios realizados en un cierto país demuestran que el consumo de gasolina en autos compactos está normalmente distribuido, con una media de 6 litros por cada 100 km y una desviación estándar de 1,2 litros por cada 100 km.

  1. Calcula el porcentaje de autos compactos que gasta 7 o más litros cada 100 km.
  2. Calcula el número máximo de litros por cada 100 km que debe consumir un auto compacto si el fabricante quiere que supere en economía de combustible al 95% de los que hay actualmente en el mercado.